Lista de Exercícios Resolvidos Calculo Diferencial e Integral I - Derivadas e Otimização

ATIVIDADE 2 DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1 Calcular as derivadas das expressões abaixo usando as fórmulas de derivação a yx24 x R b f x 2 x2 R c y x3 2 3x 2 R d y3x R e f x 3 x 1 x6x1 R f y x5 ab x2 abx R g y x13 x 3 2 R h yx 2x13 x2 R i y 2x4 b2x2 R j yax ax R k y ax ax 3 R l y 1x 1x R m y1 3 x 3 R dy dx 1 x 1 x 3x 2 n y 2 x21 x1x2 R o y x2a2 5 R 2 Para cada função fx determine a derivada fx no ponto x0 indicado af xx2 para x04 bf x2x3 para x03 c f x3 x para x01 d f xx23 x para x02 ef x x24 para x00 f f x 5 x4x36 x29x4 para x00 gf x1 x para x02 hf x5 x23 x9 x25 para x05 if x x23 x4 para x06 Aplicação de derivaras e máximos e minimos 1Desejase construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade de 32 m3 de água Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o consumo de material utilizado no seu revestimento interno 2 Geraldo deseja construir um cercado retangular para por seus pequenos poodles franceses Quais dimensões devem ter este cercado sabendose que ele possui apenas 1500m de grade de modo que se tenha uma área máxima 3 Uma dona de casa deseja construir uma pequena horta de formato retangular em seu quintal Porém ela possui apenas 20m de tela para cercála Quais deverão ser as medidas dos lados do retângulo para que o máximo de espaço seja aproveitado 4 Carlos Antônio precisa fazer um reservatório de água espécie de tanque feito com tijolo e cimento revestido de cerâmica sem tampa tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de material para produzir o reservatório de volume de 36 m3 5 O empresário Augusto deseja lançar um novo suco em lata no mercado Para isso foi feito um contrato com uma indústria de embalagens que deve fabricar recipientes cilíndricos em alumínio com capacidade de 800 cm3 Qual deve ser a medida R do raio da base e a medida H da altura de cada um desses recipientes cilíndricos de modo que a quantidade de alumínio utilizada para sua fabricação seja mínima 6 Um agricultor precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizandose de uma tela de 16m Sabendo que ele vai usar um muro como fundo do galinheiro determine as dimensões do mesmo para que sua dimensão seja máxima ATIVIDADE 1 DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Resolva as questões 1 Analisando a função f x3x5 podemos concluir que a O gráfico da função é crescente b O ponto onde a função corta o eixo y é 0 5 c x 52é zero da função d O gráfico da função é decrescente 2 Relembrando os conceitos de domínio e imagem da função e considerando o diagrama abaixo que representa uma função de A em B podemos afirmar que a imagem da função é igual a a101 b24 c357 d378 3 Uma função do 1º Grau e uma função do 2º Grau tem como gráfico respectivamente a Uma reta e uma parábola b Uma reta e uma elipse c Uma curva e uma reta d Uma reta e uma hipérbole 4 Dados os conjuntos A0 5 15 e B0 5 10 15 20 25 seja a relação de A em B expressa pela fórmula y x 5 Podemos afirmar que os elementos do conjunto B que participam da relação são a 0 10 e 20 b 0 20 e 25 c 0 5 e 10 d 5 10 e 20 5 Sabendo que a função f xmxn admite 3 como raiz e f1 8 calcule os valores de m e n a m4e n12 b m4e n10 c m3e n4 d m14 en10 6 O gráfico a seguir representa a posição de um carro em movimento numa estrada Determine a posição do carro no instante 7h a 90 km b 105 km c 110 km d 120 km 7 Dada a função f RR definida por f x3x1 determine f 2 a f 23 b f 24 c f 26 d f 27 8 Através de um estudo sobre o consumo de energia elétrica de uma fábrica chegouse à equação C 400t em que C é o consumo em KWh e t é o tempo em dias Quantos dias são necessários para que o consumo atinja 4800 KWh