·
Engenharia Elétrica ·
Resistência dos Materiais 2
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Recomendado para você
Texto de pré-visualização
Centroides Momento de Inércia Profa Luciene Judice As peças que compõem as estruturas possuem evidentemente três dimensões Três casos podem ocorrer A Duas dimensões são pequenas em relação à terceira B Uma dimensão é pequena em relação às outras duas C As três dimensões são consideráveis No caso A que corresponde ao da maioria das estruturas da prática a dimensão maior é o comprimento da peça estando as duas outras dimensões situadas no plano a ele perpendicular plano da seção transversal da peça Esse tipo de estrutura compostas por elementos unidimensionais são chamados de estruturas reticulares Neste caso o estudo estático da peça que será denominada barra pode ser feito considerandoa representada pelo seu eixo lugar geométrico dos centros de gravidade de suas seções transversais As figuras representam estruturas reticulares formadas por elementos unidimensionais Os casos B e C são aqueles respectivamente das placas e cascas cuja espessura é pequena em presença da superfície da peça superfície esta plana para as placas e curva para as cascas e dos blocos caso das barragens O caso B é denominado de estruturas bidimensionais como representado pela figura E o caso C representa as estruturas tridimensionais O Principal elemento para estudo de estruturas são as estruturas simplificadas como reticulares As estruturas reticulares são constituídas por elementos unidimensionais simplesmente denominados elementos ou barras cujos comprimentos prevalecem em relação às dimensões da seção transversal largura e altura Na elaboração dos modelos matemáticos para análise tais estruturas são idealizadas como constituídas por barras ou elementos interconectadas por nós As barras ou elementos são definidas por um nó inicial e um nó final As barras podem ser de eixo reto ou de eixo curvo e de seção transversal constante ou variável Premissas necessárias à análise estrutural A análise deve ser feita com um modelo estrutural realista que permita representar de maneira clara todos os caminhos percorridos pelas ações até os apoios da estrutura É um ponto localizado na própria figura ou fora desta no qual se concentra o centro de massa ou centro de gravidade A localização do ponto ocorre através das coordenadas 𝑋𝐺 e 𝑌𝐺 em relação aos eixos X e Y Para simplificar a determinação do centro de gravidade dividese a superfície plana em superfícies geométricas cujo centro de gravidade é conhecido tais como triângulos retângulos quadrados e círculos Através da relação de somatório dos momentos estáticos dessas superfícies e área total das mesmas determinamse coordenadas do centro de gravidade ഥ𝒙 σ ഥ𝒙𝒊 𝑨𝒊 σ 𝑨𝒊 ഥ𝒚 σ ഥ𝒚𝒊 𝑨𝒊 σ 𝑨𝒊 Exemplo 1 Determinar as coordenadas do centro de gravidade do perfil U representado na figura a seguir Exemplo 1 SOLUÇÃO O 1º passo para encontrar o centro de gravidade de uma figura composta é dividilá em superfícies planas conhecidas No nosso exemplo o perfil será divido em três 3 retângulos de áreas A1 A2 e A3 Ao analisarmos áreas compostas podemos lidar com a ausência de uma área Para esses casos podemos utilizar a subtração das áreas Esse procedimento é útil quando existem cortes ou buracos na superfície sendo analisada ഥ𝒙 σ ഥ𝒙𝒊 𝑨𝒊 σ 𝑨𝒊 ഥ𝒚 σ ഥ𝒚𝒊 𝑨𝒊 σ 𝑨𝒊 A1 A2 Exercício 1 Determinar a posição do centroide relativo aos eixos baricêntricos x e y da secção triangular com as medidas representadas na figura Exercício 1 SOLUÇÃO Para determinar os baricentros utilizamos a fórmula tabelada para momento de inércia em triângulos 𝐼𝑥 𝑏ℎ3 36 𝐼𝑦 ℎ𝑏3 36 𝑥 𝑏 3 y ℎ 3 Forma Momento de Inércia Baricentro Exercício 2 Determinar a posição do centroide relativo aos eixos baricêntricos u e v da secção representada na figura O momento de inércia é uma característica das superfícies que está associada à inércia de rotação Em outras palavras mede a dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação No dimensionamento dos elementos de construção o momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima pois fornece valores numéricos como uma noção de resistência da peça Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma