Cálculo Diferencial e Integral I

G R A D U A Ç Ã O DR RICARDO RAMOS FRAGELLI DR RONNI GERALDO GOMES DE AMORIM DR VINICIUS DE CARVALHO RISPOLI Cálculo Diferencial e Integral I Híbrido GRADUAÇÃO Cálculo Diferencial e Integral I Dr Vinicius de Carvalho Rispoli Dr Ricardo Ramos Fragelli Dr Ronni Geraldo Gomes de Amorim C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ Núcleo de Educação a Distância RISPOLI Vinicius de Carvalho FRAGELLI Ricardo Ra mos AMORIM Ronni Geraldo Gomes de Cálculo Diferencial e Integral I Vinicius de Carvalho Rispoli Ricardo Ramos Fragelli Ronni Geraldo Gomes de Amorim MaringáPR Unicesumar 2018 344 p Graduação EAD 1 Cálculo 2 Diferencial 3 Integral 4 EaD I Título ISBN 9788545912279 CDD 22 ed 5155 CIP NBR 12899 AACR2 NEAD Núcleo de Educação a Distância Av Guedner 1610 Bloco 4 Jardim Aclimação CEP 87050900 Maringá Paraná unicesumaredubr 0800 600 6360 Impresso por DIREÇÃO UNICESUMAR Reitor Wilson de Matos Silva ViceReitor e PróReitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho PróReitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva PróReitor de Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi NEAD NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff James Prestes e Tiago Stachon Diretoria de Graduação e Pósgraduação Kátia Coelho Diretoria de Permanência Leonardo Spaine Diretoria de Design Educacional Débora Leite Head de Produção de Conteúdos Celso Luiz Braga de Souza Filho Head de Metodologias Ativas Thuinie Daros Head de Curadoria e Inovação Tania Cristiane Yoshie Fukushima Gerência de Projetos Especiais Daniel F Hey Gerência de Produção de Conteúdos Diogo Ribeiro Garcia Gerência de Curadoria Carolina Abdalla Normann de Freitas Supervisão do Núcleo de Produção de Materiais Nádila de Almeida Toledo Projeto Gráfico José Jhonny Coelho e Thayla Guimarães Cripaldi Fotos Shutterstock Coordenador de Conteúdo Crislaine Rodrigues Galan e Fabio Augusto Gentilin Designer Educacional Janaína de Souza Pontes e Yasminn Talyta Tavares Zagonel Revisão Textual Érica Fernanda Ortega e Talita Dias Tomé Editoração Isabela Mezzaroba Belido e Thayla Guimarães Cripaldi Ilustração Bruno Pardinho Bruno Pinhata Marta Kakitani e Marcelo Goto Realidade Aumentada Kleber Ribeiro Leandro Naldei e Thiago Surmani PALAVRA DO REITOR Em um mundo global e dinâmico nós trabalha mos com princípios éticos e profissionalismo não somente para oferecer uma educação de qualida de mas acima de tudo para gerar uma conversão integral das pessoas ao conhecimento Baseamo nos em 4 pilares intelectual profissional emo cional e espiritual Iniciamos a Unicesumar em 1990 com dois cursos de graduação e 180 alunos Hoje temos mais de 100 mil estudantes espalhados em todo o Brasil nos quatro campi presenciais Maringá Curitiba Ponta Grossa e Londrina e em mais de 300 polos EAD no país com dezenas de cursos de graduação e pósgraduação Produzimos e revi samos 500 livros e distribuímos mais de 500 mil exemplares por ano Somos reconhecidos pelo MEC como uma instituição de excelência com IGC 4 em 7 anos consecutivos Estamos entre os 10 maiores grupos educacionais do Brasil A rapidez do mundo moderno exige dos educadores soluções inteligentes para as ne cessidades de todos Para continuar relevante a instituição de educação precisa ter pelo menos três virtudes inovação coragem e compromisso com a qualidade Por isso desenvolvemos para os cursos de Engenharia metodologias ativas as quais visam reunir o melhor do ensino presencial e a distância Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é promover a educação de qualidade nas diferentes áreas do conhecimento formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária Vamos juntos BOASVINDAS Prezadoa Acadêmicoa bemvindoa à Co munidade do Conhecimento Essa é a característica principal pela qual a Unicesumar tem sido conhecida pelos nossos alu nos professores e pela nossa sociedade Porém é importante destacar aqui que não estamos falando mais daquele conhecimento estático repetitivo local e elitizado mas de um conhecimento dinâ mico renovável em minutos atemporal global democratizado transformado pelas tecnologias digitais e virtuais De fato as tecnologias de informação e comu nicação têm nos aproximado cada vez mais de pessoas lugares informações da educação por meio da conectividade via internet do acesso wireless em diferentes lugares e da mobilidade dos celulares As redes sociais os sites blogs e os tablets ace leraram a informação e a produção do conheci mento que não reconhece mais fuso horário e atravessa oceanos em segundos A apropriação dessa nova forma de conhecer transformouse hoje em um dos principais fatores de agregação de valor de superação das desigualdades propagação de trabalho qualificado e de bemestar Logo como agente social convido você a saber cada vez mais a conhecer entender selecionar e usar a tecnologia que temos e que está disponível Da mesma forma que a imprensa de Gutenberg modificou toda uma cultura e forma de conhecer as tecnologias atuais e suas novas ferramentas equipamentos e aplicações estão mudando a nossa cultura e transformando a todos nós Então prio rizar o conhecimento hoje por meio da Educação a Distância EAD significa possibilitar o contato com ambientes cativantes ricos em informações e interatividade É um processo desafiador que ao mesmo tempo abrirá as portas para melhores oportunidades Como já disse Sócrates a vida sem desafios não vale a pena ser vivida É isso que a EAD da Unicesumar se propõe a fazer Seja bemvindoa caroa acadêmicoa Você está iniciando um processo de transformação pois quando investimos em nossa formação seja ela pessoal ou profissional nos transformamos e consequentemente transformamos também a so ciedade na qual estamos inseridos De que forma o fazemos Criando oportunidades eou estabe lecendo mudanças capazes de alcançar um nível de desenvolvimento compatível com os desafios que surgem no mundo contemporâneo O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de Educação a Distância oa acompa nhará durante todo este processo pois conforme Freire 1996 Os homens se educam juntos na transformação do mundo Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica e encontramse integrados à proposta pedagógica contribuindo no processo educa cional complementando sua formação profis sional desenvolvendo competências e habilida des e aplicando conceitos teóricos em situação de realidade de maneira a inserilo no mercado de trabalho Ou seja estes materiais têm como principal objetivo provocar uma aproximação entre você e o conteúdo desta forma possibilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos conhecimentos necessários para a sua formação pessoal e profissional Portanto nossa distância nesse processo de crescimento e construção do conhecimento deve ser apenas geográfica Utilize os diversos recursos pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita Ou seja acesse regularmente o Stu deo que é o seu Ambiente Virtual de Aprendiza gem interaja nos fóruns e enquetes assista às aulas ao vivo e participe das discussões Além disso lembrese que existe uma equipe de professores e tutores que se encontra disponível para sanar suas dúvidas e auxiliáloa em seu processo de apren dizagem possibilitandolhe trilhar com tranquili dade e segurança sua trajetória acadêmica APRESENTAÇÃO Prezadoa alunoa Seja