Dinâmica Aplicada em Estruturas de Concreto - Análise Vibracional e Oscilações

24 Oscilações Livres omegan2 frackm quad fn fracomegan2 pi quad Tn frac1fn omegan 2 pi fn frac2 piTn u a cosomegan t a cos2 pi fn t leftfrac2 piTn t right O Movimento Harmônico de amplitude a e frequência angular ω pode ser visualizado como a projeção em um eixo do movimento circular uniforme de raio a e velocidade ω mais rígido mais rápido vibra maior frequência própria mais massa mais devagar vibra menor frequência própria u a cos omegan t Por que teria que ser senoidal e não qualquer outra coisa periódica Já que a história harmônica é a que permite que a energia total do sistema molamassa seja a mesma para cada instante da trajetória TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Sumário I TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 TQS Informática Dinâmica aplicada em estruturas de concreto Sérgio Stolovas Sumário 1 Preâmbulo 1 2 Introdução à Análise Vibracional de Estruturas 4 21 Descrição fenomenológica dos principais efeitos dinâmicos que afetam as estruturas 4 22 Descrição dos elementos com os quais mexe a Dinâmica de Estruturas 5 23 Diferenças entre efeitos de ações estáticas e dinâmicas 6 24 Oscilações Livres 8 25 Oscilações com amortecimento viscoso 9 26 Características da Resposta à excitação harmônica de freqüência f de um sistema com freqüência natural nf 10 27 Controle de resposta 15 28 Introdução à Análise de Fourier 16 29 Noção de efeito de harmônicos superiores 19 3 Equações da Análise Vibracional de Estruturas 21 31 Oscilações Livres de um sistema de um grau de liberdade com amortecimento viscoso 21 32 Exemplos de Histórias de Resposta 24 33 Amplificação dinâmica 24 34 Sistema de 1 grau de liberdade submetido a Movimento Harmônico da Base 25 35 Fator de Transmissão de deslocamentos devidos a Movimento Harmônico da base 26 36 Equações geral do movimento de uma estrutura de n graus de liberdade 28 37 Metodologias de cálculo Aproximado 39 371 Método de Rayleigh 39 372 Método de Dunkerley 41 373 Método de Newmark Stodola Vianello 42 374 Fórmulas aproximadas usuais que se derivam do método de Rayleigh 42 4 Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 46 II Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 41 Introdução à problemática dos projetos de estruturas que sustentam máquinas 46 42 Classificação dos tipos de máquina 47 43 Classificação dos tipos de bases executadas em concreto armado 47 44 Análise de Estruturas que sustentam Máquinas Rotativas 48 441 Características da excitação 48 442 Efeito de rotor desbalanceado 50 443 Valores da Força devida à Excentricidade de Rotores de acordo a ISO 1940 52 444 Caracterização de projeto estrutural de bases para máquinas rotativas de baixa e media freqüência 54 445 Características do roteiro de projeto estrutural de Bases para máquinas rotativas de alta freqüência 54 45 Exemplo de Análise dinâmica da estrutura que sustenta uma Unidade de Compressão de Oxigênio 59 46 Modelo de interação dinâmica soloestrutura para Fundação Direta Rígida de máquinas 63 47 Roteiro de análise de fundações superficiais de bases rígidas 73 48 Parâmetros de molas nos modelos dinâmicos discretizados de bases retangulares de maquinaria de baixa freqüência 76 49 Modelos dinâmicos para fundação superficial em solos estratificados Baseado em valores obtidos por Richart Hall and Woods 82 410 Exemplo de avaliação analítica de uma base que sustenta um ventilador industrial 85 411 Bases de equipamentos sobre estacas 97 4111 Importância e dificuldade da geração de modelos realistas 97 4112 Parâmetros de resposta para modos verticais 99 4113 Parâmetros de resposta para modos Horizontais 105 4114 Efeitos de grupos de estacas 106 5 Efeitos dinâmicos gerados por atividades humanas 108 51 O ser humano como receptor de vibrações 108 52 Seres humanos como geradores de excitações 109 521 Excitação devida a pessoas caminhando 109 522 Excitação devida a atividades rítmicas 110 523 Efeitos sobre passarelas 111 524 Pessoas pulando e Excitação gerada pela multidão em uma arquibancada 112 525 Valores padronizados para a formulação da excitação gerada por atividades humanas por meio de superposição de excitações harmônicas 117 Sumário III TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 53 Exemplo de avaliação vibracional analítica de uma passarela para pedestres 119 54 Exemplo de avaliação funcional simplificada de alternativas para uma laje 128 541 Na avaliação se levarão em conta efeitos de pessoas caminhando e de pessoas pulando 128 6 Efeitos dinâmicos induzidos pelo vento 132 61 Introdução 132 62 Natureza da fonte de excitação 132 63 Forças estáticas equivalentes 133 64 Efeitos dinâmicos devidos à turbulência atmosférica efeitos de rajadas 134 65 Metodologia da Norma NBR 6123 137 66 Sinais e Espectros de Fourier 140 67 Espectro de potência da velocidade do vento ou Função de densidade espectral de potência do vento 147 68 Método do vento sintético 151 7 Análise sismoresistente de estruturas 154 71 Terremotos Suas causas e mecanismos 154 72 Mapas de Risco Sísmico 163 73 Resposta Estrutural 164 74 Espectros de resposta 167 75 Espectro dúctil de projeto 170 76 Método de Análise Multimodal 174 77 Mitigação do dano sísmico e a eficiência da engenharia civil na mesma 176 78 Dano não estrutural 189 Anexo A Excentricidades típicas de rotores 192 Anexo B Tabelas de referência para qualificar o nível de resposta de maquinarias 193 B1 VDI 2054 193 B2 Rathbone Chart 195 B3 Michael Blake 196 B4 Norma IRD 197 Anexo C Níveis de Percepção Humana de Vibrações 198 C1 Níveis de percepção humana de vibrações Os valores indicados são acelerações pico para pessoas paradas submetidas a vibrações verticais 198 C2 ISO 26312 Acelerações pico máximas recomendadas para conforto humano 198 C3 ISO 26311 199 IV Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 C4 ISO 26311 200 C5 DIN 41504 201 Anexo D Valores recomendados para serem empregados na avaliação funcio nal de Efeitos de Atividades Humanas 202 Anexo E Unidades logarítmicas de amplitude vibracional 203 Anexo F Revisão de diretivas de verificação de fadiga de acordo à Norma ABNT NBR 61182003 206 F1 Revisão de parâmetros básicos 206 F11 Concreto 206 F12 Armadura 207 F2 Revisão dos estados de carga normativos 207 F21 Estado Limite Último ELU 41 γ f 207 F22 Estado Limite de Serviço ELS 01 γ f 209 F23 Estado limite de Fadiga 210 Anexo G Séries de Fourier 219 Anexo H Transformadas de Fourier 223 Anexo I Aceitabilidade de acelerações induzidas por atividades humanas de acordo a ISO 26312 228 Anexo J Exemplos de cálculo Parte 1 230 Anexo K Bibliografia 251 Preâmbulo 1 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 1 Preâmbulo Equilíbrio de forças é a letra A no abecedário do engenheiro de estruturas Agregando ao equilíbrio global e das partes a continuidade das mesmas fazse possível na estática atingir quase qualquer resposta que o engenheiro procura saber sobre a estrutura Por utilizar sempre problemas de estática o engenheiro de estruturas está habituado a certos ditames que estão incorporados solidariamente à sua intuição Essa intuição é fundamental para a visualização do comportamento estrutural mas pode ser fonte de engano se não adaptarmos esta intuição à dinâmica Se uma estrutura estiver submetida unicamente à ação de certo sistema de forças e subitamente deixasse de estar submetida às mesmas a deformação deverá mudar e as partes da estrutura deverão se deslocar Pode se intuir que a estrutura vai se deslocar numa direção conforme a nova deformação que responde à ausência dessas cargas que já sumiram Teremos que a nossa estrutura já não estará submetida às forças mas ainda estará deformada Ou seja que em dinâmica o ditame que associa necessariamente deformação às forças deixa de ser correto A evolução no raciocínio do engenheiro para adaptar a sua intuição à dinâmica passa por assumir que o que determinará as solicitações internas será a deformação e que o sacro equilíbrio global e das partes da estrutura não estará já vigente no seu significado estático O Curso de Dinâmica Aplicada em Estruturas de Concreto é destinado a Engenheiros que possuem formação e experiência no desenvolvimento e cálculo de projetos de estruturas e procuram incorporar as ferramentas da análise dinâmica nos projetos futuros A estruturação do curso visa aproveitar ao máximo o conhecimento e a experiência em análise e projetos de estruturas que já possui o engenheiro para assim incorporar de maneira eficiente os conceitos e ferramentas de cálculo da dinâmica de estruturas Nas 16 intensas horas de trabalho conjunto com os participantes do curso se pretende incorporar os novos conceitos de maneira pragmática objetiva e intuitiva Para isso é sacrificado muito do que o rigor cientifico demandaria no desenvolvimento dos temas mas abrindo todo o espaço possível aos atalhos pelos quais a intuição sabe nos conduzir até a compreensão Todo o esforço está justamente orientado à compreensão dos conceitos das metodologias de análise e das estratégias de projeto 2 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 O final de cada tema é exposto com exemplos concretos de modo que as novas ferramentas incorporadas ao sistema CADTQS permitem abordar os problemas de dinâmica de estrutura modelar as ações e analisar as respostas estruturais Com isso o participante do curso pode visualizar que não se está ante uma disciplina completamente diferente e que na realidade consiste em um melhoramento da nossa mesa de trabalho Da interação com os participantes surge o roteiro final de cada curso Cada curso se adapta para que o resultado seja mais adequado e mais proveitoso para o grupo conformado pelos participantes do mesmo sem descuidar atingir o objetivo Por isso NUNCA o curso segue estritamente a ordem nem abarcará exatamente o conteúdo da presente apostila A presente apostila procura fornecer a guia e a documentação para o participante não precisar tomar notas de tudo o que é explicado A apostila inclui também muitos pontos que não serão desenvolvidos durante o curso visando propiciar o estudo futuro para uma melhor fermentação dos novos conceitos e para abrir mais portas ao conhecimento complementando o conteúdo da matéria tratada Preâmbulo 3 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Existem dois caminhos para estudar um problema Eles são o do cientista e o do engenheiro O cientista somente está interessado na verdade Para ele existe somente uma resposta a verdadeira e não importa quanto tempo leve chegar a ela Para o engenheiro existem muitas respostas possíveis todas elas são compromissos entre a verdade e o tempo O engenheiro deve dar uma resposta agora e ela deve ser suficientemente boa para certo propósito mesmo quando ela não seja estritamente verdadeira É por isso que o engenheiro deve fazer suposições Suposições que em muitos casos ele bem sabe que não são estritamente certas mas elas permitem obter uma resposta suficientemente verdadeira aos efeitos do seu propósito imediato Engenheiro Anônimo 4 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 2 Introdução à Análise Vibracional de Estruturas 21 Descrição fenomenológica dos principais efeitos dinâmicos que afetam as estruturas Fonteagente de perturbação Transmissor es da Vibração Receptor da Vibração Fonte local Equipamento mecânico Estrutura do edifício elementos não estruturais do edifício Estrutura Conteúdo do edifício elementos não estruturais moveis equipamento etc PESSOAS Atividade de seres humanos Fonte externa Veículos transitando na Rua Estrutura externa SOLO Estrutura do edifício elementos não estruturais do edifício Ferrovias Metrô Equipamento para obras civis Outros Sísmicos Explosões SOLO Água SOLO Vento Booms Sônicos Blast AR Introdução à Análise Vibracional de Estruturas 5 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 22 Descrição dos elementos com os quais mexe a Dinâmica de Estruturas 6 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 23 Diferenças entre efeitos de ações estáticas e dinâmicas Introdução à Análise Vibracional de Estruturas 7 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 m k f n n ω π 2 π ω π 2 2 1 n n m k f k m f T n n 1 2π t a u u n est cosω Dinâmica Aplicada em Estruturas de Concreto Eng Sérgio Stolovas para Engenheiros Estruturais Efeitos dinâmicos Ressonância Sismo Modos de vibração Análise modal Amortecimento Time History TQS Introdução à Análise Vibracional de Estruturas 9 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Energia Potencial elástica 2 1 2 k u U 2 0 1 2 k a U Energia Cinética 2 1 2 m v K 2 0 0 1 2 m K ω2 k m acos t u ω 2 cos2 2 t a u ω a sen t d d v t u ω ω 2 2 2 2 t sen a v ω ω 2 0 0 1 2 k a K U K U k const K t U t 25 Oscilações com amortecimento viscoso 10 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 26 Características da Resposta à excitação harmônica de freqüência f de um sistema com freqüência natural nf Para f nf a resposta no estacionário está quase em fase com a força um pouquinho atrasada Introdução à Análise Vibracional de Estruturas 11 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Para f nf a resposta fica atrasada uma fase de ¼ ciclo 90o π 2 Para f nf a resposta está atrasada uma fase de quase ½ ciclo 180 π Muito Importante A freqüência da resposta no estacionário coincide sempre com a freqüência da excitação 12 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Ao cabo de alguns ciclos o transiente apaga e a resposta será a senoidal b com a freqüência da excitação c com amplitude dependente não somente da amplitude P e da rigidez k mas também do amortecimento e da relação entre freqüências de excitação e freqüência própria da estrutura d Com um atraso fase φ Introdução à Análise Vibracional de Estruturas 13 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Em quase todos os casos o interesse será exclusivament e na parte Estacionária da resposta 2 1 2 2 2 φ ω ξ t sen r r k p u t n r ω ω fase r r tg φ ξ φ 2 1 2 2 2 2 2 1 r r u u t amplitude estático ξ 2 2 2 2 1 1 r r ξ 14 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 No estacionário 2 1 2 2 2 φ ω ξ t sen r r k p u t 2 1 2 r r tg ξ φ n r ω ω 27 Controle de resposta xt δst cosωt ϕ 1r²² 2ζr² eζωn tA1 cos1ζ² ωn t A2 sin1ζ² ωn t Estacionária Senoidal Não apaga Transiente Apaga Para r1 xt δst r² ωn² ω² F0 k F0 mω² Resposta controlada pela massa Aumento a massa para aumentar r δst fica na mesma Diminuindo k aumentaria r mas também δst Para r1 xt δst F0 k Resposta controlada pela rigidez Quaseestático Aumento k para diminuir δst Diminui r mas a contribuição não é muito relevante Para r1 xt δst 2ζ Resposta controlada pelo amortecimento O incremento do Amortecimento resulta eficiente somente se estiver perto de ressonância 16 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 RESUMINDO a Quando temos uma excitação harmônica atuando sobre um sistema de um grau de liberdade a resposta estacionária será também harmônica e sempre com a mesma freqüência da excitação sempre atrasada e amplificada ou diminuída b A fase e a amplitude da resposta estacionária estarão influênciadas pelos parâmetros amplitude da excitação rigidez do sistema fator de amortecimento razão entre a freqüência da excitação e a própria do sistema c Em geral estamos interessados somente na resposta estacionária Somente para efeitos de impacto o interesse se centrará na resposta transiente d A superposição de excitações coadjuvantes terá como resposta a soma das respostas resultantes das excitações individuais 28 Introdução à Análise de Fourier A razão pela qual as respostas a excitações harmônicas são tão importantes é que Qualquer excitação relevante poderá ser expressa mediante a análise de Fourier como soma de excitações harmônicas Toda função Ft periódica de período T que cumpra Hipóteses de regularidade Poderá ser expressada da maneira 1 0 sin cos 2 n T n T n t b t n a a F t ω ω T F t dt T a 0 0 2 T T n tdt n F t T a 0 cos 2 ω T T n tdt n F t T b 0 sin 2 ω Introdução à Análise Vibracional de Estruturas 17 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 O que resulta equivalente a dizer que qualquer Ft que cumpra as hipóteses de regularidade poderá se expressar como Ft 2 0a 1 sin n n T n t n C φ ω com 2 2 n n n b a C n n n b φ ar tan a É a média da Função no intervalo É uma combinação linear de infinitas funções harmônicas de freqüências múltiplas da freqüência de Ft w 2w 3w 4w 1 0 sin 2 n n T n t n C a F t φ ω O 1º termo não nulo se chama Hamônico Fundamental n1 e os seguintes Harmônicos Superiores n C é o coeficiente de Fourier para a freqüência T nω e representa a magnitude de Ft nesse Harmônico 1 0 sin cos 2 n T n T n t b t n a a F t ω ω 1 0 sin 2 n n T n t n C a F t φ ω T F t dt T a 0 0 2 2 2 n n n b a C n n b a ar tan 0 φ T T n tdt n F t T a 0 cos 2 ω T T n tdt n F t T b 0 sin 2 ω 18 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Casos simplificados Função periódica Par Função periódica Ímpar 1 0 cos 2 n T n t n a a F t ω 1 0 sin 2 n T n t b a F t ω Soma de COSENOS Soma de SENOS Nestes casos resulta uma Combinação linear de Harmônicos com freqüência Múltipla de T ω e em fase Ft IMPAR 1 0 sin 2 n n T n t n C a F t φ ω sin sin3 sin 2 sin 3 2 1 t n C C C C T n T T T ω ω ω ω K Sawtooth 29 Noção de efeito de harmônicos superiores Dançando na sacada O casal pesa com toda a roupa 130 kg A excitação para o caso da dança com frequência diretriz de 267 Hz será a superposição de 3 componentes harmônicas F1t F2t F3t com frequências f1 267 Hz f2 532 Hz e f3 801 Hz cujas amplitudes serão F1 130x1228 1596 kgf F2 130x0311 404 kgf F3 130x0032 42 kgf Se fn 532 Hz Fator de amplificação 1 2ξ Para ξ 002 esses 404 kgf podem equivaler a Feq404x251010kgf F3t 42 cos5031 t F2t 404 cos3355 t F1t 1596 cos1677 t F0 130 20 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 RESUMINDO a Sistemas de um grau de liberdade submetidos a Histórias Harmônicas de excitação resultam em respostas que podemos calcular cujo estacionário é também Harmônico e cuja freqüência é a freqüência da excitação atrasada e amplificada ou diminuída b Toda excitação periódica com história conhecida pode ser formulada graças a FOURIER como superposição de excitações harmônicas Para obter a resposta ficaria somente somar os efeitos dessas excitações harmônicas Mais na frente veremos que a análise de Fourier pode ser generalizado para excitações que não sejam necessariamente periódicas c O Espectro de Freqüências de uma excitação basta para poder estimar a resposta Para chegar às histórias de resposta exatas deveríamos também conhecer as fases dos diferentes harmônicos da excitação Equações da Análise Vibracional de Estruturas 21 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 3 Equações da Análise Vibracional de Estruturas 31 Oscilações Livres de um sistema de um grau de liberdade com amortecimento viscoso Todo curso de dinâmica deve começar assim o nosso não mas a apostila sim cx kx mx A equação do movimento 0 kx cx mx Df Freqüência Angular Natural m k ωn Df Amortecimento crítico n c m mk c 2 ω Df Fator de amortecimento c c mk c 2 ζ Aos efeitos dos casos habituais na engenharia civil 1 0 ζ As raízes da equação características associadas à equação do movimento serão n S ω ζ ζ 1 2 1 2 A solução geral poderá ser escrita da maneira 0 2 0 2 1 cos 1 2 1 ϕ ω ζ ζω t x e e c e c x t n t S t S t n 2 2 0 0 2 0 0 1 n nx x x x ω ζ ζω 22 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 n n x x x ω ζ ζω ϕ 2 0 0 0 1 0 1 tan Df Freqüência Angular Natural Amortecida n d ζ ω ω 2 1 Sistema de 1 grau de liberdade submetido a excitação harmônica f t kx cx mx f t cx kx mx t F f t cosω 0 st F k δ 0 δst resposta estática sin 1 cos 1 2 1 cos 2 2 2 1 2 2 2 t A t A e r r t x t n n t st n ζ ω ζ ω ζ ϕ ω δ ζω n r ω ω 2 1 1 2 tan r ζr ϕ A1 e A2 dependem das condições inicias A resposta estacionária não depende das condições iniciais Para t suficientemente grande 2 2 2 2 1 cos r r t x t st ζ ϕ ω δ Onde δst é a resposta estática st F k δ 0 Resulta interessante observar que Para r 1 xt δst r² ωn² ω² F0 k F0 mω² Resposta controlada pela massa Para r 1 xt δst F0 k Resposta controlada pela rigidez Para r 1 xt δst 2ζ Resposta controlada pelo amortecimento Ou seja Se um sistema estiver submetido a uma excitação com frequência muito maior que a própria r1 a maneira mais eficiente de diminuir a resposta será incrementando a massa ex turbomáquinas sobre estrutura Se um sistema estiver submetido a uma excitação com frequência muito menor que a própria r1 a maneira mais eficiente de diminuir a resposta será incrementando a rigidez ex efeitos de vento e efeitos de atividades humanas com estruturas não demasiadas flexíveis A resposta é basicamente estática se um sistema estiver submetido a uma excitação em ressonância a maneira mais eficiente de controlar a resposta é mediante o incremento do amortecimento Na realidade mexer com o amortecimento não é simples e resulta um parâmetro difícil de governar assertivamente e com problemáticas especiais para sistemas de mais de um grau de liberdade 24 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 32 Exemplos de Histórias de Resposta Historia de resposta de deslocamento de um sistema com ς005 submetido a excitação harmônica em ressonância r1 ω ωn Historia de resposta de deslocamento de um sistema amortecido submetido a excitação harmônica de baixa freqüência 33 Amplificação dinâmica Equações da Análise Vibracional de Estruturas 25 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 n n st r r X M ζ ω ω ω ω ζ δ A Fase da resposta respeito da excitação ficará determinada por 2 1 2 tan r ζr ϕ 34 Sistema de 1 grau de liberdade submetido a Movimento Harmônico da Base 26 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Seja o deslocamento da base ky cy kx cx x m y c x y k x x m As soluções estacionárias resultam Nos casos particulares de Movimento senoidal e Movimento cosenoidal da Base Para t Y y t sinω sin 2 1 1 2 2 2 2 2 α ϕ ω ζ ζ t r r r t x p Para t Y y t cosω cos 2 1 1 2 2 2 2 2 ϕ α ω ζ ζ t i i i xp t 2 1 1 2 tan r ζr ϕ tan 12 ζr α 35 Fator de Transmissão de deslocamentos devidos a Movimento Harmônico da base 2 2 2 2 2 1 2 1 r r r Y X Td ζ ζ Equações da Análise Vibracional de Estruturas 27 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Sistema de 1 grau de liberdade submetido a excitação periódica Ft kx cx mx Ft de período T Devido a Fourier sin cos 2 1 1 0 n t b n t a a t F n n n n ω ω n t dt F t an cos 2 0 ω τ τ n012 n t dt F t bn sin 2 0 ω τ τ n123 sin cos 2 1 1 0 n t b n t a a kx cx x m n n n n ω ω A resposta estacionária será superposição das respostas estacionárias das n1 equação Equações Respostas 28 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 2 0 0 0 0 a kx cx mx cos n t a kx cx mx n cn cn cn ω n123 sin n t b kx cx mx n sn sn sn ω n123 k a x p t 2 0 0 cos 2 1 2 2 2 2 n n p cn n t nr r n a k t x ϕ ω ζ sin 2 1 2 2 2 2 n n p sn n t nr r n b k t x ϕ ω ζ 2 2 1 1 2 tan n r nr n ζ ϕ m k r n n ω ω ω 1 1 0 n p sn n p cn p h t x t x t x x t x t 1 2 2 2 2 0 2 1 cos 2 n n n n h nr r n t n A k a x t ζ ψ ϕ ω k b a A n n n 2 2 n n n a tan 1 b ψ xh t solução geral da equação homogênea oscilações livres 36 Equações geral do movimento de uma estrutura de n graus de liberdade Desejamos achar a resposta da estrutura a uma excitação Ft Isso significa resolver a equação matricial deslocamentos xt em função da excitação Ft Ft K x C x M x Equações da Análise Vibracional de Estruturas 29 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 nx x x x M 2 1 nx x x x M 2 1 nx x x x M 2 1 2 1 t F t F t F t F n M n m m m M L L O M L 0 0 0 0 0 0 2 1 nn n n n n c c c c c c c c c C L M O M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11 nn n n n n k k k k k k k k k K L M O M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11 Ou seja que equivale a um sistema de n equações cuja equação genérica é 2 2 1 1 2 2 1 1 F t k x k x k x c x c x c x m x i n in i i n in i i i i Em cada equação aparecem deslocamentos de coordenadas diferentes e suas derivadas O que não é nada animador para quem deseja saber o que acontece com o deslocamento para cada uma das coordenas Se pudermos achar uma transformação lineal do tipo z x Φ 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 t z t z t z t x t x t x n nn n n n n n M L M O M M L L M φ φ φ φ φ φ φ φ φ que cumpra que as seguintes matrizes resultem diagonais Φ Φ Τ n j M M M M L M M M L L 0 0 0 0 0 0 1 30 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Φ Φ Τ n j C C C C L M M M L L 0 0 0 0 0 0 1 Φ Φ Τ n j K K K K L M M M L L 0 0 0 0 0 0 1 A substituição de z x Φ z x Φ z x Φ na equação original resultará em F z K z C z M Φ Φ Φ Prémultiplicando por Φ Τ F z K z C z M Τ Τ Τ Τ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Que devido à suposição feita anteriormente ficará da maneira F z K z C z M j j j Φ Τ O O O O O O 0 0 0 0 0 0 Ou seja n equações diferenciais independentes uma equação para cada modo j n i ij i j j j j j j F K z C z z M 1 φ L 321 i Cujas soluções zjt podemos achar já que são equações de movimento de sistemas de 1 grau de liberdade Equações da Análise Vibracional de Estruturas 31 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Uma vez calculadas as funções zj poderemos achar as x 1 z t t x j n j u i φ nn n n n n n n Z t Z t t Z t x t x t x t x φ φ φ φ φ φ φ φ φ M K M M M 2 1 2 22 12 2 1 21 11 1 2 1 Em definitiva se tivermos uma matriz como Φ teremos achado uma maneira simples de chegar à resposta Essa matriz existe e se chama matriz modal Formas modais freqüências modais e matriz modal Começaremos por analisar um sistema livre sem amortecimento cuja equação de movimento é Ο K x M x Procuraremos achar soluções que tenham a forma t b t a com S t S t t S t x t x t x x n n ω ω φ φ φ φ sin cos 2 1 2 1 M M 2 1 2 1 S t t S t x t x t x x n n M M φ φ φ φ 32 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Substituindo na equação do movimento Ο Ο φ φ φ K S t S t M S t K S t M Como 2 S t S t ω Resulta Ο φ ω 2 K S t M O que implica que deverá se cumprir Ο φ ω K 2 M φ ω φ M K 2 ω φ φ 2 1 M K Que é um problema matricial de valores próprios da aplicação lineal definida pela matriz K M 1 φ será vetor próprio dessa aplicação com valor próprio quadrado de ω Da necessidade de existência de soluções não triviais da equação Ο φ ω K 2 M Resulta a equação que proporciona as freqüências chamada também equação característica Ο K 2 M det ω Ο n nn n n n n m k k k k m k k k k m k 2 2 1 2 2 2 22 12 1 12 1 2 11 det ω ω ω L M O M M L L Equações da Análise Vibracional de Estruturas 33 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Esta equação terá a forma 0 0 2 1 1 2 1 2 a a a a N N N N ω ω ω K Ela fornecerá n soluções 2 2 2 2 1 ωn ω ω K E substituindo cada uma delas na equação matricial poderão se obter as formas modais nn n n n n n φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ M L M M 2 1 2 22 12 2 1 21 11 1 Df Matriz Modal Φ nn n n n n φ φ φ φ φ φ φ φ φ L M O M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11 Df Matriz Espectral Ω 2 2 2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 n ω ω ω L M O M M L L Resulta fácil de demonstrar que dadas 2 formas modais com freqüências diferentes nm m m m φ φ φ φ M 2 1 np p p p φ φ φ φ M 2 1 m p m p ω ω cumprese 0 Τ p m K φ φ 0 Τ p m M φ φ 34 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Que são as condições de ortogonalidade respeito a K e a M definindo j j j M M Τ φ φ j j j K K Τ φ φ Mj e Kj números reais Da condição de ortogonalidade Φ Φ Τ n j M M M M L M M M L L 0 0 0 0 0 0 1 Φ Φ Τ n j K K K K L M M M L L 0 0 0 0 0 0 1 Isto é suficiente para dizer que podemos mediante a transformação modal diagonalizar a equação de um sistema não amortecido com ou sem excitação Para poder fazer a separação da equação geral do movimento mediante a transformação 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 t z z t t z t x x t t x n nn n n n n n M L M O M M L L M φ φ φ φ φ φ φ φ φ Teria que se cumprir Φ Φ Τ n j C C C C L M M M L L 0 0 0 0 0 0 1 Equações da Análise Vibracional de Estruturas 35 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Isso se cumprirá somente se C for combinação lineal de M e K a K a M C 2 1 Em geral esta condição não se cumpre Assumese como hipótese e se diz que se supõe que o amortecimento não é somente viscoso mas também que cumpre a Hipótese de Rayleigh Para estruturas habituais esta suposição permite atingir resultados aceitáveis Para estruturas que possuem mecanismos de dissipação de energia localizados ou não uniformemente distribuídos de acordo à massa e ou à rigidez a Hipótese pode estar longe de ser aceitável Nesses casos assumir como nulos os elementos que ficam fora da diagonal da transformada da matriz de amortecimento leva a resultados errôneos Um caso no qual a estrutura se afasta da condição de Rayleigh é nos modelos nos quais se incorpora o solo Os elementos que são de material solo incorporados à estrutura levam a matrizes de amortecimento modal com muitos elementos não nulos fora da diagonal principal Outro caso é quando se realiza controle estrutural mediante dissipadores localizados seja na base ou na superestrutura Esses e outros casos fogem do escopo da análise modal como está sendo formulada e devem se estudar por meio de modos de vibração complexos que permite estender um pouco mais o alcance da análise linear ou optar por trabalhar com metodologias de integração numérica da