Lista de Exercicios Resolvidos Campo Eletrico e Lei de Gauss

LISTA DE EXERCÍCIOS 4 CAMPO ELÉTRICO 1 O núcleo de um átomo de plutônio 239 contém 94 prótons Suponha que o núcleo é uma esfera com 664 fm de raio e que a carga dos prótons está distribuída uniformemente na esfera Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora do campo elétrico produzido pelos prótons na superfície do núcleo 2 Duas partículas são mantidas fixas no eixo x a partícula 1 de carga 200 𝑥 107 𝐶 no ponto 𝑥 600 𝑐𝑚 e a partícula 2 de carga 200 𝑥 107 𝐶 no ponto 𝑥 210 𝑐𝑚 Qual é o campo elétrico total a meio caminho entra as partículas em termos dos vetores unitários 3 Qual é o módulo de uma carga pontual cujo campo elétrico a 50 cm de distância tem o módulo de 20 NC 4 Qual é o módulo de uma carga pontual capaz de criar um campo elétrico de 100 NC em um ponto a 100 m de distância 5 Na figura abaixo as quatro partículas formam um quadrado de lado 𝑎 500 𝑐𝑚 e têm cargas 𝑞1 100 𝑛𝐶 𝑞2 200 𝑛𝐶 𝑞3 200 𝑛𝐶 𝑒 𝑞4 100 𝑛𝐶 Qual é o campo elétrico no centro do quadrado em termos dos vetores unitários 6 Na figura abaixo as quatro partículas são mantidas fixas e têm cargas 𝑞1 𝑞2 5𝑒 𝑞3 3𝑒 𝑒 𝑞4 12𝑒 A distância 𝑑 50 𝜇𝑚 Qual é o módulo do campo elétrico no ponto P 7 A figura abaixo mostra duas partículas carregadas mantidas fixas no eixo x 𝑞 320 𝑥 1019 𝐶 no ponto 𝑥 300 𝑚 e 𝑞 320 𝑥 1019 𝐶 no ponto 𝑥 300 𝑚 Determine a o módulo e b a orientação do campo elétrico no ponto P para o qual 𝑦 400 𝑚 LISTA DE EXERCÍCIOS 5 FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS 1 A figura mostra quatro superficies fechadas 𝑆1 𝑎 𝑆4 e três cargas 2𝑄 𝑄 𝑒 𝑄 Qual é o fluxo 𝛷 através de cada uma das superfícies 2 Uma casca esférica uniformemente carregada de 30 cm de diâmetro possui uma densidade superficial de carga 𝜎 80 𝜇𝐶𝑚2 a Determine a carga sobre a esfera b Qual é o fluxo do campo elétrico total que sai da esfera 3 Uma carga puntiforme produz um fluxo de campo elétrico de 750 𝑁𝑚2𝐶 através de uma superfície gaussiana esférica de 100 cm de raio centrada na carga a Se o raio da superfície gaussiana dobrar qual seria o fluxo através da superfície b Qual a quantidade e sinal da carga puntiforme 4 Uma esfera condutora de 150 cm de raio possui uma carga de valor desconhecido Sabendose