Estatística Descritiva: Medidas de Dispersão

Estatística Descritiva Aula 10 Prof Baggio Medidas de Dispersão Introdução No estudo da média aritmética média ponderada moda e mediana vimos que são procedimentos matemáticos que sintetizam um conjunto de dados valores em poucos valores representativos Entretanto quando se trata de interpretar e analisar dados estatísticos mesmo os simplificados é necessário terse uma ideia retrospectiva de como esses dados se apresentavam nas tabelas Introdução Por exemplo Sabendo que a temperatura média de duas cidades é 26 somos levados a pensar a respeito do clima dessas duas cidades Em uma delas a temperatura pode variar de muito calor e de muito frio e ter a temperatura média de 26 A outra poderá ter uma variação pequena de temperatura e possuir um clima mais favorável e também uma média de 26 Com esse exemplo notamos que mesmo a média que tem a faculdade de representar uma série de valores não pode por si mesma destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade entre os valores de um conjunto Introdução Exemplo Se considerarmos os seguintes conjuntos de valores das variáveis x y e z X 70 70 70 70 70 Y 68 69 70 71 72 Z 5 15 50 120 160 Calculando a média aritmética de cada conjunto temos x σ 𝑥𝑖 𝑛 350 5 70 y σ 𝑦𝑖 𝑛 350 5 70 z σ 𝑧𝑖 𝑛 350 5 70 Introdução A média aritmética de cada um dos conjuntos é igual a 70 Entretanto notemos que o conjunto X é mais homogêneo que os outros dois conjuntos que o conjunto Y é mais homogêneo que o conjunto Z pois há uma menor diversificação entre os valores e a média Medidas de Dispersão e ou de Variabilidade É a maior ou a menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central No nosso exemplo o conjunto X apresenta dispersão ou variabilidade nula e que o conjunto Y apresenta uma dispersão ou variabilidade menor que o conjunto Z Portanto para qualificar os valores de uma dada variável a Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade Medidas de Dispersão e ou de Variabilidade Dessas medidas de dispersão ou de variabilidade estudaremos Amplitude total Variância Desvio padrão Coeficiente de variação Amplitude total Dados não agrupados É a diferença entre o maior e o menor valor observado AT xmáx xmín Exemplo Calcular a AT de 40 45 48 52 54 62 70 AT 70 40 30 Logo AT 30 Como a amplitude total é 30 estamos afirmando o grau de concentração Quanto maior a amplitude maior a dispersão Medidas de Dispersão Amplitude total No exemplo dos conjuntos X Y e Z temos ATX 70 70 nula ATy 72 68 4 ATz 160 5 155 Medidas de Dispersão Amplitude total Dados agrupados Sem intervalo de classe AT xmáx xmín Exemplo AT 4 0 4 AT 4 Medidas de Dispersão Amplitude total 𝒙𝒊 0 1 2 3 4 𝒇𝒊 2 6 12 7 3 Fonte Dados fictícios Com intervalos de classe É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe AT Lmáx lmín Medidas de Dispersão Amplitude total Exemplo