Dimensionamento de Eixos - Aula 08 Teoria

UNIP 2020 all rights reserved Projeto de Elementos de Máquinas Aula 08 Teoria Curso Engenharia Mecânica Universidade Paulista UNIP 2020 all rights reserved Dimensionamento de Eixos 1 slide 0131 3 DIMENSIONAMENTO DE EIXOS O projeto de um eixo é um dos problemas mais comuns na mecânica O eixo é um elemento de máquina em rotação ou estático normalmente de secção circular Na maioria das aplicações os eixos estão associados a outros elementos de máquinas tais como engrenagens polias rodas dentadas acoplamentos etc As tensões atuantes nos eixos podem ser originadas de esforços de flexão e torção produzindo as tensões de tração compressão e cisalhamento Chavetas montagem com interferência e variações de diâmetros representam os principais fatores de concentração de tensões Uma revisão da análise de tensões é muito importante para o entendimento dos conceitos aplicados na elaboração das principais equações para o dimensionamento dos eixos Um aspecto importante no dimensionamento dos eixos é definir o tipo de carregamento que este elemento de máquina esta submetido UNIP 2020 all rights reserved As estruturas e componentes das máquinas podem ser submetidos aos seguintes tipos de solicitações a Tração pura b Compressão pura c Cambamento Flambagem d Cisalhamento e Flexão tração e compressão f Torção cisalhamento Tipos de Solicitações nos Eixos Estruturais e Eixos de Transmissão A determinação do estado de tensão é feita com base no Circulo de Mohr que permite a interpretação das tensões simultâneas atuando em um elemento A partir desta análise é possível determinar as tensões principais normais e transversais Na maioria das aplicações a análise no estado plano de tensões é suficiente para determinar os esforços atuantes no eixo representando assim a condição real da solicitação Dimensionamento de Eixos 1 slide 0231 UNIP 2020 all rights reserved Eixos Dianteiro da Motocicleta Eixo de Rodeiro Ferroviário Os eixos de apoio que não transmitem potência ficam submetidos normalmente aos esforços de tração e compressão sendo denominados eixo estrutural Dimensionamento de Eixos 1 slide 0331 UNIP 2020 all rights reserved Eixos de Transmissão Para Veículos Eixo de Bomba Centrífuga Os eixos que transmitem potência ficam submetidos às tensões de torsão sendo neste caso denominados árvores ou eixos de transmissão Dimensionamento de Eixos 1 slide 0431 UNIP 2020 all rights reserved Para garantir baixas deflexões a maioria dos equipamentos utiliza o eixo construído de aço carbono ou aço ligado que possui elevada rigidez para um módulo de elasticidade praticamente constante A maioria dos eixos são construídos de aços de baixo e médio carbono 1020 a 1050 laminado a frio ou a quente Para aplicações onde é necessária maior resistência são aplicados os aços de baixa liga 4140 4340 ou 8640 na maioria das vezes com tratamento térmico para obter maior resistência 31 Seleção dos Materiais Dimensionamento de Eixos 1 slide 0531 UNIP 2020 all rights reserved Os aços laminados a frio têm sua maior aplicação em diâmetros abaixo de 3 in 75 mm e os laminados a quente para os diâmetros maiores Os aços laminados a frio têm resistência maior devido ao encruamento porém surgem tensões residuais de superfície que são indesejadas para esta aplicação Algumas vezes é utilizado o ferro fundido neste caso para muita aplicações quando a peça é fundida em conjunto com a engrenagem polia ou outro elemento mecânico Para ambientes muito corrosivos como exemplo em