Introdução à Probabilidade: Conceitos e Exercícios Resolvidos

Probabilidade Ola pessoal Nesta aula vamos apresentar uma introdugao a probabilidade com alguns exemplos e exercicios resolvidos Veremos que grande parte dos fendmenos aleatorios abordados na Estatistica é de natureza probabilistica Abordaremos também as distribuicGes nominal e binomial de probabilidade Entao vamos a nossa aula Comecemos analisando os objetivos e verificando as segdes que serio desenvolvidas ao longo desta aula Bom trabalho a Bons estudos SS SS SS SS SES SS SSS SSS SES SS SSS SES SSS Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocés serao capazes de a introduzir ideias relacionadas 4 teoria da probabilidade resolver problemas envolvendo probabilidades identificar os principais tipos de eventos resolver problemas que envolvam distribuigao nominal e distribuigao binomial Probabilidade e Estattstica 30 Agora fiquem atentos Vamos ver alguns exercicios ja Secoes de estudo resolvidos para que vocés entendam melhor oo Exercicios resolvidos 1 Conceito e introdugao a probabilidade 2 Tipos de event 3 Thecus de Bayes Jogando ao mesmo tempo um dado e uma moeda 4 Distribuicdes e binomial e nominal qual é a probabilidade de ocorrer cata e um numero menor que 4 O espaco amosttal ficara assim 1 ba oncelto e Introd UGAO a cara1 cata2 cara3 cara4 cara5 cara6 cotoa1 coroa2 coroa3 coroa4 coroa5 coroa6 5 S12 Nesta Seao veremos 0 conceito e a introdugao a probabilidade Vamos 14 Evento para cara e um numero menor do que 4 temos cara1 cara 2 cara3 portanto sao trés ocorréncias e E comum ouvirmos afirmacées do tipo é provavel que Pa calcularmos i probabilidade fazemos é nos P 75 simplificando temos Entao podemos minha empresa va prosperar deve fazer frio nos proximos 12 habilidade é 354 dias é quase certo que meu candidato vai se eleger entre afirmar que a probabilidade J ou 25 outras De acordo com Crespo 2009 p 85 nao podemos Alguma duvidar 5 afirmar com certeza os resultados mas podemos estimar as Vamos ver mais outros exemplos chances de acontecer ou nao Para todas essas inquietagdes ou incertezas a medida utilizada é a probabilidade Grande Um baralho comum Possut 52 cartas Qual a parte dos fendmenos abordados na estatistica é de natureza probabilidade de se retirar ao acaso uma carta probabilistica conhecida como dama A realizagao ou nao dessas afirmacgées depende do acaso Se o baralho possui 4 damas de naipes diferentes temos que porque o candidato podera ser vencedor como também P 5 simplificando temos 4 podera perder as eleicdes Quanto ao tempo tanto podera fazer frio como nao eno Foram fabricados 16 objetos dos quais 4 estéo com caso da empresa também nao é diferente Esses fendmenos defeito Qual a probabilidade de retirarmos uma sao chamados aleatorios pega e esta ser defeituosa P i Atencaol Sugerimos alguns exemplos praticos tais como 4 se vocé jogar uma moeda tetra como resultado cara ou Qual a probabilidade da pega nao ser defeituosa coroa E se vocé langar dois dados ao mesmo tempo tera Levando em consideragao o exemplo anterior se 4 pecas como resultados tém defeito 12 pecas nao tém portanto P iz ou 11 12 13 14 15 16 simplificando P 3 21 22 23 24 25 26 31 82 33 34 35 36 Langando uma moeda duas vezes qual é a 41 42 43 44 45 46 probabilidade de nao ocorrer coroa nenhuma vez 51 52 53 54 55 56 Ao jogarmos uma moeda duas vezes teremos 61 62 63 64 65 60 O que significa espago amostral cata cata coroa coroa cara coroa coroa cara Somente uma vez nao ocorre coroa portanto Chamamos espaco amostral S a todos os resultados P ou 25 porque sao 4 subconjuntos possiveis de um determinado acontecimento ou fato Um casal planeja ter trés filhos Determine a E evento o que significa probabilidade de nascerem O espaco amostral é Evento é qualquer parte do espaco amostral