equação do movimento Para os casos nos quais se cumprem as hipóteses de regularidade do amortecimento teremos conseguido separar as equações do movimento ij n i i j j j j F K z C z M z φ 1 L 321 j Vemos que todo resulta consistente já que se os j ω cumprem j j j M K φ ω φ 2 Resultará que j j j M j j j K j j M K M K j j Τ Τ 2 2 ω φ ω φ φ φ 14243 14243 Com o qual a significação do j ω é a de freqüência angular própria do modo j 36 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Daí que será consistente definir a taxa do amortecimento modal do modo j j j j j M C ω ζ 2 Os vetores modais jφ constituem uma base do espaço dos vetores de dimensão n por isso se pode afirmar que qualquer vetor desse espaço poderá se escrever de maneira única como combinação deles Em particular a perturbação Ft nj j j n j j nn n n n n n n f t t t t F t F t F t F φ φ φ α φ φ φ α φ φ φ α φ φ φ α M M K M M M 2 1 1 2 1 2 22 12 2 1 21 11 1 2 1 Devido à ortogonalidade dos modos de vibração Τ Τ Τ Τ n i ij n i ij j j j j j j j j j F F t t t t F 1 1 φ φ φ φ φ α φ φ α φ Se os modos estivessem normalizados de maneira que Τ n i ij j j 1 2 1 φ φ φ Resultaria que as forças modais coincidiriam com as coordenadas da força na base conformada pelos vetores modais Analisemos a resposta de uma perturbação harmônica senoidal generalizada t F F F t F t F t F t F n n ω cos 2 1 2 1 M M Equações da Análise Vibracional de Estruturas 37 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Aplicando a transformada modal t F K z C z z M n i ij i j j j j j j ω φ cos 1 L 321 j Sendo que para cada j a equação anterior é de um grau de liberdade zj para cada modo teremos que a resposta estacionária será 2 2 2 2 1 2 1 cos j j j j j i n i ij j j r r M t F z t ζ ω ϕ ω φ Onde j r ω ω 2 1 1 2 tan j j j r ζ r ϕ Substituindo resultará que a história estacionária em coordenadas geométricas será n j nj j j j j j j j i n i ij j n r r M t F t x x t t x t x 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 cos φ φ φ ζ ω ϕ ω φ M M Existem 2 motivos pelos quais podemos afirmar que a resposta transiente carece de importância A Para as taxas comuns de amortecimento nas estruturas civis o termo transiente apaga rapidamente B A definição matemática da excitação assume que a mesma surge de maneira repentina com a freqüência ω quando na maioria dos fenômenos reais se trata de um processo que leva vários ciclos até atingir essa freqüência com o qual a parte transiente da formula da resposta não estaria dando cobertura do que realmente acontece nesses primeiros ciclos na estrutura real 38 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 O único caso no qual a resposta transiente é a determinante é quando um fenômeno impulsivo é representado como uma serie de Fourier ou seja como combinação de harmônicos Nesses casos são justamente das respostas transientes que será composta a parte principal da resposta Interpretação energética das formas modais Dada uma historia de deslocamentos qualquer xt a expressão da Energia Cinética será da estrutura M x x m x m x m x E n n k L Τ 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A energia potencial elástica será K x x Ep Τ 2 1 Se a partir de uma forma modal φ com freqüência própria ω gerarmos uma historia que cumpra t x φ cosω Teríamos a oscilação harmônica do sistema em uma forma modal que é uma forma de oscilação livre do sistema A história das Energias cinética e potenciais serão t M Ek ω φ φ ω 2 2 sin 2 1 Τ t K Ep ω φ φ cos2 2 1 Τ Supondo que o sistema não está amortecido resultará que o sistema será conservativo com o qual a energia cinética máxima será igual à energia potencial máxima e daí resultará que para uma forma modal φ cuja freqüência modal seja ω se cumprirá que φ φ φ ω φ K M Τ Τ 2 Comentário A esta igualdade podemos chegar diretamente a partir da condição que define a forma modal φ ω φ M K 2 Equações da Análise Vibracional de Estruturas 39 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Metodologia geral de obtenção das freqüências e formas modais Sistema livre sem amortecimento Ο K x M x 2 1 2 1 S t t S t x x t t x x n n M M φ φ φ φ t b t a S t ω ω sin cos 2 S t S t ω Ο K 2 M det ω Ο n nn n n n n m k k k k m k k k k m k 2 2 1 2 2 2 22 12 1 12 1 2 11 det ω ω ω L M O M M L L 0 0 2 1 1 2 1 2 a a a a N N N N ω ω ω K Ο S t K S t M φ φ Ο φ K S t S t M Ο φ ω 2 K S t M Ο φ ω K 2 M n raízes positivas 2 2 2 2 1 ωn ω ω K nn n n n n n φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ M L M M 2 1 2 22 12 2 1 21 11 1 37 Metodologias de cálculo Aproximado 371 Método de Rayleigh Para uma certa estrutura dado um certo vetor deslocamento generalizado x se define o Quociente de Rayleigh como 40 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 M x x K x x x R Τ Τ Pode ser demonstrado que sempre 2 1 2 n R x ω ω Se x for parecido a uma forma modal R x resultará uma aproximação do quadrado da freqüência angular própria associada ao modo em questão No caso que a gente esteja aproximando ao primeiro modo saberemos que a aproximação da freqüência será sempre por excesso Ou seja Se conheço uma forma modal posso saber qual é a sua freqüência j j j j j T j j j T j M K M M K K 2 ω φ φ φ φ Posso calcular a partir da matriz K ou diretamente calculando a energia elástica do modo Duas vezes a energia elástica da estrutura quando está na deformação modal na deformação máxima j j K F φ i ij ij j T j j F K F φ φ φ Duas vezes a energia Entregue pela força para atingir a posição modal Se tivermos alguma deformação parecida com uma forma modal poderíamos achar uma aproximação da freqüência da forma jφ j T j j T j i M K φ φ φ φ ω 2 Equações da Análise Vibracional de Estruturas 41 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 372 Método de Dunkerley É um método para achar aproximadamente e de maneira simples a freqüência natural freqüência do 1º modo de uma estrutura de vários graus de liberdade Seja a matriz de flexibilidade de um sistema a K 1 Os elementos da diagonal principal da matriz de flexibilidade são ann a a 22 11 K Estes valores representam o deslocamento generalizado para cada grau de liberdade quando se aplica uma força generalizada unitária na direção da coordenada desse grau de liberdade A fórmula de Dunkerley na sua expressão mais habitual enuncia que n nn n a m a m a m L L 2 22 1 11 2 2 2 2 1 1 1 1 ω ω ω As freqüências dos modos superiores K 3 2 ω ω das estruturas habituais resultam bem maiores que a freqüência do primeiro modo 1 ω com o qual será uma aproximação razoável annmn a m a m L 2 22 1 11 2 1 1 ω Por outra parte se conhecermos exatamente a freqüência do 1º modo a fórmula de Dunkerley serve para poder aproximar a freqüência do 2º modo Se conhecermos p freqüências modais primária a formula de Dunkerley permitira atingir uma aproximação da freqüência seguinte 42 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 373 Método de Newmark Stodola Vianello Método iterativo 1chutase uma forma modal 2Calculase as forças inerciais divididas entre 2 ω DAlembert Equilíbrio dinâmico 1 iV 2 φiω i m m x F iV 0 1 i i V V m a 4Obtémse a partir de 3 a deformação associada aos cortantes i i i i i i F F 2 2 2 2 2 ω φ φ ω ω ω 3Calculase os cortantes dividos entre ω2 a partir de 2 374 Fórmulas aproximadas usuais que se derivam do método de Rayleigh 3741 Expressão habitual da fórmula de cálculo aproximado da freqüência natural de uma estrutura em balanço O método de Rayleigh vide 271 se baseia em assumir uma forma aproximada para um certo modo modo j e a partir dela achar a freqüência fundamental considerando que se a forma assumida for suficientemente parecida à forma modal j verdadeira a fórmula que daria a freqüência modal angular do modo j também resultará aproximada j T j j T j j M K φ φ φ φ ω 2 Equações da Análise Vibracional de Estruturas 43 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Em geral veremos que a utilidade essencial da aplicação do método de Rayleigh se centra em achar a freqüência natural do modo fundamental 1º e não de qualquer modo j Aos efeitos de simplificar a notação chamemos aos deslocamentos da aproximação adotada para o modo fundamental 1δ Em principio a aproximação da forma modal dada pelos deslocamentos 1δ 2 δ n δ adotada poderia ser qualquer deformada da estrutura que resulte compatível com os vínculos Como temos visto se a forma modal aproximada é a deformada resultante da aplicação de um sistema de forças 1F 2 F n F da definição mesma da matriz de rigidez K resulta n F F F M 2 1 K n δ δ δ M 2 1 Com o qual a expressão da freqüência angular aproximada adquire uma forma bastante simplificada n i i i n i i i m F 1 2 1 2 δ δ ω A escolha das forças pode ser qualquer sistema 1F n F Como resulta razoável se em lugar de adotar um certo sistema de forças adotamos um sistema proporcional iF h iF ao mesmo o resultado da freqüência não mudará já que numerador e denominador ficariam multiplicados pelo mesmo numero quadrado de h 44 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Em particular poderão se adotar as forças proporcionais às massas Em particular o coeficiente de proporcionalidade poderá ser tal que o módulo de iF seja calibrado em mi g ou seja o peso associado à massa associada a coordenada i mas aplicada na direção da coordenada i não necessariamente na vertical Sendo assim para essa escolha das forças iF poderemos escrever m g P F i i i Com o qual n i i i n i i i n i i i n i i i P P g g P P 1 2 1 1 2 1 2 δ δ δ δ ω Em geral a deformada que resulta da aplicação dos pesos resulta uma boa aproximação do 1º modo com o qual a fórmula anterior fornece um caminho simples de achar uma aproximação da freqüência angular do 1º modo Essa aproximação como qualquer aproximação da freqüência obtida a partir de formulas que derivam do método de Rayleigh será sempre por excesso A expressão da aproximação da freqüência fundamental em Hz resulta n i i i n i i i P P g f 1 2 1 2 1 δ δ π A expressão da aproximação do período fundamental em segundos resulta n i i i n i i i P g P T 1 1 2 2 δ δ π Estas expressões estão sempre presentes nas normas de vento e de sísmica para o calculo da freqüência e o período fundamental de estruturas em balanço A praticidade das mesmas está em ponderar os parâmetros dinâmicos da estrutura em questão mediante cálculos estáticos aos quais os engenheiros estão habituados Equações da Análise Vibracional de Estruturas 45 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 3742 Fórmula de cálculo aproximado da freqüência natural de uma viga simplesmente apoiada Calculase a deflexão máxima Δ da viga submetida ao peso associado à massa distribuída A aproximação da freqüência natural fundamental será nf 18 1000 18 2 4 Δ Δ wL gEl fn π mm Hz fn Δ Observese que resulta que a freqüência natural será função exclusivamente da deflexão máxima Por exemplo 46 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 4 Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 41 Introdução à problemática dos projetos de estruturas que sustentam máquinas Para toda estrutura existe um parceiro do qual jamais conhecemos o suficiente e cuja influência pode ser critica no desempenho da mesma O solo a fundação da estrutura por cima e em interação com o solo sempre vira um fator crítico mesmo se for o caso de estruturas submetidas a cargas estáticas A interação com o solo para estruturas analisadas estaticamente é um tema muito discutido mas com uma solução mais ou menos aceita que resulta da suposição elástica da resposta do mesmo e a substituição das restrições do solo sobre a estrutura por molas Mesmo que a resposta estática do solo esteja ligada ao tamanho das fundações mesmo que ninguém duvida que dentro do solo exista interação entre as fundações a representação do solo como molas nos nossos modelos resulta uma boa opção e melhor ainda se for o caso que alguém forneça para nós valores de coeficientes de mola que sejam confiáveis Nos problemas estáticos poderíamos também ante a duvida testar uma faixa larga de coeficientes de mola e saber se a solução do nosso modelo é estável A interação dinâmica soloestrutura é um tema muito mais complexo já que na interfase fundaçãosolo existe uma via de escape de energia Mediante ondas de propagação o solo se comporta como o conduto pelo qual uma quantidade nada depreciável de energia vai embora amortecendo os efeitos dinâmicos da estrutura que sustenta Mas também existe a possibilidade que as condições do solo sejam susceptíveis de ressonar devido à excitação ou também pode que o solo esteja sintonizado com a estrutura e resulte em um fator de amplificação de efeitos impulsivos Se isso não for pouco podemos ter a certeza que as propriedades de amortecimento do solo são bem diferentes que as da estrutura o que invalida a suposição de amortecimento de Rayleigh na qual se sustenta a análise modal clássica linear Com isso vemos que para efeitos dinâmicos não resulta suficiente substituir a presença do solo por molas confiáveis A pergunta científica deveria ser proposta em termos de como abordar o problema da maneira mais realista Possivelmente o modelo deveria ser tal que leve em conta uma resposta do solo dependente da freqüência Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 47 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 A pergunta do engenheiro será como contornear o problema e ainda obter uma solução confiável Quando as cargas transmitidas ao solo são originadas em excitações dinâmicas os critérios devem se adequar às características da excitação e da maquinaria Para maquinaria de massa maior e com desbalanceamentos significativos a resposta do solo pode ser tal que afetem seriamente o funcionamento das mesmas O projeto da estrutura de sustentação de máquinas deve estar sempre orientado a fazer que a freqüência fundamental da mesma esteja o mais afastada possível da freqüência operacional da máquina 42 Classificação dos tipos de máquina De acordo à periodicidade das excitações Máquinas que geram excitações cíclicas Máquinas que geram excitações que não são cíclicas Para os casos de máquinas que geram excitações cíclicas Máquinas de Baixa Freqüência motores diesel bombas Máquinas de Média Freqüência motores diesel intermediários Máquinas de Alta Freqüência turbogeradores turbinas de vapor Outra classificação de interesse será de acordo ao mecanismo que gera a excitação Máquinas Rotativas Máquinas com partes que oscilam Máquinas com partes que geram impacto 43 Classificação dos tipos de bases executadas em concreto armado A Blocos maciços de concreto Caracterizamse por admitir basicamente seis modos de vibração deslocamento na direção horizontal x deslocamento na direção horizontal y deslocamento na direção vertical z giro com eixo na direção horizontal x 48 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 giro com eixo na direção horizontal y giro com eixo na direção vertical z São adotados para casos de maquinarias de baixa e média freqüência Dependendo do tipo de solo se terá ou não sintonização com as freqüências da excitação A presença da massa própria procura incrementar a inércia global do sistema Para solos moles a grande massa resulta em freqüências naturais baixas que propiciam deslocamentos indesejáveis Em geral para solos moles e freqüências medias será impossível afastar a freqüência do sistema da faixa de freqüência da excitação A incorporação de estacas pode controlar a freqüência da vibração vertical e o deslocamento mas na horizontal resulta difícil garantir o bom desempenho sem executar estacas inclinadas B Lajes de Fundação Se a laje de fundação for suficientemente grande centrada e relativamente rígida permite controlar todos os deslocamentos menos o vertical que vira a única coordenada relevante O campo de aplicação é similar ao da fundação por Bloco C Pórticos Apresentam uma excelente combinação das vantagens estruturais e funcionais para máquinas de alta freqüência para as quais se deve também propiciar o acesso de conexões por baixo das mesmas Na medida em que se atinjam freqüências naturais baixas se garante um afastamento das freqüências operacionais o que significa baixas respostas Deve ser ressaltado que no caso de excitações verticais a resposta poderá continuar sintonizada dependendo do tipo de solo Como já foi mencionado o campo de aplicação será o das máquinas de alta freqüência como é o caso das turbomáquinas 44 Análise de Estruturas que sustentam Máquinas Rotativas 441 Características da excitação Exemplos de este tipo de máquinas são Turbinas Geradores Motores Elétricos Redutores Enroladeiras Picadores Bombas Centrífugas Ventiladores Redutores etc Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 49 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 O denominador comum delas é a presença de um elemento em comum o rotor que gira em torno a um eixo As excitações são geralmente resultados do fato que o centro de massa do rotor é excêntrico ao eixo de rotação Ou seja que por alguma razão o centro de massa do rotor não fica exatamente no eixo Ele está girando arredor do eixo ou seja que o rotor está desbalanceado Sempre existe um certo desbalanceamento e ele cresce com a idade do equipamento geralmente devido ao desgaste Pode também se dar abruptamente quando uma peça quebra e se desprende do rotor hélice de uma turbina ou ventilador ou uma faca de um picador Exemplo de máquina rotativa Rotor de desfibrador de cana Massa 30 t Freqüência 15 Hz 50 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 442 Efeito de rotor desbalanceado Uma massa m obrigada a seguir uma trajetória circular de raio r com velocidade angular uniforme ω estará submetida a uma aceleração r ω2 radial Um rotor desbalanceado tem o centro de massa excêntrico ao eixo de rotação e isso equivale a dizer que o centro de massa do rotor está sendo obrigado a seguir uma trajetória circular de raio a excentricidade e com centro na projeção normal do centro de massa sobre o rotor A ação do eixo devido à excentricidade do rotor sobre o rotor será r m F ω2 radial para dentro e a reação sobre o eixo será r m F ω2 para fora Esta força radial para fora é a que será transmitida à estrutura e resultará em uma excitação normal ao eixo que se pode descompor em 2 excitações respeito a 2 direções ortogonais no plano normal ao eixo Essas excitações terão freqüência angular ω e a fase entre elas será de um quarto de ciclo Observese que os efeitos de desbalanceamento se reconhecem devido a que as amplitudes vão crescendo com o quadrado da velocidade de rotação Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 51 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Os dados necessários para definir as funções mecânicas do rotor desbalanceado deveriam ser apresentados pelo fornecedor do equipamento Às vezes os fornecedores subministram os dados de maneira explicita como uma certa força correspondente à freqüência de operacional do rotor Outras vezes dão também componentes para harmônicos superiores coeficientes de Fourier da função mecânica na medida em que existam efeitos impulsivos relevantes Em muitos casos o fornecedor pode nem saber esses dados e será necessário estimar a excentricidade do rotor Nesse caso será necessário saber pelo menos qual é a massa do rotor A excentricidade pode ser estimada de acordo aos valores da tabela da ISO 1940 adjuntos no parágrafo seguinte O fornecedor deverá subministrar também as solicitações relacionadas a cargas associadas a eventos singulares Um deles é o de breakdown que resulta no incremento excepcional das forças cíclicas transmitidas aos mancais Se esse dado não estiver na documentação podem se adotar os valores inclusos na norma DIN 4024 De acordo às mesmas será assumida uma força quaseestática equivalente a 15 vezes a força de desbalanceamento para a 1ª velocidade crítica do elemento critico relevante por exemplo da hélice de uma turbina Quando os dados não estiverem explícitos será necessário aprofundar nos fatores relevantes que ocasionam estas cargas excepcionais Efeitos de curtocircuito de motores geradores resultam em pares de forças Elas provocam forças com componente vertical e horizontal nos planos normais aos eixos dos rotores Tratase de forças impulsivas que são majorados de acordo á critérios do fabricante e considerados na análise como forças quaseestáticas A verificação em serviço do equipamento é geralmente nos mancais de acordo a limitação de deslocamentos velocidades ou acelerações Resulta conveniente receber quais são esses limites do mesmo fornecedor do equipamento Nos casos nos quais esses dados não estão a nossa disposição teremos que estimar o desempenho da base de acordo a parâmetros determinados na bibliografia técnica vide Anexo B Resulta sempre conveniente notificar as partes interessadas sobre o fato que em ausência de dados do fornecedor se está realizando a avaliação de acordo a parâmetros referenciais que não foram especificados pelo fabricante 52 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Nos modelos estruturais a massa da maquinaria será representada como concentrada no centro de gravidade da mesma e vinculada de maneira infinitamente rígida à estrutura Deve ser ressaltado que se a estrutura própria da maquinaria tiver flexibilidade relevante o esquema estrutural da máquina deve ser incorporado no modelo da estrutura que sustenta o equipamento já que a interação entre elas afetará de a resposta Casos típicos nos quais será necessário levar em conta esses efeitos são nas maquinarias de fabricas de papel e de tecidos As enroladeiras apresentam uma dificuldade suplementar devido a que a massa real do rotor se compõe do cilindro que enrola o rotor mesmo e da massa do filme enrolado já que todo gira junto O filme papel tecido etc é muitas vezes mais de 90 da massa quando o tubo está completamente enrolado Com isso temos que a massa do rotor vai crescendo à medida que enrola e a excentricidade resultante depende da tensão à qual o filme é enrolado e de características especificas e não uniformes do material Estimar a excentricidade assertivamente resulta quase impossível como também resulta impossível extrapolar comportamentos com materiais diferentes São os casos mais ferozmente instáveis já que as freqüências estão muitas vezes sintonizadas com as freqüências naturais da estrutura que as sustenta e os resultados são fáceis de apreciar nas fábricas de papel 443 Valores da Força devida à Excentricidade de Rotores de acordo a ISO 1940 Estes valores são usados para definir a força harmônica 1º harmônico da excitação aos efeitos do dimensionamento das estruturas que sustentam as máquinas rotativas 1000 ω2 ω S Q m F op r u N u F amplitude da força em Newton Q valor estipulado na 2ª coluna da tabela mms em função do tipo de rotor S 25 vezes Coeficiente de amplificação normalizada op ω freqüência angular operacional do giro do rotor ω freqüência angular do rotor para a qual se realiza o cálculo da força Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 53 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Excentricidade X Freq Ang Tipos de Rotores QUALIDADE Q mm s G1600 1600 Árvore de manivelas de motores grandes de 2 tempos rigidamente montados G630 630 Árvore de manivelas de motores grandes de 4 tempos rigidamente montados G250 250 Árvore de manivelas de motores diesel rápidos de 4 tempos rigidamente montados G100 100 Árvore de manivelas de motores diesel rápidos com mais de 6 cilindros G40 40 Árvore de manivelas de motores rápidos com mais de 4 tempos com 6 ou mais cilindros com montagem flexivel G16 16 Árvore de manivelas de motores com 6 ou mais cilindros com requisitos especiais Eixo de propulsão com requisitos especiais Eixo de cardan com requisitos especiais Partes de Máquinas de Moagem Partes de Máquinas Agrícolas G63 63 Componentes individuais de motores com requisitos especiais Partes de máquinas industriais Tambores centrífugos Ventiladores Rotores de Bombas Partes de maquinarias em geral G25 25 Turbinas Rotor de turbo gerador Rotores em geral Turbo compressor Turbo bombas 54 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Observação Árvore de manivelas virabrequim girabrequim crankshaft 444 Caracterização de projeto estrutural de bases para máquinas rotativas de baixa e media freqüência 1 Fundação em Bloco Rígido sobre estacas ou lajes de fundação não existe uma possibilidade de evitar eficientemente a sincronização 2 Bases em Bloco Rígido de máquinas rotativas A Altura 02 x Largura Altura 01 x Comprimento B Largura 1 a 15 x altura do centro de gravidade da maquina respeito à base da fundação C Massa do bloco 15 a 25 x Massa da Máquina D As estacas são projetadas de maneira que não estejam carregadas alem da METADE da carga admissível E O centro elástico das estacas deve ficar na mesma vertical que o centro de gravidade MaquinasFundação F Usar estacas inclinadas para rigidizar Observação Vide interação soloestrutura de acordo a 46 47 445 Características do roteiro de projeto estrutural de Bases para máquinas rotativas de alta freqüência caso das turbomáquinas Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 55 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Adaptação de Design of Structures and Foundations for Vibrating Machines Suresh Ária Michael ONeil George Pinkus a Caracterização da estrutura sustentadora típica Estruturas de pórticos de concreto armado ou laje com buracos Muitas vezes resulta importante levar em conta a interação solo estrutura Subsincronizadas fh1fop nas direções Horizontais Dependendo do solo poderá ser Sobresincronizadas fv1fop na Vertical depende do tipo de solo e também do modelo que o engenheiro adota b Etapas preliminares b1 Definição de Cargas resulta importante fazer esta analise preliminar para poder prédimensionar adequadamente 1 Peso Próprio 2 Peso da Máquina incluindo as partes rotativas 3 Peso de equipamentos auxiliares 4 Torque operacional de cada um dos componentes é um momento arredor do eixo de acordo ao sentido de rotação do rotor e não introduz cortantes globais na estrutura 5 Momentos de CurtoCircuito de natureza impulsiva Devem ser tomados no sentido positivo e negativo em respeito à rotação operacional 6 Efeitos radiais de desbalanceamento de rotores 7 Forças de empuxo de vácuo na turbina o condensador puxa para abaixo a turbina 8 Forças de empuxo de vácuo no condensador empurra o gerador para cima c Prédimensionado recomendações para prédimensionado Pilares Tensões quase iguais para carga vertical estática Devem poder sustentar 6 vezes a carga vertical estática Espaçamento entre pilares no possível não maior que 36 m Isso diz o livro mas na realidade em turbogeradores grandes se chega a vãos de 7 ou mais metros Vigas e Laje Superior L h5 Deslocamento devido à carga estática vertical menor 0005 cm 50 μm Vãos menores que a alturas dos pilares 56 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Rigidez 2 vezes a das colunas Massa Massa da estrutura incluindo a base deve ser maior que 3 vezes à da maquinaria Para maquinas alternativas mais de 5 vezes Massa da laje e vigas não menor que a do equipamento Carga estática As solicitações no solo ou estacas para cargas estáticas não devem ultrapassar a metade dos valores admissíveis A excentricidade da carga vertical estática incluindo o peso próprio respeito ao centro de gravidade da base centro elástico não deve ultrapassar os 30 cm O peso do equipamento a laje que o sustenta deve estar centrado respeito aos pilares que os sustentam centro elástico Sendo Peq o peso do equipamento se geram três estados de carga carga vertical total 05 Peq atuando na direção vertical carga vertical total 03 Peq atuando na direção lateral carga vertical total 01 Peq atuando na direção longitudinal Para cada um destes estados o deslocamento deve ser menor que 005 cm Freqüência individual própria de cada pilar deve ser maior que 2 vezes a maior freqüência operacional do equipamento Evitar ressonância em modos superiores que não estarão cobertos pela análise dinâmica e que resultam em emissões acústicas induzidas pela estrutura Em geral não acontece em bases de concreto e resulta muito comum em pilares metálicos d Análise Dinâmica O amortecimento a ser adotado será na faixa de 0 025 0 01 máx mín ξ ξ Em turbomaquinas a freqüência mais alta de excitação corresponde ao do eixo eixos da das turbina s Resulta importante que a quantidade de modos incorporados à análise atinja pelo menos até uma freqüência 10 maior que a freqüência operacional de qualquer turbina para assim assegurar que foram levados em conta todos os modos susceptíveis de entrar em ressonância Isso implica as vezes levar em conta até mais de 200 modos Muitas vezes deveremos reformular o nosso modelo estrutural para despojar ele de apêndices flexíveis que geram modos de vibração irrelevantes que obstaculizam atingir a cobertura dos modos excitáveis Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 57 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 d1 Avaliação da resposta no Estado operacional de serviço importância funcional relacionada à avaliação do cumprimento das normas exigências do fabricante mitigação de problemas sensitivos respeito a seres humanos ou outras maquinarias etc d2 Avaliação no Estado operacional limite para dimensionamento das partes estruturais d3 Estados transientes assumidos como estacionário para cada freqüência intermédia ou seja timehistory de respostas estacionárias em freqüências operacionais intermédias d4 Os estados