Mecanismos: Elementos de Cinemática e Dinâmica

Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 1 ProfDr Newton Landi Grillo Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 2 Unidades O sistema de unidades utilizado é o Sistema Internacional SI A constante gravitacional é aproximadamente 981 ms2 massa comprimento e tempo são unidades fundamentais e força é uma unidade derivada Note em cálculos dinâmicos não se usa milímetro mm e sim metro m Em uma equação escrita corretamente todas as unidades de cada lado da igualdade devem ser anuladas caso contrário algo deve estar incorreto Variáveis e unidades Variável Símbolo Unidade no SI Força F Newton N Comprimento l metro Tempo t segundo s Massa m quilograma kg Peso P Newton N Velocidade v ms Aceleração a ms2 Ângulo θ grau o Ângulo θ radiano rad Velocidade angular ω rads Aceleração angular α rads2 Energia E joule J Potência W watt W Volume V m3 Densidade ρ Kgm3 Torque T Nm Momento de Inércia de Massa I Kgm2 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 3 SUMÁRIO 1 VETORES E ESCALARES 11 Vetores 5 12 Adição de Vetores 5 13 Subtração de Vetores 6 14 Decomposição de Vetores 6 15 Escalar 7 16 Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar 7 17 Sistema de Coordenadas 7 18 Algumas Relações Trigonométricas 9 19 Vetor Expresso no Plano 10 110 Produto Vetorial Produto entre dois Vetores 11 111 Produto Escalar entre dois Vetores 11 112 Vetor no Plano Notação Complexa 12 2 MECANISMOS 21 Mecanismos Elementares 15 22 Algumas Definições sobre Cinemática 16 23 Nomenclatura 17 24 Juntas Cinemáticas 18 25 Tipos de Movimentos Planos 19 26 Graus de Liberdade ou Mobilidade 20 27 Regra de Grashof 25 28 Fase de Ponto Morto 26 3 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO 31 Deslocamento Absoluto 30 32 Deslocamento Relativo 31 33 Métodos para a Determinação de Posição 33 331 Análise de Posição de um Mecanismo BielaManivela 33 3311 Método Algébrico 33 3312 Método da Notação Complexa 34 332 Análise de Posição de um Mecanismo de Quatro Barras 37 3321 Método da Notação Complexa 37 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 4 4 VELOCIDADE EM MECANISMOS ARTICULADOS 41 Regra da Cadeia para Derivadas 40 42 Velocidade Angular 42 43 Equação de Velocidade Relativa 43 44 Métodos para a Determinação de Velocidade em Mecanismos 44 441 Método da Notação Complexa Mecanismo BielaManivela 44 442 Método do Polígono de Velocidades Mecanismo Biela Manivela 46 443 Método dos Centro Instantâneos Mecanismo Biela Manivela 48 444 Método da Notação Complexa Mecanismo de Quatro Barras 49 445 Método do Polígono de Velocidades Mecanismo de Quatro Barras 51 446 Método dos Centro Instantâneos de Rotação Mecanismo de Quatro Barras 53 5 ACELERAÇÃO EM MECANISMOS ARTICULADOS 51 Equação de Aceleração Relativa 57 52 Métodos para a Determinação de Aceleração em Mecanismos 58 521 Método da Notação Complexa Mecanismo BielaManivela 58 522 Método do Polígono de Acelerações Mecanismo BielaManivela 60 523 Método da Notação Complexa Mecanismo de Quatro Barras 64 524 Método do Polígono de Acelerações Mecanismo de Quatro Barras 67 525 Aceleração de um Ponto no Sistema Móvel Aceleração de Coriolis 71 6 ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA EM MECANISMOS ARTICULADOS 61 Análise Estática 77 611 Momento do Binário 78 612 Forças e Torques Estáticos em Mecanismos Articulados 80 62 Análise Dinâmica 88 621 Princípio DAlembert 88 622 Análise Dinâmica em Mecanismos Articulados Método dos Trabalhos Virtuais 90 623 Análise Dinâmica em Mecanismos Articulados Método Gráfico 98 7 ANÁLISE CINEMÁTICA E DINÂMICA DE CAMES 71 Análise Cinemática e Dinâmica de Cames 99 72 Nomenclatura e Características do Came e Seguidor 102 73 Construção Gráfica do Perfil do Came e Análise Cinemática e Dinâmica 107 8 BIBLIOGRAFIA 124 Mecanismos Elementos de Cinematica e Dindmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 1 WVETORES