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Engenharia de Produção ·
Física 4
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Compreender aspectos importantes dos fenômenos ondulatórios da luz Linhas de emissão do cádmio na faixa da luz visível observadas através de um espectroscópio de rede de difração 1 Difração e a Teoria Ondulatória da Luz 2 Difração por uma Fenda Posição dos Mínimos 3 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por Uma Fenda 4 Difração por Uma Abertura Circular 5 Difração por Duas Fendas 6 Redes de Difração 7 Difração por Planos Paralelos O que acontece quando uma luz coerente incide sobre um objeto com um canto ou uma abertura Como entender a figura de difração formada quando uma luz coerente passa por uma fenda estreita Como calcular a intensidade em vários pontos em uma figura de difração produzida em uma fenda única O que acontece quando uma luz coerente incide sobre um conjunto de fendas estreitas com pequeno espaçamento entre as fendas O modo como a difração de raios X revela a disposição dos átomos em um cristal De que maneira a difração estabelece limites sobre os menores detalhes do que pode ser visto com um sistema ótico A difração além de alargar um feixe luminoso produz uma figura de interferência conhecida como figura de difração Quando a luz monocromática de uma fonte distante ou de um laser passa por uma fenda estreita e é interceptada por uma tela de observação aparece na tela uma figura de difração Figura A figura tem um máximo central largo e intenso muito claro e uma série de máximos mais estreitos e menos intensos máximos secundários ou laterais dos dois lados do máximo central Os máximos são separados por mínimos A difração da luz não está limitada a situações em que a luz passa por uma abertura estreita como uma fenda ou um orifício ela também acontece quando a luz encontra obstáculos como as bordas da lâmina de barbear da Figura Observe as linhas de máxima e mínima iluminação aproximadamente paralelas tanto às bordas externas como às bordas internas A extremidade direita da figura de interferência está na verdade em uma região que ficaria na sombra da lâmina se a ótica geométrica prevalecesse Fresnel entrou na guerra para mostrar que a luz era uma onda Ganhou o prêmio da Academia em 1819 com um trabalho sobre difração As ondas luminosas convergem para a sombra de uma esfera ao passarem pela borda da esfera produzindo um ponto luminoso no centro as sombra Ponto claro de Fresnel A ideia é studar a figura produzida por ondas luminosas planas de comprimento de onda λ ao serem difratadas por um anteparo B com uma fenda estreita e comprida de largura a como na Figura Pela dificuldade obteremos uma expressão para as franjas escuras Dividir em pares todos os raios que passam pela fenda Uma breve avaliação matemática geométrica nos mostra que o primeiro mínimo é igual a asenθλ Dado o comprimento de onda λ e a largura da fenda a encontramos a posição da primeira franja escura acima ou abaixo do eixo central Para aλ e tornando a fenda cada vez mais estreita mantendo o comprimento de onda constante o ângulo para a primeira franja escura se tornará cada vem maior a difração é maior para fendas mais estreitas Quando aλ o ângulo correspondente à primeira franja escura é 90 Toda tela de observação é iluminada Uma breve avaliação matemática geométrica Figura abaixo nos mostra que o segundo mínimo é igual a asenθ2λ TODOS OS MÍNIMOS Poderíamos continuar a calcular as posições das franjas escuras dividindo a fenda em um número cada vez maior de regiões Em um experimento de difração por uma fenda as franjas claras escuras correspondentes às posições para as quais a diferença de percurso asenθ entre os raios superior e inferior é igual a λ 2λ 3λ Exemplo 1 Uma fenda de largura a é iluminada com luz branca a Para que valor de a o primeiro mínimo para a luz vermelha com λ650 nm aparece em θ15 b Qual é o comprimento de onda da luz cujo primeiro máximo secundário está em 15 coincidindo assim com o primeiro mínimo para a luz vermelha R a 25 μm b 430 nm violeta Para calcular a intensidade dividimos a fenda em N regiões de largura Δx suficientemente estreitas para que possamos supor que cada região se comporta como uma fonte de ondas secundárias de Huygens Precisamos determinar Eθ componente elétrica da