Lista de Sistema de Controle

C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O U N A I n s t i t u t o P o l i t é c n i c o S I S T E M A S D E C O N T R O L E 1 1a LISTA DE EXERCÍCIOS DE SISTEMAS DE CONTROLE Data 15052024 Professor Cláudio Morais de Assis Silva Valor 10 pontos X Alunoas 1 2 3 4 5 NotaX Observações Este trabalho poderá ser realizado em grupo de no máximo 5 alunos As respostas dos exercícios deverão ser postadas no Ulife na atividade 1 até a data indicada I Transformadas funcionais Valor 1 pontos Obtenha as transformadas de Laplace das funções abaixo a 7 x t b 2 u t x t c 4 7 x t t d 6 2 5 3 e t x t e 5 3 sen t x t f 5 2cos3 t x t g cos7 4 3 t e x t t h 5 3 10 5 u t sen t e x t t II Propriedades da transformada Valor 1 pontos Obtenha as transformadas de Laplace das funções abaixo utilizando as propriedades deslocamento no tempo derivada e integral da transformada a cos5 3 t e x t t b 4 3 t e sen x t t c te t x t 3 10 d dt e x t d t 5 3 e dt t d x t 5cos3 f 2 2 5 7 dt t sen x t d g t t dt t x 0 10cos2 h t e t dt t x 0 3 5 III Modelagem de sistemas Valor 4 pontos Obtenha para as equações diferenciais dos sistemas abaixo a variável de saída em função da variável de entrada no domínio da frequência considerando as condições iniciais dadas para os sistemas Obs Inicialmente determine qual é a variável de entrada e de saída C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O U N A I n s t i t u t o P o l i t é c n i c o S I S T E M A S D E C O N T R O L E 2 a O circuito RC série abaixo é descrito pela equação diferencial abaixo onde R100k e C2uF Considere que o capacitor esteja parcialmente carregado com 1V cond inicial e que seja aplicada uma tensão de excitação constante de 2V A equação que descreve a tensão do capacitor em função da tensão da fonte e o circuito é mostrada abaixo v t t v dt t dv RC C C Obs Não esqueça de considerar na transformada da derivada o valor inicial de tensão para o capacitor b Uma balança é um instrumento responsável por medir a massa de um objeto Considere uma balança descrita pela equação diferencial abaixo onde mt é o valor da massa em kg colocada na balança de pesagem xt é o valor em kg indicado pela balança e Kb é o parâmetro de calibração do instrumento O valor atual de Kb é ajustado para 100 Considere que a balança estava vazia e que foi colocada nela um objeto de 50 kg A equação diferencial para este sistema é 20 K m t K x t x t t x b b c Um motor CC de 12 V controlado pela armadura possui a seguinte equação diferencial que relaciona a tensão aplicada na armadura vt V a velocidade do rotor wt RPM e ainda considerando que o motor estava inicialmente desligado e se aplicou uma tensão de 10V 1400 200 30 v t t t t d Dada a equação diferencial abaixo onde um sinal unitário é aplicado ao sistema 12 4 4 x t y t y t y t IV Transformadas inversas de Laplace Valor 2 pontos Obtenha a solução dos sistemas do item IV Faça algebricamente e em seguida utilize o Scilab e Wolfran Alpha para verificar sua resposta a 6 2 s s s F s b 25 10 2 3 2 s s s s F s