Geometria Analítica e Álgebra Linear e Vetorial

Geometria Analítica e Álgebra Linear e Vetorial Professor Me Alberto de Paula Freire EduFatecie E D I T O R A EQUIPE EXECUTIVA EditoraChefe Profa Dra Denise Kloeckner Sbardeloto Editor Adjunto Prof Dr Flávio Ricardo Guilherme Assessoria Jurídica Profa Dra Letícia Baptista Rosa Ficha Catalográfica Tatiane Viturino de Oliveira Zineide Pereira dos Santos Revisão Ortográfica e Gramatical Profa Esp Bruna Tavares Fernandes Secretária Geovana Agostinho Daminelli Setor Técnico Fernando dos Santos Barbosa Projeto Gráfico Design e Diagramação André Dudatt wwwunifatecieedubr editoraedufatecie edufateciefatecieedubr Reitor Prof Ms Gilmar de Oliveira Diretor de Ensino Prof Ms Daniel de Lima Diretor Financeiro Prof Eduardo Luiz Campano Santini Diretor Administrativo Prof Ms Renato Valença Correia Secretário Acadêmico Tiago Pereira da Silva Coord de Ensino Pesquisa e Extensão CONPEX Prof Dr Hudson Sérgio de Souza Coordenação Adjunta de Ensino Profa Dra Nelma Sgarbosa Roman de Araújo Coordenação Adjunta de Pesquisa Prof Dr Flávio Ricardo Guilherme Coordenação Adjunta de Extensão Prof Esp Heider Jeferson Gonçalves Coordenador NEAD Núcleo de Educação à Distância Prof Me Jorge Luiz Garcia Van Dal Web Designer Thiago Azenha Revisão Textual Beatriz Longen Rohling Carolayne Beatriz da Silva Cavalcante Geovane Vinícius da Broi Maciel Kauê Berto Projeto Gráfico Design e Diagramação André Dudatt 2021 by Editora Edufatecie Copyright do Texto C 2021 Os autores Copyright C Edição 2021 Editora Edufatecie O conteúdo dos artigos e seus dados em sua forma correçao e confiabilidade são de responsabilidade exclusiva dos autores e não representam necessariamente a posição oficial da Editora Edufatecie Permi tidoo download da obra e o compartilhamento desde que sejam atribuídos créditos aos autores mas sem a possibilidade de alterála de nenhuma forma ou utilizála para fins comerciais Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP F866g Freire Alberto de Paula Geometria analítica e álgebra linear e vetorial Alberto de Paula Freire Paranavaí EduFatecie 2022 91p il Color ISBN 9786580055791 1 Geometria analítica 2 Álgebra linear 3 Álgebra vetorial I Centro Universitário UniFatecie II Núcleo de Educação a Distância III Título CDD 23 ed 5125 Catalogação na publicação Zineide Pereira dos Santos CRB 91577 EduFatecie E D I T O R A UNIFATECIE Unidade 1 Rua Getúlio Vargas 333 Centro Paranavaí PR 44 30459898 UNIFATECIE Unidade 2 Rua Cândido Bertier Fortes 2178 Centro Paranavaí PR 44 30459898 UNIFATECIE Unidade 3 Rodovia BR 376 KM 102 nº 1000 Chácara Jaraguá Paranavaí PR 44 30459898 wwwunifatecieedubrsite As imagens utilizadas neste livro foram obtidas a partir do site Shutterstock httpsorcidorg0000000154094194 AUTOR Professor Me Alberto de Paula Freire Licenciatura em Matemática pela Faculdade Estadual de Educação Ciências e Letras de Paranavaí FAFIPA Mestre em Ensino de Física pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Professor universitário UniFatecie Professor de Matemática do Colégio Fatecie Premium Possui graduação em Matemática pela Faculdade Estadual de Educação Ciências e Letras de Paranavaí 2008 Mestrado em Física pela UTFPR campus Campo Mourão 2018 Tem experiência na área de Matemática e Física para o Ensino Médio e o Pré Vestibular Tem experiência em Cálculo Diferencial e Integral Álgebra Linear Geometria Analítica Estatística e Matemática Financeira Atualmente é professor do ensino médio no Colégio Fatecie Premium e no Centro Universitário UNIFATECIE nas graduações de Engenharia Civil Engenharia Agronômica Engenharia de Produção Ciências Contábeis e Administração Professor desde 1987 CURRÍCULO LATTES httplattescnpqbr6855292408517196 APRESENTAÇÃO DO MATERIAL Prezado a aluno a a Geometria Analítica e a Álgebra Linear exercem a função matemática de criar um elo entre as representações geométricas e as representações algé bricas Para tornar este material mais representativo vamos estudar conceitos teoremas demonstrações e exemplos Isso fará com que o conhecimento adquirido seja de grande valia para o futuro profissional na área das exatas A proposta da ementa é trazer de forma simples e objetiva os temas mais importantes desta intrigante e fascinante disciplina Na Unidade I começaremos os nossos estudos compreendendo o plano cartesiano e seus elementos na sequência o foco passa a ser os vetores Para finalizar esta unidade vamos aprender a importância matemática das posições relativas entre retas e planos Já na Unidade II vamos aprender a representação geométrica e algébrica das cônicas Aprenderemos também a representação equacional da elipse hipérbole e parábo la E para finalizar o estudo das cônicas vamos desenvolver a representação geométrica das cônicas no plano cartesiano Depois na Unidade III estudaremos as quádricas suas equações e representa ções geométricas Este tema é um dos mais intrigantes da geometria analítica A ideia é dar a você aluno a a noção de espaço tridimensional e rotação de cônicas Para finalizar a nossa disciplina nesta quarta e última unidade vamos falar sobre matrizes determinantes e sistemas lineares Aprenderemos conceitos definições e teore mas Tudo muito bem orientado e contextualizado em nosso material Dentro da proposta e dos objetivos da nossa disciplina gostaríamos que você alu no a aproveitasse o máximo este estudo e que o conhecimento adquirido seja de grande valia para sua vida profissional SUMÁRIO UNIDADE I 3 Plano Cartesiano VetoresRetas e Planos no Espaço UNIDADE II 28 Cônicas UNIDADE III 44 Quádricas UNIDADE IV 61 Matrizes Determinentes e Sistemas 3 Plano de Estudo Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço Objetivos da Aprendizagem Proporcionar ao estudante uma visão integrada dos conceitos de plano cartesiano cálculo vetorial relação entre retas e planos no espaço Utilizar os conceitos básicos das equações geométricas Compreender os conceitos e fórmulas da geometria analítica para resolver problemas UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço Professor Me Alberto de Paula Freire 4 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço INTRODUÇÃO Nesta unidade aprenderemos os conceitos e definições do Plano Cartesiano Ve tores e Retas e Planos no Espaço No primeiro tópico estudaremos a distância entre dois pontos ponto médio circunferência equação de retas ângulo entre duas retas e distância entre ponto e reta No segundo tópico o nosso estudo entra em um dos temas mais importantes da matemática os vetores estudaremos os itens representação geométrica dos vetores ope rações vetoriais norma de um vetor produto interno dependência linear base ortonormal e produto vetorial Finalizando esta unidade o nosso estudo concentrase na equação cartesiana do plano equação paramétrica do plano posições relativas de planos e posições relativas entre retas e planos 5 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço 1 PLANO CARTESIANO O plano cartesiano é um conceito introduzido no século XVII pelos matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat para representar graficamente pares or denados x y em que os elementos x e y pertencem aos números reais Identificase geometricamente um plano cartesiano com duas retas orientadas uma na vertical e outra na horizontal A reta vertical é responsável por alojar os valores de y esta reta é chamada de ordenada A reta horizontal tem a sua escala representada pelos valores de x esta reta é chamada de abscissas O ponto de interseção desses dois eixos é dito como origem do sistema cartesiano O plano cartesiano é dividido em quatro regiões denominadas quadran tes BEZERRA e SILVA 2010 FIGURA 1 REPRESENTAÇÃO DO PLANO CARTESIANO E OS QUATRO QUADRANTES Fonte O autor 2021 6 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço FIGURA 2 TABELA DOS QUADRANTES E RESPECTIVOS SINAIS PARA OS EIXOS COORDENADOS Quadrante Abcissa Ordenada 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante Fonte O autor 2021 A geometria euclidiana interpretada no plano cartesiano é dita geometria analítica plana Também chamamos o plano cartesiano de plano numérico pois cada ponto do plano cartesiano é um par ordenado de números reais x y Adotamos Pxy para representar que xy é um par ordenado identificado exa tamente no ponto P 11 Distância entre Dois Pontos Dados dois pontos A x1 y1 e B x2 y2 a distância entre eles é dada por que é o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo com catetos de comprimentos iguais a x2 x1 e y2 y1 respectivamente FIGURA 3 REPRESENTAÇÃO DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO CARTESIANO Fonte O autor 2021 12 Ponto Médio de um Segmento Considerando a figura abaixo M é o ponto médio do segmento AB Observe que por semelhança de triângulos as coordenadas de M são 7 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço FIGURA 4 REPRESENTAÇÃO DO PONTO MÉDIO ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO CARTESIANO Fonte O autor 2021 13 Circunferência De acordo com Bezerra e Silva 2010 podemos definir uma circunferência de raio r e centro em C como sendo o lugar geométrico dos pontos P tais que d PC r Se C x 0 y0 então essa circunferência é o conjunto dos pontos Pxy tais que ou seja x x0 2 x y0 2 r2 Essa equação é chamada de equação da circunferência de raio r e centro em x0y0 Por exemplo a equação x 32 x42 36 uma equação da circunferência de raio 6 e centro em 34 Eu disse uma equação e não a equação porque depois de alguns cálculos a equação acima se torna x2y26x8y110 e esta é outra equação que descreve a mesma circunferência A palavra equação quer dizer igualdade As igualdadesx32 x42 36 e x2 y2 6x 8y 11 0 são obviamente diferen tes mas elas são equivalentes no sentido que os pares de números x e y que tornam a primeira equação verdadeira fazem com que a segunda equação também seja verdadeira e reciprocamente Por exemplo 3 32 2 42 36 ou seja a primeira equação é verdadeira quando x 3 e y 2 e substituindose esses valores na segunda equação ela fica 32 22 18 16 11 0 que também é verdadeira 14 Equações de Retas De acordo com Bezerra e Silva 2010 vimos que um ponto é interpretado no plano cartesiano como sendo um par ordenado de números Veremos agora que a reta vai ser interpretada como um conjunto de pares ordenados que satisfazem uma equação linear do tipo ax by c com a 0 ou b 0 Observemos que o conjunto dos pares x y que 8 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço satisfazem ax by c é igual ao conjunto dos pares que satisfazem Kax Kby Kc K0 pois essas equações são equivalentes entre si Interpretando a reta como um conjunto de pontos que satisfazem ax by c em que abc são números reais fixos e a2 b2 0 