Considerando a distribuição abaixo Medidas de Dispersão Amplitude total i ESTATURAS cm 𝒇𝒊 1 150 154 4 2 154 158 9 3 158 162 11 4 162 166 8 5 166 170 5 6 170 174 3 Σ40 AT 174 150 24 AT 24 cm Fonte Dados fictícios A AT tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série desconsiderando o conjunto de valores intermediários o que quase sempre invalida a idoneidade do resultado Ela é apenas uma indicação aproximada da dispersão e ou variabilidade Usase a AT quando se quer determinar a amplitude de temperatura em um dia ou no ano no controle de qualidade ou como medida de cálculo rápido e quando a compreensão popular é mais importante que a exatidão e a estabilidade Medidas de Dispersão Amplitude total Como a AT é instável por se deixar influenciar pelos valores extremos que são na sua maioria devidos ao acaso Variância e Desvio Padrão A variância e o desvio padrão são medidas que fogem a essa falha pois levam em consideração a totalidade dos valores em estudo o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis e por isso os mais empregados Medidas de Dispersão Variância e Desvio Padrão A variância baseiase nos desvios em torno da média aritmética porém determinando a média aritmética dos quadrados dos desvios Representando variância por 𝒔𝟐 temos Dados agrupados 𝒔𝟐 σ 𝒇𝒊𝒙𝒊 𝒙𝟐 σ 𝒇𝒊 Dados não agrupados 𝒔𝟐 σ 𝒙𝒊 𝒙 𝟐 𝒏 Medidas de Dispersão Variância 𝒔𝟐 Desvio Padrão s É a raiz quadrada da variância Medidas de Dispersão Desvio Padrão s s 𝒔𝟐 como 𝑠2 σ 𝑥𝑖 𝑥 2 𝑛 temos s σ 𝒙𝒊 𝒙 𝟐 𝒏 𝒔 σ 𝒙𝒊𝟐 𝒏 σ 𝒙𝒊 𝒏 𝟐 Propriedades do desvio padrão 1ª O desvio padrão de uma constante é igual a zero 2ª Somandose ou subtraindose uma constante a todos os valores de uma variável o desvio padrão não se altera 𝒚𝒊 𝒙𝒊 𝒄 𝒔𝒚 𝒔𝒙 3ª Multiplicandose ou dividindose todos os valores de uma variável por uma constante diferente de zero o desvio padrão fica multiplicado ou dividido por essa constante 𝒚𝒊 𝒄 𝒙𝒊 𝒔𝒚 𝒄 𝒔𝒙 ou 𝒚𝒊 𝒙𝒊𝒄 𝒔𝒚 𝒔𝒙c Medidas de Dispersão Desvio Padrão s Nota Tanto o desvio padrão como a variância são usados como medidas de dispersão ou variabilidade O uso de uma ou de outra dependerá da finalidade que se tenha em vista A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras Medidas de Dispersão Desvio Padrão s Exemplo Observe as notas de 3 competidores em uma prova de manobras radicais com skates Competidor A 7 5 3 Competidor B 5 4 6 Competidor C 4 4 7 Calculando a média iremos obter 5 para todos impossibilitando a nossa análise sobre a regularidade dos competidores Precisamos adotar uma medida que apresente a variação dessas notas no intuito de não comprometer a análise Medidas de Dispersão Variância e Desvio padrão Variância 𝑠2 σ 𝑥𝑖 𝑥 2 𝑛 𝑠𝐴2 752552352 3 404 3 2667 𝑠𝐵2 552452652 3 011 3 0667 𝑠𝐶2 452452752 3 114 3 2 Medidas de Dispersão Variância e Desvio padrão Desvio Padrão s 𝑠2 𝑠𝐴 2667 1633 𝑠𝐵 0667 0817 𝑠𝐶 2 1414 Medidas de