excepcionais determinados pelo fabricante ruptura de alguma peça crítica curtocircuito e outros são definidos em geral na base de formulação de estados estáticos de carga e Verificações suplementares e1 Para fundação superficial a excentricidade em planta da resultante da carga total dinâmica e estática incluindo o peso da fundação não deverá ultrapassar L200 Ldimensão da base na direção onde está medida a excentricidade Reações do solo Para cargas estáticas ad e σ σ 50 Para cargas dinâmicas e dyn σ σ 51 Para cargas estáticas e dinâmicas ad dyn e σ σ σ 0 75 e2 Freqüência operacional fop deve cumprir n op f f 21 fn principal relevante n op f f 80 principal relevante Em turbomáquinas geralmente n op f f 21 principal relevante e3Freqüência natural fundamental individual de qualquer elemento op i f f 2 ou op i f f 50 e4Fadiga 58 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Para estruturas de concreto se há inversão de tensão e as amplitudes são elevadas com as tensões de pico atingindo 50 da tensão admissível as armaduras devem ser projetadas de acordo aos parágrafos da norma relativos à fadiga No Anexo F pode se consultar uma revisão de diretivas de verificação de fadiga de acordo à Norma ABNT NBR 61182003 e também algumas observações e sugestões sobre possíveis maneiras de simplificar a metodologia de verificação Deve ser ressaltado que a exigência de uma vida útil da estrutura cuja quantidade de ciclos resulte em uma flexibilização significativa da estrutura implicaria que a resposta dinâmica da estrutura à excitação também se verá submetida a mudanças Em geral o respeito às recomendações de prédimensionamento permite evitar tais situações e justifica o fato que elas não são exageradas como parecem Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 59 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 45 Exemplo de Análise dinâmica da estrutura que sustenta uma Unidade de Compressão de Oxigênio Item Rotor Mass r m kg RPM CyclesSec Hz Period Sec Ang Freq ωoop Radsec Unbalanced Force Amplitude At Operational Speed u op F kgf RPM60 60RPM 2 60 π RPM 1600 op mr ω BULL GEAR 1350 1792 30 003348 188 158 MOTOR ROTOR 4350 1792 30 003348 188 511 1st 2nd STAGE 42 29120 485 000206 3048 80 3rd 4th STAGE 43 29120 485 000206 3048 82 5th6th STAGE 52 23296 388 000258 2437 79 COUPLING 300 1792 30 188 1000 ω2 ω S Q m F op r u N mm s Q 52 52 S 1000 6 25 52 52 1000 1000 op r op r r u op m m S m Q F op ω ω ω N 1600 10000 6 25 op r op r m kgf m ω ω Perturbation RPM Amplitude tf Period Sec T DELAY 0t Sec t0 0 for Hor T t 0 0 25 for Vert Remarks About the way the dynamic load was defined 60RPM 1 Motor Rotor Horiz 1792 0511 003348 0 AmpStatic LC 2 2 Motor Rotor Vert 1792 0511 003348 000837 AmpStatic LC 3 3 Bull Gear Horiz 1792 0158 003348 0 AmpStatic LC 4 4 Bull Gear Vert 1792 0158 003348 000837 AmpStatic LC 5 5 Stages Horiz 29120 0082 000206 0 AmpStatic LC 6 6 Stages Vert 29120 0082 000206 000052 AmpStatic LC 7 Resumo de dados relevantes e a definição analítica das excitações associadas da Unidade de Compressão de Oxigeno 60 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Item Rotor Mass r m kg RPM CyclesSec Hz Period Sec Ang Freq ωoop Radsec Unbalanced Force Amplitude At Operational Speed u op F kgf RPM60 60RPM 2 60 π RPM 1600 op mr ω BULL GEAR 1350 1792 30 003348 188 158 MOTOR ROTOR 4350 1792 30 003348 188 511 1st 2nd STAGE 42 29120 485 000206 3048 80 3rd 4th STAGE 43 29120 485 000206 3048 82 5th6th STAGE 52 23296 388 000258 2437 79 COUPLING 300 1792 30 188 1000 ω2 ω S Q m F op r u N mm s Q 52 52 S 1000 6 25 52 52 1000 1000 op r op r r u op m m S m Q F op ω ω ω N 1600 10000 6 25 op r op r m kgf m ω ω Perturbation RPM Amplitu de tf Period Sec T DELAY 0t Sec t0 0 for Hor T t 0 0 25 for Vert Remarks About the way the dynamic load was defined 60RPM 1 Motor Rotor Horiz 1792 0511 003348 0 AmpStatic LC 2 2 Motor Rotor Vert 1792 0511 003348 000837 AmpStatic LC 3 3 Bull Gear Horiz 1792 0158 003348 0 AmpStatic LC 4 4 Bull Gear Vert 1792 0158 003348 000837 AmpStatic LC 5 5 Stages Horiz 29120 0082 000206 0 AmpStatic LC 6 6 Stages Vert 29120 0082 000206 000052 AmpStatic LC 7 Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 61 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Descrição do modelo estrutural associado à Unidade de Compressão de Oxigeno 62 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Listado de modos períodos próprios de vibração da estrutura Observese que o modo 100 possui período modal T100 0 00158 ou seja que a freqüência modal do modo 100 será 11 485 633 100 Hz f ou seja 10 maior que a máxima freqüência operacional de qualquer rotor Com isso se garante a cobertura na análise de resposta de todos os efeitos de amplificação dinâmica Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 63 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 46 Modelo de interação dinâmica soloestrutura para Fundação Direta Rígida de máquinas Considerando o conjunto máquinasfundação como infinitamente rígido a analogia mais simples seria representar o sistema soloestrutura como um sistema massamola amortecido Para isso deveremos definir 6 coeficientes de mola um para cada um dos graus de liberdade x K y K z K φ K ψ K θ K x K y K são os coeficientes de mola horizontais nas direções x e y respectivamente z K é o coeficiente de mola vertical φ K ψ K são os coeficientes de mola de balanceio ao redor dos eixos x e y respectivamente θ K é o coeficiente de mola de torção respeito ao eixo vertical z A maior dificuldade radica em achar valores confiáveis para esses parâmetros e também para os amortecimentos A massa a ser considerada será a massa total do conjunto máquina fundação De fato pode se intuir que uma porção do solo em contato com a fundação vibrará solidariamente com a mesma Isso implicaria que essa massa adicional deveria ser considerada como parte da massa do oscilador Assumese na prática que essa massa do solo é suficientemente pequena para ser desconsiderada 64 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Os coeficientes de mola são determinados por meio de resultados baseados na Teoria do Semi Espaço elástico considerando que a fundação se encontra a pouca profundidade respeito à superfície do solo A profundidade começa a ser relevante quando a mesma atinge valores próximos às dimensões horizontais da fundação Para valores maiores de profundidade os valores das freqüências naturais se veriam significativamente afetados Nessas hipóteses os valores dos coeficientes de mola dependerão de parâmetros geométricos da fundação e de valores que caracterizam o solo Essas propriedades que caracterizam o solo serão levadas em conta pelos parâmetros ν Relação de Poisson G Módulo de Distorção módulo de Corte módulo cisalhante shear modulus Estes parâmetros deverão ser fornecidos pelo Engenheiro Geotécnico na base de um estudo do solo Se não se possui um informe detalhado e aos efeitos de um pré dimensionamento poderá se assumir 025 ν 035 para solos não coesivos 035 ν 045 para solos coesivos Poderemos dizer que uma estimativa adequada será baseada em assumir valores de Poisson de 030 para solos não coesivos e 040 para coesivos Os valores de G poderão ser obtidos mediante ensaios G variará bastante com a estratificação do subsolo já que varia com a pressão de confinamento com o qual o valor de G assumido deverá ser uma média dos valores nos diferentes estratos Resulta importante destacar que G é o parâmetro mais relevante e o que pode variar em faixas bem largas de magnitude Para pequenos valores da distorção G pode ser até 100 vezes maior que para distorções grandes Nos ensaios de campo o que se obtém é a velocidade de propagação das ondas de corte cs e da mesma se deduz o G a partir da relação sc G ρ2 Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 65 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Valores típicos de G Tipo de solo G em kgf cm2 Argila branda 200 350 Argila rígida 700 1500 Argila muito rígida 1500 Areia medianamente densa 350 1000 Areia densa 700 1500 Cascalho medianamente denso 1000 1500 Cascalho denso 1500 3000 Os Ensaios de campo mais utilizados para a avaliação do módulo de distorção dos solos são 66 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Para uma base circular rígida de raio 0r os coeficientes de mola serão VERTICAL v Gr K z 1 4 0 HORIZONTAL v v Gr K x 8 7 32 1 0 BALANCEIO 13 8 03 v Gr K ψ TORÇAO 3 16 Gr03 K θ Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 67 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Observese que para uma fundação circular x K y K φ K ψ K Para bases retangulares rígidas os coeficientes de mola serão determinados de acordo a VERTICAL 1 2 1 BL v G K z z β HORIZONTAL 1 2 2 1 BL v G K x x β BALANCEIO 2 1 BL v G K ψ φ ψ φ β IMPORTANTE A dimensão L é sempre a perpendicular ao eixo de rotação para as fórmulas de φ K e ψ K 68 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 As expressões dos parâmetros das molas para bases retangulares podem se resumir em x y x ab v G K K β 2 1 z z ab v G K β 1 φ φ v a bβ G K 2 1 ψ ψ 2β 1 v ab G K a b 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 βx 100 098 098 098 100 102 105 110 112 115 120 βz 215 219 221 235 242 250 260 265 275 280 285 βφ 051 056 060 070 080 086 095 103 112 120 125 βψ 051 048 046 042 040 038 037 037 037 037 037 Outra maneira de calcular os coeficientes de mola resulta de considerar uma base circular equivalente cujo raio para cada tipo de movimento é calculado pelas fórmulas Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 69 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Tipo de movimento Rádio equivalente Translacional x K y K z K 2 1 0 π BL r Balanceio φ K ψ K Um 0r para φ K e outro para ψ K 14 3 0 3 π BL r Torção θ K 14 2 2 0 6 π L BL B r Observese Para balanceio teremos 2 raios equivalentes diferentes Para cada eixo de rotação o valor de L será o cumprimento na direção perpendicular ao eixo de rotação Uma base retangular que mediante o cálculo do raio equivalente indicado na tabela anterior será possível achar o coeficiente de mola de torção de bases retangulares O amortecimento da superestrutura resulta menos relevante que o amortecimento que resulta dos mecanismos no solo O amortecimento que resulta da propagação de ondas elásticas desde a base e desde a vizinhança da base ao maciço do solo se denomina amortecimento geométrico também conhecido como amortecimento de radiação Ademais do amortecimento geométrico existe no solo o amortecimento interno que é resultado da perda de energia na inversão de esforços devido à fricção entre partículas minerais do solo em solos não coesivos secos ou devido ao deslocamento do fluido intersticial Para o caso de fundações circulares rígidas o amortecimento geométrico dos diferentes modos de vibração virá dado pelas expressões 70 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Modos Relação de Massa Fator de Amortecimento Geométrico Vertical 03 4 1 r v W B t z γ 1 2 425 0 z z B D Horizontais 03 32 1 8 7 r W v v B t x γ 1 2 288 0 x x B D Balanceios 5 0 8 3 1 r g v I B γ ψ φ ψ φ 1 2 1 15 0 ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ B N N D Torção 0r5 I g B γ θ θ θ θ B D 2 1 0 50 t W Peso total sobre a fundação γ Peso específico do solo φ B 5 3 2 1 08 05 02 φ N 1079 1110 1143 1219 1251 1378 1600 O amortecimento interno não é considerado aos efeitos dos modos vertical e horizontais já que o amortecimento geométrico resulta preponderante O amortecimento geométricos dos modos rotacionais balanceios e torção são geralmente mais baixos e se incrementam em 5 assumindo assim a contribuição do amortecimento interno Os fatores de amortecimentos modais totais a serem levados em conta na análise serão de acordo a Modos Amortecimento modal equivalente Vertical z eq z D ξ Horizontais x eq eq D x y ξ ξ Balanceios 0 05 φ ξ φ D eq 0 05 ψ ξ ψ D eq Torção 0 05 θ ξ θ D eq Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 71 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Exemplo Seja uma base de dimensões 12m x 6m x 08 m sobre solo de Areia medianamente densa γ 17 t m3sobre a qual apoiaremos um equipamento de 56 t Os valores dos parâmetros do solo são G 500 kgf cm2 5000 tf m2 ν03 Supondo que a base é infinitamente rígida x y x ab v G K K β 2 1 108100 y x K K tfm z z ab v G K β 1 Kz 133946 tfm φ φ v a bβ G K 2 1 106 73 Kφ tfmRad ψ ψ 2β 1 v ab G K 41 106 Kψ tfmRad a b 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 βx 100 098 098 098 100 102 105 110 112 115 120 βz 215 219 221 235 242 250 260 265 275 280 285 βφ 051 056 060 070 080 086 095 103 112 120 125 βψ 051 048 046 042 040 038 037 037 037 037 037 Calculamos os raios equivalentes Tipo de movimento Rádio equivalente Translacional Kx Ky Kz r0 BLπ12 r0tra 479m BalanceioKφ Kψ Um r0 para Kφ e outro para Kψ r0 BL3 3π14 r0φ 576m r0ψ 407m Torção Kθ r0 BLB2 L26π14 r0tor 512m Calculamos as relações de massa e os fatores de amortecimento Relação de Massa Fator de Amortecimento Geométrico Bz 1νWt 4γ03 Bz019 Dz0425Bz12 Dz098 Bx 78νWt 321νγ03 Bx022 Dx0288Bx12 Dx062 Bψφ 31ν Iψφ g 8γ05 Bψ021 Bψ030 Dψφ 015 1NψφNψφ Bψφ12 Dφ010 Dφ009 Bφ 5 3 2 1 08 05 02 Nφ 1079 1110 1143 1219 1251 1378 1600 Os valores de amortecimento de balanceio serão incrementados em 005 devido à contribuição do amortecimento interno ξeq z 098 ξeq y ξeq x 062 Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 73 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 ξeqφ 015 ξeqψ 014 47 Roteiro de análise de fundações superficiais de bases rígidas O visto em 26 permite gerar um modelo analítico simplificado de bases de máquinas montadas sobre fundações superficiais rígidas Nesse modelo se baseia a metodologia do presente roteiro Este roteiro será adequado sempre que não seja relevante analisar esforços da base Nos casos que fogem destas hipóteses ou nos casos nos quais a complexidade geométrica ou operacional multiplicidade de máquinas montadas sobre uma mesma base deverão ser analisados de acordo a 28 a Cálculo das constantes de mola da fundação θ ψ φ K K K K K K z y x b Cálculo da massa total m levar em conta todas as massas solidárias com o sistema c Cálculo das Inércias respeito aos eixos x y z Ix Iy Iz Atenção Não esquecer da contribuição nas inércias totais da massa da maquinaria e de outras massas suplementares solidárias com a base d Cálculo das freqüências naturais m k fn x x 2π 1 m k fn y y 2π 1 m k fn z z 2π 1 xI k fn φ φ 2π 1 yI k fn ψ ψ 2π 1 zI k fn θ θ 2π 1 e Cálculo dos fatores de amortecimento equivalente total 74 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 ξ θ ξ ψ ξ φ ξ ξ ξ eq eq eq eq eq eq z y x f Baseandose na freqüência f operacional da maquinaria calcular os coeficientes de amplificação para cada modo 2 2 2 2 1 1 q eq q q q fn f fn f M ξ Para q x y z φ ψ θ g Cálculo das forças de desbalanceio de acordo a cada componente i que não estejam em fase levando em conta todos os equipamentos atingindo os valores xi P yi P zi P com i1h IMPORTANTE O efeito de desbalanceamento de um rotor horizontal deve ser descomposto em 2 excitações uma horizontal e outra vertical cuja fase entre elas é de um quarto de ciclo Aos efeitos da análise serão 2 excitações diferentes i diferente h Cálculo dos momentos respeito aos eixos M xi M yi M zi com i1h i Cálculo dos deslocamentos estáticos para i1h de cada uma das coordenadas x xi ie K P X y yi ie K P y z zi ie K P z φ φ K ie M xi ψ ψ K M yi ie θ θ K ie M zi Cálculo dos deslocamentos amplificados para i1h de cada uma das coordenadas Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 75 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 ie x i x M x ie y i y M y ie z i z M z ie i M φ φ φ ie i M ψ ψ ψ ie i M θ θ θ j Cálculo para cada ponto de controle C de coordenadas xoc yoc zoc os deslocamentos resultantes para o ponto em questão associados aos valores de deslocamento amplificados das coordenadas para cada i1h zi yi xi c c c δ δ δ Os pontos de controle serão definidos como os pontos nos quais os deslocamentos deverão ser avaliados k Cálculo da estimativa de componentes de deslocamento máximo para cada ponto de controle e comprovação de que as mesmas não ultrapassam os limites admissíveis estipulados pelos fabricantes e pelas normas z y x c c c δ δ δ h i xi x c c 1 2 δ δ h i yi y c c 1 2 δ δ h i zi z c c 1 2 δ δ adm z y x c c c c δ δ δ δ 2 2 2 Observação Idêntico será o procedimento nos casos de avaliação de outros parâmetros velocidades acelerações 76 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 48 Parâmetros de molas nos modelos dinâmicos discretizados de bases retangulares de maquinaria de baixa freqüência Estudamos a resposta do solo para bases de maquinarias com fundação superficial como sistemas de 6 graus de liberdade baseado na teoria do semiespaço elástico Agora veremos como deve se formular um modelo discretizado com molas que seja coerente com os resultados globais Usaremos o método dos rádios equivalentes na determinação dos coeficientes de mola global da base retangular Os raios equivalentes para cada coordenada Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 77 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 2 1 0 0 0 π ab r r r z y x 1 4 3 0 3 π φ a b r 14 3 0 3 π ψ ab r 1 4 2 2 0 6 π θ b ab a r Daí que os coeficientes de mola globais serão 1 2 2 1 2 1 1 4 1 4 v ab G ab v G K z π π 1 2 2 1 2 1 8 7 1 32 8 7 32 1 ab v v G ab v v G K K y x π π 3 4 3 4 3 3 4 3 1 3 3 8 3 13 8 a b v G a b v G K π π φ 3 3 4 4 3 3 4 3 1 33 8 3 13 8 ab v G ab v G K π π ψ 3 4 2 2 3 4 3 4 4 3 3 4 2 2 3 6 16 6 3 16 b a b Ga b G ab a K π π θ Resumindo 1 2 2 2571 v ab G K z 1 2 8 7 18054 1 ab v v G K K y x 3 4 9 4 0 496 1 b v a G K φ 9 4 3 4 0 496 1 b v a G K ψ 3 4 2 2 3 4 3 4 0 590 b a b Ga K θ 78 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Definindo os coeficientes de mola por unidade de superfície θ ψ φ S S S S S S z y x Atenção As molas na direção z contribuem na respostas de balanceio e as molas na direções horizontais contribuem na resposta de torção Será necessário levar em conta esse efeito e resultará errôneo distribuir as molas rotacionais uniformemente na interfase soloestrutura já que uma porção importante da resposta rotacional estará dada pelas molas translacionais Isso leva à analise seguinte Os coeficientes de mola translacionais serão 1 2 8 7 1 18054 ab v v G ab K ab K S S y x y x 1 2 1 2 257 v ab G ab K S z z Para que o modelo resulte globalmente consistente com a Teoria do Semi espaço os coeficientes de mola dos balanceios ficarão definidos a partir das identidades z z a S ab K S a b S ab S K 12 12 2 3 φ φ φ φ z z b S ab K S ab S ab S K 12 12 2 3 ψ ψ ψ ψ Ou seja v G b a b a a S 1 2 638 188 0 1 4 4 1 φ v G a b a b b S 1 2 638 188 0 1 4 4 1 ψ Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 79 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Em quanto às molas de torção 12 12 12 2 2 3 3 b a S ab K S ab a b S S ab K x x θ θ θ θ 1505 0 590 1 4 4 1 3 4 2 2 b a b G a Sθ v v G 8 7 1 1 2 2 1 2 2 b a a b Aprox 016G 1 4 4 1 2 1 4 2 1 4 4 1 3 4 2 2 0 408 1 0 590 b a b a b a b G a Sθ 80 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 1 2 8 7 1 18054 ab v v G Sx 1 2 1 2 257 v ab G Sz v G b a b a a S 1 2 638 188 0 1 4 4 1 φ v G a b a b b S 1 2 638 188 0 1 4 4 1 ψ 1 4 4 1 2 1 4 2 1 4 4 1 3 4 2 2 0 408 1 0 590 b a b a b a b G a Sθ Uma vez realizada a analise modal e depois de reconhecer a natureza de cada modo se procede a efetuar a análise da resposta Resulta necessário definir fatores de amortecimento adequados a cada tipologia modal vertical horizontal balanceios torção de acordo ao visto no caso de base rígida Modos Amortecimento modal equivalente Vertical z eq z D ξ Horizontais x eq eq D x y ξ ξ Balanceios 0 05 φ ξ φ D eq 0 05 ψ ξ ψ D eq Torção 0 05 θ ξ θ D eq Modos Relação de Massa Fator de Amortecimento Geométrico Vertical 03 4 1 r v W B t z γ 1 2 425 0 z z B D Horizontais 03 32 1 8 7 r W v v B t x γ 1 2 288 0 x x B D Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 81 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Balanceios 5 0 8 3 1 r g v I B γ ψ φ ψ φ 1 2 1 15 0 ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ B N N D Torção 0r5 I g B γ θ θ θ θ B D 2 1 0 50 t W Peso total sobre a fundação γ Peso específico do solo φ B 5 3 2 1 08 05 02 φ N 1079 1110 1143 1219 1251 1378 1600 Deve ser ressaltado que maquinarias de baixa e media freqüência poderão estar excitando a base em ressonância com os modos fundamentais Justamente para esses modos teremos que definir da maneira mais certa possível cada fator de amortecimento Como foi explicado o amortecimento resulta relevante unicamente no entorno das freqüências ressonantes e não possui maior relevância na resposta de modos não ressonantes Ou seja nos modos não ressonantes poderá ser definido qualquer fator de amortecimento sem afetar maiormente a resposta Atenção Os valores altos das taxas de amortecimento especificadas nas fórmulas anteriores são conseqüências dos efeitos de emissão de energia no solo amortecimento geométrico e estão associados UNICAMENTE aos deslocamentos na interface solo estrutura Na medida em que os deslocamentos modais sejam tais que não possa se assumir que a superestrutura seja rígida deverão ser assumidos fatores de amortecimento reduzidos abaixo dos 5 de acordo aos parágrafos anteriores Ou seja deve se efetuar uma cuidadosa interpretação da tipologia de cada modo com o objetivo de assinar as taxas de amortecimento especificadas anteriormente unicamente aos modos que envolvam deslocamentos rígidos da superestrutura 82 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 49 Modelos dinâmicos para fundação superficial em solos estratificados Baseado em valores obtidos por Richart Hall and Woods As fórmulas expostas em 46 47 48 estão baseadas na teoria do Semiespaço Elástico De acordo à mesma se supõe o solo como Homogêneo e Isotrópico Nas formulas expostas a relação esforço deformação do solo é definida pelos parâmetros G e ν Na realidade a resposta de deformação e o amortecimento que resultam da ação dinâmica dependem da freqüência da excitação A dependência da freqüência resulta inconveniente para modelar por isso se geraram expressões simplificadas nas quais o solo é representado como conjuntos de molas cuja resposta que não é dependente da freqüência foi calibrada para baixas freqüências Resulta importante lembrar que a independência da rigidez e o amortecimento respeito à freqüência serão válidos somente para baixas freqüências que é a faixa na qual foram calibrados os parâmetros de mola e amortecimento Na presença de um substrato rígido por baixo da camada superficial mais mole os parâmetros estruturais associados à resposta dinâmica apresentam alterações muito importantes que devem ser levadas em conta Quanto menor seja a espessura da camada mole o valor do coeficiente de mola z K será maior Pode se estimar esse efeito mediante as fórmulas Para bases retangulares de lados ab 0r será assumido como z r0 Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 83 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 2 1 0 π ab r z Da mesma maneira deverão se adotar taxas de amortecimento z D geométrico ajustadas à espessura da camada mole Os efeitos mais relevantes da interação soloestrutura estão associados à ressonância que pode se dar com maquinarias de baixa freqüência Essa ressonância terá como resultado implícito o desempenho inadequado da maquinaria e também induzirá vibrações à vizinhança Mas pode não somente acontecer a indesejável amplificação os efeitos também podem implicar recalques do solo e mesmo o colapso funcional da fundação Por isso um grande problema é a dificuldade em estimar assertivamente a freqüência natural e a taxa de amortecimento do solo A isso se agrega o fato já mencionado de esses parâmetros serem dependentes da freqüência também da amplitude da excitação Às vezes uma fundação pode ter um desempenho adequado apesar de ter sido mal dimensionada Uma explicação para isso é que a taxa de amortecimento cresce muito quando as solicitações sobre o solo são elevadas o que implica menores fatores de amplificação dos que poderiam ser estimados inicialmente 84 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 As propriedades dinâmicas do solo a serem assumidas na análise rigidez e amortecimento são geralmente muito indeterminadas e não é suficiente reconhecer a classe de solo A resposta estará também governada de maneira não proporcional pela amplitude da excitação pela freqüência da mesma pela geometria da fundação e pela estratificação do solo Aos efeitos de ajustar a estimativa dos efeitos de ressonância em solo estratificado podem se aplicar às fórmulas Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 85 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 410 Exemplo de avaliação analítica de uma base que sustenta um ventilador industrial Um ventilador industrial cujo rotor pesa 363kg e cuja freqüência operacional é 2250 rpm será montado sobre a base de concreto de acordo ao esquema A massa total do equipamento é de 3330 kg A base é de fundação direta sobre areia medianamente densa G 700 kgf cm2 ν 030 O desbalanceio do rotor gerará uma força radial que pode ser estimada de acordo a ISO 1940 para Fator de Qualidade G63 1000 ω2 ω S Q m F op r u N u F amplitude da força em Newton r m 363 kg Q 63 valor estipulado na 2ª coluna da tabela mms em função do tipo de rotor S 25 vezes Coeficiente de amplificação normalizada op ω 236 Rads 225060 2π freqüência angular operacional do giro do rotor f376 Hz T0027s 86 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 ω 236 Rads freqüência angular do rotor para a qual se realiza o cálculo da força 0 0955 413 0 024 1000 52 236 36 363 2 2 2 2 kgf f N Fu ω ω ω Ou seja na freqüência operacional f 376 Hz u F 0135 tf e para qualquer freqüência intermédia f Os parâmetros de resposta da base resultantes da teoria do semiespaço elástico serão para a base em questão Os coeficientes de mola equivalentes serão Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 87 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 VERTICAL v Gr K z 1 4 0 HORIZONTAL v v Gr K x 8 7 32 1 0 BALANCEIO 13 8 03 v Gr K ψ z K 60000 tfm x K 51130 tfm Kψ 70082 tf mRad Calcularemos agora as taxas de amortecimento modais globais t W Peso total na fundação 22 32 08 25 333 1408 333 1741 tf γ Peso específico do solo 18 tfm3 05 Modos Relação de Massa Fator de Amortecimento Geométrico Vertical 03 4 1 r v W B t z γ 1 2 425 0 z z D B 06 Horizontais 03 32 1 8 7 r W v v B t x γ 1 2 288 0 x x D B 0375 Balanceios 5 0 8 13 r g v I B γ ψ φ ψ φ 1 2 1 15 0 ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ B N N D 0096 059 0232 N158 φ B 5 3 2 1 08 05 02 Nφ 1079 1110 1143 1219 1251 1378 1600 88 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 PRISMA RETANGULAR 12 1 2 2 b m a I x 12 1 2 2 L m a I y 12 1 2 2 L m b Iz mL2 4 I I z z Modos Amortecimento modal equivalente eq ξ Vertical 0 60 z eq D z ξ Horizontais 0 375 x eq eq D x y ξ ξ Balanceios 0146 0 05 ψ ξ ψ D eq A partir dos parâmetros achados analisaremos as respostas para os estados funcionais A Freqüência operacional fop 376 Hz B Para cada freqüência de rotação intermédia if 376 Hz para a qual possa se produzir ressonância freqüências de ressonância da estrutura que sejam menores que 376 Hz Em cada caso a excitação estará dada por 2 componentes no centro de gravidade do rotor e no plano normal ao eixo do mesmo Componente Horizontal F uf freqüências op fi f 0T 0 Componente Vertical F uf freqüências op fi f 0T 025 T 025 f A velocidade de deslocamento aceitável de acordo a VDI será de até 45 mms tolerável até 11 mms As freqüências naturais dos modos próprios serão Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 89 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 12 1 2 2 b m a I ψ Deverão ser analisados os 3 estados de excitação relevantes Estado de Excitação Caracterização Freqüência 1 Ressonância Modo Trans Horiz 27 3 xf f Hz 2 Ressonância Modo Trans Vertical 29 6 fop f Hz 3 Freqüência operacional 37 6 fop f Hz As respostas estáticas associadas aos diferentes modos são 90 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Daí que os deslocamentos estáticos modais para as freqüências relevantes serão δest m Rad Estado de Excitação Freqüência Hz MODO VERTICAL MODO HORIZ MODO de BALACEIO 1 f273 Hz 0071 118 E6 139 E6 192 E6 2 f296 Hz 0084 140 E6 164 E6 227 E6 3 f376 Hz 0135 225 E6 264 E6 366 E6 As respostas dinâmicas de deslocamentos generalizados associadas aos diferentes modos resultam Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 91 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 As respostas dinâmicas de deslocamentos ao nível do rotor associadas aos diferentes modos serão 92 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 As respostas dinâmicas de velocidades ao nível do rotor associadas aos diferentes modos resultarão zk ix O P v v V K V i zk ix P V Z X v v v v v 2 2 91 2 2 2 2 ψ ψ ψ ϕ π π δ π ϕ π π δ π ft sen M f ft sen fM V est X Xest X X 2 2 Z Zest Z z ft sen fM V ϕ π δ π 2 2 Z X V V V v Daí que uma condição suficiente não necessária de aceitabilidade da velocidade de resposta será 2 2 Z X V V V v 2πf 2 2 91 est Xest X Z Zest M M M ψδψ δ δ Se allow est Xest X Z Zest V M M M f 2 2 91 2 ψδψ δ δ π V Vallow v Se a condição suficiente não se cumprir deverá ser analisada a historia no tempo Nos estados de avaliação resultará Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 