onda resultante num ponto P definido pelo ângulo θ A diferença de fase correspondente provenientes de regiões vizinhas é Δxsenθ a diferença de fase correspondente Δϕ é dada por Δϕ2πλΔxsenθ Supor que as ondas secundárias que chegam ao ponto P têm a mesma amplitude ΔE Notação de Fasores para mapear a amplitude total do campo elétrico em um certo ponto da tela de observação A intensidade da luz difratada por uma fenda é dada pela expressão Iθ Iθ Imsenαα² onde α é dada por Exemplo 2 Determine as intensidades dos três primeiros máximos secundários da figura de difração abaixo por uma fenda expressas como porcentagens da intensidade do máximo central R 45 16 086 A Figura mostra a imagem formada pela luz de um laser depois de passar por uma abertura circular de diâmetro muito pequeno A imagem não é um ponto como prevê a ótica geométrica mas um disco luminoso cercado por anéis claros e escuros O primeiro mínimo da figura de difração de uma abertura circular de diâmetro d é dada por O fato de que as imagens produzidas por lentes são figuras de difração é importante quando estamos interessados em resolver distinguir dois objetos pontuais distantes cuja separação angular é pequena A separação angular das duas fontes pontuais é tal que o máximo central da figura de difração de uma das fontes coincide com o primeiro mínimo da figura de difração da outra uma situação conhecida como critério de Rayleigh para a resolução Como os ângulos são pequenos podemos substituir Exemplo 3 Uma lente convergente circular de diâmetro d32 mm e distância focal f24 cm forma imagens de objetos pontuais distantes no plano focal da lente O comprimento de onda da luz utilizada é λ550 nm a Considerando a difração introduzida pela lente qual deve ser a separação angular entre dois objetos pontuais distantes para que o critério de Rayleigh seja satisfeito Resp a 21x105 rad b 50 μm Os experimentos com duas fendas supusemos que aλ No caso de fendas estreitas o máximo central da figura de difração de cada fenda cobre toda a tela de observação e a interferência da luz proveniente das duas fendas produz franjas claras praticamente com a mesma intensidade A condição aλ nem sempre é satisfeita Quando as fendas são relativamente largas a intensidade das franjas produzidas por interferência é modificada pela difração sofrida pela luz ao passar pelas fendas Onde d é a distância entre as fendas e a é a largura das fendas Exemplo 4 Em um experimento de dupla fenda o comprimento de onda λ da luz incidente é 405 nm a distância d entre as fendas é 1944 μm e a largura a das fendas é 4050 μm Considere a interferência da luz que passa pelas duas fendas e também a difração da luz em cada fenda a Quantas franjas claras podem ser observadas no pico central da envoltória de difração Quantas franjas claras podem ser observadas em um dos dois primeiros máximos secundários da figura de difração Resp a 4 b 5 Uma rede de difração é uma série de fendas usadas para separar uma onda incidente nos comprimentos de onda que a compõem A posição angular dos máximos produzidos por uma rede de difração conhecidos como linhas é dada por dsenθmλ m012 máximos onde d é a distância entre as ranhuras fendas e λ é o comprimento de onda Para um número grande N de ranhuras a curva de intensidade se mostra simples como a que aparece na Figura abaixo Imagem observada em um anteparo quando a rede é iluminada com luz vermelha monocromática produzida por um laser de hélioneônio Meia largura da linha central é definida como o ângulo Δθml entre o centro da linha θ0 e o primeiro mínimo de intensidade A distância entre as ranhuras situadas nas extremidades da rede é Nd e a diferença de percurso entre os raios que partem das extremidades da rede é Uma equação para a meia largura das outras linhas em função do ângulo θ que define a posição da linha Para uma luz de um dado comprimento de onda λ e uma rede de difração com um dado espaçamento d entre as ranhuras a largura das linhas é inversamente proporcional ao número N de ranhuras No caso de duas redes de difração com a mesma distância entre as ranhuras a que possui maior número de ranhuras permite separar melhor os diferentes comprimentos de onda da radiação incidente já que as linhas de difração são mais estreitas e portanto existe menos superposição As redes de difração são usadas para