Lista de Exercícios 1: Álgebra Vetorial e Aplicações

LISTA EXERCÍCIOS 1 ÁLGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES 01 Sendo 𝑨 2𝒙 1𝒚 3𝒛 𝑩 1𝒚 1𝒛 e 𝑪 3𝒙 5𝒚 7𝒛 determine a 𝑪 4𝑨 𝑩 b𝟐𝑨 𝟑𝑩 𝑪 c 𝑨 𝑪 𝑩𝟐 d 1 2 𝑩 𝑨 𝑪 e 𝐀 𝐁 𝑨 𝑪 f cos θAB g o vetor unitário 𝒌 na direção de 𝑲 𝑨 2𝑩 𝑪 h A C B 02 Se 𝑨 𝟑𝒙 4𝒚 para quais valores de 𝑘 temos 𝑘𝑨 2 03 Se 𝑷 2𝒙 1𝒚 1𝒛 𝑸 𝟏𝒙 1𝒚 1𝒛 e 𝑹 2𝒙 3𝒛 determine o produto misto 𝑷 𝑸 𝑹 e o produto vetorial 𝑷 𝑸 𝑹 04 Mostre que para quaisquer vetores 𝑨 e 𝑩 é sempre verdade que 𝑨 𝑨 𝑩 0 É possível concluir o mesmo de 𝑨 𝑨 𝑩 Dica considere que 𝑨 𝑎1𝒙 𝑎2𝒚 𝑎3𝒛 e 𝑩 𝑏1𝒙 𝑏2𝒚 𝑏3𝒛 para 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑏1 𝑏2 𝑒 𝑏3 números quaisquer e efetue as contas 05 Determine entre os vetores a seguir aquele que é um vetor unitário a 𝑨 1𝒙 1𝒚 c 𝑨 1 2 𝒙 1 2 𝒚 e 𝑨 1 2 𝒙 1 2 𝒚 b 𝑨 1 2 𝒙 3 2 𝒚 d 𝑨 1 3 𝒙 1𝒚 06 Se o vetor 𝒁 𝑎𝒙 1 3 𝒚 é unitário qual é valor de 𝑎 07 Considere os pontos 𝐴1 2 𝐵4 2 e 𝐶42 a Sabendo que os vetores 𝑨𝑩 𝑨𝑪 e 𝑩𝑪 foram um triângulo se a soma dos ângulos internos entre os vetores é 180o verifique que 𝐴 𝐵 e 𝐶 determinam um triângulo e calcule o respectivo perímetro b O triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retângulo 08 Ainda sobre triângulos sabese que estes podem ser classificados de acordo com seus lados Se um triângulo tem 03 lados iguais é denominado equilátero Se apenas 02 lados forem iguais o triângulo é isósceles Se todos os lados forem distintos o triângulo é escaleno Classifique o triângulo definido pelos vértices 𝐴130 𝐵0100 e 𝐶425 09 Sejam dois vetores tais que 𝑨 2𝒙 3𝒚 4𝒛 e 𝑩 1𝒙 1𝒚 2𝒛 Sabendo que a componente do vetor 𝑨 na direção de 𝑩 é 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑩 𝑨 𝐀 𝐛 na qual 𝐛 é o vetor unitário na direção de 𝑩 determine 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑩 𝑨 e 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑨 𝑩 10 Seja A um vetor dado Os ângulos direcionais de A α β e γ são definidos da seguinte forma o α ângulo compreendido entre o vetor A e o eixo coordenado x o β ângulo compreendido entre o vetor A e o eixo coordenado y o γ ângulo compreendido entre o vetor A e o eixo coordenado z Sabendo que os eixos coordenados podem ser representados sem perda de generalidade pelos respectivos vetores unitários 𝐱 𝐲 e 𝐳 resolva o seguinte problema Em relação ao ponto de observação de um aeroporto um avião está a 4 km de altura 5 km ao sul e 7 km a leste Supondo que a altura seja identificada com o eixo z e as direções sul e leste sejam identificadas com os eixos y e x respectivamente determine os ângulos direcionais do avião de acordo com o respectivo vetor de posição 11 O trabalho 𝑊 realizado por uma força 𝑭 ao mover um objeto em uma direção 𝒅 é calculado por 𝑊 𝑭 𝒅 Determine o trabalho realizado por 𝐹 2𝒙 4𝒚 ao mover um objeto na direção 𝒅 definida entre os pontos 𝑃11 e 𝑄46 12 Nas condições do exercício anterior determine a a direção de um vetor 𝒅 para o qual o trabalho 𝑊seria nulo e b a direção de um vetor 𝒅 para o qual o trabalho seria exatamente igual a 𝑊 𝑭𝒅 13 Um bloco com peso 𝑷 é puxado ao longo de uma superfície horizontal sem atrito por uma força constante 𝑭 de magnitude 30 N em uma direção dada pelo vetor 𝒅 paralela à direção de aplicação da força Considerando que 𝒅 seja dado em metros a Esboce o enunciado utilizando seus conhecimentos de Física b Calcule o trabalho realizado pelo peso 𝑷 do deslocamento do bloco c Calcule o trabalho realizado por 𝑭 se 𝒅 𝟒𝒙 3𝒚 14 Um trenó é puxado verticalmente sobre o gelo por uma corda conectada a sua parte dianteira Uma força de 20 N atuando em um ângulo de 60 em relação à horizontal desloca o trenó por 100m Calcule o trabalho 𝑊 realizado