Diagramas de Esforços Solicitantes e Vigas Gerber - Exercícios Resolvidos

Tema Nesta atividade discutiremos o tema Diagramas de esforços solicitantes e Vigas Gerber Referência no livro da disciplina ou livros indicados Caderno da disciplina indicado na Bibliografia Aulas 1 e 8 Proposta da atividade Esta atividade está dividida em três partes 1ª parte Determine os valores das reações de apoio e o Diagrama de esforços solicitantes para as vigas abaixo Viga 1 Viga 2 Viga 3 2ª parte Compare os resultados encontrados nos gráficos na parte anterior discutindo a influência dos apoios nas estruturas e nos valores das reações de apoio 3ª parte Determine os valores das reações de apoio e o Diagrama de momento fletor para a Viga Gerber abaixo Informações Complementares para a atividade A atividade pode ser realizada em grupo de até 3 alunos A atividade deve ser entregue exclusivamente através do CANVAS em link próprio da atividade A data limite de entrega deve obedecer ao estabelecido ao calendário acadêmico 1 Determine os valores das reações de apoio e o Diagrama de esforços solicitantes para as vigas abaixo Viga 1 1º Passo Nomear os trechos de cada seção e definir o sentido das reações de apoio sentido arbitrário 2º Passo Calcular as reações de apoio Lembrese há 3 equações para usarmos para calcular as reações nos apoios são elas M 0 Fy 0 Fx 0 Fazendo Fx 0 temos Ha 10 0 Ha 10 kN Agora nos resta encontrar os valores de Va e Vb utilizando as duas equações restantes Para isso irei dividir a carga trapezoidal em uma carga triangular de 20 kNm e outra retangular de 20 kNm conforme abaixo A B C D Va Vb Ha 20 kNm 20 kNm 40 kNm Divisão do trapézio em duas cargas de 20 kNm uma triangular e outra retangular 0 kNm 4 m Desse modo temos Fazendo MA 0 𝑉𝑏 4 20 4 4 2 204 2 1 3 4 20 5 10 7 0 𝑽𝒃 𝟗𝟓 𝟖𝟑𝟑 𝒌𝑵 Fy 0 𝑉𝑎 𝑉𝑏 20 4 204 2 20 10 0 𝑽𝒂 𝟓𝟒 𝟏𝟔𝟕 𝒌𝑵 Portanto temos as seguintes reações 3º Passo Traçado dos Diagramas dos esforços solicitantes os esforços solicitantes em uma viga são esforço normal esforço cortante e momento fletor vamos traçar os 3 Diagrama de Esforço Normal DEN kN Esforço normal corresponde as forças na horizontal note que temos 10 kN em A e 10 kN em C ambos de mesmo valor porém em sentidos opostos Veja que 10 kN em A está com a ponta da seta aponta para dentro da viga como se estivesse entrando na barra logo está comprimindo a barra e o esforço normal será negativo Em C eles se anulam permanecendo o trecho CD nulo 20 kNm 20 kNm 4 m 20 kN 10 kN 10 kN 1 m 2 m Va Vb Ha A B C D A B C D A B C D Diagrama de Esforço Cortante DEC kN Calcular manualmente trecho a trecho Trechos A 54167 AB 54167 204 2042 65833 B 65833 95833 30 BC 3020 10 C 10 CD 1010 0 Diagrama de Momento Fletor DMF kNm A B C D Lembrese que dividimos o trapézio em um triângulo e um retângulo ambos de 20 kNm A B C D O mesmo método usado para os diagramas anteriores