Lista de Exercícios Resolvidos - Álgebra Vetorial e Aplicações

LISTA EXERCÍCIOS 1 ÁLGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES 01 Sendo 𝑨 2𝒙 1𝒚 3𝒛 𝑩 1𝒚 1𝒛 e 𝑪 3𝒙 5𝒚 7𝒛 determine a 𝑪 4𝑨 𝑩 b𝟐𝑨 𝟑𝑩 𝑪 c 𝑨 𝑪 𝑩𝟐 d 1 2 𝑩 𝑨 𝑪 e 𝐀 𝐁 𝑨 𝑪 f cos θAB g o vetor unitário 𝒌 na direção de 𝑲 𝑨 2𝑩 𝑪 h A C B 02 Se 𝑨 𝟑𝒙 4𝒚 para quais valores de 𝑘 temos 𝑘𝑨 2 03 Se 𝑷 2𝒙 1𝒚 1𝒛 𝑸 𝟏𝒙 1𝒚 1𝒛 e 𝑹 2𝒙 3𝒛 determine o produto misto 𝑷 𝑸 𝑹 e o produto vetorial 𝑷 𝑸 𝑹 04 Mostre que para quaisquer vetores 𝑨 e 𝑩 é sempre verdade que 𝑨 𝑨 𝑩 0 É possível concluir o mesmo de 𝑨 𝑨 𝑩 Dica considere que 𝑨 𝑎1𝒙 𝑎2𝒚 𝑎3𝒛 e 𝑩 𝑏1𝒙 𝑏2𝒚 𝑏3𝒛 para 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑏1 𝑏2 𝑒 𝑏3 números quaisquer e efetue as contas 05 Determine entre os vetores a seguir aquele que é um vetor unitário a 𝑨 1𝒙 1𝒚 c 𝑨 1 2 𝒙 1 2 𝒚 e 𝑨 1 2 𝒙 1 2 𝒚 b 𝑨 1 2 𝒙 3 2 𝒚 d 𝑨 1 3 𝒙 1𝒚 06 Se o vetor 𝒁 𝑎𝒙 1 3 𝒚 é unitário qual é valor de 𝑎 07 Considere os pontos 𝐴1 2 𝐵4 2 e 𝐶42 a Sabendo que os vetores 𝑨𝑩 𝑨𝑪 e 𝑩𝑪 foram um triângulo se a soma dos ângulos internos entre os vetores é 180o verifique que 𝐴 𝐵 e 𝐶 determinam um triângulo e calcule o respectivo perímetro b O triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retângulo 08 Ainda sobre triângulos sabese que estes podem ser classificados de acordo com seus lados Se um triângulo tem 03 lados iguais é denominado equilátero Se apenas 02 lados forem iguais o triângulo é isósceles Se todos os lados forem distintos o triângulo é escaleno Classifique o triângulo definido pelos vértices 𝐴130 𝐵0100 e 𝐶425 09 Sejam dois vetores tais que 𝑨 2𝒙 3𝒚 4𝒛 e 𝑩 1𝒙 1𝒚 2𝒛 Sabendo que a componente do vetor 𝑨 na direção de 𝑩 é 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑩 𝑨 𝐀 𝐛 na qual 𝐛 é o vetor unitário na direção de 𝑩 determine 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑩 𝑨 e 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑨 𝑩 10 Seja A um vetor dado Os ângulos direcionais de A α β e γ são definidos da seguinte forma o α ângulo compreendido entre o vetor A e o eixo coordenado x o β ângulo compreendido entre o vetor A e o eixo coordenado y o γ ângulo compreendido entre o vetor A e o eixo coordenado z Sabendo que os eixos coordenados podem ser representados sem perda de generalidade pelos respectivos vetores unitários 𝐱 𝐲 e 𝐳 resolva o seguinte problema Em relação ao ponto de observação de um aeroporto um avião está a 4 km de altura 5 km ao sul e 7 km a leste Supondo que a altura seja identificada com o eixo z e as direções sul e leste sejam identificadas com os eixos y e x respectivamente determine os ângulos direcionais do avião de acordo com o respectivo vetor de posição 11 O trabalho 𝑊 realizado por uma força 𝑭 ao mover um objeto em uma direção 𝒅 é calculado por 𝑊 𝑭 𝒅 Determine o trabalho realizado por 𝐹 2𝒙 4𝒚 ao mover um objeto na direção 𝒅 definida entre os pontos 𝑃11 e 𝑄46 12 Nas condições do exercício anterior determine a a direção de um