portanto é S HHH MMM HHM HMM HMH um subconjunto do espacgo amostral MMH MHM MHH E se pretendemos determinar a probabilidade de trés homens ocorter um evento temos que dividir o numero de P potque sao 8 subconjuntos e apenas uma elementos do evento pelo numero de elementos do possibilidade de nascerem trés homens espaco amostral total ou seja PE n dois homens e uma mulher nS p2 31 205 No lancamento de um dado um numero par pode PHA Pas 1 52 2 51 ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente provaveis portanto P 36 12 50 p a 4 is i Dizemos que um espaco amostral S finito é equiprovavel quando seus eventos elementares tém probabilidades iguais de ocorréncia Umaurna A contém 3 bolas brancas 4 bolas pretas e Num espaco amostral equiprovavel S finito a 2 bolas verdes Uma urna B contém 5 bolas brancas probabilidade de ocorréncia de um evento A é sempre 2 bolas pretas e 1 bola verde Uma urna C contém 2 bolas brancas 3 bolas pretas e 4 bolas verdes Qual PA numero de elementos de A nA é a probabilidade de as trés bolas retiradas da 1 2 numero deelementos deS xS e 3 urnas serem respectivamente branca preta e verde PHgord P gout P Tipos de eventos Obs Como os eventos sdo independentes e simultaneos 11441 Nesta secdo iremos identificar os principais tipos de 349 108 27 tos ves Uma urna tem 30 bolas sendo 10 vermelhas e 20 Entao vamos 14 azuis Se ocorrer um sorteio de 2 bolas uma de cada Vamos ver quais sao os principais tipos de eventos vez sem reposiao qual sera a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul EVENTOS INDEPENDENTES Resolugao Eventos independentes é quando a realizagao de um dos Seja o espaco amostral S30 bolas e considerarmos os eventos nao interfere na realizacio do outro e viceversa seguintes eventos Por exemplo quando lancamos dois dados 0 resultado A vermelha na primeira retirada e PA 1030 obtido em um deles independe do resultado obtido no outro B azul na segunda tetitada e PB 2029 Se dois eventos sao independentes a probabilidade de Assim que cles se realizem simultaneamente igual ao produto das PA eB PABA 10302029 2087 probabilidades de realizagao dos dois eventos Entao P Pp P sendo Pp ap robabilidade de realizacao Uma urna tem 30 bolas sendo 10 vermelhas e 20 do 1 evento e p a probabilidade de realizagao do 2 evento wid azuis Se sortearmos 2 bolas 1 de cada vez e repondo amos ver alguns exercicios j4 resolvidos pata que vocés a sorteada na urna qual serd a probabilidade de a entendam melhor 5 primeira ser vermelha e a segunda ser azul Exereici Iidos Resolugao ae sev ICOs Como os eventos sao independentes a probabilidade de Aprobabilidade de obtermos simultaneamente1 no i sait vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é primeiro e 5 no segundo lancamento é I a 111 igual ao produto das probabilidades de cada condicao ou seja 6 6 36 PA cB PAPB Ora a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 1030 e a de sair azul na segunda er Quando lancamos duas moedas a probabilidade retirada 20 30 Dai usando a tegra do produto temos de sait cara na primeira moeda é de S assim como 1030203029 a probabilidade de sair coroa na segunda moeda Observem que na segunda retirada foram consideradas também é det E para obtermos ao mesmo tempo todas as bolas pois houve reposicao Assim PB A P cara na primeira e coroa na segunda fazemos Porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada nao P111 influenciou a segunda retirada ja que ela foi reposta na urna 22 4 De dois baralhos de 52 cartas retiramse Vamos ver agora outro tipo de evento simultaneamente uma carta do 1 baralho e uma carta do 2 baralho Qual a probabilidade de a carta do 1 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS baralho ser um rei e a carta do 2 baralho o 5 de paus Quando a realizagdo de um evento exclui a