Modelagem e Simulação de Sistemas - Introdução à Modelagem II - Funções Matemáticas e Equações Diferenciais

Prof Me Eng SÉRGIO FERNANDES sefreitasprofunisabr Modelagem e Simulação de Sistemas Introdução à Modelagem II FUNÇÃO MATEMÁTICA é a relação existente entre 02dois conjuntos A e B o qual por regra cada elemento A associase a um elemento B SOLUÇÃO ou RAIZ é o conjunto de valores que quando atribuído a uma equação é capaz de expressão verdadeira DEFINIÇÃO Toda equação cujas incógnitas são funções e que contém pelo menos uma derivada ou diferencial destas funções DERIVADA e DIFERENCIAL a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas a diferencial é um operador com propriedades puramente matemáticas ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS grandezas físicos na sua maioria não apresentam um comportamento linear mas sim de forma infinitesimal MODELO MATEMÁTICO a partir de um problema real estabelecer prepostos físicos e propor um modelo MODELOS FÍSICOS modelos matemáticos constituídos a partir de expressões físicas primárias Lei de Lenz indução eletromagnética MODELOS FÍSICOS modelos matemáticos constituídos a partir de expressões físicas primárias Velocidade angular e tangencial MODELOS FÍSICOS modelos matemáticos constituídos a partir de expressões físicas primárias Ciruito RLC A função y é denominada incógnita de uma variável independente x Quando existe apenas uma variável independente a equação é denominada ordinária Quando há mais de uma variável livre é denominada equação diferencial de derivadas parciais CLASSIFICAÇÃO Ordem Determinada pela ordem da derivada de mais alta ordem contida na equação Grau Supondose a equação escrita sob a forma racional inteira em relação as derivadas O grau da equação é o maior dos expoentes a que a está elevada a derivada de mais alta ordem contida na equação CLASSIFICAÇÃO CLASSIFICAÇÃO 1 Tipo Equação Diferencial Ordinária EDO ou Equação Diferencial Parcial EDP 2 Ordem 3 Grau 4 Linearidade 5 Homogênea ou Não Homogênea CLASSIFICAÇÃO Equações não lineares de primeira ordem segunda ordem e quarta ordem SOLUÇÃO FUNÇÃO SOLUÇÃO ao contrário das funções algébricas a solução de uma equação diferencial não se trata de um valor discreto mas sim de uma função ou família de funções a Solução geral família de curvas b Solução particular solução deduzida a partir de uma solução geral c Solução singular envoltória da família de curvas d Solução explícita yfx e Solução implícita gxy0 SOLUÇÃO EXPRESSÃO ALGÉBRICA 4 x² fx 0 fx 0 4 x² x² 41 0 x² 4 x² 4 x 4 x 2 dydx 3x 1 dy 3x 1 dx dy 3x 1 dx SOLUÇÃO SOLUÇÃO GERAL y 3x 1 dx y 3x dx dx y 32 x² x C SOLUÇÃO SOLUÇÃO PARTICULAR Verificar se y x ex é solução para a equação y 2y y 0 y ex x ex y ex ex x ex y 2y y 0 ex ex x ex 2ex x ex x ex 2 ex x ex 2 ex 2 x ex x ex 0 2 ex 2 ex 0 x ex 2 x ex x ex 0 0 SOLUÇÃO CONDIÇÃO INICIAL PROBLEMA DE VALOR INICIAL seja uma equação diferencial de primeira ordem sujeita a uma condição inicial também denominado condições de contorno Solução Geral Solução Particular SOLUÇÃO CONDIÇÃO INICIAL Solução Particular Solução Geral EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS Solução Geral Investimentos com base no investimento inicial R e taxa de juros anual aa Com base na equação diferencial de primeira ordem linear e homogênea determinemos a função solução N montante variante no tempo R k taxa de juros aa EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS Solução Geral EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS Solução Geral N montante variante no tempo R k taxa de juros aa t tempo anos C montante inicial R EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS Solução Geral Considerando um investimento inicial de R 1000000 e uma taxa de 2 ao ano como fica a função solução particular Para o investimento de R 1000000 após 5 anos de investimento com 2 ao ano qual será o valor final Solução Particular EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS Se considerarmos a expressão a seguir quanto tempo é necessário para dobrar o investimento inicial EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEM FATOR INTEGRANTE Utilizamos como base para essa resolução a derivada de produto EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEM FATOR INTEGRANTE Utilizamos como base para essa resolução a derivada de produto EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEM FATOR INTEGRANTE Considerando a expressão a seguir determinemos a função solução EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEM FATOR INTEGRANTE Considerando a expressão a seguir determinemos a função solução EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEM FATOR INTEGRANTE Considerando a expressão a seguir determinemos a função solução EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEM FATOR INTEGRANTE Considerando a expressão a seguir determinemos a função solução Solução Geral