Raciocínio Quantitativo - Série Universitária

Marília Valério Rocha Raciocínio quantitativo A Série Universitária foi desenvolvida pelo Senac São Paulo com o intuito de preparar profissionais para o mercado de trabalho Os títulos abrangem diversas áreas abordando desde conhecimentos teóricos e práticos adequados às exigências profissionais até a formação ética e sólida O livro Raciocínio quantitativo apresenta os principais conceitos matemáticos aplicados na área de negócios Entre os temas abordados estão a teoria dos conjuntos equações e sistemas lineares proporcionalidade funções e suas representações O objetivo é proporcionar ao leitor uma visão das ferramentas matemáticas empregadas na modelagem de problemas SÉRIE UNIVERSITÁRIA RACIOCÍNIO QUANTITATIVO Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Simone M P Vieira CRB 8a4771 Rocha Marília Valério Raciocínio quantitativo Marília Valério Rocha São Paulo Editora Senac São Paulo 2021 Série Universitária Bibliografia eISBN 9786555368949 ePub2021 eISBN 9786555368956 PDF2021 1 Matemática 2 Equação de 1º e 2º Grau Matemática 3 Equação linear e quadrática Matemática 4 Funções e gráficos Matemática 5 Função de 1º e 2º Grau Matemática I Título II Série 211396s CDD 510 BISAC MAT000000 Índice para catálogo sistemático 1 Matemática 510 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo RACIOCÍNIO QUANTITATIVO Marília Valério Rocha Administração Regional do Senac no Estado de São Paulo Presidente do Conselho Regional Abram Szajman Diretor do Departamento Regional Luiz Francisco de A Salgado Superintendente Universitário e de Desenvolvimento Luiz Carlos Dourado Editora Senac São Paulo Conselho Editorial Luiz Francisco de A Salgado Luiz Carlos Dourado Darcio Sayad Maia Lucila Mara Sbrana Sciotti Luís Américo Tousi Botelho GerentePublisher Luís Américo Tousi Botelho luistbotelhospsenacbr Coordenação EditorialProspecção Dolores Crisci Manzano dolorescmanzanospsenacbr Administrativo grupoedsadministrativospsenacbr Comercial comercialeditorasenacspcombr Acompanhamento Pedagógico Otacília da Paz Pereira Designer Educacional João Francisco Correia de Souza Revisão Técnica Maria Carolina Cascino da Cunha Carneiro Preparação e Revisão de Texto Asa Editorial Projeto Gráfico Alexandre Lemes da Silva Emília Corrêa Abreu Capa Proibida a reprodução sem autorização expressa Antonio Carlos De Angelis Todos os direitos desta edição reservados à Editoração Eletrônica Editora Senac São Paulo Cristiane Marinho de Souza Rua 24 de Maio 208 3O andar Ilustrações Centro CEP 01041000 São Paulo SP Cristiane Marinho de Souza Caixa Postal 1120 CEP 01032970 São Paulo SP Tel 11 21874450 Fax 11 21874486 Imagens Email editoraspsenacbr Adobe Stock Photos Home page httpwwwlivrariasenaccombr Epub Ricardo Diana Editora Senac São Paulo 2021 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Sumário Capítulo 1 Conjuntos 7 1 Conjuntos 8 2 Conjuntos numéricos 18 3 Reta real 21 4 Aplicações 23 Considerações finais 25 Referências 25 Capítulo 2 Equações lineares e quadráticas 27 1 Equação 28 2 Equação linear ou de 1º grau 32 3 Equação quadrática ou de 2º grau 32 4 Sistema de coordenadas cartesianas 35 5 Equação da reta 38 Considerações finais 49 Referências 49 Capítulo 3 Sistemas de equações lineares e quadráticas 51 1 Sistemas de equações 52 2 Aplicações 65 Considerações finais 66 Referências 66 Capítulo 4 Proporcionalidade e regra de três 67 1 Razão 68 2 Proporção 69 3 Grandezas diretamente proporcionais 70 4 Grandezas inversamente proporcionais 73 5 Porcentagem 76 6 Escala 81 7 Aplicações divisão proporcional 84 Considerações finais 87 Referências 87 Capítulo 5 Funções e gráficos 89 1 Função 90 2 Função definida por partes 103 3 Aplicações 104 Considerações finais 106 Referências 106 Capítulo 6 Funções de 1º e 2º graus 107 1 Função do 1º grau ou afim 108 2 Inequações do 1º grau 118 3 Função do 2º grau ou quadrática 120 4 Inequação do 2º grau 125 Considerações finais 129 Referências 129 Capítulo 7 Exponencial e logaritmos 131 1 Potenciação 132 2 Equação exponencial 135 3 Função exponencial 137 4 Logaritmo 142 5 Equação logarítmica 145 6 Função logarítmica 147 Considerações finais 152 Referências 152 Capítulo 8 Representações gráficas 153 1 Tipos de gráficos 154 2 Pontos de atenção 163 3 Aplicações 166 Considerações finais 170 Referências 170 Sobre a autora 173 7 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 1 Conjuntos Neste capítulo são apresentados os principais conceitos da Teoria dos Conjuntos os conjuntos numéricos e a reta real e seus intervalos Esses conceitos são empregados para delimitar o universo de um pro blema na área de negócios 8 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 1 Conjuntos 11 Conceitos primitivos As noções de conjunto elemento e pertinência são conceitos primiti vos ou seja são entendidos sem definições Um conjunto nos dá a ideia de coleção ou agrupamento de elementos Por exemplo o conjunto das vogais Cada elemento pertence ao seu conjunto O conjunto V das vogais é composto de cinco elementos a e i o u O elemento a pertence ao conjunto das vogais Os conjuntos são iden tificados por letras maiúsculas e seus elementos são apresentados em letras minúsculas quando possível e entre chaves V conjunto das vogais exemplo V a e i o u a V o elemento a pertence a V e b V o elemento b não per tence a V n V 5 o conjunto V é composto de 5 elementos É possível identificar o número de elementos de um conjunto n quando este é um conjunto finito ou seja quando apresenta um núme ro finito de elementos Há também os conjuntos infinitos com infinitos elementos Neste caso os elementos iniciais são apresentados entre vírgulas seguidos de três pontos Os primeiros elementos permitem identificar a lei de formação do conjunto I 1 3 5 7 9 Os elementos listados informam que o conjunto infinito I é o conjunto dos números ímpares positivos C 12 9 6 3 0 3 6 9 12 Os elementos listados infor mam que o conjunto infinito C é o conjunto dos números inteiros múltiplos de 3 9 Conjuntos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo K 0 1 2 3 100 Os elementos listados informam que o conjun to finito K é o conjunto formado pelos números inteiros de 0 a 100 Os conjuntos finitos podem ser representados graficamente por um diagrama de EulerVenn O conjunto unitário apresenta um único ele mento e o conjunto vazio ou não tem elementos A figura a seguir mostra representações de conjuntos por meio dos diagramas de Venn o conjunto V das vogais com cinco elementos o conjunto A unitário e B vazio Figura 1 Diagramas de Venn A 5 Nome do conjunto V Elementos i e u o B a 12 Conjunto universo De acordo com Iezzi e Murakami 1993 p 21 podemos descrever um conjunto por uma propriedade A x x é divisor inteiro de 5 O conjunto A é composto pelos elementos 1 1 5 5 B k k é inteiro e 0 k 5 O conjunto B é composto pelos elementos 0 1 2 3 4 10 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo C c c é inteiro ímpar e 1 c 3 O conjunto C é vazio B ou B Observe que o elemento x foi identificado como pertencente ao con junto dos números inteiros Portanto os elementos listados formam um subconjunto dos inteiros que obedecem também a outro critério em A é inteiro e divisor de 5 em B é inteiro e está entre 0 inclusive e 5 exclusive em C é inteiro ímpar e está entre 1 e 3 Então o conjunto universo U é o conjunto dos inteiros Lembramos que Z 3 2 1 0 1 2 3 Nos exemplos dados temos que A x Z x é divisor de 5 B k Z 0 k 5 e C c Z c é ímpar e 1 k 3 13 Subconjuntos O conjunto S é um subconjunto de um conjunto T se todo elemento de S pertence à T Indicamos por S T o conjunto S está contido em T ou T S T contém S Analisando os conjuntos K 1 3 7 8 L 8 1 3 7 M 8 1 3 e N e elaborando o diagrama de EulerVenn observe a figura 2 Figura 2 Diagrama de EulerVenn dos conjuntos K L M e N K 7 L 8 1 3 M N Os conjuntos K e L são iguais ou seja apresentam os mesmos ele mentos Note que não há ordem para listar os elementos do conjunto 11 Conjuntos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Se os conjuntos apresentam elementos diferentes eles são chamados de distintos Portanto K L O conjunto M está contido em K M K ou K contém M K M O conjunto M está contido em L M L ou L contém M L M O conjunto vazio N está contido nos conjuntos M K e L O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto Portanto N M N K e N L 14 Operações Dados os conjuntos A B C e D são válidas as seguintes operações e suas propriedades numeradas de P1 a P17 141 União O conjunto união A B é formado pelos elementos pertencentes a pelo menos um dos conjuntos A ou B Notação A B x x A ou x B P1 Idempotente A A A P2 Elemento neutro A A P3 Comutativa A B B A P4 Associativa A B C A B C P5 Se A D então A D D 142 Intersecção O conjunto intersecção A B é formado pelos elementos pertencen tes ao conjunto A e também ao conjunto B Notação A B x x A e x B 12 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Se A B os conjuntos A e B são conjuntos disjuntos P6 Idempotente A A A P7 Elemento neutro A P8 Comutativa A B B A P9 Associativa A B C A B C P10 Se A D então A D A P11 Distributiva da união em relação à interseção A B C A B A C P12 Distributiva da intersecção em relação à união A B C A B A C 143 Diferença O conjunto diferença A B é formado pelos elementos pertencentes ao conjunto A que não pertencem ao conjunto B Notação A B x x A e x B 144 Complementar O conjunto diferença A B é chamado complementar de B em rela ção a A composto pelos elementos de A que não pertencem a B O complementar é definido quando B A Notação Se B A então CB A B A B P13 CB A B A P14 CB A B Ø P15 CA A Ø 13 Conjuntos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo P16 CA Ø A P17 CA Q CB A V B Para fixar as operações e propriedades apresentamos seis exem plos com os conjuntos A 0 1 2 3 4 B 3 4 5 6 C 0 1 3 D e E 7 8 usando os diagramas de EulerVenn 1 Operações entre A e A mesmo conjunto Figura 3 Diagrama de EulerVenn exemplo 1 A 1 3 4 0 2 A A 0 1 2 3 4 P1 A A 0 1 2 3 4 P6 CA A Ø P15 CA Ø E 0 1 2 3 4H P16 2 Operações entre A e D D conjunto vazio e A Figura 4 Diagrama de EulerVenn exemplo 2 A 1 3 4 0 2 0 3 4 1 2 A D 14 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo A D 0 1 2 3 4 P2 A D P7 A D 0 1 2 3 4 3 Operações entre A e C C contido em A Figura 5 Diagrama de EulerVenn exemplo 1 A 1 3 4 0 2 A 4 2 C 3 0 1 A C 0 1 2 3 4 P5 A C 0 1 3 P10 A C 2 4 C A CC A C E 2 4H C E 0 1 2 3 4H P13 CA C C E 2 4H E 0 1 3H Ø P14 C E 2 4 H CA Q CA V CA E 0 1 3H P17 4 Operações entre A e B conjuntos com intersecção não vazia 15 Conjuntos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 6 Diagrama de EulerVenn exemplo 4 A B 1 2 5 6 3 4 0 A B 0 1 2 3 4 5 6 B A 0 1 2 3 4 5 6 A B 3 4 B A 3 4 A B 0 1 2 B A 5 6 5 Operações entre A B e C P3 P8 Figura 7 Diagrama de EulerVenn exemplo 5 A B 2 5 6 4 3 1 0 C A B C 0 1 2 3 4 5 6 0 1 3 0 1 2 3 4 5 6 A B C 0 1 2 3 4 0 1 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 P4 16 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo A B C 3 4 0 1 3 3 A B C 0 1 2 3 4 3 3 A B C 0 1 2 3 4 3 0 1 2 3 4 A B A C 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 A B C 0 1 2 3 4 0 1 3 4 5 6 0 1 3 4 A B A C 3 4 0 1 3 0 1 3 4 6 Conjuntos A e E conjuntos disjuntos P9 P11 P12 Figura 8 Diagrama de EulerVenn exemplo 6 A 4 2 3 1 0 E 8 7 Conjuntos disjuntos A e E Também são disjuntos os conjuntos B e E C e E Conjuntos distintos A B C D e E Nenhum dos conjuntos apre senta os mesmos elementos 15 Contagem de elementos união Na contagem dos elementos do conjunto união de dois ou mais con juntos ao somar isoladamente a quantidade de elementos de cada con junto estaremos contando em duplicidade os elementos pertencentes à interseção Sendo assim vale n A B n A n B n A B 17 Conjuntos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Para exemplificar considere dois conjuntos A e B nos quais A tem 430 elementos B tem 160 elementos e a intersecção entre eles tem 25 elementos Conforme o enunciado nA 430 nB 160 e nA B 25 Assim montamos o diagrama 9 considerando o número de elementos da interseção nA B 25 número de elementos que pertencem somente a A 430 25 405 número de elementos que pertencem somente a B 160 25 135 Figura 9 Diagrama de EulerVenn dos conjuntos A e B A B 405 135 25 Calculando o total de elementos temos nA B 405 25 135 565 Ou aplicando diretamente a regra n A B n A n B n A B n A B 430 160 25 565 Portanto o número total de elementos é 565 18 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo IMPORTANTE Dados dois conjuntos A e B vale a regra n A U B n A n B n A B 2 Conjuntos numéricos 21 Conjunto dos naturais ℕ O conjunto dos naturais é formado pelos números inteiros positivos ℕ 0 1 2 3 Em particular listamos um subconjunto de N ℕ 1 2 3 é o conjunto dos números naturais não nulos São definidas as operações de adição e multiplicação e consideran do a b e c ℕ valem as propriedades A1 Associativa a b c a b c A2 Comutativa a b b a A3 Elemento neutro a 0 a M1 Associativa a b c a b c M2 Comutativa a b b a M3 Elemento neutro a 1 a D Distributiva da multiplicação em relação à adição a b c a b a c 19 Conjuntos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 22 Conjunto dos inteiros ℤ O conjunto dos inteiros é formado por todos os números inteiros positivos e negativos ℤ 3 2 1 0 1 2 3 Em particular listamos os subconjuntos de ℤ Z E 0 1 2 3fH é o conjunto dos inteiros positivos Z t E f 3 2 1H é o conjunto dos inteiros negativos não nulos São definidas as operações de adição e multiplicação e consideran do a b e c ℤ valem as propriedades A1 A2 A3 M1 M2 M3 D e a propriedade A4 Simétrico ou oposto a a 0 Divisibilidade o inteiro a é divisor do inteiro b a b quando existe um inteiro c tal que c b a Dizemos que a é divisor de b b é divisível por a ou b é múltiplo de a Números primos um número inteiro é primo quando é divisí vel por 1 e por ele mesmo Exemplos 1 3 5 7 23 Conjunto dos racionais ℚ O conjunto dos racionais é formado pelas frações e pelos inteiros ℚ x x a b a ℤ b ℤ Definimos as operações de adição e multiplicação e a igualdade en tre números racionais a c Igualdade a b d b c d a c a d b c Adição b d b d 20 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo a c a c a b a d a e d Multiplicação b d b d c b d c b c Fração a Dizemos que a é o numerador e b o denominador da fra b ção Se a e b são primos entre si o máximo divisor comum entre a e b é igual a 1 ou seja mdc a b 1 e a fração é chamada irredutível Um número racional escrito na forma decimal apresenta Um número finito de casas após a vírgula Por exemplo 1 05 ou 2 Um número infinito de casas após a vírgula que se repetem dízi mas periódicas Por exemplo 4 0363636 11 São definidas as operações de adição e multiplicação considerando a b e c ℤ A1 A2 A3 A4 M1 M2 M3 D e a propriedade a b a b M4 Simétrico para todo ℚ existe ℚ tal que 1 b a b a 24 Conjunto dos irracionais 𝕀 É o conjunto dos números que não podem ser representados na for ma a a ℤ e b ℤ Um número irracional apresenta na sua forma de b cimal um número infinito de casas após a vírgula que não se repetem Exemplos 2 1 414 e 2718281828 e π 314159 25 Conjunto dos reais ℝ O conjunto dos reais é formado pela união dos conjuntos ℚ e I ou seja contempla os inteiros as frações e os números irracionais ℝ ℚ 𝕀 Note que ℕ ℤ ℚ ℝ São definidas as operações de adição e multiplicação e conside rando a b e c ℤ são válidas as propriedades A1 A2 A3 A4 M1 M2 M3 M4 e D i 3 Reta real g Todo real corresponde a um e somente um valor na reta real con 3 forme mostra a figura 10 Todo valor da reta real corresponde a um e 5 somente um numero real relagdo biunivoca Entre dois reais na reta BI existem infinitos reais Os numeros sao ordenados crescentes da es a querda para a direita 8 8 Figura 10 Reta real 3 32 12 v2 e on o 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Origem 3 Adaptado de Tan 2014 p 2 2 31 Ordem em R Sejam ae b reais temos as desigualdades a b a é maior que b a baémenor que b a b a é maior ou igual a b ea b a menor S ou igual a b 2 2 Somente uma das expressoes verdadeira a b a b ouab 3 s 32 Desigualdades 3 Consideremos ab ec R sao validas as propriedades Transitiva Se abebc entaoac Propriedades da adiao 5 Conjuntos 21 22 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Se a 0 e b 0 então a b 0 Se a 0 e b 0 então a b 0 Se a b então a c b c Propriedades da multiplicação Se a b e c 0 então a c b c Se a b e c 0 então a c b c Se a 0 então a 0 Se a 0 então a 0 As propriedades das desigualdades são usadas para a resolução de inequações que serão tratadas no capítulo 6 33 Intervalos Podemos tomar parte da reta real construindo intervalos que podem ser abertos fechados ou semiabertos Sejam a b ℝ e a b o quadro 1 a seguir apresenta os tipos de intervalos na notação da teoria dos conjuntos e também na representação gráfica Quadro 1 Tipos de intervalos da reta real Aberto as extremidades não pertencem ao intervalo a b x ℝ a x b Fechado as extremidades pertencem ao intervalo a b x ℝ a x b a b Semiaberto Aberto à esquerda e fechado à direita a b x ℝ a x b a b Semiaberto Fechado à esquerda e aberto à direita a b x ℝ a x b a b a b cont 23 Conjuntos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Aberto à esquerda a x ℝ x a a Fechado à esquerda a x ℝ x a a Aberto à direita a x ℝ x a a Fechado à direita a x ℝ x a a A reta real é o conjunto ou x ℝ x Uma vez que os intervalos reais são conjuntos subconjuntos de ℝ podemos aplicar as operações apresentadas no item 14 4 Aplicações Que tal praticarmos um pouco Apresentaremos uma aplicação en volvendo conjuntos suas representações e operações Mãos à obra Em uma entrevista de emprego 52 candidatos concluíram a pós graduação A 17 candidatos concluíram a pósgraduação B 6 candidatos disseram que concluíram as pósgraduações A e B e 15 não concluíram nenhum curso de pósgraduação Quantos alunos se inscreveram na vaga Quantos candidatos concluíram somente a pósgraduação B E somente a pósgraduação A Extraímos do enunciado que nA 52 nB 17 nA B 6 e 15 não pertencem a A ou B mas fazem parte do conjunto universo dos candi datos Construímos o diagrama na figura 11 chamando as quantidades de elementos desconhecidos de a e b respectivamente candidatos que só concluíram a pósgraduação A e candidatos que só concluíram a pósgraduação B 24 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 11 Diagrama de EulerVenn aplicação 1 15 A B a b 6 Sabemos que 6 a 52 total de A e 6 b 17 total de B Isolando a incógnita a no primeiro membro da equação temos 6 