realizagao do P41 PHL outro ou dos outros 52 13 52 Por exemplo no lancamento de uma moeda se ocorter pHtLL evento cara nao ocorte o coroa ou seja se aprece 13 52 676 lf paea ak Koon vi cara mao aparece coroa e viceversa Para calcular a probabilidade de que um ou outro se realize é preciso somar De um baralho de 52 cartas sao retiradas duas cartas as probabilidades de cada um dos eventos ao acaso Calcule a probabilidade de se obterem um rei P p p e uma dama evento Probabilidade e Estattstica 32 Vamos ver alguns exemplos para que fique mais claro Atengao Existem dois valores comuns aos dois pata vocés conjuntos 24 e 48 portanto fica assim Exemplos PBt 6g Bog Se langarmos um dado a probabilidade de se tirar o 2 ouo 4 como temos apenas uma vez o dois no dado Agora vamos a mais um exemplo pata que fique entio a probabilidade é de O mesmo ocorre com o 4 e a tudo explicadinho probabilidade é de 1 Entao p 1 1 2 simplificando p1 6 6 6 6 5 Se dois dados azul e branco forem lancados qual a Dois dados sao langados ao mesmo tempo probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou Considerando Os eventos maior que 10 A Tirar 5 no dado azul e PA 16 Para a soma ser 10 46 55 64 B Tirat 3 no dado branco e PB 16 Para a soma set maior que 10 56 65 66 Sendo S o espaco amostral de todos os possiveis resultados temos P34361 nS 66 36 possibilidades Dai temos 36 36 36 6 PA ou B 16 16 136 1136 Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei Sendo S o espago amostral de todos os resultados Teo rema de Bayes possiveis temos nS 52 cartas Considere os eventos A sait 8 e PA 452 B sait um tei e PB 452 Assim PA ou B 452 452 852 213 567 O teorema de Bayes foi desenvolvido por um homem brilhante 0 matematico e astrOnomo francés PierreSimon Quando usamos ea operacao usada sera amultiplicagao Laplace Ele argumentava ser possivel prever 0 universo de quando aparece a expressao ou a operacao sera adiao forma perfeita mas para isso deveriamos saber a posicao de cada particula em seu interior e teriamos de ser rapidos Vamos ver agora outro tipo de evento o bastante para calcular seus movimentos Por que entao Laplace envolveuse com uma teoria que é conhecida como a Eventos nao mutuamente exclusivos base do probabilismo Quando dois eventos ocorrem simultaneamente como Na época Laplace estava frustrado com suas observacgdes por exemplo astronOmicas que pateciam mostrar anomalias nas Orbitas de A extracao de um 4s de um baralho Jupiter e Saturno pois previam que Jupiter iria colidir com o B extracdo de uma carta de espadas Sol enquanto Saturno ficaria a deriva no espaco Claro que Dizemos que A e B nao sao mutuamente exclusivos haja tais previsOes estavam erradas mas Laplace entio se dedicou vista que pode set extrafdo um as de espadas a melhorar suas ptevisGes principalmente no que tocavam Portanto nesse tipo de evento ha elementos em comum suas deduces a partir de probabilidades ao invés de trabalhar e nesse caso é 0 as de espada com medidas mais precisas Para ele estava claro que entender P AUB PA PB P ANB melhor as questOes acerca da probabilidade era fundamental pata o progresso cientifico Exemplos Fonte httpwwwfm2scombrteoremadebayes Acesso em 7 dez 2017 Ao se retirar uma carta de um baralho comum de 52 Conforme Vieira 1988 uma maneira de entender as cartas qual a probabilidade de ela ser ou um as ou uma carta questdes envolvidas no teorema de Bayes esta relacionada na de espadas ocorréncia do evento A como explicacao para a ocorréncia de B Por exemplo se um motorista se envolve em acidente de PA 5 PBB e PANB42BL transito qual é a probabilidade de ele estar alcoolizado 52 52 52 52 O que interessa realmente O motorista estar alcoolizado Portanto PAUB 4 131 16 4 A e causar acidente B ou todas as possibilidades o 52 52 52 52 13 motorista estar