o que é equivalente a a0 ou b0 será que o axioma de geometria euclidiana por dois pontos distintos passa uma única reta é válido Devemos verificar se a proposição dados dois pa res ordenados distintos existe um único conjunto de pares ordenados que satisfazem uma equação axbyc a2 b2 0 que contém os dois pares é verdadeira no plano cartesiano que é o que faremos a seguir Proposição Se P x1 y1 e Q x2 y2 são distintos então existem a b e c com a2 b20 tais que ax1 by1 c e ax2 by2 c Além disso se existem outros a b c com a2 b2 0 tais que ax1 by1 c e ax2 by2 c então existe um número k tal que a ka b kb c kc Demonstração Observe que y2 y1 x x2 x1 y y2 y1 x1 x2 x1 y1 é uma equação do tipo procurado pois é da forma ax by c e a equação é satisfeita pelos pontos P e Q Vamos mostrar agora a segunda parte da proposição Vamos supor então que ax1 by1 c e ax2 by2 c e que ax1 by1 c e ax2 by2 c Temos então que ax2 x1 b y2 y1 0 e ax2 x1 by2 y1 0 Se x1 x2 então y1 y2 pois P e Q são distintos Obtemos nesse caso que b b 0 Logo tanto a como a são não nulos Assim Logo E como b b 0 b kb Se y1 y2 por raciocínio análogo chegamos ao mesmo resultado Vamos supor agora que x1 x2 e y1 y2 Temos que Logo Por conseguinte kc k ax1 by1 ka x1 kb y1 ax1 by1 c 15 Coeficiente angular de uma reta não vertical Definição o coeficiente angular m ou a inclinação ou a declividade da reta que passa por dois pontos P x1 y1 e Q x2 y2 tais que x1 x2 é 9 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço FIGURA 5 REPRESENTAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA Fonte O autor 2021 O coeficiente angular é a razão entre a variação de ordenadas e a variação de ab cissas dos dois pontos É um número real equivalente a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo horizontal Quando se tem retas verticais cujos pontos têm uma mesma abcissa dizemos que elas têm inclinação infinita A equação delas tem a forma x x0 em que x0 é a abcissa comum a todos os pontos da reta Agora sejam dados dois pontos P x1 y1 e Q x2 y2 em que x1 x2 Seja r uma reta que passa pelos pontos P e Q Uma observação muito importante é o que chamamos de reta é um conjunto de pontos que satisfaz uma equação linear em x e y Se esse conjunto representa uma reta logo um ponto x y desse conjunto xyP é tal que a inclinação da reta que passa por xy e P é a mesma que a da reta P e Q Sendo assim podemos equacionar este conceito da seguinte maneira Ou seja Logo chamaremos esta equação de equação da reta A estrutura algébrica desta equação tem o formato ax by c Com o estudo detalhado acima podemos concluir que se a b e c R ax by c é equação de reta se e só se a 0 ou b 0 Quando ocorrer ambos os coeficientes a e b serem nulos a equação se torna 0x 0y c que não tem solução c0 ou todos os pares ordenados são soluções c0 ou seja o conjuntosolução é o plano todo Outra maneira de achar equação de reta é substituir dois pontos quaisquer na equação ax by c obtendo assim um sistema de duas equações cujas incógnitas são os coeficientes a b e c 10 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço 16 Ângulo Entre Duas Retas Duas retas distintas em um plano podem ser concorrentes ou paralelas Retas paralelas são aquelas que têm mesma inclinação Por exemplo as retas rx 2 e sx 1 são paralelas assim como as retas q y 2x 2 e t y 2x 5 Em determinados estudos as retas coincidentes são consideradas retas paralelas isto pode configurar um caso particular Duas retas representam uma mesma reta se os coeficientes a b e c forem iguais ou múltiplos Podemos concluir ainda que duas retas são concorrentes se as suas inclinações forem distintas Destacase um caso particular de retas concorrentes as retas perpendiculares en tre si A análise da posição entre duas retas fica restrita as suas inclinações Segue abaixo algumas definições quanto as posições e os ângulos de inclinação com são perpendiculares se os ângulos θ1 e θ2 00θ1θ21800 e que as retas fazem respectivamente com o eixo horizontal forem tais que θ2 θ1900 Os coeficientes angulares das retas são m1 tanθ1 e m2 tanθ2 Utilizando relações trigonométricas concluímos então que Segue abaixo o seguinte resultado y m1 x b1 m10 e y m2 x b2 m2 0 São perpendiculares Podemos aplicar o mesmo raciocínio para calcular a tgθ entre duas retas concor rentes r e s não perpendicular entre si Analisemos os casos abaixo r x x0 vertical e s y mx b m0 FIGURA 6 REPRESENTAÇÃO ANGULAR ENTRE DUAS RETAS EM RELAÇÃO AO EIXO X Fonte O autor 2021 11 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço FIGURA 7 REPRESENTAÇÃO ANGULAR ENTRE DUAS RETAS EM RELAÇÃO AO EIXO X θ 900θ1 tgθ1 m Fonte O autor 2021 r y m1 x b1 e y m2 x b2 m1m2 1 Logo concluímos que 17 Distância entre Ponto e Reta Neste item estudaremos a distância entre o ponto P x0y0 a uma reta rymxb Para este estudo é importante o ponto não pertencer a reta Quando falamos de distância de um ponto à uma reta devemos considerar a menor distância entre ponto P até a reta Essa distância configura um segmento perpendicular à reta dada Seja o ponto Q x1 y1 é a solução do sistema A solução é A distância de P a Q é então igual a ou seja 12 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço 2 VETORES Para iniciar este estudo é importante entender que existem grandezas que neces sitam do suporte vetorial e outras não Vamos tomar como exemplo a grandeza velocidade esta necessita de direção sentido e intensidade Se a grandeza velocidade necessita des tes três elementos ela é denominada vetorial Um exemplo de grandeza que não necessita de direção e sentido é a massa Esta grandeza é considerada limpa ou seja somente a intensidade é relevante Nos itens abaixo aprenderemos a origem dos vetores e suas aplicações STEINBRUCH 2013 21 Espaço Cartesiano De acordo com Bezerra e Silva 2010 as coordenadas cartesianas no plano eucli diano P foi fixada uma unidade de medida e foram fixados dois eixos ortogonais e os eixos coordenados interceptandose em um ponto O a origem Passos inteiramente análogos podem ser utilizados para estudar a Geometria Espacial No espaço euclidiano E fixados três eixos mutuamente ortogonais intersectandose na origem O FIGURA 8 REPRESENTAÇÃO DO TERNO ORDENADO NO R 3 Fonte O autor 2021 13 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço 22 Vetores e a Geometria Euclidiana A geometria é a área da matemática que disponibiliza o maior número de aplicações e funcionalidades para os vetores É com a geometria que podemos definir que um vetor nada mais é que um segmento orientado Também podemos utilizar de recursos como teorema de Pitágoras e distância entre dois pontos para obter a intensidade ou magnitude dos vetores FRANCO 2016 Definição Um vetor é um par ordenado A B de pontos do espaço O uso de par ordenado serve para dar noção de orientação do vetor Podemos representar um par ordenado A B graficamente com uma seta dirigida do ponto A ao ponto B ver figura 9 Podemos então entender o segmento orientado de A a B como sendo dado pelo par A B de pontos FIGURA 9 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO VETOR Fonte O autor 2021 Podemos concluir que um vetor depende somente de seu módulo direção e sen tido Em uma representação geométrica setas com mesma intensidade direção e sentido representam o mesmo vetor FIGURA 10 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE VETORES IGUAIS Fonte O autor 2021 Observando os seguimentos A B e C D ver Figura 11 concluímos que não são colineares logo as retas são diferentes Os segmentos configuram mesmo comprimento mesma direção mesmo sentido mas estão em lados opostos 14 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço FIGURA 11 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE DOIS VETORES PARALELOS DE MESMO SENTIDO E MESMA INTENSIDADE Fonte O autor 2021 23 Operações Vetoriais A primeira e mais utilizada das operações vetoriais é a soma Sejam e vetores Es colha um ponto O qualquer Utilizando o teorema do paralelogramo existem determinados pontos X e Y que podemos orientar até o ponto O isso resulta em um seguimento orientado que posteriormente transformase nos vetores Pela definição a soma de u e v é o vetor Esse vetor soma é denotado por uv Uma observação muito importante é que pelo teorema do paralelogramo o vetor soma é a diagonal deste quadrilátero A representação geométrica da origem da soma vetorial está na figura 12 logo abaixo FIGURA 12 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DA SOMA DOS VETORES U E V Fonte O autor 2021 Propriedades da soma de vetores A1 Comutatividade u v v u para quaisquer vetores u v A2 Associatividade uv w uvw para quaisquer vetores uvw A3 Elemento neutro Se é o vetor nulo v um vetor qualquer A4 Inverso aditivo Dado qualquer vetor v existe um vetor v tal que 15 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço Propriedades da subtração de vetores S1 para qualquer vetor v S2 para quaisquer vetores u v S3 para quaisquer vetores u v z Não menos importante que a soma e subtração de vetores vem a multiplicação de um vetor por um escalar Para um determinado vetor v e λ R Podemos definir para λ0 λv vetor nulo Se λ 0 o vetor λ v diminuirá a sua intensidade e inverterá o sentido de v para 0 λ 1 o vetor λv diminuirá a sua intensidade e manterá o mesmo sentido de v e para λ 1 o vetor λ v aumentará a sua intensidade e manterá o sentido de v AVRITZER 2009 Observe na Figura 13 a representação geométrica do conceito estudado FIGURA 13 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO DE UM VETOR POR UM ESCALAR Fonte O autor 2021 Propriedades da multiplicação por escalar M1 αβvαβv para quaisquer números reais αβ e vetor v M2 αβvαvβv para quaisquer números reais αβ e vetor v M3 αuvαuαv para quaisquer α número real e uv vetores M4 1v para qualquer vetor v 24 Norma de um Vetor Neste item denotamos o comprimento de um vetor pelo símbolo v e dizemos que este é a norma o comprimento ou magnitude de v Lembrar que norma é um termo matemático que se refere a comprimento Definição Se v v1v2v3vn for um vetor em Rn então a norma de v também é denominada comprimento ou magnitude de v é denotada por v e definida pela fórmula 16 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço FIGURA 14 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DA NORMA DE UM VETOR NO R2 E NO R3 Fonte O autor 2021 Teorema Se for um vetor em Rn e k um escalar qualquer então 25 Produto Escalar em Espaços Vetoriais O produto escalar ou interno entre dois vetores u1u2u3 e v1v2v3 escritos em coordenadas relativamente a uma base é definido como u1v1 u2v2 u3v3 De maneira semelhante pode definirse o produto escalar entre dois vetores de Rn Teorema Se e são vetores nãonulos então onde θ é o ângulo formado entre os vetores e