Trabalho de Vibrações

Uma máquina repousa sobre uma fundação elástica de forma que a deflexão estática das molas sobre as quais ela está apoiada é de 1962 mm Quando em operação a 3600 rpm a máquina está sujeita a uma excitação por desbalanceamento rotativo A massa desbalanceada é de 1 da massa total da máquina que é de 500 kg e está localizada a 30 mm do centro de rotação a Projete um neutralizador dinâmico de vibrações para a máquina sabendo que o espaço disponível para movimento da massa do neutralizador é de 25 mm Considere que tanto a máquina sobre a fundação elástica quanto o neutralizador são não amortecidos b A partir dos dados obtidos no item a faça uma análise modal do sistema composto máquina neutralizador determinando suas frequências circulares naturais e modos de vibrar ENTREGA a Documento em formato pdf com memorial de cálculo para o projeto do neutralizador b Arquivo com o código para análise modal com geração de gráfico dos modos de vibrar e apresentação dos valores das frequências naturais do sistema CONDIÇÕES O código entregue deve permitir execução em freeware Questão A A máquina desligada produz uma deflexão estática da fundação elástica Com o valor da massa da máquina e da deflexão estática é possível calcular a constante elástica da fundação Cálculo da constante elástica 𝑘 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝑚 𝑔 𝑘 𝑚 𝑔 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝑘 500 𝑘𝑔 981 𝑁𝑘𝑔 0001962 𝑚 𝑘 2500000 𝑁𝑚 Cálculo da rotação em radianos por segundo 𝑤 3600 𝑟𝑜𝑡 𝑚𝑖𝑛 1 𝑚𝑖𝑛 60 𝑠 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 1 𝑟𝑜𝑡 𝑤 376992 𝑟𝑎𝑑𝑠 A máquina em funcionamento tem uma massa desbalanceada e está produz uma força periódica Cálculo da amplitude da força periódica desbalanceadora 𝐹0 𝑚𝑑𝑒𝑠 𝑒 𝑤2 𝐹0 1 100 500 𝑘𝑔 0030 𝑚 376992 𝑟𝑎𝑑 𝑠 2 𝐹0 21318445 𝑁 Projeto do neutralizador de vibração dinâmico A máquina ao operar vibra na velocidade especificada A introdução do neutralizador anula as vibrações da máquina em detrimento das vibrações do neutralizador As amplitudes de vibração da máquina e do neutralizador 𝑋1 e 𝑋2 são respectivamente 𝑋1 𝑘2 𝑚2𝑤2𝐹0 𝑘1 𝑘2 𝑚1𝑤2𝑘2 𝑚2𝑤2 𝑘2 2 𝑋2 𝑘2𝐹0 𝑘1 𝑘2 𝑚1𝑤2𝑘2 𝑚2𝑤2 𝑘2 2 A amplitude da máquina deve ser zero 0 𝑘2 𝑚2𝑤2𝐹0 𝑘1 𝑘2 𝑚1𝑤2𝑘2 𝑚2𝑤2 𝑘2 2 0 𝑘2 𝑚2𝑤2𝐹0 0 𝑘2 𝑚2𝑤2 O neutralizador deve vibrar com amplitude de 25 mm 𝑋2 𝑘2𝐹0 𝑘1 𝑘2 𝑚1𝑤2𝑘2 𝑚2𝑤2 𝑘2 2 0025 𝑘2𝐹0 𝑘1 𝑘2 𝑚1𝑤2 0 𝑘2 2 0025 𝑘2𝐹0 0 𝑘2 2 0025 𝑘2𝐹0 𝑘2 2 0025 𝐹0 𝑘2 𝑘2 𝐹0 0025 𝑚 𝑘2 21318445 𝑁 0025 𝑚 𝑘2 8527378 𝑁𝑚 Cálculo da massa do neutralizador 0 𝑘2 𝑚2𝑤2 0 8527378 𝑚2 3769922 0 8527378 𝑚2 142122968 𝑚2 8527378 142122968 𝑚2 6 𝑘𝑔 Logo os parâmetros do neutralizador são 𝒎𝟐 𝟔 𝒌𝒈 𝒌𝟐 𝟖𝟓𝟐 𝟕𝟑𝟕 𝟖 𝑵𝒎 Questão B Análisando o sistema pelo método matricial Matriz de massas do sistema 𝑀 𝑚1 0 0 𝑚2 𝑀 500 0 0 6 𝑘𝑔 A máquina se conecta por molas à base e ao neutralizador O neutralizador se conecta apenas à máquina por molas Logo a matriz de rigidez é dada por 𝐾 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝐾 2500000 8527378 8527378 8527378 8527378 𝐾 33527378 8527378 8527378 8527378 𝑁𝑚 Código em MatLabOctave que calcula as frequências naturais e modos normais de vibração E também mostra as amplitudes relativas de cada modo octave54 Definindo as matrizes de massa M e rigidez K M 500 0 0 6 kg K 33527378 8527378 8527378 8527378 Nm Calculando os autovalores lambdas e autovetores V da matriz generalizada lambda omega2 autovalores V são os autovetores modos de vibração V D eigK M Normalizando os modos de vibração para que a amplitude de m1 seja unitária for i 1sizeV 2 V i V i V1 i end As frequências naturais são dadas pelas raízes quadradas