vetor 𝒅 para o qual o trabalho 𝑊seria nulo e b a direção de um vetor 𝒅 para o qual o trabalho seria exatamente igual a 𝑊 𝑭𝒅 13 Um bloco com peso 𝑷 é puxado ao longo de uma superfície horizontal sem atrito por uma força constante 𝑭 de magnitude 30 N em uma direção dada pelo vetor 𝒅 paralela à direção de aplicação da força Considerando que 𝒅 seja dado em metros a Esboce o enunciado utilizando seus conhecimentos de Física b Calcule o trabalho realizado pelo peso 𝑷 do deslocamento do bloco c Calcule o trabalho realizado por 𝑭 se 𝒅 𝟒𝒙 3𝒚 14 Um trenó é puxado verticalmente sobre o gelo por uma corda conectada a sua parte dianteira Uma força de 20 N atuando em um ângulo de 60 em relação à horizontal desloca o trenó por 100m Calcule o trabalho 𝑊 realizado LISTA DE EXERCÍCIOS 4 CAMPO ELÉTRICO 1 O núcleo de um átomo de plutônio 239 contém 94 prótons Suponha que o núcleo é uma esfera com 664 fm de raio e que a carga dos prótons está distribuída uniformemente na esfera Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora do campo elétrico produzido pelos prótons na superfície do núcleo 2 Duas partículas são mantidas fixas no eixo x a partícula 1 de carga 200 𝑥 107 𝐶 no ponto 𝑥 600 𝑐𝑚 e a partícula 2 de carga 200 𝑥 107 𝐶 no ponto 𝑥 210 𝑐𝑚 Qual é o campo elétrico total a meio caminho entra as partículas em termos dos vetores unitários 3 Qual é o módulo de uma carga pontual cujo campo elétrico a 50 cm de distância tem o módulo de 20 NC 4 Qual é o módulo de uma carga pontual capaz de criar um campo elétrico de 100 NC em um ponto a 100 m de distância 5 Na figura abaixo as quatro partículas formam um quadrado de lado 𝑎 500 𝑐𝑚 e têm cargas 𝑞1 100 𝑛𝐶 𝑞2 200 𝑛𝐶 𝑞3 200 𝑛𝐶 𝑒 𝑞4 100 𝑛𝐶 Qual é o campo elétrico no centro do quadrado em termos dos vetores unitários 6 Na figura abaixo as quatro partículas são mantidas fixas e têm cargas 𝑞1 𝑞2 5𝑒 𝑞3 3𝑒 𝑒 𝑞4 12𝑒 A distância 𝑑 50 𝜇𝑚 Qual é o módulo do campo elétrico no ponto P 7 A figura abaixo mostra duas partículas carregadas mantidas fixas no eixo x 𝑞 320 𝑥 1019 𝐶 no ponto 𝑥 300 𝑚 e 𝑞 320 𝑥 1019 𝐶 no ponto 𝑥 300 𝑚 Determine a o módulo e b a orientação do campo elétrico no ponto P para o qual 𝑦 400 𝑚 LISTA DE EXERCÍCIOS 5 FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS 1 A figura mostra quatro superficies fechadas 𝑆1 𝑎 𝑆4 e três cargas 2𝑄 𝑄 𝑒 𝑄 Qual é o fluxo 𝛷 através de cada uma das superfícies 2 Uma casca esférica uniformemente carregada de 30 cm de diâmetro possui uma densidade superficial de carga 𝜎 80 𝜇𝐶𝑚2 a Determine a carga sobre a esfera b Qual é o fluxo do campo elétrico total que sai da esfera 3 Uma carga puntiforme produz um fluxo de campo elétrico de 750 𝑁𝑚2𝐶 através de uma superfície gaussiana esférica de 100 cm de raio centrada na carga a Se o raio da superfície gaussiana dobrar qual seria o fluxo através da superfície b Qual a quantidade e sinal da carga puntiforme 4 Uma esfera condutora de 150 cm de raio possui uma carga