a 52 6 a 6 52 6 a 46 Isolando a incógnita b no primeiro membro da equação temos 6 b 17 6 b 6 17 6 b 11 Conhecendo a e b conseguimos preencher o diagrama a seguir Figura 12 Diagrama de EulerVenn aplicação 2 15 A B 46 11 6 Para calcular o valor total de candidatos n A n B n A B 15 U 52 17 6 15 U U 78 25 Conjuntos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Assim participaram da entrevista de emprego 78 candidatos sendo que 46 concluíram somente da pósgraduação A e 11 concluíram so mente a pósgraduação B Considerações finais Neste capítulo abordamos os principais tópicos da teoria dos con juntos e dos conjuntos numéricos Na modelagem matemática de um problema real passamos a deter minar o universo de atuação das variáveis desse problema Os conjun tos nos auxiliam nessa etapa PARA SABER MAIS Para ampliar seu conhecimento sobre a teoria dos conjuntos reco mendamos acessar a página da Universidade Virtual do Estado de São Paulo disponível em httpsappsunivespbrodiagramadevenn Lá você vai encontrar vários exemplos teóricos sobre os conjuntos Referências IEZZI Gelson MURAKAMI Carlos Fundamentos de matemática elementar conjuntos e funções v 1 São Paulo Atual 1994 TAN S T Matemática aplicada à administração e economia São Paulo Cengage Learning 2014 27 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 2 Equações lineares e quadráticas Para modelar o comportamento de uma situação real aprendemos no capítulo anterior que os conjuntos ajudam a delimitar o universo dos valores que uma variável pode assumir Neste capítulo vamos estudar os diferentes tipos de equações os conceitos e a resolução de equa ções do 1º e 2º graus Analisaremos também as equações da reta e seu coeficiente angular como taxa de variação Esses tópicos contribuem para a compreensão das funções como modelo matemático 28 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 1 Equação Uma expressão numérica é composta de número e operações Por exemplo considere a expressão 3 4 8 3 multiplicado por 4 somado a 8 em que os números são 3 4 e 8 e as operações multiplicação e soma Uma expressão algébrica é composta por números constantes le tras incógnitas e operações A incógnita representa um número a prin cípio desconhecido Por exemplo na expressão 3 x 8 os números são 3 e 8 a incógnita x e as operações multiplicação e subtração Continuando nosso estudo uma equação é composta por expressões algébricas e o sinal de igualdade Por exemplo as equações 3 x 8 14 e 2 x2 5 13 Note que há um balanceamento entre o primeiro membro expres são que se encontra antes do sinal de igualdade e o segundo membro expressão após o sinal de igualdade O sinal de igualdade informa que as expressões são equivalentes ou seja que 3 x 8 é igual a 14 Figura 1 Equivalência na equação 14 3 x 8 Ne sequência apresentamos as propriedades numeradas de P1 a P5 das equações Sendo as variáveis a b c e d reais P1 Reflexiva a a A propriedade reflexiva P1 afirma que quando igualamos um nú mero a ele mesmo a igualdade se mantém P2 Simétrica Se a b entao b a 3 A propriedade simétrica P2 afirma que a igualdade se mantém g quando trocamos os termos a ou b de membros primeiro ou segun 3 do na equacdo P3 Transitiva Se a bebcentdoac a A propriedade transitiva P3 afirma que se a é igual a b mas b 4 2 igual a c consequentemente a também 6 igual ac Ou seja indica a transitividade se dois numeros sao equivalentes a b entéo se um g deles b for equivalente a outro c consequentemente sera também igual ao primeiro a 2 e P4 Adigao Seabecdentédoatcbd A quarta propriedade adigao P4 afirma que se Somarmos mem 5 bro amembro duas equagées a igualdade se mantém g P5 Multiplicagao Se abecdentdoacbd 8 A quinta propriedade multiplicagdo P5 afirma que se multiplicar g mos membro a membro as duas equacgoées a igualdade se mantém Ao associar uma equagao ao funcionamento de uma balanga pode zs mos exemplificar as propriedades dadas P1 a P5 que permitem man 5 ter seu equilibrio 3 Quadro 1 Exemplificagao das propriedades z oe ea ee é F F P9 eer se Too ee z a 1 1 a 5 Equagées lineares e quadraticas 29 RD Gol iad oman et ol a 8 a Nt 0 c 8 P3 3x8e Ta ae y 5 F c eon er oon rs 2 F iy c d 2 oe cee ee ae ea ac bd Kip cre ae Toa ayaa oe laud ae ial F c d xb e tO yD nel bd 2 2 Quando buscamos resolver uma equagao em x devemos encontrar 3 o valor de x de modo a tornar a igualdade verdadeira Trabalhamos nes s se texto solugées pertencentes ao conjunto dos reais Para encontrar o valor de x usamos as propriedades listadas em precedéncia Nesse pro 8 cesso podemos encontrar um ou mais valores para x ou ainda nenhum 3 valor que torne a equacao verdadeira Esse resultado sera o conjunto 3 solugdo S da equacgdo Nao havendo solucao S 5 Aplicando as propriedades obtemos a solugao da equagado 3x 1 3 4x 1 Esse processo esta exemplificado passo a passo no 5 proximo quadro 5 30 Raciocinio quantitativo 31 Equações lineares e quadráticas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Quadro 2 Resolução da equação PASSO EQUAÇÃO PROPRIEDADES 1 3 x 3 3 4x 4 Distributiva 2 3x 6 4x 4 3 3x 6 6 4x 4 6 P4 4 3x 4x 2 5 3x 4x 4x 2 4x P4 6 x 2 7 x 1 2 1 P5 8 x 2 Portanto S x R x 2 O conjunto solução é formado por todo x pertencente ao conjunto dos reais tal que x seja igual a 2 Ou simples mente S 2 Podemos confirmar o resultado obtido fazendo uma verificação ou seja substituindo na equação o valor encontrado e verificando se a igualdade é verdadeira 3 x 1 3 4 x 1 3 2 1 3 4 2 1 12 12 Verdadeiro Na prática eliminamse os passos 3 5 e 7 desse exemplo uma vez compreendida a aplicação das propriedades Que tal praticarmos um pouco Apresentamos uma aplicação envol vendo equações Mãos à obra Somando vinte e cinco a um número obtémse o sêxtuplo desse nú mero Qual é o número x 25 6x x 6x 25 5x 25 x 25 5 x 5 Portanto o numero é 5 Verifique substituindoo na equagao 3 2 Equacao linear ou de 1 grau quag g 3 A equagao linear uma equagao na forma ax b 0comabeRe 8 a 0 Apresenta uma solugao real e a solugao da equagao axb06 2 dada por x 2 4 IMPORTANTE q Equagao linear ax b 0ab Rea0 5 Solugao x P 2 2 Faremos um exemplo pratico de equagao linear considerando a a equacao 3x 8 0 Nesse exemplo temos a 3 e b 8 Usando as propriedades en 5 contramos 0 conjunto solugao S 8 ony 2b 3 3x803x8x 7 OUSejaX 2 Portanto S 3 Novamente podemos fazer a verificagao 9x80338088000 Verdadeiro 3 Equagao quadratica ou de 2 grau 3 A equagao quadratica uma equagao na forma ax bx c 0 com ab c Rea 0 que apresenta no maximo duas solucées reais As Z solugdes sao obtidas pela aplicagao da formula de Bhaskara 8 32 Raciocinio quantitativo 3 33 Equações lineares e quadráticas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo IMPORTANTE Equação quadrática ax2 bx c 0 a b c ℝ e a 0 Solução b Δ x 2 2a com b 4ac Fórmula de Bhaskara Se o discriminante for maior que zero 0 a equação apresen ta duas soluções reais se 0 a equação apresenta uma solução real e se 0 a equação não apresenta solução real A seguir apresentamos três exemplos para confirmar o número de raízes a partir do valor do discriminante No primeiro exemplo considere a equação é 4x2 4x 8 0 a 4 b 4 c 8 Começamos calculando o discriminante b2 4ac 42 4 4 8 16 128 144 Como 0 a equação apresenta duas raízes reais Em seguida calculamos as raízes b O Q4V 144 412 x x x 2a 2 4 8 Resolvendo as duas situações 4 12 16 x 8 x 8 x 2 4 12 8 x x x 1 8 8 Portanto S 1 2 Podemos substituir os valores encontrados na equação para confir mar a equação é verdadeira 4x2 4x 80 4 12 4 1 8 0 4 4 8 0 0 0 Verdadeiro 34 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 4x2 4x 8 0 4 22 4 2 8 0 16 8 8 0 0 0 Verdadeiro No segundo exemplo considere a equação x2 10x 25 0 a 1 b 10 c 25 Calculamos o discriminante b2 4ac 102 4 1 25 100 100 0 Encontramos 0 ou seja a equação tem uma raiz real b O Q10 V 10 Calculamos a raiz x x x 2a 2 1 2 x 5 Portanto S 5 Concluímos com a verificação x2 10x 25 0 52 10 5 25 0 25 50 25 0 0 0 Verdadeiro No terceiro exemplo considere a equação 5x2 3x 1 2 0 a 5 b 3 c 1 2 Calculamos o discriminante b2 4ac 32 4 5 1 9 10 1 Como 0 concluímos 2 que a equação não tem raiz real Portanto S Que tal praticarmos um pouco Apresentaremos uma aplicação en volvendo equações do 2º grau Mãos à obra O quadrado de um número somado ao seu quádruplo resulta 3 Qual são esses números x2 4x 3 x2 4x 3 0 a 1 b 4 c 3 35 Equações lineares e quadráticas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo b2 4ac 42 4 1 3 16 12 4 0 duas raízes b O 4 x x 4 x 4 2 2a 2 1 2 4 2 2 x x 2 2 x 1 42 6 x x 2 2 x 3 Portanto S 3 1 Respondendo à pergunta os números são 3 e 1 Verifique substi tuindoos na equação 4 Sistema de coordenadas cartesianas Para representar graficamente as equações é necessário introduzir os conceitos de par ordenado e plano cartesiano 41 Par ordenado Dados dois conjuntos A e B o par ordenado ab é composto por a A e b B Note que diferente dos conjuntos a ordem dos elementos é relevante O produto cartesiano A x B é o conjunto formado por todos os pa res ordenados a b com a A e b B ou seja A x B a b a A e b B Dizemos que o produto cartesiano A x B é formado por todos os pares ordenados tais que o primeiro elemento a pertence ao primeiro conjunto A e o segundo elemento b pertence ao segundo conjunto B Dois pares ordenados a b e c d são iguais somente quando os elementos correspondentes são iguais ou seja quando a c e b d Vamos a um exemplo Considere os conjuntos A 1 2 4 e B 2 8 O produto cartesiano é dado por A x B 1 2 1 8 2 2 2 8 4 2 4 8 Reforçamos que o primeiro elemento de todos os pares ordenados 36 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo são elementos de A Da mesma forma o segundo elemento de todos os pares ordenados são elementos de B Foram elencadas todas as situa ções possíveis 42 Plano cartesiano O sistema de coordenadas cartesianas é constituído por dois eixos graduados retas x e y perpendiculares entre si por O 0 0 chamado de origem do sistema Como citado no capítulo anterior reta real também há uma rela ção biunívoca entre um ponto que é um par ordenado x y e sua repre sentação no sistema cartesiano No par ordenado x y x é a abscissa e y é a ordenada Juntos eles formam as coordenadas cartesianas Os eixos x e y dividem o plano em quatro quadrantes sendo que no 1º quadrante os valores de x e y são positivos no 2º quadrante os valores de x são negativos e de y positivos no 3º quadrante os valores de x e y são negativos no 4º quadrante os valores de x são positivos e os de y negativos Para simplificar o eixo dos x e o eixo dos y serão escritos como eixo x e eixo y A figura 2 apresenta o plano cartesiano composto pelos eixos per pendiculares x e y que se cruzam no ponto 0 0 e a representação dos quadrantes Figura 2 Quadrantes do plano cartesiano Y 9 8 7 6 2 Quadrante 5 1 Quadrante 3 2 1 X 9 8 7 6 5 4 3 2 10 1 2 3 4 5 6 7 8 Q 2 3 Quadrante 3 4 Quadrante 4 5 6 7 8 9 No proximo exemplo representamos gra icamente alguns pontos no plano cartesiano Lembrese de que o primeiro numero do par ordenado se refere ao valor de x e 0 segundo de y Por esses valores tragamos retas paralelas aos eixos e obtemos na intersecgao o respectivo ponto Consideremos os pontos A1 3 B2 4 C32 D4 1 E1 0 F0 5 GO 3 H8 0 e O0 0 A igura 3 mostra a representagdo des tes pontos no plano cartesiano Figura 3 Representagao dos pontos no plano cartesiano Y 5 F B 4 A 3 2 1 E 0 H X 4 3 2 1 O 1 2 3 4 1 o D o 2 Cc 3 G 5 Equagao da reta Nesse tdpico vamos apresentar a equagao geral da reta e sua re presentagao no plano cartesiano Na sequéncia definimos a equagao reduzida da reta e os conceitos de coeficiente linear e coeficiente angu lar Em particular o coeficiente angular 6 um conceito utilizado na area de negocios para medir a taxa de variagao da variavel y em relagao a x que sera explorada em exercicios aplicados Finalmente conhecendo dois pontos da reta vamos aprender a encontrar a equagao da reta que passa por esses pontos 39 Equações lineares e quadráticas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 51 Equação geral da reta A equação ax by c 0 com a b e c ℝ e a e b não nulos é cha mada equação geral em x e y de uma equação linear ou equação geral da reta O par ordenado x y representa um ponto genérico da reta O conjunto solução de uma equação é composto pelos pares ordenados x y que tornam a igualdade verdadeira Analisemos o exemplo x 2y 6 0 Nesse caso a 1 b 2 e c 6 Observe que são reais e a e b são diferentes de zero Portanto tratase de uma equação geral da reta No conjunto dos reais essa equação tem infinitos pares ordenados como resposta entre eles os apresentados no conjunto solução S 0 3 2 2 2 4 3 9 6 0 2 Para verificar que os pares ordenados fazem parte da solução cons truímos o próximo quadro Quadro 3 Verificação do conjunto solução x y x 2y 6 0 Ponto 0 3 0 2 3 6 0 A 0 3 2 2 2 2 2 6 0 B 2 2 2 4 2 2 4 6 0 C 2 4 3 3 2 6 0 D 3 6 0 6 2 0 6 0 E 6 0 Inserindo os pontos no gráfico e observamos que estão alinhados Bastaria inserir dois pontos para determinar uma reta Nesse exemplo a intersecção com o eixo y se dá no ponto 0 3 e com o eixo x no ponto 6 0 Reforçamos que os infinitos pontos da reta satisfazem a equação geral 2 9 2 9 2 9 Figura 4 Representagao dos pontos no plano cartesiano Y D 5 45 4 35 A 36 25 B 2 15 1 05 E 325 215 105 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6 05 X 52 Equacao reduzida da reta De acordo com lezzi 1985 dada a equagao geral da reta ax by c 0 podemos dividir a equagao por b e isolar y ax by c ax Cc alc pb tp tp Ocombe0 H ty t HAO YaHxXF Adotando m eq F escrevemos y mx q que a equacao reduzida da reta ou equagao do 1 grau em que m é chamado de coe ficiente angular da reta e q seu coeficiente linear Apb6s um exemplo serao discutidos esses conceitos No exemplo anterior a equagao dada foi x 2y 6 0 Podemos calcular a equagao reduzida da reta X2y6032yxt6oyA4 Bs yF43 1 Nesse caso 0 coeficiente angular m é igual a zy e 0 Coeficiente linear q igual a 3 Vejamos os significados dos coeficientes angular e linear 521 Coeficiente linear da reta q Na equagao reduzida da reta o valor de q indica a ordenada do ponto de intersecao da reta com 0 eixo y Nesse ponto x 0 ou Sseja 0 ponto de intersecgado é dado por 0 q Mantendo o exemplo anterior y F 3 o0coeficiente linear 6 q 3 e portanto o ponto de intersecgao da reta com o eixo y é 0 3 confir mado graficamente na figura 4 522 Coeficiente angular da reta m De acordo com Tan 2011 vamos verificar 0 comportamento da reta a partir de dois de seus pontos Unindo dois pontos com a mesma abscissa x y e x y obte mos uma reta paralela ao eixo y Para que uma reta seja paralela ao eixo x Seus pontos terao a mesma ordenada ou seja x y X y O proximo exemplo ilustra as duas situagoes Considere os pontos A2 1 e B2 3 de mesma abscissa 2 os pontos C1 3 e D4 3 que tem ordenada 3 A retas que passam por A eBepor Ce D estado representadas na figura 5 Figura 5 Retas paralelas aos eixos Y Y 4 4 c D 3 B SO 2 2 1 A 1 X X 0 1 1 0 1 2 3 4 1 42 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Veremos na sequência o comportamento das retas inclinadas aquelas com abscissas e ordenadas diferentes Dados dois pontos A 3y y x1 y 2y1 1 e B x2 y2 se x1 x2 definese declividade por m 3x x2x1 com x 0 em que m declividade ou coeficiente angular da reta medida da taxa de variação de y em relação à x y y2 y1 medida de variação vertical em y dada pela diferença entre as ordenadas dos pontos B e A x x2 x1 medida de variação horizontal em x dada pela diferen ça entre as abscissas dos pontos B e A A figura 6 é a representação gráfica da reta que passa pelos pontos genéricos A e B Note que x é a diferença entre as abscissas x1 e x2 Da mesma forma y é a diferença entre as ordenadas y1 e y2 Figura 6 Representação da reta X1 Y2 Y1 X2 X Y A B x y Calculemos os coeficientes para os pontos dados anteriormente Considere os pontos A2 1 e B2 3 que apresentam a mesma abs cissa 2 e a reta que passa por eles é paralela ao eixo y Nesse caso de acordo com a definição o coeficiente angular não está definido Considere os pontos C 1 3 e D 4 3 que tém ordenada 3 e a reta que passa por eles é paralela ao eixo x Nesse caso calculamos 0 coe ficiente angular AY yoryi 33 m AX X2X 47 0 Portanto se a reta 6 paralela ao eixo x obtemos m 0 Uma reta paralela ao eixo x apresenta coeficiente angular igual a 0 Na sequéncia vamos calcular 0 coeficiente para retas inclinadas Nesse exemplo considere dois pontos A 1 1 e B 4 3 O coeficien Ya7r 81 2 te angular da reta que passa por eles m Yoox 7 427 73 A figura 7 ilustra a situagao Figura 7 Reta crescente Y 4 B 3 2 A 1 X 4 3 2 Zc 0 1 2 3 4 1 Considerando pontos da reta a medida que o valor de x aumenta aumenta também o valor de y Nesse caso chamamos a reta de cres cente Verificamos que o coeficiente angular de uma reta crescente é positivo Em um segundo exemplo considere os pontos A 1 3 e B 4 1 O g coeficiente angular da reta que passa por eles m ee 4 F 8 A figura 8 ilustra a situacdo 5 Figura 8 Reta decrescente A 3 2 1 5 x 2 1 0 1 2 3 4 3 1 s B 8 Considerando pontos da reta a medida que o valor de x aumen 2 ta o valor de y diminui Nesse caso chamamos a reta de decrescen 8 te Verificamos que o coeficiente angular de uma reta decrescente é negativo g 523 Coeficiente angular da reta m como taxa de variagao g Ay Conhecendo a definicao de coeficiente angular m Ax podemos 3 interpretalo como taxa de variagao quando mantemos o denominador 3 AY da fragao a igual a uma unidade g 44 Raciocinio quantitativo s Vejamos dois exemplos para fixar essa ideia Figura 9 Coeficiente angular como taxa de variagao Reta crescente Reta decrescente Y Y 5 5 B 4 4 2 3 A A 1 2 2 1 1 X 9 X 1 O 1 2 1 0 1 2 Na figura 9 a reta crescente passa pelos pontos A 0 2 eB 14 e Sua equagao é y 2x 2 Verifique Quando aumentamos uma unida de em x por exemplo de x 0 para x 1 obServase que os correspon dentes valores de y variam 2 unidades de 2 para 4 Dizemos entdo que a taxa de variagao de x em relagao a y é de duas unidades No segundo grafico da figura 9 a reta passa pelos pontos A 0 2 e B 1 0 e Sua equagdo é y 2x 2 Essa reta é decrescente Quando aumentamos uma unidade em x por exemplo de x 0 para x 1 ob servase que os correspondentes valores de y variam 2 unidades de 2 para 0 Dizemos entdo que a taxa de variagdao de x em relagdo a y é de menos duas unidades Que tal praticarmos um pouco Apresentamos uma aplicagao desse conceito Maos a obra Os Estados Unidos da América nao estao construindo novas usinas nucleares mas as usinas existentes estado trabalhando a todo vapor A 46 