Fonte O autor 2021 Este importante teorema pode ser provado usando a Lei dos Cossenos que por sua vez é consequência do Teorema de Pitágoras Em particular segue deste teorema que a definição de produto escalar não depende da base que escolhemos para escrever os vetores e através de coordenadas Também segue deste teorema os seguintes resultados 17 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço Corolário 1 O ângulo θ entre os vetores nãonulos e é dado por Corolário 2 Os vetores e são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles é zero Exemplo 1 Calcule o ângulo entre os vetores 632 e 212 26 Combinação Linear Sejam os vetores v1v2 vn do espaço vetorial V e os escalares a1a2 an Qual quer vetor v V da forma v a1v1 a2v2anvn é uma combinação linear dos vetores v1v2 vn 27 Dependência e Independência Linear Sejam V um espaço vetorial e A v1v2 vn V Consideremos a equação a1v1a2v2anvn 0 Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução a10 a20 an0 chamada solução trivial O conjunto A dizse linearmente independente LI ou os vetores v1v2 vn são LI caso a equação admita apenas a solução trivial Se existirem soluções ai 0 dizse que o conjunto A é linearmente dependente LD ou que os vetores v1v2 vn são linearmente dependentes LD 28 Base Ortonormal Se v1v2v3 é um conjunto ortonormal de vetores do espaço então v1v2v3 é uma base A demonstração segue do fato que se para todo k mas como o conjunto é ortonormal essa equação é equivalente à equação ou seja o vetor zero só se escreve da forma trivial como combinação linear de v1v2v3 Teorema dos produtos internos de vetores escritos como combinações de vetores de uma base ortonormal Seja v1v2v3 uma base ortonormal de vetores do espaço Então se u t1 v1 t2 v2 t3 v3 e v s1 v1 s2 v2 s3 v3 temos que 18 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço Demonstração 29 Orientação do Espaço Seja v1v2v3 uma base do espaço Podemos afirmar que a base é positiva se ela satisfaz à regra da mão direita Para entendermos melhor supor três representantes para esses vetores Agora vamos girar no sentido do menor ângulo entre até coincidir com um vetor colinear com com a mão direita apoiada no plano determinado por AB e AC Se o dedo polegar da mão direita apontar para o mesmo lado do plano que então podemos afirmar que os três vetores satisfazem a regra da mão direita Uma observação muito importante é a orientação e ordem dos vetores Finalizando este conceito podemos representar a base v1v2v3 do espaço com orientação positiva ou negativa pelo triedro v1v2v3 WINTERLE 2000 210 Sistema Cartesiano de Coordenadas no Espaço Para entender melhor este item tomaremos como referência um ponto O e de finiremos o mesmo como origem É necessário para o nosso estudo adotar uma base ortonormal positiva i j k e seus representantes OX OY e OZ Para cada ponto P do espaço associaremos as coordenadas do vetor OP xi yj zk em relação a base P x y z Na diferenciação ponto e vetor podemos escrever OP x y z para conceituar que OP xi yj zk Uma observação muito importante é que tomando os pontos P abc e Q xyz o vetor PQ é dado pela diferença entre o vetor OQ e o vetor OP PQ OQ OP logo podemos concluir que PQ x a y b z c Com esse estudo podemos determinar o ângulo entre dois vetores Identificar quando dois vetores são ortogonais BEZERRA e SILVA 2010 211 Produto Vetorial Se u u1 u2 u3 e v v1 v2 v3 forem vetores no espaço tridimensional então o produto vetorial u v é o vetor definido por u v u2 v3 u3 v2u3 v1 u1 v3u1 v2 u2 v1 Ou em notação de determinante 19 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço FIGURA 14 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO VETORIAL Fonte O autor 2021 Teorema Para vetores u v e w quaisquer e para todo número real λ Proposição Se u e v são vetores nãonulos uvuvsenθ onde é o ângulo entre u e v Exemplo 1 Encontre o produto vetorial de u 102 e v 213 Exemplo 2 Calcule o produto vetorial entre 123 e 241 20 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço 3 RETAS E PLANOS NO ESPAÇO Retas são conjuntos de pontos que formam uma figura com formato de linha que não faz curvaPlanos são conjuntos de retas que formam uma superfície plana e que tam bém não possuem distorção alguma Entre essas duas figuras quando observadas no espaço tridimensional há posições relativas 31 Equação do Plano No plano a equação geral de uma reta é axbyc0 No espaço um plano é o conjunto dos pontos P xyz que satisfazem a equação axbyczd0 para ab e c R que é chamada equação geral do plano Existe uma analogia entre uma reta no plano e um plano no espaço No plano a equação de uma reta é determinada se forem dados sua inclinação e um de seus pontos No espaço a inclinação de um plano é caracterizada por um vetor perpendicular a ele chamado vetor normal ao plano e a equação de um plano é determinada se são dados um vetor normal e um de seus pontos 21 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço FIGURA 15 PLANO PERPENDICULAR A Nabc E QUE PASSA POR POX0 Y0 Z0 Fonte O autor 2021 Proposição A equação geral de um plano π que passa por um plano PO x0 y0 z0 e tem vetor normal N abc é ax by cz d 0 em que d ax0 by0 cz0 Demonstração Um ponto P xyz pertence ao plano π se e somente se o vetor for perpendicular ao vetor N ou seja Como x x0 y y0 z z0 a equação pode ser reescrita como ax x0by y0 cz z0 0 ou seja axbyczax0by0cz00 32 Equação Paramétrica do Plano Para este estudo tomamos dois vetores nãonulos e nãoparalelos u e v e um ponto P0 Considerando as retas ru e rv paralelas e na direção dos vetores u e v concorrentes em P0 Teremos um único plano contendo as retas ru e rv e o ponto P0 Desta análise podemos concluir que o plano P tem uxv como vetor normal e contém P0 Sendo P um ponto qualquer do plano trace por P paralelas ru e rv a ru e rv respectivamente A reta ru intersectará a reta rv no ponto P2 e rv intersectará a reta ru no ponto P1 como mostra a Figura 16 BEZERRA e SILVA 2010 FIGURA 16 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DAS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS NO PLANO Fonte O autor 2021 22 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço x x0y y0z z0 tu1u2u3 sv1v2v3 Ou x x0 tu1 sv1 y y0 tu2 sv2 z z0 tu3 sv3 Que são as equações paramétricas do plano P por causa dos parâmetros s t cujos valores determinam os pontos do plano Teorema Um conjunto P R3 é um plano se e somente se existirem um ponto P0 P e vetores u v nãonulos e nãoparalelos tais que 33 Posições Relativas de Planos Sejam π e π planos dados respectivamente por equações axbyczd e axbyczd Podemos ter um sistema de equações em dois formatos O primeiro da forma geométrica o problema algébrico de dar uma solução do sistema de duas equações lineares com três incógnitas representa geometricamente obter os pontos de interseção de dois planos Podemos considerar este estudo para sistemas de n n2 equações lineares com três incógnitas Resolver um sistema com a sua representação geométrica e obter os pontos comuns a n planos O segundo da forma a inverter a ênfase veremos que o problema de encontrar a interseção de n planos n2 reduzse ao de resolver um sistema de n equações lineares com três incógnitas Sejam nabc e nabc os respectivos vetores normais STEINBRUCH 2013 FIGURA 17 POSIÇÕES RELATIVAS DE PLANOS A COINCIDENTES B PARALELOS E C TRANSVERSAIS Fonte O autor 2021 23 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço A primeira corresponde ao fato trivial de que se temos uma equação do plano e a mul tiplicamos por um número real nãonulo ainda obteremos uma equação descrevendo o mesmo plano Na segunda os planos não podem ter pontos em comum Isto ocorre porque o sistema é incompatível ou seja não admite soluções Se subtraímos membro a membro a segunda equação de λ vezes a primeira obtemos que λd d 0 em contradição com a hipótese de que d λd Na terceira os vetores e não são paralelos seu produto vetorial tem ao menos uma componente nãonula digamos a terceira Na terceira os vetores n e n não são paralelos seu produto vetorial n x n tem ao menos uma componente nãonula digamos a terceira n x n3 ab ab 0 Nesse caso você pode verificar que Ou seja os pontos de interseção são da forma Fazendo z0 obtemos uma solução particular Podemos ainda introduzir um novo parâmetro t R ponto Proposição Dois planos quaisquer ou são paralelos ou se intersectam em uma reta Note que PO funciona como o ponto inicial e o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal de cada plano segue a representação geométrica Figura 18 24 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço FIGURA 18 A INTERSECÇÃO DE DOIS PLANOS Fonte O autor 2021 34 Posições Relativas entre Retas e Planos Sejam agora π ax by cz d um plano e Uma reta Podemos ter πl ou πl ou No primeiro caso dizemos que π e l são paralelos Para que haja interseção é necessário e suficiente que ax0αt by0βt cz0 γt d para algum t R Ou seja ax0 by0 cz0 d t aα bβ cγ Mas note que se ax0by0cz0d e aαbβcγ0 não é possível achar t R de modo a satisfazer a equação Pondo nabc e vαβγ notamos então que para que π e l sejam paralelos é suficiente e de fato necessário que P0 x0y0z0 π e nv 0 O vetor normal ao plano é ortogonal à direção da reta nesse caso como seria de se esperar Se π e l não são paralelos temos duas possibilidades i ax0 by0 cz0 d ou seja P0 x0y0z0 π Se nv0 então nesse subcaso qualquer tR satisfaz Isso significa que todo ponto da reta está no plano isto é l π Geometricamente se o ponto inicial da reta está no plano e seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano então a reta toda permanece dentro do plano Por outro lado se nv0 então só podemos satisfazer ponto t0 Ou seja nesse subcaso a reta intersectará o plano somente no ponto P0 25 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço ii ax0 by0 cz0 d ou seja P0 x0 y0 z0 π Nesse subcaso obrigatoriamente nv0 e só podemos satisfazer o ponto Provamos assim que Proposição Uma reta não contida em um plano ou é paralela ao plano ou a inter secta em um único ponto SAIBA MAIS De acordo com Roncaglio e Nehring 2019 o conceito de vetor está relacionado com a ideia de grandezas Este fato faz com que este tema seja muito relevante para os enge nheiros No caso da Engenharia Civil os cálculos envolvendo vetores são utilizados em situações como dimensionamento de vigas e treliças elevadores guindastes carrega mentos reações de apoio nas quais existem forças envolvidas Fonte Roncaglio e Nehring 2019 REFLITA Somos causas com quatro coordenadas deslizando sobre a trama do universo O aca so ou destino é o motivo existencial da passagem e finalidade das coisas O tempo é o gatilho vetorial de tudo move do tangível até o improvável o inconcebível é o enigma da lógica como