determinar os comprimentos de onda emitidos por fontes luminosas de todos os tipos de lâmpadas a estrelas A luz emitida por uma lâmpada de hidrogênio que contém hidrogênio gasoso emite radiação com quatro comprimentos de onda diferentes na faixa da luz visível Quando nossos olhos interceptam diretamente essa radiação temos a impressão de que se trata de luz branca Quando observamos a mesma luz através de um espectroscópio de rede de difração podemos distinguir em várias ordens as linhas das quatro cores correspondentes aos comprimentos de onda emitidos pelo hidrogênio na faixa da luz visível quatro comprimentos de onda estão superpostas dando origem a uma única linha branca em θ0 Nas outras ordens as cores estão separadas Agora vamos examinar dois exemplos de interferência produzida pela difração de ondas eletromagnéticas por planos paralelos DIFRAÇÃO DE RAIO X raios X são ondas eletromagnéticas com comprimento de onda da ORDEM 1 A 01 nm Raios X são gerados quando os elétrons que deixam o filamento aquecido F são acelerados por uma diferença de potencial V e atingem um alvo metálico T A janela W da câmara evacuada C é transparente aos raios X Uma rede de difração comum não pode ser usada para separar raios X de diferentes comprimentos de onda Mostrar para λ01 nm e d3000 nm O ideal serial usar uma rede de difração com dλ mas como os comprimentos de onda dos raios X são da mesma ordem que os diâmetros atômicos é tecnicamente impossível construir uma rede dessas Em 1912 ocorreu ao físico alemão Max von Laue que um sólido cristalino formado por um arranjo regular de átomos poderia se comportar como uma rede de difração natural para os raios X A ideia é que em um sólido cristalino como o cloreto de sódio NaCl um pequeno conjunto de átomos conhecido como célula unitária se repete em todo o material a A estrutura cúbica do NaCl mostrando os íons de sódio e cloro e uma célula unitária sombreada b Os raios X incidentes são difratados pelo cristal representado em a como se fossem refletidos por uma família de planos paralelos com o ângulo de reflexão igual ao ângulo de incidência ambos medidos em relação aos planos e não em relação à normal como na ótica c A diferença de percurso dos raios refletidos por planos vizinhos é 2d sen θ d Quando o ângulo de incidência muda os raios X se comportam como se fossem refletidos por outra família de planos Uma avaliação geométrica e física das figuras anteriores chegamos numa equação para a que a intensidade da difração seja máxima 2dsenθmλ m123 lei de Bragg O ângulo de incidência e reflexão que aparece nessa equação é denominado ângulo de Bragg A Figura abaixo mostra a relação que existe entre a distância interplanar d e a dimensão a0 da célula unitária d02236a0 Exercício 1 Uma rede de difração tem 800 linhasmm Um feixe de luz contendo comprimentos de onda de 500 a 700 nm incide sobre a rede Os espectros de diferentes ordens se sobrepõem Explique R O espectro de primeira ordem está entre 236 e 341 O espectro de segunda ordem começa em 531 Não há espectro de terceira ordem Não ocorre sobreposição Exercício 2 Se o espaçamento interplanar do NaCl é de 0281 nm qual é o ângulo previsto no qual raios X de 0140 nm são difratados em um máximo de primeira ordem R 144 Exercício 3 No experimento de interferência de dupla da Figura abaixo a largura das fendas é 120 μm a distância entre as fendas é 240 μm o comprimento de onda é 600 nm e a tela de observação está a uma distância de 400 m Seja IP a intensidade no ponto P da tela situado a uma altura y700 cm a Determine a razão entre IP e a intensidade Im no centro da tela b Determine a posição de P na figura de interferência especificando o máximo e o mínimo entre os quais o ponto se encontra c Determine a posição de P na figura de difração especificando o mínimo no qual o ponto se encontra ou os dois mínimos entre os quais o ponto se encontra R a 743x103 b entre o mínimo correspondente a m6 o sétimo e o máximo correspondente a m7 o sétimo máximo secundário c entre o mínimo correspondente a m3 o terceiro e o mínimo correspondente a m4 o quarto HALLIDAY David RESNICK Robert KRANE Kenneth S Física 4 5 ed Rio de Janeiro LTC 2004 400 p NUSSENZVEIG H M Curso de Física Básica Ótica relatividade física quântica São Paulo Edgard Blücher 1998 v 4 TIPLER P A Física para Cientistas e Engenheiros 6 ed Rio de Janeiro LTC 2009 v 3 300 p