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo produção em da capacidade total das usinas nucleares é descrita pela equação y 19467t 70082 em que t é medido em anos e t 0 corresponde ao início de 1990 Determine quando as usinas atingiram a capacidade máxima Determine e interprete a declividade exercício adap tado de Tan 2011 p 41 As usinas atingiram a capacidade máxima quanto y atingiu 100 Substituindo esse valor na equação e isolando t temos y 19467t 70082 100 19467t 70082 100 70082 19467t 29918 19467t t 29918 1 9467 t 15368 t 15 Como t 0 corresponde a 1990 temos que t 15 corresponde a 1990 15 2005 Portanto a partir de 2005 as usinas atingiram a capacidade máxima Sabemos que a declividade é dada pelo valor de m Comparando a equação dada com a equação da reta identificamos os coeficientes an gular e linear y 19467t 70082 y mx q Portanto m 19467 e q 70082 A declividade ou coeficiente angular da reta é 19467 Na construção do gráfico da situação figura 9 consideramos que quando t varia de 0 a 15 o gráfico é a reta dada pela equação y 1 9467t 70082 O coeficiente angular é positivo e portanto a reta é crescente Aumentando uma unidade em x ou seja um ano aumentamos em y 19467 da capacidade das usinas como ilustrado na ampliação da 47 Equações lineares e quadráticas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo figura 9 Esse percentual de aumento é constante durante os primeiros 15 anos Logo interpretando o coeficiente angular afirmamos que a capaci dade de utilização ou taxa de crescimento vem aumentando 19467 por ano de 1990 a 2005 Figura 10 Interpretação do coeficiente angular da reta 10 15 5 10 0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Y percentual total da capacidade T anos 20 72 73 74 71 70 1 19467 IMPORTANTE Consolidando os conceitos desta seção Equação da reta y mx q m coeficiente angular m 0 reta crescente m 0 reta decrescente q coeficiente linear 48 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 53 Equação da reta passando por um ponto Conforme Iezzi 1985 dado um ponto P x0 y0 há duas situações a serem consideradas para calcular a equação reduzida da reta que pas sa por P a Se a reta não é perpendicular ao eixo x y y0 m x y0 em que x y representa um ponto genérico da reta considerada Para determinar a equação reduzida da reta calculamos o coeficiente angular m e substituímos na equação o valor de m e as ordena das do ponto dado x0 y0 b Se a reta é perpendicular ao eixo x a equação reduzida é dada por x x0 Veremos como encontrar a equação da reta conhecendo dois de seus pontos No primeiro exemplo para calcular a equação da reta que passa pe los pontos 1 3 e 1 4 começamos calculando o coeficiente angular y 2y1 43 1 m x2x1 11 2 O próximo passo é substituir na equação y y0 m x x0 o valor de m e as coordenadas de um dos pontos dados Escolhemos o ponto 1 3 mas poderíamos ter usado o outro ponto que o resultado não se alteraria 1 1 1 y y0 m x x0 y 3 Q x1V y x 3 2 2 2 1 1 6 1 7 y x y x 2 2 2 2 Obtivemos assim a equação da reta conforme o item a Observe que o outro ponto 1 4 pertence à reta 1 7 1 7 1 7 8 y x Q1V 4 2 2 2 2 2 2 2 49 Equações lineares e quadráticas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo No segundo exemplo queremos a equação da reta paralela ao eixo y passando pela abscissa 4 Se a reta passa por x 4 então seus pontos são da forma 4 y Nesse caso a equação da reta é x 4 conforme item b IMPORTANTE Equação da reta passando por um ponto P x0 y0 y y0 m x y0 sendo m y 2 y1 x 2 x1 Se reta é perpendicular ao eixo x então a equação é x x0 Considerações finais Os tópicos estudados nos ajudam na solução de problemas com equações de 1º e 2º graus As equações também serão usadas na so lução de sistemas lineares Capítulo 3 e nos problemas de proporcio nalidade Capítulo 4 Referências IEZZI Gelson Fundamentos de matemática elementar geometria analítica v 7 São Paulo Atual 1985 TAN S T Matemática aplicada à administração e economia São Paulo Cengage Learning 2014 51 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 3 Sistemas de equações lineares e quadráticas Neste capítulo são apresentados os sistemas lineares contendo equações lineares e os sistemas não lineares em particular contendo ao menos uma equação quadrática Há situações da área de negócios em que as incógnitas apresentam mais de uma condição a ser satisfei ta e precisamos encontrar valores que tornem todas essas condições verdadeiras Para tanto usamos os sistemas de equações como vere mos nas aplicações Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 52 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o comp 1 Sistemas de equações a Sen Uma equação em ℝ é composta por números operações incóg or dit nitas e pelo sinal de igualdade Por exemplo 5x 2y 1 O conjunto solução em x e y é composto por todos os pares ordenados x y que tornam a equação verdadeira Será linear se a maior potência das incóg nitas for igual a 1 e se as incógnitas aparecerem multiplicadas somente ob as penas da Lei E por números Na forma usual os números são os coeficientes as letras o digital s incógnitas e o termo independente é chamado de constante exemplifi tilhament cado na figura a seguir ar ac São Paulo Figura 1 Coeficiente incógnitas e constantes Há outros tipos de equações que não são lineares por exemplo x y 6 as incógnitas x e y estão multiplicadas entre si y 3 2x a incógnita x aparece como expoente de uma potência x2 y 0 a incógnita x tem expoente 2 e a incógnita y apresen ta expoente 1 2 x 3 0 a incógnita y apresenta expoente 1 y Um sistema de equações lineares em ℝ é composto por duas ou mais equações lineares O conjunto solução em x e y é composto pe los pares ordenados x y que tornam todas as equações do sistema 5x 2y 1 Constante Incógnitas Coeficientes 53 Sistemas de equações lineares e quadráticas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo verdadeiras Havendo n incógnitas a solução será uma ênupla1 ordena da de reais x y n que torna todas as equações verdadeiras Vejamos o conjunto solução de dois exemplos O sistema 2x3y 14 G tem como solução o conjunto S 4 2 for x y 6 mado por um par ordenado em que x é igual a 4 e y é igual a 2 Verificação 2x 3y 14 2 4 3 2 14 14 14 Verdadeiro x y 6 4 2 6 6 6 Verdadeiro Zx 2y z 9 O sistema 2x yz 3 3x y 2z 4 tem como solução o conjunto S 1 3 2 for mado pela ênupla 1 3 2 em que x é igual a 1 y é igual a 3 e z é igual a 2 Verificação x 2y z 9 1 2 3 2 9 9 9 Verdadeiro 2x y z 3 2 1 3 2 3 3 3 Verdadeiro 3x y 2z 4 3 1 3 2 2 4 4 4 Verdadeiro 11 Classificação De acordo com Iezzi e Hazzan 1985 os sistemas são classificados quanto à forma e quanto à solução 111 Quanto à forma Considerando a forma os sistemas podem ser homogêneos e não homogêneos 1 Uma ênupla é uma sequência ordenada de n elementos 54 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proib Um sistema homogêneo apresenta todas as constantes termos in dependentes nulas Por exemplo O sistema 1 3x 2y 0 G x y 0 admite somente a solução trivial S 0 0 Z2x3y 0 5x 15 y 0 O sistema 2 2 tem infinitas soluções Seja um real qualquer α assumindo que G T 3ɑ 2 ɑ Y J y α temos como solução o conjunto S α ℝ Observe que nos sistemas homogêneos a solução trivial sempre é uma solução ou seja a ênupla formada por zeros torna todas as equações verdadeiras Em um sistema não homogêneo há alguma equação em que a constante é não nula Por exemplo O sistema 3 2x3y 14 G x y 6 tem como solução o conjunto S 4 2 verificado anteriormente O sistema 4 x y 3 G x y 2 não tem solução 112 Quanto à solução Quanto à solução os sistemas são classificados como possível ou impossível O sistema é chamado possível quando existe solução real Note que os sistemas homogêneos uma vez que admitem ao menos a solução trivial sempre são possíveis Os sistemas possíveis são classificados em determinado ou indeterminado Possível e determinado admite uma única solução real Exemplo sistemas 1 e 3 Os sistemas homogêneos que apresentam somente a solução trivial são possíveis e determinados Possível e indeterminado admite infinitas soluções reais 55 Sistemas de equações lineares e quadráticas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo IMPORTANTE Exemplo sistema 2 Para x valendo um real qualquer α o sistema tem solução Os valores de y dependem do valor assumido para x e há infinitas soluções no conjunto dos Reais Concluímos que os sistemas homogêneos que apresentam a solução trivial e outras soluções não nulas são possíveis e indeterminados O sistema é classificado como impossível quando não existe solu ção real ou seja não existe valores para x e y que tornam todas as equa ções verdadeiras Por exemplo o sistema 4 Resumindo a classificação dos sistemas lineares temos 1 Classificação quanto à forma Homogêneo as constantes de todas as equações são nulas Não homogêneo alguma constante é não nula 2 Classificação quanto à solução Sistema possível existe solução real Sistema possível e determinado admite uma única solu ção real Sistema possível e indeterminado admite infinitas solu ções reais Sistema impossível não existe solução real 12 Sistemas equivalentes Os sistemas equivalentes são aqueles que apresentam o mesmo conjunto solução Por exemplo O sistema 5 x 4y 2 3x 2 1 y 6 Z tem solução S 2 0 56 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proib O sistema 6 4x y 8 G x y 2 tem solução S 2 0 Os sistemas 5 e 6 são equivalentes ou S5 S62 Verificação No sistema 5 x 4y 2 2 4 0 2 2 2 Verdadeiro 3x y 6 3 2 0 6 6 6 Verdadeiro 2 2 1 1 No sistema 6 4x y 8 2 4 0 2 2 2 Verdadeiro x y 2 2 0 2 6 6 Verdadeiro 13 Métodos de resolução Inicialmente apresentamos as classificações de um sistema de equa ções com os respectivos conjuntos soluções Neste item aprenderemos como encontrar esses conjuntos usando três métodos de resolução Qualquer método pode ser empregado para resolver um sistema linear Escolhemos o sistema 3 2x3y 1 G x y 6 para exemplificálos Na sequên cia resolvemos os demais sistemas 131 Método da adição Esse método consiste em eliminar uma incógnita a partir da adição de duas equações do sistema Para tanto é necessário que os coeficientes da incógnita escolhida tenham o mesmo valor mas com os sinais opos tos um positivo e o outro negativo de modo que a soma resulte zero 2 O símbolo significa equivalente 57 Sistemas de equações lineares e quadráticas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Aplicando o método da adição o primeiro passo é substituir a 2ª equação do sistema por uma equação equivalente No sistema 3 para eliminar a variável x necessitamos que na segunda equação o coefi ciente de x seja igual a 2 Multiplicamos então a 2ª equação por 2 ou seja x y 6 2x 2y 12 Na sequência realizamos a soma membro a membro da 1ª equa ção com a equação obtida anteriormente Observe que tomamos a 1ª equação 2x 3y 14 e a equação equivalente à 2ª 2x 2y 12 e realizamos uma soma membro a membro 2x 2x 0 3y 2y y e 14 12 2 obtendo como resultado y 2 Para isolar a incógnita y multiplicamos a equação resultante por 1 2x 3y 14 2x 2y 12 y 2 y 2 multiplicando ambos os membros por 1 A equação encontrada substitui a 2ª equação Reescrevemos o sis tema linear com as equações resultantes 2x3y 14 2x3y 14 G x y 6 G y 2 Ao conhecer o valor de uma das incógnitas o segundo passo é subs tituíla em uma das equações para encontrar as demais incógnitas No caso conhecemos o valor de y e escolhemos a 1ª equação para encon trar o valor de x Dessa forma temos 2 x 3y 14 2x 3 2 14 2x 6 14 2x 8 x 8 x 4 2 Portanto a solução do sistema é S 4 2 Verificamos no item 1 que esse par ordenado torna ambas as equações verdadeiras 132 Método da comparação Nesse método o primeiro passo consiste em isolar a mesma incóg nita no primeiro membro das duas equações Nesse caso escolhemos a incógnita y 58 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proib 2x 3y 14 3y 14 2x 3y 14 2x y 14 2x A 3 x y 6 y 6 x B Na sequência o segundo passo é igualar a incógnita escolhida y y fazer as substituições e encontrar o valor de x 14 2x 14 2x 18 3x y y 6 x 14 2x 18 3 3 3x 2x 3x 18 14 x 4 x 4 Por fim o terceiro passo é substituir o valor de x em uma das equa ções Escolhemos a B y 6 x y 6 4 y 2 Portanto o conjunto solução é S 4 2 133 Método da substituição O primeiro passo desse método consiste em isolar uma das incóg nitas no primeiro membro de uma das equações Escolhemos isolar x na 2ª equação x y 6 x 6 y x 6 y A No segundo passo substituímos o valor de x em função de y na ou tra equação No caso substituímos x 6 y na 1ª equação 2x 3y 14 2 6 y 3y 14 12 2y 3y 14 y 14 12 y 2 y 2 Encontrado o valor de y o terceiro passo é substituílo em A x 6 y x 6 2 x 4 Portanto o conjunto solução é S 4 2 59 Sistemas de equações lineares e quadráticas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Verificamos que os três métodos resultam no mesmo conjunto solu ção da mesma forma que realizando outras escolhas a 1ª equação no lugar da 2ª ou isolando inicialmente a variável x ou y também resultará na mesma solução Vamos praticar Para fixar os métodos resolveremos os demais sis temas começando pelo sistema 1 O sistema 1 3x 2y 0 G será resolvido pelo método da adição x y 0 1º Passo Multiplicamos a 2ª equação por 3 x y 0 3x 3y 0 Realizamos a soma das equações ℝeescrevemos o sistema linear com as equações resultantes 3x 2y 0 G x y 0 3x 2y 0 y 0 G 2º Passo conhecendo o valor de y substituímos em uma das equa ções No caso na 1ª equação 3x 2y 0 3x 2 0 0 3x 0 x x 0 3 Portanto o conjunto solução é S 0 0 e o sistema é possível e determinado 0 Vamos resolver o sistema 2 2x3y 0 5x 2 15 y 0 Z pelo método da substituição 1º Passo escolhemos isolar x na 1ª equação 2x 3y 0 2x 3y x 3y 2 A 2º Passo substituímos x 3y 2 na 2ª equação 15 3y 15 15 15 5x y 0 5 y 0 y y 0 0 0 2 2 2 2 2 3x 2y 0 3x 3y 0 5y 0 y 0 60 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proib Concluímos que o sistema tem infinitas soluções Para α ℝ se y α substituímos em A 3y 3a x 2 x 2 Portanto S 3α α α ℝ O sistema é possível e indeterminado 2 Note que poderíamos também atribuir α para x e encontrar y em função de x Vamos resolver o sistema 4 x y 3 G x y 2 pelo método da comparação 1º Passo isolamos x no primeiro membro das duas equações x y 3 x 3 y A x y 2 x 2 y B 2º Passo igualamos a incógnita escolhida xx x x 3 y 2 y y y 2 3 0 5 Falso Portanto o sistema não tem solução O sistema é impossível O sistema x 2y z Z 9 2x y z 3 será resolvido por substituição 3x y 2z 4 1º Passo escolhemos isolar x na 1ª equação x 2y z 9 x 9 2y z A 2º Passo substituímos x A na 2ª equação 2x y z 3 29 2y z y z 3 18 4y 2z y z 3 3y 3z 3 18 3y 3z 15 y z 5 B 2º Passo substituímos x A na 3ª equação 3x y 2z 4 3 9 2y z y 2z 4 27 6y 3z y 2z 4 7y 5z 4 27 7y 5z 31 C 61 Sistemas de equações lineares e quadráticas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Montamos o sistema equivalente com as equações encontradas x 2y z 9 Z y z 5 7y 5z 31 Repetimos o 1º passo para a 2º equação isolando y y z 5 y 5 z D Substituímos D na 3ª equação 7y 5z 31 75 z 5z 31 35 7z 5z 31 2z 31 35 2z 4 z 4 z 2 2 3º Passo encontrado o valor de z substituímos em D y 5 z y 5 2 y 3 Encontrado y substituímos y e z em A x 9 2y z x 9 2 3 2 x 1 Portanto o sistema é possível e determinado e o conjunto solução é S 1 3 2 Essa solução foi verificada no início do capítulo 14 Interpretação gráfica Consideremos sistemas lineares com equações de duas variáveis Os gráficos dessas equações são retas O ponto de intersecção dessas retas quando há é a solução do sistema Verificamos essa afirmação construindo os gráficos dos sistemas resolvidos Nos sistemas possíveis e determinados o ponto de intersecção das retas é a solução do sistema No caso do sistema 3 2x3y 14 G x y 6 as retas intersectamse no ponto P4 2 que á solução do sistema Figura 2 Grafico de um sistema possivel e determinado 1 y xX 1 0 1 2 3 4 5 7 8 1 2x 3y 14 2 P4 2 3 xy6 4 6 L7 g No caso do sistema 1 também possivel e determinado mas homo g géneo as retas se cruzam na origem do sistema cartesiano Figura 3 Grafico de um sistema homogéneo possivel e determinado S 5 Y 3 3x2y0 4 xy0 2 S 1 P 0 0 x 4 3 2 10 1 2 3 4 5 s 1 2 2 3 62 Raciocinio quantitativo Nos sistemas possiveis e indeterminados como o sistema 2 os graficos das equagées sao coincidentes ou seja todos os pontos sao comuns entre as retas Logo ha infinitas solugdes 2x 3y 0 sistema 2 oct By 0 Figura 4 Grafico de um sistema possivel e indeterminado 6 y 5 5x 152y 0 2x 3y 0 4 3 2 1 X 2 yy 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 Observe no sistema 2 que uma equagao é multipla da outra nesse caso a 18 equagao multiplicada por 3 igual a 28 equagao Nesses casos os graficos sao coincidentes pois as equagdes sao equivalentes Nos sistemas impossiveis como o sistema 4 os graficos sao para lelos entre si Portanto ndo ha pontos em comum e o sistema nao tem solugao 3 sistema 4 15 Figura 5 Grafico de um sistema impossivel s 3 Y 5 xy3 2 xy2 8 i X 2 6 5 4 32 1 0 1 2N3 z 1 5 3 8 4 e 15 Sistemas nao lineares 5 Ha aplicagdes cuja solugao se resume em duas ou mais equacoées 5 podendo ter graus diferentes equacdes do 1 grau linear ou do 2 grau 3 quadratica 5 ai X2y5 Por exemplo sistema 7 x y2 Resolvendo por substituigao z X 2y5 3 x2y5 sy 25 Yey29 x 2X 24x3H23 42505 2X B44 9 49x2x10 E a2b1ec A b 4dac A 1 421 3 A18 A90Duas raizes reais 3 143 2 4 2 X BK OX 1 64 Raciocinio quantitativo 3 o 13 ni 2 ood XU GS 9 Mao OX 7H Para x1 vy 2X 251 823 vo di 5tx Sto 65 St FF 9 1 Para x 97 WaT TDD DTAT 73 1 9 Portanto S 13 7 mall A intersecgao dos graficos das equagdes composta por dois pon tos 1 3e 5 4 Veremos em outro capitulo que o grafico de uma equacdo do 2 grau é uma parabola Figura 6 Grafico de um sistema com equagoes de 1 e 2 graus Y xy2 5 45 x2y 5 4 35 3 25 A1 3 B12 94 15 1 05 55 5 45 4 35 3 25 2 15105 0 05 1 15 2 25 3 05 X 2 Aplicagoes Que tal praticarmos um pouco Apresentaremos um problema en volvendo sistemas lineares Maos a obra Na primeira compra de dois produtos A e B em uma papelaria um cliente comprou trés produtos A e um produto B gastando no total RS 1100 No dia seguinte comprou um produto A e quatro produtos 66 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proib B totalizando R 2200 Os preços não foram reajustados Sem ter as notas fiscais em mãos precisou calcular os valores de cada produto Quais foram os valores encontrados A partir do enunciado montamos o sistema de equações e resolve mos por adição 3x y 11 3x y 11 3x y 11 G G G x 4y 22 3x 12y 66 11y 55 11y 55 11y 55 y 55 11 y 5 3x y 11 3x 5 11 3x 11 5 3x 6 x 6 x 2 3 S 2 5 O produto A custou