Dispersão Variância e Desvio padrão Notamos que o competidor B possui uma melhor regularidade nas notas variância desvio regularidade Dados não agrupados Por exemplo Calcular o desvio padrão do conjunto de valores da variável x 40 45 48 52 54 62 70 𝒙𝒊 𝒙𝒊𝟐 40 1600 45 2025 48 2304 52 2704 54 2916 62 3844 70 4900 Desvio Padrão 𝑠 σ 𝑥𝑖2 𝑛 σ 𝑥𝑖 𝑛 2 𝑠 20293 7 371 7 2 S 949 Σ 371 Σ 20293 Fonte Dados fictícios Dados Agrupados Sem intervalo de classe No caso de dados agrupados temos a presença da frequência logo a fórmula será Desvio Padrão 𝒔 σ 𝒇𝒊 𝒙𝒊𝟐 σ 𝒇𝒊 σ 𝒙𝒊 𝒇𝒊 σ 𝒇𝒊 𝟐 Exemplo Considerando a tabela abaixo calcular s Desvio Padrão 𝒙𝒊 0 1 2 3 4 𝒇𝒊 2 6 12 7 3 𝒙𝒊 𝒇𝒊 0 2 1 6 2 12 3 7 4 3 𝒔 σ 𝒇𝒊 𝒙𝒊𝟐 σ 𝒇𝒊 σ 𝒙𝒊 𝒇𝒊 σ 𝒇𝒊 𝟐 𝑠 165 30 63 30 2 𝑠 55 441 𝑠 109 𝒔 104 Σ 30 𝒇𝒊 𝒙𝒊 0 6 24 21 12 𝒇𝒊 𝒙𝒊𝟐 0 6 48 63 48 Σ 63 Σ 165 Fonte Dados fictícios Exemplo Calcular o desvio padrão da distribuição abaixo Desvio Padrão i ESTATURAS cm 𝒇𝒊 1 150 154 4 2 154 158 9 3 158 162 11 4 162 166 8 5 166 170 5 6 170 174 3 Σ40 𝒙𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊𝟐 152 156 160 164 168 172 608 1404 1760 1312 840 516 Σ6440 215168 281600 219024 92416 141120 88752 Σ1038080 Com intervalo de classe 𝒔 σ 𝒇𝒊 𝒙𝒊𝟐 σ 𝒇𝒊 σ 𝒙𝒊 𝒇𝒊 σ 𝒇𝒊 𝟐 Desvio Padrão 𝒔 𝟏 𝟎𝟑𝟖 𝟎𝟖𝟎 𝟒𝟎 𝟔 𝟒𝟒𝟎 𝟒𝟎 𝟐 𝒔 𝟐𝟓 𝟗𝟓𝟐 𝟐𝟓 𝟗𝟐𝟏 𝒔 𝟑𝟏 𝒔 𝟓 𝟓𝟔𝟕 𝒔 σ 𝒇𝒊 𝒙𝒊𝟐 σ 𝒇𝒊 σ 𝒙𝒊 𝒇𝒊 σ 𝒇𝒊 𝟐 Coeficiente de Variação CV é uma medida de dispersão empregada para estimar a precisão de experimentos e representa o desvio padrão expresso como porcentagem da média Sua principal qualidade é a capacidade de comparação de distribuições diferentes CV 𝒔 𝒙 𝐱 𝟏𝟎𝟎 Medidas de Dispersão Coeficiente de Variação Exemplo Dada a distribuição Medidas de Dispersão Coeficiente de Variação i Estaturas 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊𝟐 1 150 154 4 152 608 92416 2 154 158 9 156 1404 219024 3 158 162 11 160 1760 281600 4 162 166 8 164 1312 215168 5 166 170 5 168 840 141120 6 170 174 3 172 516 88752 Σ40 Σ6440 Σ1038080 x Σ𝑥𝑖𝑓𝑖 Σ𝑓𝑖 6440 40 x 161 Fonte Dados fictícios 𝒔 σ 𝒇𝒊 𝒙𝒊𝟐 σ 𝒇𝒊 σ 𝒙𝒊 𝒇𝒊 σ 𝒇𝒊 𝟐 𝟏 𝟎𝟑𝟖 𝟎𝟖𝟎 𝟒𝟎 𝟔 𝟒𝟒𝟎 𝟒𝟎 𝟐 𝟐𝟓 𝟗𝟓𝟐 𝟐𝟓 𝟗𝟐𝟏 𝒔 𝟑𝟏 𝒔 𝟓 𝟓𝟔𝟕 Exemplo Dada a distribuição Medidas de Dispersão Coeficiente de Variação i Estaturas 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊𝟐 1 150 154 4 152 608 92416 2 154 158 9 156 1404 219024 3 158 162 11 160 1760 281600 4 162 166 8 164 1312 215168 5 166 170 5 168 840 141120 6 170 174 3 172 516 88752 Σ40 Σ6440 Σ1038080 x Σ𝑥𝑖𝑓𝑖 Σ𝑓𝑖 6440 40 x 161 Fonte Dados fictícios Exemplo Dados os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos determinar o maior grau de dispersão Medidas de Dispersão Coeficiente de Variação x s ESTATURAScm 175 50 PESOSkg 68 20 CV s x x 100 CVE s x x 100 5 175 x 100 00285 x 100 CVE 𝟐 𝟖𝟓 CVP s x x 100 2 68 x 100 00294 x 100 CVP 𝟐 𝟗𝟒 CONCLUSÃO Nesse grupo de indivíduos os pesos apresentam maior grau de dispersão que as estaturas Fonte Dados fictícios