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Compreender aspectos importantes dos fenômenos ondulatórios da luz Linhas de emissão do cádmio na faixa da luz visível observadas através de um espectroscópio de rede de difração 1 Difração e a Teoria Ondulatória da Luz 2 Difração por uma Fenda Posição dos Mínimos 3 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por Uma Fenda 4 Difração por Uma Abertura Circular 5 Difração por Duas Fendas 6 Redes de Difração 7 Difração por Planos Paralelos O que acontece quando uma luz coerente incide sobre um objeto com um canto ou uma abertura Como entender a figura de difração formada quando uma luz coerente passa por uma fenda estreita Como calcular a intensidade em vários pontos em uma figura de difração produzida em uma fenda única O que acontece quando uma luz coerente incide sobre um conjunto de fendas estreitas com pequeno espaçamento entre as fendas O modo como a difração de raios X revela a disposição dos átomos em um cristal De que maneira a difração estabelece limites sobre os menores detalhes do que pode ser visto com um sistema ótico A difração além de alargar um feixe luminoso produz uma figura de interferência conhecida como figura de difração Quando a luz monocromática de uma fonte distante ou de um laser passa por uma fenda estreita e é interceptada por uma tela de observação aparece na tela uma figura de difração Figura A figura tem um máximo central largo e intenso muito claro e uma série de máximos mais estreitos e menos intensos máximos secundários ou laterais dos dois lados do máximo central Os máximos são separados por mínimos A difração da luz não está limitada a situações em que a luz passa por uma abertura estreita como uma fenda ou um orifício ela também acontece quando a luz encontra obstáculos como as bordas da lâmina de barbear da Figura Observe as linhas de máxima e mínima iluminação aproximadamente paralelas tanto às bordas externas como às bordas internas A extremidade direita da figura de interferência está na verdade em uma região que ficaria na sombra da lâmina se a ótica geométrica prevalecesse Fresnel entrou na guerra para mostrar que a luz era uma onda Ganhou o prêmio da Academia em 1819 com um trabalho sobre difração As ondas luminosas convergem para a sombra de uma esfera ao passarem pela borda da esfera produzindo um ponto luminoso no centro as sombra Ponto claro de Fresnel A ideia é studar a figura produzida por ondas luminosas planas de comprimento de onda λ ao serem difratadas por um anteparo B com uma fenda estreita e comprida de largura a como na Figura Pela dificuldade obteremos uma expressão para as franjas escuras Dividir em pares todos os raios que passam pela fenda Uma breve avaliação matemática geométrica nos mostra que o primeiro mínimo é igual a asenθλ Dado o comprimento de onda λ e a largura da fenda a encontramos a posição da primeira franja escura acima ou abaixo do eixo central Para aλ e tornando a fenda cada vez mais estreita mantendo o comprimento de onda constante o ângulo para a primeira franja escura se tornará cada vem maior a difração é maior para fendas mais estreitas Quando aλ o ângulo correspondente à primeira franja escura é 90 Toda tela de observação é iluminada Uma breve avaliação matemática geométrica Figura abaixo nos mostra que o segundo mínimo é igual a asenθ2λ TODOS OS MÍNIMOS Poderíamos continuar a calcular as posições das franjas escuras dividindo a fenda em um número cada vez maior de regiões Em um experimento de difração por uma fenda as franjas claras escuras correspondentes às posições para as quais a diferença de percurso asenθ entre os raios superior e inferior é igual a λ 2λ 3λ Exemplo 1 Uma fenda de largura a é iluminada com luz branca a Para que valor de a o primeiro mínimo para a luz vermelha com λ650 nm aparece em θ15 b Qual é o comprimento de onda da luz cujo primeiro máximo secundário está em 15 coincidindo assim com o primeiro mínimo para a luz vermelha R a 25 μm b 430 nm violeta Para calcular a intensidade dividimos a fenda em N regiões de largura Δx suficientemente estreitas para que possamos supor que cada região se comporta como uma fonte de ondas secundárias de Huygens Precisamos determinar Eθ componente elétrica da onda resultante num ponto P definido pelo