R 200 e o produto B custou R 500 eprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo ida a r Considerações finais Vimos os sistemas de equações lineares e quadráticas e três métodos de resolução Nas aplicações apresentadas no item 2 es tudamos exemplos de aplicações em finanças geometria e na área administrativa Referências IEZZI G HAZZAN S Fundamentos de matemática elementar sequências ma trizes determinantes e sistemas v 4 São Paulo Atual 1985 67 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 4 Proporcionalidade e regra de três Neste capítulo veremos os conceitos de razão e proporção assim como as grandezas direta e inversamente proporcionais e algumas de suas aplicações 68 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 1 Razão Definimos razão de acordo com Iezzi Hazzan e Degenszajn 2004 Dados dois números a e b com b diferente de zero b 0 a razão entre a e b é dada por a ou a b Sendo medidas de mesma grandeza são b expressos na mesma unidade de medida O numerador a é chamado de antecedente e o denominador b de consequente Figura 1 Razão b a Antecedente Consequente Para facilitar a compreensão vamos acompanhar o seguinte exemplo Considere que uma empresa destinou R 180000 para propaganda impressa e R 270000 em plataformas digitais Com essas informa ções podemos calcular várias razões Observe Podemos calcular a razão entre o valor destinado à propaganda im pressa e o total gasto com propaganda Note que todos os valores en volvidos estão expressos na mesma unidade Reais Considerando x o total gasto em propaganda temos que x 1800 2700 4500 Nesse caso o valor da propaganda impressa será dividido pelo valor total gasto com propaganda ou seja 1800 4500 Note que esta fração pode ser simplificada dividindo o numerador e 1800 18 2 o denominador por 100 e depois por 9 Dessa forma 4500 45 5 Podemos também calcular a razão entre o valor destinado à propa ganda em plataformas digitais e o total gasto com propaganda 69 Proporcionalidade e regra de três Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 4500 2700 5 3 Finalmente podemos calcular a razão entre o valor destinado à pro paganda impressa e o valor destinado à propaganda em plataformas digitais 2700 1800 3 2 2 Proporção Definimos proporção de acordo com Iezzi Hazzan e Degenszajn 2004 Dadas as razões b a e d c com b e d diferentes de zero b 0 e d 0 a igualdade abcd chamase proporção Os valores a e d são chamados de extremos e os valores b e c de meios conforme apresentado na figura a seguir Figura 2 Proporção b a d c Meio Extremo Extremo Meio A proporção apresenta a seguinte propriedade IMPORTANTE Em uma proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios b a d c a d b c Apliquemos a propriedade da proporção em um exemplo Supondo que um trabalhador destina R 260000 para investir mensalmente entre duas aplicações uma em renda fixa e a outra em 70 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo renda variável Sabemos que a razão entre renda fixa e renda variável é igual a 3 2 Queremos saber quanto em reais foi destinado para cada investimento Considerando x o valor aplicado em renda fixa o valor aplicado em renda variável é 2600 x A razão entre renda fixa e renda variável é x 2600x e sabemos que vale 3 2 Temos então a seguinte equação x 3 2600x 2 Resolvendo a equação obtemos o valor de x x 2600x 3 2 3 2600 x 2 x 7800 3x 2x 3x 2x 7800 5x 7800 5x 7800 x 7800 x 1560 5 Substituindo o valor encontrado em 2600 x encontramos o valor aplicado em renda variável 2600 x 2600 1560 1040 Portanto foram destinados R 156000 para aplicação em renda fixa e R 104000 em renda variável 3 Grandezas diretamente proporcionais Dada uma constante k diferente de zero k 0 duas grandezas x e y são diretamente proporcionais quando y k x ou k y com x 0 x Para facilitar a compreensão analisaremos dois exemplos No primeiro exemplo suponha que uma empresa produz o produto A por um custo de R 300 Produzindo uma peça terá um custo de R 300 produzindo duas peças um custo de R 600 produzindo três pe ças um custo de R 900 e assim por diante 71 Proporcionalidade e regra de três Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Montamos o quadro a seguir com os dados do exemplo consideran do x o número de peças produzidas e y o valor do custo para produzir x peças Note que à medida que x aumenta y também aumenta em uma mesma razão Quadro 1 Grandezas diretamente proporcionais X NÚMERO DE PEÇAS Y CUSTO DE PRODUÇÃO RAZÃO 1 3 3 2 6 3 3 9 3 x 3x 3 Note que independentemente do número de peças produzidas a ra zão y é igual a 3 ou seja k 3 x Conhecendo o valor de k é possível calcular por exemplo qual o cus to de se produzir 125 peças Sabendose que uma grandeza é diretamente proporcional usamos a regra de três simples para realizar esse cálculo A regra de três simples consiste em considerar dois valores para cada grandeza identificar o sentido do crescimento de cada grandeza montar uma proporção e finalmente encontrar a grandeza desejada Observe que as unidades são as mesmas peças e Reais e o sentido da seta indica que as duas grandezas estão crescendo no mesmo sen tido ou seja quando x aumenta y aumenta x y 1 3 2 6 3 9 x 3x 72 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Quadro 2 Regra de três simples 1 peça 3 Reais 125 peças y Reais Após identificar o sentido de crescimento de cada grandeza monta mos a proporção Nesse caso 1 está para 125 assim como 3 está para y 125 1 y 3 Aplicando a propriedade da proporção e isolando y encontramos o seu valor 3 125 1 y y 375 Portanto o custo para se produzir 125 peças será R 37500 No segundo exemplo queremos saber quantas peças são produzi das por um custo de R 376500 Novamente montamos a regra de três simples identificamos o sen tido do crescimento que nesse caso também é o mesmo ou seja au mentando o número de peças aumenta o custo de produção Quadro 3 Regra de três simples 1 peça 3 Reais x peças 3765 Reais Na sequência montamos a proporção aplicamos a propriedade e isolamos o valor de x x 1 3765 3 3 x 1 3765 3x 3765 x 3 3765 x 1255 Portanto é possível produzir 1255 peças a um custo de R 376500 73 Proporcionalidade e regra de três Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 4 Grandezas inversamente proporcionais Dada uma constante k diferente de zero k 0 duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando x y k Examinemos o comportamento de duas grandezas no seguinte exemplo No planejamento de uma obra sabese que para concluir um deter minado serviço de pintura um pintor gasta 360 horas A data de conclu são está próxima e para atender o cliente mais pintores serão utilizados nessa tarefa Com um pintor a obra é concluída em 360 horas com dois pintores em 180 horas com três pintores 120 horas e assim por diante Considerando x o número de pintores e y o tempo gasto horas para concluir o serviço com x pintores note que à medida que x aumenta y diminui em uma mesma razão Quadro 4 Grandezas inversamente proporcionais X NÚMERO DE PEÇAS Y CUSTO DE PRODUÇÃO XY 1 360 1360 360 2 180 2180 360 3 120 3120 360 x x 360 x 360 Note que pelo quadro independentemente do número pintores o produto xy é igual a 360 ou seja k 360 Queremos saber por exemplo qual o tempo de execução em horas da obra utilizando a mão de obra de 12 pintores x 360 74 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Sabendose que uma grandeza é inversamente proporcional usa mos a regra de três simples para determinar o tempo da obra empre gando 12 pintores Quadro 5 Regra de três simples 1 pintor 360 horas 12 pintores y horas Observe que as unidades são as mesmas e o sentido da seta indi ca que quando uma grandeza aumenta a outra diminui mais pintores menos tempo para executar a pintura Nesse caso antes de montar a proporção é necessário deixar as setas no mesmo sentido invertendo uma das grandezas No caso invertemos a segunda horas Em segui da aplicamos a propriedade da proporção e isolamos a grandeza y 12 1 360 y 12 y 1 360 12y 360 y 12 360 y 30 horas Assim concluímos que com 12 pintores a obra será concluída em 30 horas E se quisermos saber quantos pintores serão necessários para que a obra seja concluída em 5 dias ou seja 40 horas considerando um turno de 8 horas por dia Nesse caso montamos a seguinte regra de três simples Quadro 6 Regra de três simples 1 pintor 360 horas x pintores 40 horas Precisamos inverter uma das grandezas e realizar os mesmos procedimentos x 1 360 40 40 x 1360 40x 360 x 40 360 x 9 pintores 75 Proporcionalidade e regra de três Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Portanto são necessários 9 pintores para concluir a obra em 40 horas Por fim vamos acompanhar mais um exemplo que envolve três grandezas Para produzir 100 peças três máquinas levam 24 horas e quere mos calcular o tempo horas que 5 máquinas demoram para produzir 60 peças Nesse caso usamos a regra de três composta Devemos comparar a grandeza que tem a incógnita no caso horas com as demais e estabelecer se as grandezas comparadas são direta ou inversamente proporcionais Comparando as horas com as peças entendemos que diminuindo as horas serão produzidas menos peças Portanto horas e peças são diretamente proporcionais setas com mesmo sentido Comparando as horas com máquinas sabemos que diminuindo as horas serão necessárias mais máquinas para obter a mesma produção Portanto horas e peças são inversamente proporcionais setas com sentidos opostos Dessa forma montamos a regra de três composta Quadro 7 Regra de três composta 100 peças 3 máquinas 24 horas 60 peças 5 máquinas x horas Para montar a proporção em um membro da igualdade deixamos a grandeza que queremos conhecer horas No outro membro multipli camos as demais grandezas invertendo convenientemente se neces sário Nesse caso temos x 24 60 100 3 5 x 24 3 5 3 5 x 24 9 25 25x 24 9 25x 216 x 25 216 x 864 horas 76 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Em geral a resposta é dada em horas minutos e segundos Para converter o resultado usamos também proporção montando regras de três Começamos convertendo em minutos a parte decimal de 864 horas Sabemos que uma hora tem 60 minutos e queremos saber 064 horas quantos minutos tem 064 1 x 60 1 x 064 60 x 384 minutos Realizando os cálculos obtemos 384 minutos Na sequência fazemos o mesmo procedimento para converter a parte decimal no caso 04 minutos em segundos Sabemos que 1 mi nuto tem 60 segundos e queremos saber 04 minuto quantos segundos tem 04 1 x 60 1 x 04 60 x 24 segundos Realizado os cálculos obtemos 24 segundos Portanto são necessárias 8 horas 38 minutos e 24 segundos 5 Porcentagem Chamase porcentagem ou taxas percentuais a razão com deno minador 100 ou seja 100 a Costumase indicálas também pelo nume rador seguido do símbolo ou por decimal Por exemplo 100 4 ou 4 ou 004 Observe o seguinte exemplo Em uma promoção um produto que custa R 3250 terá um desconto de 12 Qual o valor desse produto na promoção Consideramos que o valor inicial representa 100 do preço e quere mos saber o valor do desconto de 12 Montamos a regra de três para obter o resultado 77 Proporcionalidade e regra de três Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Quadro 8 Regra de três simples 3250 Reais 100 x Reais 12 x 3250 12 100 100 x 3250 12 100x 390 x 100 39000 x 390 Reais Essa proporção nos informa o valor em Reais do desconto Para calcular o novo valor do produto subtraímos o valor inicial do valor do desconto ou seja 3250 390 2860 Logo o desconto será de R 390 ou seja o produto será anunciado por R 2860 Podemos calcular diretamente o valor após o desconto Nesse caso ajustamos o percentual restante após o desconto ou seja 100 12 88 do valor inicial e montamos a regra de três x 3250 88 100 100x 3250 88 100x 2860 x 100 2860 x 2860 Reais Consideremos mais um exemplo Em uma promoção um produto que custa R 4500 terá um descon to de R R 675 Qual a porcentagem desse desconto O valor inicial representa 100 do preço e queremos saber o percen tual que representa um valor de R 675 Podemos montar a regra de três para obter o resultado Quadro 9 Regra de três simples 4500 Reais 100 675 Reais x 78 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 675 45 x 100 45 x 675 100 45x 675 x 45 675 x 15 Concluímos que o desconto será de 15 Observe que na prática calcular um valor correspondente a um per centual p sobre um valor v equivale a calcular 100 v p Os exemplos dados também reforçam que no caso de proporção não é necessário inserir as setas pois elas terão sempre o mesmo sentido Por exemplo para obter 15 p de 35 v Aplicando a regra de três e realizando os cálculos resulta em 525 Quadro 10 Regra de três simples 35 100 x 15 x 35 15 100 100 x 35 15 100x 525 x 100 525 x 525 E obtemos o mesmo resultado aplicando a fórmula 100 35 15 100 v p 100 35 15 525 51 Variação percentual No primeiro exemplo do tópico porcentagem vimos que o produto custava R 3250 Nesse contexto sabendo que o valor com desconto foi R 2860 qual é a taxa de desconto empregada Quando são conhecidos os valores inicial vi e final vf de uma tran sação para saber o percentual envolvido nessa transição usase a va riação percentual Variação percentual v no período é dada por v vi vfvi v vi vf vi vi v vi vf 1 79 Proporcionalidade e regra de três Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Se o resultado for positivo há crescimento no período Se o resultado for negativo há decrescimento perda desconto No exemplo citado v vi vf 1 325 286 1 012 ou 012 100 12 IMPORTANTE Variação percentual v v vi vf 1 em que vi valor inicial vf valor final 52 Variações percentuais no período Para acumular variações percentuais transformamos os percentu ais em números índices que em seguida são acumulados Observe o quadro a seguir que apresenta as taxas percentuais do INPC referentes aos meses de janeiro a novembro de 2020 Quadro 11 Taxas INPC em MÊS INPC ÍNDICE ÍNDICE ACUMULADO 1000000 Jan20 019 10019 1001900 Fev20 017 10017 1003603 Mar20 018 10018 1005410 Abr20 023 09977 1003097 Maio20 025 09975 1000590 Jun20 030 10030 1003591 Jul20 044 10044 1008007 cont 80 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo MÊS INPC ÍNDICE ÍNDICE ACUMULADO Ago20 036 10036 1011636 Set20 087 10087 1020437 Out20 089 10089 1029519 Nov20 095 10095 1039299 Adaptado de IBGE sd As colunas do quadro anterior foram construídas empregando as se guintes fórmulas Cálculo do número índice 100 taxa 1 Cálculo do índice acumulado multiplicase os índices calculados considerando o acumulado anterior igual a 1 Por exemplo Acumulado até janeiro 1000000 10019 10019 Acumulado até fevereiro 10019 10017 1003603 Acumulado até março 1003603 10018 1005410 A variação no primeiro trimestre de 2020 é dada por 1005410 1 100 0541 A variação no segundo trimestre de 2020 é dada por 1005410 1003591 1 T Y 100 01809 PARA SABER MAIS Para conhecer as particularidades do índice INPC consulte a página sobre o índice no portal do IBGE 2021 Lá você poderá entender um pouco mais sobre o seu conceito e os seus métodos 81 Proporcionalidade e regra de três Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 6 Escala De acordo com Neizel 1974 a escala indica a relação dimensional entre a representação de um objeto no desenho e suas dimensões reais NEIZEL 1974 p 23 Para designála empregase a palavra ESCALA ou abreviadamente ESC seguida da indicação da relação Nesse exemplo a cada unidade do desenho corresponde a 500 unidades reais Lêse escala um por quinhentos ou escala um para quinhentos Figura 3 Escala Esc 1 500 Objeto Desenho 61 Tipos de escalas Há três tipos de escala Escala Natural Esc 1 1 Permite representar objetos em seu tamanho real Escala de Redução Esc 1 x As medidas do desenho são meno res do que as medidas naturais do objeto Escala de Ampliação Esc x 1 As medidas do desenho são maiores do que as medidas naturais do objeto Considere o seguinte exemplo Supondo que a medida real de um segmento seja 10 uc unidades de comprimento e desejamos desenhálo com 2 uc Lembramos que as duas medidas estão expressas na mesma unidade A figura 4 representa essas medidas e reforça que o desenho será menor que o real 82 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 4 Representação das medidas real e do desenho 0 10 Real 0 2 Desenho Para calcular uma escala empregamos proporcionalidade Lembre se que para montarmos a escala necessitamos de 1 unidade de com primento no Desenho Quadro 12 Regra de três composta Real 10 uc 100 x uc Desenho 2uc k 1 uc Montamos a regra de três e encontramos a relação em percentual e em uc 2 10 k 100 10k 100 2 10k 200 k 10 200 k 20 2 10 1 x 2 x 10 1 2x 10 x 2 10 x 5 uc Portanto a escala de redução é Esc 15 Não confunda o número da escala com o percentual de redução que nesse caso é de 20 em relação ao original Não precisaríamos calcular esse percentual mas queremos ressaltar a diferença entre eles Na prática para montar uma escala de redução usamos a relação x R D em que R é a medida real D é a medida do desenho e x 1 o fator de redução x R D x 10 2 2x 10 x 5 Portanto Esc 1 5 83 Proporcionalidade e regra de três Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Vejamos um exemplo de uma escala de ampliação Supondo que a medida real de um segmento é 5 uc e desejase desenhálo com 20 uc Lembramos que as duas medidas estão expressas na mesma unidade A figura 5 representa essas medidas e reforça que o desenho será maior que o real Figura 5 Representação das medidas real e do desenho 0 5 Real Desenho 0 20 Quadro 13 Regra de três composta Real 5 uc 100 x Desenho 20uc k 1 uc 20 5 x 100 5k 100 20 5k 2000 K 5 2000 k 400 20 5 x 1 5x 20 1 5x 20 x 5 20 x 4 Portanto a escala de ampliação é Esc 41 O segmento sofrerá uma ampliação de 400 em relação ao original Na prática para montar uma escala de ampliação usamos a relação Rx D em que R é a medida real D é a medida do desenho e x o fator de ampliação Rx D 5x 20 x 4 Portanto Esc 41 IMPORTANTE Escalas Considerando R a medida real e D a medida do desenho 84 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Escala de Redução Esc1 x sendo x R D em que x 1 é o fator de redução Escala de Ampliação Escx 1 sendo Rx D em que x é o fator de am pliação Lembrese que as medidas estão expressas em uma mesma unidade Finalizando o tópico se as medidas não estiverem na mesma unida de é necessário realizar a devida conversão Por exemplo qual a escala em que se encontra um segmento cuja representação gráfica é de 6 cm e apresenta uma medida real de 3 m Adotando como unidade o metro temos que 6 cm 006 m Observe que se a medida real é 3 m e representamos