aplicações marítimas podese utilizar o bronze aço inoxidável titânio ou inconel Dimensionamento de Eixos 1 slide 0631 UNIP 2020 all rights reserved O projeto do eixo é efetuado a partir do cálculo das tensões nas diversas secções críticas com o objetivo de definir o diâmetro necessário considerando todas as outras condições da aplicação Algumas regras gerais são relacionadas abaixo para auxiliar no dimensionamento e projeto do eixo 1 Para minimizar as tensões e deflexões o comprimento do eixo deve ser mantido o menor possível e os trechos em balanço devem ser minimizados 2 Uma viga em balanço terá uma deflexão maior que uma viga biapoiada para o mesmo comprimento e as mesmas cargas e secção transversal de modo que devese usar uma viga biapoiada a menos que o eixo em balanço seja ditado por restrições de projeto 32 Projeto do Eixo Dimensionamento de Eixos 1 slide 0731 UNIP 2020 all rights reserved Dimensionamento de Eixos 1 slide 0831 UNIP 2020 all rights reserved 3 Um eixo vazado tem uma razão melhor de rigidezmassa rigidez específica e freqüências naturais mais altas que aquelas de um eixo mais rígido ou sólido porém será mais caro e possivelmente com diâmetro maior 4 Evite colocar concentradores de tensões nas regiões submetidas a grandes momentos fletores se possível minimize seu efeito com grandes raios aliviadores de tensão 5 Caso a principal preocupação seja a diminuição da deflexão o material mais indicado é o aço de baixo carbono porque a sua rigidez é tão alta quanto aquela dos aços mais caros e um eixo projetado para pequenas deflexões tenderá a ter tensões baixas 6 As deflexões nas posições de engrenagens suportadas pelo eixo não devem exceder cerca de 0005 in e a inclinação relativa entre os eixos da engrenagem deve ser menos que cerca de 003 in Dimensionamento de Eixos 1 slide 0931 UNIP 2020 all rights reserved Dimensionamento de Eixos 1 slide 1031 UNIP 2020 all rights reserved 7 Se forem utilizados mancais de deslizamento a deflexão do eixo ao longo do comprimento do mancal deve ser menor do que a película de óleo do mancal 8 Se forem utilizados mancais de rolamento não autoalinhados a inclinação do eixo nos mancais deve ser mantida menor do que aproximadamente 004 in 9 Caso ocorram cargas axiais de compressão elas deverão ser descarregadas por um único mancal A montagem deve ser feita com um mancal fixo para suportar as cargas axiais e um mancal livre para absorver as dilatações térmicas da máquina 10 Os eixos de uso geral são projetados para trabalhar abaixo da primeira freqüência natural Neste caso deve ser obtida uma relação de freqüência de rotação 07 x freqüência natural Dimensionamento de Eixos 1 slide 1131 UNIP 2020 all rights reserved Para carga uniformemente distribuída Carga P concentrada no centro de viga E 207 GPa Eixo Maciço Utilizar método da superposição e tabelas para obter os valores em cada situação específica Velocidade Crítica do Eixo Ver em Juvinal Robert C and Marshek Kurt M Dimensionamento de Eixos 1 slide 1231 UNIP 2020 all rights reserved Dimensionamento de Eixos 1 slide 1331 UNIP 2020 all rights reserved 321 Projeto Para Carga Estática tensões constantes As tensões atuantes na superfície externa de um eixo a partir dos momentos de flexão e torção são definidas pelas equações 3 32 d M x 3 16 d T xy onde σx Tensão de Flexão τxy Tensão de Torção d diâmetro do eixo M momento de flexão na secção crítica T momento de torção na secção crítica Dimensionamento de Eixos 1 slide 1431 UNIP 2020 all rights reserved Considerando