a 12 b 14 c 13 d 15 9 Das alternativas abaixo assinale a única que é correta a respeito da função fx 2x 12 x a A função é do primeiro grau e é decrescente pois a 2 b A função é do segundo grau e possui concavidade voltada para baixo pois a 2 c A função é do segundo grau e possui concavidade voltada para cima pois a 2 d A função é do primeiro grau e é crescente pois a 2 e A função não é do primeiro nem do segundo grau 10 A respeito da função fx 4x2 100 assinale a alternativa que seja o resultado da soma entre as coordenadas x e y do vértice a 50 b 100 c 150 d 200 e 250 11 Qual é a soma das raízes da função fx x2 8x 9 a 8 b 8 c 1 d 9 e 9 12 Assinale a alternativa correta a respeito do gráfico de uma função do segundo grau a Quando o discriminante de uma função do segundo grau é positivo e ela possui ponto de máximo o valor do coeficiente a também é positivo b Quando o discriminante de uma função do segundo grau é negativo e ela possui ponto de máximo podese afirmar com certeza que ela possui 2 raízes reais c Quando o discriminante de uma função do segundo grau é negativo e ela possui ponto de mínimo podese afirmar com certeza que o coeficiente a é negativo d Quando o discriminante de uma função do segundo grau é igual a zero podese encontrar duas raízes reais e distintas para ela e Quando o discriminante de uma função do segundo grau é positivo e ela possui ponto de mínimo o valor do coeficiente a é positivo 13 A representação cartesiana da função yax2bxc é a parábola abaixo Tendo em vista esse gráfico podemos afirmar que a a0b0e c0a0b0ec0 ba0b0e c0a0b0ec0c a0b0ec0a0b0e c0 d a0b0ec0 a0b0 ec0e a0b0e c0a0b0ec0 14 Qual a função que representa o gráfico seguinte a y2x23x9y 2x23x9 b y2x23x9y2x23x9 c y2x23x9y2x23x9 d y2x23x9y2x23x9 e y2x23x9y2x23x9 15 A razão entre a soma e o produto das raízes da equação 2x²7x30 a 73 b 72 c 32 d 37 e 27 16 O vértice da parábola que corresponde à função yx2²2 é a 2 2 b 2 0 c 2 2 d 2 2 e 2 2 17 O movimento de um projétil lançado para cima verticalmente é descrito pela equação y40x2200x Onde y é a altura em metros atingida pelo projétil x segundos após o lançamento A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde respectivamente a a 625 m 5s b 250 m 0 s c 250 m 5s d 250 m 200 s e 10000 m 5s ATIVIDADE 1 DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Resolva as questões 1 Analisando a função f x3x5 podemos concluir que a O gráfico da função é crescente b O ponto onde a função corta o eixo y é 0 5 c x 52é zero da função d O gráfico da função é decrescente Resp Como a0 a função é decrescente 2 Relembrando os conceitos de domínio e imagem da função e considerando o diagrama abaixo que representa uma função de A em B podemos afirmar que a imagem da função é igual a a101 b24 c357 d378 Resp A imagem da função é 357 3 Uma função do 1º Grau e uma função do 2º Grau tem como gráfico respectivamente a Uma reta e uma parábola b Uma reta e uma elipse c Uma curva e uma reta d Uma reta e uma hipérbole Resp O gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta e o gráfico da função do segundo grau é uma parábola 4 Dados os conjuntos A0 5 15 e B0 5 10 15 20 25 seja a relação de A em B expressa pela fórmula y x 5 Podemos afirmar que os elementos do conjunto B que participam da relação são a 0 10 e 20 b 0 20 e 25 c 0 5 e 10 d 5 10 e 20 Resp y 0 5 5 y 55 10 y 155 20 Os elementos de B que participam da relação 510 e 20 5 Sabendo que a função f xmxn admite 3 como raiz e f1 8 calcule os valores de m e n a m4e n12 b m4e n10 c m3e n4 d m14 en10 Resp Como 3 é raiz da função temos que f3 0 e ainda f1 8 Assim 3mn 0 e mn 8 Resolvendo o sistema de equações pelo método da adição temos que 2m 8 ou seja m4 Como m 4 4n 8 ou seja n 12 6 O gráfico a seguir