bemvindoa ao curso de Cálculo Diferencial e Integral I O principal objetivo deste curso é estabelecer as bases matemáticas necessárias para todos aqueles cursos que virão a seguir nos seus estudos em Engenharia Este curso foi dividido em nove unidades bem definidas que vão desde os conceitos de limite até as aplicações de derivadas parciais Na primeira parte do curso estudaremos o cálculo de funções de uma variável Desta forma iremos trabalhar com os conceitos de limites deri vadas e integrais O conceito de limite é uma ideia central que distingue o cálculo da álgebra e da trigonometria Ele é um conceito fundamental para determinarmos por exemplo a velocidade de um objeto Por outro lado as derivadas são usadas para medir a variação de quantidades Velocidade aceleração taxa de crescimento de uma colônia de bactérias e a variação de temperatura de um corpo são apenas alguns exemplos Finalmente temos que uma das grandes conquistas da geometria clássica foi a obtenção de fórmulas para as áreas e volumes das figuras geométricas círculos esferas cones e triângulos Veremos que a integral nos permite calcular áreas e vo lumes destas e de outras formas geométricas mais gerais A integral é uma ferramenta para o cálculo de muito mais do que apenas áreas e volumes possuindo diversas aplicações importantes na ciência em geral como as seguintes estatística economia física química e engenharia Com ela po demos calcular a força total que a água faz contra uma represa ou também a média do consumo de energia de uma casa por exemplo Já na segunda parte do curso estaremos interessados nas funções de mais de uma variável As funções de mais de uma variável surgem a todo momento no nosso dia a dia mesmo que não percebamos Talvez você nunca tenha notado mas uma fotografia digital em escala de cinza por exemplo nada mais é que a representação da intensidade de luz sobre um plano isto é fo tografiaIxy em que I representa a intensidade e os pontos x e y localizam aquela intensidade sobre a foto Para funções como esta iremos realizar um estudo semelhante ao do cálculo de funções de apenas uma variável com limites continuidade derivadas e localização de máximos e mínimo Esperamos que você se divirta muito estudando este curso Isso ajudará na sua dedicação e também na assimilação do máximo de conhecimento possível e podemos dizer que todos eles serão de fundamental importância no decorrer de toda a graduação Finalmente aproveitamos para desejar um ótimo curso de Cálculo 1 Os autores CURRÍCULO DOS PROFESSORES Dr Ronni Geraldo Gomes de Amorim Possui Pósdoutorado pela International Centre of Condensed Matter Physics of University of Brasilia 2012 Doutorado em Física pela Universidade de Brasília 2009 Mestrado em Física pela Universidade de Brasília 2006 Graduação em Física pela Universidade de Brasília 2003 e Graduação em Matemática pela Universidade Católica de Brasília 1999 Atualmente é Professor Adjunto da Universidade de Brasília Para mais informações acesse httplattescnpqbr4086384842130773 Dr Ricardo Ramos Fragelli Possui Doutorado em Ciências Mecânicas 2010 pela Universidade de Brasília UnB onde também fez Mestrado 2003 e Graduação 2000 em Engenharia Mecânica Professor Adjun to da UnB dos cursos de Engenharia da Faculdade UnB Gama e do Mestrado em Design do Departamento de Design Industrial onde orienta trabalhos na área de Design Educacional Desenvolve pesquisas em Sistemas Tutores Inteligentes e Adaptativos técnicas métodos e tecnologias para Educação Por meio de suas pesquisas recebeu onze prêmios nacionais de Instituições como MEC MCT CAPES ABED ABMES e Santander Universidades Para mais informações acesse httplattescnpqbr6119310102978688 Dr Vinícius de Carvalho Rispoli Possui Doutorado 2014 em Engenharia de Sistemas Eletrônicos e Automação pela Universi dade de Brasília com período sanduíche na University of Michigan EUA Graduação 2005 e Mestrado 2007 em Matemática pela Universidade de Brasília Tem experiência na área de Matemática Aplicada com ênfase em Equações Diferenciais Métodos Numéricos e Otimiza ção Atua na área da Engenharia BiomédicaMatemática Aplicada e é Professor Adjunto II de Matemática Aplicada na Faculdade UnB Gama Universidade de Brasília Para mais informações acesse httplattescnpqbr1386396456867682 Busque Conhecimento Números e Funções Reais 13 Limite e Continuidade 45 Derivadas 97 Aplicações da Derivada Integração 141 169 Técnicas de Integração 207 Aplicações da Integral Definida Funções de mais de uma Variável 283 Aplicações das Derivadas Parciais 319 245 264 Resultado da revolução da curva em torno do eixo x 287 Gráfico de um elipsóide 328 Parabolóide Hiperbólico e a origem 00 como ponto de sela Utilize o aplicativo Unicesumar Experience para visualizar a Realidade Aumentada PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Dr Vinicius de Carvalho Rispoli Dr Ricardo Ramos Fragelli Dr Ronni Geraldo Gomes de Amorim Apresentar a definição do conjunto dos números reais e dos intervalos na reta e utilizar essas definições para a solução de inequações Definir rigorosamente o conceito de função e os tipos de função injetiva sobrejetiva e bijetiva Definir o plano Cartesiano e mostrar como construir a representação gráfica de alguns tipos de função Mostrar os aspectos referentes à equação de uma reta e como construíla Conjunto dos Números Reais Funções Domínio e Imagem Equação da Reta Gráficos Números e Funções Reais 14 Números e Funções Reais Conjunto dos Números Reais Prezadoa alunoa começaremos nossa disci plina de cálculo afirmando que esse conteúdo é essencialmente diferente de toda a matemática que você estudou até o momento O cálculo está ligado ao movimento e portanto ele é menos está tico e mais dinâmico Estaremos preocupados em como quantidades se aproximam de outras com a mudança e o movimento Assim para conse guirmos acatar todas essas ideias precisaremos de uma base matemática sólida Logo nesse primeiro momento vamos focar em relembrar revisar e definir alguns conceitos que vocês já podem es tar familiarizados como o conjunto dos números reais funções e gráficos mas nunca é demais dar uma nova olhada Este tópico será dedicado ao conjunto dos nú meros reais seus subconjuntos e suas proprie dades Isso se faz importante pois boa parte do cálculo é devido às propriedades do conjunto dos números reais Mas quem são os números reais A seguir responderemos essa pergunta Usualmente ao se medir um comprimento usamos uma régua Uma régua comum é baseada em um comprimento padrão de 1cm Assim ao tirarmos a medida de algum objeto utilizando uma régua obtemos um número que indica quantas medidas de 1cm esse objeto possui Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo Para acessar use seu leitor de QR Code Se a medida do objeto couber em um número exato de vezes do tamanho base de 1cm o comprimento expresso será um número que denominamos por natural N por exemplo 0 1 2 3 4 pertencentes a esse grupo Ao conjunto dos números naturais também podemos incluir os inteiros negativos os números inteiros Z Teremos deste modo os números 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 pertencentes a esse grupo Se a medida do objeto couber em uma fração de números inteiros de uma certa quantidade do tamanho base de 1cm o comprimento expresso será um número denotado por racional Q Nesse conjunto estão os números