pode ser feito no diagrama de momento porém há uma observação a ser feita vamos analisar Trechos A 0 B 54167 4 20 4 4 2 204 2 2 3 4 50 C 50 541672042042958331 20 D 20 54167204204295833202 0 OBS Encontramos os valores dos momentos em cada extremidade trecho da viga porém quando há cargas distribuídas retangular triangular trapezoidal é necessário calcular o momento máximo que é o valor correspondente a cortante igual a zero Note que o único trecho com carga de distribuída é o trecho AB esse trecho tem uma cortante igual a zero veja abaixo A B C D A B C D A B C D Q 0 DEC x Sendo assim quando Q 0 cortante igual a zero é necessário calcular o momento máximo que nesse exercício é 39063 kNm conforme DMF abaixo Para encontrar o Mmáx momento máximo é necessário equacionar o trecho em que Q0 que no nosso caso é o trecho AB Equacionamento de Trecho AB método das seções Equação da Cortante Para achála a função do cortante devemos fazer a integral da função da carga analisando com uma reta temos q 405x 5x40 x0 40 kNm x4 20kNm 𝑄𝑥 5𝑥 40𝑑𝑥 5𝑥² 2 40𝑥 𝑐 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 é 𝑜 valor do cortante no ponto inicial A Logo 𝑸𝒙 𝟓𝒙² 𝟐 𝟒𝟎𝒙 𝟓𝟒 𝟏𝟔𝟕 𝑄𝑥 0 5 02 2 40 0 54167 𝟓𝟒 𝟏𝟔𝟕 𝒌𝑵 𝑄𝑥 4 5 42 2 40 4 54167 𝟔𝟓 𝟖𝟑𝟑 𝒌𝑵 Veja que esses valores da cortante bateram com os já realizados anteriormente A B C D A B Para calcular o ponto onde o cortante é nulo Qx 0 basta igualar a função do cortante a zero assim 𝑄𝑥 5𝑥² 2 40𝑥 54167 0 5𝑥² 2 40𝑥 54167 𝑋 1451 𝑚 𝑒 𝑿 𝟏 𝟒𝟗 𝒎 Como o vão é de 4m o valor será X 149 m Para encontrar a equação do Momento basta integrar a equação da cortante 𝑀𝑥 𝑄𝑥𝑑𝑥 5𝑥² 2 40𝑥 54167 𝑑𝑥 𝑀𝑥 5𝑥² 2 40𝑥 54167 𝑑𝑥 5𝑥³ 6 40𝑥² 2 54167𝑥 𝑴𝒙 𝟓𝒙³ 𝟔 𝟐𝟎𝒙² 𝟓𝟒 𝟏𝟔𝟕𝒙 Para encontrar o Mmáx basta substituir o valor do x onde a cortante é nula que no caso é x149m 𝑴𝒙 𝟓𝒙³ 𝟔 𝟐𝟎𝒙² 𝟓𝟒 𝟏𝟔𝟕𝒙 𝑀𝑥 149 5 1493 6 20 1492 54167 149 𝑴𝒎á𝒙𝒙 𝟏 𝟒𝟗 𝟑𝟗 𝟎𝟔𝟑 𝒌𝑵 𝒎 Portanto temos DMF kNm Viga 2 A análise é igual a Viga 1 o que mudou foi a troca dos apoios em A e B Isso mudará apenas o diagrama de esforço normal 1 Cálculo das reações de apoio Fx 0 𝐻𝑏 10 0 𝑯𝒃 𝟏𝟎 𝒌𝑵 MA 0 𝑉𝑏 4 20 4 4 2 204 2 1 3 4 20 5 10 7 0 𝑽𝒃 𝟗𝟓 𝟖𝟑𝟑 𝒌𝑵 Fy 0 𝑉𝑎 𝑉𝑏 20 4 204 2 20 10 0 𝑽𝒂 𝟓𝟒 𝟏𝟔𝟕 𝒌𝑵 2 Diagramas Diagrama de Esforço Normal DEN kN Diagrama de Esforço Cortante DEC kN Diagrama de Momento Fletor DMF kNm Va Vb Hb A B C D Viga 3 A viga 3 difere das outras duas vigas pois essa não está biapoiada e sim engastada restringindo os três movimentos normal Ha cisalhamento Va e flexão Ma 1 Cálculo das reações de apoio Fx 0 𝐻𝑎 10 0 𝑯𝒂 𝟏𝟎 𝒌𝑵 MA 0 𝑀𝑎 20 4 4 2 204 2 1 3 4 20 5 10 7 0 𝑽𝒃 𝟑𝟖𝟑 𝟑𝟑𝟑 𝒌𝑵 𝒎 Fy 0 𝑉𝑎 20 4 204 2 20 10 0 𝑽𝒂 𝟏𝟓𝟎 𝒌𝑵 Portanto temos 2 Diagramas Diagrama de Esforço Normal DEN kN Diagrama de Esforço Cortante DEC kN Trechos A 150 AB 150 204 2042 30 Ha Va Ma A B C D BC 3020 10 CD 1010 0 Diagrama de Momento Fletor DMF kNm 2ª parte Compare os resultados encontrados nos gráficos