alcoolizado A e causar acidente B dado Um numero inteito é escolhido aleatoriamente entre que esta alcoolizado ou motorista nao estar alcoolizado A e 123 50 Qual a probabilidade desse numero ser divisivel causa acidente B mesmo nao alcoolizado por 6 ou por 8 Divisiveis por 6 612182430364248 sao 8 PAB PAxPBA Divisiveis por 8 81624324048 sao 6 PA x P BA A x PBA 33 207 P AB P aleoolizado x P fin Urna P alga P ila P cbr P aa mi 150 45 Viciado Balanceado O Teorema de Bayes também é conhecido como Teorema das Causas e sua aplicacao pode ser usada para obter es eran varios resultados nas mais diversas 4teas do conhecimento PI6V sl Vi12P6B16 Pn6B56 desde 0 mercado financeiro até a medicina oe ae 6 n6 6 n6 Exemplos asa ue er mia As fabricas A B e C sao responsaveis por 50 30 110 110 430 2030 e 20 do total de celulares produzidas por uma empresa Os percentuais de celulares defeituosas na producao destas fabricas valem respectivamente 1 2 e 5 Um celular produzido por essa empresa é adquitido em uma loja por um 4 cliente Qual é a probabilidade de o celular adquirido pelo PB6 RETR PSS 5 cliente apresentar defeito de fabrica E qual a probabilidade 30 t To de um celular com defeito ter sido fabricado na fabrica C Vamos 2 resolugao EXERCICIO 2 Uma urna contém cinco bolas duas P AD Probabilidade da fabrica A produzir um nn sao vermelhas trés sao azuis Uma segunda urna contém sete cefular defeituoso bolas trés sao vermelhas quatro sao azuis Retirase uma P BID Probabilidade da fabrica B produzir um bola ao acaso de uma das urnas Se for de cor azul qual é a celular defeituoso D probabilidade de que essa bola tenha sido retirada da primeira P CD Probabilidade da fabrica C produzir um cuena celular defeituoso D P D Probabilidade total da empresa produzir um celular defeituoso D 3 Primeiramente precisamos calcular a probabilidade total Pazulurna 1 5 da fabricacao de um celular defeituoso PD 05 001 03 002 02 005 Pistia 1 PD 0021 ou 21 2 See ES Com isso a chance de um celular fabricado por essa e empresa possuir defeito de fabrica é de 21 Agora por meio do Teorema de Bayes é possivel calculat a probabilidade Pazulurna 2 e de um celular com defeito ser produzido pela fabrica C 1 sere P CD 020050021 2 P CD 0476 ou 476 Portanto a chance da fabrica C ter produzido um celular oO defeituoso é de 476 Fonte httpswwwpublicacoeseventosunijuiedubrindexphpsalaoconhecimento 1 x 3 articleviewFile68585625 Acesso em 08 dez 2017 1 a 2 5 21 rT 3 tem EXERCICIO 1 Uma urna contém cinco dados quatro 2562 7 sao balanceados mas em um deles a probabilidade de ocorrer face seis 0 triplo da probabilidade de ocorrer face um As demais faces tém igual probabilidade de ocotrer Um dado EXERCICIO 3 Vamos ver agora um exemplo na area retitado da urna ao acaso é lancado Sai face seis Qual éa d haria Em uma cidade em que os carros sao testados de engenharia ac q probabilidade de esse dado ser balanceado Para responder para emissio de poluentes 25 deles emitem quantidade essa pergunta vamos precisar do teorema de Bayes considerada excessiva O teste falha para 99 dos cartos que emitem excesso de poluentes mas resulta positivo para 17 Vamos indicar por B dado balanceado e por V dado dos carros que niéo emitem quantidade excessiva Qual é a viciado Vamos indicar face seis por 6 e as outras faces por probabilidade de um carro que falha no teste realmente emitir no Entao quantidade excessiva de poluentes Probabilidade e Estattstica 34 Carros P P P M181 025 AW 075 Distribuigdes binomial e nominal Excesso Normal Fonte CRESPO A A Estatistica facil Séo Paulo Saraiva 2002 p 137144 Excesso Normol O que pretendemos nesta segao é apresentar dois PF ee ee PIF a a modelos tedricos de distribuicao de probabilidade aos quais Fothe Anale Fothe Autti um experimento aleatorio estudado possa ser adaptado