positivos e negativos os números decimais 01 025 071 as dízimas periódicas 0333 05252 e todo número que puder ser escrito como uma divisão de números inteiros números fracionários 23 25 13 72 Em ambos os casos é possível medir o comprimento do objeto utilizando a régua Porém existem casos em que ao se medir o comprimento de um objeto com uma régua não é possível determinar exatamente quantas medidas de 1cm cabem no comprimento Entretanto antes de continuar com sua leitura gostaríamos de propor um desafio Quando medimos alguma coisa estamos sempre comparando com algo padrão Além disso nós conseguimos fazer estimativas para algumas medidas utilizando o nosso próprio corpo Por exemplo se alguém tem uma altura próxima à nossa então conseguimos dizer qual é a altura dessa pessoa Se uma criança tiver a metade de nossa altura também conseguimos arriscar sua altura bastando dividir a nossa própria altura por 2 Uma boa estratégia para fazer essas estimativas no dia a dia é saber previamente quanto mede o seu palmo Já teve essa curiosidade Assim conseguimos utilizar essa nova régua ao fazer suas estimativas de tamanho Se por exemplo meu palmo tem 20 cm e um determinado objeto tem 2 palmos e meio então ele tem aproximadamente 50 cm Contudo surge um desafio muito mais interessante e é o que vamos discutir agora Na Grécia antiga acreditavase que todo número poderia ser escrito na forma de fração ou seja um número dividido por outro Entretanto descobriuse que nem todos os números podem ser expressos dessa forma Imagine se pegarmos nossa régua que está em centímetros e dividíssemos cada linha entre os centímetros em dez partes cem partes ou quantas partes você desejar Mesmo assim algumas grandezas são impossíveis de serem medidas dessa forma O mais estranho é que pode ser que algumas partes do seu corpo talvez até o comprimento do seu polegar seja um número irracional ou seja aquele que não pode ser escrito como um número inteiro decimal dízima periódica ou fração de dois números inteiros Incrível não O exemplo 1 mostra uma dessas medidas que são impossíveis de serem escritas como fração A medida da diagonal de um quadrado de lado unitário é dada pelo teorema de Pitágoras no qual o quadrado da hipotenusa é a soma do quadrado dos catetos O teorema pode ser aplicado em qualquer triângulo retângulo em que a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e os catetos são os menores lados do triângulo No nosso caso ao dividirmos o quadrado em duas partes temos dois triângulos retângulos O exemplo 1 mostra uma dessas medidas que são impossíveis de serem escritas como fração O número 2 14142135623 é um número cuja representação decimal tem infinitas casas nãoperiódicas depois da vírgula Sendo a representação decimal nãoperiódica esse número não pode ser um número racional e claramente nem inteiro e nem natural Dessa forma mesmo que a nossa régua use uma medida muito menor que 1cm como base jamais encontraremos um número inteiro que represente quantas vezes a unidade de medida cabe em 2 17 UNIDADE I O número p expressa a razão constante entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro r Figura 2 Círculo de raio r Fonte os autores Isto é a razão é dada por comprime da circunferência diâ etro 2 2 2 2 π π π r r r r O número p 3 1415926535 assim como 2 também é um número que possui infinitas casas decimais nãoperiódicas Desta forma o número p também não pode ser um número racional Os números p e 2 são exemplos de números que chamamos de irracionais O conjunto dos números irracionais contém todos aqueles que não podem ser escritos como uma razão de números inteiros Assim se fizermos a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais teremos um conjunto mais amplo que chamaremos de conjunto dos números reais e representamos ele pelo símbolo No conjunto dos números reais estão todos os números possíveis que podemos marcar sobre uma reta contínua Isto é se marcarmos na reta todos os números racionais e também os números irracionais teremos o preenchimento total da reta que a partir de agora será chamada de reta real Figura 3 Reta real Fonte os autores O estudo do conjunto dos números reais e suas propriedades é importante pois di versos assuntos relacionados ao cálculo são baseados nas propriedades dos números reais São elas as propriedades algébricas de ordem e a completude As propriedades algébricas estão relacionadas à capacidade de somar subtrair multiplicar e dividir 2 EXEMPLO números reais e assim produzir novos números reais A completude é uma propriedade difícil de definir precisamente em um curso introdutório de matemática como o cálculo no entanto a ideia da completude está ligada ao fato da reta real ser uma linha contínua sem buracos nela com todos os números reais estando sobre ela representados Finalmente dados a b c R então as propriedades de ordem são Se a b então a c b c Se a b e c 0 então ac bc Se c 0 então ac bc Se a 0 então 1a 0 Se a b e ambos são positivos ou negativos então 1b 1a Intervals são subconjuntos especiais da reta real Eles são utilizados para representar todos os números reais que se encontram entre dois números predeterminados Veremos que os intervalos surgem naturalmente na solução de inequações que aparecem em diferentes contextos Além disso os intervalos têm um significado especial no cálculo por uma combinação de intervalos Essa combinação pode ser feita usando as operações de conjuntos união interseção e diferença As notações usuais para cada um dos intervalos possíveis estão representadas na Tabela 1 Tabela 1 Diferentes tipos de intervalos Notação Intervalo a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a x R x a a x R x a a x R x a a x R x a Fonte os autores Vale observar que na notação utilizada para os intervalos os parênteses representam elementos que não pertencem ao intervalo enquanto que os colchetes representam os elementos que pertencem ao intervalo Dentro dos intervalos possíveis alguns são notáveis e recebem nomes especiais Os intervalos a b e a b são conhecidos como intervalo aberto e intervalo fechado respectivamente e o intervalo é todo o conjunto dos reais R Finalmente observase que na notação de interval os símbolos de só podem vir acompanhados de parênteses afinal o símbolo do infinito não representa um número Assim o intervalo 2 4 é dado pelo conjunto x R 2 x 4 e é representado graficamente por 3 é dado pelo conjunto de todos os reais maiores que 3 isto é I x R 3 x e é representado graficamente por Finalmete neste curso de cálculo representaremos alguns subconjuntos específicos da reta real de uma forma especial O conjunto dos números reais nãonegativos isto é x R x 0 será representado por R0 0 O conjunto dos números reais positivos isto é x R x 0 será representado por R0 0 O conjunto dos números reais nãopositivos isto é x R x 0 será representado por R0 0 O conjunto dos números reais negativos isto é x R x 0 será representado por R0 0 3 2 5x z z adicione 2 em ambos os lados 5 5x β β β5 x dividida por 5 em ambos os lados 1 x Portanto para que a desigualdade seja sempre satisfeita é necessário que os valores de x sejam sempre maiores que 1 Isto é o conjunto solução é dado por S x ℝ x 1 1 Graficamente o conjunto solução é representado pela figura a seguir 22 Números e Funções Reais O principal objeto de estudo dentro do cálculo são as funções