por 006 m concluímos que foi empregada uma escala de redução Em seguida calculamos o fator de redução x R D x 3 006 x 006 3 x 50 Portanto Esc 150 7 Aplicações divisão proporcional Que tal praticarmos um pouco Apresentaremos duas situações que envolvem grandezas diretamente ou inversamente proporcionais Mãos à obra 71 Divisão diretamente proporcional Supomos por exemplo que o bônus de R 120000 foi dividido entre três colaboradores A divisão foi feita em partes diretamente proporcio nais ao tempo de serviço entre os colaboradores A B e C O tempo de serviço desses colaboradores são respectivamente 26 14 e 20 anos Quanto recebeu cada um 85 Proporcionalidade e regra de três Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Considerando como x y e z respectivamente as quantias recebidas pelos colaboradores A B e C Sabemos que totalizam 1200 reais e po demos escrever x y z 1200 Como a divisão foi feita em partes diretamente proporcional ao tem po de serviço sabemos que k 26 x 14 y 20 z Igualamos cada razão a k e isolamos as incógnitas x y e z k 26 x x 26k k 14 y y 14k k 20 z z 20k Em seguida substituímos as incógnitas na equação x y z 1200 para encontrar k x y z 1200 26k 14k 20k 1200 60k 1200 k 60 1200 k 20 Conhecendo o valor de k calculamos as proporções de cada colaborador x 26k x 26 20 x 520 y 14k y 14 20 y 280 z 20k z 20 20 z 400 Portanto os colaboradores receberam respectivamente R 52000 R 28000 e R 40000 72 Divisão inversamente proporcional Supondo por exemplo que buscando aumentar a produtividade a área de Recursos Humanos de uma empresa propôs um bônus de Natal de R 108500 à área de vendas para os três funcionários A B e C O bônus foi dividido de forma inversamente proporcional ao número 86 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo de faltas de cada um no mês de dezembro Nesse período as faltas de cada funcionário foram respectivamente 2 8 e 4 Qual foi o bônus recebido por cada um Considerando como x y e z respectivamente o valor do bônus dos funcionários A B e C Sabemos que x y z 1085 O cálculo dos bônus foi feito de forma inversamente proporcional ao número de faltas de cada funcionário Logo k 2x 8y 4z Igualamos cada razão a k e isolamos as incógnitas x y e z k 2x x 2 k k 8y y 8 k k 4z z 4 k Em seguida substituímos as incógnitas na x y z 1085 para encontrar k x y z 1085 2 k 8 k 4 k 1085 8 4k k 2k 8680 7k 8680 k 7 8680 k 1240 Conhecendo o valor de k calculamos as proporções de cada funcionário x 2 1240 x 620 y 8 1240 y 155 z 4 1240 z 310 Os funcionários receberam respectivamente R 62000 R 15500 e R 31000 87 Proporcionalidade e regra de três Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Considerações finais Exploramos neste capítulo os principais conceitos de razão e propor ção que são amplamente empregados na área de negócios Nos próxi mos capítulos em representações gráficas retomaremos o conceito de escala e sua importância na construção e na análise de gráficos Referências INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA IBGE Painel de Indicadores sd Disponível em httpswwwibgegovbrindicadores Acesso em 25 mar 2021 INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA IBGE Índice Nacional de Preços ao Consumidor INPC Fevereiro 2021 Disponível em httpswww ibgegovbrestatisticaseconomicasprecosecustos9258indicenacionalde precosaoconsumidorhtmltconceitosemetodos Acesso em 25 mar 2021 IEZZI Gelson HAZZAN Samuel DEGENSZAJN David Fundamentos de mate mática elementar matemática comercial financeira e estatística descritiva v 11 São Paulo Atual 1985 NEIZEL Ernst Desenho técnico v 1 São Paulo EPU 1974 Coleção Desenho Técnico 89 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 5 Funções e gráficos Neste capítulo estudaremos as funções que são relevantes para a mo delagem de problemas em várias áreas do conhecimento Definiremos funções os conjuntos domínio e imagem as representações algébrica gráfica e por tabelas e faremos o estudo de sinal Também veremos algumas aplicações 90 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 1 Função Dados dois conjuntos A e B contidos nos reais e não vazios uma função f de A em B f A B ou A B é uma lei regra que a cada elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B IEZZI G MURAKAMI 1994 É possível para compreensão do conceito de função associála a uma máquina conforme representado a seguir Figura 1 Função representada por uma máquina f x fx f Note que nessa máquina entra um valor x Esse valor é submetido a regra lei de correspondência e como resultado sai da máquina um valor de y igual a função de x y fx Dizemos que x é a variável independente e y sendo resultado de uma regra é chamado de variável dependente Considere os exemplos a seguir No primeiro exemplo considere A 1 3 5 e B 2 4 6 8 10 Verificaremos se a relação f A B dada por fx 2x é uma função Os conjuntos A 1 3 5 e B 2 4 6 8 10 são conjuntos contidos nos reais e não vazios Note na definição f A B e fx 2x que a relação é definida de A em B dada por fx 2x equivalente a fx x y x A y B e y fx 2x Pela definição a correspondência se dá por uma regra que a cada elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B Falta confirmar se y é único Tomemos os pares ordenados da aplicação fx 1 2 3 6 5 10 e confirmamos que para cada x y é único 91 Funções e gráficos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Concluímos portanto que fx 2x é uma função Usando o conceito da máquina Entra 1 a máquina processa de acordo com regra 2x ou seja 2 x 1 e sai 2 Entra 3 a máquina processa de acordo com regra 2x ou seja 2 x 3 e sai 6 Entra 5 a máquina processa de acordo com regra 2x ou seja 2 x 5 e sai 10 Podemos representar fx pelo diagrama de EulerVenn Observe na figura que todos os elementos de A se corresponderam com um único elemento de B Figura 2 Representação da função pelo diagrama de Venn 1 3 5 2 6 10 4 8 A B A seguir se usarmos a tabela de pontos atribuirmos algum valor para x do conjunto A e calcularmos o valor de y conforme a regra fx 2x teremos Tabela 1 Função representada por uma máquina x y fx 2x 1 fx 2 1 2 1 2 3 fx 2 3 6 3 6 5 fx 2 5 10 5 10 92 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo No segundo exemplo são dados os conjuntos C 1 3 5 7 e B 2 4 6 8 10 e a relação f C B dada por fx 2x Observando os conjuntos confirmamos que são conjuntos contidos nos reais e não vazios Os pares ordenados da relação são 1 2 3 6 5 10 A relação fx 2x é equivalente a fx x y x C y B e y fx 2x Pela definição a correspondência se dá por uma regra que a cada elemento x de C faz corresponder um único elemento y de B Mas observe os pares ordenados o elemento 7 de C não tem cor respondente em B Portanto fx 2x não é uma função Podemos representar a relação pelo diagrama de EulerVenn Observe na figura que parte da definição a cada elemento de C ou todos os ele mentos de C não foi satisfeita pois 7 não tem relação com um elemento de B Para ser uma função de todos os elementos de C devem sair uma flecha única Figura 3 Representação da relação pelo diagrama de Venn 1 3 5 7 2 6 10 4 8 C B Note que uma relação pode ou não ser uma função Uma relação entre A e B é definida como todo subconjunto dos pares ordenados do 93 Funções e gráficos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo produto cartesiano A x B que foi definido no Capítulo sobre Equações Lineares e Quadráticas No próximo exemplo considere E 4 F 4 6 7 e a relação r E F dada por r x y x E y F e x y Observando os conjuntos concluímos que estão contidos em R e não são vazios Os pares ordenados da relação são 4 6 4 7 Observe que algum elemento de E se relaciona com mais de um elemento de F Para ser função todo elemento de E deve se relacionar com um único elemento de F o que não ocorre No diagrama de Venn construído na sequência verificamos que há elementos de E que se correspondem com mais de um elemento do conjunto F Para ser uma função de todos os elementos de E devem sair uma única flecha Figura 4 Representação da relação pelo diagrama de Venn 4 6 4 7 E F Portanto a relação não é função Observe o último exemplo São dados os conjuntos G 1 0 1 2 e H 0 1 4 e a relação f G H dada por fx x2 Os conjuntos G e H estão contidos nos reais e não são vazios 94 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo A relação fx x2 equivale a fx x y x G y H e y fx x2 Os pares ordenados da relação são 1 1 0 0 1 1 2 4 A relação atende a definição ou seja a cada elemento x de G corres ponde um único elemento y de H Portanto fx x2 é uma função Observe no diagrama de Venn e note que todos os elementos de G se correspondem com um único elemento do conjunto H Figura 5 Representação da função pelo diagrama de Venn 1 1 2 0 1 4 0 G H IMPORTANTE Função Dados dois conjuntos A e B contidos nos reais e não vazios uma função f de A em B é uma lei que a cada elemento x de A faz cor responder um único elemento y de B 11 Conjuntos contradomínio domínio e imagem Dada uma função f A B O conjunto domínio de f Df é o conjunto A origem ou conjunto de partida 95 Funções e gráficos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo O conjunto contradomínio de f CDf é o conjunto B destino ou conjunto de chegada Dado x ℝ o elemento fx B é chamado de valor da função f no ponto x ou imagem de x por f O conjunto de todos esses valores é o conjunto imagem de f O conjunto imagem de f Imf é portanto um subconjunto do contradomínio Imf CDf No primeiro exemplo que é uma função temos A 1 3 5 e B 2 4 6 8 10 f A B fx 2x Df 1 3 5 CDf 2 4 6 8 10 e Imf 2 6 10 Observe que o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio ou seja Imf CDf 12 Função real de variável real Funções de ℝ em ℝ Em uma função f ℝ ℝ os conjuntos domínio e contradomínio são reais ou subconjuntos dos Reais Dizemos que é uma função de ℝ em ℝ Por exemplo f ℝ ℝ fx 2x Nesse caso temos Df ℝ CDf ℝ e Imf ℝ Todo x do domínio conjunto dos reais se relaciona com um único y do contradomínio conjunto dos reais Podemos montar a tabela de pontos e obter alguns dos infinitos pares ordenados de fx Tabela 2 Tabela de pontos da função x fx 2x 0 2 0 0 A0 0 1 2 1 2 B1 2 1 2 1 2 C1 2 96 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo No próximo exemplo consideremos a função f ℝ ℝ dada por fx x Nesse caso dizemos que f é uma função de R mais em R mais ou seja do conjunto dos reais não negativos no conjunto dos reais não negativos Os conjuntos domínio contradomínio e imagem da função são Df ℝ CDf ℝ e Imf ℝ Note que o conjunto domínio é formado pelos reais não negativos todo x do domínio deve ser positivo pois não existe raiz quadrada de um número negativo Dizemos que a condição de existência de x é x ser positivo ou nulo O conjunto contradomínio também é formado por reais não nega tivos Limitando o contradomínio eliminando os negativos fizemos com que todo elemento de x se relacione com um único elemento do contradomínio Portanto é uma função Há infinitos pares ordenados nessa função Atribuindo alguns valo res reais positivos para x do domínio calculamos o valor de y de acor do com a regra fx x Note na tabela a seguir que escolhemos para x valores cujas raízes são inteiras para facilitar os cálculos e a represen tação gráfica posterior Tabela 3 Tabela de pontos da função x fx x 0 0 0 A0 0 1 1 1 B1 1 4 4 2 C4 2 9 9 3 D9 3 25 25 5 E25 5 13 Grafico O grafico da fungao f o conjunto de todos os pontos x fx do pla no cartesiano em que x pertence ao conjunto dominio de f Sabemos que o grafico de y ax b com a O 6 uma reta visto em um capitulo anterior Observe que no primeiro exemplo da segao ante rior f R R fx 2x temos uma equagao linear em que a 2 eb 0 Portando seu grafico uma reta como demonstrado no grafico a seguir Essa reta foi tragada a partir dos pontos A e B calculados anteriormente Figura 6 Grafico da fungao Y 4 3 2 B fx 2x 1 A X 2 1 0 1 2 3 4 1 2 Observe a proxima figura graficamente o dominio é 0 conjunto dos reals do eixo x O contradominio o conjunto dos Reais do eixo y O con junto imagem sendo um subconjunto de y é parte do eixo y 98 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 7 Conjuntos domínio e imagem da função 0 imagem domínio X f Y Adaptado de Tan 2014 p51 Observe na figura anterior que no caso de função traçando parale las ao eixo y o gráfico cruza com essas retas somente uma vez caso contrário haveria um x do domínio se relacionando com mais de um y Considerando o segundo exemplo da seção anterior inserimos os pontos tabelados em precedência no plano cartesiano Figura 08 e tra çamos uma curva O gráfico ocupa o 1º quadrante ou seja somente os positivos se relacionam eixo x domínio O contradomínio e o conjunto imagem são parte do eixo y reais positivos Quando não conhecemos as características gráficas da uma função que foi apresentada algebricamente usamos essa estratégia calcula mos alguns pontos usando a tabela respeitando os conjuntos domínio e contradomínio inserimos os pontos no gráfico unindoos Figura 8 Grafico da fungao 4a 12 10 8 fix Vx 4 D C 2 B A X 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 2 14 Zero ou raiz de uma fungao Zero ou raiz de uma fungao f é todo numero x cuja imagem é nula fx 0 Vamos calcular os zeros das fungdes anteriores Em f RR fx 2x araiz 6x 0 Em f Re R fx Vx a raiz também x 0 A raiz da fungao pode ser confirmada graficamente Observe para os exemplos citados nos respectivos graficos que para y fx 0 a curva intersecta 0 elxo x em 0 Na sequéncia veremos casos em que precisamos definir condigdes de existéncia para as fungées Nesse exemplo considere fx 2x1 Para que exista raiz real 6 necessario impor que 2x 1 seja maior ou igual que zero Condigao de existéncia 2x 1 0 Resolvendo a equagao 2x 1 0 2x 13 x 5 Limitamos o dominio a todo x Logo Df x R x 5 ou Df F 00 O conjunto imagem é dado por Imf x R x 0 ou Imf Re Atribuindo alguns valores positivos maiores ou iguais a 5 obtemos pontos de fx e representamos a fungao graficamente Tente aplicar a estratégia apresentada para construgao de graficos de fungdes Figura 9 Grafico da fungao Y 4 35 3 25 fx 2x 1 2 15 1 05 x 05 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6 65 05 Observe que a raiz da fungao é x 5 ou seja a abscissa do ponto de intersecao do grafico com 0 exo x No prdéximo exemplo considere fx a Condicao de existéncia 2x 1 0 Nesse caso 2x 1 esta no deno minador de uma fragao nado podendo ser igual a zero Limitamos o dominio a todo real x 5 O conjunto dominio é Df x R x Shou Df 00 Flu 5 00 Nao ha raiz da funcao pois o grafico nao corta 0 eixo x Confirme observando o grafico dessa fungao apresentado na figura a seguir Figura 10 Grafico da fungao Y 6 4 2 fx 22x 1 X 0 05 2 4 6 8 10 2 4 6 Considere um ultimo exemplo dado por f R R dada por fx 2 Todo x do dominio conjunto dos reais se relaciona com um Unico y do contradominio conjunto dos reais Portanto é fungao com Df R CDf R e Imf 2 Nao ha raiz da funcao pois o grafico apresentado na sequéncia nao corta 0 exo x Figura 11 Grafico da fungao Y 5 4 3 A B fxy2 C OOO 1 X 3 2 1 0 1 2 3 4 5 1 15 Sinal de uma fungao Seja a fungao f A B definida por y fx Estudar o sinal da fungao para cada valor x do dominio significa analisar o sinal da ordenada y de cada ponto da curva positiva nula e negativa Vamos considerar os exemplos dados em precedéncia e estudar o sinal das fungoes Em f RR fx 2x cujo grafico é uma reta Analisando o grafico ou a tabela de pontos identificamos que 0 zero ou a raiz da fungao é 00 ou seja o grafico cruza 0 eixo x quando x é igual a 0 e a fungao é crescente E comum tracarmos um diagrama simulando 0 grafico con forme figura dada para o estudo de sinal Figura 12 Diagrama para estudo de sinal xX 0 103 Funções e gráficos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Da raiz para a direita os pontos apresentam valores de y positivos por exemplo o ponto 1 2 Da raiz para a esquerda os pontos apre sentam valores de y negativos por exemplo o ponto 1 2 Estudo de Sinal Quando x 0 raiz temos fx 0 Quando x 0 temos fx 0 Quando x 0 temos fx 0 No exemplo f x Q V 2x1 2 não há raiz da função note que o gráfico não cruza o eixo x e como vimos o domínio é Df x ℝ x 2 1 Estudo de Sinal Quando x 2 1 temos fx 0 Quando x 2 1 temos fx 0 Finalmente no exemplo fx 2 a função não tem raiz pois não há um x em que fx 0 Estudo de Sinal Para todo x ℝ fx 2 2 Função definida por partes São funções definidas por mais de uma sentença matemática Supondo f ℝ ℝ dada por f x Q V x 3 x 1 4 1 x 4 G O gráfico é a união dos gráficos de cada parte da função nos respec tivos intervalos Traçamos o gráfico de fx x 3 de 4 e o gráfico de fx 1 de 4 Figura 13 Grafico da fungao 5 Y 4 fx x 3 2 1 X 3 2 1 0 1 2 34 5 6 7 1 fx 1 2 Temos Df R CDf R Imf fy Rl y1 ea raiz da funcao é x 3 Estudo de Sinal Quando x 3 raiz temos fx 0 Quando x 3 temos fx 0 Quando x 3 temos fx 0 3 Aplicagoes Que tal praticarmos um pouco Apresentamos duas aplicagdes en volvendo fungdes Maos a obra Uma fabrica de produtos de limpeza estima um lucro mensal em Reais em funcao da venda de x unidades do produto A dado por Lx x3 15x 52 Estime o lucro com a venda mensal de 25 unidades do produto A 105 Funções e gráficos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Lx x3 15x 52 L25 253 15 25 52 L25 15625375 52 15302 Esperase um lucro de R 1530200 na venda de 25 unidades do produto A No segundo exemplo considere que o custo de produção de um bem é estimado pela função f ℝ ℝ fx 5 2 x0 1 x 10 5 8 x10 1 x 20 G sendo x em milhares de unida des do bem e y em milhares de Reais Figura 14 Gráfico da função 8 6 4 2 Custo milhares de reais 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 Milhares de peças C B A Estimemos o custo de produção de 5000 peças A quantidade de peças está no intervalo 0 x 10 logo tomaremos a primeira parte da função f fx 5 2 x f5 5 2 5 f5 2 O custo para produzir 5000 peças é R 200000 Determinemos a ordenada do ponto C dado no gráfico Figura 15 O ponto C tem abscissa igual a 20 Tomamos a segunda parte da função f f x Q V 5 8 x f 20 Q V 5 8 20 f20 32 106 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Supondo que queiramos calcular quantas peças são produzidas a um custo de R 460000 Para custos entre 4000 y 6000 tomamos a segunda parte da função f f x Q V 5 8 x 46 5 8 x 46 Q V 2 5 8 x R W 2 2116 5 8 x Multiplicando em cruz 8 x 52116 8x 10580 x 8 10580 x 13225 ou x 13 O custo de 13000 peças é R 456070 Portanto a um custo total de R 460000 serão produzidas 13000 peças Considerações finais Vimos a definição de função e também suas representações algé brica pelo Diagrama de Venn e gráfica Várias são