oque OrPF LEDs PEPLALE PN PFIN ental permitira a solugao de grande ntimero de problemas praticos 225099 025001 075017 075083 02475 00025 01275 106225 VARIAVEL ALEATORIA Suponhamos um espaco amostral S e que a cada ponto PE x PFE EOP B amostral seja atribuido um numero Fica entao definida uma PE x PCFIE PN x PFN fungao chamada varidvel aleatéria indicada por uma letra 02475 maitiscula sendo seus valores indicados por letras minusculas PEIF S5a754 0078 9 Assim se 0 espaco amostral relativo ao lancamento simultaneo de duas moedas é S Ca Ca Ca Co Co Ca Co Co e se X representa o numero de caras EXERCICIO 4 A probabilidade de diagnosticar que aparecem a cada ponto amostral podemos associat um corretamente determinada doenca tata 070 Quando ntimero pata X de acordo com a Tabela 1 diagnosticada corretamente a probabilidade de cura é 090 Se nao for diagnosticada corretamente a probabilidade de TABELA 1 cura é 040 Se o paciente com a doenca é curado qual é a probabilidade de que tenha sido diagnosticado corretamente PONTO AMOSTRAL Ca Ca PDC 070 090 084 070 x 090 030 x040 Co Ca oc 0 Fonte httpsoniavieira blogspotcombr201509t debayes Jos K homie den enon Corea Me NOYES XEMPICS DISTRIBUICAO DE PROBABILIDADE ae Consid lo bh Consideremos a distribuigao de frequéncias relativas ao Onsk cre agora o seguinte exemp Oo suponina uma casa numero de acidentes didrios em um estacionamento com cinco moedas uma das quais é trucada e tem cara dos dois lados i é dois ados Tomase uma moeda dessa caixa ao acaso esta é TABELA 2 jogada trés vezes Obsetvase que em todos casos 0 resultado foi sempre cara Qual é a probabilidade da moeda escolhida NUMERO DE ACIDENTES FREQUENCIAS ser a trucada dado esses resultados PF cl Sabendose de antemao qual 0 tipo de moeda é simples calcular a probabilidade de obtermos trés caras Heads No caso da moeda trucada isso é PH M 1 onde H denota as trés caras e M é 0 evento da moeda especial ter sido a a ee a escolhida No caso da moeda comum temos PHM Fonte CRESPO A A 2002 p138 12 18 onde Mc é 0 evento complementar a M moeda a a normal M M 1 Em um dia a probabilidade de O denominador do teorema de Bayes pode ser encontrado nio ocorter acidente é a partir da soma ponderada de todas as probabilidades possiveis PA PAB1PB1 PABnPn que 22 no presente caso é PA PHMPM PHMc PMc P aa Podemos agora escrever 0 teorema da Bayes e obter a idente resposta a pergunta PMH PHMPM PHMPM OCORTEE BIT ACICEDE PHMcPMc 151 x 15 18 x 45 23 5 P 3 01666 17 Fonte httpsedisciplinasuspbrpluginfilephp799829modresourcecontent1 aula2pdf Acesso em 18012018 Z ocotrrer dois acidentes é Vamos entao para a secio 4 30 35 209 ocorret tres acidentes é fx PX x i A fungao Px determina a distribuicao de probabilidade p 003333 3 da variavel aleatéria X 30 Assim ao lancarmos um dado a variavel aleatéria X definida Podemos entio escrever por pontos de um dado pode tomar os valores 1 23 cssusy 6 Como a cada um destes valores esta associada a uma e uma TABELA 3 86 probabilidade de tealizacao e Y Px 1 fica definida uma funcao de probabilidade da qual resulta a seguinte distribuicao de NUMERO DE ACIDENTES PROBABILIDADES prtobabilidade po Pay TT COCOCSY 5 100 Essa tabela édenominada distribuicaode probabilidade eos Seja X uma variavel aleatoria que pode assumir os valores x X X xn A cada valor de xi correspondem PF lL ll pontos do espacgo amostral Associamos entio a cada a ee valor xi a ptobabilidade pi de ocorréncia de tais pontos DISTRIBUICAO BINOMIAL no espago amostral oe temos Vamos neste item considerar experimentos que satisfacam dp as seguintes condides Os valores x X X seus correspondentes Pp a O expetimento deve ser repetido nas mesmas Py P definem uma distribuigao de probabilidade condigdes um mimero finito de vezes n b As provas repetidas devem ser independentes isto é 