Matematicamente a descrição de uma função é semelhante a de uma máquina em que fornecida uma entrada a máquina efetua uma saída Por exemplo imagine que você possua uma dessas máquinas de café instantâneo que fazem diversos tipos de café como cappuccino expres so ou achocolatado Essas máquinas funcionam da seguinte maneira ao pressionar o tipo de café desejado a máquina irá despejar no copo posicio nado na bandeja o tipo de café desejado Foi dada uma entrada para a máquina o apertar do botão respectivo ao tipo de café e essa entrada produziu uma saída o despejo do café no copo Algebricamente falando uma função é uma regra que associa dois conjuntos um de entrada e um de saída de tal forma que a cada entrada executada só é possível ter uma única saída STE WART 2017 THOMAS WEIR HASS 2012 Para representar uma função usamos a notação f A B que significa que f é uma função que associa o conjunto de entrada A ao conjun Funções Domínio e Imagem Figura 4 Representação em diagrama de uma função f A B Fonte os autores Na Figura 4 vemos a função f A B cujo domínio é dado pelo conjunto A a b c d e e o contradomínio B p q r Além disso dado um elemento do domínio x A o resultado da aplicação da função f neste ponto é representado por fx e B O conjunto denominado por Imf cujos elementos são todos os valores de fx com x variando por todo o domínio A é chamado de conjunto imagem da função STEWART 2017 THOMAS WEIR HASS 2012 Consideres os conjuntos A 1 2 3 4 5 6 que será o domínio da função e o contradomínio B 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Vamos criar uma função que associe esses dois conjuntos da seguinte forma dado um elemento do domínio a função f resultará no dobro desse elemento Isto é dado x A a função para esse elemento x fará fx 2x Neste caso então temos por exemplo f1 21 2 gd 140 d 90 Então por exemplo se eles possuem um limite máximo de R100000 que podem gastar nessa viagem podemos determinar a quantidade máxima de dias que eles podem ficar viajando Calculando o gasto total para d 6 e d 7 dias temos g6 140 6 90 930 e g7 140 7 90 1070 Como g7 1000 temos portanto que o casal pode ficar viajando no máximo por d 6 para não estourar o orçamento previsto Como já dissemos anteriormente o nosso foco neste curso de cálculo é trabalhar com funções mas não quaisquer funções Queremos aquelas que possuem como domínio e contradomínio subconjuntos dos números reais Neste ponto estamos muito interessados em determinar os domínios das funções reais Em várias situações iremos nos deparar com a expressão que define a função e será necessário determinar o conjunto de valores x ℝ tais que a expressão dada para a função fornece um valor real Em geral isso significa que precisamos evitar a divisão por zero e tirar raízes quadradas de números negativos como veremos nos exemplos abaixo 10x 5 0 5 10x 12 x Além disso é necessário que o denominador seja nãonulo logo x² 16 0 x 4 Portanto para que a função esteja bem definida é necessário que os valores de x estejam conjunto D x ℝx 4 x 12 Em notação de intervalo temos que o domínio dessa função é dado por D 12 4 4 fx₁ fx₂ Imf então significa que x₁ x₂ A Funções injetivas são aquelas em que cada imagem só é vista por um único elemento do domínio Novamente considere os conjuntos dos números naturais ℕ 1 2 3 4 n e o conjunto dos números pares P 2 4 6 8 2n Definindo a função f ℕ P que mapeia os números pares fn 2 n percebemos que ela é injetiva segundo a definição anterior Pois dados fn₁ fn₂ temos fn₁ fn₂ 2 n₁ 2 n₂ dividindo por 2 em ambos os lados n₁ n₂ Portanto a função fn 2 n é injetiva Finalmente podemos perceber que a função g ℝ ℝ₀ definida por gr r² no exemplo 15 não é injetiva Pois dados os números r₁ r₂ então gr₁ gr₂ 1 portanto essa função não é injetiva Em muitas situações iremos encontrar exemplos como o da função dada no exemplo f ℕ P definida como fn 2 n Essa função é tanto injetiva como sobrejetiva e chamamos funções que são ao mesmo tempo injetivas e sobrejetivas de funções bijetivas 28 Números e Funções Reais Conforme vimos no Tópico 1 identificamos os elementos do conjunto dos números reais asso ciando pontos sobre uma reta contínua e infinita De forma equivalente faremos a identificação de pontos que estão no plano a pares ordenados de números reais Para descrever como faremos essa associação dos pontos do plano aos pares de nú meros reais começamos desenhando duas retas reais de forma que elas sejam perpendiculares e se encontrem exatamente na origem de cada uma delas Essas retas serão chamadas de eixos coor denados um deles ficará identificado de forma horizontal e o outro de forma vertical No eixo horizontal os números são indicados por x e au mentam para a direita por outro lado no eixo ver tical os números são indicados por y e aumentam para cima conforme podemos ver na Figura 6 Gráficos Figura 6 Representação de pontos no plano como pares ordenados Uma forma de compreender melhor o comportamento das funções é através da construção do seu respectivo gráfico Tabela 2 Diferentes valores da função fx Tabela 3 Diferentes valores da função fx x fx 0 3 1 0 2 1 3 0 4 3 Fonte os autores Nosso trabalho agora é marcar os pontos obtidos no plano xy e temos então um esboço simples do gráfico da função quadrática A figura geométrica que representa o gráfico da função quadrática é conhecido como parábola 33 UNIDADE I Exatamente pela sua simplicidade a equação da reta terá uma grande importância para nós Para determinarmos a forma geral da equação da reta vamos considerar uma reta qualquer no plano como na Figura 9 Equação da Reta Figura 9 Reta no plano Fonte os autores Na Figura 9 temos que os pontos A B e C são pontos sobre a reta e também os triângulos semelhantes ΔABD e ΔBCE Como os triângulos são semelhantes então vale que a razão entre os lados BD e CE é igual à razão entre os lados AD e BE Isto é Reescrevendo temos que Observe nesse caso que as razões entre Δy Δx nada mais é do que a tangente do ângulo θ que chamamos de m tgθ ΔyΔx Além disso os lados do triângulo ABCD são dados por e finalmente temos que em uma reta a coordenada y pode ser escrita em função da variável x segundo a relação y mx b Figura 10 Influência do coeficiente angular Fonte os autores em que b y2 mx2 Na equação anterior que descreve o comportamento de uma reta precisamos identificar os dois parâmetros m e b A constante m conforme vimos anteriormente está relacionada com o ângulo que a reta faz com o eixo x Ele mede o quanto a reta se inclina e é conhecido como coeficiente angular da reta O coeficiente angular também define se uma reta é crescente ou decrescente Para uma reta crescente temos que m 0 para uma reta decrescente temos que o coeficiente angular é m 0 conforme podemos ver na Figura 10 Por outro lado a constante b serve para transladar a reta e é chamada de coeficiente linear da reta Na Figura 11 vemos duas retas que possuem o mesmo coeficiente angular mas coeficientes lineares diferentes Com isso podemos até concluir que retas com coeficientes lineares diferentes e mesmo coeficiente angular são paralelas Dada a inclinação de uma reta e um ponto pelo qual ela passa podemos determinar a equação dessa reta Considere então que a reta possui inclinação a 2 e que passa pelo ponto 1 4 Para essa reta temos y 2x b Como essa reta passa pelo ponto 1 4 então y1 4 21 b b 4 2 6 Portanto a