Lista de Exercicios Resolvidos - Geometria Analitica Algebra Linear e Vetorial

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR E VETORIAL Atividade 1 Método das Projeções Ortogonais Exemplo para estudo de caso Em determinado intervalo de tempo durante uma partida de futebol os deslocamentos de um jogador foram representados por vetores Primeiro ele se deslocou 4m para frente depois 10m para esquerda em seguida 5m em direção inclinada 6m para trás e finalmente 2m para direita A figura a seguir representa esses deslocamentos utilizando vetores com uma origem comum O módulo de cada um desses vetores está indicado na figura Responda a Considere senα 06 e cosα 08 e determine R A B C D E usando o método das projeções b Determine os componentes ortogonais nas direções do eixo Ox e Oy de cada um dos deslocamentos c Represente o vetor correspondente à soma de todos esses deslocamentos utilizando as projeções obtidas Terminada essa sequência de deslocamentos a quantos metros estará o jogador do ponto de partida ATIVIDADE 2 O conceito do momento de uma força é extremamente importante no projeto de engenharia O seu conhecimento é necessário nas determinações dos esforços internos sobre uma estrutura metálica ou estrutura de concreto Este conceito está diretamente ligado a decomposição das forças grandeza vetorial que atuam no sistema O momento de uma força é a capacidade dessa força em fazer girar um objeto Consideremos uma força de intensidade F aplicada num ponto A de uma barra que pode girar livremente em torno do ponto O pólo conforme figura Mo FXd O momento da força F em relação a um ponto O fixo é o produto vetorial da força F pelo vetor distância d do ponto à reta suporte da força Ponto 0 polo do momento Mo Momento da força F em relação ao ponto O Responda Conhecendo o sistema ordenado apresentado abaixo defina a A expressão vetorial da força F X Y Z b A expressão vetorial do vetor deslocamento d X Y Z c Calcule o produto vetorial F X d d No aplicativo Geogebra veja a representação gráfica deste resultado Linde de acesso httpswwwgeogebraorgclassic ATIVIDADE 1 RESOLUÇÃO a Vamos analisar as projeções de cada vetor sobre cada eixo especificado sendo que a projeção sobre o eixo x será indicada por i e a projeção sobre o eixo y indicada por j A0 i4 j4 j B2 i0 j2 i C0 i6 j6 j D5cosα i5sinα j E10 i0 j10 i Como o seno e cosseno de α foi estabelecido no enunciado temos que D4 i3 j O vetor R é dado por RABCDE A soma desses vetores é igual a soma de suas projeções sobre os eixos então R4 j2 i6 j4 i3 j10 i Observe que a soma é feita para cada projeção ou seja projeções do eixo x somase com projeções do eixo x assim também é feito no eixo y R2410 i463 j Então o vetor R tem como resultado R12 i5 jm b Cada vetor teve sua projeção obtida no item a assim determinamos a projeção de cada vetor sobre cada eixo OBS Cada projeção é um vetor portanto o valor negativo em algumas projeções é condizente pois não é o módulo do vetor O vetor A têm as seguintes projeções 0m sobre o eixo X e 4m sobre o eixo Y O vetor B têm as seguintes projeções 2m sobre o eixo X e 0m sobre o eixo Y O vetor C têm as seguintes projeções 0m sobre o eixo X e 6m sobre o eixo Y O vetor D têm as seguintes projeções 4m sobre o eixo X e 3m sobre o eixo Y O vetor E têm as seguintes projeções 10m sobre o eixo X e 0m sobre o eixo Y O vetor resultante R têm as seguintes projeções 12m sobre o eixo X e 5m sobre o eixo Y Ou como considerado no item a temos que A4 jm B2 im C6 jm D4 i3 jm E10 im R12 i5 jm Onde a projeção sobre o eixo x será indicada por i e a projeção sobre o eixo y indicada por j c Usando o software Geogebra temos a seguinte plotagem para o vetor R Fazendo uma translação de cada vetor seguindo o sentido do deslocamento temos uma noção da posição final através da visualização na forma geométrica como na figura a seguir A distância entre o jogador e o ponto inicial da partida pode ser obtido calculando o módulo do vetor R Vamos considerar o módulo do vetor R sendo R Então temos que R 2Rx 2Ry 2 As componentes do vetor R sobre o eixo X e o eixo Y podem ser especificadas como Rx e Ry respectivamente Como obtido no item a temos que Rx12 e Ry5 Assim R 212 25 2 R 214425 R 2169 R169 R13m Portanto temos que a distância entre o ponto de partida e o jogador é de 13m ATIVIDADE 2 Os vetores que serão analisados nos itens a e b foram plotados no Geogebra para melhor entendimento da questão Notese que os vetores F e d pertencem ao plano XY sendo assim a componente em Z em ambos vetores são nulos As projeções sobre cada eixo serão denotadas como na atividade 1 sendo que o vetor que terá direção em Z será denotado como k a Temos que o vetor F é dado por F0 i10 j0 k E esse vetor na expressão vetorial é F0100 N b O deslocamento vetorial d é dado por d2 i0 j0 k E esse vetor na expressão vetorial é d200m c O produto vetorial Fd pode ser calculado como a seguinte determinante Fd i j k 0 10 0 2 0 0 20 k Então temos que Fd é dado por Fd0020 Nm d A seguir encontrase a plotagem do produto vetorial obtido no item c Vemos que a linha azul indica a direção Z a linha verde a direção Y e a linha vermelha a direção X Note que o vetor obtido do produto vetorial Fd é ortogonal a F e d