peça maior será a resistência da peça ao giro ou à rotação Em termos práticos podemos explicar o posicionamento de seções transversais de elementos estruturais conhecidos através do momento de inércia Os momentos de inércia de superfícies planas conhecidas como retângulos triângulos e círculos são conhecidos e expressos através de fórmulas que dependem apenas das dimensões da peça O Momento de Inércia é uma propriedade geométrica utilizada para a caracterização da seção transversal de elementos estruturais Fisicamente o momento de inércia está relacionado com as tensões e deformações que aparecem por flexão em um elemento estrutural e portanto junto com as propriedades do material determina a resistência de um elemento estrutural sob flexão Momento de Inércia Medida da inércia de rotação de um corpo rígido em relação a um eixo Medida do nível de dificuldade de se girar um corpo em torno de um eixo definido Intermedeia a relação entre torque resultante sobre o corpo causa e aceleração angular efeito físico produzido e observável Quanto maior o momento de inércia menor o efeito físico observável da aceleração angular produzido pelo torque resultante Quanto menor o momento de inércia maior o efeito físico observável da aceleração angular produzido pelo torque resultante Um corpo rígido girando é constituído por massas em movimentos logo ele possui energia cinética Podemos descrever essa energia cinética em termos da velocidade angular do corpo e de uma nova grandeza denominada momento de inércia que depende da massa do corpo e de como a massa é distribuída A energia cinética total do corpo é a soma das energias cinéticas de todas as partículas que constituem o corpo 𝐾 𝑖 1 2 𝑚𝑖 𝑟𝑖 2 𝜔2 𝐾 1 2 𝜔2 𝑖 𝑚𝑖 𝑟𝑖 2 A grandeza entre parênteses obtida multiplicandose a massa de cada partícula pelo quadrado da distância ao eixo de rotação e somandose esses produtos é designada por I e denominase Momento de Inércia do corpo em relação ao eixo de rotação O Momento de Inércia de um corpo em relação a um eixo de rotação é dado por 𝑰 𝒎𝟏 𝒓𝟏 𝟐 𝒎𝟐 𝒓𝟐 𝟐 𝒊 𝒎𝒊 𝒓𝒊 𝟐 Definição do Momento de Inércia A palavra momento gera ideia de que o 𝐼 depende da maneira como a massa do corpo é distribuída no espaço Para um corpo com dado eixo de rotação e uma dada massa total quanto mais afastada as partículas estiverem do eixo de rotação maior será o momento de inércia Em um corpo rígido as distâncias 𝑟𝑖 são todas constantes e 𝐼 não depende de como o corpo está girando em torno de um dado eixo A unidade SI do momento de inércia é quilograma vezes metro2 kgm2 Massa próxima ao eixo Pequeno momento de inércia Fácil fazer o dispositivo começar a girar Massa distante do eixo Maior momento de inércia Mais difícil fazer o dispositivo começar a girar Em termos do momento de inércia 𝐼 energia cinética de rotação K de um corpo rígido é 𝑲 𝟏 𝟐 𝑰𝝎𝟐 Energia cinética de rotação de um corpo rígido Ao usarmos a equação acima 𝜔 deve ser expressa em radianos por segundo e não em revoluções por segundo ou em graus por segundo para obtermos K em Joules Quanto maior for o momento de inércia maior será a energia cinética do corpo girando com uma dada velocidade angular 𝜔 A energia cinética de um corpo é igual ao trabalho realizado para acelerar o corpo do repouso até a velocidade considerada Sendo assim quanto maior for o momento de inércia de um corpo mais difícil será fazêlo girar a partir do repouso e mais difícil será fazêlo parar quando estiver girando Por essa razão algumas vezes a grandeza I também é chamada de inércia rotacional Quando o corpo é uma distribuição contínua de matéria massas como um cilindro maciço ou uma placa ele não pode ser representada por massas puntiformes o cálculo do momento de inércia a soma das massas e distâncias que definem o momento de inércia para cada elemento do corpo se transforma em uma integral e assim precisamos usar o cálculo integral para obter o momento de inércia Momento de Inércia de diversos corpos Podemos ser tentados a calcular o momento de inércia de um corpo supondo que toda massa do corpo esteja concentrada em seu centro de massa e a seguir multiplicar a massa pelo quadrado da distância entre o centro de massa e o eixo de rotação Resista