equação da reta é dada por y 2x 6 Portanto a equação da reta que passa pelos pontos dados é yx 3x 1 Nesta unidade estudamos os números reais as funções e como representálas graficamente Esse nosso estudo cuidadoso agora será fundamental para o desenvolvimento do cálculo que veremos nas unidades a seguir Como veremos o cálculo é baseado nas funções definidas sobre o conjunto dos números reais Os limites por exemplo são definidos a partir de intervalos da reta O conhecimento do gráfico das funções também será muito útil quando estivermos tratando das integrais e as equações de reta estão intimamente ligadas com a derivada Portanto uma boa base como criamos aqui será importantíssima daqui pra frente Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução 1 Determine a equação da reta que passa pelos pontos 12 e 54 2 Resolva a inequação x² 16 0 3 Escolha a alternativa correta correspondente ao conjunto solução da inequação 4x 3 2x 8 a 116 b 116 d 116 e 116 4 Escreva o domínio da função fx x 2² x² 1 5 Escolha a alternativa correspondente à equação da reta que passa pelo ponto 34 e possui inclinação m 3 a y 3x 5 b y 3x 5 c y 3x 7 d y 3x 7 e y 3x 9 39 Existe outro conjunto numérico muito importante que engloba o conjunto dos números reais e consequentemente os naturais racionais e inteiros Esse é um conjunto especial e é chamado de conjunto dos números complexos Para os mais curiosos é possível conhecer um pouco da história dos números comple xos e também ver algumas informações sobre esse conjunto no link que segue Para acessar use seu leitor de QR Code WEB 40 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage 2017 Volume 1 THOMAS G B WEIR M D HASS J Cálculo São Paulo Pearson 2012 Volume 1 Diário de Bordo PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Mostrar intuitivamente o significado do limite e realizar assim o cálculo dos limites de algumas funções Definir precisamente o limite utilizando s e s definir os limites laterais demonstrar o teorema do sanduíche e realizar o cálculo de diversos limites Analisar o comportamento da função quando a variável x entender o significado do limite lim fx x c e definir o conceito de assíntotas Definir o conceito de uma função contínua e apresentar os teoremas relacionados à continuidade Introduzir o conceito da derivada por definição e realizar o cálculo da reta tangente a funções dadas Noção Intuitiva de Limite Definição Precisa de Limite Continuidade Limites e a Reta Tangente Limites no Infinito e Limites Infinitos Dr Vinicius de Carvalho Rispoli Dr Ricardo Ramos Fragelli Dr Ronni Geraldo Gomes de Amorim Limite e Continuidade Noção Intuitiva de Limite Prezadoa alunoa nesta unidade estudaremos os conceitos relacionados a limites e continuidade Am bos são conceitos fundamentais no cálculo e serão de extrema importância para definirmos a derivada e integral ferramentas de grande utilidade para es tudar e entender o movimento Veremos o conceito de limite começando pela sua noção intuitiva e suas propriedades além de estudarmos também sobre o infinito e como as funções se comportam no infinito Finalmente introduziremos a ideia da continuidade de uma função e suas propriedades No entanto antes de partirmos para as explica ções formais do limite vamos filosofar um pouco sobre um dos paradoxos de Zenão o paradoxo de Aquiles e a tartaruga Este paradoxo é uma compe tição entre o herói Aquiles e uma simples tartaruga em que eles disputarão uma corrida Vamos supor que ambos tenham velocidade constante durante toda a corrida isto é um importante fato Sabe mos claro que a velocidade de Aquiles é certamente maior que a da tartaruga Dessa forma a pequena cascuda recebe uma vantagem e começa a corrida em um trecho à frente de Aquiles Nessa corrida segundo o paradoxo Aquiles nunca irá alcançar a Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo Para acessar use seu leitor de QR Code Figura 1 Objeto de massa m em queda livre sujeita apenas à ação da gravidade Fonte os autores vm 196 49Δt podemos fazer previsões sobre a velocidade instantânea do objeto neste instante de tempo Primeiro lembramos que a velocidade instantânea é aquela dada em um instante específico de tempo diferentemente da velocidade média que é calculada durante um percurso em uma variação de tempo Olhando para a fórmula que temos para 𝑣𝑚 observamos que para obtermos uma boa estimativa da velocidade instantânea precisamos fazer as medidas da velocidade média no menor intervalo de tempo possível Dessa forma vamos observar com a ajuda da Tabela 1 como se comporta a velocidade média para alguns valores de Δ𝑡 Tabela 1 Valores da velocidade média para diferentes intervalos de tempo Δ𝑡 Velocidade média 𝑣𝑚 1 s 245 ms 01 s 2009 ms 001 s 19649 ms 0001 s 196049 ms 00001 s 1960049 ms Fonte os autores A informação trazida na Tabela 1 nos diz que quanto menor o número Δ𝑡 e mais perto de zero ele está ou em outras palavras quanto menor for o intervalo de tempo considerado mais próximo do número 196 ms será a velocidade média Neste caso podemos dizer utilizando a nossa intuição que a velocidade no instante de tempo t₀ 2 segundos é de 196 ms O exemplo que foi construído anteriormente nos dá uma noção intuitiva do que é o limite O nosso objetivo era saber para qual valor a velocidade média se aproximava à medida que o intervalo de tempo diminuía isto é à medida que Δ𝑡 se aproximava de 0 Com isso em mente podemos expandir a ideia do limite para uma função qualquer Assim considerando uma função fx qualquer queremos saber para qual valor ela se aproxima quando o número x se aproxima e está suficientemente perto de algum determinado número c Representamos essa ideia da aproximação assim como o limite com a seguinte notação lim𝑥𝑐 𝑓𝑥 L que deve ser lido como 𝑓𝑥 está suficientemente perto de L quando x está suficientemente perto do ponto c a Para esse primeiro exemplo considere a função f ℝ ℝ constante dada por fx k com k ℝ Para qualquer número real c ℝ temos que lim𝑥𝑐 fx lim𝑥𝑐 k k pois sendo fx constante ela sempre vai se aproximar dela mesmo quando a variável x se aproximar de qualquer número real b Vamos considerar agora uma função linear também definida em todos os reais dada por fx 3x 1 Assim como nos demais exemplos queremos entender o comportamento dessa função nas proximidades de algum ponto dado Para esse caso vamos escolher o ponto x 1 Para analisarmos como a função se comporta nas proximidades do ponto x 1 vamos construir uma tabela com valores de x próximos ao ponto x 1 e também os valores de fx como segue na Tabela 2 Tabela 2 Aproximação da função fx à medida que a variável x se aproxima de 1 x fx 09 17 099 197 0999 1997 09999 19997 11 23 101 203 1001 2003 10001 20033 Fonte os autores É possível notar pelos valores dados que quanto mais próximos estamos do ponto x 1 independentemente se o valor próximo seja x 1 ou x 1 a função fx está cada vez mais próxima do número 2 Neste caso intuitivamente concluímos que lim𝑥1 fx lim𝑥1 3x 1 2 No gráfico da Figura 2 podemos verificar como o fato de x se aproximar do número 1 leva a função fx a se aproximar do número 2 c Finalmente como último exemplo vamos considerar a seguinte função racional fx 𝑥² 9𝑥 3 Percebese de imediato que essa função não está definida no ponto x 3 Nesse momento é interessante perguntar o que acontece com o comportamento da função nas proximidades de