E ESCALARES 11 Vetores Vetores sdo entes matematicos que possuem intensidade direcdo e sentido e que se somam de acordo com a regra do paralelogramo Intensidade de um vetor caracterizada por um certo numero Direcdo de um vetor definida por sua linha de acdo horizontal vertical e inclinada Sentido de um vetor identificado por uma seta direitaesquerda baixocima vice versa Exemplo Uma forca de 150 Newtons aplicada na horizontal da esquerda para a direita A intensidade mddulo ou magnitude do vetor sera 150 N sua direcdo horizontal e seu sentido da esquerda para a direita Um vetor é representado graficamente por uma seta a qual possui origem e extremidade ex extremidade origem a Analiticamente um vetor é representado por uma letra em negrito ou com uma seta sobre a letra ex Vou V Em nosso texto usaremos a representacdo em negrito 12 Adicgado de Vetores Sendo dados dois vetores A e B a notacdo A B expressa a adicdo do vetor B ao vetor A resultando em um terceiro vetor C denominado vetor resultante Para realizarmos a operacao utilizamos a regra do paralelogramo B A B 4 A C A 7 7 7 B O vetor resultante C pode ser obtido tanto adicionando o vetor B ao vetor A quanto o vetor A ao vetor B Esta propriedade é chamada comutativa CAB BA Sendo dados trés vetores A B e C para realizarmos a adicdo entre eles e encontrarmos o vetor resultante desta soma fazemos DABCouABC Esta propriedade é chamada associativa 5 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 6 B A B B C A B C A C D As propriedades comutativa e associativa significam que quando se realiza a adição de vetores o resultado independe da ordem em que os vetores são somados A adição de uma série de vetores para se obter um único vetor é chamado composição de vetores e o resultado da operação é chamado vetor resultante 13 Subtração de Vetores A operação subtração de vetores é definida pela expressão A B A B onde o sinal significa sentido inverso de B Sendo dados dois vetores A e B queremos realizar a operação A B C A B B C A 14 Decomposição de Vetores Sendo dado um vetor C queremos decompolo em dois vetores A e B tal que A B C B C A B A Obtémse infinitas soluções o caso que interessa caso particular será quando as componentes A e B do vetor C forem perpendiculares entre si sendo denominadas componentes retangulares do vetor C Mecanismos Elementos de Cinematica e Dindmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia B 7 7 7 4 A Cc A 7 o B 15 Escalar Escalar é qualquer grandeza que pode ser especificada por um numero real Escalares sdo simplesmente numeros positivos negativos ou nulos utilizados para grandezas como o tempo temperatura volume trabalho distancia etc 16 Multiplicagdo e Divisdo de um Vetor por um Escalar Considerando a soma de trés vetores A A A 3A cujo resultado é a multiplicacdo do escalar 3 pelo vetor A Chamando de r um escalar o produto rA define outro vetor com mesma direcdo e sentido de A sentido oposto se r for negativo e nulo se o escalar for nulo A divisdo de um vetor por um escalar equivale a multiplicagdo do vetor pelo inverso do escalar 1r Se o escalar for igual ao mddulo do vetor o resultado da operacdo denominase vetor unitdrio de grandeza igual a 1 com a mesma direcdo e sentido do vetor em questdo R r sendo o escalar r igual ao modulo do vetor R R R vetor r escalar 7 vetor unitario mesma direcdo e sentido de R 17 Sistemas de Coordenadas Sado normalmente utilizados certos simbolos para designar os vetores unitarios associados aos eixos de referéncia no sistema tridimensional No sistema de coordenadas cartesianos retangulares o terno de vetores unitarios 7 J k ou a notacdo i j k definem as diregdes relativos aos eixos X Y e Z respectivamente 7 Mecanismos Elementos de Cinematica e Dindmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia Y i L i i X Ae Zo jf Considere um ponto A no espaco com as coordenadas Xa Ya e Za definindo sua posido em relacdo ao