de valor desconhecido Sabendose que o campo elétrico a uma distância de 200 cm do centro da esfera tem módulo igual a 300 𝑥 103 𝑁𝐶 e aponta radialmente para dentro da esfera qual é a carga da esfera 5 Uma superfície fechada envolve uma carga 𝑞 63 𝜇𝐶 Determine o fluxo de campo elétrico gerado pela carga através dessa superfície 6 O contador Geiger é um instrumento para medir radiações ionizantes Ele é baseado em um longo tubo metálico cilíndrico que tem um fio metálico alinhado ao longo do seu eixo central O raio interno do tubo é 200 cm O tubo é preenchido com gás no qual ocorre uma descarga elétrica quando o campo elétrico no seu interior atinge um valor de 556 𝑥 106 𝑁𝐶 Determine a densidade linear de carga máxima no fio para que não ocorra descarga elétrica Considere o fio e o tubo infinitamente longos 7 Duas cascas esféricas concêntricas têm raios 𝑎 500 𝑐𝑚 𝑒 𝑏 150 𝑐𝑚 e estão carregadas eletricamente A carga total sobre a esfera interna é de 8 𝑥 108 𝐶 e sobre a esfera externa a carga total é 300 𝑥 108 𝐶 Determine o campo elétrico em a 𝑟 800 𝑐𝑚 b 𝑟 300 𝑐𝑚 medidos a partir do centro de cascas 8 Um fio condutor longo com densidade linear de carga 100 𝑥 108 𝐶𝑚 está dentro de uma casca condutora cilíndrica concêntrica de 200 cm de raio e densidade de carga 100 𝑥 108 𝐶𝑚 Usando a lei de Gauss calcule o módulo do campo elétrico nas regiões a entre os dois condutores a 100 cm do centro do fio b fora da casca condutora 𝑟 200 𝑐𝑚 LISTA DE EXERCÍCIOS 3 CARGAS ELÉTRICAS E LEI DE COULOMB 1 Qual deve ser a distância entre a carga pontual 𝑞1 26 𝜇𝐶 e a carga pontual 𝑞2 47 𝜇𝐶 para que a força eletrostática entre as duas cargas tenha um módulo de 57 N 2 Uma partícula com uma carga de 3 𝑥 106 𝐶 está a 12 cm de distância de uma segunda partícula com uma carga de 15 𝑥 106 𝐶 Calcule o módulo da força eletrostática entre as partículas 3 Duas partículas de mesma carga são colocadas a 32 𝑥 103 𝑚 de distância uma da outra e liberadas a partir do repouso A aceleração inicial da primeira partícula é 7 ms2 e a da segunda é 9 ms2 Se a massa da primeira partícula é 63 𝑥 107 𝑘𝑔 determine a a massa da segunda partícula e b o módulo das cargas das partículas 4 Na figura abaixo três partículas carregadas estão em um eixo x As partículas 1 e 2 são mantidas fixas A partícula 3 está livre para se mover mas a força eletrostática exercida sobre ela pelas partículas 1 e 2 é zero Se 𝐿12 𝐿23 qual é o valor da razão 𝑞1 𝑞2 5 Na figura abaixo as cargas das partículas são 𝑞1 𝑞2 100 𝑛𝐶 e 𝑞3 𝑞4 200 𝑛𝐶 O lado do quadrado é 𝑎 50 𝑐𝑚 Determine a a componente x e b a componente y da força eletrostática a que está submetida a partícula 3 6 Na figura abaixo as partículas 1 e 2 têm uma carga de 20 𝜇𝐶 cada uma e estão separadas por uma distância 𝑑 150 𝑚 a Qual é o módulo da força eletrostática que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 Na figura b a partícula 3 com uma carga de 20 𝜇𝐶 é posicionada de modo a