que o campo elétrico a uma distância de 200 cm do centro da esfera tem módulo igual a 300 𝑥 103 𝑁𝐶 e aponta radialmente para dentro da esfera qual é a carga da esfera 5 Uma superfície fechada envolve uma carga 𝑞 63 𝜇𝐶 Determine o fluxo de campo elétrico gerado pela carga através dessa superfície 6 O contador Geiger é um instrumento para medir radiações ionizantes Ele é baseado em um longo tubo metálico cilíndrico que tem um fio metálico alinhado ao longo do seu eixo central O raio interno do tubo é 200 cm O tubo é preenchido com gás no qual ocorre uma descarga elétrica quando o campo elétrico no seu interior atinge um valor de 556 𝑥 106 𝑁𝐶 Determine a densidade linear de carga máxima no fio para que não ocorra descarga elétrica Considere o fio e o tubo infinitamente longos 7 Duas cascas esféricas concêntricas têm raios 𝑎 500 𝑐𝑚 𝑒 𝑏 150 𝑐𝑚 e estão carregadas eletricamente A carga total sobre a esfera interna é de 8 𝑥 108 𝐶 e sobre a esfera externa a carga total é 300 𝑥 108 𝐶 Determine o campo elétrico em a 𝑟 800 𝑐𝑚 b 𝑟 300 𝑐𝑚 medidos a partir do centro de cascas 8 Um fio condutor longo com densidade linear de carga 100 𝑥 108 𝐶𝑚 está dentro de uma casca condutora cilíndrica concêntrica de 200 cm de raio e densidade de carga 100 𝑥 108 𝐶𝑚 Usando a lei de Gauss calcule o módulo do campo elétrico nas regiões a entre os dois condutores a 100 cm do centro do fio b fora da casca condutora 𝑟 200 𝑐𝑚 CONDUTOR CENTRAL Cobre corda BLINDAGEM Trança de Alumínio Cobrecida DIELÉTRICO Polietileno Sólido CAPA PVC 1 𝑒𝑚 𝑆1 Ф 2𝑄 𝑄 𝜀0 𝑄 𝜀0 𝑒𝑚 𝑆2 Ф 𝑄 𝑄 𝜀0 0 𝑒𝑚 𝑆3 Ф 𝑄 𝑄 2𝑄 𝜀0 2𝑄 𝜀0 𝑒𝑚 𝑆4 Ф 0 𝜀0 0 2 D 30 cm r 15 cm ou 0015 m σ 80 µCm² 𝑞 𝜎𝐴 𝑞 𝜎 4𝜋𝑅2 𝑞 8𝑥106 4 𝜋 00152 𝑞 226𝑥108𝐶 3 a o fluxo ainda é 750 Nm²C pois depende apenas da quantidade de carga B 𝑞 𝜀0 Φ 𝑞 885𝑥1012 750 𝑞 664𝑥109𝐶 4 A carga é distribuída uniformemente sobre a superfície da esfera e o campo elétrico que ela produz em pontos fora da esfera é como o campo de uma partícula pontual com carga igual à carga líquida da esfera Ou seja a magnitude do campo é dada por 𝐸 𝑞 4𝜋𝜀0𝑟2 𝑞 𝐸 4𝜋𝜀0𝑟2 𝑞 3𝑥103 0152 899𝑥109 𝑞 75𝑥109𝐶 Como o campo aponta para dentro ou seja para o centro da esfera então a carga é negativa 𝑞 75𝑥109𝐶 5 𝑞 𝜀0 Φ 63𝑥106 885𝑥1012 Φ Φ 712x106 𝑁𝑚2 𝐶1 6 𝐸 𝐴 𝑞𝑒𝑛𝑣 𝜀0 𝐸 2𝜋𝑟ℎ 