também é a base do mistério da fé Fonte SANTANA M J O Pensador Disponível em httpswwwpensadorcomfraseMjU1NjMxNA Acesso em 04 fev 2022 26 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço CONSIDERAÇÕES FINAIS Prezado a aluno a o estudo desta unidade foi concentrado no espaço carte siano espaço vetorial posições relativas entre retas e planos e nas operações com tais elementos Aprendemos que um vetor é um elemento com intensidade sentido e direção Tal unidade também teve a finalidade de passar os conceitos operacionais dos vetores assim como suas peculiaridades no espaço R2 e R3 e a relação entre a dependência e independência linear A proposta deste estudo é formar um olhar mais crítico sobre a utilização dos vetores e espaço 27 UNIDADE I Plano Cartesiano Vetores Retas e Planos no Espaço MATERIAL COMPLEMENTAR LIVRO Título Álgebra Linear Autor Neide Bertoldi Franco Editora Editora Pearson Sinopse A proposta de Álgebra linear é ser muito mais do que um livro de exercícios por isso apresenta os conceitos da área por meio de ilustrações e linguagens simples utilizando exemplos resolvidos para auxiliar o leitor a compreender os conceitos em vez de simplesmente decorar fórmulas e tudo isso sem perder o rigor necessário que a abordagem do tema exige Apresentando desde os conceitos mais básicos até os mais complexos e propondo exercícios sobre o conteúdo estudado este livro é indispensável na biblioteca de todo estudante de graduação nas áreas de exatas e engenharias que desejem um aprendizado realmente eficaz SIMULADOR Título PhET Autor Carl Wieman Universidade do Colorado EUA Sinopse Oferece simulações de matemática e ciências divertidas interativas grátis baseadas em pesquisas Foram testamos e ava liamos extensivamente cada simulação para assegurar a eficácia educacional Estes testes incluem entrevistas de estudantes e observação do uso de simulação em salas de aula As simulações são escritas em Java Flash ou HTML5 e podem ser executadas online ou copiadas para seu computador Todas as simulações são de código aberto ver nosso código fonte Vários patrocinado res apoiam o projeto PhET permitindo que estes recursos sejam livres para todos os estudantes e professores 28 UNIDADE II Cônicas Professor Me Alberto de Paula Freire Plano de Estudo Elipse Hipérbole Parábola Objetivos da Aprendizagem Reconhecer as características de cada cônica Identificar os elementos das cônicas Comprovar a definição de cada cônica Compreender e aplicar as propriedades das cônicas 29 UNIDADE II Cônicas INTRODUÇÃO Nesta unidade estudaremos os conceitos e definições das cônicas Inicialmente abordaremos o estudo da Elipse Neste tópico aprenderemos a representação geométri ca desta cônica e a construção algébrica da sua equação O nosso segundo tópico será segmentado na Hipérbole Aprenderemos a representação geométrica no plano cartesiano e a usabilidade equacional Finalizando esta unidade vamos convergir para o estudo da Parábola e sua representação geométrica e equacional Está cônica tem uma similaridade com a representação cartesiana da equação do segundo grau Logo o seu entendimento se torna mais acessível 30 UNIDADE II Cônicas 1 ELIPSE Definição Quando se tem um número positivo 2a dois pontos fixos F1 e F2 focos em que a distância entre eles é 2c e 2c 2a A elipse de focos F1 e F2 de excentricidade é o conjunto dos pontos P tais que a soma das distâncias de P a F1 e de P a F2 é igual a 2a isto é E PR2 dPF1dPF2 2a A excentricidade de uma elipse identifica geometricamente a sua forma O valor da excentricidade está contido na seguinte variação Outro aspecto muito relevante é quanto mais próximo do número 1 é o valor da excentricidade mais a elipse se aproxima de um seguimento de reta Se este número for próximo de zero então a elipse se aproxima de uma circunferência A representação da elipse no plano cartesiano é demonstrada através de uma equação algébrica e um conjunto de pontos x y Considere os focos F1 c0 e F2 c0 c 0 e a excentricidade Seja xy um ponto P qualquer da elipse definida a partir desses dados 31 UNIDADE II Cônicas Podemos concluir que Adotando b como um número positivo temos que b2 a2 c2 logo equação da elipse FIGURA 1 REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DA ELIPSE COM EIXO MAIOR EM X Fonte O autor 2021 A figura é simétrica em relação à origem 00 pois se x y satisfaz a equação x y também a satisfaz Se F1 0 c F2 0 c e a excentricidade for a mesma a elipse definida terá o eixo maior em y A mudança das coordenadas dos focos faz com que a elipse faça uma rotação de 90 Com isso a equação para a ser 32 UNIDADE II Cônicas FIGURA 2 REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DA ELIPSE COM EIXO MAIOR EM Y Fonte O autor 2021 Exemplo 1 A equação 6x2 10y2 15 representa uma elipse pois equivale a ou seja O eixo maior dessa elipse é o segmento 2a aonde e O eixo menor é o segmento 2b com e Aqui e logo c2 a2 b2 1 Portanto os focos da elipse são os pontos F 10 e F 10 33 UNIDADE II Cônicas 2 HIPÉRBOLE Quando se tem um número positivo 2a dois pontos fixos F1 e F2 focos em que a distância entre eles é 2c e 2c 2a A elipse de focos F1 e F2 de excentricidade é o conjunto dos pontos P tais que a diferença das distâncias de P a F1 e de P a F2 é igual a 2a isto é E PR2 dPF1 d PF2 2a A excentricidade de uma hipérbole identifica geometricamente a sua forma O valor da excentricidade é maior que Quanto maior ele for maior é a abertura da hipérbole A representação da hipérbole no plano cartesiano é demonstrada através de uma equação algébrica e um conjunto de pontos x y Considere os focos F1 c 0 e F2 c 0 e a excentricidade Seja x y um ponto P arbitrário da hipérbole definida a partir desses dados Temos que 34 UNIDADE II Cônicas Adotando b como um número positivo temos que b2 c2 a2 logo equação da hipérbole FIGURA 3 REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DA HIPÉRBOLE Fonte O autor 2021 Observação Quando a hipérbole tem pontos não nulos no eixo das abcissas é importante considerar Dentro do mesmo raciocínio podemos concluir ainda que Vale a pena lembrar que os pontos da hipérbole quando x tende a aproximamse das retas assíntotas da hipérbole Se F1 c0 F2 c0 e a excentricidade for a mesma a hipérbole definida terá o eixo de simetria em y A mudança das coordenadas dos focos faz com que a hipérbole faça uma rotação de 90 Com isso a equação passa a ser e suas assíntotas 35 UNIDADE II Cônicas FIGURA 4 REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DA HIPÉRBOLE ROTACIONADA EM 90 GRAUS Fonte O autor 2021 A hipérbole de excentricidade e focos Será calculada a partir da definição de hipérbole como foi feito com a elipse 36 UNIDADE II Cônicas Observe na equação acima que se b a 2 então c 2 Logo FIGURA 5 REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DA HIPÉRBOLE NO 1º E 2º QUADRANTE Fonte O autor 2021 Exemplo 1 A equação 6x2 10y2 15 equivale a logo representa uma hipérbole cujos eixos AA e BB são determinados por Como e temos c2 a2 b2 4 logo c 2 Assim os focos desta hipérbole são os pontos F20 e F20 37 UNIDADE II Cônicas 3 PARÁBOLA Definição A representação geométrica de uma parábola é uma curva plana temse ainda que o conjunto de todos os pontos são equidistantes de um ponto denominado foco F e de uma reta chamada de diretriz d Assim podemos chamar de lugar geométrico da parábola p PR2dPF dPd FIGURA 6 REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DA PARÁBOLA Fonte O autor 2021 Devemos considerar sempre que a representação algébrica de uma parábola é dada por uma equação e que a representação geométrica é descrita como um conjunto de pontos xy do plano cartesiano que satisfazem uma certa equação 38 UNIDADE II Cônicas Exemplo 1 Considere a reta e o ponto Seja xy um ponto P arbitrário da parábola definida a partir dessa diretriz e desse foco Temos que logo é equivalente à equação y x2 4x 3 Dada agora a função quadrática g R R definida por gx x24x3 a parábola acima é o gráfico de g Definição Uma função fRR é dita ser quadrática ou do segundo grau se e somente se existirem constantes reais e abc com a0 tais que xR fxax2bxc As funções fRR dadas por fxx2 fxx32 ou fx05x209x são todas exemplos de funções quadráticas Exemplo 2 Vamos obter uma equação para a parábola de foco F 11 e diretriz ryx Se Pxy é um ponto arbitrário dessa parábola temos Calculando a equação acima obtemos uma equação equivalente à equação x2 2xy y2 4x 4y 4 0 De acordo com Bezerra e Silva 2010 a equação encontrada no exemplo 1 cor responde a uma equação na forma de função quadrática Porém a equação do exemplo 2 não corresponde a uma equação de função quadrática pois dado um valor arbitrário para x existem dois valores possíveis para y A figura abaixo nos dá uma ideia do esboço desta parábola cujos eixos de simetria não são paralelos aos eixos cartesianos FIGURA 7 REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DA PARÁBOLA Fonte O autor 2021 39 UNIDADE II Cônicas Exemplo 3 Vamos obter uma equação para a parábola de foco F0p e diretriz rypp0 Se Fxy é um ponto arbitrário dessa parábola temos Note que se então obtemos a parábola y ax2 Deste modo o foco e a diretriz da parábola y ax2 são respectivamente De acordo com Murdoch 1969 devemos considerar sempre que o eixo de uma pará bola é uma reta perpendicular à sua diretriz que passa por seu foco Esse é um eixo de simetria perpendicular à diretriz Outra questão muito relevante é se o eixo de uma parábola é uma reta vertical a diretriz dessa parábola será uma reta horizontal Ainda fazendo parte deste conceito o eixo de simetria da parábola sempre intercepta um ponto chamado de vértice Exemplo 4 Considere a função quadrática y ax2bxc em que a 0 Note que essa equação é equivalente à equação Denotando b2 4ac por essa equação também é equivalente à equação Fazendo podemos reescrever esta equação da seguinte da forma yax2 que corresponde ver exemplo 3 a uma parábola cujos foco e diretriz no eixo 0x0y são FIGURA 8 REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DO EIXO DE SIMETRIA E RETA DIRETRIZ DE UMA PARÁBOLA Fonte O autor 2021 40 UNIDADE II Cônicas Deste modo no sistema 0x0y y ax2bxc é a equação da parábola cujo foco é o ponto e cuja diretriz é a reta Exemplo 5 Seja p uma parábola com eixo vertical Logo sua diretriz é uma reta horizontal yc em que c denota uma constante Seja Frs seu foco Como F não perten ce à diretriz sc Assim para todo ponto xy da parábola temos que Como s c podemos definir Assim a equação acima fica na forma y ax2bxc que define uma função quadrática 41 UNIDADE II Cônicas SAIBA MAIS As curvas cônicas por serem encontradas na natureza foram objetos de estudo para diversos matemáticos A circunferência por exemplo foi símbolo da