93 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Estado de avaliação 1 f 273 Hz f 273 Hz MODO VERTICAL MODO HORIZON MODO de BALACEIO Desloc Estático em m Rad δest 118 E6 139 E6 192 E6 Freq de Ress rf 296 Hz 273 Hz 473 Hz Relação de freq rf f r 092 100 058 Taxa de Amortecimento Modal ξeq 060 0375 0146 Amplificação Modal M 090 133 146 Componentes de amplitudes de deslocamentos ao nível do rotor z Z Zest M δ 1062 E6 x X Xest M δ 185 E6 est M ψδψ 91 532 E6 Cota superior de velocidades v v v 2 2 91 2 est Xest X Z Zest M M M f ψδψ δ δ π v 124 E3 ms 124 mms Conclusão f 273 Hz velocidade 124 mms 94 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Estado de avaliação 2 f 296 Hz f296 Hz MODO VERTICAL MODO HORIZON MODO de BALACEIO Deslocamento Estático em m Rad δest 140 E6 164 E6 227 E6 Freq de Ress rf 296 Hz 273 Hz 473 Hz Relação de freq rf f r 100 108 063 Taxa de Amortecimento Modal ξeq 060 0375 0146 Amplificação Modal M 083 121 158 Componentes de amplitudes de deslocamentos ao nível do rotor z Z Zest M δ 116 E6 x X Xest M δ 198 E6 est M ψδψ 91 681 E6 Cota superior de velocidades v v v 2 2 91 2 est Xest X Z Zest M M M f ψδψ δ δ π v 165 E3 ms 165 mms Conclusão f 296 Hz velocidade 165 mms Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 95 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Estado de avaliação 3 f376 Hz f376 Hz MODO VERTICAL MODO HORIZON MODO de BALACEIO Deslocamento Estático em m Rad δest 225 E6 264 E6 366 E6 Freq de Ress rf 296 Hz 273 Hz 473 Hz Relação de freq rf f r 127 138 079 Taxa de Amortecimento Modal ξeq 060 0375 0146 Amplificação Modal M 061 073 227 Componentes de amplitudes de deslocamentos ao nível do rotor z Z Zest M δ 137 E6 x X Xest M δ 193 E6 est M ψδψ 91 1579 E6 Cota superior de velocidades v v v 2 2 91 2 est Xest X Z Zest M M M f ψδψ δ δ π v 420 E3 ms 420 mms Conclusão f 376 Hz velocidade 420 mms 96 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Os gráficos de velocidades resultantes são Para f 273 Hz f 296 Hz Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 97 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 f 376 Hz A velocidade de oscilação não ultrapassará os 45 mms no nível do eixo do rotordo ventilador descrito Ou seja que a bases resultam funcionalmente adequadas para sustentar o ventilador em questão nas hipóteses de solo de areia medianamente densa 411 Bases de equipamentos sobre estacas 4111 Importância e dificuldade da geração de modelos realistas Nos casos nos quais as condições do solo não permitem atingir um desempenho adequado com fundação superficial será necessário executar a base sobre estacas Na presencia de cargas dinâmicas as estacas apresentam um desempenho bastante diferente ao que estamos acostumados a obter quando as cargas são estáticas Quando as cargas atuantes são estáticas sabemos que as estacas serão eficientes na diminuição de deslocamentos Quando as cargas são cíclicas nas fundações sobre estacas poderão surgir dois efeitos muito indesejáveis a Diminuição do amortecimento geométrico 98 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 b Incremento da freqüência natural que pode eventualmente levar à ressonância freqüência natural similar à da excitação Isso leva a que seja importante desenvolver um modelo realista da interação e lembrar que nem sempre a suposição de flexibilidade excessiva da estaca resultará do lado da segurança É muito comum que as estacas resultem muito mais flexíveis para solicitações horizontais que verticais Por isso em muitos casos as freqüências naturais dos modos horizontais serão bem mais baixos que a freqüência vertical Se a excitação for preponderantemente vertical e de baixa freqüência a estratégia será conseguir que a freqüência natural vertical resulte bem maior 2 vezes que a freqüência da excitação e assim levar o problema a quase estático Mas poderá acontecer que ao enrijecer verticalmente também estejamos incrementando demais as freqüências naturais horizontais levando a que a componente horizontal da excitação esteja sintonizada com os modos próprios horizontais Poderemos tentar controlar esse efeito modulando os parâmetros de massa e de flexibilidade horizontal usando por exemplo mais estacas de menor diâmetro A execução de estacas inclinadas pode ser uma estratégia adequada em certos casos mas geralmente resulta em dificuldades na execução no Brasil resulta uma solução pouco usual Desenvolver uma análise assertiva da resposta de estacas resulta muito difícil e conjuga uma grande quantidade de parâmetros do solo que nem sempre podem ser estimados com a necessária confiabilidade Em muitos casos será necessário testar a estrutura para combinações diferentes desses parâmetros para ter a certeza que a resposta real da estrutura será satisfatória Os parâmetros relevantes para a geração dos modelos de resposta serão os coeficientes de mola e taxas de amortecimento equivalente São muitas as características que influenciam na determinação desses parâmetros diâmetros e longitudes das estacas módulo elástico do concreto módulo de cisalhamento do solo estratificação do solo distancias entre estacas e outros Em geral o uso de estacas estará associado à impossibilidade do solo de sustentar a carga Ou seja que o uso de estacas em geral estará associado a solos cujas capas superficiais possuem módulos de cisalhamento baixos Deverseá distinguir entre casos nos quais se atinge um estrato firme a certa profundidade a e o caso b no qual a estaca trabalhará basicamente a fricção No primeiro deles para o caso no qual se atinja um estrato de rocha a estaca poderá ser assumida quase como um pilar apoiado no estrato rijo com contribuição depreciável da fricção do estrato intermediário e os parâmetros relevantes serão a profundidade da rocha e as características da estaca No segundo caso a caracterização adequada dos estratos serão os dominantes na determinação dos parâmetros de resposta Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 99 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 A continuação analisaremos uma metodologia de obtenção de estimativas de parâmetros de resposta de estacas baseada nos estudos desenvolvidos por Milos Novak em parceria com outros prestigiosos pesquisadores 4112 Parâmetros de resposta para modos verticais Considerando uma estaca isolada os parâmetros de resposta que devemos estimar para a análise serão kz coeficiente de mola vertical Dz taxa de amortecimento geométrico vertical 41121 Determinação do coeficiente de mola vertical para uma estaca isolada As estimativas de kz terão a expressão 100 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Onde os parâmetros f181 e f181 podem ser calculados em função do cumprimento L e do módulo de cisalhamento Gs do solo de acordo à tabela simplificada Lr Gs 10 20 30 40 60 80 100 200 kgfcm² f181 0100 0052 0038 0030 0025 0022 0022 f181 0008 0010 0013 0017 0020 0022 0022 350 kgfcm² f181 0100 0055 0042 0034 0030 0028 0028 f181 0012 0018 0023 0027 0028 0028 0028 500 kgfcm² f181 0100 0060 0047 0040 0036 0036 0036 f181 0020 0028 0032 0036 0036 0036 0036 Por exemplo o coeficiente de mola vertical de uma estaca de diâmetros 50 cm e cumprimento 10 metros em argila com G350 kgfcm² será Kz 94 x 106 x 025 x 0027 63450 tfm Observese que se for o caso de uma estaca de 50 cm de diâmetro que atinge uma capa de rocha rija a 25 metros de profundidade o coeficiente de mola vertical será Kz 9400000 x 025 x 0100 235000 tfm Fazendo o cálculo de acordo ao encurtamento de um pilar de altura 25 metros e assumindo que o concreto da estaca é C30 fck 30 MPa 300kgfcm² Eci 5600 fck 12 30670 MPa 30 105 kgfcm² 30 106 tfm² EAL 3000000x019625 235200 tfm Em geral para casos de estrato rijo para L10r desprezando a contribuição da fricção o coeficiente de mola vertical resulta Kz EAL E π r Lr E π r 01 Para E 30 106 tfm² resulta coerente que f181 seja igual a 0100 Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 101 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Resulta útil poder modelar as estacas como pilares rijos na ponta Na base dos resultados da tabela poderíamos deduzir qual seria o cumprimento de estaca equivalente Leq que seria coerente com o deslocamento vertical do extremo superior EAL E π r f181 Leqr 1f 181 Resulta ilustrativo visualizar na tabela a influencia das propriedades do solo no cumprimento do pilar equivalente Gs Pilar Equiva lente Lr 10 20 30 40 60 80 100 200 kgfcm² Leqr 100 192 263 333 400 455 455 Leqr 1250 1000 769 588 500 455 455 350 kgfcm² Leqr 100 182 238 294 333 357 357 Leqr 833 556 435 370 357 357 357 500 kgfcm² Leqr 100 167 213 250 277 277 277 Leqr 500 357 313 277 277 277 277 41122 Taxa de amortecimento geométrico vertical para uma estaca isolada A taxa de amortecimento geométrico Dz dependerá da velocidade de propagação das ondas de cisalhamento no solo vs do coeficiente de mola kz e da massa sustentada mc As velocidades de propagação poderão ser estimadas supondo a densidade do solo como ρs 1800 kgm3 Gs vs 200 kgfcm² 105 ms 350 kgfcm² 140 ms 500 kgfcm² 167 ms 102 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 As estimativas de Dz terão a expressão Onde os parâmetros f182 e f182 podem ser calculados em função do cumprimento L e do módulo de cisalhamento Gs do solo de acordo à tabela simplificada Lr Gs 10 20 30 40 60 80 100 200 kgfcm² f182 0005 0010 0015 0020 0027 0031 0034 f182 0020 0030 0038 0043 0043 0040 0038 350 kgfcm² f182 0010 0018 0025 0033 0043 0046 0048 f182 0030 0048 0055 0057 0053 0052 0050 500 kgfcm² f182 0015 0027 0038 0047 0057 0060 0062 f182 0045 0063 0068 0065 0063 0062 0062 41123 Exemplo de aplicação Uma base infinitamente rígida está apoiada sobre estacas de diâmetro 30 cm e 6 metros de cumprimento em solo argiloso cujo Gs350 kgfcm² Suponha que cada estaca recebe 10 t de carga permanente em serviço A Qual será a freqüência natural de oscilação vertical B Seja τ a fricção neta entre a estaca e o solo para a estaca de 30cm de diâmetro Desejamos adotar uma solução com estacas de diâmetro 50 cm e 10 m de cumprimento que trabalhem com o mesmo τ Qual será a freqüência para esta alternativa Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 103 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 C Calcular as freqüências naturais se as estacas de 30 cm teriam um substrato rijo a uma profundidade de 6 metros D Calcular as taxas de amortecimento para cada uma das alternativas E Analisar qual será o deslocamento vertical máximo e a velocidade máxima que se experimentará em cada um dos casos quando uma carga de amplitude 10 do peso da base esteja sintonizado com a freqüência natural da base A Gs350 kgfcm² Lr 600015 40 f181 0027 Kz 94 x 106 x 015 x 0027 38070 tfm δst 10 tf 38070 tfm 000026m fn 1 200002605 31 Hz B τ 10tf 6x030x π m² 177 tf m² A carga sobre cada estaca resultará Ns 177 x 10 x 050x π 278 tf Lr 10 025 40 f181 0027 Kz 94 x 106 x 025 x 0027 63450 tfm δst 278 tf 63450 tfm 000044 m fn 1 2000044 05 238 Hz C Gs350 kgfcm² Lr 600015 40 f181 0034 Kz 94 x 106 x 015 x 0034 47940 tfm δst 10 tf 47940 tfm 000021m fn 1 200002105 345 Hz D Para as estacas de diâmetro 30 cm carregadas com 10 t resultará vs 140 ms m 10 t 104 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Kz 38070 tfm r 015 m f182 0057 Ou seja Dz 022 Para as estacas de diâmetro 50 cm carregadas com 278 t resultará vs 140 ms m 278 t Kz 63450 tfm r 025 m f182 0057 Ou seja Dz 029 No caso de estacas de 30 cm com substrato rijo resultará vs 140 ms m 10 t Kz 47940 tfm r 015 m f182 0033 Ou seja Dz 011 Observese que a taxa de amortecimento resultou bem menor E Para as estacas de diâmetro 30 cm carregadas com 10 t resultará Fi 1 tf O deslocamento estático resultará 0000026 m 0026 mm Amplificação em ressonância M12 Dz 227 O deslocamento máximo será δmax 227 x 0026 mm 0059 mm A freqüência de ressonância será f 31 Hz com o qual a freqüência angular em ressonância será 195 Rads Daí que a velocidade máxima será Vmax 115 mms Para as estacas de diâmetro 50 cm carregadas com 278 t resultará Fi 28 tf O deslocamento estático resultará 0000044 m 0044 mm Amplificação em ressonância M12 Dz 172 O deslocamento máximo será δmax 172 x 0044 mm 0076 mm Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 105 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 A freqüência de ressonância será f 238 Hz com o qual a freqüência angular em ressonância será 149 Rads Daí que a velocidade máxima será Vmax 113 mms Para as estacas de diâmetro 30 cm com o substrato rijo a 6 metros Fi 1 tf O deslocamento estático resultará 0000021 m 0021 mm Amplificação em ressonância M12 Dz 454 O deslocamento máximo será δmax 454 x 0021 mm 0095 mm A freqüência de ressonância será f 345 Hz com o qual a freqüência angular em ressonância será 217 Rads Daí que a velocidade máxima será Vmax 205 mms Ou seja a presencia do estrato rijo resulta desfavorável ao desempenho da base 4113 Parâmetros de resposta para modos Horizontais Considerando uma estaca isolada os parâmetros de resposta que devemos estimar para a análise serão kx coeficiente de mola horizontal Dx taxa de amortecimento geométrico horizontal 41131 Determinação do coeficiente de mola horizontal para uma estaca isolada Para estacas cujos topos estão impedidos de rotar as estimativas de kx terão a expressão 106 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 41132 Determinação da taxa de amortecimento geométrico horizontal para uma estaca isolada Da mesma maneira que temos visto para oscilações verticais a taxa de amortecimento geométrico dos modos horizontais Dx dependerá da velocidade de propagação das ondas de cisalhamento no solo vs do coeficiente de mola kx e da massa sustentada m Supondo a densidade do solo como ρs 1800 kgm3 Gs vs f112 200 kgfcm² 105 ms 0042 350 kgfcm² 140 ms 0066 500 kgfcm² 167 ms 0090 4114 Efeitos de grupos de estacas Os valores obtidos de Kx Kz Dx e Dz seriam adequados para a análise do caso de uma única estaca Em geral será necessário o emprego de grupos de estacas Isso implicará que existirá a necessidade de analisar os efeitos de grupo Para isso poderá adotarse a metodologia de Poulos Efeitos dinâmicos gerados por equipamentos mecânicos 107 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Os resultados implicarão uma flexibilidade muito maior do que resultaria de somar as participações das diferentes estacas Ou seja nos modelos deverá ser adotado um valor de coeficiente de mola individual reduzido tanto na horizontal como na vertical KGxi μx Kxi μx 1 Horizontal KGyi μy Kyi μy 1 Horizontal KGzi μz Kzi μz 1 Vertical Por outra parte o efeito grupal gerará uma taxa de amortecimento grupal maior que o que resultaria do valor da estaca isolada DGx λx Dxi λx 1 Horizontal DGy λy Dyi λy 1 Horizontal DGz λz Dzi λz 1 Vertical Consideraremos as configurações típicas de estacas eqüidistantes a uma distancia s nas duas direções distancias iguais na direção x e y Para estes casos pode se fazer um cálculo aproximado de acordo aos ajustes Para 4 estacas s2φ μ030 λ108 s6φ μ040 λ128 Para 9 ou mais estacas s2φ μ020 λ133 s6φ μ025 λ152 108 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 5 Efeitos dinâmicos gerados por atividades humanas 51 O ser humano como receptor de vibrações A estrutura do ser humano como qualquer outra estrutura gerará uma resposta mecânica quando estiver submetido a excitações Não existe uniformidade nas estruturas humanas devido às características anatômicas individuais e singulares de cada um de nós além disso um mesmo ser humano muda de esquema estrutural quando muda de posição parado sentado etc Mesmo se duas pessoas tiverem a mesma resposta estrutural a percepção das mesmas regida pelos órgãos sensoriais não necessariamente resultaria a mesma Mesmo se estiverem experimentando a mesma sensação em cada um deles o grau de conforto poderá ser bem diferente Essa subjetividade faz que existam divergências sobre quais são os limites de vibrações que deveriam ser adotados para garantir o grado de conforto para certa população de indivíduos em uma situação definida e exposta a certa excitação A realização de pesquisas experimentais sobre níveis vibracionais aceitáveis de acordo ao conforto humano resulta muito comum hoje em dia tanto no Brasil como no resto do mundo No marco dessas pesquisas os indivíduos submetidos a estímulos devem responder se estão percebendo e qualificar o nível de desconforto Resulta claro que toda pesquisa dessa classe está contaminada pela falta de objetividade já que as qualificações dadas pela natureza mesma do termo não poderão ser nunca objetivas a percepção de um indivíduo participando na pesquisa é a de quem espera poder perceber para dar uma resposta e não aquela que sentiria esse mesmo individuo cotidianamente E assim que a base mais confiável de dados se encontra nos registros de reclamações e não nas pesquisas experimentais No Anexo C podem ser visualizados os valores que são assumidos geralmente como limites de aceitabilidade de níveis de vibrações Na realidade esses valores são em geral suficientemente conservativos já que procuram garantir que a maioria da população não experimentará desconforto se estiver submetido a esses níveis A faixa de freqüências com potencial de afetar o conforto humano contemplada pelas normas é entre 1 Hz e 80 Hz Efeitos dinâmicos gerados por atividades humanas 109 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Entre 1 Hz e 10 Hz o ser humano parece perceber maiormente as flutuações de acelerações e para freqüências maiores de 10 Hz o determinante é a velocidade Isso se reflete nas gráficas das normas ISSO 2631 e DIN 4150 Nos casos de excitações originadas em atividades humanas o ser humano é também o receptor que mais deve ser levado em conta já que geralmente os níveis de vibração ficam em faixas de freqüência e amplitude para as quais o ser humano é sensível as amplitudes são muito menores e podem por em perigo a integridade da estrutura Em geral são os indivíduos que não fazem parte das atividades os receptores mais afetados 52 Seres humanos como geradores de excitações No anexo D está incluso um resumo dos parâmetros que permitem formular em nossos modelos estruturais diferentes tipos de excitações associadas a diferentes atividades humanas Para estruturas de concreto armado em geral é recomendável assumir uma taxa de amortecimento 0025 Um dos problemas mais complexos envolvidos neste tópico é a estimativa da medida real na qual seres humanos podem sincronizar seus movimentos Estimase que a superposição de excitações devidas a n indivíduos é proporcional à raiz quadrada de n e não a n Comprovouse que se o grupo de indivíduos tiver que interromper a atividade e depois reiniciar a mesma conjuntamente a sincronização atinge graus muito maiores de eficiência 521 Excitação devida a pessoas caminhando A maioria das pessoas caminham com freqüência de 2 Hz 1 passo cada 05 segundos Em casos excepcionais se atingem freqüências de até 24 Hz Ao caminhar o ser humano realiza movimentos impulsivos e isso se reflexa nos coeficientes de Fourier dos harmônicos superiores vide 525 Estruturas com freqüências naturais na faixa de 4 Hz a 6 Hz estão expostas claramente aos efeitos de ressonância dos harmônicos superiores 110 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Uma primeira maneira de evitar problemas vibracionais é fazer com que a estrutura tenha a freqüência fundamental pelo menos por cima do alcance do 3º harmônico ou seja maior que três vezes a máxima freqüência da caminhada 3 x 24 Hz Por isso lajes com freqüência natural por cima de 75 Hz estariam salvaguardadas desses efeitos de ressonância Na realidade para estruturas com amortecimento relativamente alto será suficiente que a freqüência esteja por cima dos 5 Hz a contribuição do 3º harmônico já não seria relevante A presença de elementos não estruturais pode contribuir em muito para incrementar o amortecimento A resposta da estrutura depende também da quantidade de pessoas que estão excitando à mesma e da massa total inerte incluindo a própria Isso implica que a análise da resposta poderá dar níveis satisfatórios de resposta mesmo para casos de baixa freqüência da estrutura 522 Excitação devida a atividades rítmicas Efeitos dinâmicos gerados por atividades humanas 111 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Baseandonos em critérios similares aos empregados para pessoas caminhando teríamos que a freqüência segura para uma estrutura de Concreto Armado que sustenta atividades esportivas seria também de 75 Hz e para dança 65 Hz A grande diferença com o caso anterior resulta dos coeficientes de Fourier altos e do fato que muitas vezes as atividades rítmicas reúnem um grande numero de pessoas com motivação e às vezes talento para coordenar movimentos 523 Efeitos sobre passarelas Os problemas funcionais devidos a níveis altos de resposta acontecem em geral para passarelas de concreto armado de grandes vãos Isso acontece devido às freqüências fundamentais baixas e a que os vãos grandes propiciam a passagem de pessoas correndo o que implica que a freqüência da excitação pode atingir a faixa dos 35 Hz A ausência de elementos não estruturais que contribuam ao amortecimento faz que o valor recomendável da taxa de amortecimento desça a 0013 Outra característica habitual das passarelas de grande vão é a alta flexibilidade transversal Os modos associados ao deslocamento transversal quando forem de freqüências bem baixas estarão expostos à ressonância da excitação transversal dos pedestres cuja freqüência é metade da vertical ou seja um ciclo cada 2º passo Outro fator que afeta especialmente as passarelas é a involuntária sincronização que atinge a população que atravessa a mesma na hora de perceber os deslocamentos Isso resulta da tendência de cada individuo a acompanhar o movimento da passarela Esta interação pedestrepassarela levou à instabilidade da Ponte do Milênio de Londres A partir disso formularamse novas teorias sobre coordenação dos movimentos dos pedestres A limitação de aceleração vertical recomendável para passarelas é a adotada pela norma de Ontário g f a 0 025 1 0 78 Onde 1f é a freqüência fundamental vertical da passarela 112 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 A adoção de freqüências altas para evitar ressonância resulta difícil de impor nos casos de passarelas devido aos vãos que devem ser relativamente grandes 524 Pessoas pulando e Excitação gerada pela multidão em uma arquibancada Pessoas pulando geram perturbações com componentes significativos até o 4º harmônico Sendo f a freqüência diretriz fonte da motivação da excitação a freqüência que os indivíduos tentam copiar resultaram componentes harmônicos também em 2f 3f 4f A imperfeição na coordenação de um grupo que está pulando gera um EFEITO DE ATENUAÇÃO com respeito ao que seria a superposição dos efeitos individuais Esse efeito de redução é especialmente significativo nas componentes de harmônicos superiores e leva a que os efeitos dos harmônicos 3º é 4º sejam quase insignificantes Na medida em que o grupo esteja especialmente motivado com ritmo diretriz sustentado por musica em alto volume e que convide a realizar movimentos impulsivos os harmônicos superiores poderão virar mais energéticos Efeitos dinâmicos gerados por atividades humanas 113 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Uma pessoa pulando com freqüência de 3 Hz gera uma componente de 50 kgf em 6 Hz Para eventos sem música o 1º harmônico será o dominante absoluto Para eventos nos quais se canta mas sem acompanhamento de instrumentos musicais o 1º harmônico será preponderante mas poderia já se ter alguma influência do 2º Para eventos nos quais a audiência canta com acompanhamento de instrumentos musicais o 1º e 2º harmônico serão significantes Para eventos de musica POP ou Rock se atingem contribuições significativas no 3º harmônico especialmente quando os movimentos da audiência são muito bem sincronizados Isso acontece com populações jovens especialmente motivadas De acordo ao documento Requerimentos de desempenho dinâmico para arquibancadas permanentes sujeitas a ações de multidões Reino UnidoNovembro 2001 se estabeleceram as seguintes recomendações para o desenho estrutural A Se a freqüência fundamental de vibração da estrutura sem carga de serviço for menor que 3 Hz deverá se efetuar sempre uma analise detalhada 114 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 B Se a freqüência natural for maior que 35 Hz sem incluir a carga viva como massa a estrutura será apta para espetáculos esportivos sem musica incidental C Se a freqüência natural for maior que 50 Hz sem carga de serviço a estrutura será apta para espetáculos esportivos com musica incidental D Se a freqüência natural for maior que 60 Hz sem carga de serviço a estrutura será apta para todo tipo de eventos E Nos casos nos quais não se atinjam os valores recomendados de freqüência natural mínima associados aos propósitos específicos será necessário efetuar uma análise detalhada F Se recomenda que a freqüência natural horizontal seja maior que 3 Hz G É necessário desenhar a estrutura para uma força horizontal adicional de 75 da carga de serviço viva normativa para eventos de musica POP e 5 para outrosestá última recomendação é relativa à estabilidade dos pórticos É importante destacar que é comum que as estruturas de arquibancadas com mais de um andar possuíam a freqüências fundamentais abaixo dos 5 Hz muitas vezes entre 2 e 4 Hz Tentar levar as freqüências a valores mais altos pode resultar impossível sem alterar a funcionalidade arquitetônica da mesma e resulta necessário realizar uma analise detalhada para testar o desempenho nos eventos nos quais se produzem efeitos dinâmicos devido à multidão pulando de maneira sincronizada quase sincronizada A norma BS 6399 annex A recomenda que seja considerada uma faixa de freqüência de excitação vertical entre 15 Hz e 35 Hz para efeitos de indivíduos dançando ou pulando Para grupos grandes a faixa se reduz a 15 Hz e 28 Hz devido à dificuldade de sincronização na coordenação grupal No marco de uma pesquisa realizada na Universidade de Oxford se calculou os coeficientes de Fourier da excitação gerada por indivíduos que pulavam sobre uma plataforma acompanhando o ritmo de peças de música com diferentes freqüências Na ilustração pode se ver os resultados obtidos Efeitos dinâmicos gerados por atividades humanas 115 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Testes posteriores efetuados em situações reais levaram à conclusão que a avaliação de acordo a esses valores propiciam resultados exagerados e que a resposta da estrutura aponta a excitações de níveis menores especialmente dos harmônicos superiores A conclusão foi que os participantes passivos sempre tem quem não está tão motivado alterariam a resposta da estrutura de maneira significativa Ou seja a presença passiva incrementa o amortecimento do sistema as pessoas que ficam quietas atuariam como um Tuned Mass Damper já que se manifestou uma alteração da freqüência de ressonância do sistema Uma fonte possível de valores de Coeficientes de Fourier da perturbação é a norma canadense Nas normas canadenses se dão valores para shows ao vivo com poltronas fixas FC1 025 e FC2 005 0 1 2 0 1 2 3 15 Hz Time s 0 1 2 0 1 2 3 2 Hz Time s 0 1 2 0 1 2 3 267 Hz Time s 0 1 2 0 1 2 3 35 Hz Time s F F F F Freqüência da música diretriz Coeficientes de Fourier 1º 2º 3º 150 Hz 0911 0150 0034 200 Hz 1193 0337 0040 267 Hz 1228 0311 0032 350 Hz 1020 0157 0008 116 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Em Outubro de 2004 foi publicado um trabalho dirigido por B R Ellis e JD Litter Response of cantilever grandstands to crowd loads O mesmo se baseou em medições efetuadas em balanços de arquibancadas em diversos estádios ingleses submetidos às cargas de multidões em diversos eventos de musica ao vivo O propósito das medições realizadas no marco desse trabalho era reformular os coeficientes de Fourier para que eles ajustassem melhor aos aspectos inerentes à atitude global da multidão Efeitos dinâmicos gerados por atividades humanas 117 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 0 082 1 0 4200 p α 0 240 2 0 0870 p α 0 310 3 0 0170 p α 0 500 4 0 0160 p α p quantidade total de pessoas que conformam a multidão cuja excitação está sendo avaliada Aos efeitos da análise se supõem as fases como zero De acordo às normas canadenses é recomendado limitar a aceleração vertical em 004 g quando se procura um nível alto de conforto e até 007 g quando a exigência de conforto é menor Adotar estes valores na limitação da aceleração pico de calculo é conservativa já que a sensação de desconforto estará ligada à valores rms 525 Valores padronizados para a formulação da excitação gerada por atividades humanas por meio de superposição de excitações harmônicas Seja ω a freqüência angular diretriz da atividade ω 2πf Sendo f a freqüência definida na tabela activity rate q carga devida ao peso das pessoas intervindo na atividade Seja w o peso médio assumido para um individuo da população que está realizando a atividade em questão Resulta razoável estimar o peso médio de cada pessoa em w 700 N 70 kgf mas isso depende da população para a qual a análise é referida Sendo p a densidade de pessoas por metro quadrado a carga pode ser dada como q pw A excitação por metro quadrado será cos3 cos2 cos 3 3 2 2 1 φ ω α φ ω α ω α t t t q t f 118 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Efeitos