um ponto no qual ela não está definida Primeiramente fatorando o numerador da função racional podemos perceber que fx 𝑥² 9𝑥 3 𝑥 3𝑥 3𝑥 3 𝑥 3 Logo o gráfico da função racional fx deve coincidir com o gráfico da função linear gx x 3 com exceção do ponto g3 6 pois a função fx não está definida neste ponto Na Figura 3 observamos o gráfico da função fx Como nos demais exemplos façamos uma tabela com valores de x próximos a x 3 e também com as imagens desses valores Neste caso teremos os valores conforme Tabela 3 Tabela 3 Aproximação da função fx à medida que a variável x se aproxima de 3 Definição Precisa de Limite Com o intuito de obter mais informações sobre como fx varia quando x está perto do número 1 iremos trabalhar com a seguinte pergunta quão perto de 1 a variável x deve estar para que a distância entre fx e 2 seja menor que 101 Em outras palavras qual é o valor do número δ 0 que fará com que fx 2 101 se x 1 δ considerando que x 1 fx L ε sempre que 0 x a δ STEWARD 2017 THOMAS WEIR HASS 2012 Então valem as seguintes propriedades a lim xc fx gx L M b lim xc fx gx L M c lim xc k fx k L em que k é uma constante real rx x² 1 1 4x² x² 1 1 4x² x² 1² 1² 4x²x² 1 1 x² 4x²x² 1 1 1 4x² 1 1 lim x0 x² 1 1 14 lim x0 4x² 1 10² 1 18 Limites Laterais Nos exemplos analisados no tópico anterior vimos que o limite nada mais é que o valor no qual uma função fx se aproxima quando o ponto x se aproxima de um ponto c Nos exemplos que fizemos naquela aula consideramos aproximações do ponto c que estavam tanto à direita quanto à esquerda deste ponto isso pode ser visto nos exemplos 1b e 1c Vamos considerar agora a função fx 41 x² 4 EXEMPLO a Considere a função definida por fx 1 se x 0 1 se x 0 O gráfico da função fx é dado pela Figura 5 Assim temos que lim x1 fx lim x1 41x² 41 1² 0 como pode ser observado facilmente na figura Assim temos que lim x1 fx lim x1 41 x² 411² 0 Assim temos que lim x0 fx 1 e lim x0 fx 1 b Considere a função dada pelo gráfico da Figura 6 Essa função é definida por gx x 0 x 1 2x1² 1 x 2 2 x 2 2 2 x 3 Temos para essa função lim x1 gx 1 lim x1 gx 0 lim x2 gx 2 e lim x2 gx 2 Para utilizarmos o Teorema do Sanduíche para calcular o limite lim x0 x²sen 1 x³ é necessário encontrarmos duas funções fx e hx com limites conhecidos e coincidentes de tal forma que fx x²sen 1 x³ hx Vamos agora calcular o seguinte limite lim θ0 senθ θ Como podemos observar na forma anterior temos que as áreas das três formas geométricas são ordenadas da seguinte forma A riangle OAB leq A riangle OAB leq A riangle OAC isto é fracsen heta2 leq fracO2 leq fractg heta2 Agora se considerarmos que o ângulo é não nulo isto é heta eq 0 podemos inverter a desigualdade anterior da seguinte forma frac1sen heta geq frac1 heta geq frac1tg heta Finalmente multiplicando toda a desigualdade pelo sen heta temos cos heta leq fracsen heta heta leq 1 Observe que as funções f heta cos heta e h heta 1 ambas satisfazem o limite lim heta o 0 f heta lim heta o 0 h heta 1 Portanto podemos aplicar o Teorema do Sanduíche e neste caso confirmamos o foi observado graficamente e temos lim heta o 0 fracsen heta heta 1 Limites no Infinito e Limites Infinitos Diferentemente do que foi abordado anteriormente neste tópico nos preocuparemos com o comportamento de uma dada função em dois casos que envolvem quantidades que crescem sem limites No primeiro caso será abordado os limites no infinito isto é queremos saber como uma função fx se comporta quando a variável cresce sem parar por exemplo Por outro lado estamos também interessados em saber de que forma uma função pode crescer sem limites mesmo quando a variável x o a um número finito 1 ext TEOREMA Sejam limx o a fx L e limx o b gx M com L M in mathbbR Então valem as seguintes relações 1 limx o c fx pm gx L pm M fx0 frac1102 001 fx1 frac1105 000001 fx2 frac11010 00000000001 fx3 frac11015 0000000000000001 Isto é se continuarmos a aumentar os valores de x veremos que a função fx ficará cada vez mais próxima de zero Em outras palavras podemos dizer então que se a variável x vai para o infinito ie x o infty a função se aproxima de zero ie fx o 0 Podemos sintetizar as afirmações anteriores na forma limx o infty frac1x 0 e limx o infty frac1x 0 2 lim x fxgx LM 3 lim x fxgx LM se M 0 4 lim x kgx kM em que k é uma constante real 5 Para qualquer número real r lim x fxr Lr a Já sabemos que os limites lim x 1x 0 e lim x 1x 0 Logo podemos utilizar as propriedades dadas pelo teorema acima para verificar por exemplo que lim x 1xp 0 para qualquer número real p 0 Isso se verifica porque lim x 1xp lim x 1x 1p lim x 1xp 0p 0 b Se quisermos calcular o limite lim x 3 2x π2x3 podemos novamente utilizar as propriedades e basear a nossa solução a partir do comportamento no infinito da função fx 1x Primeiro observamos que sendo mx 3 uma função constante então lim x mx lim x 3 3 Assim utilizando que a soma dos limites é o limite da soma temos lim x 3 2 lim x 1x π2x3 3 2 0 π20 3 c Considere agora a seguinte função racional formada pelo quociente entre dois polinômios de terceiro grau y 2x3 x2 15x3 2x2 2x 5 Nosso objetivo é calcular o limite dessa função y quando x Para isso será necessário realizarmos algumas manipulações algébricas Essas manipulações são úteis para identificarmos dentro do limite que desejamos calcular outros limites conhecidos como o limite lim x 1x 0 Para tal vamos colocar em evidência tanto no numerador quanto no denominador a maior potência possível da variável x Neste caso teremos que o limite desejado ficará escrito como lim x 2x3 x2 1 5x3 2x2 2x 5 lim x x3 2 x2x3 1x3 lim x x3 5 2x2x3 2xx3 5x3 lim x 15 2 0 0 25 Agora aplicando as propriedades dos limites temos lim x 2x3 x2 15x3 2x2 2x 5 lim x 2 1x3 5 2x2 5x3 lim x 2 0 0 Portanto a função racional satisfaz lim x 2x3 x2 1 5x3 2x2 2x 5 25 Conforme observamos nos exemplos anteriores os limites a seguir existem Quando esses limites no infinito existem denominamos a reta y b em que os limites lim x fx b ou lim x fx b de uma assintota horizontal da função fx Isto é para a função fx 3 2x π2x3 a reta y 3 é uma assintota horizontal Assim como para a função gx 2x3 x2 15x3 2x2 2x 5 a reta y 25 também é uma assintota horizontal De forma geral uma assintota é uma reta na qual a distância entre ela e o gráfico da função se aproxima de zero quando se afasta da origem Dizemos neste caso que o gráfico se aproxima da reta Esse é um conceito antigo e foi introduzido por Apolônio de Perga em seu trabalho sobre cônicas David Eugene Smith Podemos ver na Figura 10 ambos os gráficos das funções fx e gx se aproximando de suas respectivas assintotas horizontais Limites Infinitos Começamos esse tópico analisando o comportamento de uma função fx quando a sua variável x aumenta em módulo indefinidamente Nesta parte vamos verificar como a função se comporta quando a variável se aproxima de um ponto que não faz parte do domínio da função Para tal vamos considerar como em outras situações a função fx1x Essa função está definida para todos os reais menos o zero Portanto vamos analisar o que acontece com essa função quando nos aproximamos do ponto x0 Começaremos com valores de x nas proximidades de zero porém positivos Podemos ver na Tabela 4 como se comporta essa função Tabela 4 Comportamento da função fx1x nas proximidades do ponto x0 pelo lado direito x fx 101 101 102 102 104 104 108 108 1016 1016 