perfeição na Gré cia Antiga podendo ser encontrada nas ondas produzidas por uma pedra na superfície de um lago ou até mesmo na roda Já a elipse corresponde à geometria das órbitas de alguns planetas e cometas e a hipérbole corresponde à geometria das trajetórias de alguns cometas e de outros corpos celestes A parábola corresponde à trajetória de um projétil lançado num campo gravitacional o que se pode verificar com a trajetória de um jacto dágua A elipse pode ainda ser encontrada na forma da luz de uma lanterna proje tada numa superfície plana As cônicas na Engenharia e Arquitetura são usadas devido às suas propriedades físicas e até mesmo estéticas como no caso das pontes pórticos cúpulas torres e arcos Um exemplo é o cabo de suspensão de uma ponte quando o peso total é uniforme distribuído segundo o eixo horizontal da ponte toma a forma de uma parábola Fonte SOMMERFELD 2013 p 01 REFLITA Entre os anos de 1609 e 1618 Johannes Kepler 15711630 um grande astrônomo e matemático alemão desenvolveu três leis capazes de explicar o movimento dos pla netas em torno do Sol A primeira de suas leis a lei das órbitas afirma que a órbita dos planetas não é circular mas elíptica Kepler foi capaz de determinar com grande precisão as trajetórias dos planetas para tanto contou com uma grande quantidade de dados cui dadosamente coletados pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe 15461601 Fonte HELERBROCK R Curiosidades Astronômicas MUNDO EDUCAÇÃO UOL sd Disponível em httpsmundoeducacaouolcombrfisicaprimeiraleikeplerhtm Acesso em 08 mar 2022 42 UNIDADE II Cônicas CONSIDERAÇÕES FINAIS Prezado a aluno a o estudo desta unidade foi concentrado nas cônicas e suas definições Aprendemos que uma parábola é uma seção cônica cujos pontos são repre sentados em um sistema de coordenadas cartesianas através de uma equação do 2 grau Dentro do cronograma deste material concluímos também que a elipse é encon trada através de um corte não paralelo à base de um cone Por essa razão ela pertence às cônicas Para finalizar nosso estudo vimos também que a hipérbole pode ser obtida a partir de um corte efetuado em um cone assim como ocorre com a elipse e a parábola todas denominadas cônicas 43 UNIDADE II Cônicas MATERIAL COMPLEMENTAR LIVRO Título Geometria Analítica um tratamento vetorial Autor Ivan de Camargo e Paulo Boulos Editora Editora Pearson Sinopse Esta nova edição de Geometria Analítica um tratamen to vetorial confirma sua posição como um clássico das ciências exatas Ampliado e completamente revisto pelos autores o livro traz centenas de novos exemplos e exercícios além de ilustrações totalmente refeitas O novo layout proporciona uma leitura mais agradável e facilita a compreensão e a localização de tópicos e exercícios porém a estrutura didática bemsucedida das edições anteriores foi cuidadosamente mantida Escrito em linguagem cla ra e objetiva este livro também traz respostas para os exercícios e estratégias de solução o que o torna um guia essencial para o estudo da Geometria SOFTWARE Título Geogebra Autor Markus Hohenwarter Sinopse GeoGebra é um aplicativo de matemática dinâmica que combina conceitos de geometria e álgebra em uma única GUI Sua distribuição é livre nos termos da GNU General Public License e é escrito em linguagem Java o que lhe permite estar disponível em várias plataformas 44 UNIDADE III Quádricas Professor Me Alberto de Paula Freire Plano de Estudo Quádricas Quádricas Centrais Quádricas Não Centrais Objetivos da Aprendizagem Desenvolver o pensamento geométrico teóricos e práticos das quádricas centrais e não centrais Representar algebricamente o desenvolvimento equacional das quádricas Identificar o modelo da quádrica através das interseções de planos com superfícies cilíndricas 45 UNIDADE III Quádricas INTRODUÇÃO Nesta unidade estudaremos as quádricas e suas definições Para iniciar o nosso estudo o primeiro tópico traz o conceito de espaço tridimensional associado as equações gerais No segundo tópico será apresentado as quádricas centrais demonstrando assim o equacionamento e representação geométrica no espaço R3 Ainda neste tópico estuda remos a representação do cilindro reto de base elíptica cilindro de base hiperbólica cone duplo de revolução elipsoide hiperboloide de uma folha e hiperboloide de duas folhas No terceiro e último tópico desta unidade será apresentado as quádricas nãocentrais Esse estudo concentrase nas equações e representação geométrica do paraboloide elíptico e paraboloide hiperbólico 46 UNIDADE III Quádricas 1 QUÁDRICAS De acordo com Venturi 2003 uma quádrica ou superfície quádrica é o conjunto dos pontos do espaço tridimensional em que as coordenadas cartesianas verificam uma equação do segundo grau com no máximo três variáveis Ax2 By2 Cz2 Dxy Eyz Fxz Gx Hy Iz J 0 Intitulada de equação cartesiana da superfície quádrica Quando o termo indepen dente representado pela constante J for nulo a quádrica passa pela origem Esse fato se deve por que o ponto O 000 satisfaz tal equação As superfícies quádricas mais conhecidas são Esferas paraboloides elipsoides hiperboloides cilindros do 2º grau e cones do 2º grau Exemplos de superfícies esféricas a Esfera x2 y2 z2 4x 6y 10z 13 0 b Elipsóide 47 UNIDADE III Quádricas c Hiperbolóide xy yz xz 2x 2 0 d Parabolóide x2 y2 z 4 e Superfície Cilíndrica x2 2y2 y z 3xy xz yz 0 f Superfície Cônica x2 y2 z2 3xy 2xy 2yz 0 48 UNIDADE III Quádricas 2 QUÁDRICAS CENTRAIS De acordo com Bezerra e Silva 2010 as quádricas correspondentes são centrais isto porque o ponto xyz pertence à quádrica logo xyz também pertence sendo assim quádricas desse tipo permanecem intactas se fizermos uma reflexão em torno da origem Se tomarmos uma esfera de raio igual a 1 com centro em 111 concluiremos que a mesma não faz parte das quádricas centrais Isso quer dizer que a sua equação pode ser escrita da seguinte forma x2 y2 z2 2x 2y 2z 2 0 Por uma reflexão mais detalhada em torno da origem essa esfera seria levada em uma esfera de raio unitário de centro 111 Aparentemente é fácil se convencer que somente uma esfera com centro na origem pode ser uma quádrica central Lembrando que mesmo entre as quádricas centrais existe uma variedade muito grande isso porque depende dos sinais relativos dos λis e de j Depois do conhecimento adquirido acima vamos relacionar as seguintes possibilidades I Os três λis são nulos Nesse caso a equação reduzida se torna j0 Se de fato j0 todo ponto de R3 é solução caso j0 o conjunto de soluções é vazio Portanto R3 e o conjunto vazio são tipos particulares de quádricas 49 UNIDADE III Quádricas II Só dois dos λis são nulos Se tomarmos λ1 λ2 0 e λ3 0 os demais casos serão inteiramente análogos diferindo por uma troca adequada de direções Nesse caso a equação reduzida se torna Se j 0 essa é uma equação do plano XY que representa uma quádrica central Se não podemos ter solução pois nesse caso o segundo membro seria negativo enquanto que z2 0 e a quádrica correspondente é novamente o conjunto vazio Se escrevemos e a equação reduzida se torna z2 a2 z a que descreve um par de planos paralelos ao plano XY z a e z a III Somente um dos λis é nulo Agora vamos considerar que λ3 0 λ1 λ2 0 Nesse caso λ1 e λ2 podem ter o mesmo sinal ou sinais opostos Caso j 0 teremos em resumo que λ1 x2 λ2y2 0 Para o sinal todo ponto da forma 00t com t R é solução e teremos então uma parametrização do eixo Z Do contrário teremos que descreve dois planos paralelos ao eixo Z Se j 0 podemos dividir a equação reduzida por j e ficamos com Se a solução é o conjunto vazio Do contrário escrevemos para obter as possibilidades 50 UNIDADE III Quádricas FIGURA 1 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO CASO I ILUSTRA UM CILINDRO RETO DE BASE ELÍPTICA Fonte O autor 2021 FIGURA 2 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DOS CASOS II E III PODEM ILUSTRAR O CILINDRO DE BASE HIPERBÓLICA Fonte O autor 2021 IV Nenhum dos λis é nulo Tal afirmação é muito relevante Mais uma vez temos dois subcasos IV a j 0 Na situação a seguir a equação reduzida se torna λ1 x2 λ2 y2 λ3 z2 0 Se todos os λis tiverem o mesmo sinal podemos escrever essa equação na forma λ1 x2 λ2 y2 λ3 z2 0 que só admite uma solução a saber xyz0 e logo a quádrica será um único ponto localizado na origem Se fizermos uma análise de forma contrária temos dois dos λis negativos positivos e o terceiro positivo negativo Com este estudo podemos expor as seguintes equações abaixo 51 UNIDADE III Quádricas As três possibilidades a acima correspondem a um cone duplo de base elíptica Para fazer um prévio estudo vamos considerar a primeira das equações Observando esta equa ção temos que a interseção com um plano paralelo ao plano XY é dada tomandose z uma constante na equação Se considerarmos z0 temos que xy0 logo o plano XY intersecta essa quádrica em um único ponto Quando z0 a equação descreve elipses cuja dimensão depende do valor de z2 A interseção dessa quádrica com o plano YZ para x0 são as retas e com o plano XZ para y0 são as retas A representação geométrica para esse modelo de cone está na Figura 3 FIGURA 3 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO CONE DUPLO DE REVOLUÇÃO Fonte O autor 2021 É importante observar que na representação geométrica acima o eixo z coincide com o eixo do cone Neste caso em que ab temos um cone duplo de revolução Ao ana lisar a representação como uma rotação a mesma é gerada pela reta em torno do eixo z As duas últimas equações representam cones cujo eixo coincide com os eixos x e y 52 UNIDADE III Quádricas IV b j 0 Além de ter o conjunto vazio nesta situação temos também os grupos abaixo Grupo g1 Grupo g2 Grupo g3 FIGURA 4 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO ELIPSOIDE Fonte O autor 2021 Suas interseções com os planos XY XZ e YZ e são respectivamente as elipses 53 UNIDADE III Quádricas 2a 2b e 2c são os comprimentos dos eixos do elipsóide cada um deles contido em um eixo ordenado figura 4 Se dois desses três são iguais temos um elipsóide de revolução Exemplo Temse uma superfície quádrica de equação que representa um elipsoide FIGURA 5 ELIPSOIDE DA EQUAÇÃO QUÁDRICA APRESENTADA NESTE EXEMPLO Fonte O autor 2021 Determine a as coordenadas dos pontos P1 P2 e P3 P1 200 P2 050 e P3 003 b a equação da curva C1 Elipse no plano xz c a equação da curva C2 Elipse no plano xy d analise da simetria A superfície é simétrica em relação a origem As equações das quádricas representadas no Grupo g2 são hiperbolóides de uma folha figura 6 Se tomarmos como exemplo a terceira das equações mencionadas acima teremos que a interseção da quádrica correspondente com o plano xz é a hipérbole como também no plano yz é a hipérbole Devemos considerar que a intersecção com um