as suas aplicações e em particular nos ajudarão a modelar situações na área de negócios Referências IEZZI Gelson MURAKAMI Carlos Fundamentos de matemática elementar conjuntos e funçõesv 1 São Paulo Atual 1994 TAN S T Matemática aplicada à administração e economia São Paulo Cengage Learning 2014 107 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 6 Funções de 1º e 2º graus Após compreender a definição e as representações de uma função es tudaremos as particularidades das funções de primeiro e segundo graus e das respectivas inequações de acordo com Iezzi e Murakami 1994 Oo 3 1 Funcgao do 1 grau ou afim é Fungao de 1 grau ou afim é uma funcao f R R dada por f x g ax b em que a 0 ab R Lembramos que a 0 coeficiente angular e b o Coeficiente linear 8 Associando 0 conceito de fungao ao processamento de uma ma quina como feito no capitulo anterior dizemos que a variavel x entra na maquina 6 submetida a lei de correspondéncia que nesse caso é ax 2 b e sai um valor de y fx Figura 1 Fungao representada por uma maquina ie O grafico é uma reta nao paralela ao eixo y se a 0 entao fx é crescen g tee se a 0 temos fx decrescente como evidenciado na figura a seguir 2 g Figura 2 Graficos de fungdes do 1 grau 8 Fungao crescente Fungao decrescente Y Y 2 5 5 a 4 4 3 3 s 3 1 X 1 X g 54 3 01 2 3 4 5 543 2 10 1 N23 45 S 1 1 z 2 2 3 3 S 4 4 S 108 Raciocinio quantitativo 8 109 Funções de 1º e 2º graus Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo De acordo com a definição os conjuntos domínio e contradomínio são respectivamente Df ℝ e CDf ℝ Nesse caso não precisamos definir restrições condição de existência e o conjunto imagem é Imf ℝ Vimos que o zero ou raiz da função é o número real x cuja imagem é nula ou seja fx 0 Calculando esse valor para funções lineares temos fx ax b 0 ax b ax b x a b Concluímos que para que fx seja nulo x deve valer a b que é a raiz da função f Os pontos de interseção com os eixos são Com eixo x é o ponto cuja ordenada é nula dado por P a b 0 S X Com eixo y é o ponto com abscissa nula O valor b corresponde ao coeficiente linear fx ax b f0 a 0 b f0 b Portanto Q0 b Analisemos dois exemplos em que aplicamos esses conceitos No primeiro exemplo considere f ℝ ℝ dada por fx 2x 1 Comparando a função dada com a função de 1º grau fx ax b identificamos que a 2 e b 1 Como a 2 0 o gráfico da função é crescente Observando a defi nição os conjuntos domínio e contradomínio são Df ℝ e CDf ℝ Não havendo restrições o conjunto imagem é Imf ℝ Calculando a raiz ou zero da função a b 2 1 Os pontos de intersecção com os eixos são Com o eixo x P a b0 S X Nesse caso P 2 10 S X Com o eixo y Q0 b Nesse caso Q0 1 Para construir 0 grafico tomamos dois pontos quaisquer atribuindo valores para x pertencentes ao dominio Conhecemos as intersecgdes P eQ Querendo outros pontos basta usar a tabela e substituir qualquer numero real do dominio no lugar de x e encontrar sua respectiva ima gem pela lei da fungao Tabela 1 Pontos da fungao x fx 2x 1 1 fI2113 R1 3 1 f12111 S1 1 Escolhemos construir 0 grafico a partir dos pontos Piz 0 eQ0 1 encontrados em precedéncia Figura 3 Grafico da fungao Y 25 2 15 Vf Q01 0 P 120 X 25 2 15 1 0 0 05 1 15 2 25 05 1 15 2 25 Analisando o grafico anterior identificamos o zero ou a raiz da funcao que foi calculado anteriormente Note que o grafico cruza 0 eixo x em 5 Vimos como realizar o estudo de sinal no capitulo anterior Observe o grafico da raiz para a direita os pontos apresentam valores de fx po sitivos por exemplo o ponto R1 3 Da raiz para a esquerda os pontos apresentam valores de fx negativos por exemplo 0 ponto S1 1 E finalmente quando x 0 fx vale raiz da fungao Consolidamos essa analise apos tracar o diagrama do estudo de sinal que 6 uma reta crescente cruzando o eixo x pela raiz de acordo com a figura a seguir Figura 4 Diagrama para estudo de sinal da fungao X 12 Estudo de sinal da funcao Quando x raiz temos fx 0 Quando x 5 temos fx 0 Quando x 5 temos fx 0 Em um segundo exemplo considere f 0 2 R dada por fx x 2 Comparando a fungao dada com fx ax b identificamos a 1 eb2 Como a 1 00 grafico da funcao 4 decrescente Os conjuntos dominio e contradominio sao respectivamente Df x R0x2eCDf Rs Nesse caso temos 0 grafico no 1 quadrante Agora vamos determinar 0 conjunto imagem da fungao observando a fungao fx x 2 Quando x vale zero fx vale 2 Quando x vale 2 fx vale 0 Para valores positivos de x entre esses valores 0 e 2 a fungao re torna fx positivo Para valores de x malores que 2 Nao precisamos ana lisar o sinal da fungao pois esses valores nado fazem parte do dominio Portanto concluimos que o conjunto imagem é Imf K ER 0 x 2 A raiz ou zero da funcao é dada por 2 2 Os pontos de interseccao Com OS elxos Sao Com 0 eixo x p20 Nesse caso P2 0 Com 0 eixo y Q0 b Nesse caso Q0 2 Para construir o grafico usamos os pontos P2 0 e Q0 2 Lembramos que poderiamos calcular outros pontos com o auxilio da tabela de pontos e nesse caso atribuir para x valores entre 0 e 2 in clusive que Sao os valores reais pertencentes ao dominio Note que o conjunto imagem é um subconjunto do contradominio de f Figura 5 Grafico da fungao Y 5 4 3 02 1 P20 x 1 0 1 2 3 4 5 6 1 113 Funções de 1º e 2º graus Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Analisando o gráfico anterior confirmamos que o zero ou a raiz da função é 2 ou seja o gráfico cruza o eixo x em 2 O estudo de sinal é feito somente para valores de x pertencentes ao conjunto domínio Estudo de sinal da função Quando x 2 raiz temos fx 0 Quando x 0 2 temos fx 0 Confirme esse estudo analisando o gráfico anterior da raiz para a direita os pontos não fazem parte da função portanto não devem ser estudados Da raiz para a esquerda no intervalo 0 2 os pontos apre sentam valores de y positivos por exemplo o ponto R11 11 Taxa de variação No estudo das equações de acordo com Tan 2011 vimos que o coeficiente angular da reta é uma medida da taxa de variação de y em relação à x No primeiro exemplo desse capítulo fx 2x 1 vamos considerar os pontos R1 3 e S1 1 e calcular o coeficiente angular da reta que será o mesmo identificado anteriormente a 2 a 3x 3y x2 x1 y 2 y1 1 1 1 3 2 4 2 Observe o diagrama sendo a 2 0 dizemos que enquanto x varia uma unidade y varia duas unidades ou seja a taxa de variação é igual a 2 114 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 6 Diagrama para análise da taxa de variação da função No segundo exemplo em que fx x 2 podemos considerar os pontos R1 1 e S 2 1 2 3 S X e calcular o coeficiente angular que será igual a 1 como identificado em precedência a 3x 3y x2 x1 y2 y1 2 1 1 2 3 1 2 12 2 32 2 1 2 1 2 1 1 2 S X 2 2 1 Sendo a 1 0 dizemos que enquanto x varia uma unidade y varia menos uma unidade ou seja a taxa de variação é negativa e igual a 1 Que tal praticar um pouco Mãos à obra Na primeira situação propomos uma aplicação de função do 1º grau adaptada de Murolo e Bonneto 2015 p 32 Suponha que um trabalhador receba R 60000 reais de salário acrescido de R 1000 por hora extra trabalhada Queremos determinar uma expressão que relacione o salário em função da quantidade de ho ras extras trabalhadas no mês Faremos alguns testes para identificar a lei de formação Sem hora extra receberá R 60000 Trabalhando 1 hora extra receberá 600 10 1 Trabalhando 2 horas extras receberá 600 10 2 3 2 1 0 1 1 2 115 Funções de 1º e 2º graus Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Trabalhando 3 horas extras recebera 600 10 3 Percebendo a lei de formação generalizamos 600 10 número de horas Considerando x o número de horas trabalhadas no mês e fx o valor total recebido no mesmo período determinamos a função do 1º grau fx 600 10x Se o trabalhador em determinado mês trabalhou 15 horas receberá fx 600 10x f15 600 10 15 f15 600 10 15 R 75000 Para finalizar o exemplo sabendo que 50 é o número máximo per mitido de horas extras em um mês esboçamos o gráfico dessa função Para tanto precisamos de dois pontos no intervalo 0 50 e usamos a tabela a seguir para determinálos Tabela 2 Pontos da função x fx 600 10x 0 fx 600 10 0 600 P0 600 50 fx 600 10 50 1100 Q50 1100 Conhecendo os pontos traçamos o gráfico 116 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 7 Gráfico da função salário total 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 5 10 15 20 24 30 35 40 45 50 55 60 Salário total R P 0600 Q 50 1100 X horas Na sequência propomos uma aplicação de função do 1º grau adap tada de Tan 2011 p 58 A depreciação de um bem pode ser entendido como a perda de seu valor em decorrência do uso O bem por sofrer um desgaste tem seu valor contábil reduzido ao longo do tempo até chegar a 0 Suponha que uma máquina nova foi comprada por R 12000000 Para propósitos contábeis a máquina foi depreciada linearmente ao longo de dez anos Dessa forma o valor contábil da máquina decresce a uma razão constante de modo que ao final de 10 anos esse valor seja zero Queremos identificar uma expressão em que o valor contábil da má quina em reais varie em função de sua idade em anos Sabemos que foi depreciada linearmente Na data da compra o valor foi 120000 e após 10 anos o valor é 0 O valor foi reduzido de forma constante por esse prazo Logo 10 120000 12000 é o valor a ser redu zido por ano Faremos alguns testes para identificar a lei de formação Na data da compra o valor foi R 120000 117 Funções de 1º e 2º graus Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Após 1 ano o valor foi 120000 12000 1 Após 2 anos o valor foi 120000 12000 2 Após 3 anos o valor foi 120000 12000 3 e assim por diante Generalizando 120000 12000 número de anos Considerando x o número de anos decorridos desde a compra da máquina e fx o valor contábil atual determinamos a função do 1º grau fx 120000 12000x Por exemplo no sétimo ano seu valor contábil foi fx 120000 12000x f7 120000 12000 7 36000 reais Observe que o gráfico da função é decrescente a 12000 0 Confira com o auxílio da tabela os pontos escolhidos para a elaboração do gráfico a seguir Figura 8 Gráfico da função valor contábil 120000 100000 80000 60000 40000 20000 0 5 10 15 20 Valor contábil R P 012000 Q 10 0 x horas 2 Inequagoes do 1 grau Considere duas fungdées fx com dominio Df R e gx com do minio Dg R A inequagao na incdgnita x é qualquer uma das sen tengas abertas Fx gx fx X FX Gx FX GX Figura 9 Exemplo de inequagao 3x 2 2x Fx gx O conjunto dominio da inequagao obtido pela intersecgao entre os dominios de Df e Dg ou seja Df n Dig Para solucionar a inequagao fx gx um real x solugao se a sen tenga fx gx for verdadeira O mesmo vale para as demais senten cas O conjunto solugao da inequagao composto de todos os reais x que tornam a inequagao verdadeira Caso contrario o conjunto solugao sera vazio Quanto a equivaléncia das inequagées dizemos que duas inequagdes sao equivalentes no dominio D R se os conjuntos solugao forem iguais De acordo com Tan 2011 dadas trés fungdes em x fx com do minio Df gx com dominio Dg e hx com dominio Df n Dg sao validas as equivaléncias Se fx gx entao fx hx gx hx em Df n Dg Se fx gx e hx 0 entado fx hx gx hx em Df n Dg Se fx gx e hx 0 entao fx hx gx hx em Df n Dig Considere como exemplo a inequagao 3x 2 2x Aplicamos as equivaléncias dadas para encontrar o valor de x 3x2422x2 adicionamos 2 em ambos os membros 3x2x2 3x2x2x22x adicionamos 2x em ambos os membros xX2 Portanto o conjunto solugao é S x R x 2 e podemos repre sentar graficamente esse intervalo aberto a esquerda como estudado anteriormente Figura 10 Representagao grafica do conjunto solugao X m0 M 2 10 1 2 3 4 5 6 No prdéximo exemplo considere a inequacao 5 3 54x 2 5 3 2 4x multiplicamos ambos os lados por 2 2x6 8x 8x 8x 6 adicionamos 8x e 6 em ambos os membros 7x 6 multiplicamos o termo negativo 1 em ambos os membros 7x6e invertemos 0 sinal da desigualdade 7x4 6 multiplicamos o termo positivo 4 em ambos os membros 6 e xs X 7 Portanto 0 conjunto solucao é S x ERxX e podemos cons truir a representacao grafica Figura 11 Representagao grafica do conjunto solugao s x 3 9 owumoiixm g 05 0 05 67 1 15 2 25 3 Na pratica como nas equagoes aplicar as equivaléncias 6 0 mesmo 3 que multiplicar os dois membros pelo mesmo termo positivo mantendo S o sinal da desigualdade Mas se 0 termo for negativo invertese o sinal S da desigualdade z 0 Aa s a 3 Fungao do 2 grau ou quadratica Fungao do 2 grau ou quadratica é a fungao f R R dada por f x 3 ax bx cem queaz0abeR 3 Figura 12 Fungao representada por uma maquina 2 ie g O grafico da fungao uma parabola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y passando pelo vértice que é ponto V ZA Como visto fd anteriormente lembramos que A b 4ac 3 O sinal de a determina a concavidade da parabola 3 Quando a0aconcavidade da parabola é para cima Temos trés 8 situagdes possiveis exemplificadas na figura a seguir 3 120 Raciocinio quantitativo 121 Funções de 1º e 2º graus Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 13 Gráficos da função quadrática 0 0 0 2 1 0 1 2 3 4 2 1 1 2 3 4 5 X Y 1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 X Y 1 0 1 2 3 4 6 5 4 3 2 1 1 X Y Duas raízes distintas intersectam o eixo x em dois pontos Duas raízes iguais intersectam o eixo x em um ponto Não existe raiz real O gráfico não intersecta o eixo x Observe a figura anterior sabemos que para maior que zero obte mos duas raízes reais e o gráfico cruza o eixo x em dois pontos distintos Para igual a 0 obtemos duas raízes reais iguais e consequentemente o gráfico cruza o eixo x em um único ponto Finalmente quando é me nor que 0 não existe raiz real Nesse caso o gráfico não cruza o eixo x Quando a 0 a concavidade da parábola é para baixo e as três situ ações se repetem Figura 14 Gráficos da função quadrática 0 0 0 2 1 0 1 2 3 5 4 3 2 1 1 2 X Y 2 1 0 1 2 3 1 1 2 3 4 5 Y X 1 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 Y X Duas raízes distintas intersectam o eixo x em dois pontos Duas raízes iguais intersectam o eixo x em um ponto Não existe raiz real O gráfico não intersecta o eixo x Observe a figura anterior sabemos que para A maior que zero obtemos duas raizes reais e o grafico cruza o eixo x em dois pontos distintos Para A igual a 0 obtemos duas raizes reais iguais e conse quentemente o grafico cruza 0 eixo x em uM Unico ponto Finalmente quando A é menor que 0 nao existe raiz real Nesse caso 0 grafico nao CruZa O IXxO x Entao 0 conjunto dominio é Df R e o contradominio 6 CDf R Quanto ao conjunto imagem temos duas situagdes Sea0temos imi yeRiy A Sea0temos ImfyeRly 3 Observe que Le 6 a ordenada do vértice ou seja quando o grafico tem concavidade para cima o conjunto imagem é constituido de valo res maiores ou igual a Quando o grafico tem concavidade para bai xo 0 conjunto imagem é constituido de valores menores ou igual a x os b Sabemos que as raizes ou zeros da fungao sao dadas por x beVs com A b 4ac Os pontos de interseccdes Com OS elxOS Sao Como elxo x sendo A 0 bb4ac bb4ac p 0 eQ 0 2a 2a Com oeixo y R0 c Para finalizar apresentamos o estudo de sinal Sendo uma fungao do segundo grau analisamos 0 comportamento de fx em uma parabola Figura 15 Diagramas para estudo de sinal a 0 Concavidade para cima A0 A0 A0 5 4 4 z X s X X 5 a 0 Concavidade para baixo 5 A0 A0 A0 x x 5 7 7 g X g Usando as definigdes dadas e retomando a resolugao de equagdes 8 de 2 grau trabalhada em capitulos anteriores analisemos um exem plo Considere fx x 4x 3 a 1 0 concavidade para cima b 4 ec 3 5 Raizes ou zeros da fungao g Ab4ac A 44135A1612A40 duas z raizes reais 3 bA 444 442 z XQ OED XE x 482 6 y 22 ys Tex 42 ys Bo x3 Com 0 eixo x P3 0 e Q1 0 z Com o eixo y RO 3 5 Df R CDf R Fungoes de 1 e 2 graus 123 im fyeRly2 Bt imi fyeRly gaz im VveRly é T 3 srtice y 22 A yi 4 4 wa S Vertice V Ma ta OT 1 V2 1 5 Para construgao do grafico apresentado na figura a seguir inseri 4 mos os pontos P Q R e V e também o ponto T calculado a partir da z tabela de pontos 3 Tabela 3 Pontos da fungao 3 X fx x2 4x 3 1 fx x24 4x31241438 T18 8 Figura 16 Grafico da fungao s Y 9 8 T1 8 8 Eixo de simetria 6 3 5 3 R0 3 8 1 P30 Q10 x g 6 5 4 3 2 0 1 2 38 1 5 V2 1 8 9 2 124 Raciocinio quantitativo g Para concluir realizamos o estudo de sinal de f Construimos o dia grama destacando as raizes no eixo x tragando a parabola com conca vidade para cima passando pelas raizes 0 sinal de fx para todos os valores de x Para valores entre as raizes ou seja no intervalo 3 1 fx negativo Para valores maiores que 1 e menores que 3 fx é positivo Quando x é igual a 3 ou 1 sabemos que fx 0 Figura 17 Diagrama para estudo de sinal X 3 1 Apos a elaboragao do diagrama resumimos o estudo de sinal Quando x 3 ou x 1 raizes temos fx 0 Quando x 1 ou x 3 temos fx 0 Quando 3x1 temos fx 0 4 Inequagao do 2 grau Considerando a 0 as Inequacdes a seguir sao do 2 grau abxc0 e abxtc0 e abxc20 atbxcs0 O estudo de sinal de uma funcao do 2 grau permite resolver as ine quacdes quadraticas Exemplificando considere x x 1220 Para encontrar as raizes consideramos x x 12 0 a 10 concavidade para cima b 1 ec 12 A b 4ac A 12 4112 A148 A 49 0 duas raizes reais bA 1449 147 X Jq DTD x TL oy 3ex lays 4 Figura 18 Diagrama para estudo de sinal X 4 3 Para construir a solucao ou seja determinar os valores de x que tor nam a funcado menor ou igual a zero observamos a figura 18 Portanto o conjunto solucdo da inequagao S x R 4x 3 No prdximo exemplo a inequacao é x 9 0 Para encontrar as raizes consideramos x 9 0 que uma equa cao incompleta a 1 0 concavidade para baixo b 0 ec 9 X290 x9 x 9 x V9 x 43 raizes Figura 19 Diagrama para estudo de sinal X 3 3 Para construir a solucao ou seja determinar os valores de x que tor nam a fungao menor que zero observamos a figura 19 Concluimos que 0 conjunto solucao 6 S x R x 3 ous 3 No prdéximo exemplo a equacao 6 x 2x 3 0 Para encontrar as raizes consideramosx 2x 3 0 a10Oconcavidade para baixo b 2ec3 A b 4ac A 22 4 13 A 4 12 80nao existe raizes reais Figura 20 Diagrama para estudo de sinal X Procuramos valores de x que tornem a fungao menor ou igual a zero Analisando o diagrama concluimos que 0 conjunto solucao S R Se a inequacao anterior fosse x 2x 3 0 0 conjunto solucao seria vazio OU seja S G pois nao existe valor de x que torne a funcao maior que zero No prdéximo exemplo considere x x t 0 1 y2y XX 0 a 1 0 concavidade para baixo b 1 ec A b ac 3 A 12 4 1g 9 A110 hd duas raizes reais iguais ba 7i71 1 Seve x 5 X Faq 21 XD Figura 21 Diagrama para estudo de sinal X 7 Procuramos valores de x que tornem a fungao menor ou igual a zero Analisando o diagrama concluimos que o conjunto solugao 6 vazio ou sejaS Que tal praticar um pouco Maos a obra Na