dinâmicos gerados por atividades humanas 119 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 53 Exemplo de avaliação vibracional analítica de uma passarela para pedestres A passarela de pedestres deste exemplo é uma estrutura com vão de 48 metros Tratase de uma tipologia estrutural muito habitual implantada sobre rodovias É uma estrutura de tipo box com treliças de perfis eletro soldados nas quatro faces do caixão e capeamento de concreto do tabuleiro Elevação 120 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Detalhe da elevação Efeitos dinâmicos gerados por atividades humanas 121 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Corte BB típico da estrutura metálica Detalhe de capeamento do tabuleiro O peso próprio total da estrutura é 45 4 tf Peso próprio Estrutura metálica 146 tf Peso próprio Concreto 308 tf Aos efeitos de um cálculo aproximado consideremos uma massa suplementar de 110 kgfm2 entre 137 e 157 pessoas por metro quadrado ou um total de entre 150 a 170 pessoas na passarela Se submetermos o modelo à carga total se chegaria a uma deflexão vertical no centro do vão de 674 cm 674 mm A partir da fórmula de Rayleigh pode se chegar a que a freqüência natural f em Hz resultará aproximadamente igual a em mm próprio ao peso devido deslocamento f 18 Ou seja que a estimativa de acordo a Rayleigh resultaria 219 Hz Fazendo a análise modal chegamos a que essa freqüência calculada detalhadamente é 213 Hz Resulta importante ver que a aproximação de Rayleigh fornece resulta bastante boa e sempre por excesso Resulta sempre importante testar a consistência dos modelos detalhados mediante fórmulas aproximadas 122 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Resulta discutível quanta massa da sobrecarga deveria ser levada em conta A massa a ser levada em conta deve se limitar à massa que se movimenta solidariamente com a estrutura Os pedestres na realidade não são massa grudada ao tabuleiro Poderia se descrever a interação pedestreestrutura como a de apêndices flexíveis da passarela vinculados à mesma por meio de molas e amortecedores Sendo que a massa associada aos 110 kgfm2 constituem um total de 12 t e a massa permanente é de 454 t a freqüência natural das oscilações verticais estará na faixa máx máx mín f f f f 12 0 45 4 45 4 Hz f Hz 213 189 O modo de oscilação horizontal resulta ser de menor freqüência que o vertical 205 Hz Passarelas de grandes vãos propiciam a passagem de pessoas correndo por isso a freqüência da excitação pode atingir a faixa dos 35 Hz Nem sempre essa freqüência será a freqüência crítica quando a freqüência natural da passarela for especialmente baixa como no nosso caso Levando em conta a ausência de elementos não estruturais que contribuam ao amortecimento mas considerando a contribuição do tabuleiro de concreto ao amortecimento o valor recomendável da taxa de amortecimento será assumido aos efeitos do cálculo em ζ0006 06 Como foi explicado tem se comprovado a involuntária sincronização da população que atravessa uma passarela flexível na hora de perceber os deslocamentos Isso resulta da tendência de cada individuo a acompanhar o movimento da passarela cuja conseqüência é a acentuação das respostas estruturais A limitação de aceleração vertical recomendável para passarelas é a adotada pela norma britânica BS 5400 1 0 50 50 f a Onde 1f é a freqüência fundamental vertical da passarela e a é a aceleração em metros por segundo ao quadrado Efeitos dinâmicos gerados por atividades humanas 123 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 As diversas normas dão valores que flutuam em suas acelerações pico ao redor dos 06 metros por segundo ao quadrado para freqüências naturais fundamentais na faixa dos 2 Hz Seja ω a freqüência angular diretriz da atividade ω 2πf onde f a freqüência definida na tabela activity rate q carga devida ao peso das pessoas intervindo na atividade w o peso médio assumido para um individuo da população que está realizando a atividade em questão Resulta razoável estimar o peso médio de cada pessoa em w 750 N 75 kgf mas isso depende da população para a qual a análise é referida Sendo p a densidade de pessoas por metro quadrado a carga pode ser dada como q pw A excitação por metro quadrado será cos3 cos2 cos 3 3 2 2 1 φ ω α φ ω α ω α t t t q f t Como pode se ver a passarela está exposta a ressonância já que a freqüência natural resulta na faixa da excitação de pedestres Do cálculo estático se desprende que a deflexão estática no centro do tabuleiro para o estado de carga associado a 110 kgfm² entre 137 e 157 pessoas por metro quadrado ou um total de entre 150 a 170 pessoas na passarela seria δest110 167 cm 167 mm Se associarmos a esse carregamento uma flutuação senoidal de freqüência coincidente com a freqüência natural vertical fundamental 213 Hz resultaria em uma amplificação 124 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 A freqüência angular associada a 213 Hz será Rad s f 1337 2 ω π Sendo que o coeficiente de Fourier do primeiro harmônico resulta 04 a aceleração vertical estimada de acordo ao 1º harmônico será 2 2 99 831337 0 0167 40 m s a A aceitabilidade da resposta de aceleração pico ponderada de acordo à norma britânica será 2 1 0 50 0 72 50 m s f a Isso significaria que a limitação de carga de pessoas andando sincronicamente na freqüência natural será a associada a 072 99 x 110 kgm2 080 kgm2 Ou seja mais de uma pessoa andando sincronizada com a passarela já resultaria em aceleração inaceitável Se a sincronização fosse de um 5 por excesso respeito à 213 Hz ou seja para 223 Hz a amplificação seria aproximadamente de 20 vezes e não 83 vezes Nesse caso a aceleração chegaria a 2 2 26 201404 0 0167 40 m s Nesse caso se atingiria o limite de aceitabilidade para uma carga 072 26 x 110 kgfm2 305 kgfm2 Efeitos dinâmicos gerados por atividades humanas 125 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Ou seja mesmo que suponhamos que não se atinja uma sincronização menor que 5 4 pessoas pessoa andando sincronizada com 5 por excesso da ressonância com a passarela já resultaria em aceleração inaceitável De acordo a esta análise preliminar a passarela resulta inaceitável Deve ser ressaltado que a bibliografia estima para caminhada uma densidade de 1 pessoa cada metro quadrado Isso significará uma população de 110 pessoas atravessando a passarela caminhando com passo sincronizado de 213 Hz A historia da resposta de acelerações verticais no centro do vão para a excitação padronizada incluindo os três harmônicos chegaremos com de acordo a 75 kgfm2 Com o qual para 75 kg m2 a aceleração resulta 64 ms2 Para não ultrapassar 072 ms2 se teria que a carga deveria ser 07264x75 084 kg m2 ou seja coerente com o cálculo aproximado Observese que para diminuir a freqüência natural até 18 Hz deveria se incrementar a massa total em aproximadamente 40 a freqüência é inversamente proporcional à raiz quadrada da massa Ou seja que o incremento de massa seria 04x50220t seria incrementar em 7 cm a espessura do tabuleiro de concreto Se isso se fizer sem incrementar a rigidez resultaria para uma excitação em 2 Hz um coeficiente de amplificação de 43 A deformação associada a 75 kgm2 seria de 11 mm 0011 m A velocidade angular associada a 2Hz é ω1256 Rads A aceleração resultante seria 43 x 1735 ms2 746 ms2 A aceleração admissível para f18 Hz será 067 ms2 126 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Daí que o peso das pessoas sincronizadas que não gerem acelerações maiores que 067 ms2 será 75x 067746 674 kgm2 Ou seja um total de não mais que 10 pessoas Acontece que incrementar a massa em 40 sem incrementar a rigidez resulta impossível sem comprometer a estabilidade quando a estrutura não estiver sobre dimensionada O reforço necessário para sustentar o incremento de massa levaria ao incremento da rigidez e dissiparia a diminuição na freqüência Como temos visto anteriormente geralmente quando se está na faixa de ressonância não resulta eficiente incrementar a massa Para poder atingir uma freqüência de 3 Hz deveria diminuir a massa em 30 ou seja em 15 t Para isso o tabuleiro deveria pesar a metade aproximadamente 135 kgm2 Vejase que renunciando ao tabuleiro de concreto e projetando um tabuleiro metálico poderíamos diminuir a muito menos que isso com o qual estaríamos nos afastando muito eficientemente da faixa de ressonância As alternativas suplementares possíveis são incrementar a rigidez ou implementar um sistema de controle vibracional modulando o amortecimento Lembrese que a eficiência de mexer com o amortecimento propicia soluções muito eficientes quando se está em casos de ressonância como o nosso A implementação de amortecedores de massa sincronizada Tuned Mass Dampers pode ser uma maneira muito eficiente Para isso teremos que conceber o TMD arquitetonicamente e prédimensionar ele e finalmente depois de construir a passarela medir as freqüências próprias reais e assim ajustar o dimensionamento do TMD Boa solução eficiente também mas nem sempre economicamente atrativa O alcance da solução mediante incremento de rigidez mais inércia pode melhorar a situação em muito mas isso exige a incorporação de seção adicional significativa nos banzos eou mudar significativamente a altura das treliças verticais Se a estrutura metálica já estiver fabricada daria somente para mexer com a seção dos banzos mediante soldadura de chapas por exemplo Se agregarmos reforços com chapas 300x16 2 chapas em cada perfil do banzo superior nos 30 metros centrais a freqüência natural vertical fundamental atingiria os 255 Hz Para marchas de 20 Hz a aceleração admissível seria atingida para a ação de 53 pessoas sincronizadas Para marchas de 21 Hz a mesma seria atingida para a ação de 40 pessoas sincronizadas Para marchas de 22 Hz seria atingida para a ação de 26 pessoas sincronizadas Para marchas de 23 Hz seria atingida para a ação de 19 pessoas Efeitos dinâmicos gerados por atividades humanas 127 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 sincronizadas Para marchas de 24 Hz a aceleração admissível seria atingida para a ação de 12 pessoas sincronizadas Sem duvida com isso se melhora bastante o desempenho mas não o suficiente para atingir padrões mais exigentes e ficando ainda a passarela exposta a fenômenos acentuados de ressonância em casos de passagens de pedestres correndo Espectro de Acelerações de Resposta da passarela em função da freqüência de Marcha Sincronizada de 10 pedestres 128 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 54 Exemplo de avaliação funcional simplificada de alternativas para uma laje No desenvolvimento de certo projeto existem duas alternativas para uma laje de 340 metros quadrados confeccionar com 35 cm de espessura com armadura passiva ou implementar o próstendido e reduzir a espessura a 30 cm 541 Na avaliação se levarão em conta efeitos de pessoas caminhando e de pessoas pulando A carga suplementar permanente é de 200 kgf m2 revestimento Mesmo se no cálculo estático foi considerada uma sobrecarga de 300 kgf m2 aos efeitos da análise dinâmica a massa deve ser tomada de acordo à massa real associada à avaliação Daí que a massa considerada aos efeitos do modelo serão de acordo a 1 pessoa por metro quadrado que assumiremos como 80 kgm2 Para a espessura de 35 cm a massa funcional será 87520080 1155 kgm2 Do output do modelo resulta que a freqüência fundamental é de 627 Hz Um dado muito útil é obter do modelo também a deflexão associada ao peso associado à massa funcional que para 35 cm resulta de 972 mm Se a espessura for de 30 cm a massa funcional seria 75020080 1030 kgm2 a freqüência fundamental 535 Hz e a deflexão associada ao peso associado à massa funcional 1330 mm Assumiremos que o amortecimento é de 1 e lembremos que a amplificação tem a expressão 2 2 2 2 1 1 r r ξ 5411 Avaliação para efeitos de pessoas caminhando sobre a laje Efeitos dinâmicos gerados por atividades humanas 129 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Sendo que nos dois casos a freqüência é maior que 48 Hz nos 2 casos somente pode entrar em ressonância no 3º harmônico devido aos efeitos de caminhada Para d35 resultará que a caminhada critica se dará quando o 3º harmônico da caminhada coincida com a freqüência natural Daí que a amplitude da excitação nos diferentes harmônicos será 1º Harmônico 209Hz amplitude F04x80 32 kgfm² 2º Harmônico 418Hz amplitude F01x80 8 kgfm² 3º Harmônico 627Hz amplitude F01x80 8 kgfm² As amplificações 1º Harmônico r 033 M 1122 2º Harmônico r 067 M 1801 3º Harmônico r 1 M5000 Os deslocamentos associados aos harmônicos 1º Harmônico 32 1155x972 mm x1122 027 mm 2º Harmônico 8 1155x972 mm x1801 012 mm 3º Harmônico 8 1155x972 mm x50 336 mm Deslocamento médio estatístico 338 mm Aceleração estimada para f 209 Hz 2πf² 000338 058 ms² 58 g Da mesma maneira a caminhada critica para d30 será de acordo a 1º Harmônico 178 Hz amplitude F04x80 32 kgfm² 2º Harmônico 356 Hz amplitude F01x80 8 kgfm² 3º Harmônico 535 Hz amplitude F01x80 8 kgfm² Amplificações 1º Harmônico r 033 M 112 2º Harmônico r 067 M 180 3º Harmônico r 1 M5000 Deslocamentos associados aos harmônicos 130 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 1º Harmônico 32 1030x1330 mm x1122 041 mm 2º Harmônico 8 1030x1330 mm x1801 019 mm 3º Harmônico 8 1030x1330 mm x50 517 mm Deslocamento médio estatístico 519 mm Aceleração estimada para f178 Hz 2πf² 000519 065 ms² 65 g 5412 Avaliação para efeitos de pessoas pulando sobre a laje Neste caso a concentração será considerada de 1 pessoa cada 4 metros quadrados Considerando que as pessoas não conseguem coordenar por cima dos 3 Hz para d35 o estado critico será quando a freqüência associada ao 3º harmônico coincida com a freqüência natural da laje 1º Harmônico 209Hz amplitude F18 x20 36 kgfm² 2º Harmônico 418Hz amplitude F13 x20 26 kgfm² 3º Harmônico 627Hz amplitude F07x20 14 kgfm² Amplificações 1º Harmônico r 033 M 1122 2º Harmônico r 067 M 1801 3º Harmônico r 1 M5000 Deslocamentos associados aos harmônicos 1º Harmônico 36 1155x972 mm x1122 030 mm 2º Harmônico 26 1155x972 mm x1801 022 mm 3º Harmônico 14 1155x972 mm x50 590 mm Deslocamento médio estatístico 591 mm Aceleração estimada para f 209 Hz 2πf² 000591 102 m s² 102 g Efeitos dinâmicos gerados por atividades humanas 131 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Para d30 a freqüência natural resulta menor que 6 Hz Ou seja a freqüência diretriz critica se dará quando o 2º harmônico coincida com a freqüência natural da laje Daí que os parâmetros ficariam 1º Harmônico 277 Hz amplitude F17 x20 34 kgfm² 2º Harmônico 535 Hz amplitude F11 x20 22 kgfm² 3º Harmônico 831Hz amplitude F05x20 10 kgfm² Amplificações 1º Harmônico r 050 M133 2º Harmônico r 1 M5000 3º Harmônico r 2 M033 Deslocamentos associados aos harmônicos 1º Harmônico 34 1030x1330 mm x133 058 mm 2º Harmônico 22 1030x1330 mm x50 1420 mm 3º Harmônico 10 1030x1330 mm x033 004 mm Deslocamento médio estatístico 1420 mm Aceleração estimada para f277 Hz 2πf² 00142 430 m s² 43 g A concentração padrão de 1 pessoa por metro quadrado para uma laje de 340 m2 significariam um total de 85 pessoas Essas 85 pessoas gerariam acelerações de até 102g na laje de 35 cm e acelerações de 43 g na laje de 30 cm Daí que para limitar a 65 g a aceleração com pessoas pulando a população máxima pode ser estimada em 54 pessoas na laje de 35 cm e de 13 pessoas na laje de 30 cm Nos dois casos a vibração gerada pela caminhada de pessoas resultará tolerável O critério de projeto de acordo a alvos de desempenho deverá levar em conta a expectativa que a população sobre a laje possa superar estas quantidades de pessoas em eventos nos quais as pessoas pulem de maneira sincronizada ao ritmo da música 132 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 6 Efeitos dinâmicos induzidos pelo vento 61 Introdução A missão do engenheiro de estruturas se concentra em analisar os aspetos ligados diretamente ao comportamento da estrutura e a resposta estrutural Baseandose nos resultados da análise o engenheiro pode dimensionar e julgar se o desempenho da estrutura é adequado ou não Na maioria das vezes as dificuldades surgem do fato que a formulação da excitação apresenta dificuldades singulares É justamente na interface entre a fonte e a estrutura onde o engenheiro de estruturas terá mais dificuldades especialmente quando resulta impossível definir a excitação de maneira determinista O estudo e análise dos efeitos originados pelo vento envolvem um nível de dificuldade especial devido à complexidade dos fenômenos associados à gestação da excitação Esses fenômenos são parte de problemas muito complexos da mecânica dos fluidos e fogem do escopo da disciplina do engenheiro de estruturas ou do que o engenheiro de estruturas pode definir como parte da sua área de ação Certamente o engenheiro civil pode abordar problemas de vibrações originadas em equipamentos mecânicos e também em efeitos humanos sem ter que aprofundar em detalhes da mecânica dos equipamentos nem na fisiologia e anatomia humana Isso devido a que com maior ou menor exatidão poderá ser definida a função excitação de maneira determinista No caso do vento a situação é bem diferente devido à complexa estrutura e comportamento da fonte 62 Natureza da fonte de excitação Quando o ar aquece sobe e é substituído por massas de ar mais frio O fato da movimentação do ar gera o vento cujo fluxo estará condicionado também pela presença de obstáculos e de atrito com o solo Efeitos dinâmicos induzidos pelo vento 133 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 O encontro do vento com a estrutura muda a trajetória do fluxo Como resultado desse encontro o vento gerará forças sobre a estrutura 63 Forças estáticas equivalentes Para casos habituais o engenheiro de estruturas recorre à norma NBR 6123 e determina as forças estáticas equivalentes em função de parâmetros meteorológicos 134 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Esta metodologia leva em conta os efeitos da pressão do vento como estáticos 64 Efeitos dinâmicos devidos à turbulência atmosférica efeitos de rajadas O vento conserva sua velocidade média por intervalos de mais de 10 minutos com o qual pode se dizer que essa velocidade média gera efeitos puramente estáticos As flutuações da velocidade do vento rajadas em períodos curtos são pequenas respeito à velocidade media As freqüências dessas flutuações são bem mais altas que as da velocidade média mas não o suficientemente altas para gerar efeitos relevantes em estruturas baixas com freqüências próprias altas As freqüências das rajadas podem ficar em faixas de freqüência suficientemente altas como para gerar efeitos de sintonização ressonância em estruturas com freqüências próprias baixas estruturas esbeltas Efeitos dinâmicos induzidos pelo vento 135 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Supondo que o Time history da Força exercida pelo vento seja O Time History da Resposta à excitação desse vento para uma estrutura com freqüência natural fundamental alta terá a forma 136 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Ou seja a componente flutuante do vento não induz respostas significativas para estruturas com freqüência natural alta em geral estrutural baixas O Time History da Resposta de uma estrutura com freqüência natural baixa será muito mais pronunciada Quando a freqüência fundamental de uma estrutura é maior que 1 Hz período natural menor que 1 segundo pode se depreciar a contribuição explicita destes efeitos de ressonância Estruturas cuja freqüência fundamental seja menor que 1 Hz serão as susceptíveis de gerar amplificações significativas como resposta à excitação das componentes flutuantes Efeitos dinâmicos induzidos pelo vento 137 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 A presença desses efeitos de ressonância são os que geram efeitos que justificam fazer uma analise dinâmica para vibrações induzidas pelo vento na direção do fluxo do mesmo e o campo de aplicação será o das estruturas esbeltas freqüência natural menor que 1 Hz 65 Metodologia da Norma NBR 6123 A norma NBR 6123 apresenta uma metodologia de cálculo dinâmico que procura levar em conta os efeitos na direção da velocidade do vento das rajadas A metodologia convida a adotar um modelo discreto simplificado Na base desse esquema pode se modelar uma estrutura plana para cada uma de 2 direções ortogonais do vento correspondentes a 2 direções principais dos elementos resistentes a forças horizontais da estrutura 138 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Da análise da estrutura em cada uma dessas direções se acham as freqüências próprias e as formas modais da estrutura jf e φj Se a estrutura for regular será suficiente levar em conta somente o 1º modo e também poderá se calcular os parâmetros modais associados a esse modo único de maneira simplificada Aos efeitos da análise a norma separa os efeitos das rajadas e os efeitos da velocidade média assumindo a rajada como processos estacionários com média zero A força sobre uma porção da estrutura associada à coordenada i será i i i F F F ˆ força associada ao efeito da velocidade média força associada ao efeito da porção flutuante O efeito da velocidade média é assumido como F ef i i ai i z z q b C A F 2 0 2 γ 2 0 0 613 Vp q Pressão dinâmica 2 0 69 0 1 V S S Vp Velocidade de projeto b e p são determinados de acordo à rugosidade do terreno na tabela 20 da norma O efeito da porção flutuante da velocidade é considerado separadamente para cada modo de vibração Na notação empregada à continuação iφ será assumido como o deslocamento modal normalizado correspondente à coordenada i no modo para o qual se está fazendo o cálculo Atenção na notação completa se escreveria ij φ sendo j o índice associado ao modo Do mesmo modo a notação iF também se escreveria ij F Para cada modo de vibração a norma gera uma carga estática equivalente Efeitos dinâmicos induzidos pelo vento 139 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 A expressão da componente da força estática equivalente para a coordenada i do modo sendo analisado é leva a expressão i i H i m m F F φ 0 ˆ sendo que ξ φ φ γ 2 1 0 1 0 0 2 0 i n i i n i i F ef i i ai H m m z z A A C q b A F 0 m e 0 A são uma massa e uma área arbitrárias b é determinado de acordo à rugosidade do terreno na tabela 20 da norma É importante não confundirse com a notação adotada ξ não é amortecimento ξ é o coeficiente de amplificação dinâmica que é determinado mediante gráficos inclusos na norma de acordo com cinco categorias de terreno em função da altura comprimento do amortecimento e da relação fL Vp Onde L 1800 m Uma vez calculadas cada uma dessas forças associadas ao modo em questão se aplicam as mesmas a estrutura e se calculam os efeitos solicitações deslocamentos e outros Esses resultados representam as respostas modais para esse modo Repetese o mesmo procedimento para cada modo obtendose as respostas modais para cada um deles por separado O efeito combinado poderá ser calculado mediante o critério da raiz quadrada da adição dos quadrados das respostas modais calculadas Atenção não esquecer de superpor os efeitos dinâmicos aos efeitos da velocidade média em todo o relacionado à avaliação resistente dos elementos estruturais Aos efeitos funcionais de conforte humano os efeitos da porção flutuante será a única relevante De acordo à norma NBR 6123 a amplitude máxima da aceleração máxima não deverá ultrapassar os 01 ms² Essa aceleração pode ser 140 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 calculada como superposição raiz quadrada da adição dos quadrados das acelerações obtidas para cada coordenada em cada modo Sendo que os efeitos são sempre considerados como estacionários a amplitude da aceleração da coordenada i para cada modo j ij a é obtida a partir da freqüência modal angular j ω e da amplitude do deslocamento associada ao modo j para a coordenada i ij u ij a ω j 2 ij u onde j j π f ω 2 jf freqüência modal associada ao modo j E a avaliação na superposição modal será feita como 2 10 2 m s aij ai j No Anexo C pode ser achada uma qualificação mais ajustada dos efeitos do deslocamento referente à percepção e conforto humano Como se pode compreender este método não é propriamente um método dinâmico Poderia se dizer que se trata de um modelo de superposição de efeitos que levam em conta os efeitos dinâmicos das rajadas associados à resposta da estrutura A norma brasileira NBR6123 ressalta a necessidade de uma análise dinâmica mais exaustiva para casos de estruturas especialmente esbeltas e flexíveis 66 Sinais e Espectros de Fourier Sinais e Espectros de Fourier Da análise de Fourier sabemos que dada uma função periódica Ft podemos descompor a mesma nas componentes harmônicas Efeitos dinâmicos induzidos pelo vento 141 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Esta primeira gráfica representa o valor da função para cada t Se diz que é a representação da função no domínio do tempo Expressando graficamente os valores das amplitudes das componentes harmônicas em função das freqüências obtemos o espectro de amplitudes dessa função expressão da função no domínio das freqüências Esta forma compacta de descrever a função fornece explicitamente informação muito importante que a gráfica no domínio do tempo não contém Mas a informação do espectro de amplitudes é incompleta já que não especifica qual é a fase entre os harmônicos Vejase a função Gt resulta no mesmo espectro de amplitudes e na realidade é bem diferente a Ft 142 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Seja por exemplo a função periódica Ht expressada graficamente no domínio do tempo Visualizando a composição harmônica da mesma Teremos que o espectro de amplitudes será Efeitos dinâmicos induzidos pelo vento 143 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Vejase a diferença entre a função Ht e a função Ft Ft é periódica daí que o espectro dará valores somente nos múltiplos da freqüência fundamental f11 T Ht parece periódica mas na realidade não é Ela tem componentes com freqüências que não são múltiplos da freqüência fundamental Espectros podem ser definidos para qualquer magnitude deslocamento velocidade energia etc associada a um sinal De acordo à periodicidade ou não do sinal teremos espectros de características diferentes O espectro fala do conteúdo de freqüências do sinal Um sinal que não seja cíclico não terá nenhuma freqüência discreta que identifique um certo conteúdo nele Podemos dizer que um sinal que não é cíclico é um sinal de período infinito Extrapolando o conceito de espectro para uma magnitude de um sinal que não seja cíclico nem quasecíclico o conteúdo de freqüências no espectro resultará continuo e não discreto Espectro da magnitude Y de um sinal periódico Espectro da magnitude Y de um sinal quase periódico Espectro da magnitude Y de um sinal transiente 144 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Recapitulando um sinal é uma função do tempo Como temos visto ele pode ser representado no domínio do tempo o que resultaria o mais natural A representação no domínio da freqüência interessa já que deixa expressa propriedades importantes do sinal que são as mais relevantes na análise de excitações e as respostas às mesmas Consideremos o caso de um oscilador simples excitado harmonicamente seja ω a freqüência angular da excitação A resposta estacionária de deslocamentos será na mesma freqüência da excitação mas com certa fase φ Se a gente conhecer todos os parâmetros da excitação e do oscilador a gente poderá achar toda a informação da resposta estacionária amplitude freqüência angular já sabemos que ela é a mesma ω da excitação e também a fase φ Se voltamos a fazer o mesmo experimento com a mesma excitação e o mesmo oscilador os resultados serão exatamente os mesmos Todo está completamente determinado já que os parâmetros eram determinísticos Como vimos anteriormente os sinais determinísticos podem ser classificados em periódicos quase periódicos e transientes Respectivamente os espectros resultantes são discretos com espaçamentos iguais discretos com espaçamentos irregulares e contínuos Sinais quase periódicos resultam por exemplo da combinação de 2 sinais com freqüências ω e ω quando o quociente de ωω não resultar um numero racional Por exemplo o sinal st 3 sen2t 2 senπt será quase periódico Sinais periódicos e quase periódicos podem sempre ser expressos como uma soma de funções senoidais Os sinais transientes são aqueles que não podem ser expressos como soma de funções senoidais Serie de Fourier Exemplos de sinais transientes são quaisquer sinais que não sejam nem periódicos nem quase periódicos st 3t sen ωt stsenlog t etc Comentário Aos efeitos do cálculo ao espectro Xf de um sinal se chega a partir da historia no tempo do sinal xt mediante a Transformada Integral de Fourier Para isso se estende a definição do sinal para t0 e o recorrido da transformada será complexo dt x t e f X ft j 2 π Efeitos dinâmicos induzidos pelo vento 145 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 A tecnologia de processamento de registros permite hoje em dia inferir espectros de maneira automatizada mas com procedimentos analíticos diferentes aos do cálculo manual O importante de destacar é que o espectro de certo sinal resulta atingível na mesma medida que a leitura das historias no domínio do tempo Os tipos de sinal que mais interessam aos efeitos da análise vibracional são os sinais determinísticas