ângulo θ A diferença de fase correspondente provenientes de regiões vizinhas é Δxsenθ a diferença de fase correspondente Δϕ é dada por Δϕ2πλΔxsenθ Supor que as ondas secundárias que chegam ao ponto P têm a mesma amplitude ΔE Notação de Fasores para mapear a amplitude total do campo elétrico em um certo ponto da tela de observação A intensidade da luz difratada por uma fenda é dada pela expressão Iθ Iθ Imsenαα² onde α é dada por Exemplo 2 Determine as intensidades dos três primeiros máximos secundários da figura de difração abaixo por uma fenda expressas como porcentagens da intensidade do máximo central R 45 16 086 A Figura mostra a imagem formada pela luz de um laser depois de passar por uma abertura circular de diâmetro muito pequeno A imagem não é um ponto como prevê a ótica geométrica mas um disco luminoso cercado por anéis claros e escuros O primeiro mínimo da figura de difração de uma abertura circular de diâmetro d é dada por O fato de que as imagens produzidas por lentes são figuras de difração é importante quando estamos interessados em resolver distinguir dois objetos pontuais distantes cuja separação angular é pequena A separação angular das duas fontes pontuais é tal que o máximo central da figura de difração de uma das fontes coincide com o primeiro mínimo da figura de difração da outra uma situação conhecida como critério de Rayleigh para a resolução Como os ângulos são pequenos podemos substituir Exemplo 3 Uma lente convergente circular de diâmetro d32 mm e distância focal f24 cm forma imagens de objetos pontuais distantes no plano focal da lente O comprimento de onda da luz utilizada é λ550 nm a Considerando a difração introduzida pela lente qual deve ser a separação angular entre dois objetos pontuais distantes para que o critério de Rayleigh seja satisfeito Resp a 21x105 rad b 50 μm Os experimentos com duas fendas supusemos que aλ No caso de fendas estreitas o máximo central da figura de difração de cada fenda cobre toda a tela de observação e a interferência da luz proveniente das duas fendas produz franjas claras praticamente com a mesma intensidade A condição aλ nem sempre é satisfeita Quando as fendas são relativamente largas a intensidade das franjas produzidas por interferência é modificada pela difração sofrida pela luz ao passar pelas fendas Onde d é a distância entre as fendas e a é a largura das fendas Exemplo 4 Em um experimento de dupla fenda o comprimento de onda λ da luz incidente é 405 nm a distância d entre as fendas é 1944 μm e a largura a das fendas é 4050 μm Considere a interferência da luz que passa pelas duas fendas e também a difração da luz em cada fenda a Quantas franjas claras podem ser observadas no pico central da envoltória de difração Quantas franjas claras podem ser observadas em um dos dois primeiros máximos secundários da figura de difração Resp a 4 b 5 Uma rede de difração é uma série de fendas usadas para separar uma onda incidente nos comprimentos de onda que a compõem A posição angular dos máximos produzidos por uma rede de difração conhecidos como linhas é dada por dsenθmλ m012 máximos onde d é a distância entre as ranhuras fendas e λ é o comprimento de onda Para um número grande N de ranhuras a curva de intensidade se mostra simples como a que aparece na Figura abaixo Imagem observada em um anteparo quando a rede é iluminada com luz vermelha monocromática produzida por um laser de hélioneônio Meia largura da linha central é definida como o ângulo Δθml entre o centro da linha θ0 e o primeiro mínimo de intensidade A distância entre as ranhuras situadas nas extremidades da rede é Nd e a diferença de percurso entre os raios que partem das extremidades da rede é Uma equação para a meia largura das outras linhas em função do ângulo θ que define a posição da linha Para uma luz de um dado comprimento de onda λ e uma rede de difração com um dado espaçamento d entre as ranhuras a largura das linhas é inversamente proporcional ao número N de ranhuras No caso de duas redes de difração com a mesma distância entre as ranhuras a que possui maior número de ranhuras permite separar melhor os diferentes comprimentos de onda da radiação incidente já que as linhas de difração são mais estreitas e portanto existe menos superposição As redes de difração são usadas para determinar os comprimentos de onda emitidos