sistema inercial A posicdo de A é expressa por Axzi yaj Zak Ya BR VHai ix O modulo do vetor A é dado por A x2 y2 22 Xa Ya Za Os cossenos diretores de A sdo cosa a cosB 7 COSY 8 Mecanismos Elementos de Cinematica e Dindmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 18 Algumas Relagdes Trigonométricas Considere o triangulo escaleno suas grandezas podem ser encontradas pelas leis dos senos cossenos B a c a Y b Lei dos cossenos a b c 2bc cosa b a c 2ac cosB c a b 2ab cosy Lei dos senos senp seny A B Cc Considere o tridangulo retangulo a hipotenusa a b cateto adjacente c 8 c cateto oposto b a b Cc portanto avVb2 c b acosO casenO O angulo 6 é encontrado através da relacdo entre seno e cosseno Cc tg0 b A medida de uma circunferéncia é dada por 2mr A medida de um arco é dada por S Or A unidade da medida da circunferéncia ou do arco é a mesma do raio m cm mm pois mé um numero irracional r S 8 Considere duas retas paralelas e ndo coincidentes AA e BB e a reta inclinada CC sendo DD os vértices 9 Mecanismos Elementos de Cinematica e Dindmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia C A D a A a D a B B a Cc CDA ADC angulos opostos pelo vértice CDA CDB angulos correspondentes ADC CDB angulos alternos internos CDA BDC angulos Alternos externos 19 Vetor Expresso no Plano Considere um vetor A expresso no plano cartesiano e queremos decompolo em suas coordenadas cartesianas retangulares Y A J 6 Asen6 j j i Acos i Notacdo retangular de A A Acos8 i Asen8j soma de vetores Notacdo retangular de A A AZ O angulo 8 é medido a partir do eixo X tomado positivo no sentido antihordrio sah e negativo quando tomado no sentido hordario sh A determinacao do angulo 6 é dada pela razdo entre o termo emj eo termo i 6tg a Quando realizamos a soma estre vetores somamse os termos referentes aos respectivos vetores unitarios i ijjkk 10 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 11 110 Produto Vetorial Produto entre dois Vetores Considere dois vetores A e B no plano formando um ângulo φ entre eles A resultante do produto será um terceiro vetor C cuja linha de ação direção é perpendicular ao plano formado pelos dois vetores A e B de módulo C dado por C ABsenφ e sentido expresso pela regra da mão direita rotação de φ positivo negativo C ABsenφ λ B C A x B φ A λ vetor unitário qualquer direção perpendicular ao plano formado pelos vetores A e B Considerando o sistema de coordenadas cartesianas e lembrando que sen00 0 e sen 900 1 teremos Y j k i i X k j Z i x i j x j k x k 0 i x j k j x i k j x k i k x j i k x i j i x k j 111 Produto Escalar entre dois Vetores O produto escalar entre dois vetores A e B nos dá como resultado um escalar C obtido pela expressão C AB ABcosφ lembrando cos00 1 e cos 900 0 i i j j k k 1 i j j k k i 0 Mecanismos Elementos de Cinematica e Dindmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 112 Vetor no Plano Notacao Complexa Tal como ja visto a representacdo vetorial no plano requer duas componentes uma horizontal e outra vertical qualquer vetor no plano x e y pode ser representado como uma notacdo complexa Aa ib ondeiV1 a e b denotam as componentes x e y do vetor A também denominados parte real e imaginaria do vetor A Y imaginario ib AatibAe 8 X real 2 A mddulo do vetor A 8 argumento ou angulo entre o eixo X e o vetor O vetor A pode ser escrito como A Ae Acos6 iAsenO a ib AVa hb tg 12 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 13 2 MECANISMOS Alguns Tipos de Mecanismos Mecanismo de elevação Pá carregadeira notar barras articuladas Braço robótico Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 14 Mecanismo direcional de veículos Limadora Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 15 Trem de aterrisagem 21 Mecanismos Elementares Um critério de classificação de mecanismos é o que tem por base o tipo de transformação do movimento entre as peças motoras e movidas Os mecanismos podem transformar movimentos