0 resultado de uma nao deve afetar os resultados das sucessivas Assim voltando a tabela 1 temos Le c Em cada prova deve aparecer um dos dois possiveis ultado s sucesso e insucesso ABELA pms a qT 4 d No decorrer do experimento a probabilidade p do sucesso ea probabilidade q q p do insucesso mantetse4o PONTO AMOSTRAL PX constantes O experimento obtencao de caras em cinco langcamentos a Co V2 X Wie sucessivos e independentes de uma moeda satisfaz essas Co Ca 12 X 112 condicdes Co Co 0 12 X12 Sabemos que quando da tealizacao de um experimento qualquer em uma unica tentativa se a probabilidade de realizagdo Logo podemos escrever de um evento sucesso é p a probabilidade de nao realizacio desse mesmo evento insucesso é 1 p q TABELA 5 Suponhamos agora que realizemos a mesma prova n vezes sucessivas e independentes A probabilidade de que um NUMERO DE CARAS X PX evento se realize k vezes nas provas é dada pela fungao n 4 PX kj 1 p ana G 09 Pe Pt P X k éa probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas p é a probabilidade de que o evento se realize em uma so prova sucesso q a probabilidade de que Ao defini a distribuigdo de probabilidade estabelecemos 0 evento nao se realize no decurso dessa prova insucesso uma correspondéncia univoca entre os valores da variavel n aleatoria X e os valores da variavel P Esta correspondéncia J éocoeficiente binomial den sobre k define uma fungao os valores x i 1 2 n formam o dominio da funcgao e os valores pi 123n 0 seu Ou seja conjunto imagem n Essa fungao assim definida é denominada fungao de k Bn br probabilidade e representada por 7 Probabilidade e Estatistica 36 Essa funcio denominada lei binomial define a Quando temos em maos uma variavel aleatéria com distribuicao binomial distribuigao normal nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variavel aleatoria assumir um valor em Exemplo um determinado intervalo Vejamos como proceder por meio Uma moeda é langada 5 vezes seguidas e independentes de um exemplo concreto Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 Seja X a variavel aleatéria que representa os didmetros provas dos parafusos produzidos por certa maquina Vamos supor Temos que essa variavel tenha distribuicao normal com média p 2 n5 ek3 cme desvio padrao 0 004 cm Pela lei binomial podemos escrever Pode haver interesse em conhecer a probabilidade de um wh ttl ar parafuso ter um diametro com valor entre 2 e 205 cm PX 3 3 ges 3 pq E facil notar que essa probabilidade indicada por Se a probabilidade de obtermos cara numa prova PO X 205 sucesso p S e a probabilidade de nao obtermos cara corresponde a area hachurada na Figura 2 numa s6 prova insucesso é q 1 5 3 entao Sly7ty St por3 3 5 5 aan aa SMGNSN2KR 2 2S 2 205 3x2x1x2x184 16 logo P X35 Oo calculo direto dessa probabilidade exige um 16 conhecimento de Matematica mais avancado do que aquele que dispomos no curso de 2 grau Entretanto podemos DISTRIBUICAO NORMAL CURVA NORMAL contornar facilmente esse problema Basta aceitar sem demonstracio que se X uma variavel aleatoria com Entre as distribuigdes tedricas de varidvel aleatéria distribuigdéo normal de média p e desvio padrao o entao a continua uma das mais empregadas é a distribuicio normal Vatiavel Muitas das variaveis analisadas na pesquisa xwu socioeconémica correspondem a distribuigao normal ou dela a se aproximam O aspecto grafico de uma distribuigaéo normal é o da tem distribuicao normal reduzida isto é tem distribuicao Figura 1 normal de média 0 desvio padrao 1 As probabilidades associadas a distribuigéo normal padronizada siéo encontradas em tabelas nao havendo necessidade de serem calculadas Ao final da secao segue uma tabela de distribuicio normal reduzida que nos da a probabilidade de Z tomar qualquer valor entre a média 1 e um dado valor z isto é POZz