completar um triângulo equilátero b Qual é o módulo da força eletrostática a que a partícula 1 é submetida devido à presença das partículas 2 e 3 7 A figura abaixo mostra um sistema de 4 partículas carregadas com 𝜃 30 e 𝑑 200 𝑐𝑚 A carga da partícula 2 é 𝑞2 800 𝑥 1019 𝐶 a carga das partículas 3 e 4 é 𝑞3 𝑞4 160 𝑥 1019 𝐶 Qual deve ser a distância D entre a origem e a partícula 2 para que a força que age sobre a partícula 1 seja nula LISTA DE EXERCÍCIOS 2 ONDAS MECÂNICAS 1 O gráfico da figura mostra a variação da elongação x de uma onda transversal com a distância d percorrida por ela Qual o comprimento de onda e a amplitude dessa onda 2 A onda mostrada na figura abaixo é gerada por um oscilador de 60 ciclos por segundo Determine as seguintes grandezas da onda amplitude frequência comprimento de onda e velocidade de propagação 3 A velocidade do som no ar é igual a 344 ms a Qual é o comprimento de onda da onda sonora de frequência igual a 784 Hz correspondente à corda G5 de um piano b Qual é a frequência de uma onda sonora que tem comprimento de onda igual a 00655 mm 4 A velocidade de ondas eletromagnéticas no ar é aproximadamente 3 𝑥 108 𝑚𝑠 Ache o compirmento das ondas emitidas por a Uma estação de TV com frquência igual a 200 MHz b Uma operadora de telefonia celular que opera na frequência de 1820 MHz banda D 5 Se a amplitude for suficientemente grande o ouvido humano pode detectar ondas no intervalo aproximado entre 20 Hz e 20 kHz Calcule o comprimento de onda correspondente a essas frequências a no ar 𝑣 344 𝑚𝑠 b dentro da água 𝑣 1480 𝑚𝑠 6 Uma onda possui uma frequência angular de 110 rads e um comprimento de onda de 180 m Calcule a número de onda b a velocidade da onda c a frequência e d o período da onda 7 Uma onda senoidal se propaga ao longo de uma corda O tempo para que um ponto em particular se mova do deslocamento máximo A até o próximo ponto onde y vale zero é de 0170 s Calcule a o período a frequência e a frequência angular b Se o comprimento de onda é igual a 140 m qual é a velocidade de propagação da onda 8 a Escreva a equação que descreve uma onda senoidal transversal senoidal se propagando em uma corda no sentido x com comprimento de onda de 10 cm frequência de 400 Hz e uma amplitude de 20 cm b Qual a velocidade de propagação da onda c Qual é o período da onda 9 Uma corda na qual ondas podem se propagar tem 270 m de comprimento e 260 g de massa A tração da corda é de 360 N Qual deve ser a frequência em Hz de ondas progressivas com uma amplitude de 770 mm para que a potência média seja 850 W 10 A figura mostra dois pulsos que se movimentam em sentidos contrários um em direção ao outro sobre a mesma corda que pode ser considerada ideal No momento em que houver superposição total a disposição esperada para os pontos da corda estará melhor indicada por qual alternativa a b c d e 11 Em uma balada são instalados em paredes opostas dois altofalantes que emitem ondas