representa a posição de um carro em movimento numa estrada Determine a posição do carro no instante 7h a 90 km b 105 km c 110 km d 120 km Resp Analisando o gráfico temos que f0 20 e f4 60 O gráfico da função é da forma fx axb pois se trata de uma reta f0 b 20 f4 4a20 60 4a 60 20 4a 40 a 10 fx 10x20 f7 107 20 7020 90 KM 7 Dada a função f RR definida por f x3x1 determine f 2 a f 23 b f 24 c f 26 d f 27 Resp f2 32 1 61 7 8 Através de um estudo sobre o consumo de energia elétrica de uma fábrica chegouse à equação C 400t em que C é o consumo em KWh e t é o tempo em dias Quantos dias são necessários para que o consumo atinja 4800 KWh a 12 b 14 c 13 d 15 Resp Como C 4800 Kwh 4800 400t t 4800400 12 dias 9 Das alternativas abaixo assinale a única que é correta a respeito da função fx 2x 12 x a A função é do primeiro grau e é decrescente pois a 2 b A função é do segundo grau e possui concavidade voltada para baixo pois a 2 c A função é do segundo grau e possui concavidade voltada para cima pois a 2 d A função é do primeiro grau e é crescente pois a 2 e A função não é do primeiro nem do segundo grau Resp fx 22xx²2 x 2x²x2 2x²2x4 Tratase de uma função do segundo grau com concavidade para cima pois a0 10 A respeito da função fx 4x2 100 assinale a alternativa que seja o resultado da soma entre as coordenadas x e y do vértice a 50 b 100 c 150 d 200 e 250 Resp V b 2a Δ 4 a 0f 00100 0100 100 11 Qual é a soma das raízes da função fx x2 8x 9 a 8 b 8 c 1 d 9 e 9 Resp S ba 81 8 12 Assinale a alternativa correta a respeito do gráfico de uma função do segundo grau a Quando o discriminante de uma função do segundo grau é positivo e ela possui ponto de máximo o valor do coeficiente a também é positivo b Quando o discriminante de uma função do segundo grau é negativo e ela possui ponto de máximo podese afirmar com certeza que ela possui 2 raízes reais c Quando o discriminante de uma função do segundo grau é negativo e ela possui ponto de mínimo podese afirmar com certeza que o coeficiente a é negativo d Quando o discriminante de uma função do segundo grau é igual a zero podese encontrar duas raízes reais e distintas para ela e Quando o discriminante de uma função do segundo grau é positivo e ela possui ponto de mínimo o valor do coeficiente a é positivo 13 A representação cartesiana da função yax2bxc é a parábola abaixo Tendo em vista esse gráfico podemos afirmar que a a0b0e c0a0b0ec0 ba0b0e c0a0b0ec0c a0b0ec0a0b0e c0 d a0b0ec0 a0b0 ec0e a0b0e c0a0b0ec0 14 Qual a função que representa o gráfico seguinte a y2x23x9y 2x23x9 b y2x23x9y2x23x9 c y2x23x9y2x23x9 d y2x23x9y2x23x9 e y2x23x9y2x23x9 15 A razão entre a soma e o produto das raízes da equação 2x²7x30 a 73 b 72 c 32 d 37 e 27 Resp S ba P ca SP bc 73 16 O vértice da parábola que corresponde à função yx2²2 é a 2 2 b 2 0 c 2 2 d 2 2 e 2 2 17 O movimento de um projétil lançado para cima verticalmente é descrito pela equação y40x2200x Onde y é a altura em metros atingida pelo projétil x segundos após o lançamento A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde respectivamente a a 625 m 5s b 250 m 0 s c 250 m 25s d 250 m 200 s e 10000 m 5s 1 a lim x 3 x 223 2 229211 b lim x4 x4 c lim x100 77 d lim x 1 x4 2 x1 14 2115 3 e lim x 5 x2 x4 52 547 f lim x2 3 x13 21617 g lim x3x3 3 h lim x 7 100100 i lim x1 ππ jlim x π 11 a lim x3 x4 x1 34 31 7 27 2 b lim x1 x 231 234 c lim x 2 x2x2 x2 lim x 2 x2224 d lim h0 x ²2 xhh²x² h lim h0 hh2x h lim h0 h2x2 x e lim z2 z4 z4z2 lim z2 1 z2 f lim x 3 x32x 21 x3 lim x3 2 x ²12 3 2119 g lim r1 r r1 r1r2lim r1 r r21 3 h lim r3 r3r1 r3r4 lim r 3 r1 r44 1 4 i lim h2 h2h 22h4 h2 lim h2 h²2h42 22 2444412 j lim h2 h2h 22h4 h2 lim h2 h²2h42 22 244 ATIVIDADE 2 DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1 