Aula de Revisão: Geometria Analítica e Álgebra Linear

Geometria Analítica e Álgebra Linear e Vetorial Profa Me Alberto de Paula Freire 2 AULA DE REVISÃO Unidade I Plano Cartesiano Vetores e Retas e Planos no Espaço Unidade II Cônicas Unidade III Quádricas Unidade IV Matrizes Determinantes e Sistemas Estudo de Caso 3 PLANO CARTESIANO VETORES E RETAS E PLANOS NO ESPAÇO DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Ache o comprimento do segmento cujos extremos são A 1 2 e B 2 4 𝐴 𝑥1 𝑦1 e 𝐵 𝑥2 𝑦2 𝑑𝐴 𝐵 𝑥2 𝑥1 2 𝑦2 𝑦1 2 𝑑𝐴 𝐵 2 1 2 4 2 2 𝑑𝐴 𝐵 1 2 2 2 𝑑𝐴 𝐵 5 4 PLANO CARTESIANO VETORES E RETAS E PLANOS NO ESPAÇO PONTO DE MÉDIO DE UM SEGMENTO Ache o ponto médio do segmento cujos extremos são A 1 2 e B 2 4 𝑥1𝑥2 2 𝑦1𝑦2 2 12 2 24 2 12 2 24 2 3 2 3 5 DEFINIÇÃO DE VETOR Um vetor é um par ordenado A B de pontos do espaço O uso de par ordenado serve para dar noção de orientação do vetor Podemos representar um par ordenado A B graficamente com uma seta dirigida do ponto A ao ponto B ver figura 9 Podemos então entender o segmento orientado de A a B como sendo dado pelo par A B de pontos PLANO CARTESIANO VETORES E RETAS E PLANOS NO ESPAÇO Fonte O autor 2022 𝐴 𝐵 6 OPERAÇÕES VETORIAIS Considerando os seguintes vetores u 1 2 v 32 o que podemos afirmar sobre uv 1 2 3 2 4 0 uv 1 2 3 2 2 4 5u 51 2 5 10 3v 33 2 9 6 PLANO CARTESIANO VETORES E RETAS E PLANOS NO ESPAÇO 7 DEPENDÊNCIA LINEAR MÉTODO 01 Determinar se os vetores do conjunto 1 2 2 4 são linearmente dependentes ou independentes 24 𝑎 12 𝐿 𝐷 24 𝑎 12 𝐿 𝐼 24 𝑎12 24 212 24 24 PLANO CARTESIANO VETORES E RETAS E PLANOS NO ESPAÇO 8 DEPENDÊNCIA LINEAR MÉTODO 02 Determinar se os vetores do conjunto 1 2 2 4 são linearmente dependentes ou independentes 𝑎 24 𝑏 12 0 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝐿 𝐼 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 𝐿 𝐷 2𝑎 4𝑎 𝑏 2𝑏 0 2𝑎 𝑏 4𝑎 2𝑏 0 2𝑎 𝑏 0 4𝑎 2𝑏 0 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 𝐿 𝐷 PLANO CARTESIANO VETORES E RETAS E PLANOS NO ESPAÇO 9 POSIÇÕES RELATIVAS DE RETA E PLANO Determine a interseção da reta 𝑥 3 2𝑡 𝑦 1 𝑡 𝑧 2 3𝑡 com o plano 𝜋 𝑥 4𝑦 𝑧 2 𝑡 𝑅 3 2𝑡 41 𝑡 2 3𝑡 2 isto é 𝑡 1 O ponto de interseção é portanto 1 2 5 PLANO CARTESIANO VETORES E RETAS E PLANOS NO ESPAÇO 10 CÔNICAS EQUAÇÃO DA PARÁBOLA Considere a reta 𝑟 𝑦 5 4 e o ponto 𝐹 2 3 4 Seja 𝑥 𝑦 um ponto P arbitrário da parábola p definida a partir dessa diretriz e desse foco Determine a equação da parábola 𝑑 𝑃 𝐹 𝑑𝑃 𝑟 𝑥 2 2 𝑦 3 4 2 𝑦 5 4 𝑥 2 2 𝑦 3 4 2 𝑦 5 4 2 𝑦 𝑥2 4𝑥 3 11 CÔNICAS EQUAÇÃO DA ELIPSE A equação da elipse com o centro na origem do plano cartesiano e que passa pelos pontos A15 0 A2 5 0 e B2 0 4 B1 0 4 é 𝑥2 𝑎2 𝑦2 𝑏2 1 𝑥2 52 𝑦2 42 1 𝑥2 25 𝑦2 16 1 12 CÔNICAS EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE Os vértices de uma hipérbole são os pontos 03 e 03 e seus focos são 05 e 05 Determine a equação da hipérbole 𝐴10 3 𝑒 𝐴20 3 𝑎 3 𝐹10 5 𝑒 𝐹20 5 𝑐 5 𝑐2 𝑎2 𝑏2 𝑏 4 𝑦2 𝑎2 𝑥2 𝑏2 1 𝑦2 32 𝑥2 42 1 𝑦2 9 𝑥2 16 1 13 QUÁDRICAS 13 QUÁDRICAS CÊNTRICAS Se todos os sinais são negativos então o lugar geométrico da equação é vazio Logo existem três possibilidades todos os sinais são positivos dois sinais positivos e um negativo ou