plano zd paralelo ao plano xy é dada por que é a equação da elipse 54 UNIDADE III Quádricas Se ab essas elipses são circunferências logo teremos um hiperboloide de revolu ção de uma folha que por sua vez é gerado pela rotação da hipérbole situada no plano xz em torno do eixo z FIGURA 6 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA Fonte O autor 2021 As equações das quádricas representadas no Grupo g3 são hiperbolóides de duas folhas figura 7 Se tomamos a terceira das equações acima e reescrevemola na forma podemos concluir que todo ponto dessa quádrica satisfaz a condição z c Outro aspecto a ser considerado é que essa quádrica não possui pontos entre os planos zc e zc A interse ção desta quádrica com qualquer plano zd com dc é dada pela equação que descreve uma elipse A quádrica intersecta o plano xz segundo a hipérbole e com o plano yz segundo a hipérbole Novamente se ab temos o hiperbolóide de revolução de duas folhas FIGURA 7 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS Fonte O autor 2021 55 UNIDADE III Quádricas 3 QUÁDRICAS NÃOCENTRAIS As quádricas nãocentrais correspondem para algum ais da equação reduzida não nulo Vamos ficar restritos nos casos que possam ser reduzidos Grupo g1 Grupo g2 56 UNIDADE III Quádricas As equações do Grupo g1 descrevem o parabolóide elíptico FIGURA 8 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO PARABOLÓIDE ELÍPTICO Fonte O autor 2021 Exemplo Achar as coordenadas dos pontos de intersecção da superfície quádrica 4x2 y2 z16 com os eixos coordenados FIGURA 9 PARABOLÓIDE DA EQUAÇÃO QUÁDRICA APRESENTADA NESTE EXEMPLO Fonte O autor 2021 a com o eixo x 4x2 16 x 2 b com o eixo y y2 16 y 4 c com o eixo z z 16 z 16 57 UNIDADE III Quádricas Consideremos a terceira das equações do grupo g1 É importante observar que a quádrica correspondente não possui ponto para os quais z 0 Sua interseção com o plano xz é a parábola e com o plano yz é a parábola Sua interseção com o plano xy é dada pela equação que só possui solução xyz0 e com os planos zd com d 0 pelas equações que são elipses Quando ab temos um parabolóide de revolução Finalmente as equações do Grupo g2 descrevem parabolóides hiperbólicos figura 10 FIGURA 10 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO Fonte O autor 2021 Vamos considerar a primeira dessas equações A interseção da quádrica com os planos zd são as parábolas e com o eixo xz é a parábola Tal figura é construída ao deslizar a parábola contida no plano xy sobre seu vértice ao longo da parábola invertida 58 UNIDADE III Quádricas SAIBA MAIS O matemático suíço Leonard Euler 17071783 foi responsável por importantes contri buições em todas as áreas da Matemática Teve uma produção gigantesca de teoremas e conjecturas atém de ter resolvido importantes problemas que perduraram até sua interferência Destaque também para suas contribuições à Geometria no espaço R3 No livro Introduction in Analysin Infinitorium livro Euler apresenta as equações dos cones paraboloides elipsoides e hiperboloides usando o sistema cartesiano no R3 Sem dúvi da foi um dos matemáticos com mais trabalhos reconhecidos Tinha uma capacidade de calcular fora do comum e uma memória espetacular Prova disso é que nos últimos anos de vida ficou cego e mesmo assim não parou de produzir e dar contribuições para a Matemática Fazia cálculos mentalmente e ditava para que seu filho pudesse registrar Fonte AMARAL 2019 p 30 REFLITA A Geometria existe por toda a parte É preciso porém olhos para vêla inteligência para compreendêla e alma para admirála Johannes Kepler Fonte GUIA DOS QUADRINHOS httpwwwguiadosquadrinhoscompersonagemjohanneske pler39358 Acesso em 04 abr 2022 59 UNIDADE III Quádricas CONSIDERAÇÕES FINAIS Prezado a aluno a nesta unidade estudamos a definição das quádricas e suas representações Aprendemos a diferença entre quádricas centrais e nãocentrais Vimos também a representação equacional e geométrica do cilindro reto de base elíptica cilindro de base hiperbólica cone duplo de revolução elipsoide hiperboloide de uma folha hiper boloide de duas folhas paraboloide elíptico e paraboloide hiperbólico O conhecimento adquirido nesta unidade faz com que o aluno tenha uma noção mais detalhada sobre a revolução das cônica e a representação no espaço R3 60 UNIDADE III Quádricas MATERIAL COMPLEMENTAR LIVRO Título Geometria Analítica Autor Fabiano José dos Santos e Silvimar Fábio Ferreira Editora Editora Artmed Sinopse Livro ideal para os alunos em início dos cursos de graduação pois é claro objetivo e conciso além de exigir pou cos conhecimentos prévios conteúdo de matemática do ensino médio Quantidade de texto na medida certa para este público sem detalhes em excesso e com grande número de exemplos e exercícios SOFTWARE Título Maple Autor Universidade de Waterlo Canadá Sinopse é um sistema algébrico computacional comercial de uso genérico Constitui um ambiente informático para a computação de expressões algébricas simbólicas permitindo o desenho de gráfi cos a duas ou a três dimensões O seu desenvolvimento começou em 1981 pelo Grupo de Computação Simbólica na Universidade de Waterloo em Waterloo no Canadá província de Ontário Desde 1988 o Maple tem sido desenvolvido e comercializado pela Maplesoft uma companhia canadense também baseada em Waterloo Ontario É comercializado como a ferramenta de pro dutividade essencial para cada profissional técnicoA versão atual é Maple 2017 61 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas Professor Me Alberto de Paula Freire Plano de Estudo Matrizes Determinantes Sistemas Objetivos da Aprendizagem Ter a capacidade de representar os diferentes tipos de matrizes e efetuar cálculos envolvendo as operações com matrizes Resolver problemas utilizando a linguagem matricial Relacionar determinantes com matrizes Resolver determinantes de 2º e 3º ordem Utilizar as propriedades de determinantes Identificar os tipos de sistemas lineares Resolver sistemas lineares e interpretar suas soluções 62 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas INTRODUÇÃO O objetivo desta unidade é realizar um estudo sobre os tópicos Matrizes Determi nantes e Sistemas Lineares O primeiro tópico desta unidade traz a definição e operacio nalidade matemática das matrizes Neste tópico aprenderemos sobre a representação de uma matriz igualdade de matrizes adição de matrizes multiplicação de uma matriz por um número real multiplicação de matrizes e matriz inversa O segundo tópico desta unidade tem como finalidade determinar um valor para uma matriz Para que este processo aconteça é necessário transformar a matriz em deter minante A partir de agora vamos determinar a ordem de uma determinante o cálculo dos cofatores a regra de Sarrus e o método de Laplace Para finalizar esta unidade vamos aprender um dos temas mais importantes da Álgebra Linear os sistemas lineares Neste último tópico identificaremos a solução de um sistema linear utilizaremos a regra de cramer para solucionar um sistema linear possível determinado e o escalonamento para solucionar um sistema possível indeterminado ou sistema linear impossível Compreenderemos também que todo sistema linear homogêneo tem solução 63 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas 1 MATRIZES De acordo com Sousa Sabino e Sabino 2017 a história dos sistemas de equa ções lineares passaram por diversas contribuições de vários matemáticos até chegar ao que se conhece hoje Afirmase também que as notações os conceitos e os teoremas foram modificados e aperfeiçoados ao longo do tempo O estudo de sistemas de equações lineares deu origem inicialmente ao estudo dos determinantes e posteriormente ao das matrizes As provas mais antigas desta utilização são as inscrições em tabletas babilônicas feitas de argila datadas de cerca de 300 aC e as representações dos coeficientes de sistemas lineares em barras de bambu que constam no livro Nove Capítulos sobre a Arte Matemática publicado entre 200 aC e 100 aC na China 11 Representação de uma Matriz De acordo com Lima 2008 as matrizes normalmente são representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas A representação genérica de uma matriz é acompanhada de dois índices o índice m que representa a linha e o índice n que representa a coluna A combinação destes índices representa a ordem da matriz 64 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas Exemplo Uma matriz A do tipo m x n é representada por Aaij m x n onde i e j representam respectivamente a linha e a coluna que o ele mento ocupa Na matriz anterior a23 é o elemento da segunda linha com o da terceira coluna 12 Matriz Linha É toda matriz do tipo 1 x n isto é com uma única linha Exemplo A 1 4 01X3 13 Matriz Coluna É toda matriz do tipo n x 1 isto é com uma única coluna Exemplo 14 Matriz Quadrada É toda matriz do tipo n x n isto é com o mesmo número de linhas e colunas Dizemos que a matriz é de ordem n Exemplo Matriz de ordem 2 Matriz de ordem 3 65 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas Seja A uma matriz quadrada de ordem n Uma das configurações mais importantes da matriz quadrada é as diagonais Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz tais que i j Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz tais que i j n 1 Exemplo Descrição da matriz O subscrito 3 indica a ordem da matriz A diagonal principal é a diagonal formada pelos elementos 1 6 e 1 A diagonal secundária é a diagonal formada pelos elementos 2 6 e 0 a11 1 é elemento da diagonal principal pois i j 1 a31 2 é elemento da diagonal secundária pois i j n 1 3 1 15 Matriz Nula É toda matriz em que todos os elementos são nulos Notação Om x n Exemplo 16 Matriz Diagonal É toda matriz quadrada onde só os elementos da diagonal principal são diferentes de zero Exemplo 17 Matriz Identidade É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal princi pal são nulos e os da diagonal principal são iguais a 1 Observação In onde n indica a ordem da matriz identidade 66 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas Exemplo 18 Matriz Transposta Definese com matriz transposta de uma matriz A uma matriz que é obtida através da matriz A trocandose ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas Observação At Exemplo Se então Assim se a matriz A é do tipo m x n At será do tipo n x m 19 Matriz Simétrica Uma matriz quadrada é considerada simétrica somente quando A At Exemplo Se Observação Se A At dizemos que a matriz A é antisimétrica 110 Matriz Oposta Identificamos uma matriz como oposta de outra quando se mantem os mesmos elementos mais com sinais opostos Observação Simbolicamente representase uma matriz oposta como A Exemplo Se 111 Igualdade de Matriz Duas matrizes A e B de mesma ordem são