𝑞𝑒𝑛𝑣 𝜀𝑜 𝐸 2𝜋𝑟ℎ 𝜆ℎ 𝜀𝑜 𝜆 𝐸 2𝜋𝑟ℎ 𝜀𝑜ℎ 𝜆 𝐸 2𝜋𝑟 𝜀0 𝜆 556𝑥106 2𝜋 0022 885𝑥1012 𝜆 157𝑥1015 𝐶𝑚 7A Qt Qmaior Qmenor 8𝑥108 3𝑥108 𝑄𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑄𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 11𝑥108𝐶 𝐸 𝑞𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 4𝜋𝜀0𝑟𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 2 𝐸 11𝑥108 4𝜋𝜀00082 𝐸 899𝑥109 11𝑥108 0082 𝐸 154𝑥104 𝑁𝐶 B 𝐸 𝑞𝑡 4𝜋𝜀0𝑟𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 2 𝐸 8𝑥108 4𝜋𝜀0032 𝐸 899𝑥109 8𝑥108 032 𝐸 799𝑥104 𝑁𝐶 8 A 𝐸 𝜆 2𝜋𝜀0𝑟 𝐸 1𝑥108 2𝜋𝜀0 002 𝐸 1𝑥108 2𝜋 885𝑥1012 002 𝐸 899𝑥104 𝑁𝐶 B Como fora da casca condutora a carga total interna à minha superfície será Qint QCilindro de raio a Qasca de raio b λl λl 0 Assim o campo E fora da casca será E 0 1 em S1Ф2QQ ε0 Q ε0 em S 2ФQQ ε0 0 em S 3ФQQ2Q ε0 2Q ε0 em S 4Ф 0 ε 0 0 2 D 30 cm r 15 cm ou 0015 m σ 80 µCm² qσA qσ4π R 2 q8 x10 64π0015 2 q226 x10 8C 3 a o fluxo ainda é 750 Nm²C pois depende apenas da quantidade de carga B qε0Φ q885 x10 12750 q664 x 10 9C 4 A carga é distribuída uniformemente sobre a superfície da esfera e o campo elétrico que ela produz em pontos fora da esfera é como o campo de uma partícula pontual com carga igual à carga líquida da esfera Ou seja a magnitude do campo é dada por E q 4 π ε0r 2 qE4 π ε0r 2 q3 x10 3015 2 899 x10 9 q75 x 10 9C Como o campo aponta para dentro ou seja para o centro da esfera então a carga é negativa q75 x10 9C 5 qε0Φ 63 x10 6885 x10 12Φ Φ712x 10 6N m 2C 1 6 EAqenv ε0 E2πrhqenv εo E2πrhλh ε o λE2 πrh εoh λE2 πr ε 0 λ556 x 10 62 π0 02 2 885 x10 12 λ157 x 10 15Cm 7A Qt Qmaior Qmenor 8 x10 83 x 10 8Qmenor Qmenor11x 10 8C E qmenor 4 π ε0rmenor 2 E 11 x10 8 4 π ε0008 2 E8 99 x 10 911 x 10 8 008 2 E154 x 10 4 NC B E qt 4 π ε0rmaior 2 E 8x 10 8 4 π ε003 2 E8 99 x 10 98 x 10 8 03 2 E799 x10 4 N C 8 A E λ 2 π ε0r E 1 x10 8 2 π ε0002 E 1x 10 8 2 π885 x 10 12002 E899 x10 4 N C B Como fora da casca condutora a carga total interna à minha superfície será Qint QCilindro de raio a Qasca de raio b λl λl 0 Assim o campo E fora da casca será E 0 1 A r 664 fm 664x1015 m k 9x109 Nm2C2 Q 16x1019 C 𝐸 𝑘 𝑄 𝑟2 𝐸 9𝑥109 94 16𝑥1019 664𝑥10152 𝐸 13536𝑥1010 441𝑥1030 𝐸 307𝑥1021𝑁𝐶 B Como as cargas envolvidas são positivas a tendência é que as cargas sejam