de Rotação em rotação como um par de engrenagens motoramovida polia motoracorreiapolia movida alguns mecanismos de barras etc Rotação em translação como o mecanismo manivelacorrediça came seguidor morsa parafusogarra etc Translação em translação como em peças deslizantes ligadas por uma barra came de translação perfil inclinado deslizante e seguidor etc Em muitas aplicações práticas um único mecanismo poderá não permitir a realização do efeito cinemático desejado neste caso procurase combinar os mecanismos de movimento periódico entre si em composições A aplicação de mecanismos abrange praticamente todos os setores da engenharia mecânica tais como Máquinas industriais como as têxteis as operatrizes os manipuladores e dispositivos de manufatura acionadores de prensa de impressão de embalagens etc Máquinas e implementos agrícolas Veículos automotivos suspensão dianteira e traseira sistema de direção de embreagem limpador de parabrisa dobradiças levantador de vidro etc Guindastes Aparelhos de biomecânica Brinquedos mecanizados Utilidades domésticas etc Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 16 O mecanismo de 4 barras é o mais comum e o mais simples dos mecanismos articulados sendo que os demais mecanismos podem ser obtidos a partir dele Sua principal característica reside no fato de que apresenta diferentes relações geométricas entre as barras e diferentes relações entre o tipo de movimento de entrada e de saída É constituído por 4 barras ou peças sendo uma fixa 1 uma motora 2 uma intermediária 3 e uma movida 4 22 Algumas Definições sobre Cinemática Mecanismo constituise num conjunto de elementos de máquinas peças ligadas entre si de forma a produzir um movimento específico e podem ser subdivididos conforme suas aplicações mecanismos com elementos mecânicos hidráulicos elétricos ou combinados Nosso interesse localizase nos mecanismos mecânicos os quais podem ser subdivididos de uma maneira geral em Mecanismos de movimento uniforme como engrenagens rodas de atrito de acoplamento flexível correias correntes etc Mecanismos de movimento periódico como mecanismos de barras mecanismos de cames etc Os mecanismos de movimento uniforme são comumente fornecidos como unidades completas de montagem seu estudo cinemático é mais simples e seus problemas de aperfeiçoamento localizamse nos materiais e na manufatura Os mecanismos de movimento periódico fazem parte integrante de uma máquina e não são fornecidos como unidades préfabricadas e sim projetados devido ao fato das exigências variarem de acordo com as circunstâncias de caso a caso de projeto Distinguese neste caso o mecanismo de 4 barras pois é muito utilizado devido sua simplicidade e robustez A cinemática é o estudo do movimento independentemente das forças que os origina portanto as peças são consideradas corpos rígidos desconsiderase suas Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 17 deformações Na cinemática estudase a posição geometria do movimento deslocamento translação e rotação velocidade e aceleração Na Cinemática Aplicada estudase a aplicação dos conceitos da cinemática na síntese e análise cinemática dos mecanismos A Síntese Cinemática considera a determinação da geometria básica das partes constituintes de um mecanismo necessária para a realização de uma transmissão ou transformação específica do movimento Pressupõe basicamente Deslocamento o deslocamento representa a mudança de posição independentemente do caminho percorrido Distinguemse os deslocamentos lineares e os angulares Trajetória a trajetória representa as posições sucessivas de um ponto móvel ou seja o caminho lugar geométrico deste ponto traçado no plano Na Análise Cinemática o deslocamento já não é mais considerado de ordem exclusivamente geométrica pois o tempo é introduzido como novo parâmetro resultando em duas novas grandezas cinemáticas a velocidade e a aceleração 23 Nomenclatura Nos mecanismos