a essa tentação isso não funciona 𝐼 𝑚𝑖 𝑟𝑖 2 𝐼 𝑀 𝐿 2 2 𝑴 𝑳𝟐 𝟒 𝑴 𝑳𝟐 𝟑 Por exemplo quando uma barra uniforme fina de comprimento L e massa M está presa em torno de um eixo perpendicular à barra passando pela sua extremidade seu momento de inércia é dado por 𝐼 𝑀𝐿2 3 Se você imaginasse a massa da barra concentrada em seu centro a uma distância L2 do eixo você obteria o resultado errado de 𝐼 Um corpo rígido não possui somente um momento de inércia mas sim um número infinito de momentos de inércia porque possui um número infinito de eixos de rotação No entanto existe uma relação simples entre o momento de inércia Icm em relação ao centro de massa do corpo de massa M e o momento de inércia Ip situado a uma distância d do primeiro Essa relação é conhecida como teorema dos eixos paralelos 𝑰𝒑 𝑰𝒄𝒎 𝑴 𝒅𝟐 𝐼𝑝 𝐼𝑐𝑚 𝑀 𝑑2 Como pode ser observado pela equação o momento de inércia de um corpo rígido em relação a um eixo passando em seu centro de massa é menor que o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo Assim é mais fácil fazer um corpo girar quando o eixo de rotação passa pelo centro de massa Isso sugere que é bastante natural que um corpo rígido gire facilmente em torno de um eixo que passe em seu centro de massa Nas análises de Momento de Inércia são consideradas forças cujas intensidades dependem não só dos elementos de área ou de volume sobre os quais atuam como observado mas também variam linearmente com a distância entre esses elementos e algum eixo dado Veremos agora métodos específicos para calcular os momentos de inércia para superfícies e sólidos Consideraremos forças distribuídas Ԧ𝐹 cujas intensidades são proporcionais aos elementos de área 𝐴 sobre os quais essas forças atuam e que ao mesmo tempo variam linearmente com a distância entre 𝐴 e um dado eixo Exemplo Consideremos uma viga sujeita a flexão pura Para uma viga sujeita a flexão pura as forças internas variam linearmente com a distância do eixo neutro eixo 𝑥 da figura que passa pelo centroide da seção ky A F As forças internas em qualquer seção da viga são forças distribuídas que variam linearmente com a distância 𝑦 entre o elemento de área 𝐴 e um eixo que passa pelo centroide da seção cuja intensidade vale As forças sobre um dos lados da sessão dividida pelo eixo neutro são forças de compressão ao passo que sobre o outro lado são forças de tração sobre o próprio eixo neutro as forças são nulas A intensidade da resultante R das forças elementares 𝐅 exercidas sobre toda a seção é momento de primeira ordem 0 Qx dA y k y dA ky dA R A intensidade M momento fletor desse sistema de forças 𝐅 deve ser igual a soma dos momentos das forças elementares 𝑀𝑥 𝑦F 𝑘𝑦2𝐴 Integrando M sobre toda a seção temos ou Momento de Inércia momento de segunda ordem 2 2 dA y k y dA M Já definimos o momento de inércia de uma superfície em relação ao eixo 𝑥 O momento de inércia 𝐼𝑦 da superfície A em relação ao eixo 𝑦 é definido de modo semelhante Os momentos de inércia de superfícies em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 são x dA I y dA I y x 2 2 Essas integrais podem ser mais facilmente calculadas escolhendose dA como sendo uma faixa estreita paralela a um dos eixos coordenados x dA I y dA I y x 2 2 Considere o momento de inércia 𝐼 de uma superfície A em relação a um eixo AA temos O eixo BB paralelo ao eixo AA passa pelo centroide da superfície e é denominado eixo centroidal Substituindo 𝑦 na integral anterior y dA I 2 dA d d y dA dA y dA d y y dA I 2 2 2 2 2 Momento de Inércia I em relação ao eixo centroidal BB Como o centroide C de superfície está localizado sobre esse eixo BB essa integral deve ser nula Integral igual a área total A da superfície Analisando a integral acima temos que dA d d y dA y dA I 2 2 2 Ad 2 I I Teorema dos Eixos Paralelos O teorema dos eixos paralelos também pode ser aplicado na determinação do momento de inércia centroidal de uma superfície quando se conhece o momento de inércia em relação a um eixo paralelo Exercício 5 Assim determine o momento de inércia centroidal da superfície triangular da figura considerando que o momento de inércia de um triangulo em relação a sua base AA é 1 12𝑏ℎ3 Exercício 6 Agora determine o momento de inércia do triângulo em relação a linha DD passando pelo vértice