e os sinais randômicos Para sinais randômicos estocásticos desconhecemos os parâmetros que nos permitem conhecer a resposta resultante quando os processos são determinísticos A representação matemática dos mesmos exige considerações probabilísticas Em certos tipos de processos randômicos quando se repetem nas respostas aparecerão padrões comuns mesmo se a resposta não será sempre exatamente a mesma como nos sinais determinísticosDe acordo à maior uniformidade na presença desses padrões definidos nos valores atingidos pelos parâmetros estatísticos se terão processos randômicos estacionários e processos ergódicos Ninguém pode agendar certa velocidade de tempo para certo lugar O sinal da velocidade do vento é claramente randômico A pesar disso resulta razoável supor eles como ergódigos Tomemos os Time Histories de velocidades do vento em um certo lugar Consideremos duas amostras sendo que entre um registro e outro passaram 30 minutos Registro 1 Registro 2 146 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Os sinais parecem bem diferentes e resulta difícil enxergando nas historia decidir se existe algum padrão em comum Se agora enxergamos nos espectros de Fourier de amplitudes de velocidade associadas a esses mesmos registros veremos que os mesmos são muito similares Devemos destacar que nestes espectros a cada freqüência corresponde a amplitude associada à velocidade O espectro não fornece informação sobre fase entre componentes Por outra parte o registro resulta pontual e não denuncia qual é a correlação entre valores em um ponto e outro posicionado a certa distancia dele Outra característica de estes espectros extraídos diretamente de amostras locais é que se a gente modificar o intervalo durante o qual se fazem esses registros o espectro resultará modificado também Os espectros correspondem a velocidades totais Dissociando a velocidade meia do vento da porção flutuante poderíamos obter espectros de amplitudes de velocidades flutuantes Do mesmo modo poderíamos obter registros de espectros de potencia das velocidades flutuantes que seriam os espectros dos quadrados das amplitudes das velocidades Efeitos dinâmicos induzidos pelo vento 147 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 67 Espectro de potência da velocidade do vento ou Função de densidade espectral de potência do vento Os espectros de potencia da velocidade do vento expressam a quantidade de energia contida na porção flutuante do vento para cada freqüência Sf A importância dos mesmos surge da interrelação que existe entre eles e os espectros de potencia da pressão flutuante Spf Dado um ponto situado a uma altura z resultará que 2 S z f U c z f S z ar p ρ Onde Spzf é o espectro de potencia da pressão flutuante na altura z S zf é o espectro de potencia da velocidade do vento ρ é a densidade do ar Car é o coeficiente aerodinâmico para o ponto considerado Uz é a velocidade média para a altura z Ou seja para cada altura z de certa estrutura teremos que o espectro de potencia das pressões flutuantes será proporcional ao espectro de potencia da velocidade do vento As expressões dos espectros de potencia do vento foram obtidas empiricamente As mais comuns destas expressões são 6 5 2 2 70 8 1 4 U n U n n nS u u u u l l σ Von Karman 148 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 3 5 2 1 2 1 U n a U n a n nS u u u u l l σ Kaimal 3 4 2 2 2 1 0 67 U nL U nL n nS u u σ Davenport 6 5 2 2 2 2 60 U nL U nL n nS u u σ Harris Nas quais n representa a freqüência em Hz As expressões adotadas por diferentes normas podem ser apreciadas na tabela Efeitos dinâmicos induzidos pelo vento 149 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 150 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Efeitos dinâmicos induzidos pelo vento 151 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Toda expressão de espectro de potencia para ser consistente deverá cumprir 1 0 2 n dn S u u σ Ou seja a área encerrada por baixo da curva deve coincidir com o quadrado do desvio padrão da variável aleatória velocidade ao quadrado 68 Método do vento sintético O propósito do método é levar em conta os efeitos dinâmicos na direção do vento devidos à porção flutuante da velocidade do vento De acordo à metodologia o efeito da porção media da velocidade é assumido como estático A porção flutuante é descomposta em componentes harmônicas 11 de maneira que uma delas coincida com a freqüência fundamental da estrutura Considerase que o intervalo relevante pode ser limitado para freqüências associadas ao intervalo restringido de períodos entre 600 a 05 segundos Gerase uma partição do domínio das freqüências períodos de maneira que um dos intervalos esteja associado à uma freqüência coincidente com a freqüência fundamental O resto das freqüências que estarão associadas aos harmônicos serão iguais à freqüência fundamental dividida por uma potencia de 2 ou multiplicada por uma potencia de 2 fazendo que todas elas estejam dentro do intervalo restringido mencionado anteriormente 05 s a 600 s Por exemplo se o período fundamental for 2 segundos os períodos associados aos harmônicos seriam 05 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 Se o período fundamental for 15 segundos 075 15 3 6 12 24 48 96 192 384 576 152 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Com o qual vemos que sempre resultarão 11 harmônicos Disso resulta que a expressão da excitação por unidade de superfície para o centro da rajada estará dado por k r k k m k T r t C p t θ cos 2π 1 2 k p k z f df S C k r kr 2 m11 deve se lembrar que para um dos valores de k a freqüência deve coincidir com a freqüência fundamental da estrutura O método assume ademais que a máxima amplitude de p será 052 p 52 da pressão total O centro de rajada é suposto numa certa altura da estrutura 085 h Considera ademais que cada componente harmônico estenderá seus efeitos em uma faixa centrada na altura do centro de rajada com amplitudes que decrescem até 0 nos bordes das faixas A largura da faixa fica definida por 2Δzok sendo k k f U z 7 0 Δ 0 Onde U0 é a velocidade média do vento para uma altura de 10m fk é a freqüência do harmônico considerado Ou seja para as componentes de maior freqüência resultará uma faixa de ação mais reduzida Para a superposição das excitações harmônicas se tomam valores de fases aleatória θ1θ11 gerados por meio de um processo de Montecarlo Aos efeitos do cálculo das amplitudes o método assume o espectro de Davenport com alguma modificação Na aplicação do método se adota a expressão do espectro de potencia do vento da norma canadense National Building Code of Canada Efeitos dinâmicos induzidos pelo vento 153 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 0 43 2 2 2 1220 4 1 U f x x x u fS f Onde U0 é a velocidade média do vento para uma altura de 10m u é a velocidade de fricção que depende da rugosidade do terreno f é a freqüência em Hz Assumindo que a turbulência é de baixa intensidade vinculase a densidade espectral das pressões flutuantes p Sp z f e o espectro de potencia do vento para a mesma altura mediante a relação 2 S z f U c z f S z ar p ρ Onde ρ é a densidade do ar Car é o coeficiente aerodinâmico para o ponto considerado z U é a velocidade média para a altura z Com tais ordenadas espectrais podem se calcular as amplitudes das componentes harmônicas no centro de rajada Dessa maneira o procedimento leva à formulação para cada harmônico das amplitudes em cada ponto da superfície da estrutura submetida aos efeitos da velocidade flutuante A partir dessas amplitudes com as respectivas fases obtidas pelo processo de Montecarlo e com as freqüências correspondentes se define a excitação combinada das mesmas Observação a No método se assumem unicamente as respostas estacionárias não se leva em conta a resposta transiente b A faixa considerada como flutuante pelo método inclui períodos de até 600 segundos Ou seja na análise uma parte das componentes harmônicas da excitação gerará na realidade respostas estáticas 154 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 7 Análise sismoresistente de estruturas 71 Terremotos Suas causas e mecanismos Existem três classes de terremotos os de origem tectônica os de origem vulcânica e os produzidos pelo homem Exemplos de abalos sísmicos induzidos pela atividade humana são os originados pela execução de reservatório de água e de represas Os reservatórios de água são muitas vezes construídos em vales cuja conformação geológica está associada a um deslocamento tectônico Ou seja que a água é armazenada num local perto de uma falha Aparece assim um peso adicional considerável que antes não existia e que incrementa os níveis de tensões na falha A água provoca também uma mudança do grau de saturação do solo que contribui a desestabilizálo à vez que lubrifica as falhas Devido a que a infiltração da água nas capas subjacentes não é instantânea pode levar certo tempo até que a desestabilização gere um abalo na região próxima Poderá se dar de uma vez ou em etapas induzidas gradualmente com maior ou menor intensidade na medida em que o solo precisa se reacomodar para poder suportar o peso da água Dependendo do grau de instabilidade previa à construção da obra e da mudança da configuração gerada pela obra poderão surgir abalos moderados ou mesmo terremoto de intensidade considerável O assunto deste tipo de abalos tem sido fonte de polemica e não existe unanimidade se a causa de certos terremotos é a obra de engenharia ou se a presença da mesma por perto do local é simplesmente uma coincidência Casualmente ou não durante os dez anos depois de construída a presa Hoover se produziram centos de terremotos no sul do estado de Nevada Certo é que nos últimos 40 anos vêm se produzindo terremotos de intensidade apreciável em locais de baixo risco e perto de locais onde foram construídos reservatórios A palavra chave para pesquisar informação na rede sobre este fenômeno é RIS Reservoir Induced Seismicity Trabalhos de extração de minerais podem provocar deslocamentos de rochas no subsolo e gerar abalos discretos Podem se dar também de maneira extrema como aconteceu em 1989 com um sismo de magnitude 57 que foi gerado pelo colapso das paredes de uma mina na Alemanha Análise sismoresistente de estruturas 155 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 A extração ou injeção de fluidos no solo pode induzir também abalos Existe quase a certeza que abalos que têm se produzido na região de San Antonio em Texas se devem ao bombeio de água do aqüífero Não se tem registro de abalos de magnitude maior que 3 induzidos pela exploração de aqüíferos o que da para não se inquietar demais É importante destacar que nem sempre a exploração de aqüíferos resulta em abalos mas resulta fatível algum que outro tremor como resultado dessa exploração Um fenômeno interessante é o da região de Los Angeles na Califórnia na qual cada ano se tem uma oscilação das cotas do solo de mais de 10 cm devido ao regime de extração de água e restituição da mesma pelas chuvas efeito esponja Devido à quantidade de chuvas que as vezes acontecem na nossa região e a quantidade de água sendo extraída do aqüífero temos razão suficiente para acreditar que pelo menos tremores menores podem se dar devido ao deslocamentos associados ao efeito esponja Esses deslocamentos podem se manifestar em abalos que ninguém daria importância na Califórnia mas sendo o caso do Paraná ou São Paulo daria para assustar a mais de um É de supor que esse tipo de abalo menor daria para ser percebido por quem estiver em prédios flexíveis e induziria sem duvida muitas ligações aos engenheiros responsáveis pelos projetos Os terremotos tectônicos são os de maior interesse por serem os mais comuns e os mais devastadores A litosfera está constituída por um mosaico de blocos rígidos chamados placas que se movimentam um respeito ao outro Existem 6 placas continentais África América Antártida Austrália Europa e a Placa do Pacifico e 14 placas subcontinentais Nazca Caribe etc 156 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Dos registros sísmicos ao longo do tempo se pode afirmar que as regiões onde se produzem a maior parte dos terremotos são muito definidas e coincidem com os encontros entre placas Uma das explicações para a geração dos terremotos se baseia no equilíbrio térmico dos materiais que compõem o planeta Com o incremento da radiatividade e conseqüente aquecimento do núcleo provocando o deslocamento das capas superficiais cuja temperatura é relativamente baixa Estes fenômenos se manifestam em ciclos de convecção que são os que dão origem a esforços de corte na base das placas e o movimento das mesmas As placas se movimentam livremente respeito as capas subjacentes Astenosfera e também se movem uma respeito à outra de maneiras As maneiras de deslocamento relativo podem ser deslocamento em paralelo aos bordes caso da falha de San Andrés normal ao borde se separando uma da outra origem dos lombos oceânicos ou uma se deslizando por baixo da outra o que é chamado subduction Análise sismoresistente de estruturas 157 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Os terremotos tectônicos são justamente a conseqüência de um deslocamento súbito das placas ao longo das falhas O esforço vai se acumulando até superar a resistência das rochas que se deslocam na hora da ruptura O evento é acompanhado por uma grande liberação de energia até as placas atingir a nova posição de equilíbrio 158 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 As atividades humanas podem também gerar terremotos como conseqüência de grandes recheios hidroelétricas sucção profunda de água de aqüíferos detonação de explosivos e outras Com isso podem se produzir eventos sísmicos em locais nos quais não existem motivos tectônicos para isso Mas também terremotos tectônicos podem se produzir em regiões que ficam bem longe das falhas como na região de New Madrid nos EEUU A energia liberada subitamente pelo sismo se propaga por meio de ondas de deformação Estas ondas são assumidas como elásticas e por isso terão velocidades de propagação definidas pelo modulo elástico e a densidade dos materiais pelos quais se desloca As ondas são classificadas em ondas de corpo e ondas de superfície As ondas de corpo são ondas longitudinais de compressão dilatação ondas P e transversais de corte ondas S As ondas P ou primárias geram deslocamentos do material na direção da propagação e as ondas S ou secundárias geram deslocamentos em planos normais à direção de propagação Análise sismoresistente de estruturas 159 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Os mecanismos de propagação fazem que as ondas P cheguem segundos antes que as ondas S As ondas P se propagam em meios sólidos e líquidos e as ondas S se propagam unicamente em meios sólidos já que os líquidos não tem rigidez ao cortante As ondas superficiais geram deslocamentos unicamente na faixa superficial do solo Se classificam em 2 tipos ondas L Love e ondas R Rayleigh As ondas L são transversais como as ondas S mas possuem somente componentes horizontais normais à direção de propagação As ondas R geram trajetórias elípticas das partículas em planos perpendiculares à superfície livre do solo 160 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 As ondas de superfície se propagam mais devagar que as de corpo e geralmente as ondas L são mais velozes que as ondas R O anterior pode não se dar nos casos de topografias que sejam especialmente mais propicias para a propagação de certos tipos de ondas em e não de outras As características das ondas sísmicas são estudadas na base da leitura das características das vibrações mediante sismógrafos que podem registrar as histórias de deslocamentos velocidades e acelerações do solo Análise sismoresistente de estruturas 161 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Os sismogramas permitem localizar o epicentro de um sismo e também calcular a magnitude em função da máxima amplitude e calculando a diferença de tempos entre a chegada das ondas S e P Para achar o epicentro resulta suficiente 3 registros de lugares diferentes e fazer triangulação A história de acelerações é chamada acelerograma e se realiza mediante acelerômetros Os acelerômetros são dispostos de maneira de conseguir registrar as componentes de aceleração do solo em 3 direções ortogonais 162 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Para definir o tamanho de um sismo se usam 2 tipos de medidas magnitude e intensidade Nenhuma delas resulta realmente relevante desde o ponto de vista da engenharia estrutural e somente os acelerogramas são a base para a análise estrutural A magnitude é uma medida absoluta independente da locação ela se refere à quantidade de energia liberada durante o evento Ela se calcula a partir das amplitudes registradas pelos sismogramas e se expressa em números decimais em escala logarítmica A escala de magnitude mais usada é a de Richter que se baseia em 10 graus de medida A magnitude M não fornece nenhuma informação respeito à duração e componentes de freqüências dos eventos e por isso não fornece nenhuma informação de interesse para os engenheiros Justamente por isso é que a Magnitude é de interesse para sismólogos e para os méios de difusão que procuram em poucas palavras qualificar a importância do evento A intensidade é uma medida completamente subjetiva e procura qualificar o grau de destruição que resultou em um lugar determinado Ou seja a intensidade será maior nas proximidades do epicentro Dizer que um sismo teve mais intensidade que outro não é geralmente uma questão coerente A escala adotada para medir a intensidade é a Mercalli Modificada e se usa a notação MM A escala é de 12 graus identificados pelos números romanos I a XII Aos efeitos de poder tirar proveito da informação dada pela intensidade foram feitos estudos que correlacionam as intensidades com as características dinâmicas que são relevantes para o emprego na engenharia de estruturas Tratase de analogias que se baseiam em extrapolações que tentam identificar quais acelerações do solo podem provocar os danos associados às diferentes intensidades Análise sismoresistente de estruturas 163 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 72 Mapas de Risco Sísmico Os acelerogramas registrados em um local específico dependem da proximidade à fonte das características do solo da topografia da atenuação Os parâmetros mais relevantes para qualificar o movimento do solo são as amplitudes as freqüências e a duração do evento 164 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Dos acelerogramas registrados em diferentes pontos são demarcadas regiões com potencial de risco sísmico similar Levando em conta a freqüência de ocorrência de eventos e a distancia a falhas geológicas se estima a probabilidade que um evento de uma magnitude maior que certa magnitude dada possa acontecer nessa região para certo intervalo de tempo Essa demarcação em regiões com similar risco é a base dos mapas de risco sísmico Nesse mapa cada região tem associada uma aceleração pico do solo expressada em termos de g 73 Resposta Estrutural As respostas estruturais devidas às forças inerciais às quais a estrutura está submetida durante um terremoto são função das acelerações do solo das características do solo da duração da excitação da resistência à fricção da estrutura com o solo das propriedades dinâmicas da estrutura e outras muitas variáveis A estrutura cuja base acompanha o deslocamento do solo poderá gerar respostas amplificadas na medida em que as freqüências próprias da estrutura coincidam com freqüências para as quais a vibração do solo possui componentes de importância O amortecimento será também um fator importante na determinação do nível de resposta o usual é assumir um amortecimento de 5 ξ005 O movimento de uma estrutura de um grau de liberdade submetida a uma história de acelerações do solo estará governada pela equação 2 2 g t n n u u u u ω ω ξ ut é a coordenada do deslocamento horizontal em um sistema solidário com o solo não é um sistema Galileano já que o solo está se movimentando com aceleração ügt ξ é o amortecimento 005 ωn é a freqüência angular natural da estrutura Em geral se usa como parâmetro o Tn período natural Tn 1 2πωn ügt é a história de aceleração horizontal do solo na direção de ut Resulta difícil formular uma solução analítica da equação já que não pode se obter de maneira generalizada as componentes de Fourier dessa função ügt O que mais interessará ao engenheiro de estruturas será poder estimar o deslocamento máximo já que as solicitações internas da estrutura se derivam e são proporcionais a ele Análise sismoresistente de estruturas 165 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Para cada história de acelerações ügt a resposta ut de um sistema de um grau de liberdade dependerá somente de Tn e de ξ Na figura pode se ver a resposta de deslocamentos devido à historia de acelerações em certa direção de um certo terremoto para três 3 sistemas de um grau de liberdade com idêntico amortecimento e com períodos naturais de 05s 10 s e 20 s Lembrando que o deslocamento ut é medido no sistema relativo podemos dizer que ut representa a deformação do sistema ou seja que poderá ser definida uma força estática equivalente associada a essa deformação que seria a força que provocaria a mesma deformação que foi provocada pelo terremoto t s t k u f Deve se ter cuidado na interpretação dessa força fs que é função do tempo já que ut varia mas se formos assumir ela como uma história de excitação teríamos que a historia do ut daria bem diferente O fs t pode se definir como uma força que atuando quase estaticamente sobre o sistema daria para cada t a deformação que o sistema experimenta durante o terremoto k é a rigidez lateral do sistema de um grau de liberdade Com o qual pode se dizer que 166 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 2 t t n s t m A u m f ω 2 t n t u A ω At é chamada Pseudo Aceleração ou Aceleração Espectral do sistema IMPORTANTE Não se trata de uma história de acelerações se trata de um parâmetro fictício que permite achar em cada instante mediante análise estático a resposta da estrutura O cometido central do engenheiro de estruturas nas horas de trabalho consiste em dimensionar adequadamente os elementos estruturais Se a isso agregando que o engenheiro está geralmente habituado a desenvolver análises estáticos concluímos que o conhecimento da aceleração espectral resulta muito útil e confortável mas na realidade o dado que será realmente importante será saber será o valor máximo ou seja o valor de At que gera as solicitações máximas que são as mais desfavoráveis e as que em definitiva definirão o dimensionamento Para poder dimensionar qualquer estrutura de 1 grau de liberdade submetida a esse evento sísmico o que importará ao engenheiro será saber qual será a força máxima ou equivalentemente a aceleração espectral ou o deslocamento máximo para cada configuração estrutural Isso implica ter os pseudo parâmetros para cada possível Tn e cada possível ξ Análise sismoresistente de estruturas 167 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 74 Espectros de resposta O Espectro de Resposta de um terremoto será a gráfica que fornece as respostas pico de todos os possíveis sistemas de um grau de liberdade em função do Tn ou fn desses sistemas sujeitos a uma componente particular direção do movimento do solo Da mesma maneira poderão ser definidos Espectros de Resposta de Deformação pseudodeslocamento de PseudoVelocidade e de PseudoAceleração 168 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Os três espectros são fontes de informação importante e são necessários para uma visualização da resposta do sistema O espectro de deformação fornece a deformação pico do sistema O espectro de pseudovelocidade está relacionado à quantidade máxima de energia que do sistema durante O espectro de pseudo aceleração fornece a força estática equivalente e o cortante na base Cumprese que T D V A T n n π π 2 2 Os três espectros podem ser representados graficamente de maneira simultânea mediante o Espectro Combinado de Resposta DVA Análise sismoresistente de estruturas 169 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Os espectros de resposta são definidos para certa direção o que equivale a dizer que são as respostas para uma certa componente de deslocamento do solo No mesmo lugar as componentes de direções diferentes terão respostas diferentes O interesse da engenharia não consiste em poder adequar o dimensionamento para certa direção de acordo à ação de um terremoto que aconteceu em outro lugar no passado O engenheiro precisa de espectros de projeto O espectro de projeto para certa locação se baseia em movimentos do solo em muitos eventos passados registrados em outros lugares em condições similares ou ajustando os valores de acordo às diferenças geotécnicas tanto dos locais como das regiões pelas quais as ondas sísmicas terão que atravessar de distancia a falhas do tipo de falhas presentes nas proximidades O espectro de projeto será fruto de uma análise estatística de espectros de resposta de um grande numero de eventos O estudo estatístico fornece a distribuição probabilística das ordenadas espectrais e o desvio para cada Tn A gráfica de todos os valores médios será em definitiva o espectro elástico de projeto 170 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 As normas para projetos de estruturas resistentes a sismos subministram as bases para construir o espectro de projeto adequado para certo tipo de estrutura com certa função e para certo lugar geográfico Muitos são os dados que influênciam na forma final do espectro de projeto particular 75 Espectro dúctil de projeto O alvo da Engenharia de Estruturas quando se refere a eventos sísmicos não pode consistir em garantir a integridade estrutural e funcional da estrutura quando ela estiver submetida aos esforços associados ao evento de maior intensidade que a norma dai cobertura Em geral podemos dizer que para o evento mais intenso dependendo do tipo de estrutura a meta será garantir um desempenho adequado da mesma Esse desempenho adequado consiste em geral em impedir o colapso mas com a possibilidade de dano parcial Ou seja que é de esperar que para parte dos elementos estruturais os limites elásticos serão ultrapassados quando acontecer o sismo mais intenso possível Quando certos elementos estruturais deixam de se comportar como elásticos a resposta estrutural muda respeito a dos espectros elásticos O dano estrutural sem colapso propicia a dissipação de parte importante da energia que o solo repassa à estrutura Ao mesmo tempo a estrutura vira mais flexível o que implica na maioria dos casos respostas menores das que teria a estrutura de continuar se comportando elasticamente Na maioria das normas a passagem de espectros elásticos a plásticos se efetua mediante a divisão por um valor que em geral é denominado R Na norma brasileira R é chamado Coeficiente de Modificação da Resposta Na figura pode se ver a cópia da tabela com os valores assinados a R para diferentes tipologias estruturais Até 8 Ou seja os esforços para as quais o engenheiro calculará os elementos estruturais do projeto serão varias vezes menores que as respostas elásticas O grande desconto fornecido pelo R está sempre condicionado Para poder reduzir as solicitações deverá ser respeitado certas condições que garantam a ductilidade da estrutura e que garantam que a estrutura não colapsará antes de desenvolver os mecanismos de desperdiço energético Análise sismoresistente de estruturas 171 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Exemplo de redução característica de valores espectrais entre o espectro elástico e espectro de projeto de acordo a UBC 172 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Análise sismoresistente de estruturas 173 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 T T 1 1 1 1 0 R T T T T A A c d β αϕ 4 R β c T T T R A Ad αϕβ 0 T T p d T T R A A αϕβ 0 s T 40 1 21 15152 1 0 788 175 0 T T Ad s T s 01 40 0 082 Ad s T 01 T Ad 0 082 121 0 15 152 1 0788 0175 1 1 1 1 T T R T T T T A p β αϕ ACELERAÇÃO ESPECTRAL A0 0 0082 R βαϕ A T T T R A p 0082 0 βαϕ T 4 04 10 PERÍODO T seg Exemplod o espectro de projeto para um depósito de açúcar na localidade de Sabaneta na Venezuela 174 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 76 Método de Análise Multimodal Dado um sistema de vários graus de liberdade a análise multimodal do mesmo começa pelo calculo dos modos de vibração do sistema e os respectivos Tn Do espectro de pseudo acelerações de projeto pode se obter a resposta associada a cada um dos modos e para cada modo analisado por separado poderão se obter as solicitações que serão as respostas modais associada a cada solicitação Mediante uma metodologia de superposição se combinam as respostas A metodologia de combinação é geralmente a da raiz quadrada da suma dos quadrados e se aplica para momentos cortantes forças axiais deslocamentosComo conseqüência disso os esforços internos obtidos para dimensionamento e avaliação não estarão em equilíbrio Se a diferença entre períodos modais consecutivos for menor que 10 terá que se adotar regras de combinação especiais A continuação uma explicação mais detalhada da metodologia Etapa 0 Geração do espectro de projeto de acordo às diretivas da norma e de acordo aos dados particulares do projeto Etapa 1 Cálculo