consideradas iguais quando todos os elementos são idênticos Observação A B Exemplo 67 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas 112 Adição de Matriz Dadas as matrizes Aaij m x n e B bij m x n chamamos de soma das matrizes A e B a matriz C cij m x n tal que cij aij bij para todo 1 i m e todo 1 i n Observação Só é possível a adição de matrizes de mesma ordem isso ocorre quando mn Propriedades Quando as matrizes A B e C são do mesmo tipo m x n as seguin tes propriedades a baixo são válidas 1 Associativa A B C A B C 2 Comutativa A B B A 3 Elemento Neutro A O O A A Observação Considerar O como matriz nula m x n Elemento Oposto A A A A O Exemplos 113 Multiplicação de um Número Real por uma Matriz Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A se dá na multiplicação de todos os elementos da matriz pelo real denominado como x Observação B xA Propriedades Sendo A e B matrizes de mesma ordem e x e y números reais quaisquer fica valendo as seguintes propriedades 1 Associativa x yA xy A 2 Distributiva primeiro modelo x A B xA xB 3 Distributiva segundo modelo x y A xA yA 4 Elemento Neutro xA A quando x 1 temos 1A A Exemplo 68 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas 114 Multiplicação de Matrizes O produto entre duas matrizes não é uma multiplicação dos seus respectivos ele mentos A multiplicação de matrizes não é análoga à multiplicação de números reais Logo vamos considerar que o produto das matrizes Aaij m x p e Bbij p x n resulta em uma matriz Ccij m x n onde cada elemento cij é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da iésima linha de A pelos elementos da jésima coluna de B Observação Só é possível a multiplicação entre duas matrizes se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da primeira matriz Simbolicamente temos Am x p e Bp x n ABm x n Exemplos Propriedades Quando verificase a condição de existência fica válida as seguin tes propriedades Associativa AB C A BC Distributiva em relação à adição A BC AB AC AB C AC BC Elemento Neutro A In In A A Observação In é a matriz identidade de ordem n Exemplos 1 Sendo vamos determinar o produto de AB e BA na sequência faremos uma comparação entre os resultados 69 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas Solução Assim 115 Matriz Inversa Dada uma matriz A quadrada de ordem n existe a matriz A1 de mesma ordem se A A1 A1 A In Exemplo Sendo vamos determinar a matriz inversa de A se existir Solução Existindo a matriz inversa é de mesma ordem de A A partir da igualdade de matrizes resolvemos o sistema acima pelo método da adição e chegamos à 70 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas 71 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas 2 DETERMINANTES De acordo com Néta 2014 a noção de determinante esteve presente entre os chineses como ferramenta para resolver problemas que podiam se expressos por sistemas lineares Mas foi em 1683 que o maior matemático japonês do século XVII Seki Kowa deixou clara essa noção quando sistematizou o procedimento utilizado pelos antigos chi neses Foi também em 1863 a primeira aparição de uma determinante na Europa com uma carta de Leibniz enviada ao marquês LHôpital 21 Determinante de Primeira Ordem Notação det M ou a11 a11 Exemplos 1 M12 detM1 2 ou 2 2 2 M25 detM15 ou 5 5 22 Determinante de Segunda Ordem Logo detM a11 a22a12 a21 Exemplo Sendo então 72 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas 23 Matriz dos Cofatores Dada uma matriz quadrada Amxm para um determinado valor aij dessa matriz o seu cofator será dado por Aij 1ij Dij Sendo Dij o determinante da matriz resultante da retirada da linha i e da coluna j Exemplo Dada os cofatores relativos a todos os elementos da matriz A são Assim podemos também determinar a matriz dos cofatores que será denotada por A como sendo 24 Matriz Adjunta A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada adjunta de A Logo 25 Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer linha ou coluna da matriz M pelos respectivos cofatores Observação A ideia é sempre escolher uma linha ou coluna com elementos nulos isso diminui a quantidade de cálculos Exemplo Calcular com o auxílio do Teorema de Laplace o seguinte determinante Solução Aplicando o teorema de Laplace na coluna 1 temos 73 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas 26 Regra de Sarrus Dispositivo prático para calcular o determinante de 3a ordem Exemplo 1 Calcular o seguinte determinante através da Regra de Sarrus Solução 1º Passo Repetir a duas primeiras colunas ao lado da 3a 2º Passo Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal OBS A soma deve ser precedida do sinal positivo ou seja a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 3º Passo Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal OBS A soma deve ser precedida do sinal negativo ou seja a13 a22 a31 a11 a23a32 a12 a21 a33 Assim Observação Se desenvolvêssemos esse mesmo determinante de 3a ordem com o auxílio do teorema de Laplace veríamos que as expressões são idênticas pois represen tam o mesmo número real 74 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas Exemplo Calcular o valor do seguinte determinante Solução 27 Matriz de Vandermonde Chamamos de matriz de Vandermonde toda matriz quadrada de ordem n 2 com a seguinte forma Observe que cada coluna dessa matriz é formada por potências de mesma base com expoentes inteiros que variam de 0 até n1 O determinante da matriz de Vandermonde é dado por Exemplo Calcular o determinante da matriz Solução Como podemos escrever a matriz M na forma Então dizemos que a matriz M é uma Matriz de Vandermonde com a1 3 a2 4 e a35 75 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas Logo 28 Propriedades das Determinantes P1 Quando todos os elementos de uma fila linha ou coluna são nulos o determi nante dessa matriz é nulo Exemplo P2 Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais então seu determinante é nulo Exemplo P3 Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais então o seu determi nante é nulo Exemplo P4 Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas então o seu determinante é nulo Exemplos P5 Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número Exemplos Multiplicando C1 por 3 temos P6 Quando trocamos as posições de duas filas paralelas o determinante de uma matriz muda de sinal Exemplo 76 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas Trocando as posições de L1 e L2 por exemplo temos P7 Quando em uma matriz os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal Exemplos P8 Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n temos det AB det A det B Observação Como AA1 In na propriedade acima temos P9 Se k R temos detkA kn detA temos considerar n a ordem da matriz A Exemplo P10 detAB detA detB 29 Regra de Chió A regra de Chió é mais uma técnica que facilita muito o cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem n n 2 Essa regra nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n1 de igual determinante Exemplos Vamos calcular o determinante associado à matriz com o auxílio da regra de Chió Passo 1 Para podermos aplicar essa regra a matriz deve ter pelo menos um de seus elementos igual a 1 Assim fixando um desses elementos retiramos a linha e a coluna onde ele se encontra 77 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas Passo 2 Em seguida subtraímos do elemento restante o produto dos dois corres pondentes que foram eliminados um da linha e outro da coluna Passo 3 Multiplicamos o determinante assim obtido por 1ij onde i representa a linha e j a coluna retiradas neste caso 2a linha e 2a coluna 210 Inversão de Matrizes com Auxílio da Teoria dos Determinantes A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicação do seguinte teorema A matriz inversa A1 de uma matriz A quadrada de ordem n existe se e somente se detA0 e é dada por Observação adjA é a matriz transposta da matriz dos cofatores adjA A t Exemplo Verificar se a matriz admite inversa Solução A matriz A admite inversa se e somente se detA0 Assim como existe a matriz inversa de A 78 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas 3 SISTEMAS LINEARES De acordo com Rufato 2014 muitos problemas são modelados matematicamente por sistemas de equações lineares em diversas áreas do conhecimento desde a antigui dade Por volta de 1800 AC já eram considerados pelos babilônios os sistemas com duas equações lineares e resolvido por um método chamado eliminação gaussiana 31 Equação Linear É toda equação da forma a1 x1 a2 x2 an xnb onde a1a2an são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1x2 xn e b é um número real chamado termo independente Observação Quando b 0 a equação recebe o nome de linear homogênea Exemplos Equações Lineares Equações NãoLineares 1 3x 2y 4z 7 1 xy 3z t 8 2 x y 3z t 0 homogênea 2 x 4y 3t 4 3 2x 4z 3t y 4 3 y z 7 79 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas 32 Sistema Linear Definição Um conjunto de equações lineares da forma é um sistema linear de m equações e n incógnitas 33 Solução do Sistema Linear Chamamos de solução do sistema a nupla de números reais ordenados r1r2rn que é simplesmente solução de todas equações do sistema 34 Matriz Incompleta É a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema Exemplos 35 Matriz Completa É a matriz B que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema Assim a matriz completa referente ao sistema anterior é 36 Sistema Homogêneo Um sistema é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos Exemplo 80 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas 37 Solução de um Sistema Homogêneo A nupla 0 0 0 0 é sempre solução de um sistema linear homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial Quando existem as demais soluções são chamadas nãotriviais 38 Classificação de um Sistema Linear Quanto ao Número de Soluções Exemplos a Tem solução única o par ordenado 3 5 Portanto o sistema é possível e determinado b Tem infinitas soluções algumas são dadas pelos pares ordenados 0 8 1 7 2 6 3 5 4 4 5 3 Portanto o sistema é possível e indeterminado c Não tem um par ordenado que satisfaz simultaneamente as equações Portanto o sistema é impossível 39 Sistema Normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações m e de incógni tas n e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero ou seja se m n e detA0 o sistema é normal Observação Todo sistema normal é possível e determinado e portanto tem solução única Exemplo Determinar k R de modo que o sistema seja normal Solução Para o sistema ser normal temos que observar duas condições mn e detA0 81 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas 1ª condição m 2 e n 2 m n No sistema