dos autovalores naturalfrequencies sqrtdiagD 2pi Convertendo para Hz Exibindo as frequências naturais dispFrequências Naturais Hz dispnaturalfrequencies Exibindo os modos de vibração normalizados dispModos de Vibração Normalizados dispV Plotando as amplitudes relativas em cada modo figure for i 12 subplot2 1 i bar1 2 V i FaceColor 0 05 05 titleModo de Vibração num2stri Freq num2strnaturalfrequenciesi Hz xlabelMassa ylabelAmplitude Relativa xticks1 2 xticklabelsMassa 1 Massa 2 grid on end Frequências Naturais Hz 11185 60372 Modos de Vibração Normalizados 10000 10000 10360 804376 Questão A A máquina desligada produz uma deflexão estática da fundação elástica Com o valor da massa da máquina e da deflexão estática é possível calcular a constante elástica da fundação Cálculo da constante elástica k δ estm g km g δest k 500 kg 981 Nkg 0001962m k2500000N m Cálculo da rotação em radianos por segundo w3600 rot min 1min 60 s 2π rad 1rot w376992rad s A máquina em funcionamento tem uma massa desbalanceada e está produz uma força periódica Cálculo da amplitude da força periódica desbalanceadora F0mdesew 2 F0 1 100 500kg 0030m376992 rad s 2 F021318445 N Projeto do neutralizador de vibração dinâmico A máquina ao operar vibra na velocidade especificada A introdução do neutralizador anula as vibrações da máquina em detrimento das vibrações do neutralizador As amplitudes de vibração da máquina e do neutralizador X1 e X2 são respectivamente X1 k2m2w 2F0 k1k2m1w 2k2m2w 2k2 2 X2 k 2F0 k1k2m1w 2k2m2w 2k2 2 A amplitude da máquina deve ser zero 0 k 2m2w 2 F0 k1k 2m1w 2k 2m2w 2k2 2 0k 2m2w 2 F0 0k2m2w 2 O neutralizador deve vibrar com amplitude de 25 mm X2 k 2F0 k1k2m1w 2k2m2w 2k2 2 0025 k 2F0 k1k 2m1w 20k 2 2 0025 k2F0 0k2 2 0025k2F0 k2 2 0025F0 k2 k 2 F0 0025m k 221318445 N 0025m k 28527378 Nm Cálculo da massa do neutralizador 0k2m2w 2 08527378m2 376992 2 08527378m2142122968 m2 8527378 142122968 m26 kg Logo os parâmetros do neutralizador são m26 kg k 28527378 Nm Questão B Análisando o sistema pelo método matricial Matriz de massas do sistema M m1 0 0 m2 M 500 0 0 6 kg A máquina se conecta por molas à base e ao neutralizador O neutralizador se conecta apenas à máquina por molas Logo a matriz de rigidez é dada por K k1k2 k2 k2 k2 K 25000008527378 8527378 8527378 8527378 K 3352737 8 8527378 8527378 8527378 Nm Código em MatLabOctave que calcula as frequências naturais e modos normais de vibração E também mostra as amplitudes relativas de cada modo octave54 Definindo as matrizes de massa M e rigidez K M 500 0 0 6 kg K 33527378 8527378 8527378 8527378 Nm Calculando os autovalores lambdas e autovetores V da matriz generalizada lambda omega2 autovalores V são os autovetores modos de vibração V D eigK M Normalizando os modos de vibração para que a amplitude de m1 seja unitária for i 1sizeV 2 V i V i V1 i end As frequências naturais são dadas pelas raízes quadradas dos autovalores naturalfrequencies sqrtdiagD 2pi Convertendo para Hz Exibindo as frequências naturais dispFrequências Naturais Hz dispnaturalfrequencies Exibindo os modos de vibração normalizados dispModos de Vibração Normalizados dispV Plotando as amplitudes relativas em cada modo figure for i 12 subplot2 1 i bar1 2 V i FaceColor 0 05 05 titleModo de Vibração num2stri Freq num2strnaturalfrequenciesi Hz xlabelMassa ylabelAmplitude Relativa xticks1 2 xticklabelsMassa 1 Massa 2 grid on end Frequências Naturais Hz 11185 60372 Modos de Vibração Normalizados 10000 10000 10360 804376 Modo de Vibração 1 Freq 111846 Hz Massa 1 Massa 2 Amplitude Relativa Modo de Vibração 2 Freq 603719 Hz Massa Amplitude Relativa Massa 1 Massa 2