x Temos entao que se X uma variavel aleatéria com Para uma perfeita compreensao da distribuigdo normal distribuicao normal de média 1 e desvio padrao 6 podemos observem a figura acima e procurem visualizar as seguintes escrever propriedades PXxPOZ2 A variavel aleatoria X pode assumir todo e qualquer valor xu real con f A representacao grafica da distribuicio normal é uma curva em forma de sino simétrica em torno da média Uy que Queremos calcular P 2 X 205 Para obter essa recebe o nome de curva normal ou de Gauss probabilidade precisamos em primeiro lugar calcular 0 valor A rea total limitada pela curva e pelo eixo das abcissas de z que corresponde ax 205 x2 z0 pois p 2 igual a 1 j4 que essa area corresponde a probabilidade de a Temos entao variavel aleatoria X assumir qualquer valor real ge eH 8 ee A curva normal é assintética em relacio ao eixo das 2 oe OM abscissas sem contudo alcancalo onde Como a curva é simétrica em torno de 1 a probabilidade P2 X 205 PO X 125 de ocorrer valor maior do que a média é igual 4 probabilidade Consultando agora na tabela o valor de z 125 de ocorrer valor menor do que a média isto é ambas as Na primeira coluna encontramos o valor de 12 Em probabilidades sao iguais a 05 Escrevemos PX PX seguida encontramos na primeira linha o valor 5 que u 05 cotresponde ao ultimo algarismos do numero 125 Na 37 211 interseccao da linha e coluna correspondentes encontramos o valor de 03944 o que nos permite escrever Valea pena P0Z 125 03944 Assim a probabilidade de um parafuso fabricado por essa maquina apresentar um didmetro entre a média p2 e o valor de x 205 é 03944 Escrevemos entao 4 P 2X 205 P 0 Z 125 03944 ou se 3944 li Exemplos Vale a pena ler Determine as Props 0 LARSON Ron FARBER Betsy Estatistica 125 2 0 Aplicada Sao Paulo Prentice Hall 2004 Sabemos pelo exemplo anterior que P 0 Z 125 SILVA E M da et al Estatistica para os cursos de 03944 Economia Administracao e Ciéncias Contabeis 3 ed Sao Pela simetria da curva temos Paulo Atlas 1999 Vol Le IE ao PCL25 Z 0 P OZ 125 03944 STEVENSON W J Estatistica aplicada a Fonte CRESPO A A Estatistica facil Sao Paulo Saraiva 2002 p 137144 administragao Sao Paulo Harbra 1986 WONNACOTT T H Estatistica aplicada a Economia e a Administragao Rio de Janeiro LTC 1981 ip Retomando a aula A J vale a pena acessar omepunnnnnnnennonanannnn Espero que seus estudos referentes a Aula 5 YouTube Video Probabilidade e Estatistica tenham sido proveitosos Vamos recordar os topicos principais desta aula Aula de Estatistica Probabilidade Prof ee Matusalem Disponivel em httpwwwyoutubecom watchevHdgzJmX0Z4A Estatistica e Probabilidade Prof Arthur Disponivel Nesta aula vimos que experimento aleatério um em httpwwwyoutubecomwatchPv7ktoVwO experimento que pode ter resultados diferentes mesmo que Cg a sua repeticao seja semelhante Vimos também que espaco amostral é o conjunto de todos os resultados possiveis de Matematica Aula 31 Probabilidade Parte 1 Prof qualquer experimento Nerckie Disponivel em httpwwwyoutubecom Vocés viram também os tipos de eventos Eventos watchvSLzIbZ7SBM independentes a realizacio de um dos eventos nao depende da realizacao do outro multiplica os dois eventos Eventos mutuamente exclusivos a realizacao de um exclui a realizacao dos outros Usa a adiao Minhas anota codes Eventos nao mutuamente exclusivos ocorrem ao mesmo tempo Apresenta elementos em comum Usa adicao e subtracao a As atividades referentes a esta aula estéo disponibilizadas na ferramenta Sala Virtual Atividades Apds responder envie por meio do Portfolio ferramenta do ambiente de aprendizagem Pe UNIGRAN Virtual Caso tenham sugestdes comentérios criticas ou tenham ficado com duividas acessem o ambiente virtual e utilizem as ferramentas adequadas para interagir com seu professor e com seus colegas de curso