os componentes que articulam as peças para a transmissão de movimentos ou forças são denominadas ligações pinos ou juntas A composição de peças ligadas entre si constitui uma cadeia cinemática a qual transformase em um mecanismo quando uma das peças se torna base peça fixa Considere o mecanismo bielamanivela com corrediça o qual é constituído por quatro elementos O bloco ou estrutura fixa ou peça 1 que é o corpo ao qual o mecanismo está rigidamente ligado a manivela 2 peça que imprime movimento ao mecanismo a peça 3 denominada biela ou acoplador e a corrediça peça 4 em movimento de translação Essas peças estão unidas por três juntas de rotação O2 A e B e uma junta de translação R14 representada pelo contato entre a peça 4 e a peça 1 A peça 2 descreve movimento de rotação em torno de O2 a peça 3 descreve movimentos de translação e rotação movendo a peça 4 através da articulação B que descreve movimento somente de translação O contato entre a corrediça 4 e a base 1 também é chamado junta Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 18 A 3 2 4 B O2 1 R14 O mecanismo de 4 barras é composto das articulações fixas O2 e O4 localizadas na peça 1 articulando as peças 2 e 4 A peça 1 é uma estrutura fixa peça 2 é chamada manivela descrevendo movimento de rotação em torno de O2 a peça 3 é chamada acoplador descrevendo movimentos de translação e rotação e a peça 4 chamada balancim oscilando nos dois sentidos dependendo de seu comprimento Se a peça 4 descrever também rotação completa o mecanismo é chamado de dupla manivela 3 B A 4 2 O2 O4 1 24 Juntas Cinemáticas Em um mecanismo para que o movimento seja transmitido é necessário que as barras estejam ligadas entre si por meio de juntas elos ou pinos Cada tipo de junta tem suas próprias características e estão relacionadas ao movimento entre as peças e baseado nos tipos de contato agrupamse em duas classes juntas superiores e juntas inferiores Nas juntas superiores o contato é pontual ou linear como por exemplo o contato entre dois dentes de engrenagens entre duas rodas de atrito entre o seguidor de rolete e um came etc Nesses tipos de juntas as superfícies estão sujeitas a tratamento térmico ou de superfície Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 19 Nas juntas inferiores o contato é uma superfície e as comumente utilizadas são as juntas cinemáticas de rotação tais como pino parafuso etc ligando duas peças nas quais as posições angulares variam e as de translação caracterizada pelo movimento de escorregamento Os termos superiores e inferiores derivamse do fato de que as juntas superiores são de fabricação e constituição de material mais complexos portanto mais nobres superiores as juntas inferiores são mais fáceis de se obterem menos nobres por isso inferiores 25 Tipos de Movimentos Planos No movimento plano ou bidimensional as peças de um mecanismo descrevem movimentos de rotação translação composto ou misto Rotação Quando todas as partículas do corpo peça traçam trajetórias em torno de um eixo passando pelo corpo chamado eixo de rotação Translação Quando todas as partículas do corpo peça apresentam uma única trajetória podendo ser retilínea ou curvilínea A B B A retilínea B B A A curvilínea Eixo de rotação A B Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 20 Composto Quando o corpo apresenta ambos os movimentos 26 Graus de Liberdade ou Mobilidade De uma maneira geral graus de liberdade gdl são representados pelo número de coordenadas independentes necessárias para especificar a posição de um corpo ou sistema mecânico no plano ou espaço Pode ser descrito também pelo número de movimentos de acionamento que um determinado mecanismo necessita para que a localização de suas peças seja completamente conhecida em relação à um referencial prédefinido O número de graus de liberdade de uma maneira geral para um mecanismo fechado pode ser determinado pelo critério de Grüber onde Gdl 