1032 1032 lim x0 1x Por outro lado consideremos agora valores de x próximos de zero e também negativos Logo na Tabela 5 temos o comportamento da função Tabela 5 Comportamento da função fx1x nas proximidades do ponto x0 pelo lado esquerdo x fx 101 101 102 102 104 104 108 108 1016 1016 1032 1032 Novamente analisando os valores na tabela vemos que quanto mais próximo do zero a também à esquerda dele estivermos maior em módulo será o valor da função Esse crescimento em módulo também é arbitrário e quanto mais perto do zero estivermos menor será a função Nesse caso dizemos que lim x0 1x Graficamente podemos ver na Figura 11 como a função se comporta nas proximidades do ponto x0 Os exemplos anteriores são o que chamamos de limites infinitos Podemos definir os limites infinitos como sendo quando uma função fx em módulo cresce arbitrariamente quando a variável xc EXEMPLO Considere a seguinte função gx12x3² definida em ℝ3 Dessa forma vamos analisar o comportamento de gx quando x3 Como visto no exemplo anterior quando o denominador de uma função racional tende a zero a função tende a crescer em módulo arbitrariamente Neste caso quando x3 também que o denominador irá tender a 0 Dessa forma vamos calcular os limites laterais como no caso anterior Comecemos pelo limite à direita x3 À direita temos que o valor de x se aproxima do número 3 de forma que x3 isto é x30 Dessa forma o denominador da função racional será muito pequeno e o sinal do denominador positivo pois independente do sinal de x3 o número x3² 0 para qualquer valor de x3 Sendo o denominador suficientemente pequeno teremos como no exemplo anterior que o número 12x3² será suficientemente grande ou seja lim x3 1x3² Observe que o mesmo argumento valerá aqui quando calculamos o limite lateral à esquerda x3 pois o número x3² 0 para qualquer valor de x3 Portanto teremos também que lim x3 1x3² No gráfico da Figura 12 podemos ver como a função gx se comporta crescendo à medida que x se aproxima do número 3 Definimos anteriormente o que seria uma assintota horizontal e agora vamos trabalhar com a ideia da assintota vertical Para tal volvemos novamente a nossa atenção para a função fx 1x Já vimos também que a função nas proximidades do zero satisfaz os seguintes limites lim x0 1x e lim x0 1x Dessa forma se considerarmos um ponto x fx sobre o gráfico da função fx se afastando do eixo x verticalmente então a distância entre esse ponto do gráfico e o eixo y tende a 0 como podemos ver na Figura 13 Portanto dizemos que a reta x 0 é uma assintota vertical para a função fx De forma geral definiremos então uma reta x a como sendo uma assintota vertical de uma função y fx se qualquer uma das afirmações for verdadeira 9 EXEMPLO Dada a função fx 3x 2 1 x queremos determinar suas assintotas verticais e horizontais Primeiramente para facilitar a nossa análise vamos reescrever a função fx na seguinte forma fx 3x 2 1 x 3x 2 1 x 3x 2 5 5 1 x 3 3x 5 1 x 31 x 5 1 x 31 x 5 1 x 3 5 1 x Portanto 3x 2 1 x 3 5 1 x Para determinarmos as assintotas horizontais calculamos os limites quando x Assim temos lim x3 5 1 x 3 e também lim x3 5 1 x 3 Portanto temos que a reta y 3 é uma assintota horizontal para a função fx Agora para determinarmos as assintotas verticais calculamos o limite para o valor de x que anula o denominador da função racional Como x 1 é o valor que anula o denominador e portanto não está no domínio da função precisamos calcular os limites Assim quando x se aproxima de 1 pela direita isto é x 1 então x 1 Neste caso temos que o numerador é 1 x 0 Isto é quando x se aproxima de 1 pela direita o valor do denominador possui sinal negativo e em módulo a razão aumenta indefinidamente Portanto o limite neste caso é lim x13 5 1 x Por outro lado quando x 1 então x 1 logo o numerador é agora 1 x 0 Dessa forma quando x se aproxima de 1 pela esquerda o valor do denominador diminui e possui sinal positivo fazendo com que a razão aumente indefinidamente com sinal positivo portanto lim x13 5 1 x Podemos ver claramente esse comportamento por meio do gráfico da função na Figura 14 Finalmente podemos concluir que a reta x 1 é uma assintota vertical como esperado Quando utilizamos a palavra continuidade para nos referirmos a algo sempre entendemos como alguma coisa que não para não há quebra ou que ocorre de forma fluida De forma semelhante quando nos referimos a uma função yfx como uma função contínua podemos imaginar que esta é de tal forma que o seu gráfico pode ser desenhado sobre seu domínio em um movimento único e contínuo sem levantar o lápis ou a caneta do papel Estudaremos neste tópico o que significa para uma função ser contínua e também suas propriedades Quando a função fx é contínua em cada um dos pontos de seu domínio dizemos que a função fx é contínua STEWART 2017 THOMAS WEIR HASS 2012 Como primeiro exemplo vamos considerar a função definida dada pelo gráfico da Figura 15 Queremos analisar a continuidade desta função fx nos pontos x1 x2 e x3 Para esses pontos temos limfxlimfx2f1 limfx0 e limfx2 limfx4f3 e limfx4f3 Comecemos nossa análise pelo ponto x3 neste local temos que o valor dos limites laterais coincide em ambos os lados No entanto existe um buraco no gráfico desta função neste ponto pois por definição f34 Isto é não existe continuidade entre as partes direita e esquerda do gráfico Por outro lado no ponto x2 existe um salto na função obviamente o gráfico não é contínuo Encontrar exemplos de funções contínuas não é difícil Na verdade várias funções que nós conhecemos e trabalhamos geralmente são funções contínuas Retas parabolas e funções polinomiais em geral são contínuas Porém outras funções mais elaboradas como a função ex1x²4 que define um arco de elipse é uma função contínua como podemos ver por meio do gráfico da Figura 16 Também podemos perceber por meio do gráfico da Figura 17 que o produto de uma função polinomial com o seno também é contínuo por exemplo a função sx3x²2sen2x Por outro lado quando nos referimos a funções que possuem algum tipo de descontinuidade três tipos delas poderão surgir as descontinuidades removíveis as descontinuidades de tipo salto também chamada de descontinuidade de primeira Esse tipo de descontinuidade é chamado de removível pois ao redefinirmos o valor da função no ponto x c para fc L a função se tornará contínua naquele ponto Esse tipo de descontinuidade é do mesmo tipo que aconteceu no exemplo 10 para o ponto x 3 Ao redefinirmos naquele exemplo o valor da função no ponto f3 4 então a função se tornará contínua nesse ponto Por outro lado considera a função de grau definida a seguir ux 1 se x 0 1 se x 0 Essa função claramente possui no ponto x 0 limites laterais diferentes lim x0 ux 1 e lim x0 ux 1 Dessa forma ela é descontínua no ponto x 0 e nesse caso chamaremos essa descontinuidade de salto Como é possível observar no gráfico da Figura 18 a função dá um salto de 1 a 1 exatamente no ponto x 0 Figura 18 Gráfico da função fx 1 se x 0 e fx 1 se x 0 Fonte os autores Finalmente diremos que uma função tem uma descontinuidade do tipo infinito se ela tiver limite infinito no ponto especificado isto é lim xc fx Que é o que acontece com a função fx 1 1x2² no ponto x 2 por exemplo Pois nesse caso lim x2 1 1x2² Nos demais pontos do domínio entretanto essa é uma função contínua como podemos observar no gráfico da Figura 19 Figura 19 Gráfico de fx 