sonoras iguais É possível estando os dois altofalantes ligados haver pontos na sala com silêncio ou seja com intensidade do som igual a zero a Não pois com dois altofalantes a intensidade do som é duplicada b Sim Devido ao fenômeno da refração nos pontos onde houver a superposição da crista de uma onda e o vale da outra onda haverá silêncio c Não devido ao fenômeno da dispersão d Sim Devido ao fenômeno da interferência nos pontos onde houver uma superposição da crista de uma onda e o vale da outra onda haverá silêncio e Sim Devido ao fenômeno da polarização nos pontos onde houver uma superposição do vale de uma onda e o vale da outra onda haverá silêncio 12 As ondas transversais se propagam a 150 msem um fio com 80 cm de comprimento sujeito a uma força de tração de 550 N Qual a massa do fio 13 Duas ondas idênticas se propagam no mesmo sentido e se interferem 𝑦1 3 cos2𝑥 3𝑡 𝑒 𝑦2 3 𝑠𝑒𝑛2𝑥 3𝑡 𝜑 com x e y em metros Se a amplitude da onda resultante é 1 m qual é a diferença de fase LISTA 1 1 a 357 4 213 0 1 1 357 88 16 11 13 25 b 2 213 3011 357 4 1 3 357 28 c A C B² 32 2 30 d 2 25 25 e 22232 116 116 116 f A B ABcosθ cos θ ABAB 20 11 31 14 2 cosθ 52 7 g K A 2B C 213 20 1 1 3 5 7 5 4 8 Agora basta calcularmos o módulo de K e dividirmos o vetor por esse valor K 5²4²8²¹² 105 Logo o vetor unitário na direção de de K é 1 105 548 h A C B A 357011 A 12 12A 24 12 36 2 A 3 4 0 Veja que kA kA Além disso A 3² 4²½ 5 Logo 5k 2 k 04 3 P 211 Q 111 R 2 0 3 P Q x R P 3 1 2 2 1 1 3 1 2 5 P x Q x R P x 21 2 3 6 0 4 Como por definição o vetor resultante A x B é perpendicular tanto a A quando a B o produto escalar A A x B será entre dois vetores perpendiculares Ou seja será nulo pois A A x B AA x Bcosθ onde θ 90 ou seja cosθ 0 Logo A A x B 0 5 Basta calcularmos os módulos Somente a LETRA B e a LETRA E possuem módulos iguais a 1 6 Se Z a 13 0 Z a² 19 1 a² 1 19 a² 89 a 2 23 7 a Perímetro dAB dBC dAC AB² BC² CA² 3² 4² 3² 4² 3 4 5 12 b Veja que o produto escalar B A CB 3004 0 Isto é os segmentos AB e BC são perpendiculares entre si Logo ABC é retângulo 8 dAB B A² 1²7² 5 2 dBC B C² 4² 8² 5² 105 dAC C A² 3² 1² 5² 35 Triângulo escaleno 9 A 2 3 4 B 112 Unitário na direção de A a 1AA 1 29 234 2 29 3 29 4 29 Unitário na direção de B b 1B B 1 6 112 1 6 1 6 2 6 comp de A em B A b 2 6 3 6 8 6 3 6 comp de B em A Ba 2 29 3 29 8 29 3 29 10 Coordenadas do avião D 5 7 4 5x 7y 4z D 5² 7² 4² 90 3 10 Para sabermos a direção basta vermos que cos alfa DxD 53 10 cos beta DyD 73 10 cosgamma DzD 43 10 11 F d 24 Q P 2 4 35 26 joules 12 a Para que o trabalho seja nulo o ângulo entre o vetor F e a direção d deve ser 90º Ou seja F d 0 24 x y 0 x 2y Logo a direção será da forma 2y y y 21 b Nesse caso devemos ter o ângulo entre as direções igual a 0 Basta tomarmos um vetor perpendicular ao vetor do item a como 12 13 b W Fd 30 d c W Fd 30 0 43 120 joules 14 F 20 cos60º sen 60 20 ½ 32 10 10 3 d 100x W Fd 10 10 3 100 2000 joules