dos períodos próprios e das formas modais Etapa 2 Cálculo para cada modo do peso efetivo modal e do fator de participação modal Para cada modo se calcula o peso efetivo modal 2 2 i i i i E w w W φ φ Σ Σ E o fator de participação modal P ΣwiφiΣwiφi 2 wi são os pesos associados a cada coordenada i Análise sismoresistente de estruturas 175 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 φi são os deslocamentos modais de cada coordenada i Se a soma dos pesos efetivos modais for menor que 90 do peso total da estrutura deverá se agregar mais modos até ultrapassar essa porcentagem Etapa 3 Extração das respostas modais associadas aos períodos modais de acordo ao espectro de acelerações pseudo acelerações de projeto Etapa 4 Cálculo dos cortantes modais e das forças modais O cortante modal para cada modo é g W V E D β As forças modais são proporcionais a wi φi e a soma delas em cada modo deverão ser iguais ao cortante modal ou seja que i VD wi wi i Fi φ φ Etapa 5 Cálculo para cada modo de acordo às forças modais dos esforços relevantes para o dimensionamento 176 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Etapa 6 Resumo de esforços para dimensionado de acordo ao método de combinação modal 2 3 2 2 2 1 b b b M M M M 77 Mitigação do dano sísmico e a eficiência da engenharia civil na mesma É usual definir os propósitos da Engenharia Civil referentes aos aspetos sismo resistentes como a Prevenir dano estrutural e não estrutural para terremotos de menor intensidade b Prevenir danos estrutural e minimizar dano não estrutural para eventos de intensidade moderada c Impedir o colapso da estrutura para as máximas intensidades esperadas Mas os efeitos dos terremotos não são somente estruturais também geram a Instabilidade do solo b Vibração do solo que resulta em dano e até colapso de estruturas c Vibração das estruturas que resulta em dano de elementos não estruturais d Vibração das estruturas que resultam em incêndios e Liquefação f Assentamentos diferenciais g Espelhação Lateral lateral spreading h Deslizamento de terra i Tsunamis j Incremento do empuxo em muros de contenção que resultam em colapsos k Conseqüência de todos os efeitos perda de vidas humanas perdas econômicas e colapso funcional da sociedade Análise sismoresistente de estruturas 177 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Liquefação e spreading lateral devidos ao terremoto de Kobe As manifestações do dano em estruturas de concreto armado devido a eventos sísmicos são a Desempenho inadequado da interfase fundaçãosolo b Fissuras de corte e flexão em vigas c Excesso de compressão em pilares devido a flexão conseqüência de qualidade deficiente do concreto d Falha de estribos de pilares que leva a flambagem das barras longitudinais de pilares e Falhas de cortante em vigas e pilares f Falhas de desempenho das conexão pilar viga g Detalhamento inadequado da armadura estribos ancoragens etc h Colapso global de edifícios geralmente devido a aparição das manifestações anteriores que impediram o desenvolvimento de mecanismos de dissipação de energia por ciclos histeréticos resposta não dúctil da estrutura O ato do cálculo pelos engenheiros de acordo a normas não é suficiente para mitigar o dano global devido a eventos sísmicos Mas ainda cálculo persé nem pode dar cobertura à mitigação do dano estrutural quando os engenheiros não conseguem evitar as configurações indesejáveis que são justamente as que propiciam o desempenho inadequado das estruturas na maioria dos casos de colapsos acontecidos no pasado 178 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 a Falta de elementos resistentes em uma das direções b Pilares curtos c Andares flexíveis geralmente no térreo d Conexões Pilar flexível Viga rígida e Descontinuidades dos sistemas responsáveis da resistência a forças horizontais f Falta de simetria g Juntas insuficientemente largas interhammering Obviamente não poderá se esperar um bom desempenho das estruturas que não possuem elementos que forneçam rigidez para uma das direções das direções Análise sismoresistente de estruturas 179 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 A falta de um sistema responsável pela estabilidade a forças horizontais pode ser visualizada com facilidade como no caso da figura Obviamente um projeto com essas características seria inaceitável em regiões com risco sísmico significativo A presença de pilares curtos short columns implica a concentração de cortantes elevados em pilares que apresentam rigidez maior devido à presença de paredes que podem não ser estruturais Quando o pilar curto é gerado por um muro ou parapeito de concreto o engenheiro estruturalista poderá e deverá estar ciente da problemática já que com certeza ele fará os detalhes do mesmo Um muro ou parapeito de alvenaria gera um pilar curto mesmo se o entrave não tem a missão de resistir forças no plano ele estará atuando e sua resistência é geralmente suficiente para não quebrar sem rigidizar o pilar e gerar dano nele como mostram as fotos seguintes Muitas vezes os pilares curtos aparecem devido a necessidades arquitetônicas e funcionais relativas a iluminação e ventilação 180 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Terremotos em regiões urbanas sempre mostram que a presença de pilares curtos são inevitavelmente focos de dano estrutural e em muitos casos esse dano degenerou em colapso Análise sismoresistente de estruturas 181 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 182 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Análise sismoresistente de estruturas 183 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 As necessidades da arquitetura urbana propiciam plantas de térreos com poucas vedações para propósitos de uso público estacionamentos comerciais etc Nesse tipo de configurações gerase dano concentrado nos pilares do andar flexível 184 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Os danos devidos à presença do andar flexível também são sumamente freqüentes Na figura pode se apreciar o que aconteceu com um prédio de 2 andares em Guajarat Índia cujo térreo era flexível O prédio da figura tinha 2 andares Análise sismoresistente de estruturas 185 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Quase 20 anos antes uma coisa parecida tinha acontecido nos EEUU com o 1º andar da unidade psiquiátrica do hospital Olive View Os andares flexíveis e os pilares curtos são casos extremos nos quais a estrutura não consegue desenvolver nenhum mecanismo de ductilidade Nos dois casos o colapso começa nos pilares geralmente na vizinhança da conexão com as vigas Algo similar acontece quando as vigas dos pórticos resultam bem mais rígidas que os pilares como no exemplo da figura 186 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Aos efeitos de cargas horizontais que não ultrapassem o limite elástico de nenhum elemento estrutural a presença de vigas rígidas não empioraria a situação dos pilares O dimensionamento sismoresistente como foi mencionado previamente não pretende que a estrutura permaneça sem dano em eventos de alta intensidade e o bom desempenho da estrutura está ligado diretamente ao talento da estrutura em gerar mecanismos de dissipação energética sem colapsar A presença de vigas rígidas implica que o dano se produzirá nos pilares sem que as vigas tenham atingido o limite elástico Sendo o pilar o elemento no qual o dano leva rapidamente à instabilidade geralmente associado ao efeito Pdelta pelos deslocamentos devidos à flexibilidade ocasionada pela aparição da rótula o colapso da estrutura será atingido antes que o resto da estrutura apresente nenhum mecanismo de ductilidade As configurações mencionadas anteriormente são levadas em conta pelas normas mediante incrementos locais de cortantes Nenhum aviso aparecerá na análise multi modal Um erro muito comum é conseqüência de esquecer as diretivas normativas referentes a essas configurações Deve se ressaltar que a redução das ordenadas espectrais presentes nas normas não se justificariam se a estrutura apresentar alguma destas configurações já que elas impedem o desenvolvimento de processos de dissipação energética que neles se inspira a redução da resposta Análise sismoresistente de estruturas 187 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Outro aspecto importante é a realização de detalhes de armadura de acordo a diretivas cuja finalidade é justamente garantir a ductilidade da estrutura Depois dos terremotos resulta comum visualizar marcadas conseqüência do detalhamento inadequado da armadura em especial no referente aos estribos dos pilares que na hora do evento sísmico são submetidos a cortante e se geram fissuras de corte e a armadura de cortante simultaneamente não consegue sujeitar adequadamente as barras verticais comprimidas especialmente na vizinhança da fissura o que degenera em flambagem das barras como pode se apreciar na figura A conjunção de efeitos associados a estribos inadequados de pilares e à presença de andares flexíveis pilares curtos ou vigas rígidas acentuam a fragilidade dos pilares e a conseqüente fragilidade da estrutura que em muitos casos colapsa 188 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 As normas impedem levar em conta pórticos que apresentem conexões Pilar viga excêntricos Análise sismoresistente de estruturas 189 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Uma das problemáticas existentes no cumprimento das normativas sismo resistentes é resultado do fato que nem todas as diretivas que devem ser cumpridas estão incluídas explicitamente nas normas especializadas em sísmica Muitas das diretivas sísmicas relacionadas ao detalhamento de armadura são levadas em conta nas normas sísmicas mediante a exigência de ductilidade Com certeza deve ser a norma de concreto armado que se ocupe de especificar e detalhar como deverá se fazer o projeto de armadura para que as mesmas tenham cobertura nas plantas de projeto Em muitos paises nos quais as normas sísmicas são relativamente novas carecem de normas de concreto armado adequadas às mesmas O resultado é que são adotados coeficientes de redução da carga devido à ductilidade generosos o que exigiria o respeito de diretivas ainda inexistentes nas normas de concreto A conseqüência é a ineficiência da norma e o desempenho inadequado das estruturas Quando se fala da repercussão econômica e de complexidade de projeto e execução ligado à incorporação de normas sismoresistentes em projetos de concreto armado deve ser levado em conta que as mesmas estarão principalmente nas normas de concreto na necessidade de fornecer ductilidade e não no relacionado estritamente às forças horizontais que a norma sísmica define 78 Dano não estrutural Sem restar da importância que o dano estrutural possui no cenário de um evento sísmico resulta importante reconhecer que o dano não associado ao colapso das estruturas nem ao dano de elementos definidos como estrutura pode gerar prejuízo também em vidas humanas de grande importância A importância da mitigação do dano não estrutural adquiriu novo perfil depois do terremoto de Northridge quando 13 hospitais foram interditados devido a dano não estrutural quando nenhum deles apresentava dano estrutural significativo 190 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Estatua de Louis Agassiz no Campus de Stanford depois do terremoto de 1906 em San Francisco Incêndios caída de vidros e revestimentos e outros colapsos não estruturais são causas de dano muito significativo A sociedade espera que o engenheiro de estruturas seja quem proteja a mesma dos efeitos indesejáveis dos terremotos mas na realidade parte dos danos estão associados a elementos que não são parte da responsabilidade dos mesmos Nas plantas de execução da estrutura não estarão detalhadas as tubulações de oxigeno do hospital se elas não estiveram sujeitas adequadamente balancearão baterão com outras tubulações quebrarão e darão origem ao colapso funcional do hospital ou a um incêndio Nenhum engenheiro é consultado quando no acesso a um prédio de importância critica o arquiteto decide instalar um elemento decorativo estátua lustre ou vitraux que poderá cair machucar pessoas e levar ao colapso funcional do edifício Análise sismoresistente de estruturas 191 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Inevitavelmente a mitigação eficiente do dano sísmico deve exigir atenção especial também respeito a elementos não estruturais cuja responsabilidade foge do que geralmente é assumido como área de ingerência do engenheiro de estruturas A tarefa da mitigação do dano não estrutural deve começar com a triagem de todos os elementos não estruturais de acordo ao potencial efetivo de dano que eles apresentam desde a abertura de uma parede para a passagem de uma caneleta de ar condicionado que gerará um pilar curto que não foi levado em conta até a prateleira onde estão os medicamentos que serão imprescindíveis nas primeiras horas depois do evento A triagem deve levar à edição de regras simples que possam ser cumpridas sem a necessidade de intervenção de profissionais especializados até os casos que exijam um calculo detalhado Deve ser destacado que a avaliação da estabilidade de elementos não estruturais pode exigir às vezes a aplicação de metodologias não triviais como ser o cálculo de espectros de aceleração do andar floor spectra que dependem da configuração da estrutura que sustenta o elemento e que muitas vezes é confundido com o espectro de pseudoaceleração Em termos de custobeneficio a mitigação não estrutural possui um retorno avantajado respeito à mitigação estrutural especialmente no relacionado com reforços de edifícios existentes 192 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Anexo A Excentricidades típicas de rotores Excentricidades típicas de rotores valores de referência Tipo de Máquina Freqüência RPM Freqüência Hz Período s Freqüênci a Angular Rads Estimativa de e mm Maquinas Centrifug as Geral 750 125 008 785 018to 082 1500 250 004 1570 010 3000 500 002 3140 003 Para Compress ores API RPM f RPM60 T 60RPM ω RPM955 00254 Motores elétricos 1000 17 006 105 00318 1000 to 1500 17 to 25 004 to 006 105 to 157 00254 1500 to3000 25 to 50 002 to 004 157 to 314 00191 3000 to 4000 50 to 67 0015 to 002 314 to 419 00127 Motores de Indução 1000 17 006 105 00381 1000 to 1500 17 to 25 004 to 006 105 to 157 00318 1500 to3000 25 to 50 002 to 004 157 to 314 00254 3000 to 4000 50 to 67 0015 to 002 314 to 419 00127 Anexo B 193 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Anexo B Tabelas de referência para qualificar o nível de resposta de maquinarias B1 VDI 2054 A norma VDI 20561964 foi desenvolvida na Alemanha na base dos estudos feitos por Rathbones A faixa de freqüências do escopo das diretivas da VDI 20561964 vai desde 10 Hz até 1000 Hz Os valores das normas BS 4675 e ISO 2372 são idênticas a VDI 2054 194 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Anexo B 195 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 B2 Rathbone Chart B2 Rathbone Chart foi elaborada por TC Rathbone no ano1939 Ele expressou as velocidades pico a pico relacionadas a diferentes graus de desempenho funcional das máquinas para diferentes freqüências operacionais O interesse é basicamente como referencia histórica 196 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 B3 Michael Blake Na década de 1960 Michael Blake publicou uma versão melhorada da Carta de Rathbones Nela Blake separou as regiões de desempenho em faixas de 10 dB para freqüências de 5 Hz até 10000 Hz Anexo B 197 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 B4 Norma IRD A norma IRD expressa os valores em termos de flutuação pico a pico de velocidades Seus valores são duvidosos como referencia válida para certas faixas de velocidades e de cargas 198 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Anexo C Níveis de Percepção Humana de Vibrações Níveis de Percepção Humana de Vibrações Níveis Aceitáveis de Vibrações aos quais seres humanos estão submetidos em diferentes cenários C1 Níveis de percepção humana de vibrações Os valores indicados são acelerações pico para pessoas paradas submetidas a vibrações verticais C2 ISO 26312 Acelerações pico máximas recomendadas para conforto humano Anexo C 199 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 C3 ISO 26311 ISO 26311 Limites de tempo de exposição a vibrações longitudinais aos efeitos de evitar sensação de fadiga Para evitar desconforto os limites de tempo de exposição devem ser 315 vezes menores 200 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 C4 ISO 26311 ISO 26311 Limites de tempo de exposição a vibrações transversais aos efeitos de evitar sensação de fadiga Para evitar desconforto os limites de tempo de exposição devem ser 315 vezes menores Anexo C 201 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 C5 DIN 41504 Valores máximos aceitáveis de amplitude da velocidade em mm s de acordo a DIN 41504 Finalidade do edifício Para nível de fundação No andar superior para qualquer freqüência 1Hz f10Hz 10Hzf50 Hz 50Hzf100Hz Comercial industrial 20 mms 20 mms a 40 mms 40 mms a 50 mms 40 mms Moradia 5 mms 5 mms a 15 mms 15 mms a 20 mms 15 mms Hospitais Bibliotecas e outros tipos de funções que exigem limitação especial de níveis de vibração 3 mms 3 mms a 8 mms 8 mms a 10 mms 8 mms 202 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Anexo D Valores recomendados para serem empregados na avaliação funcio nal de Efeitos de Atividades Humanas Freqüências Características de Atividades Humanas e valores a serem adotados de acordo aos diferentes tipos de estruturas Anexo E 203 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Anexo E Unidades logarítmicas de amplitude vibracional A escala em decibéis para velocidades está definida de maneira logarítmica a partir de um valor de referencia Vref suficientemente baixo para o qual se associa o valor O decibel Uma velocidade 1 V terá associado um valor em decibéis 20log10 1 V Vref O decibel se usa para designar amplitudes de vibração e se emprega tanto para deslocamentos velocidades e acelerações Quando se refere a velocidades se usa a abreviatura VdB e geralmente a velocidade de referência é o definido pelo Sistema Internacional uma milésima de micrometro por segundo 0001 μms Ou seja que em geral pode se dizer que o valor em VdB associado a uma velocidade v será m s v VdB 20log10 9 A armada e diversas indústrias dos EEUU usam o valor de referencia das velocidades associada a O dB como uma centésima de micrometro por segundo 001 μms Com isso os valores assinados com um mesmo valor VdB nos EEUU resultam maiores em 20 VdB A vantagem de usar as unidades VdB é muito discutível Existe uma vantagem clara na visualização de picos espectrais baixos 204 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Deve se ter cuidado especial na interpretação das ordenadas já que nas escalas logarítmicas as diferenças representam o que seriam quocientes entre os valores em escalas proporcionais Uma medida que for maior em 20 VdB que outra resulta ser 10 vezes maior Uma medida maior em 6 VdB será o duplo Observese que uma vibração com freqüência 1592 Hz terá uma freqüência angular de 1000 Rad s Ou seja que uma vibração cuja amplitude de velocidade seja h ms resultará numa amplitude de aceleração 1000h ms2 e numa amplitude de deslocamento de h1000 m A definição dos valores de referencia das escalas em decibéis para deslocamentos DdB e acelerações AdB são feitas de maneira que na freqüência de 1592 Hz 1000 Rad s as quantidades AdB VdB e DdB coincidam Dessa maneira as relações entre as quantidades para uma certa freqüência f dada em Hz serão Anexo E 205 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 24 20log 44 20log f D f A V dB dB dB 20 40log f A D dB dB A passagem de decibéis a unidades métricas pode ser efetuada mediante as fórmulas 20 180 10 VdB v m s 20 120 10 AdB a g Anexo F Revisão de diretivas de verificação de fadiga de acordo à Norma ABNT NBR 61182003 Revisão de diretivas de verificação de fadiga de acordo à Norma ABNT NBR 61182003 e introdução à aplicação dos mesmos em projetos de estruturas submetidas a excitações dinâmicas F1 Revisão de parâmetros básicos na suposição que se esteja empregando concreto C30 F11 Concreto C30 fck 30 MPa 300kgfcm² fcd fckγc 3014 214 MPa 214 kgfcm² fctm 03 fck23 29 MPa 29 kgfcm² fctinf 07 fctm 20 kgfcm² O Módulo de Young para cargas dinâmicas é maior mais aos efeitos do cálculo resulta uma boa aproximação trabalhar com os módulos estáticos Para esforços reduzidos pode se adotar para maior exatidão A aderência à armadura pode assumirse também a mesma Eci 5600 fck12 30670 MPa 30 105 kgfcm² Eci 5600 fck12 30670 MPa 30 105 kgfcm² Ecs 085 Eci 26070 MPa 26 105 kgfcm² Anexo F 207 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 F12 Armadura CA50 fyk 500 MPa 5000 kgfcm² fyd fyk sγ 5000115 4350 kgfcm² s E 210 GPa 21 106 kgfcm² CA50 ε yd 02 0002 F2 Revisão dos estados de carga normativos F21 Estado Limite Último ELU 41 γ f a Bernoulli b Deformação da armadura passiva similar à do concreto em contato c Não se leva em conta a contribuição do concreto comprimido d Configuração do concreto comprimido 208 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 e Estado de deformações associadas ao ELU Para uma seção retangular Para 20 sε resulta x063 d z075d Md Md max 068bfcd063d075d 032bd2fcd AsMd max043bd fcdfyd Anexo F 209 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 F22 Estado Limite de Serviço ELS 01 γ f 0 85 fcd b f x A f T cd s yd sd 0 85 80 cd s yd f b A f x 68 0 x d z 40 z T M sd d Estádio II cy c ε ε c cs c σ ε ε sA yk s ε ε s s s σ E ε bd ρs As 1 2 1 s s d s s x α ρ α ρ cs s s E α E 3 x d z z bx z A M c s s k σ σ 2 210 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Para CA50 e C30 s α 21 106 26 105 808 F23 Estado limite de Fadiga F231 Verificação do Concreto Condição para a verificação em fadiga do concreto comprimido ABNT NBR 61182003 ELS and s α 10 cd cd fad c c f f f 0 45 max η γ σ γ f 1 c cd cd fad c f f η σ 0 45 max F232 Verificação da Armadura sd fad s f f γ Δσ Δ Anexo F 211 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 212 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 F233 Verificação da fadiga no estado limite de serviço efeito de amplificação de deformações 0 05 1 0 25 50 51 n n e a a n a deformação depois de n ciclos 1a deformação resultante do 1º ciclo F234 Exemplo de laje h150cm em flexão pura F2341 Estádio I Momento associado à primeira fissura r m 100 1502 6 fctm 375000 20 75 105 kgfcmm 75 tfmm F2342 Armadura necessária de acordo a ELU h150 cm d140 cm sA mín 000173 100 140 2422 cm²m 25 cm²m sA máx ELU 043 100 140 2144350 296 cm²m 300 cm²m Anexo F 213 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Não se leva em conta a contribuição da armadura comprimida Momento admissível Mkall em função da seção de armadura sA Mkall 435 sA 1 86104 sA Mkalltfmm sA cm²m sA Tsd x ELU zELU Mdall Mkall cm² m tm cm cm tmm tmm 25Φ25420 109 75 137 149 106 286 Φ254175 124 86 137 170 121 33 Φ25415 144 99 136 196 140 40Φ254125 174 12 135 235 167 50 Φ25410 218 15 134 292 209 75 326 225 131 427 305 100 435 30 128 557 398 125 544 375 125 680 485 150 655 45 122 799 570 175 761 525 119 883 630 200 870 60 116 1009 720 225 979 675 113 1106 790 250 1088 75 110 1197 855 275 1197 825 107 1280 914 300 1305 90 104 1360 970 F2343 Esforços no aço e no concreto em ELS para as quantias de armadura calculadas de acordo ao ELU h150 cm d140 cm s α 10 d140cm s ρ sA 14000 As ρs x ELS zELS Mk σc σs cm2m cm2cm2 cm cm tmm Kgcm2 Kgcm2 25Φ25420 00018 24 132 80 51 2424 25Φ25420 00018 24 132 106 67 3212 286 Φ254175 00020 25 132 121 73 3205 33 Φ25415 00024 28 131 140 78 3240 40Φ254125 00029 30 130 167 86 3211 50 Φ25410 00036 33 129 209 99 3240 75 00054 39 127 305 123 3202 100 00071 44 125 398 146 3184 125 00089 48 124 485 163 3129 150 00107 51 123 570 180 3090 175 00125 55 122 630 190 2951 200 00143 57 121 720 207 2975 225 00161 60 120 790 219 2925 250 00179 62 119 855 230 2874 275 00196 64 119 914 238 2793 300 00214 66 118 970 246 2740 F2344 Verificação em fadiga da compressão do concreto fcdfad 045 fcd 045 214 96kgfcm2 ηgγf σcmáx ηc σcmáx Para x30 σc10 ηc 067 Se x30 σc1 σcmáx 1 30x ηc 11 15x As Mk x ELS ηc σc ηc γf σcmáx fcdfad cm² m tfmm cm kgfcm² kgf cm² 25Φ25420 80 24 067 51 34 25Φ25420 106 24 067 67 45 OK fcdfad 286 Φ254175 121 25 067 73 49 33 Φ25415 140 28 067 78 52 40Φ254125 167 30 067 86 58 50 Φ25410 209 33 069 99 68 75 305 39 072 123 88 100 398 44 075 146 110 X 125 485 48 076 163 124 150 570 51 077 180 139 175 630 55 079 190 150 200 720 57 079 207 163 225 790 60 080 219 175 250 855 62 080 230 184 275 914 64 081 238 193 300 970 66 081 246 199 Conclusão Se estou precisando de menos que 75 cm²m de armadura de acordo ao ELU não terei problemas de fadiga no concreto F2345 Verificação da armadura em fadiga γf Δσs Δfsdfad γf 1 Assumindo que Δσs σs a condição vira σs Δfsdfad Muitas vezes a avaliação exige levar em conta discriminadamente os aspectos operacionais da instalação aos efeitos de chegar a conclusões certas Na medida em que a estrutura seja excitada por diferentes maquinarias com tempo de operação parcial freqüências simultaneidade e nível de solicitação diferenciadas a analise pode chegar a exigir levar em conta efeitos em diferentes níveis de tensões para inferir a vida útil associada a cada quantia possível de armadura Para Φ25mm 216 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 fsd fad Δ 2 E6 ciclos 175 MPa 1750 kgcm² Da curva SN curve para N 2E6 ciclos K29 fsd fad Δ N ciclos9 N fsd fad Δ 2E6 ciclos 9 2 106 fsd fad Δ N ciclos9 1N 2 106 175 MPa9 fsd fad Δ 10 E6 146 MPa 1460 kgfcm² fsd fad Δ 20 E6 135 MPa 1350 kgfcm² fsd fad Δ 40 E6 125 MPa 1250 kgfcm² De acordo a 2343 tínhamos que a quantia de armadura calculada de acordo a ELU resultava em solicitações na armadura no ELS de até 3240 kgfcm² Sugestão de estratégia para simplificar o dimensionamento da armadura Aos efeitos de simplificar os cálculos e dar cobertura as necessidades da verificação em fadiga pode se usar o artifício de penalizar a quantia de armadura na hora de calcular ela no ELU incrementando a mesma uniformemente como se for um coeficiente de majoração suplementar rfad que para o nosso exemplo seria sd fad fad f r 3 240 Δ Ou seja que geramos um γ f mod fad f r 41 γ mod em lugar do 41 γ f γ f mod terá valores diferentes de acordo aos ciclos de carga que se estima que acontecerão durante a vida útil da estrutura Para o nosso exemplo N ELU γ f mod em lugar do 14 10 milhões de ciclos 3240 14 1460 310 20 milhões de ciclos 3240 14 1350 336 40 milhões de ciclos 3240 14 1250 362 Anexo F 217 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 F2346 Estado Limite de Serviço em fadiga 50 51 0 05 n 0 25 n n e a a n a deformação para o ciclo n 1a deformação para o 1º ciclo Para o nosso caso N n a 1a 10 milhões de ciclos 1 47 50 51 82 e 20 milhões de ciclos 1 48 50 51 43 e 40 milhões de ciclos 1 49 50 51 04 e Observese que a influência na flexibilidade da estrutura resulta em uma mudança progressiva da resposta da mesma a uma excitação periódica Se for o caso de uma excitação de freqüência maior que a freqüência natural da estrutura estrutura subsintonizada o efeito da deformação suplementar reduzirá a resposta Com isso a deformação incrementada à conseqüência calculada será maior da real Se assumindo o resultado majorado o mesmo não implica incompatibilidade com as exigências funcionais poderemos afirmar que o desempenho será satisfatório Se o resultado atingido não satisfazer as necessidades funcionais teremos que ajustar o cálculo mediante uma análise detalhada por etapas Uma sugestão pode ser a de realizar uma partição dos ciclos em intervalos e para cada um deles assumir que a resposta da estrutura é de acordo à rigidez ao começo do intervalo Poderá ser necessário efetuar mais de uma iteração até poder concluir finalmente se o desempenho é adequado ou não 218 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Se for o caso de uma excitação de freqüência menor que a freqüência natural da estrutura estrutura sobresintonizada o efeito da deformação suplementar incrementará a resposta Nesse caso teremos que o resultado não é confiável já que a fadiga flexibiliza a estrutura e a resposta irá in crescendo e a gente fez o cálculo de resposta no estado inicial Uma hipótese do lado da segurança muito seria reavaliar a resposta da estrutura de acordo às condições finais e ver se ainda assim as deformações são funcionalmente satisfatórias Se não forem teremos que efetuar uma partição do domínio dos ciclos e para cada intervalo assumir a flexibilidade associada ao ultimo ciclo Poderá ser necessário efetuar mais de uma iteração até poder concluir finalmente se o desempenho é adequado ou não Se a iteração não converge deve se questionar se não chegou a hora de mudar a espessura do elemento estrutural Anexo G 219 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Anexo G Séries de Fourier Na dinâmica de estruturas são habituais os processos repetitivos Devido à repetição nos processos de excitação resulta comum o emprego de funções periódicas Por definição para toda função periódica ft existe certo valor associado T período tal que para qualquer t se cumpre que f t T f t Resulta fácil comprovar que se T é período de ft também 2T 3T serão períodos da mesma função Em geral assumiremos a T como o mínimo valor não