por fontes luminosas de todos os tipos de lâmpadas a estrelas A luz emitida por uma lâmpada de hidrogênio que contém hidrogênio gasoso emite radiação com quatro comprimentos de onda diferentes na faixa da luz visível Quando nossos olhos interceptam diretamente essa radiação temos a impressão de que se trata de luz branca Quando observamos a mesma luz através de um espectroscópio de rede de difração podemos distinguir em várias ordens as linhas das quatro cores correspondentes aos comprimentos de onda emitidos pelo hidrogênio na faixa da luz visível quatro comprimentos de onda estão superpostas dando origem a uma única linha branca em θ0 Nas outras ordens as cores estão separadas Agora vamos examinar dois exemplos de interferência produzida pela difração de ondas eletromagnéticas por planos paralelos DIFRAÇÃO DE RAIO X raios X são ondas eletromagnéticas com comprimento de onda da ORDEM 1 A 01 nm Raios X são gerados quando os elétrons que deixam o filamento aquecido F são acelerados por uma diferença de potencial V e atingem um alvo metálico T A janela W da câmara evacuada C é transparente aos raios X Uma rede de difração comum não pode ser usada para separar raios X de diferentes comprimentos de onda Mostrar para λ01 nm e d3000 nm O ideal serial usar uma rede de difração com dλ mas como os comprimentos de onda dos raios X são da mesma ordem que os diâmetros atômicos é tecnicamente impossível construir uma rede dessas Em 1912 ocorreu ao físico alemão Max von Laue que um sólido cristalino formado por um arranjo regular de átomos poderia se comportar como uma rede de difração natural para os raios X A ideia é que em um sólido cristalino como o cloreto de sódio NaCl um pequeno conjunto de átomos conhecido como célula unitária se repete em todo o material a A estrutura cúbica do NaCl mostrando os íons de sódio e cloro e uma célula unitária sombreada b Os raios X incidentes são difratados pelo cristal representado em a como se fossem refletidos por uma família de planos paralelos com o ângulo de reflexão igual ao ângulo de incidência ambos medidos em relação aos planos e não em relação à normal como na ótica c A diferença de percurso dos raios refletidos por planos vizinhos é 2d sen θ d Quando o ângulo de incidência muda os raios X se comportam como se fossem refletidos por outra família de planos Uma avaliação geométrica e física das figuras anteriores chegamos numa equação para a que a intensidade da difração seja máxima 2dsenθmλ m123 lei de Bragg O ângulo de incidência e reflexão que aparece nessa equação é denominado ângulo de Bragg A Figura abaixo mostra a relação que existe entre a distância interplanar d e a dimensão a0 da célula unitária d02236a0 Exercício 1 Uma rede de difração tem 800 linhasmm Um feixe de luz contendo comprimentos de onda de 500 a 700 nm incide sobre a rede Os espectros de diferentes ordens se sobrepõem Explique R O espectro de primeira ordem está entre 236 e 341 O espectro de segunda ordem começa em 531 Não há espectro de terceira ordem Não ocorre sobreposição Exercício 2 Se o espaçamento interplanar do NaCl é de 0281 nm qual é o ângulo previsto no qual raios X de 0140 nm são difratados em um máximo de primeira ordem R 144 Exercício 3 No experimento de interferência de dupla da Figura abaixo a largura das fendas é 120 μm a distância entre as fendas é 240 μm o comprimento de onda é 600 nm e a tela de observação está a uma distância de 400 m Seja IP a intensidade no ponto P da tela situado a uma altura y700 cm a Determine a razão entre IP e a intensidade Im no centro da tela b Determine a posição de P na figura de interferência especificando o máximo e o mínimo entre os quais o ponto se encontra c Determine a posição de P na figura de difração especificando o mínimo no qual o ponto se encontra ou os dois mínimos entre os quais o ponto se encontra R a 743x103 b entre o mínimo correspondente a m6 o sétimo e o máximo correspondente a m7 o sétimo máximo secundário c entre o mínimo correspondente a m3 o terceiro e o mínimo correspondente a m4 o quarto HALLIDAY David RESNICK Robert KRANE Kenneth S Física 4 5 ed Rio de Janeiro LTC 2004 400 p NUSSENZVEIG H M Curso de Física Básica Ótica relatividade física quântica São Paulo Edgard Blücher 1998 v 4 TIPLER P A Física para Cientistas e Engenheiros 6 ed Rio de Janeiro LTC 2009 v 3 300 p