C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O U N A I n s t i t u t o P o l i t é c n i c o S I S T E M A S D E C O N T R O L E 3 V Representação de sistemas e álgebra de blocos Valor 1 ponto a Reduza o diagrama de blocos e determine a função de transferência YsUs b Para o sistema abaixo determine as funções de transferência da saída em relação ao setpoint e aos distúrbios VI Sistemas de 1ª ordem e desempenho Valor 1 ponto a Dada a função de transferência para um sistema de 1ª ordem 1 3 25 s s F determine a constante de tempo do e o ganho do sistema se a entrada do mesmo é igual a 75 b Obtenha a função de transferência para o sistema de 1ª ordem que tem o gráfico da saída representado abaixo considerando que o sinal de entrada utilizado para obter a saída foi igual a 200V C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O U N A I n s t i t u t o P o l i t é c n i c o S I S T E M A S D E C O N T R O L E 4 a xt 5e3t L0t xτdτ 1s Lxt 5ss3 b xt 10cos2t L0t xτdτ 1s Lxt 10s24 I a ft 7 7ut Xs 7s b xt 2ut 2xs 2s c xt 7t4 L7t4 7s2 4s d xt 2e5t 6 Lx 2s5 6s e xt 3sen5t Lx 15s225 f xt 2cos3t 5 Lx 2ss29 5s g xt 4e3t cos7t Lx 4s3s3249 h xt 10e5t sen3t 5u Lx 30s52 9 5s II a xt e3t sen5t Lx s3s32 25 b xt e3t sen4t Lx 4s32 16 c xt 10te3t Lx 10s32 d xt 5e3t ddt x sLx x0 5ss3 5 15s3 e xt 5cos3t ddt Lx sLx 5 s5ss29 5 45s2 9 f xt 7sen5t d2dt2 Lx s2 Lx s x0 dxdtt0 s2 35 35 35s2 25 x0 0 x0 35 VI a Fs 253s1 KTs1 Logo 53 constante do tempo Se ut 75 yss 75 x 25 1875 ganho b Temos que yss p um sistema de 1º ordem é dado por Ka ou seja rt aut Como rt 200v a 200 Como yss 100 200K K 12 Podemos afirmar que t 45s y yss 100 45 59 τ 19 Portanto G 12 19 s 1 12 9 s 9 92s 18 G 92s 18 v a Temos que E1 U Y E2 U Y HE3 E3 E1 HE3 Alén disso E3 GE2 Y KG E2 E2 Y Y K E3 KG Logo Y U Y HGY U Y 1 1 H Y KG KG KG KGT H1 KG Y U KG 20 1 ATS 20 20 KGTH1 20 DS1 20 Dλ4Δτ5 λ39λ220λ20 λ39λ220λ20 Y U b Y R G C ID G Y R E R Y Y L2D2 G L1D1 CE L2D2 G L1D1 GGE Y L2D2 GL1D1 GC R GCY 1 GC Y L2D2 GL1D1 GC R L1 L2 0 Y GC R 1 GC Y R L2 0 L 1 GC Y GD L1 Y GD L1 L1 1 GC Y R L1 0 1 GC Y L2 D2 Y D2 L2 1 GC Xs ut ÿ 4ŷ ý 12 ut Assumindo condições iniciais nulas temos que λ2 Y λ 4λ Y λ 2Y λ 12 λ Y λ 12 λ2 4λ 4 a F λ λ λ2 λ 6 λ λ 2 λ 3 A λ 2 B λ 3 A λ 3A BA 2B λ A B 1 3A 2B 0 3A 3B 3 3A 2B 0 5B 3 B 35 A 2B3 2 3 3 25 F λ 25 1 λ 2 35 1 λ 3 f t 25 e2t 35 e3t F λ λ 3 λ 2 λ 5 2 A B C λ 2 λ 5 λ 5 Aλ2 10λs 2SA B λ2 3λ 10 C λ 2 A B 0 10A 3B C 1 A 149 B 149 C 87 2SA 103 2C 3 F λ 149 1 λ 2 149 1 λ 5 87 1 λ 5 2 f t 149 e 149 e 87 t e 5t A B 7A C 1 C 1 7A 35A 2 19A 3 A 149 B 149 C 1 17 87 III a RC102 C 2j2 2j 1 V0 1V Vt 2V Entrada Vt Saída VCt EDO RC dVC VC V 02 dVC VC V 2 dt dt Aplicando a transformada de laplace 02s VLC V0 Vs 2 02s 1 Vcs 2s 1 VC0 2 1s 02s 1 02s 1 b K 100 Considerando que a balança estava vazia temos que m 50kg X0 0 X0 0 EDO X 20X 100 X 50 x 100 Aplicando a transformada de laplace temos que s2Xs 20sXs 100Xs 5000 Xs 5000 s s2 20s 100 c Como o motor está inicialmente desligado ω0 ω0 0 Vt 10V ÿ 30ŵ 200ω 14000 Aplicando a transformada de laplace temos que s2Ws 30sWs 200Ws 14000 ωs 14000 s s2 30 s 200