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Recomendado para você
Texto de pré-visualização
Centroides Momento de Inércia Profa Luciene Judice As peças que compõem as estruturas possuem evidentemente três dimensões Três casos podem ocorrer A Duas dimensões são pequenas em relação à terceira B Uma dimensão é pequena em relação às outras duas C As três dimensões são consideráveis No caso A que corresponde ao da maioria das estruturas da prática a dimensão maior é o comprimento da peça estando as duas outras dimensões situadas no plano a ele perpendicular plano da seção transversal da peça Esse tipo de estrutura compostas por elementos unidimensionais são chamados de estruturas reticulares Neste caso o estudo estático da peça que será denominada barra pode ser feito considerandoa representada pelo seu eixo lugar geométrico dos centros de gravidade de suas seções transversais As figuras representam estruturas reticulares formadas por elementos unidimensionais Os casos B e C são aqueles respectivamente das placas e cascas cuja espessura é pequena em presença da superfície da peça superfície esta plana para as placas e curva para as cascas e dos blocos caso das barragens O caso B é denominado de estruturas bidimensionais como representado pela figura E o caso C representa as estruturas tridimensionais O Principal elemento para estudo de estruturas são as estruturas simplificadas como reticulares As estruturas reticulares são constituídas por elementos unidimensionais simplesmente denominados elementos ou barras cujos comprimentos prevalecem em relação às dimensões da seção transversal largura e altura Na elaboração dos modelos matemáticos para análise tais estruturas são idealizadas como constituídas por barras ou elementos interconectadas por nós As barras ou elementos são definidas por um nó inicial e um nó final As barras podem ser de eixo reto ou de eixo curvo e de seção transversal constante ou variável Premissas necessárias à análise estrutural A análise deve ser feita com um modelo estrutural realista que permita representar de maneira clara todos os caminhos percorridos pelas ações até os apoios da estrutura É um ponto localizado na própria figura ou fora desta no qual se concentra o centro de massa ou centro de gravidade A localização do ponto ocorre através das coordenadas 𝑋𝐺 e 𝑌𝐺 em relação aos eixos X e Y Para simplificar a determinação do centro de gravidade dividese a superfície plana em superfícies geométricas cujo centro de gravidade é conhecido tais como triângulos retângulos quadrados e círculos Através da relação de somatório dos momentos estáticos dessas superfícies e área total das mesmas determinamse coordenadas do centro de gravidade ഥ𝒙 σ ഥ𝒙𝒊 𝑨𝒊 σ 𝑨𝒊 ഥ𝒚 σ ഥ𝒚𝒊 𝑨𝒊 σ 𝑨𝒊 Exemplo 1 Determinar as coordenadas do centro de gravidade do perfil U representado na figura a seguir Exemplo 1 SOLUÇÃO O 1º passo para encontrar o centro de gravidade de uma figura composta é dividilá em superfícies planas conhecidas No nosso exemplo o perfil será divido em três 3 retângulos de áreas A1 A2 e A3 Ao analisarmos áreas compostas podemos lidar com a ausência de uma área Para esses casos podemos utilizar a subtração das áreas Esse procedimento é útil quando existem cortes ou buracos na superfície sendo analisada ഥ𝒙 σ ഥ𝒙𝒊 𝑨𝒊 σ 𝑨𝒊 ഥ𝒚 σ ഥ𝒚𝒊 𝑨𝒊 σ 𝑨𝒊 A1 A2 Exercício 1 Determinar a posição do centroide relativo aos eixos baricêntricos x e y da secção triangular com as medidas representadas na figura Exercício 1 SOLUÇÃO Para determinar os baricentros utilizamos a fórmula tabelada para momento de inércia em triângulos 𝐼𝑥 𝑏ℎ3 36 𝐼𝑦 ℎ𝑏3 36 𝑥 𝑏 3 y ℎ 3 Forma Momento de Inércia Baricentro Exercício 2 Determinar a posição do centroide relativo aos eixos baricêntricos u e v da secção representada na figura O momento de inércia é uma característica das superfícies que está associada à inércia de rotação Em outras palavras mede a dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação No dimensionamento dos elementos de construção o momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima pois fornece valores numéricos como uma noção de resistência da peça Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma peça maior