o número de equações m2 é igual ao número de incógnitas n2 2ª condição detA 0 Logo o sistema é normal para qualquer k real diferente de 1 e de 1 310 Regra de Cramer Todo sistema normal tem uma única solução dada por onde i 12 3 n DdetA é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e Di é o determinante obtido através da substituição na matriz incompleta da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes Exemplo Resolver com o auxílio da Regra de Cramer o seguinte sistema Solução Condição Portanto como o sistema é normal podemos utilizar a Regra de Cramer para resolvêlo 1º Passo Calcular Dx e Dy Substituindo na matriz incompleta a coluna c1 pela coluna formada pelos termos independentes encontramos Substituindo agora c2 pela coluna dos termos independentes encontramos 2º Passo Encontrar x e y Logo x y 3 1 é a solução do sistema dado 82 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas 311 Discussão de um Sistema Linear Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas calculamos o deter minante D da matriz incompleta D 0 Sistema possível determinado SPD tem uma única solução D 0 Sistema pode ser possível e indeterminado SPI ter infinitas soluções ou impossível SI não ter solução Se pelo menos um Di diferente de zero teremos um SI Exemplos a Temos m n 2 Logo o sistema é possível e determinado apresentando solução única b Temos m n 3 Sendo D 0 e Dx 0 o sistema é impossível não apresentando solução c Temos m n 3 83 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas Logo temosD0 Dx0 Dy0 Dz0 Portanto o sistema é possível e indeterminado apresentando infinitas soluções 312 Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução Exemplo O par ordenado xy12 satisfaz ambos e é único Logo S1 e S2 são equivalentes S1 S2 313 Sistemas Escalonados De acordo com Lima 2008 um sistema é escalonado se a sua forma matricial também for escalonada Tal sistema pode ser resolvido de baixo para cima isso quer dizer que vamos zerar a primeira variável da última equação utilizando uma combinação linear entre as equações Esse procedimento continua na penúltima equação Caso seja neces sário pelo número de equações fazse necessário a continuação do processo Sistema linear Onde existe pelo menos um coeficiente nãonulo em cada equação dizemos que S está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente nãonulo aumenta de equação para equação Exemplos 314 Procedimentos para Escalonar um Sistema Etapas 1ª Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero 2ª Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes anulamos todos os coefi cientes da 1ª incógnita das demais equações 84 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas 3ª Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação 4ª Repetimos o processo com as demais incógnitas até que o sistema se torne escalonado Exemplos Vamos escalonar o sistema 1º passo Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação aplicando as propriedades Trocamos de posição a 1ª e a 3ª equações Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por 3 com a 2ª equação Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 1ª equação por 2 com a 3ª equação 2º passo Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por com a 3ª equação Agora como o sistema está escalonado podemos resolvêlo Substituindo este valor em 8y 7z 6 vem 85 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas 8y 72 6 8y 8 y 1 Substituindo agora y 1 e z 2 em x 2y z 2 vem x 2 1 2 2 x2 Portanto o sistema é possível e determinado admitindo uma única solução que é dada por xyz 212 86 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas SAIBA MAIS A teoria da Álgebra Linear e em particular a teoria dos Sistemas Lineares e das Ma trizes podem ser usadas para resolver certos tipos de problemas em várias áreas do conhecimento como Física Química Economia todas as Engenharias etc O objetivo principal deste trabalho é mostrar através de exemplos aplicações dos Sistemas Linea res e Matrizes em alguns problemas práticos nas áreas de Economia Engenharia Elétri ca e Engenharia Civil Na área de Economia estudamos os modelos fechado e aberto de Leontief os quais descrevem uma interrelação entre preços produção e demanda num sistema econômico Na área de Engenharia Elétrica mostramos um exemplo de como calcular a intensidade da corrente num dado circuito elétrico O modelo matemático é obtido pela Lei de Kirchho e a solução nal é dada através da resolução de um sistema álgebrico linear Uma das aplicações de Álgebra Linear na Engenharia Civil é em pro jetos de estruturas metálicas onde o cálculo das forças entre vigas exige a solução de um sistema de equações lineares Quanto mais complexa for esta estrutura maior será o número de equações e de variáveis envolvidas no sistema A matriz dos coecientes do sistema deve ser inversível para que a estrutura não colapse Para uma mesma es trutura sujeita a forças externas variáveis podese encontrar a matrizcoluna das forças que atuam sobre as vigas multiplicandose a inversa da matriz que modela a estrutura pela matrizcoluna das forças externas Fonte CRUVINEL 2013 p 12 REFLITA Sonhos Escolhas e Renúncias são em sua essência as matrizes matemáticas do sucesso Ruann Couto Pinheiro Fonte PENSADOR Disponível em httpswwwpensadorcomfraseMzAzMjYyNQ Acesso em 08 abr 2022 87 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas CONSIDERAÇÕES FINAIS Prezado a aluno a o estudo desta unidade foi concentrado nas definições e operacionalidade das matrizes determinantes e sistemas lineares Ao final desta unidade o aluno deverá ser capaz de Conhecer os conceitos apresentados sobre matrizes de terminantes e sistemas lineares desenvolver habilidade na resolução de problemas dos conteúdos apresentados relacionar observações do mundo real com os conceitos mate máticos apresentados representar o problema real através do modelo matemática que corresponde a um sistema linear Identificar uma equação linear encontrar a solução de uma equação linear identificar um sistema linear identificar sistemas possíveis e impossí veis e resolver sistemas por escalonamento 88 UNIDADE IV Matrizes Determinentes e Sistemas MATERIAL COMPLEMENTAR LIVRO Título Álgebra Linear Autor José Luiz Boldrini Sueli I Rodrigues Costa Vera Lúcia Figueiredo Henry G Wetzler Editora Harbra Editora Sinopse Visto que os alunos que cursam pela primeira vez esta disciplina frequentemente a julgam muito abstrata e não veem como podem utilizar os conceitos básicos os autores do livro ex perientes professores da UNICAMP preocuparamse em enfatizar o uso dos conceitos no decorrer de todo o texto Por ser um curso introdutório os prérequisitos para a utilização deste livro são os tópicos de Matemática normalmente estudados no Ensino Médio SOFTWARE Título Software Matrix Calculator Autor Microsoft Sinopse Seja para um projeto para a escola ou para um hobby às vezes é útil poder fazer um cálculo Matrix rapidamente A Calcu ladora de Matriz oferece a capacidade de fazer os seguintes tipos de cálculos Adição Subtração Multiplicação Escala Transposi ção cálculo do Determinante e Inverso Matrix Calculator explora a visão de paisagem do Windows Phone oferecendo uma visão geral ideal de sua entrada e do resultado Outro recurso exclusivo é que ele oferece a você a possibilidade de copiar e colar matrizes tocando e segurando em uma matriz permitindo fazer cálculos encadeados 89 REFERÊNCIAS AMARAL R C Cônicas e Quádricas Uma Abordagem Didática para Aplicação do Ensino Médio e Aprimoramento de Cursos Técnicos 2019 Dissertação Mestrado Profissional em Matemática Departamento de Matemática Universidade Federal Rural de Pernambuco Recife 2019 AVRITZER D Geometria Analítica e Álgebra Linear Uma Visão Geométrica Belo Horizon te Editora UFMG 2009 BEZERRA L H SILVA I P C Geometria analítica Florianópolis UFSCEADCEDCFM 2010 170p CRUVINEL F B Tópicos de Álgebra Linear e Aplicações em Problemas de Economia e de Engenharia 2013 Dissertação Mestrado Profissional em Matemática Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal Goiás Goiânia FRANCO NEIDE M B Álgebra Linear São Paulo Pearson 2016 LIMA E L Geometria Analítica e Álgebra Linear 2a ed Coleção Matemática Universitária IMPA 2008 MIRANDA D S CASTELO P C Aplicações de Matrizes 2016 Monografia Graduação Licenciatura Plena em Matemática Colegiado de Matemática Universidade Federal do Amapá Macapá MURDOCH DAVID C Geometria Analítica Rio de Janeiro Editora Científica 1969 NÉTA M R O Determinantes e suas Propriedades 2014 Monografia Graduação Licen ciatura Plena em Matemática Departamento de Matemática Universidade Estadual da Paraiba Campina Grande RONCAGLIO Viviane NEHRING Cátia M Registros de Representação Semiótica con versão e tratamento em vetores Curitiba Appris 2019 RUFATO S A C Sistemas Lineares Aplicações e Uma Sequência Didática 2014 Dis sertação Mestrado Profissional em Matemática Instituto de Ciências Matemática e de Computação Universidade de São Paulo São Carlos 90 SOMMERFELD G F F Cônicas Quádricas e suas Aplicações 2013 Monografia Pósgra duação em Matemática Departamento de Matemática Universidade Federal de Minas Gerais Belo Horizonte SOUSA F B SABINO E R SABINO E R Abordagem histórica e conceitual sobre os sistemas de equações lineares e sua relação com matrizes e determinantes Marabá 2017 STEINBRUCH A Introdução à Álgebra Linear São Paulo Pearson Makron Books 2013 VENTURI J J Cônicas e Quádricas 5 Edição Curitiba Editora Unificado 2003 WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica São Paulo Makron Books 2000 91 CONCLUSÃO GERAL Prezado a aluno a chegamos ao fim da nossa disciplina onde conseguimos abordar os principais temas relacionados a Geometria Analítica e a Álgebra Linear Na Unidade I aprendemos os conceitos sobre plano cartesiano vetores e posições relativas entre retas e planos Na Unidade II o nosso estudo concentrouse nas cônicas Aprendemos a equacio nar e representar geometricamente a elipse hipérbole e parábola Na Unidade III estudamos as quádricas Aprendemos a diferença entre quádricas cen trais e nãocentrais Vimos também a representação equacional e geométrica do cilindro reto de base elíptica cilindro de base hiperbólica cone duplo de revolução elipsoide hiperboloide de uma folha hiperboloide de duas folhas paraboloide elíptico e paraboloide hiperbólico Por fim na Unidade IV estudamos as matrizes determinantes e sistemas lineares Desejamos a você aluno a que faça bom uso dos conhecimentos passados em nosso material e nas aulas Um grande abraço Até a próxima 55 44 3045 9898 Rua Getúlio Vargas 333 Centro CEP 87702200 Paranavaí PR wwwunifatecieedubreditoraedufatecie edufateciefatecieedubr EduFatecie E D I T O R A