nulo que cumprirá a condição de periodicidade Diremos que a freqüência dessa função periódica é f1T As funções sen t e cos t são periódicas de período 2π sen t e cos t As funções sen 2 t e cos 2 t são periódicas de período π sen 3 t e cos 3 t são periódicas de período 2π3 sen 4 t e cos 4 t são periódicas de período π2 sen n t e cos n t de período 2πn sen2t cos2t sen3t cos3t sen4t cos4t 220 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Qualquer função de t cuja expressão seja sen 2 π t T sen 2 π f t será periódica de período T Uma função da forma sen 2 n π t T sen 2 π n f t será periódica de período Tn ou seja que a freqüência de freqüência nf Dadas duas funções ft e gt periódicas de período T cumprirseá que qualquer combinação lineal delas a ft b gt será também uma função periódica de período T As funções senoidais sen a t cos at são casos particulares de funções periódicas mas com particularidades que outorgam a elas especial importância Um fato de grande importância prática é que qualquer função periódica pode ser descomposta como combinação de senos e cosenos mediante as Series de Fourier Na análise funcional um espaço de funções pode ser visualizado como o integrado por vetores equivalentes aos vetores geométricos espaciais mas de dimensão infinita e não 3 Nesse espaço qualquer combinação lineal de funções vetores do espaço será também uma função vetor do mesmo espaço Da mesma maneira que o espaço de vetores espaciais tem subespaços como o subespaço dos vetores conteúdos em certo plano um subespaço das funções poderá ser definido mediante uma condição que implique que as combinações lineais de qualquer par de funções do subespaço em questão também resultem conteúdas no mesmo subespaço também cumpram as condições de definição Ou seja que um subespaço de certo espaço é de fato um outro subespaço conteúdo no espaço Um gerador do espaço será um conjunto de funções vetores tal que qualquer função do espaço poderá ser expressado como combinação lineal dos vetores do gerador Uma base do espaço em questão será um gerador que cumprirá que os coeficientes da combinação lineal sejam únicos Esses coeficientes se chamam coordenadas do vetor para a base em questão A condição para que um gerador seja base é que a única combinação lineal que resulta no vetor nulo é a que tem todos os coeficientes nulos A essa condição se chama condição de independência lineal Em outras palavras uma base é um gerador com vetores linearmente independentes Um gerador que tenha um vetor que seja combinação linear de outros não será base Ou seja um gerador que contem redundâncias não pode ser chamado base Resulta fácil visualizar que uma base será um gerador com o mínimo de quantidade de vetores A dimensão do espaço vem dada justamente pela quantidade de funções que integram a base A base não é única pero qualquer base terá a mesma quantidade de vetores a dimensão Anexo G 221 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Para consolidar o conceito com um exemplo simples qualquer vetor de dimensão 2 xy pode ser expressado como uma única combinação lineal de 10 e 01 xy x 10 y 01 Com isso vemos que 10 01 é base do espaço de dimensão 2 dos vetores da forma xy ou seja dos vetores do plano Em particular chamase a essa base base canônica As coordenadas do vetor xy na base canônica são justamente x e y Outra base desse mesmo espaço será 1212 12 12 Resulta fácil ver que xy x y 1212 x y 12 12 Dai resulta que as coordenadas do vetor xy na nova base serão x y e x y Nos espaços de funções teremos funções ft em lugar de vetores xy As funções periódicas de período T conformam um subespaço vetorial já que qualquer combinação lineal de 2 funções periódicas de período T vetores desse espaço será também uma função periódica de período T As funções senoidais cosenoidais de período T serão vetores desse subespaço também qualquer função constante será Resulta importante visualizar que qualquer função periódica cujo período seja Tn também será periódica de período T Com o qual poderemos dizer que as seguintes funções são vetores desse espaço o das funções de período T 1 sen 2πtT sen 2π2tT sen 2π3tT sen 2π4tT sen 2πntT cos 2πtT cos 2π2tT cos 2π3tT cos 2π4tT cos 2πntT Escrevendo f 1T freqüência essas funções periódicas de período T freqüência f ficam expressadas como 1 sen 2πft sen 2π2ft sen 2π3ft sen 2π4ft sen 2πnft cos 2π2ft cos 2π3ft cos 2π4ft cos 2πnft Se tomarmos todas estas funções até n infinito teríamos que este conjunto infinito de funções são uma base do espaço de dimensão infinita das funções periódicas de período T freqüência f 222 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 A partir desse fato as Series de Fourier são um método matemático que permite converter uma função periódica em uma serie trigonométrica As series de Fourier adotam esse conjunto de funções periódicas como base do espaço das funções periódicas Fourier achou a metodologia de achar as coordenadas das funções periódicas com período T1f na base antes mencionada Como em geral não pode se levar em conta as infinitas funções senoidais essas o processo em geral se trunca nas primeiras 2n1 funções para certo n Grande é a importância resultante do fato que quando engrandecemos o n a aproximação é melhor e quando se escolhe certo n em particular é devido a que já a aproximação é suficiente boa Outra maneira de interpretar o anterior seria dizer que as 2n1 funções escolhidas são uma base de um subespaço do espaço das funções periódicas de período T e o que obtemos com a serie truncada não é outra coisa que a projeção da nossa função nesse subespaço escolhido A idéia importante consiste em que uma função periódica pode ser aproximada pela soma de funções senoidais com diferentes amplitudes e freqüências Essas freqüências são múltiplas da freqüência da função periódica O interessante do assunto resulta do fato que em geral uma quantidade pequena de termos já fornece uma aproximação muito boa A expressão da serie de Fourier de uma função xt periódica de freqüência f será 1 1 0 sin2 cos2 n n n n ftn b ftn a a x t π π 2 2 0 1 T T x t dt T a dt T tn x t T a T T n 2 2 cos 2 2 π dt T tn x t T b T T n 2 2 sin 2 2 π Anexo H 223 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Anexo H Transformadas de Fourier Desde o ponto de vista das matemático a Transformada de Fourier é um operador linear que faz corresponder funções em outras funções do ponto de vista da física esse operador decompõe um sinal uma função em um espectro contínuo com domínio nas freqüências Seja ft um sinal que não seja periódica Diremos que Fs é a Transformada de Fourier de ft onde s e um número real associado à freqüência Sendo que ft não é periódica não é possível achar a Serie de Fourier da qual extrairíamos um espectro de freqüências Na literatura encontraremos diversas definições mais ou menos equivalentes da metodologia de cálculo para obter Fs Quando ft cumpre hipóteses de regularidade integrável de acordo com Lebesque a transformada Fs resultará dt f t e s F 2πist Fs resulta uma função complexa com domínio real e percorrido complexo Esses valores complexos de Fs representados polarmente dariam a amplitude e a fase associada a cada freqüência s O operador Transformada de Fourier é quase auto inverso já que da Transformada Fs função no domínio das freqüências pode se obter a préimagem ft sinal de acordo a ds F s e t f 2πist Em hipóteses de regularidade de ft resultará que sempre Fs tenderá a zero quando s A função Delta de Dirac δt é uma distribuição que toma o valor infinito para t0 e O zero para todo t diferente de zero ademais disso cumprese que a integral no domínio real do Delta de Dirac é 1 Pode pensarse o Delta de Dirac como uma abstração semelhante à da massa pontual ou à da força concentrada uma concentração de densidade infinita em um intervalo zero que resulta em um total finito integral igual a1 Pode se associar o Delta de Dirac ao conceito do impulso que se desenvolve em um instante com a aplicação de uma força muito grande ou infinita A realidade física será que as forças serão finitas e o tempo de aplicação não será zero O Delta de Dirac seria a distribuição limite na abstração de um processo instantâneo no 224 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 qual nos interessa o impulso total e não o processo que se deu durante esse intervalo infinitesimal O Delta de Dirac é apresentado como a distribuição δt que haverá de cumprir que para qualquer função ft continua 0 f t dt f t δ A Transformada de Fourier do sinal Delta de Dirac será a função constante 1 Sinal Transformada de Fourier δ t 1 1 δ s e πiat 2 δ s a cos2 πat 2 a s a s δ δ sin2 πat i a s a s 2 δ δ Anexo H 225 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Na tabela anexa a continuação poderá se achar outras transformadas desta vez definidas empregando a freqüência angular como variável Função Transformada de Fourier ω ω π e ω d F t f f t 2 1 dt f t e F fωt ω 0t f t 0 e f t F ω ω t fe t f 0 ω F ω ω0 t f α α α F ω 1 Ft 2 ω π f n n dt d f t ω ω F j n jt n f t n n d d F ω ω t τ dτ 0 δ ω π ω ω F j F δ t 1 t fe 0 ω 2 ω0 πδ ω sgnt jω 2 A Transformada de Fourier é uma extensão do conceito de espectro de freqüências 226 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Resulta importante destacar que o gráfico do módulo da Transformada de Fourier não fornece toda a informação do sinal já que com ela fica desconhecida a distribuição da fase Anexo H 227 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Dado um sinal que seja não periódico o módulo da Transformada se assemelha ao espectro de freqüências somente que agora teremos que esse espectro é continuo e não discreto como resultava para as funções periódicas e quase periódicas Podemos discretizar o espectro mediante uma partição e associar a cada freqüência centro do intervalo a área ou integral do intervalo e obter um espectro de freqüências discreto com o qual realizar um calcula aproximado de acordo à superposição de cargas harmônicas Ou seja assumindo essas áreas como coeficiente de Fourier de uma suposta serie de Fourier somente ficaria por determinar as fases apropriadas 228 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Anexo I Aceitabilidade de acelerações induzidas por atividades humanas de acordo a ISO 26312 Recommended peak acceleration for human comfort for vibrations due to human activities ISO 26312 Da análise das curvas fornecidas em gráficas escaladas logaritmicamente pela ISO 26312 resulta que a aceleração pico A em ms2 para garantir o conforto devido a vibrações induzidas por atividades humanas deverá cumprir Anexo I 229 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Valores aceitáveis de aceleração pico A em ms2 deduzido a partir de ISO 26312 Freqüência em Hz Hz f Hz 4 1 Hz f Hz 9 4 Hz f Hz 40 9 Moradias e Escritórios f A 0100 2 0 050 m s A 0 215 f 1 08 A Passarelas Interiores e Centros comerciais f A 0 316 2 0158 m s A 0 68 A f 1 08 Passarelas exteriores Atividades rítmicas f A 1 000 2 0 500 m s A 5 21 A f 1 08 Justificativa Sendo a a aceleração limite em termos de g 0 Curva básica f4 ln a 23 05 ln f a 01 sqrtf 4f9 a 005 f9 ln a 3 10789 ln f 2197 5370 10789 ln f a 000465 f 108 1 Limite para moradias e escritórios f4 ln a 05 ln f a 1 sqrtf 4f9 a05 f9 ln a 07 10789 ln f 2197 307 10789 ln f a 00465 f 108 2 Limite para passarelas interiores centros comerciais curva logarítmica média entre 1 e 3 f4 ln a 115 05 ln f a 316 sqrtf 4f9 a158 f9 ln a 045 10789 ln f 2197 192 10789 ln f a 0147 f 108 3 Limite para passarelas exteriores atividades rítmicas etc f4 ln a 23 05 ln f a 10 sqrtf 4f9 a5 f9 ln a 16 10789 ln f 2197 0770 10789 ln f a 0465 f 108 230 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Anexo J Exemplos de cálculo Parte 1 Ex 1 a A freqüência natural de um oscilador k4 kgfcm m1kg é a1 032 Hz a2 318 Hz a3 10 Hz 4 4 kgf cm k N m m N 4000 0 01 10 Hz f Rad s m k 10 2 6325 1 4000 π ω ω b Qual será a freqüência do mesmo oscilador se a massa for 100 kg Hz f Rad s 1 6 32 100 4000 ω Ex 2 a Relação entre a freqüência natural de um oscilador de 1 grau de liberdade e o deslocamento estático devido à ação do peso aplicado na direção do grau de liberdade W mg K δ F ω2 δ g k m g k mg st wst g δ ω wst f δ π ω 2 1 2 Τ 1 2 δω f b Qual é a freqüência do modo vertical de oscilação de um bloco maciço de concreto que recalca 1cm devido ao peso próprio Anexo J 231 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Hz f 5 0 01 2 1 Ex 3 O coeficiente de mola de uma base circular de radio 0r sobre solo com módulo de corte G e módulo de Poisson ν é v Gr K 1 4 0 2 m h 1 85 Espessura mínima da base para que a freqüência seja 7Hz Uma base circular de 4m de diâmetro de concreto está apoiada sobre solo de características G200 kgfcm2 e ν035 argila branda e sustenta um equipamento cujo peso total é 67 toneladas Procurase que a freqüência natural do conjunto não supere os 7 Hz Qual deverá ser a espessura mínima da base 0 35 200 200 2 0 v Ncm G cm r kgf cm K z 2 46105 0 65 4200200 7 2 1 7 wst Hz f δ cm m wst 0 51 10 15 3 δ kgf W K W z wst 125460 2 4610 0 51 5 δ t Weq 67 67 5 125 5 31 4 52 02 h h r Wbase π Ex 4 Um pilar 3030 de concreto E 30 000 kgfcm2 e altura 5m sustenta uma massa de 9 t no topo Calcular as freqüências naturais de vibração horizontal e vertical m kg l m N m kgf cm E 5 910 310 310 3 2 10 2 5 2 2 4 4 4 0 09 30 10 6 75 12 03 m A m I 232 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 N m l EI k EI l F x x x 5 3 3 4 8610 3 3 δ Hz m k f x x 1 17 2 1 π N m l EA k EA l F y y y 5 40108 δ Hz m k f y y 39 0 2 1 π Do deduzido no exemplo 2 podese chegar a wst f δ 2 1 tf 9 m N m N K tf x wstx 0 185 4 8610 90000 9 5 δ Hz f x 1 16 0 185 2 1 4 8 1 6710 10 45 90000 9 N m N K tf y δwsty Hz f y 38 7 1 6710 2 1 4 9tf Ex 5 A estrutura da figura composta da laje de espessura 200 cm sobre 6 pilares quadrados de lado 100 cm sustenta uma máquina que pesa 50 t Desprezando a massa dos pilares E 30 000 kgfcm2 a Qual deve ser a altura h dos pilares da mesma para que a freqüência natural da oscilação horizontal seja de 5 Hz Do deduzido no exemplo 2 e assumindo a laje rígida à flexão Anexo J 233 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 12 3 EI δx Fx h 3 12 h EI k x 2 6 2 5 310 310 m tf cm kgf E 4 4 50 12 01 6 m I Para conseguir que a freqüência natural seja de 5Hz o deslocamento estático devido ao peso próprio aplicado a direção x deverá ser de 1cm 001m veja exemplo b tf m K tf tf m m m tf W K W x x 5 3 2 310 0 01 300 300 52 2 50 50 0 01 m h m h h 8 43 6000 30000 50 12310 3 3 3 6 b No caso que o nível superior da laje de apoio da maquinaria tenha que estar a uma altura de 12 m qual seria a freqüência natural 0 017 18000 300 18000 10 10 81 12 300 3 7 3 wst x x wst m tf h EI K tf W K W δ δ Hz f x 3 87 0 017 2 1 Outra maneira seria levar em conta que K f e f 1 h3 234 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Hz f h h f h h k k f f 3 85 0 775 5 10 8 43 3 2 3 3 c Se afastarmos da posição de equilíbrio na direção x 1 cm e liberarmos a estrutura de a qual será a aceleração máxima da laje e qual será a força cortante total máxima no apoio da maquinanão levar em conta efeitos de 2ª ordem Hz f 5 Rad s f 3142 2 ω π A amplitude da oscilação será de 1 cm 2 2 2 9 87 3142 0 01 m s m A amín ω Cortante t kN m s kg Vg 50 500 9 87 50000 2 d Supondo o amortecimento estrutural ζ 1 quanto tardará em reduzirse a amplitude de oscilação a menos de 1mm Qual será então o momento máximo nos pilares não levar em conta efeitos de 2ª ordem sin 0 θ ω ξ t Ce u t wt 0 01 01 0 3142 0 0 1 ξ ω ω θ ο ο C Rad s u u D Anexo J 235 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 s t u t e e u u t t t 7 32 0 013142 32 10 10 10 1 0 01 001 0 1 1 1 1 1 ξω ο ξω ξω Cada ciclo dura 37 20 7 32 20 1 s f T u u ou seja depois de 37 ciclos o cortante será associado a deformação de 1mm tf V tf K V i x 50 6 300 300 310 0 001 0 001 5 tm h V M i i 211 2 50 8 43 2 Outra forma de calcular o cortante total será t mtot 300 a g tf V 300 Ex 6 A maquina da base do exemplo 3 gera uma excitação vertical harmônica de 10 tf com uma freqüência de 10 Hz a Supondo que o amortecimento for de 10 quais seriam as amplitudes de deslocamento velocidade e aceleração verticais da estrutura no estacionário Hz f n 7 0 10 2 4610 5 kf cm ξ K z Excitação Hz f 10 tf F 0 1 1sin2 10 t F t π Fator de amplificação 2 2 2 2 4 1 1 r r M ξ 1 43 7 10 nf f v M 0 92 mm cm est 0 41 0 041 2 4610 10000 5 δ 236 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 6283Rad s 2 10 ω π 2 2 2 3948 s Rad ω amp dyn mm dyn 0 38 0 92 0 41 δ amp veloc mm s V dyn 24 0 ω amp acel 2 2 51 m s a dyn ω δ b Se supuséramos que a amplitude da excitação resulta proporcional a freqüência da mesma e que a maquina é acionada devagar incrementando a freqüência ao tempo que a resposta vai atingindo o estacionário para cada freqüência intermédia qual seria o deslocamento quando a freqüência da excitação passa pelos 7Hz Hz f 10 0 1 43 0 r tf f F 10 10 0 ou seja f f F 0 tf F 0 r F r r f 7 7 0 z dyn K M r F r 0 δ para r1 f7Hz ressonância mm cm kgf tf F r Z a r M dyn 41 0 14 7000 7 5 0 δ ξ Ex 7 No topo do pilar do exemplo 4 se aplica uma excitação horizontal Harmônica de amplitude 100 kgf e período 2 segundos Seja o fator de amortecimento ζ 1 não levar em conta efeitos de 2ª ordem a Achar a resposta estacionária do deslocamento horizontal Anexo J 237 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Hz f nx 61 Hz T f 50 1 Hz f f r n 0 43 N kgf F 1000 100 0 M 1 22 mm m est 12 2 0610 4 8610 10000 3 5 δ 3 14 Rad s 50 2 ω π 2 2 2 9 87 s Rad ω mm s V dyn 8 04 0 ωδ 2 2 0 2 53 c m s a dyn ω δ b Estimar a resposta e o momento máximo para o caso em que a historia de excitação seja kgf A A 200 2 0 Coeficiente de Fourier sin 2 0 n d n A an π π 50 T k d 2 3 14 sin 2200 n π n an s T 2 kgf a 1 127 4 Hz f 50 a2 0 Hz f 1 kgf a 43 3 Hz f 51 kgf F 1 127 4 kgf r 0 43 1 238 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 M 1 22 mm m est 62 2 6210 4 8610 1274 3 5 1 δ mm dyn 23 1 δ kgf F 2 43 1 29 1 16 51 2 r 51 M mm m est 90 8 8510 4 8610 430 4 5 2 δ mm dyn 31 2 δ mm dyn 54 31 23 δ ω1 3 14 Rad s 9 42 Rad s 51 2 2 π ω 2 12 9 87 Rad s ω 2 2 2 88 8 Rad s ω m s V dyn dyn 22 2 12 2 10 0 2 1 2 1 ω δ ω δ 2 2 2 2 2 12 14 6 11 5 13 2 1 cm s cm s cm s a dyn dyn ω δ ω δ c Como seria a resposta do caso a se agregarmos 394 toneladas no topo t m 48 4 9 39 4 t m 9 m f n 1 m m f n Hz f n 50 0 43 1 16 Estaria em ressonância 50 2 1 M ξ cm mm mm dyn 10 5 105 12 50 δ d Em que porcentagens diminuiriam as resposta do caso a e do caso c se o fator de amortecimento mudasse a ζ 10 1 227 0 43 1 r m ξ 1 220 0 43 10 r m ξ Para r043 a diminuição da resposta resulta menor que 06 Anexo J 239 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 50 2 1 1 1 ξ ξ r m 5 2 1 1 10 ξ ξ r m Para ressonância a diminuição é de 90 Ex 8 a Achar a expressão das matrizes M e K das estruturas K K K K K K K III II I 2 3 4 10 2 6 6 7510 24310 12 2 l EI K m N K 2 25106 kk21 2kk11 k kk22 kk12 240 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 6000 0 0 6000 M I 2000 0 0 10000 M II 10000 0 0 2000 M III b Achar freqüências modais e formas modais b 0 2 K ω M 2 1 0 0 m m M 0 2 2 2 1 2 K M m K K K m ω ω 0 2 2 2 2 1 1 2 K K m K m ω ω 0 2 0 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 m m l m m m l m K m l m m m ω ω ω ω Caso 1 2 1 6000 m m 0 140625 1125 2 2 2 ω ω s Rad s Rad 97 11 33 31 25 143 75 981 2 838 5 1125 1 2 2 ω ω ω θ φ ω 1 12 K M 1000 0 618 0 618 0 1 3910 2510 2 2 2510 6410 3 21 11 21 11 21 11 6 6 6 6 φ φ φ φ φ φ θ φ ω 2 2 2 K M 0 618 1000 0 618 0 3 6410 2510 2 2 2510 3910 1 22 12 12 22 22 12 6 6 6 6 φ φ φ φ φ φ Anexo J 241 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 1 0618 0618 1 f1191Hz f2499Hz Caso 2 2000 10000 2 1 m m 0 253125 1575 2 2 2 ω ω s Rad s Rad 48 13 33 37 7 181 4 1393 2 1211 7 1575 1 2 2 ω ω ω 1º modo 1000 0 840 0 840 0 1 8910 2510 2 2 2510 6810 2 21 11 21 11 21 11 6 6 6 6 φ φ φ φ φ φ 2º modo 0 240 1000 0 240 0 0 5410 2510 2 2 2510 4310 9 22 12 12 22 22 12 6 6 6 6 φ φ φ φ φ φ 1 084 1 024 f1215Hz f2594Hz 242 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Caso 3 10000 2000 2 1 m m 0 253125 2475 2 2 2 ω ω s Rad s Rad 34 10 66 48 107 368 2 2 2261 2475 1 2 2 ω ω ω 1º modo 0 52 1 00 0 52 1 1810 2510 2 2 2510 2910 4 21 11 21 11 21 11 6 6 6 6 φ φ φ φ θ φ φ 2º modo 0 105 1000 0 105 214310 2510 2 2 2510 2410 0 22 12 12 22 22 12 6 6 6 6 φ φ φ φ θ φ φ 1 052 1 0105 f1165Hz f2774Hz c Achar freqüência natural fundamental aproximada para I de acordo ao método de Rayleigh Anexo J 243 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 RAYLEIGH Caso 1 6x10 KN 6x10 KN 2 2 6 4 10 08 10 35 2 2510 610 2 6 4 10 35 2 2510 1210 144 4 9 2110 3 10 13 10 35 10 08 10 6 10 35 10 08 10 6 3 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 g g ω Hz f 1 91 2 144 4 1 π d Usar o método de Dunkerley para estimar a freqüência natural fundamental do caso I e usando os resultados exatos da freqüência fundamental b estimar a freqüência natural do 2º modo de maneira aproximada DUNKERLEY a11 a22 6 11 2 2510 1 a 6 22 2 2510 2 a 3 6 22 2 11 1 2 2 2 1 12 810 2 2510 60003 1 1 1 m a m a ω ω ω 125 2 ω1 1118Rad s ω1 Hz f 1 78 1 244 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 ω1 1197 Rad s 3 2 1 12 6 9710 1 3 143 ω ω 3 3 3 2 1 2 1 2 2 1 0310 6 9710 10 08 1 1 1 ω ω ω 971 2 ω2 31 2 Rad s ω2 Hz f 4 95 2 Ex 9 a Analisar os deslocamentos estáticos resultantes de aplicar na estrutura do caso I do exemplo 8 forças generalizadas colineares com cada uma das formas modais Visualizar que as deformadas resultam proporcionais a cada uma das formas modais 7 6 1 2 11 6 10 2 2510 1000 δ δ 7 6 1 7 1910 2 2510 1618 δ 6 2 2 F 1 1610 δ 6 1 1 F 1 1610 δ 2 1 6 2 1 1 1610 F F δ δ Observese j j M K φ ω φ 2 para as formas modais neste caso M mI o que implica Anexo J 245 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 j j j j j K m m K ω φ φ ω φ φ 2 2 1 lembrando que 1 1 F KX significa que 1 X é a deformada resultante da aplicação da força 1 F e que j j m ω 2 φ 1 seria a deformada da aplicação da força j φ Para o nosso caso 6 2 2 1 1610 1 25 143 6000 j j m m ω ω Da mesma maneira 2 7 7 6 1 2 10 71 1 0510 2 2510 0 618 F δ δ 2 7 7 6 1 10 71 10 71 2 2510 0 382 F δ 10 7 F 71 δ 98175 2 ω2 7 2 2 10 71 1 mω b Fazer as mesmas operações feitas em a mas agora para o caso II Seguese cumprindo o mesmo Por quê m1 10000 m2 2000 246 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 7 6 1 2 12 6 10 2 2510 1000 δ δ 7 6 1 8 1810 2 2510 1840 δ 2 7 2 12 6 10 F δ 1 7 1 8 1810 F δ δ não resulta colinear a F Observese neste caso M não é proporcional a 1 0 0 1 I j j M K φ ω φ 2 Se fosse aplicada uma força generalizada j Mφ 6 1 2 5 5110 2 2510 2000 δ δ 3 6 1 4 6210 2 2510 10400 δ 2 3 1 5 5110 φ δ 1 3 1 5 5110 φ δ φ δ 3 5 5110 Repare que 3 2 1 10 55 181 7 1 1 ω Anexo J 247 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Se fosse aplicada uma força generalizada ω 2 Mφ j a deformada seria idêntica à força modal 1 084 363400 2 1000 2 m ω 1526280 0 840 1 2 m ω c Conclusões ao respeito das diferencias entre I e II Se aplicarmos forças generalizadas proporcionais a j Mφ j ω 2 a deformada seria proporcional à forma modal Em particular se a matriz M resulta proporcional a I massas iguais associadas a cada uma das coordenadas j Mφ j ω 2 resulta colinear com j φ e por isso a particularidade do caso 1 Ex 10 No nível intermédio da estrutura do caso I do exemplo 8 foi montada uma máquina cuja freqüência operacional é 2 Hz e gera uma excitação horizontal de amplitude 100 kgf Estimar a resposta estacionária nos 2 níveis estrutura induzida pela excitação 0 618 1000 1000 0 618 0 1 β α 1 0 618 α β 0 0 618 β α α β 0 618 0 724 0 447 1 2236 β α α 248 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 447 x 1 F1N 0618 Modo 1 724 Modo 2 1 0618 Efeito estático unitário nos modos 1 0618 7 6 7 11 7 10 2 2510 1 10 27 7 6 10 27 2 2510 1618 1 0618 Anexo J 249 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 0618 1 7 6 7 1 0510 2 2510 0 618 10 27 7 6 10 71 2 2510 0 618 1 0618 1 Amplitudes resultantes no 1º modo Hz f 2 Hz f 1 1 91 r1 1047 M1 1015 andar mm andar mm M dyn º1 28 3 2º 5 31 44711 7 10 1 3110 5 7 1 1 3 φ δ 444 3 444 2 1 Amplitudes resultantes no 2º modo Hz f 2 Hz f 4 99 2 40 r2 M 2 1 19 andar mm andar mm M dyn º1 15 0 2º 0 09 10 724 71 2 4610 1 7 2 2 4 φ δ 444 3 4 44 2 1 O efeito do segundo modo é irrelevante 250 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 andar mm andar mm dyn º1 28 3 2º 5 31 δ Rad s f 1257 2 ω π andar s mm andar mm s v º1 41 2º 67 andar s cm andar cm s a º1 52 2º 84 2 2 A aceleração máxima será no segundo andar g m s a 48 0 84 2 Obs Outra maneira de se obter a decomposição da força nos modos é 0 vr 1 1000 618 0 φ1 r 1 2 1 1 1 1 φ φ φ φ r r r v v 0 618 01000 1 0 618 1 φ vr 0 618 01000 1 0 618 1 φ vr 1382 0 618 1000 2 2 2 1 φ 1 1 1 0 447 1382 0 618 1 φ φ φ vr α φ φ cos 1 1 1 1 r r r r v v 2 2 2 2 2 2 1 0 724 1382 1 2 φ φ φ φ φ φ r r r v v Anexo K 251 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Anexo K Bibliografia Geral 1 Elementos Finitos Análise Dinâmica Prof Dr Avelino Alves Filho 2 Teoria das Vibrações William T Thomson 3 Structural Vibration Analysis and Damping C F Beards 4 Formulas for Structural Dynamics IA Karnovski 5 Structural Dynamics Theory and Computation Mario Paz 6 Fundamentals of Structural Dynamics R R Craig 7 Dynamics of Structures Ray W Clough Joseph Penzien 8 Introduction to Finite Element Vibration Analysis Maurice Petyt 9 Mechanical Vibrations Jacob Pieter Den Hartog 10 Computational Structural Dynamics Kosta Talaganov Gunther Schmidt 11 Vibration and Waves RV Sharman 12 Dynamics of Structures AK Chopra 13 Harris Shock and Vibration Handbook Cyril M Harris 14 Introduction to Structural Dynamics Bruce K Donaldson 15 Structural Dynamic Systems CT Leondes 16 Structural Dynamics Theory and Applications J W Tedesco W G McDougal 17 Fourier Analysis MR Spiegel 18 Análisis de Fourier Hwei P Hsu 19 Introduction to Structural Dynamics John M Biggs 20 Advanced Structural Dynamics and Active Control of Structures W Gavronsky 21 Structural Dynamics for the Practicing Engineer HMax Irvine Efeitos devidos a Maquinarias 22 Soil Motion Under Vibration Foundations John Vivian Perry Jr 23 ISO 19401 1986 Mechanical Vibration Balance quality requirements of rigid rotors International Standards Organization 24 Practical Foundation Engineer Handbook Robert Wade Brown 25 Algumas notas acerca do comportamento mecânico dos solos Jaime A Santos 26 Soil Mechanics Arnold Verruijt 27 Soil Mechanics R F Craig 28 Dynamic SoilStructure Interaction C Zhang JP Wolf 252 Dinâmica aplicada em estruturas de concreto TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 29 Foundations of Theoretical Soil Mechanics ME Harr 30 Soil Mechanics in Engineering Practice K Terzaghi 31 Moderne Funderingstechnieken AF van Weele 32 Soil Mechanics and Foundations CR Scott 33 BASIC Soil Mechanics GWE Milligan and GT Houlsby 34 Design of Structures and Foundations for Vibrating Machines Suresh Arya Michael ONeill and George Pincus 35 Dynamics of Rotating Machinery JHKim 36 Vibration of machine tools G Sweeney 37 Machinery Vibration BalancingV Wowk 38 Vibration Analysis of Rotors ChongWon 39 Handbook of Rotordynamics F Ehrich 40 Machine Tool Vibration SA Tobias Efeitos devidos a Atividades Humanas 41 Vibration Problems in Structures Hugo Bachmann 42 Floor Vibrations Due to Human Activity Thomas M Murray 43 Building Vibration from Human Activities DE Allen 44 Transient Response to Step and Pulse Functions R S Ayre 45 Guide for the Evaluation of Human Exposure to WholeBody Vibration International Standards Organization 46 Response of cantilever grandstands to crowd loads B R Ellis e JD Litter 47 Springiness and HumanInduced Floor S V Ohlsson 48 Design Guide on the Vibration of Floors T A Wyatt Efeitos devidos ao Vento 49 Introdução ao Estudo das Ações Dinâmicas do Vento J Blessmann 50 Acidentes Causados pelo Vento J Blessmann 51 Ação do Vento Em Edifícios J Blessmann 52 Wind Loading of Structures John D Holmes 53 Wind Effects on Structures Fundamentals and Applications to Design Emil Simiu 54 O Vento Sintético e a Análise Dinâmica das Estruturas de Grande Altura no Domínio do Tempo Boletim da Escola Politécnica da USP Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações Prof Mario Franco 55 Acción dinámica del viento sobre las construcciones H Fernández Long 56 Turbulence J O Hinze Anexo K 253 TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 Engenharia Sismoresistente 57 Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings TPaulay M J N Priestley 58 Design for Earthquakes J Ambrose D Vergun 59 Earthquake Resistant Engineering Structures CA Brebbia G Oliveto 60 International Handbook of Earthquake and Engineering Seismology W HK Lee H Kanamori P Jennings CKisslinger 61 Elementos de Ingenieria Sísmica A A Beles 62 The Seismic Design Handbook F Naeim 63 Design of Earthquakeresistant Buildings M Wakabayashi 64 Earthquake Spectra and Design NM Newmark W Hall 65 Design of Earthquake Resistant Structures Emilio Rosenblueth 66 Simplified PDelta analyses for asymmetric structures ARutenberg 67 Earthquake Engineering Application to Design C K Erdey TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c2 05422001 São Paulo SP Tel 0xx11 30832722 Fax 0xx11 30832798 TQS Informática Ltda R dos Pinheiros 706 c2 São Paulo SP 05422001 Tel 011 30832722 Fax 011 30832798 tqstqscombr wwwtqscombr