será a resistência da peça ao giro ou à rotação Em termos práticos podemos explicar o posicionamento de seções transversais de elementos estruturais conhecidos através do momento de inércia Os momentos de inércia de superfícies planas conhecidas como retângulos triângulos e círculos são conhecidos e expressos através de fórmulas que dependem apenas das dimensões da peça O Momento de Inércia é uma propriedade geométrica utilizada para a caracterização da seção transversal de elementos estruturais Fisicamente o momento de inércia está relacionado com as tensões e deformações que aparecem por flexão em um elemento estrutural e portanto junto com as propriedades do material determina a resistência de um elemento estrutural sob flexão Momento de Inércia Medida da inércia de rotação de um corpo rígido em relação a um eixo Medida do nível de dificuldade de se girar um corpo em torno de um eixo definido Intermedeia a relação entre torque resultante sobre o corpo causa e aceleração angular efeito físico produzido e observável Quanto maior o momento de inércia menor o efeito físico observável da aceleração angular produzido pelo torque resultante Quanto menor o momento de inércia maior o efeito físico observável da aceleração angular produzido pelo torque resultante Um corpo rígido girando é constituído por massas em movimentos logo ele possui energia cinética Podemos descrever essa energia cinética em termos da velocidade angular do corpo e de uma nova grandeza denominada momento de inércia que depende da massa do corpo e de como a massa é distribuída A energia cinética total do corpo é a soma das energias cinéticas de todas as partículas que constituem o corpo 𝐾 𝑖 1 2 𝑚𝑖 𝑟𝑖 2 𝜔2 𝐾 1 2 𝜔2 𝑖 𝑚𝑖 𝑟𝑖 2 A grandeza entre parênteses obtida multiplicandose a massa de cada partícula pelo quadrado da distância ao eixo de rotação e somandose esses produtos é designada por I e denominase Momento de Inércia do corpo em relação ao eixo de rotação O Momento de Inércia de um corpo em relação a um eixo de rotação é dado por 𝑰 𝒎𝟏 𝒓𝟏 𝟐 𝒎𝟐 𝒓𝟐 𝟐 𝒊 𝒎𝒊 𝒓𝒊 𝟐 Definição do Momento de Inércia A palavra momento gera ideia de que o 𝐼 depende da maneira como a massa do corpo é distribuída no espaço Para um corpo com dado eixo de rotação e uma dada massa total quanto mais afastada as partículas estiverem do eixo de rotação maior será o momento de inércia Em um corpo rígido as distâncias 𝑟𝑖 são todas constantes e 𝐼 não depende de como o corpo está girando em torno de um dado eixo A unidade SI do momento de inércia é quilograma vezes metro2 kgm2 Massa próxima ao eixo Pequeno momento de inércia Fácil fazer o dispositivo começar a girar Massa distante do eixo Maior momento de inércia Mais difícil fazer o dispositivo começar a girar Em termos do momento de inércia 𝐼 energia cinética de rotação K de um corpo rígido é 𝑲 𝟏 𝟐 𝑰𝝎𝟐 Energia cinética de rotação de um corpo rígido Ao usarmos a equação acima 𝜔 deve ser expressa em radianos por segundo e não em revoluções por segundo ou em graus por segundo para obtermos K em Joules Quanto maior for o momento de inércia maior será a energia cinética do corpo girando com uma dada velocidade angular 𝜔 A energia cinética de um corpo é igual ao trabalho realizado para acelerar o corpo do repouso até a velocidade considerada Sendo assim quanto maior for o momento de inércia de um corpo mais difícil será fazêlo girar a partir do repouso e mais difícil será fazêlo parar quando estiver girando Por essa razão algumas vezes a grandeza I também é chamada de inércia rotacional Quando o corpo é uma distribuição contínua de matéria massas como um cilindro maciço ou uma placa ele não pode ser representada por massas puntiformes o cálculo do momento de inércia a soma das massas e distâncias que definem o momento de inércia para cada elemento do corpo se transforma em uma integral e assim precisamos usar o cálculo integral para obter o momento de inércia Momento de Inércia de diversos corpos Podemos ser tentados a calcular o momento de inércia de um corpo supondo que toda massa do corpo esteja concentrada em seu centro de massa e a seguir multiplicar a massa pelo quadrado da distância entre o centro de massa e o eixo de rotação Resista a essa tentação isso não