um positivo e dois negativos Todos os sinais positivos Elipsóide 𝑥2 𝑎2 𝑦2 𝑏2 𝑧2 𝑐2 1 𝑧 𝑦 𝑥 𝑜 Fonte O autor 2022 14 QUÁDRICAS 14 QUÁDRICAS QUÁDRICAS CÊNTRICAS Dois sinais positivos e um negativo Hiperboloide de uma folha 𝑥2 𝑎2 𝑦2 𝑏2 𝑧2 𝑐2 1 𝑧 𝑦 𝑥 Fonte O autor 2022 15 QUÁDRICAS 15 QUÁDRICAS CÊNTRICAS Dois sinais negativos e um positivo Hiperboloide de duas folha 𝑥2 𝑎2 𝑦2 𝑏2 𝑧2 𝑐2 1 𝑧 𝑦 𝑥 Fonte O autor 2022 16 QUÁDRICAS 16 CILINDRO RETO DE BASE ELÍPTICA Possibilidades 𝑥2 𝑎2 𝑦2 𝑏2 1 𝑥2 𝑎2 𝑦2 𝑏2 1 𝑥2 𝑎2 𝑦2 𝑏2 1 𝑧 𝑦 𝑥 Fonte O autor 2022 17 MATRIZES DETERMINANTES E SITEMAS LINEARES ADIÇÃO DE MATRIZES A B existe se e somente se A e B são do mesmo tipo m x n 9 0 3 3 2 7 0 0 1 4 2 1 2 0 1 2 7 0 4 1 18 MATRIZES DETERMINANTES E SITEMAS LINEARES MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES A matriz produto AB existe apenas se o número de colunas da primeira matriz A é igual ao número de linhas da segunda matriz B x 3 3 x 3 2 3 x 2 44 31 04 21 4 2 11 41 30 01 20 1 2 10 43 32 03 22 3 2 12 4 0 2 3 2 1 4 1 1 0 3 2 3 x 3 3 x 3 13 2 9 4 0 2 18 4 4 16 3 0 2 8 1 4 0 0 0 2 0 12 6 0 4 6 2 19 MATRIZES DETERMINANTES E SITEMAS LINEARES MATRIZ INVERSA Para que exista a matriz inversa Ade uma matriz A é necessário que a matriz A seja quadrada e que AAI ou AAI A matriz I chamase identidade A A In 1 2 2 1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1 0 0 1 1 𝑎 2 𝑐 1 𝑏 2 𝑑 2 𝑎 1 𝑐 2𝑏 1 𝑑 1 0 0 1 2𝑎 4𝑐 2 2𝑎 𝑐 0 5𝑐 2 𝑐 2 5 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎 1 5 2𝑏 4𝑑 0 2𝑏 𝑑 1 5𝑑 1 𝑑 1 5 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑏 2 5 20 MATRIZES DETERMINANTES E SITEMAS LINEARES DETERMINANTE DE 1ª ORDEM Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M 𝑎11 chamamos de determinante associado à matriz M o número real 𝑎11 𝑀1 5 𝑑𝑒𝑡𝑀1 5 5 5 𝑀2 3 𝑑𝑒𝑡𝑀2 3 3 3 21 MATRIZES DETERMINANTES E SITEMAS LINEARES DETERMINANTE DE 2ª ORDEM Dada a matriz 𝑀 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 de ordem 2 por definição temos que o determinante associado a essa matriz ou seja o determinante 2ª de ordem é dado por 𝑑𝑒𝑡 𝑀 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎11 𝑎22 𝑎21 𝑎12 𝑑𝑒𝑡 𝑀 2 3 4 5 25 43 10 12 2 22 MATRIZES DETERMINANTES E SITEMAS LINEARES DETERMINANTE DE 3ª ORDEM REGRA DE SARRUS Dispositivo prático para calcular o determinante de 3ª ordem 𝐷 2 3 1 4 1 2 3 2 1 2 3 4 1 3 2 3 8 12 2 18 8 47 23 MATRIZES DETERMINANTES E SITEMAS LINEARES DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas calculamos o determinante D da matriz incompleta Assim se Para D 0 Sistema é possível e determinado SPD ou seja tem solução única Para D 0 Sistema pode ser possível e indeterminado SPI ter infinitas soluções ou impossível SI não ter solução 24 REFERÊNCIAS AVRITZER D Geometria Analítica e Álgebra Linear Uma Visão Geométrica Belo Horizonte Editora UFMG 2009 BEZERRA L H SILVA I P C Geometria analítica Florianópolis UFSCEADCEDCFM 2010 FRANCO NEIDE M B Álgebra Linear São Paulo Pearson 2016 RONCAGLIO Viviane NEHRING Cátia M Registros de Representação Semiótica conversão e tratamento em vetores Curitiba Appris 2019 25 Obrigado Alberto de Paula Freire Contatos albertofreirefatecieedubr