proxima situacao propomos uma aplicacaéo de funcao do 2 grau adaptada de Murolo e Bonneto 2015 p 59 Suponha que 0 consumo de energia elétrica para uma residéncia no decorrer dos meses é dado por Et t 8t 210 em que o consumo E 6 dado em Kwh Ao tempo associase t 0 a janeiro t 1 a fevereiro e assim sucessivamente Queremos determinar o més em que o consumo foi de 195 kwh Lembramos que quilowatthora kwh uma unidade de medida da energia elétrica Substituimos 0 consumo em Et Et t 8t 210 195 t 8t 210 t 8t 15 O Equacao do 2 grau a1b8ec15 Raizes ou zeros da funcao A b 4ac A 84115 A6460A40 duas raizes reais bA 8 44 82 te Ja Te GD 129 Funções de 1º e 2º graus Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo t 2 8 2 t 2 10 t 5 e t 2 82 t 2 6 t 3 Portanto nos meses de março e maio o consumo foi de 195 kwh Confira substituindo esses valores de t na função Et t2 8t 210 Queremos determinar também o mês em que ocorreu o consumo mínimo e qual foi o seu valor Para tanto observando a equação do 2º grau Et t2 8t 210 sabemos que a 1 0 ou seja sua concavidade é para cima Concluímos então que o mínimo dessa função ocorre na ordenada do vértice Temos a 1 b 8 e c 210 b2 4ac 82 4 1 210 64 840 776 V 2a b 4a 3 S X V 2 1 8 Q V 4 1 776 Q V S X V 2 8 4 776 S X V4 194 Respondendo à questão o consumo mínimo foi de 194 kwh e ocorreu no mês de abril Elabore o gráfico e confirme graficamente o ponto mínimo Considerações finais Vimos os principais conceitos das funções de 1º e 2º graus e al gumas aplicações desses conceitos Continuaremos nossos estudos apresentando outras funções usadas na resolução de problemas apli cados à área de negócios Referências IEZZI Gelson MURAKAMI Carlos Fundamentos de matemática elementar conjuntos e funções v 1 São Paulo Atual 1994 MUROLO Afrânio Carlos BONETTO Giácomo Matemática aplicada à adminis tração economia e contabilidade 2 ed São Paulo Cengage Learning 2015 TAN S T Matemática aplicada à administração e economia São Paulo Cengage Learning 2011 131 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 7 Exponencial e logaritmos O objetivo deste capítulo é apresentar uma revisão de potenciação e logaritmos bem como as funções exponenciais e logarítmicas e suas aplicações na modelagem de problemas 1 Potenciagao De acordo com Tan 2011 considerando a um numero real qualquer g a ER enum inteiro positivo n Z a expressao a é definida como um numero aaaaan fatores z Figura 1 Poténcia S Poténcia de a 2 a o a a a ane a 8 Yo n fatores z WER g Observemos alguns exemplos 1 34333381 3 el dil 2 72 2 2 8 S 8 2 224 Se n é um inteiro positivo entao a expresso a é definida como o numero que quando elevado a nésima poténcia é igual a a Assim 5 an a Tal numero se existe 6 chamado raiz nésima de a repre 8 sentado por a Se n par a raiz nésima de um numero negativo 3 nao esta definida Tan 2011 p6 Por exemplo raiz quadrada de 1 8 pois nao existe numero real a tal que a elevado ao quadrado é igual a 5 menos 1 1 Ainda de acordo com Tan 2011 p6 dado um numero real a mais g de um numero real pode ser sua raiz nésima de acordo com a defini ao dada Por exemplo tanto 3 quanto 3 elevados ao quadrado sao z iguais a 9 e assim cada um uma raiz quadrada de 9 Portanto para 132 Raciocinio quantitativo g 133 Exponencial e logaritmos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo evitar ambiguidades definimos como a raiz nésima positiva de a sem pre que existir Considerando p e q inteiros positivos com q 0 se q p é um número racional na forma simplificada então a expressão a q p é definida como o número a q Q 1 V q ou equivalentemente a p q sempre que existir Para ex pressões envolvendo expoentes racionais negativos podese utilizar a seguinte definição a q p a q p1 Tan 2011 p6Vejamos alguns exemplos dados pelo autor 1 2 2 3 2 2 Q 1 V 3 14142 Q V 3 28283 2 4 2 5 4 2 51 4 2 1 Q V 1 5 2 51 32 1 11 Regras Na sequência de acordo com Tan 2011 apresentamos as regras que definem an com a 0 para todos os valores racionais de n Expoente inteiro Se n é um número inteiro então an a a a a n fatores Por exemplo 24 2 2 2 2 16 Se n é igual a 0 então a elevado a zero é igual a 1 Ressaltamos que 00 não está definido Por exemplo 20 1 Se n é um inteiro positivo então a n a n1 a 0 Por exemplo 2 4 2 41 16 1 As três definições anteriores também são válidas para valores negativos de a Por exemplo 24 2 2 2 2 16 Expoente fracionário Se n é um inteiro positivo então a n 1 ou a n denotam a raiz né sima de a Por exemplo 9 2 1 9 que é igual a 3 Essa definição também é válida para valores negativos de a apenas quando 134 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo n é ímpar Por exemplo para n par 8 Q V 3 1 3 8 2 e para n impar 8 Q V 2 1 não possui valor real Se m e n são inteiros positivos então a n m a m n nR a W m Por exemplo 8 3 2 3R 8 W 2 4 Se m e n são inteiros positivos então a n m a n m1 a 0 Por exemplo 9 2 3 9 2 31 27 1 12 Propriedades São válidas as propriedades P1 a P5 para as potências sendo a e b reais a b ℝ m e n inteiros positivos m n ℤ e considerando denominadores diferentes de zero P1 am an am n P2 an am amn P3 amn am n P4 a bm am bm P5 b S a X m b n a m Apliquemos as propriedades dadas nos seguintes exemplos 1 23 24 234 27 P1 2 24 23 234 2 1 2 1 P2 3 y23 y6 P3 4 223 23 23 8 8 64 ou 43 64 P4 5 3 Q V 2 22 3 1 S X 2 4 32 12 9 1 4 9 4 P5 São válidas para as raízes nésima as seguintes propriedades com a b ℝ e m n ℤ e maiores que 1 e considerando denominadores di ferentes de zero 135 Exponencial e logaritmos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo P1 a b n n a b n P2 b n a b n a n P3 a m n a mn P4 nR a W n a P5 a m n nR a W m P6 a n n a para n par a para n ímpar G Apliquemos as propriedades dadas nos seguintes exemplos 1 18 3 2 2 9 2 3 2 P1 2 12 2 192 2 23 2 2 63 2 2 3 2 8 3 2 4 P2 3 2 4 5 45 2 20 2 P3 4 R 16 W 2 16 P4 5 9 3 R 9 W 3 3 3 27 P5 6 3 4 4 3 3 e Q 3 V 4 4 3 3 P6 7 3 5 5 3 e Q 3 V 5 5 3 P6 2 Equação exponencial Equações exponenciais são equações que apresentam incógnita no expoente por exemplo 2x 16 Para resolver as equações exponenciais há dois métodos que precisamos compreender de acordo com IEZZI e MURAKAMI 1993 O primeiro é apresentado na sequência Esse método de resolução de equação exponencial reduz a equação a uma mesma base Ele pode ser usado quando ambos os membros da equação possuem expressões que podem ser reduzidas a uma mesma base a com 0 menor que a e diferente de 1 A redução a uma mesma 136 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo base é feita usando as propriedades de potência Quando as expres sões têm mesma base igualase os expoentes ab ac b c 0 a 1 Observe que o primeiro e o segundo membros apresentam a mesma base a Nesse caso igualamse os expoentes de cada membro b c Vejamos quatro exemplos No primeiro exemplo considere 2x 16 Primeiramente deixamos as potências com a mesma base e depois igualamos os expoentes 2x 16 2x 24 x 4 Portanto S 4 É possível realizar a verificação substituindo o valor de x na equa ção dada 2x 24 16 Verdadeiro No segundo exemplo considere 16 x 64 1 16 x 64 1 24x 641 24x 261 24x 26 4x 6 x 4 6 x 2 3 Portanto S 2 3 G J No terceiro exemplo considere a equação 25 5 R 5 W x 5 25 R 5 W x 5 2 5 5 2 1 R W x 5 5 2 5 2 x 5 2 2 x 5x 4 x 5 4 Portanto S 5 G 4 J Finalmente no quarto exemplo temos 3 2x1 9 1 32x 1 321 32x 1 32 2x 1 2 2x 2 1 2x 3 x 2 3 8 Portanto S Faga as verificagdes dos exemplos dados O segundo método de resolugado sera mostrado apés a revisao de logaritmos 3 Fungao exponencial 3 A fungao exponencial é definida por f de reais em reais positivos nao 2 nulos f R Rs f x a sendo a um numero real maior que 0 e dife g rente de 1 ae R0a1 3 Figura 2 Fungao exponencial X fx g O grafico é uma curva situada acima do eixo x se a 0 entao fx 8 é crescente e se 0 a 1 temos fx decrescente como evidenciado 5 a seguir Figura 3 Graficos de fungdes exponenciais 3 f x crescente f x decrescente 6 y 6 y Z 5 5 3 3 2 2 7 X x 65 4 3 210 123 4 5 3210 1 2 3 45 g De acordo com a definigao os conjuntos dominio e contradominio 5 Sao respectivamente Df R e CDf R conjuntos dos reais positivos 5 Exponencial e logaritmos 137 138 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo não nulos Nesse caso não precisamos definir restrições condição de existência e o conjunto imagem é Imf ℝ Observe que não há zero da função pois não existe um x cuja ima gem é nula fx 0 o zero não faz parte do conjunto imagem E tam bém não há ponto de Intersecção com eixo x O ponto de intersecção com eixo y é dado por fx ax fx a0 fx 1 Portanto independentemente do valor de a a intersecção se dá em Q0 1 Veremos dois exemplos No primeiro f x Q V 3 1 S X x Os conjuntos domínio e contradomínio são Df ℝ CDf ℝ O conjunto imagem é Imf ℝ a 3 1 0 a 1 fx é decrescente O ponto Q0 1 é o ponto de intersecção com o eixo y Usando a tabela obtemos os pontos T 1 3 1 S Xe U1 3 que usamos para construir o gráfico da função Confirme Figura 4 Gráfico da função exponencial 5 4 3 2 1 0 1 2 y 6 5 4 3 2 1 x U13 Q01 T113 139 Exponencial e logaritmos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo No segundo exemplo considere fx ex O número e é irracional e igual a aproximadamente 271828 Os conjuntos domínio e contradomínio são Df ℝ CDf ℝ O conjunto imagem é Imf ℝ Como a e 0 a função é crescente O ponto Q0 1 é o ponto de intersecção com o eixo y Para construir o gráfico inserimos no plano o ponto Q0 1 e os pon tos U 1 e 1 S X e T1 e obtidos na tabela de pontos Confira Figura 5 Gráfico da função exponencial No último exemplo considere f x Q V 4 3 1 S X x Os conjuntos domínio e contradomínio são Df ℝ CDf ℝ O conjunto imagem é Imf ℝ a 3 1 0 a 1 fx é decrescente fx bax b 4 b ℝ f x Q V 4 3 S 1 X x f 0 Q V 4 3 S 1 X 0 f0 4 Q0 4 é o ponto de intersecção com o eixo y Observe que nesse caso a ordenada do ponto de interseção do gráfico com o eixo y foi deslocado para y 4 U113 3 2 1 0 1 2 3 x y Q01 T1e 4 3 2 1 Figura 6 Grafico da fungao exponencial s y 8 z 1 6 4 5 3 2 2 1 Q 1 0 1 2 3 4 5 6 5 i IMPORTANTE Fungao exponencial R R fx a0az1leaecR O grafico é uma curva situada acima do eixo x s a0O fx crescente 5 0a1 fx decrescente 3 f 3 Que tal praticarmos um pouco Apresentaremos uma aplicagao en S volvendo fungdes exponenciais adaptado de Murolo e Bonetto 2015 p 107 Maos a obra 3 140 Raciocinio quantitativo 8 141 Exponencial e logaritmos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Supondo que em uma fábrica o número P de aparelhos montados por um grupo de funcionários depende do número q de horas trabalha das Foi modelada a função dessa produção como P 3 2 q 1 para q va riando entre 0 e 8 horas Queremos saber qual a produção de aparelhos após 2 4 e 8 horas do início da produção Calculamos as produções P 3 2 q 1 P 3 2 2 1 P 2 aparelhos P 3 2 q 1 P 3 2 41 P 8 aparelhos P 3 2 q 1 P 3 2 81 P 80 aparelhos Para construir o gráfico podemos indagar sobre a intersecção com os eixos Para 0 horas trabalhadas P 30 1 P 0 No instante inicial não há produção Nesse caso os conjuntos domínio e imagem são respectivamente Df 0 8 Imf 0 80 O gráfico da situação está compreendido no 1º quadrante e o eixo x variando de 0 a 8 horas Inserimos os pontos encontrados no gráfico A2 2 B4 8 C8 80 e D0 0 Figura 7 Grafico Produgao por horas trabalhadas s P unidades 3 80 C880 70 60 z 50 40 E 30 3 20 B48 2 10 g D00 A22 qhoras z 10 2 4 6 8 10 5 4 Logaritmo 3 Definiremos logaritmo de b na base a log b z log b x a b em que ae b sao reais a b R com a maior que 5 zero e diferente de 1 0 a 1 eb positivo b 0 O numero x Unico Figura 8 Logaritmo 3 log bx Z oy logaritmando 3 142 Raciocinio quantitativo 143 Exponencial e logaritmos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Apliquemos a definição nos exemplos a seguir Considere log2 8 x Aplicamos a definição log2 8 x 2x 8 Obtemos uma equação exponencial Para encontrar a solução resol vemos essa equação 2x 8 2x 23 x 3 Note que ao deixar os dois membros com a mesma base 2 pode mos igualar o expoente o que corresponde ao primeiro método de reso lução de Equação Exponencial visto anteriormente Portanto log2 8 3 No exemplo seguinte considere log3 27 1 x Aplicamos a definição log3 27 1 x 3 x 27 1 Resolvemos e equação exponencial 3 x 27 1 3 x 3 31 3x 33 x 3 Portanto log3 27 1 3 No terceiro exemplo temos log5 5 125 x Aplicamos a definição log5 5 125 x 5 x 5 125 Resolvemos e equação exponencial 5 x 5 125 5 x 125 5 1 5 x 5 Q 3 V 5 1 5 x 5 5 3 x 5 3 Portanto log5 5 125 5 3 Veremos na sequência quatro consequências da definição conside rando a b ℝ 0 a 1 e b 0 loga 1 0 01 144 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo loga a 1 02 aloga b b 03 loga b loga c b c 04 Observe a aplicação das consequências nos exemplos a seguir 1 log8 1 0 consequência 01 observe que log8 1 0 80 1 2 log6 6 1 consequência 02 observe que log6 6 1 61 6 3 2log2 4 4 consequência 03 41 Sistema de logaritmos Sistema de logaritmo é o conjunto de todos os logaritmos dos reais positivos em uma base a 0 a 1 Há dois sistemas principais Sistema de logaritmos decimais sistema de base 10 log10 b ou log b Sistema de logaritmos neperianos sistema de base e 271828 loge b ou ln b As propriedades dos logaritmos estão listadas a seguir consideran do a b c α ℝ 0 a 1 e b 0 e c 0 P1 Logaritmo do produto loga b c loga b loga c P2 Logaritmo do quociente loga c b Q V logablogac P3 Logaritmo da potência loga bα αloga b P4 Mudança de base logab logca logcb Vejamos algumas aplicações dessas propriedades Considere log3 27 9 145 Exponencial e logaritmos Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Aplicamos a P1 log3 27 log3 9 3 2 5 Ou podemos realizar o produto e aplicar a definição log3 27 9 log3 243 log3 243 x 3x 243 3x 243 3x 35 x 5 No segundo exemplo considere log3 9 T 243 Y Aplicamos a P2 log3 243 log3 9 5 2 3 Ou podemos calcular o quociente e aplicar a definição log3 9 T 243 Y log3 27 log3 27 x 3x 27 3x 27 3x 33 x 3 Vamos converter log9 81 para a base 3 aplicando a P4 log981 log39 log381 2 4 2 log981 log39 log381 2 4 2 Convertendo log10 100 para a base e temos que log10100 ln10 ln100 Quando o logaritmo não é inteiro deixamos indicado como no exemplo anterior ou usamos uma tábua de logaritmos ou ainda uma calculadora 5 Equação logarítmica As equações logarítmicas são equações que envolvem logaritmos e são de três tipos Considerando a b c α ℝ 0 a 1 e b 0 e c 0 1º Tipo igualdade entre dois logaritmos de mesma base ou redu tíveis a uma mesma base loga fx loga gx fx gx 0 146 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Verificase se os valores pertencem a condição de existência do lo garitmo Por exemplo log3 2x 3 log3 11 2x 3 11 2x 11 3 x 2 8 x 4 A solução atende a definição de logaritmo 11 0 Portanto S 4 2º Tipo igualdade entre um logaritmo e um número real loga fx α fx aα Por exemplo log2 x 4 3 log2 x 4 3 23 x 4 23 x 4 x 4 8 x 8 4 x 4 x 4 S 4 3º Tipo necessitam de uma incógnita auxiliar Considere por exemplo log2 x2 log2 x 6 0 Para y log2 x temos y2 y 6 0 a 1 0 b 1 e c 6 b2 4ac 12 4 1 6 1 24 25 0 duas raízes reais y 2a b 3 y 2 1 1 25 y 2 15 y 2 15 y 2 e y 2 15 y 3 Considerando y 2 temos que 2 log2 x 22 x x 4 Considerando y 3 temos que 3 log2 x 23 x x 8 1 Como informado no item Equação exponencial apresentamos na sequência o segundo método de resolução que usa a definição de loga ritmo ax b loga b x Considere por exemplo 3 5 ab log bx 35 log 5x Portanto S log 5 5 Considere 3X4 9 Z E Br49 9 9 B 9 4 720 B 9 9 X 6 e Portanto S 6 8 6 Fungao logaritmica Fungao logaritmica é a fungao f R R fungao de reais positivos nao nulos em reais f x log x0 a1ea R a é real maior que 3 zero e diferente de 1 Figura 9 Fungao logaritmica X fx Of XxX aS Observando a definigao os conjuntos dominio e contradominio sao z Df R CDf R O conjunto imagem é Imf R 2 Nao ha zero da fungao pois nao existe um x cuja imagem é nula fx 0 Nao ha ponto de Intersecgao com eixo y Calculamos 0 ponto de Intersecgao com exo x fx log x 0 log x a X x 1 a Portanto P1 0 independente do valor de a Exponencial e logaritmos 147 148 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo O gráfico é uma curva situada à direita do eixo y ou seja os 1º e 4º quadrantes Se a 1 então fx é crescente e se 0 a 1 temos fx decrescente Figura 10 Gráficos de funções logarítmicas 𝑓𝑓𝑥𝑥crescente 𝑓𝑓𝑥𝑥decrescente 1 1 2 3 4 5 6 0 1 2 2 3 3 4 4 5 y x 5 6 7 8 1 1 2 3 4 5 6 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 8 y x Vamos analisar dois exemplos No primeiro consideramos f x Q V log 4 1 x O valor da base é a 4 1 0 a 1 Logo a função é decrescente Os conjuntos domínio e imagem são Df ℝ e Imf ℝ O ponto de intersecção com eixo x é P1 0 Para construir o gráfico atribuímos valores positivos para x e calcu lamos os pontos Note que procuramos atribuir para x valores tornam fx inteiro Atribuindo por exemplo 4 para x obtemos a equação logarítmica log 4 1 4 Para resolvêla aplicamos a definição de logaritmo e aplicamos as propriedades log 4 1 4 b 4 S 1 X b 4 4b 4 b 1 b 1 8 Atribuindo por exemplo x para x obtemos a equagao logaritmica logy 3 Para resolvéla aplicamos a definigao de logaritmo e aplica g mos as propriedades 2 1 TY LI 92 98 9h 3 logiyb 4 g 222923b5 Dessa forma completamos a tabela de pontos Conhecendo os pon 2 tos P1 0 T41e uss construimos o grafico da fungao e Figura 11 Tabela e grafico da fungao i x fx logx 4 f4 log41 Cee 1 3 1 3 m a 1 wv qe fs5 9 2 ate 13 is hU ez 2 05 z P10 5 0 05 1 15 2 25 3 T4 1 g 1 e No ultimo exemplo consideramos fx In x g Ressaltamos que se trata do sistema de logaritmos neperianos que f tem base e Exponencial e logaritmos 149 150 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Como a e 1 a função é crescente Os conjuntos são Df ℝ e Imf ℝ O ponto de intersecção com eixo x é o ponto P1 0 Usamos a tabela de pontos para determinar os pontos T U e V usa dos na construção do gráfico Uma vez que a base é e procuramos atribuir para x valores que tor nam fx um inteiro Observe a tabela de pontos Atribuindo por exemplo e para x obte mos a equação logarítmica ln e Para resolvêla aplicamos a definição de logaritmo e aplicamos as propriedades ln e b eb e b 1 Atribuindo por exemplo e2 para x obtemos a equação logarítmica ln e2 Resolvendo a equação ln e2 b eb e2 b 2 Fazemos o mesmo para x e 1 ln e 1 b eb e 1 eb e1 b 1 Figura 12 Tabela e grafico da fungao 3 T e 1 2 feIne1 3 aw e fle2In 2 U Ce 2 8 2 il tog 2 oe y 2 4 f 3 g Ule 2 s 2 g 7101 1 3 P10 x 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8B 9g 1 1 3 v a 1 2 2 3 5 4 2 3 i IMPORTANTE Fungao logaritmica R R fx log x0aleaeR 2 O grafico 6 uma curva situada a