1 1x2² Fonte os autores De forma geral como já foi dito anteriormente as funções que trabalhamos nesse curso de cálculo são contínuas estas são polinomiais px a₀ a₁x a₂x² aₙxⁿ trigonométricas senx cosx tgx cotgx secx e cosecx exponencial eˣ e o logaritmo lnx Além disso como veremos no próximo teorema combinações dessas funções também geram funções que são contínuas Isto é possível termos uma vasta quantidade de funções contínuas para trabalharmos Não é difícil verificar que o teorema é verdadeiro tendo em vista que a definição da continuidade está baseada no cálculo de um limite assim aplicando as propriedades dos limites temos o resultado Pelo teorema 1 temos por exemplo que as seguintes funções são contínuas em seus respectivos domínios fx x senx é contínua para todo x 0 Pois x é contínua e pelo item 5 do teorema x¹² x também é contínua se x 0 Finalmente pelo item 1 do teorema temos que a soma de funções contínuas é contínua Portanto fx x senx é contínua gx x² 4x 1tgx para todo x ℝ tal que tgx 0 e cosx 0 hx xcotgx para todo x ℝ tal que senx 0 Se fx é contínua em c e gx é contínua em fc então a função composta gfx gfx é também contínua no ponto c a função f x é contínua No entanto observamos nas aulas passadas utilizando o teorema do sanduíche que o limite quando x 0 desta função existe Neste caso lim x0 senx x 1 Assim podemos estender a função f x de forma que a mesma seja contínua também no ponto x 0 afinal este é o único ponto no qual ela falha a continuidade Agora considerando a nova função definida por f0x senx x x 0 1 x 0 temos que ela é contínua em todo o conjunto dos números reais pois para essa função temos lim x0 f0x lim x0 senx x 1 f00 Vamos chamar a função f0x de uma extensão contínua da função fx O gráfico da Figura 20 nos mostra como a função senx x é de fato uma função contínua Como outro exemplo de como estender uma função descontínua vamos considerar agora uma outra função gx x22x3 x21 De imediato observamos que para os valores x 1 a função não está definida pois esses valores anulam o denominador da função fx isto é o domínio dessa função é conjunto D ℝ1 Podemos observar por meio do gráfico da Figura 21 a função que o ponto x 1 por exemplo não faz parte do domínio Porém o polinômio quadrático dado no numerador da função gx x22x3 tem duas raízes nos pontos x 1 e x 3 Logo esse polinômio pode ser reescrito como gx x22x3 x1x3 Com isso temos que a função fx é dada por fx x22x3 x21 x1x3 x1x1 x3x1 x1x1 x3 x1 Dessa forma temos que o limite quando x 1 é dado por lim x1 fx lim x1 x3 x1 13 11 2 Com isso podemos definir uma nova função f0x dada por f0x x22x3 x21 x 1 2 x 1 que é contínua no ponto x 1 pois lim x1 f0x lim x1 x22x3 x21 2 f01 Observe que infelizmente não é possível realizar o mesmo procedimento de extensão da função fx no ponto x 1 pois neste ponto a descontinuidade é de segunda espécie isto é temos que lim x1 x22x3 x21 lim x1 x3 x1 como podemos ver no gráfico da Figura 22 De forma geral dada uma função fx que não está definida em um ponto x c mas o limite quando x c existe isto é lim xc fx L então é possível definir uma extensão contínua construída na forma f0x fx x no domínio da f L x c 85 UNIDADE II Em uma circunferência dizemos que uma de terminada reta no plano é tangente a essa cir cunferência se a reta toca a circunferência em apenas um ponto Qualquer outra reta que não seja tangente satisfaz duas possibilidades ou cor ta a circunferência em dois pontos ou não tem nenhuma interseção com ela Além disso em uma circunferência uma reta tangente sempre é perpendicular ao raio no ponto de tangência Na Figura 23 vemos com facilidade uma reta que é tangente a um círculo de raio unitário Limites e a Reta Tangente Figura 23 Reta tangente ao círculo de raio 1 Fonte os autores Se agora considerarmos uma função qualquer fx não podemos definir uma reta tangente como sendo aquela que se encontra em apenas um ponto a função Pois como é possível ver na Figura 24 as duas retas se encontram com a função em apenas um ponto Figura 24 Duas retas distintas que passam por um único ponto da função senx Fonte os autores Portanto vamos basear a nossa definição da reta tangente a uma função fx em um dado ponto x₀ através de retas secantes Diremos que uma reta secante é aquela que encontra a função em pelo menos dois pontos distintos como podemos ver na Figura 25 em que temos uma reta secante que passa pelos pontos P e Q Considerando uma reta secante como a da figura a seguir se fizermos o ponto Q se aproximar do ponto P teremos então a nossa definição do que é uma reta tangente à função no ponto P STEWART 2017 THOMAS WEIR HASS 2012 m lim h0 mh lim h0 fx₀ h fx₀ h Observe que a equação da reta tangente é semelhante à equação da reta secante tendo em vista que ambas passam pelo ponto de coordenações x₀ e y₀ fx₀ A diferença é a inclinação dessa reta que agora é m neste caso a equação da reta tangente então será dada pela fórmula yx y₀ mx x₀ A seguir veremos exemplos de como determinar a reta tangente a uma função num ponto dado Finalmente para determinarmos a equação da reta tangente à função fx no ponto x0y023 basta substituir os valores na equação da reta yxy0mxx0 Assim a equação da reta tangente é dada por yx4x23 Finalmente para determinarmos a equação da reta tangente à função fx no ponto x0y012 basta substituir os valores na equação da reta yxy0mxx0 Assim a equação da reta tangente é dada por yx2x12 Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução 1 Escolha a alternativa que representa o valor do limite seguinte lim x2 x2 x²124 a 2 b 0 c 1 d 12 e 2 O valor do limite no infinito lim x 3x⁵3x1 6x³2x²3 é dado por a 54 b c 0 d 32 e 13 3 As assintotas verticais da função gx3x²4x4 5x²3 são a x5 b x3 c x35 d x53 e x2 4 Escolha a alternativa que representa o conjunto de pontos nos quais a função fx fracx2 secxx2 2 é contínua a D mathbbR b D x in mathbbR x eq 2k 1fracpi2 em que k in mathbbZ c D x in mathbbR x eq 2kpi em que k in mathbbZ d D emptyset e D x in mathbbR x eq kpi em que k in mathbbZ 5 A função fx fracx5 1x3 1 está definida para todos os números reais x tais que x eq 1 É possível criar uma extensão da função fx de forma que essa nova função seja contínua em todos os reais 93 O Teorema do SanduícheConfronto é de extrema importância para o cálculo mas em muitos momentos é difícil enxergar como ele funciona ou como as comparações podem ser obtidas Desta forma para mais exemplos sobre o teorema do sanduíche segue o link Para acessar use seu leitor de QR Code WEB 94 SMITH D E History of Mathematics New York Dover Publications 1958 Volume 2 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage 2017 Volume 1 THOMAS G B WEIR M D HASS J Cálculo São Paulo Pearson 2012 Volume 1 PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM A partir da definição da derivada construir a função deri vada de uma função Demonstrar as regras básicas de derivação soma dife rença produto e quociente Apresentar e demonstrar as derivadas das funções tri gonométricas Demonstrar e exemplificar como se calcula a derivada de uma função composta Calcular a derivada para equações que não permitem isolar Derivada como uma função Regras de Derivação A Regra da Cadeia Derivação Implícita Derivada das Funções Trigonométricas Dr Vinicius de Carvalho Rispoli Dr Ricardo Ramos Fragelli Dr Ronni Geraldo Gomes de Amorim Derivadas