na parte anterior discutindo a influência dos apoios nas estruturas e nos valores das reações de apoio Ambas as cargas externas permanecera iguais desse modo os resultados entre as vigas 1 e 2 pelo fato de ambas serem biapoiadas com balanço diferiram apenas no esforço normal uma vez que houve a inversão dos apoios A e B Em contrapartida a viga 3 apresentou apenas o apoio de 3º gênero engaste o que mudou toda a estrutura passando a atuar engastada com balanço É possível notar que as reações da viga 3 diferiu das vigas 1 e 2 pelo fato das 3 restrições desse engaste gerando um momento na extremidade A o que não aconteceu na viga 1 e 2 ambas com momentos nulos na extremidade A Quanto a cortante nas vigas 1 e 2 é possível identificar a cortante nula em função do carregamento distribuído no trecho AB o que acarreta em um momento máximo no trecho o que não acontece na viga 3 permanecendo os trechos BC CD iguais entre as vigas Quanto a normal esse só possível devido a carga pontual aplicada em C sendo iguais na viga 1 e 3 devido a reação na extremidade A Por fim os diagramas da cortante e momento fletor são iguais nos trechos BC e CD em todas as 3 vigas 3ª parte Determine os valores das reações de apoio e o Diagrama de momento fletor para a Viga Gerber abaixo Informações Complementares para a atividade Divisão Isostática da Gerber A B C D E F G H A B C C D E E F G H Reações Trecho ABC Trecho CDE Trecho EFGH Portanto temos as seguintes reações Diagramas Diagrama de Esforço Normal DEN kN 15 kN em A compressão logo negativo que se anula em H A B C Fx 0 15 𝐻𝑐 0 𝑯𝒄 𝟏𝟓 𝒌𝑵 MC 0 𝑉𝑏 3 30 5 0 𝑽𝒃 𝟓𝟎 𝒌𝑵 Fy 0 𝑉𝑏 𝑉𝑐 30 0 𝑽𝒄 𝟐𝟎 𝒌𝑵 Hc Vb Vc C D E Vd Ve He Fx 0 15 𝐻𝑒 0 𝑯𝒆 𝟏𝟓 𝒌𝑵 ME 0 𝑉𝑑 4 20 8 20 8 4 0 𝑽𝒅 𝟏𝟐𝟎 𝒌𝑵 Fy 0 𝑉𝑑 𝑉𝑒 20 20 8 0 𝑽𝒆 𝟐𝟎 𝒌𝑵 Fx 0 15 𝐻ℎ 0 𝑯𝒉 𝟏𝟓 𝒌𝑵 Mh 0 𝑀ℎ 20 7 50 5 10 3 0 𝑴𝒉 𝟒𝟐𝟎 𝒌𝑵 𝒎𝑵 Fy 0 𝑉ℎ 20 50 10 0 𝑽𝒉 𝟖𝟎 𝒌𝑵 Vh Mh Hh A B C D E F G H Diagrama de Esforço Cortante DEC kN Trechos A 30 BC 305020 CD 20204 60 D 60120 60 DE 60204 20 EF 200 20 F 2050 70 G 7010 80 H 8080 0 Diagrama de Momento Fletor DMF kNm Momentos nas rótulas são iguais a ZERO Observe que temos dois momentos máximos de 10 kNm em virtude da cortante ser zero Q0 nos trechos CD e DE em virtude carga distribuída Para encontralo utilizaremos o equacionamento dos trechos Equacionamento do Trecho CD Primeiro traremos a resultante das forças solicitantes a esquerda da barra CD Fy 3050 20 kN Fx 15 kN M 305503 0 Logo temos Equacionamento do Trecho DE Primeiro traremos a resultante das forças solicitantes a esquerda da barra DE Fy 3050204120 60 kN Fx 15 kN M 309507204280 kNm Logo temos Trechos A 0 AB 302 60 kNm BC 6030503 0 CD 0 305042042 80 kNm DE 803050204120420420 EF 030502041202042 40 kNm FG 403050204120204502 180 kNm GH 180305020412020450103 420 kNm C D Qx2020x 0 2020x x 1m Mx 20x10x² Mmáxx1 201101²10 kNm Qx6020x 0 6020x x 3m Mx 60x10x²80 Mmáxx3 603103²8010 kNm D E