o Circulo de Mohr obtemos a máxima tensão de cisalhamento 2 2 3 max 16 T M d A Teoria de Máxima Tensão de Cisalhamento estabelece que Sxy Sy2 Considerando um fator de segurança n a equação é escrita da seguinte forma Aplicando as equações do Momento Fletor e do Momento de Torção temos 2 2 max 2 xy x 2 2 3 16 2 T M d n S y Dimensionamento de Eixos 1 slide 1531 UNIP 2020 all rights reserved O diâmetro pode ser obtido na equação 3 1 2 1 2 2 32 T M S n d y Aplicando Teoria da Energia de Distorção temos 3 1 2 1 2 2 4 3 32 T M S n d y Dimensionamento de Eixos 1 slide 1631 UNIP 2020 all rights reserved Exemplo 1 Diâmetro do Eixo carga Estática Máxima Um eixo sólido e uniforme ABCDE é suportado por mancais A e D e gira numa rotação de 900 rpm A potência de 50 kW é fornecida ao eixo através da polia C com 560 mm de diâmetro A potência de 30 kW é extraída pela polia B com 280 mm de diâmetro e 20 kW é extraído pela polia E com 210 mm de diâmetro Em cada polia as correias são paralelas e a relação de tensão é de 31 Determinar o diâmetro mínimo do eixo considerando a teoria da máxima tensão de cisalhamento para material com tensão de escoamento 400 Mpa e fator de segurança 4 O eixo tem diâmetro constante e o fator de segurança já inclui eventuais fatores de concentrações de tensões Dimensionamento de Eixos 1 slide 1731 UNIP 2020 all rights reserved Solução Considerando que os esforços aplicados ao eixo atuam em planos diferentes serão considerados os planos horizontal e vertical conforme posição observada na figura A velocidade angular do eixo rds é obtido a partir da rotação Inicialmente será calculado o torque aplicado em cada secção do eixo conforme descrito abaixo 𝑇𝑐 𝑃𝑐 𝜔 50000 9425 53050 𝑁 𝑚 𝜔 2 𝜋 𝑛 60 2 𝜋 900 60 9425 𝑟 Τ 𝑑 𝑠 𝑇𝐵 𝑃𝐵 𝜔 30000 9425 31830 𝑁 𝑚 𝑇𝐸 𝑃𝐸 𝜔 20000 9425 21220 𝑁 𝑚 Dimensionamento de Eixos 1 slide 1831 UNIP 2020 all rights reserved A força na correia da figura abaixo é definida na expressão Fu Força Lado Frouxo Ff 4 x Fu Força Resultante no Eixo 3 x Fu Força Lado Tenso Ft Polia 𝑇 𝐹𝑡 𝐹𝑓 𝑑𝑝𝑜𝑙𝑖𝑎 2 3 𝐹𝑢 𝐹𝑢 𝑑𝑝𝑜𝑙𝑖𝑎 2 𝐹𝑢 𝑑𝑝𝑜𝑙𝑖𝑎 N 𝐹𝑢𝐵 𝑇𝐵 𝑑𝐵 3183 280 103 11368 𝑁 𝐹𝑢𝐶 𝑇𝐶 𝑑𝐶 53050 560 103 9474 𝑁 𝐹𝑢𝐸 𝑇𝐸 𝑑𝐸 21230 210 103 10110 𝑁 Dimensionamento de Eixos 1 slide 1931 UNIP 2020 all rights reserved As forças no eixo em cada ponto de fixação de polias serão 𝐹𝐵 4 𝐹𝑢𝐵 45474 𝑁 𝐹𝐶 4 𝐹𝑢𝐶 37896 𝑁 𝐹𝐸 4 𝐹𝑢𝐸 40440 𝑁 A seguir representamos os diagramas com os carregamentos e reações nos planos vertical xz e horizontal xy conforme figura do eixo Dimensionamento de Eixos 1 slide 2031 UNIP 2020 all rights reserved As componentes de FY e FZ são calculadas em função do ângulo de inclinação das forças em relação aos planos de decomposição mostrados acima 𝐹𝐵𝑍 45474 𝑠𝑒𝑛45 32155 𝑁 𝐹𝐵𝑌 45474 𝑐𝑜𝑠45 32155 𝑁 𝐹𝐶𝑍 37896 𝑁 𝐹𝐶𝑌 0 𝐹𝐸𝑍 0 𝐹𝐸𝑌 4044 𝑁 Dimensionamento de Eixos 1 slide 2131 UNIP 2020 all rights reserved Pelo equilíbrio de forças e momentos 1ª Lei de Newton 𝐹𝑧 0 𝑒 𝑀𝑍 0 𝑅𝐴𝑍 𝑅𝐷𝑍 32154 37896 𝑅𝐴𝑍 1000 37896 650 32154 500 0 𝑅𝐷𝑍 85554 𝑁 𝑒 𝑅𝐴𝑍 28134 𝑁 𝐹𝑌 0 𝑒 𝑀𝑌 0 𝑹𝑨𝒀 𝑹𝑫𝒀 𝟑𝟐𝟏𝟓 𝟒 𝟒𝟎𝟒𝟒 4044 1150 𝑅𝐷𝑌 1000 32154 500 0 𝑹𝑫𝒀 𝟔𝟐𝟓𝟖 𝟑 𝑵 𝒆 𝑹𝑨𝒀 𝟏𝟎𝟎𝟏 𝟏 𝑵 Dimensionamento de Eixos 1 slide 2231 UNIP 2020 all rights reserved Parâmetro A B C D E Potência W 0 30 50 20 20 Torque T N x m 0 3183 53052 2122 2123 Força Correia X 45472 37896 X 40440 FZ N 28134 32154 37896 85554 0 Fy N 10011 32154 0 62583 40440 MZ N x m 0 140670 2994 0 0 MY N x m 0 50055 1684 6066 0 M N x m 0 520 3435 6066 0 M2 T212 0 610 632 643 2123 Para facilitar a análise a tabela abaixo apresenta o valor de cada parâmetro considerado nas