3n1 js 2ji n número de peças js número de juntas superiores ji número de juntas inferiores B VB A VA Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 21 De uma maneira geral teremos Se gdl 0 o sistema é um mecanismo com graus de liberdade Se gdl 0 o sistema é uma estrutura estaticamente determinada Se gdl 0 o sistema é uma estrutura estaticamente indeterminada Mecanismo biela manivela corrediça 4 peças Três ângulos de rotação com centro nas juntas inferiores O2 A e B e uma junta de translação R14 A 3 2 4 B O2 1 R14 n 4 js 0 ji 4gdl 1 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 22 Mecanismo de 4 barras Quatro juntas inferiores de rotação em torno de O2 O4 A e B 3 B A 4 2 O2 O4 1 n 4 js 0 ji 4gdl 1 Mecanismo de retorno rápido de 6 peças 6 juntas inferiores de rotação em torno de O2 A B C D e O4 mais uma junta de translação R16 C 3 B 5 A 4 2 6 D O2 1 O4 R16 n 6 js 0 ji 7 gdl 1 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 23 Mecanismo de retorno rápido plaina limadora Seis peças 5 juntas inferiores de rotação e 2 de translação 6 C 5 B 4 A O4 2 3 1 O2 Cinco juntas de rotação O2 O4 A B C duas juntas de translação 4 e 6 n 6 js 0 ji 7 gdl 1 Estrutura isostática A 2 3 O2 O4 1 n 3 js 0 ji 3 gdl 0 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 24 Estrutura hiperestática 3 B A 5 4 2 6 O2 O4 1 n 6 js 0 ji 8gdl 1 Entretanto há de se ter alguma reserva na aplicação do critério de Glüber pois alguns mecanismos manifestamse como exceção a esta regra tais como os mecanismos abaixo 3 peça única 2 4 5 O2 1 O4 1 O5 n 5 js 0 ji 6 gdl 0 Embora o número de gdl seja zero este é um mecanismo 3 peça única 2 4 5 O2 1 O4 1 O5 n 5 js 0 ji 6 gdl 0 O número de gdl é zero esta é uma estrutura Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 25 27 Regra de Grashof Em um mecanismo de 4 barras quando a medida da barra menor s somada com a medida da barra maior l for menor ou igual à soma da medida das outras p e q então a barra mais curta gira continuamente s l p q fig a Quando a peça fixa é adjacente à peça menor o mecanismo é chamado de barra oscilante figs a e b Quando a peça menor é fixa as peças adjacentes giram continuamente o mecanismo é chamado de dupla manivela fig c Quando a peça fixa é oposta à menor peça menor esta peça menor descreve rotação de 3600 mas as peças adjacentes apenas oscilam fig d Outras análises Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 26 28 Fase de Ponto Morto No mecanismo bielamanivelacorrediça definimos o ponto morto superior PMS e ponto morto inferior PMI no alinhamento da manivela com a biela Em um motor a combustão interna duas vezes o comprimento da manivela define o curso do pistão S PMI PMS A O2 A B B S No mecanismo de quatro barras é possível dada sua configuração que duas de suas barras estejam alinhadas uma com a outra como indica a figura abaixo B 3 4 A 2 O2 O4 Quando isso ocorre a velocidade angular da barra 4 ω4 passa por zero e se for aplicado um momento na barra 4 BO4 a barra 2 AO2 estará submetida somente a tração ou compressão de forma que ela não sofrerá qualquer movimento Nesta situação o mecanismo estará na posição chamada de ponto morto As fases de ponto morto devem ser evitadas a fim de minimizar esforços nas barras e nas juntas Em um dado mecanismo de quatro barras obedecendo a regra de Grashof isto é a barra 2 completando um giro de 3600 e desconsiderando as forças de atrito e de inércia a relação entre o conjugado aplicado à barra 2 T2 conjugado de entrada necessário para acionar a barra 4 e vencer o conjugado resistente T4 estabelece o conceito de vantagem mecânica VM que é a razão entre o conjugado resistente e o conjugado de entrada Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 27 VM 2 4 T T 4 2 ω ω B 3 4 T4 A 2 T2 O2 O4 A vantagem mecânica está relacionada com o chamado ângulo de transmissão o qual é medido entre a barra intermediária 3 e a barra movida 4 Esses