Calcular as derivadas das expressões abaixo usando as fórmulas de derivação a yx24 x y 2x4 b f x 2 x2 fx 2 2 x ³ 4 x ³ c y x3 2 3x 2 y 3 x ² 2 3 2 3 x ² 2 3 2 d y3x yx 1 3 y 1 3 x 2 3 1 3 3x ² e f x 3 x 1 x6x1 Aplicando a regra do produto temos que f x 3 x 1 x 6 x1 3 x 1 x6 x1 f x 3 1 x 26x13 x 1 x6 f x 18 x36 x 1 x 2 18 x 6 x 36 x3 1 x 2 f y x5 ab x2 abx y 5 x 4 ab 2 x ab 1 g y x13 x 3 2 x1³ x 3 2x1³x 3 2 x 3 2 2 3x1²x 3 2x1³ 3 2 x 1 2 x ³ 3x1²x1³ 2x 5 2 h yx 2x13 x2 y2x 2x 3 x26 x ³4 x²3 x 22x6 x 3x 22 x y 18 x 22x2 i y 2x4 b2x2 y 2 x 4 b²x 22x 4 b 2x 2 b 2x ² 2 8 x³ b²x 22 x 4 2x b 2x ² 2 24 b 2 x 32x 5 b 2x ² 2 j yax ax y ax ax ax ax ax 2 1ax 1 ax ax 2 2a ax 2 k y ax ax 3 Aplicando a Regra da cadeia temos que y 3 ax ax 2 d dx a x ax3 ax ax 2 2a ax 26aax² ax 4 l y 1x 1x m y1 3 x 3 n y 2 x21 x1x2 o y x2a2 5 2Para cada função fx determine a derivada fx no ponto x0 indicado af xx2 para x04 bf x2x3 para x03 c f x3 x para x01 d f xx23 x para x02 ef x x24 para x00 f f x 5 x4x36 x29x4 para x00 gf x1 x para x02 hf x5 x23 x9 x25 para x05 if x x23 x4 para x06 a f x 2 x f 2224 b f x 2f 32 c f x 3 f 13 d f x 2 x3f 22 23431 e f x 2 x f 0 2 00 f f x 20 x ³3 x ²12 x9f 020 0 33 0 2120 99 g f x 1 x² f 21 2² 1 4 h f x 5 x 23 x9 x 255 x 23 x9 x 25 x 25 2 10 x3 x 255 x 23 x9 2 x x 25 2 10 x ³50 x3 x²1510 x 36 x 218x x 25 2 68x3x ²15 x 25 2 f 568535²15 5²5 2 280 90014 45 i f x 2 x3f 626 31239 Aplicação de derivaras e máximos e minimos 1Desejase construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade de 32 m3 de água Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o consumo de material utilizado no seu revestimento interno As dimensões da piscina são xxe y Então temos que V x²y e como V 32 segue que y32 x ² I A área a ser minimizada é dada por A 4xyx²II Substituindo I em II segue que A x 128 x x ² Calculando a primeira derivada A x 2 x128 x² A x 2 x128 x² 0 2 x128 x² 2 x ³128 x ³64 x4m y32 4² 2m Portanto as dimensões são 4m4m e 2m 2 Geraldo deseja construir um cercado retangular para por seus pequenos poodles franceses Quais dimensões devem ter este cercado sabendose que ele possui apenas 1500m de grade de modo que se tenha uma área máxima 2 x2 y1500 x y750 y750x Axy Ax 750x 750 xx 2 A x 7502 x A x 07502 x02 x750x375m y750375375m As dimensões são 375m x 375m 3 Uma dona de casa deseja construir uma pequena horta de formato retangular em seu quintal Porém ela possui apenas 20m de tela para cercála Quais deverão ser as medidas dos lados do retângulo para que o máximo de espaço seja aproveitado 2 x2 y20 x y10 y10x Axy Ax 10x 10 xx 2 A x 102 x A x 0102 x02 x10x5m y1055m As dimensões são 5m x 5m 4 Carlos Antônio precisa fazer um reservatório de água espécie de tanque feito com tijolo e cimento revestido de cerâmica sem tampa tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de material para produzir o reservatório de volume de 36 m3 V3x 2 y363x 2 y y12 x 2 A3x ²8xy3 x²8x 12 x 23x ² 96 x A x 6 x96 x 2 A x 6 x96 x ² 0 6 x96 x ² 6 x ³96 x ³16 x2 32m y 12 4 34 3 34 3 32m 2 5 O empresário Augusto deseja lançar um novo suco em lata no mercado Para isso foi feito um contrato com uma indústria de embalagens que deve fabricar recipientes cilíndricos em alumínio com capacidade de 800 cm3 Qual deve ser a medida R do raio da base e a medida H da altura de cada um desses recipientes cilíndricos de modo que a quantidade de alumínio utilizada para sua fabricação seja mínima 6 Um agricultor precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizandose de uma tela de 16m Sabendo que ele vai usar um muro como fundo do galinheiro determine as dimensões do mesmo para que sua dimensão seja máxima xx162 x16 A x x 162 x 16 x2 x 2 A x 164 x A x0164 x04 x16x4m 162 4 1688m As dimensões são 4m x 8m