diversões seções do eixo Dimensionamento de Eixos 1 slide 2331 UNIP 2020 all rights reserved Considerando que a tensão admissível já considera os efeitos de fadiga vamos aplicar a equação básica para a determinação do diâmetro 3 1 2 1 2 2 32 T M S n d y A secção crítica encontrase em D sendo n 4 e Sy 400 Mpa temos 𝑑 32 4 𝜋 400 106 643 1 3 𝐷 4031 𝑚𝑚 Dimensionamento de Eixos 1 slide 2431 UNIP 2020 all rights reserved Exemplo 2 Velocidade Crítica de Eixos O eixo de aço simplesmente apoiado mostrado na figura é conectado a um motor elétrico através de um acoplamento flexível Determine o valor da velocidade crítica de rotação do eixo Solução Inicialmente devemos identificar as equações a serem aplicadas 𝑬 𝟑𝟎 𝟏𝟎𝟔 psi Densidade do Aço Módulo de Elasticidade do Aço Dimensionamento de Eixos 1 slide 2531 UNIP 2020 all rights reserved A carga distribuída é obtida nas expressões a seguir A deflexão estática é obtida nas expressões a seguir Dimensionamento de Eixos 1 slide 2631 UNIP 2020 all rights reserved A rotação crítica para L 20 in é definida na equação Rotação Crítica em função do espaçamento entre os mancais L Rotação Espaço Mancais Veloc Crítica Dimensionamento de Eixos 1 slide 2731 UNIP 2020 all rights reserved Exercício 1 Diâmetro do Eixo carga Estática Máxima Calcular o diâmetro do eixo do exemplo 1 considerando a Teoria da Energia de Distorção Máxima aplicando a fórmula abaixo 3 1 2 1 2 2 4 3 32 T M S n d y Exercício 2 Velocidade Crítica do Eixo Calcular a velocidade crítica do eixo abaixo Resposta 449 rpm Dimensionamento de Eixos 1 slide 2831 UNIP 2020 all rights reserved Rolamento Eixo de Saída Rolamento Eixo Intermediária Rolamento Eixo de Entrada Eixo de Saída Engrenagem Intermediária Eixo Pinhão Intermediário Eixo Pinhão de Entrada Engrenagem de Saída Motor de Acionamento Saída pRodas Saída pRodas Exercício 3 Eixo Pinhão de Redutora A figura apresenta uma redutora de eixos paralelos A Potência na Entrada é de 75 kW e a rotação de 900 rpm Dimensionamento de Eixos 1 slide 2931 UNIP 2020 all rights reserved Wt Wr Wa W n t I II Wt1 R1 R2 Wa 900 rpm Forças Atuantes no Dente Sabendo que o diâmetro do eixo na secção I é de 83 mm determinar o coeficiente de segurança de projeto em relação à tensão admissível de fadiga considerando os dados informados a seguir Dimensionamento de Eixos 1 slide 3031 UNIP 2020 all rights reserved Dados Gerais das Engrenagens Ref Nome Primeiro Par Segundo Par Pinhão Coroa Pinhão Coroa Tipo de Engrenagem Engrenagem Helicoidal Engrenagem Helicoidal DP Diametral Pitch Normal 1 4233 3175 Φn Ângulo de Pressão Normal 20o 20o Φa Ângulo de Pressão Axial 20o33 20o12 N Número de Dentes 16 LH 89 RH 15 RH 78 LH ψ Ângulo de Hélice 2 13o3210 13o3210 8o2153 8o2153 d Diâmetro Primitivo Pitch Diam 3 38875 21624 4775 24831 Material A322 4140 A5761045 A3224140 A5761045 HB Dureza Brinell 320o10o 260o10o 320o10o 260o10o Força Radial Wr WSenΦn Força Tangencial Wt WCosΦnCosψ Força Axial Wa WCosΦnSenψ Φn 20o e ψ 1354o Força Radial Wr1 60346 N Força Tangencial Wt1 16119 N Força Normal W1 17644 N Força Axial Wa1 3882 N 𝑆𝑛 35 𝑘𝑔𝑓𝑚𝑚2 Dimensionamento de Eixos 1 slide 3131 Tensão Limite de Fadiga do Aço 4140 UNIP 2020 all rights reserved FIM Referências principais 1 Projeto de Engenharia Mecânica Shigley Joseph E Mischke Charles R and Budynas Richard G 2 Fundamentos do Projeto de Componentes de Máquinas Juvinal Robert C and Marshek Kurt M 3 INEP httpportalinepgovbreducacaosuperiorenadeprovasegabaritos Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira