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Transformações homogêneas e cinemática de robôs continuação Prof Carlos Eduardo Miralles Continuação cosѲi senѲicosαi senѲisenαi cosѲiai Ai 1 senѲi cosѲicosαi cosѲisenαi senѲiai 0 senαi cosαi di 0 0 0 1 cosѲ1 senѲ1 0 cosѲ1L1 0A1 senѲ1 cosѲ1 0 senѲ1L1 0 0 1 0 0 0 0 1 T d Ѳ a α 1 0 Ѳ1 L1 0 O0 O1 Z0 X0 Y0 Z1 X1 Y1 J1 L1 Ѳ1 α N S A P PX Y Z X cosѲ1L1 Y senѲ1L1 Z0 Posição e orientação do órgão terminal Sendo L1 500 mm e Ѳ1 na posição 30 PX 433 PY 250 PZ 0 NX 086 NY 05 NZ 0 SX 05 SY 086 SZ 0 AX 0 AY 0 AZ 1 0 50 100 150 200 250 300 0 100 200 300 400 500 Posição YS XN ZA 0 05 1 06 04 02 0 02 04 06 08 1 Orientação XN YS ZA Posição e orientação do órgão terminal Dado um robô com 6 graus de liberdade a matriz A0 6 representa sua posição e orientação em relação ao referencial da base Essa matriz é de grande importância é chamada de matriz do robô manipulador Ela é representada nas seguintes formas R6 0 P6 0 N S A P NX SX AX PX A0 6 0 1 0 0 0 1 A0 6 NY SY AY PY NZ SZ AZ PZ 0 0 0 1 Posição Orientação Perspectiva Escala Onde N normal vetor perpendicular ao órgão terminal S Deslizamento aponta em direção ao movimento dos dedos A Aproximação perpendicular à mão P Posição em relação à base Órgão terminal S N A X N Yaw guinada Y S Pitch mergulho arfagem Z A Roll Rolmento Exercício X0 L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 Z2 X2 Y2 J1 J1 Ѳ1 L2 α1 Ѳ2 Z0 α2 O2 cosѲi senѲicosαi senѲisenαi cosѲiai Genérica A i 1 i senѲi cosѲicosαi cosѲisenαi senѲiai 0 senαi cosαi di 0 0 0 1 T d Ѳ a α 1 0 Ѳ1 L1 0 2 0 Ѳ2 L2 0 cosѲ1 senѲ1 0 cosѲ1L1 0A1 senѲ1 cosѲ1 0 senѲ1L1 0 0 1 0 0 0 0 1 cosѲ2 senѲ2 0 cosѲ2L2 1A2 senѲ2 cosѲ2 0 senѲ2L2 0 0 1 0 0 0 0 1 X cosѲ1 cosѲ2senѲ1 senѲ2 cosѲ1senѲ2 senѲ1cosѲ2 0 L1cosѲ1L2cosѲ1cosѲ2 L2senѲ1senѲ2 0A2 senѲ1 cosѲ2cosѲ1 senѲ2 senѲ1senѲ2 cosѲ1cosѲ2 0 L1senѲ1L2senѲ1cosѲ2L2cosѲ1senѲ2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 cosѲ1 cosѲ2senѲ1 senѲ2 0 0 9 0 0 0 0 2 cosѲ1senѲ2 senѲ1cosѲ2 0 0 10 0 0 0 0 3 0 0 0 0 11 0 0 1 0 4 L2cosѲ1cosѲ2 L2senѲ1senѲ2 L1cosѲ1 12 0 0 0 0 5 senѲ1 cosѲ2cosѲ1senѲ2 0 0 13 0 0 0 0 6 senѲ1senѲ2 cosѲ1cosѲ2 0 0 14 0 0 0 0 7 0 0 0 0 15 0 0 0 0 8 L2senѲ1cosѲ2L2cosѲ1senѲ2 0 L1senѲ1 16 0 0 0 1 cosѲ1 senѲ1 0 cosѲ1L1 0A1 senѲ1 cosѲ1 0 senѲ1L1 0 0 1 0 0 0 0 1 cosѲ2 senѲ2 0 cosѲ2L2 1A2 senѲ2 cosѲ2 0 senѲ2L2 0 0 1 0 0 0 0 1 X Relações trigonométricas sena b senacosb cosasenb sena b senacosb cosasenb cosa b cosacosb senasenb cosa b cosacosb senasenb cosѲ1 cosѲ2senѲ1 senѲ2 cosѲ1senѲ2 senѲ1cosѲ2 0 L1cosѲ1L2cosѲ1cosѲ2 L2senѲ1senѲ2 0A2 senѲ1 cosѲ2cosѲ1 senѲ2 senѲ1senѲ2 cosѲ1cosѲ2 0 L1senѲ1L2senѲ1cosѲ2L2cosѲ1senѲ2 0 0 1 0 0 0 0 1 cos Ѳ1 Ѳ2 senѲ1 Ѳ2 0 L1cosѲ1L2cosѲ1 Ѳ2 0A2 sen Ѳ1 Ѳ2 cos Ѳ1 Ѳ2 0 L1senѲ1L2sen Ѳ1 Ѳ2 0 0 1 0 0 0 0 1 Simplificando
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Transformações homogêneas e cinemática de robôs continuação Prof Carlos Eduardo Miralles Continuação cosѲi senѲicosαi senѲisenαi cosѲiai Ai 1 senѲi cosѲicosαi cosѲisenαi senѲiai 0 senαi cosαi di 0 0 0 1 cosѲ1 senѲ1 0 cosѲ1L1 0A1 senѲ1 cosѲ1 0 senѲ1L1 0 0 1 0 0 0 0 1 T d Ѳ a α 1 0 Ѳ1 L1 0 O0 O1 Z0 X0 Y0 Z1 X1 Y1 J1 L1 Ѳ1 α N S A P PX Y Z X cosѲ1L1 Y senѲ1L1 Z0 Posição e orientação do órgão terminal Sendo L1 500 mm e Ѳ1 na posição 30 PX 433 PY 250 PZ 0 NX 086 NY 05 NZ 0 SX 05 SY 086 SZ 0 AX 0 AY 0 AZ 1 0 50 100 150 200 250 300 0 100 200 300 400 500 Posição YS XN ZA 0 05 1 06 04 02 0 02 04 06 08 1 Orientação XN YS ZA Posição e orientação do órgão terminal Dado um robô com 6 graus de liberdade a matriz A0 6 representa sua posição e orientação em relação ao referencial da base Essa matriz é de grande importância é chamada de matriz do robô manipulador Ela é representada nas seguintes formas R6 0 P6 0 N S A P NX SX AX PX A0 6 0 1 0 0 0 1 A0 6 NY SY AY PY NZ SZ AZ PZ 0 0 0 1 Posição Orientação Perspectiva Escala Onde N normal vetor perpendicular ao órgão terminal S Deslizamento aponta em direção ao movimento dos dedos A Aproximação perpendicular à mão P Posição em relação à base Órgão terminal S N A X N Yaw guinada Y S Pitch mergulho arfagem Z A Roll Rolmento Exercício X0 L1 O0 O1 Z1 X1 Y1 Y0 Z2 X2 Y2 J1 J1 Ѳ1 L2 α1 Ѳ2 Z0 α2 O2 cosѲi senѲicosαi senѲisenαi cosѲiai Genérica A i 1 i senѲi cosѲicosαi cosѲisenαi senѲiai 0 senαi cosαi di 0 0 0 1 T d Ѳ a α 1 0 Ѳ1 L1 0 2 0 Ѳ2 L2 0 cosѲ1 senѲ1 0 cosѲ1L1 0A1 senѲ1 cosѲ1 0 senѲ1L1 0 0 1 0 0 0 0 1 cosѲ2 senѲ2 0 cosѲ2L2 1A2 senѲ2 cosѲ2 0 senѲ2L2 0 0 1 0 0 0 0 1 X cosѲ1 cosѲ2senѲ1 senѲ2 cosѲ1senѲ2 senѲ1cosѲ2 0 L1cosѲ1L2cosѲ1cosѲ2 L2senѲ1senѲ2 0A2 senѲ1 cosѲ2cosѲ1 senѲ2 senѲ1senѲ2 cosѲ1cosѲ2 0 L1senѲ1L2senѲ1cosѲ2L2cosѲ1senѲ2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 cosѲ1 cosѲ2senѲ1 senѲ2 0 0 9 0 0 0 0 2 cosѲ1senѲ2 senѲ1cosѲ2 0 0 10 0 0 0 0 3 0 0 0 0 11 0 0 1 0 4 L2cosѲ1cosѲ2 L2senѲ1senѲ2 L1cosѲ1 12 0 0 0 0 5 senѲ1 cosѲ2cosѲ1senѲ2 0 0 13 0 0 0 0 6 senѲ1senѲ2 cosѲ1cosѲ2 0 0 14 0 0 0 0 7 0 0 0 0 15 0 0 0 0 8 L2senѲ1cosѲ2L2cosѲ1senѲ2 0 L1senѲ1 16 0 0 0 1 cosѲ1 senѲ1 0 cosѲ1L1 0A1 senѲ1 cosѲ1 0 senѲ1L1 0 0 1 0 0 0 0 1 cosѲ2 senѲ2 0 cosѲ2L2 1A2 senѲ2 cosѲ2 0 senѲ2L2 0 0 1 0 0 0 0 1 X Relações trigonométricas sena b senacosb cosasenb sena b senacosb cosasenb cosa b cosacosb senasenb cosa b cosacosb senasenb cosѲ1 cosѲ2senѲ1 senѲ2 cosѲ1senѲ2 senѲ1cosѲ2 0 L1cosѲ1L2cosѲ1cosѲ2 L2senѲ1senѲ2 0A2 senѲ1 cosѲ2cosѲ1 senѲ2 senѲ1senѲ2 cosѲ1cosѲ2 0 L1senѲ1L2senѲ1cosѲ2L2cosѲ1senѲ2 0 0 1 0 0 0 0 1 cos Ѳ1 Ѳ2 senѲ1 Ѳ2 0 L1cosѲ1L2cosѲ1 Ѳ2 0A2 sen Ѳ1 Ѳ2 cos Ѳ1 Ѳ2 0 L1senѲ1L2sen Ѳ1 Ѳ2 0 0 1 0 0 0 0 1 Simplificando