funciona 𝐼 𝑚𝑖 𝑟𝑖 2 𝐼 𝑀 𝐿 2 2 𝑴 𝑳𝟐 𝟒 𝑴 𝑳𝟐 𝟑 Por exemplo quando uma barra uniforme fina de comprimento L e massa M está presa em torno de um eixo perpendicular à barra passando pela sua extremidade seu momento de inércia é dado por 𝐼 𝑀𝐿2 3 Se você imaginasse a massa da barra concentrada em seu centro a uma distância L2 do eixo você obteria o resultado errado de 𝐼 Um corpo rígido não possui somente um momento de inércia mas sim um número infinito de momentos de inércia porque possui um número infinito de eixos de rotação No entanto existe uma relação simples entre o momento de inércia Icm em relação ao centro de massa do corpo de massa M e o momento de inércia Ip situado a uma distância d do primeiro Essa relação é conhecida como teorema dos eixos paralelos 𝑰𝒑 𝑰𝒄𝒎 𝑴 𝒅𝟐 𝐼𝑝 𝐼𝑐𝑚 𝑀 𝑑2 Como pode ser observado pela equação o momento de inércia de um corpo rígido em relação a um eixo passando em seu centro de massa é menor que o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo Assim é mais fácil fazer um corpo girar quando o eixo de rotação passa pelo centro de massa Isso sugere que é bastante natural que um corpo rígido gire facilmente em torno de um eixo que passe em seu centro de massa Nas análises de Momento de Inércia são consideradas forças cujas intensidades dependem não só dos elementos de área ou de volume sobre os quais atuam como observado mas também variam linearmente com a distância entre esses elementos e algum eixo dado Veremos agora métodos específicos para calcular os momentos de inércia para superfícies e sólidos Consideraremos forças distribuídas Ԧ𝐹 cujas intensidades são proporcionais aos elementos de área 𝐴 sobre os quais essas forças atuam e que ao mesmo tempo variam linearmente com a distância entre 𝐴 e um dado eixo Exemplo Consideremos uma viga sujeita a flexão pura Para uma viga sujeita a flexão pura as forças internas variam linearmente com a distância do eixo neutro eixo 𝑥 da figura que passa pelo centroide da seção ky A F As forças internas em qualquer seção da viga são forças distribuídas que variam linearmente com a distância 𝑦 entre o elemento de área 𝐴 e um eixo que passa pelo centroide da seção cuja intensidade vale As forças sobre um dos lados da sessão dividida pelo eixo neutro são forças de compressão ao passo que sobre o outro lado são forças de tração sobre o próprio eixo neutro as forças são nulas A intensidade da resultante R das forças elementares 𝐅 exercidas sobre toda a seção é momento de primeira ordem 0 Qx dA y k y dA ky dA R A intensidade M momento fletor desse sistema de forças 𝐅 deve ser igual a soma dos momentos das forças elementares 𝑀𝑥 𝑦F 𝑘𝑦2𝐴 Integrando M sobre toda a seção temos ou Momento de Inércia momento de segunda ordem 2 2 dA y k y dA M Já definimos o momento de inércia de uma superfície em relação ao eixo 𝑥 O momento de inércia 𝐼𝑦 da superfície A em relação ao eixo 𝑦 é definido de modo semelhante Os momentos de inércia de superfícies em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 são x dA I y dA I y x 2 2 Essas integrais podem ser mais facilmente calculadas escolhendose dA como sendo uma faixa estreita paralela a um dos eixos coordenados x dA I y dA I y x 2 2 Considere o momento de inércia 𝐼 de uma superfície A em relação a um eixo AA temos O eixo BB paralelo ao eixo AA passa pelo centroide da superfície e é denominado eixo centroidal Substituindo 𝑦 na integral anterior y dA I 2 dA d d y dA dA y dA d y y dA I 2 2 2 2 2 Momento de Inércia I em relação ao eixo centroidal BB Como o centroide C de superfície está localizado sobre esse eixo BB essa integral deve ser nula Integral igual a área total A da superfície Analisando a integral acima temos que dA d d y dA y dA I 2 2 2 Ad 2 I I Teorema dos Eixos Paralelos O teorema dos eixos paralelos também pode ser aplicado na determinação do momento de inércia centroidal de uma superfície quando se conhece o momento de inércia em relação a um eixo paralelo Exercício 5 Assim determine o momento de inércia centroidal da superfície triangular da figura considerando que o momento de inércia de um triangulo em relação a sua base AA é 1 12𝑏ℎ3 Exercício 6 Agora determine o momento de inércia do triângulo em relação a linha DD passando pelo vértice