direita do eixo y 2 al fx crescente Oa1 fx decrescente e Exponencial e logaritmos 151 152 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Considerações finais Vimos o comportamento das funções exponenciais usadas para modelar situações com rápido crescimento e as logarítmicas Completamos nesse texto nossos estudos sobre funções reais Referências IEZZI Gelson DOLCE Osvaldo MURAKAMI Carlos Fundamentos da matemá tica elementar logaritmos v 2 São Paulo Atual 1993 MUROLO Afrânio C BONETTO Giácomo Matemática aplicada a administra ção economia e contabilidade São Paulo Cengage Learning 2015 TAN S T Matemática aplicada à administração e economia São Paulo Cengage Learning 2011 153 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Capítulo 8 Representações gráficas Neste capítulo vamos explorar a análise e interpretação gráfica re presentação amplamente usada na apresentação análise e divulgação de dados 154 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 1 Tipos de gráficos Há muitos tipos de gráficos com finalidades diferentes Veremos na sequência aqueles que são frequentemente empregados na área de negócios 11 Gráfico de setores O gráfico de setores é um gráfico circular também conhecido como gráfico de pizza É mais indicado para comparar a parte com o todo apresentando uma composição Apresentamos um exemplo com os dados extraídos do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística IBGE O quadro a seguir apresenta a classificação da população brasileira quanto sua posição no mercado de trabalho de acordo com o IBGE Os dados são do 3º trimestre de 2020 e estão em milhões de pessoas Quadro 1 População brasileira por divisões do mercado de trabalho 3º trim 2020 CLASSIFICAÇÃO POPULAÇÃO MILHÕES Ocupados 82464 Desocupados 14092 Fora da força de trabalho 78565 Abaixo da idade de trabalhar 36141 Total 211262 Adaptado de Desemprego IBGE sd A região total do círculo equivale a 360º que é a medida de seu ân gulo central Precisamos identificar para cada parte sua participação 155 Representações gráficas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo no todo Usando a regra de três simples transformamos os valores po pulação em milhões Para exemplificar considere o total de ocupados 82464 está para 211262 assim como 100 está para x Obtemos des sa forma que x 390340 Em seguida para dividir o círculo nos setores representativos de cada item realizamos também uma regra de três simples Considerando ainda o total de ocupados temos que 360º está para x assim como 100 está para 390340 Obtemos dessa forma x 14052 graus Os valores calculados indicam que em um universo de 211262 mi lhões de pessoas 100 ou 360º 82464 milhões de pessoas estão ocupadas e representam 390340 do total Considerando que o círculo abaixo representa o universo de pessoas o setor circular que representa o total de ocupados apresenta uma amplitude de 14052 graus Figura 1 Setor circular a14052 Para cada item da classificação da população realizamos o mes mo procedimento obtendo os dados consolidados no quadro apre sentado na sequência Confira Com esses dados construímos o grá fico de setores Figura 2 Populagao em percentagem e em graus e o grafico de setores s Divisao da Populagao Brasileira em milhdes e 3 trim 2020 5 OMe 17 g EY ALy 2 39 3 ER 5 37 2 ie Miey s 7 HM Ocupados M Fora da forga de trabalho g M Desocupados Abaixo da idade escolar s es ay Ure BY t 3 ES g Ocupados 82464 390340 14052 8 Desocupados 14092 66704 2401 s Fora da forga de trabalhar 78565 371884 13388 Abaixo da idade escolar 36141 171072 6159 Fs Total 211262 100000 36000 3 Adaptado de Desemprego IBGE sd 3 Os softwares atuais realizam automaticamente esses calculos para 8 a construgao do grafico mas é importante conhecélos pois contribul para a interpretacao grafica do fendmeno em estudo z Observe que a analise do tamanho da regiao de cada setor nos infor 3 ma a participagao de cada parte no todo o que confere a esse tipo de g grafico a caracteristica de composicao 2 O grafico de setores tem a desvantagem de que setores muito pe z quenos poluem o grafico e nesse caso melhor optar por um grafico de g 156 Raciocinio quantitativo 157 Representações gráficas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo barras que será apresentado na sequência Ressaltamos também que para informações que devem ser observadas ao longo do tempo esse tipo de gráfico não é conveniente 12 Gráfico de barras Os gráficos de barras podem ser verticais gráfico de colunas em que y é frequência valor ou porcentagem e x é a variável em estudo ou horizontais gráfico de barras em que y é variável em estudo e x a frequência valor ou porcentagem As barras têm a mesma largura entre si e comprimento proporcional à sua frequência Podem ainda estar juntas contíguas ou separadas e neste caso o espaçamento entre elas é constante Este tipo de gráfico permite comparar conjuntos de dados pela altura da barra se vertical ou pelo comprimento se horizontal Usando o exemplo dado em precedência construímos as duas possibilidades Figura 3 Gráfico de colunas 0 20000 30000 50000 70000 10000 40000 60000 80000 90000 Divisão da População Brasileira em milhões 3º trim 2020 36141 82464 14092 78565 Milhões de indivíduos Ocupados Desocupados Fora da força de trabalho Abaixo da idade de trabalhar Divisões do mercado de trabalho Adaptado de Desemprego IBGE sd 158 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Note a importância de detalhar as variáveis nomes nos eixos para interpretação dos dados apresentados Figura 4 Gráfico de barras 0 20000 10000 30000 50000 70000 40000 60000 80000 90000 Milhões de indivíduos Divisões do mercado de trabalho Ocupados Desocupados Fora da força de trabalho Abaixo da idade de trabalhar Divisão da População Brasileira em milhões 3º trim 2020 36141 82464 14092 78565 Adaptado de Desemprego IBGE sd Analisando os três gráficos anteriores que apresentam os mesmos dados o gráfico de barras é a melhor escolha Note que valores pró ximos ocupados e fora da força de trabalho são visualmente mais evidentes nesta opção do que no gráfico de setores Por outro lado a distribuição das opções de mercado de trabalho no gráfico de barras tomaram um espaço considerável Ressaltamos que o gráfico de barras pode também ser construído com os valores percentuais relativos a cada classificação como exem plificado na sequência 159 Representações gráficas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 5 Gráfico de colunas com percentual Divisão da População Brasileira em milhões 3º trim 2020 Ocupados Desocupados Fora da força de trabalho Abaixo da idade de trabalhar 39 7 37 17 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 39 7 37 17 Adaptado de Desemprego IBGE sd 13 Gráfico de linhas O gráfico de linhas é indicado quando se deseja apresentar dados ao longo de um período Os pontos dados são unidos por segmentos gráfico de linhas indicando uma tendência Em geral no eixo y consta a variável dependente e no eixo x a variável independente Observe o exemplo abaixo cujos dados foram extraídos do IBGE 2020 O Índice Nacional de Preços ao Consumidor INPC verifica a varia ção de preços para famílias com entre 1 e 5 saláriosmínimos de ren da O quadro a seguir apresenta as cotações mensais desse índice O gráfico de linhas permite visualizar as variações ao longo do tempo no caso do índice INPC 160 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 6 INPC em percentual de janeiro a novembro de 2020 e gráfico de linhas ÍNDICE INPC Índice Inpc INPC jan20 fev20 mar20 abr20 mai20 jun20 jul20 ago20 set20 out20 nov20 Mês 04 02 00 02 04 06 08 10 12 019 017 018 023 025 03 044 036 087 095 089 019 jan20 fev20 mar20 abr20 mai20 jun20 jul20 ago20 set20 out20 nov20 mês INPC 017 018 023 025 03 044 036 087 089 095 Adaptado do valor do INPC do Painel de Indicadores IBGE IBGE sd Esse gráfico relaciona o mês à cotação do índice e permite identificar uma tendência de alta que pode ou não se realizar pois depende de ou tros fatores Observe que nesse caso a legenda poderia ser suprimida pois o título e o título do eixo y contêm a mesma informação O ideal é poluir o menos possível a visualização dos dados Em um mesmo gráfico quando inseridos os dados de duas variáveis independentes em um mesmo período permite a análise comparativa entre essas variáveis podendo indicar relacionamento entre elas Para ilustrar essa possibilidade em conjunto com o INPC apresentado no exemplo anterior incluímos o índice IPCA151 no mesmo período com dados do IBGE 2021 e construímos o gráfico apresentado na sequência 1 O IPCA Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo aponta a variação do custo de vida médio de famílias com renda mensal de 1 e 40 saláriosmínimos O IPCA15 difere do IPCA na abrangência geográfica e no período de coleta que começa no dia 16 do mês anterior 161 Representações gráficas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 7 INPC e IPCA15 em percentual de janeiro a novembro de 2020 e gráfico de linhas 06 04 02 00 02 04 06 08 10 jan20 fev20 mar20 abr20 mai20 jun20 jul20 ago20 set20 out20 nov20 INPC IPCA15 Cotações IPCA15 e INPC Cotações 019 jan20 fev20 mar20 abr20 mai20 jun20 jul20 ago20 set20 out20 nov20 mês INPC IPCA15 017 018 023 025 03 044 036 087 089 095 071 022 002 001 059 002 03 023 045 094 081 Adaptado do valor do INPC e IPCA do Painel de Indicadores IBGE IBGE sd O gráfico relaciona o mês às respectivas cotações dos índices e per mite visualizar uma tendência de alta em ambos Identificase também um acompanhamento das variações na maioria dos meses quando um aumenta o outro também aumenta 14 Gráfico pictórico O gráfico pictórico é comum em publicações orientações divulga ções ou instruções Apresenta figuras relacionadas ao tema compon do o gráfico Objetiva ressaltar o tema sendo indicado para comunicar com rapidez usando pouco espaço 162 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo No exemplo a seguir apresentamos o gráfico pictórico da produção anual brasileira com dados do IBGE 2021 Figura 8 Gráfico pictórico Produção anual Brasileira milhões de Reais 5535749 5579450 5697578 5805673 8299850 8123040 8579027 7929838 9440027 6 946 046 9510546 7514598 2014 2015 2016 2017 2018 2019 Adaptado dos valores de Indicadores agropecuários do Painel de Indicadores IBGE IBGE sd Note que embora sem legendas entendemos que se trata da produ ção anual brasileira de bananas e laranjas em milhões de reais relati vas ao período de 2014 a 2019 15 Infográfico Um infográfico reúne elementos visuais imagens gráficos fotos diagramas vídeos em conjunto com texto escrito para caracterizar uma informação Amplamente utilizado em meio jornalístico passou a ser usado no meio acadêmico e em apresentações empresariais Procura sintetizar as informações de forma criativa e consolidada Tem como função contar uma história conforme figura a seguir 163 Representações gráficas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 9 Infográfico ANALISE OS DADOS TABELADOS E ESCOLHA A REPRESENTAÇÃO GRÁFICA MAIS ADEQUADA E 30 A 24 D 20 B 16 C 10 2016 2017 2018 2019 2020 50 40 30 20 10 0 A B C D E 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 A B C D GRÁFICOS Como Escolher Gráficos são instrumentos de análise e interpretação da dados Há vários tipos e são amplamente utilizados para comunicar dados de uma forma consolidada permitindo visualizar padrões comportamentos concentrações e dispersões de forma simples e visual REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Gráfico de Setores Indicado para comparar a parte com o todo apresentando uma composição Um setor circular representa parte desse todo e seu ângulo corresponde a uma porcentagem dos dados Gráfico de Barras Podem ser verticais gráfico de colunas ou horizontais gráfico de barras Permite comparar conjuntos de dados a partir da altura das barras que indica a frequência valor ou porcentagem do conjunto de dados Gráfico de Linhas Permite identificar tendências e comparar mais de uma variável em um mesmo período Mostra relação Gráficos Pictóricos Comuns em publicações orientações divulgações ou instruções Figuras relacionadas ao tema fazem parte do gráfico objetivando comunicar com rapidez usando pouco espaço Elaborado pela autora 164 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo 2 Pontos de atenção Na construção ou interpretação de gráficos atenção especial deve ser dada às escalas É conveniente que os espaçamentos entre os da dos sejam constantes para não distorcer os dados evitando conclu sões incorretas Exemplificando suponha que você tenha 72 pendências que foram re solvidas entre janeiro e novembro Você faz um levantamento mensal das pendências resolvidas mas só preparou um gráfico de linhas para apre sentação quando solicitado ou seja nos meses de março e setembro Figura 10 Gráfico de linha de janeiro a novembro apenas dos meses solicitados 0 5 10 15 20 25 30 janeiro março setembro novembro 25 28 19 0 O gráfico indica uma performance acentuada entre setembro e no vembro para zerar as pendências Note que o eixo x apresentou espa çamentos diferentes 2 6 e 2 meses Se o acompanhamento fosse mostrado mês a mês essa performan ce acentuada seria visualmente identificada somente após o mês de se tembro No gráfico ficaria evidente que entre março e setembro ocorreu um resultado pouco expressivo 165 Representações gráficas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 11 Gráfico de linha de janeiro a novembro com todos os meses 0 5 10 15 20 25 30 janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro 25 27 27 28 25 24 22 21 19 10 0 Vejamos a situação apresentada nos próximos gráficos Supondo que estejamos analisando as variáveis A e B no mesmo intervalo de tempo eixo x Para x 1 a análise visual indica que a variável A possui o valor da ordenada mais alto e portanto o valor seria maior do que para a variável B o que não está correto 166 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 12 Gráficos de linhas 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 43 41 37 35 33 31 29 27 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Variável A Variável B Outro ponto de atenção é em relação ao cruzamento dos eixos Verifique que no segundo gráfico o eixo y começa em 25 Uma análise atenta dos valores permite verifica que é para a variável B que a ordena da é maior Quando colocados na mesma escala percebermos corretamente a relação entre as variáveis 167 Representações gráficas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 13 Gráficos de linhas 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Variáveis A e B 3 Aplicações Que tal praticarmos um pouco Propomos algumas interpretações gráficas Mãos à obra A lei de acesso à informação LAI de 2011 permite que pessoas fí sicas e jurídicas solicitem informações produzidas ou custodiadas pelo poder público exceto àquelas com sigilo legal A organização nãogo vernamental fundada em 2000 a Transparência Brasil realizou solici tações aos órgãos públicos no 1º semestre de 2017 e nem sempre obtiveram respostas 168 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Figura 14 Gráfico de colunas 0 10 20 30 40 50 60 Resposta aos pedidos por esfera de poder 1º sem 2017 Número de Pedidos Executivo Judiciário responderam não responderam Legislativo Ministério Público Tribunal de Contas 33 19 24 14 18 36 15 13 23 11 Adaptado de Sakai e Galf 2017 Este gráfico é uma variação do gráfico de barras apresentando duas informações de cada abscissa No caso para cada esfera públi ca apresenta o número de pedidos respondidos e o número de pedi dos não respondidos Há questões que são respondidas na análise visual de gráfico como qual o órgão mais demandado mas são várias as informações que po demos extrair dele Por exemplo qual a esfera mais eficiente Nesse caso precisamos conhecer o total de pedidos feitos em cada esfera e qual o percentual respondido que foram consolidados no qua dro abaixo Lembrese os percentuais foram calculados por regra de três Confira 169 Representações gráficas Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Quadro 2 Consolidação dos dados extraídos do gráfico 14 RESPONDERAM NÃO RESPONDERAM TOTAL RESPONDIDO NÃO RESPONDIDO Executivo 33 19 52 635 365 Judiciário 24 14 38 632 368 Legislativo 18 36 54 333 667 Ministério Público 15 13 28 536 464 Tribunal de Contas 23 11 34 676 324 Total 113 93 206 Adaptado de Sakai e Galf 2017 A resposta é o Tribunal de Contas que atendeu 676 do total de mandado Um gráfico com os percentuais pode ser mais eficiente Figura 15 Gráfico de colunas 0 20 40 60 80 100 Percentual de pedidos por esfera de poder 1º sem 2017 Executivo Judiciário responderam não responderam Legislativo Ministério Público Tribunal de Contas 365 635 368 632 667 333 464 536 324 676 Adaptado de Sakai e Galf 2017 170 Raciocínio quantitativo Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Supondo que queiramos saber qual a esfera menos eficiente A partir do gráfico de percentuais observamos que o Legislativo foi o pior com 667 de pedidos não respondidos Considerações finais Vimos os principais tipos de gráficos e os cuidados que precisamos ter na análise e interpretação de dados Os recursos gráficos são muito difundidos não só no meio de comunicação mas também em reuniões de negócios em que as informações são transmitidas entre pessoas que muitas vezes não conhecem o tema em profundidade Referências INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA IBGE Desemprego sd Disponível em httpswwwibgegovbrexplicadesempregophp Acesso em 16 jan 2021 INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA IBGE Painel de Indicadores IBGE sd Disponível em httpswwwibgegovbrindicadores Acesso em 16 jan 2021 SAKAI Juliana GALF Renata Quase metade dos principais órgãos públicos brasileiros descumprem a Lei de Acesso à Informação Transparência Brasil Achados e Perdidos set 2017 Disponível em httpswwwtransparenciaorg brdownloadspublicacoesRelatC3B3rioLAI16022018pdf Acesso em 15 jan 2021 173 Material para uso exclusivo de aluno matriculado em curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD da disciplina correspondente Proibida a reprodução e o compartilhamento digital sob as penas da Lei Editora Senac São Paulo Sobre a autora Marília Valério Rocha é graduada em Matemática com mestrado e doutorado em Educação Matemática Com 20 anos de experiência em Leasing e Mercado de Capitais em uma instituição financeira atua há mais de 10 anos como professora de ensino superior nos cursos de Administração e Engenharias