repelidas assim o sentido do campo elétrico produzido será para fora 2 𝐸𝑝 𝑘 𝑞 𝑟2 𝑟 𝐸𝑅 𝐸1 𝐸2 𝐸𝑅 𝑘 𝑞 𝑑2 î 𝑘 𝑞 𝑑2 î 𝐸𝑅 2𝑘𝑞 𝑑2 î d 135 6 d 75 cm 0075 m 𝐸 2 9𝑥109 2𝑥107 00752 î 𝐸 640𝑥105𝑁𝐶 3 𝐸𝑃 2𝑁𝐶 r 025 m 𝐸 𝐹 𝑞0 𝐸 𝑘 𝑄 𝑞0 025 𝑞0 1 𝐸 𝑘 𝑄 𝑞0 025 1 𝑞0 𝐸 𝑘 𝑄 025 𝑄 𝐸 025 𝑘 𝑄 2 025 9𝑥109 𝑄 56𝑥1011𝐶 4 𝐸𝑝 1 𝑁𝐶 r 1 m 𝐸 𝐹 𝑞0 𝐸 𝑘 𝑄 𝑞0 1 𝑞0 1 𝐸 𝑘 𝑄 𝑞0 1 1 𝑞0 𝐸 𝑘 𝑄 𝑄 𝐸 𝑘 𝑄 1 9𝑥109 𝑄 11𝑥1010𝐶 5 Encontrado o raio 𝑟2 𝑎2 4 𝑎2 4 𝑟2 2𝑎2 4 𝑟2 𝑎2 2 𝑟 𝑎 2 𝐸𝑅 𝐸1 𝐸2 𝐸3 𝐸4 Por simetria as componentes se anulam em x e em y se somam E1 E4 E2 E3 𝐸𝑅 2𝐸1𝑦 2𝐸2𝑦 𝐸𝑅 2 𝑘 𝑞 𝑎2 2 𝑠𝑒𝑛45𝑗 𝑘 2𝑞 𝑎2 2 𝑠𝑒𝑛45𝑗 𝐸𝑅 2 2 𝑘 𝑞 𝑎2 2 2 1 2𝑗 𝐸𝑅 22 𝑘 𝑞 𝑎2 𝑗 𝐸𝑟 22 9𝑥109 10𝑥109 0052 𝐸𝑅 102𝑥105 𝑁𝐶 6 Por simetria E1 E2 então se anulam 𝐸𝑅 𝐸4 𝐸3 𝐸𝑅 𝑘 𝑞4 𝑟4 2 𝑘 𝑞3 𝑟3 2 𝐸𝑅 𝑘 12𝑒 4𝑑2 𝑘 3𝑒 𝑑2 𝐸𝑅 𝑘 3𝑒 𝑑2 𝑘 3𝑒 𝑑2 𝐸𝑅 0 𝐶 7 A 𝑟2 32 42 𝑟2 25 Por simetria são anulados em y 𝐸𝑦 𝐸𝑦 𝐸𝑦 𝐸𝑦 0 𝐸𝑅 2𝐸𝑥 𝐸𝑅 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐸 𝐸𝑅 2 cos 𝜃 𝑘 32𝑥1019 25 𝑐𝑜𝑠𝜃 3 5 06 𝑆𝑈𝐵𝑆𝑇𝐼𝑇𝑈𝐼 𝐸𝑅 2 06 9𝑥109 32𝑥1019 25 𝐸𝑅 13824𝑥1010 𝑁𝐶 B como o campo elétrico está no sentido î o ângulo com o eixo x será 180 1 A r 664 fm 664x1015 m k 9x109 Nm2C2 Q 16x1019 C EkQ r 2 E9x 10 99416 x 10 19 6 64 x 10 15 2 E13536 x10 10 441x 10 30 E307x 10 21N C B Como as cargas envolvidas são positivas a tendência é que as cargas sejam repelidas assim o sentido do campo elétrico produzido será para fora 2 Epk q r 2 r ERE1E2 ERkq d 2 î kq d 2 î ER2kq d 2 î d 135 6 d 75 cm 0075 m E29 x10 92 x10 7 0075 2 î E640 x10 5NC 3 EP2 NC r 025 m E F q0 E kQq0 025 q0 1 E kQq0 025 1 q0 EkQ 0 25 Q E025 k Q2025 9 x10 9 Q56 x 10 11C 4 Ep1N C r 1 m E F q0 E kQq0 1 q0 1 E kQq0 1 1 q0 EkQ Q E k Q 1 9 x10 9 Q11x 10 10C 5 Encontrado o raio r 2a 2 4 a 2 4 r 22a 2 4 r 2a 2 2 r a 2 ERE1E2 E3E4 Por simetria as componentes se anulam em x e em y se somam E1 E4 E2 E3 ER2 E1 y2E2 y ER2 kq a 2 2 sen 45 j k2q a 2 2 sen45 j ER 22kq a 2 2 2 12 j ER22kq a 2 j Er229 x10 910x 10 9 005 2 ER102 x10 5 NC 6 Por simetria E1 E2 então se anulam ERE4E3 ERk q4 r4 2 k q3 r3 2 ERk12e 4 d 2 k3e d 2 ERk3e d 2 k3e d 2 ER0C 7 A r 23 24 2 r 225 Por simetria são anulados em y E yE y E yE y0 ER2 Ex ER2cosθE ER2cos θk32 x10 19 25 cosθ3 506SUBSTITUI ER20 69x 10 932 x10 19 25 ER13824 x10 10 NC B como o campo elétrico está no sentido î o ângulo com o eixo x será 180