conceitos serão aplicados no tópico Análise Estática em Mecanismos Articulados porém algebricamente podemos determinalo No mecanismo de 4 barras abaixo o ângulo γ é o chamado ângulo de transmissão e aplicando a lei dos cossenos para os triângulos ABO4 e AO2O4 teremos B r3 γ r4 A r2 θ2 O2 r1 O4 AO42 r12 r22 2r1r2cosθ2 AO42 r32 r42 2r3r4cosγ Igualando as duas equações e resolvendo em função da variável γ Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 28 γ cos1 4 3 2 1 2 2 2 2 1 2 4 32 2 cos 2 r r r r r r r r θ O ângulo de transmissão γ deve estar no intervalo aproximado entre 400 ou 500 e 1400 pois dado que fora deste intervalo as barras intermediárias 3 e movida 4 podem ficar alinhadas coincidentes entre si tornando o ângulo γ igual a zero e o mecanismo se travaria ou emperraria Além do mais será possível provar que quando γ 900 para um dado conjugado resistente T4 aplicado na barra 4 a força exercida na barra intermediária 3 será mínima tornando esse ângulo a de melhor vantagem mecânica Quando é aplicado um torque T2 e mesmo antes de qualquer movimento ocorrer surgirá uma força colinear estática F34 aplicada pela barra 3 à barra 4 no ponto B as componentes de F34 podem ser decompostas nas componentes radial Fr34 e tangencial Ft34 decompostas paralela e tangencialmente Fr34 F34 cosγ γ F34 B 3 γ Ft34 F34 senγ 4 A T4 2 T2 O2 O4 O ideal seria que toda a força F34 produzisse o torque de saída T4 porém somente a força tangencial gera esse torque A força radial Fr34 fornece somente tração ou compressão na barra 4 contribuindo com o atrito na junta B por esta razão o valor ideal para o ângulo de transmissão γ é 900 Quando o ângulo for menor que 450 a componente radial é maior que a componente tangencial como pode ser verificado trigonometricamente o que reduz significativamente a vantagem mecânica Dado que o mecanismo se movimenta o ângulo de transmissão é variável e por essa razão o ângulo de transmissão mínimo para uma boa condição de projeto deve ser maior que 400 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 29 3 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO Em cinemática a análise do deslocamento referese à determinação das posições ocupadas por qualquer um ou por todos os pontos de uma peça de um mecanismo quando este se move descrevendo um ciclo de operação Tal análise é necessária para se determinar as posições angulares de cada barra para uso posterior nas análises de velocidade aceleração e forças ou para traçar a trajetória de um ponto em uma dada peça Um mecanismo é dito haver completado um ciclo de operação quando movese através de todas as possíveis posições e retorna à posição original Qualquer posição antes de se completar um ciclo é referida como sendo fase Para análise de deslocamento assumese que os comprimentos de todas as barras sejam conhecidos e que todas sejam rígidas Esta análise pode ser realizada por métodos gráficos os quais baseiamse na interpretação geométrica do mecanismo e uso de desenho auxiliado por computador pelo método da notação vetorial e por métodos analíticos A utilização de algum método analítico possibilita a construção de algorítimos para o desenvolvimento de programas de uso computacional Corpo rígido Aplicandose uma força externa ao corpo a distância entre dois pontos contidos no corpo permanece constante Trajetória Constituise nos lugares geométricos ocupados pelo ponto em movimento Distância percorrida pelo corpo Em um intervalo de tempo t1 a t2 é o comprimento medido sobre a trajetória entre duas posições referentes a esse intervalo de tempo Comprimento é uma grandeza escalar Deslocamento de um ponto É um vetor que expressa a posição final do ponto em relação à sua posição inicial Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 30 31 Deslocamento Absoluto Considere um ponto movendose no plano da posição 1 t t1 para a posição 2 t t2 ao longo de uma trajetória qualquer R1 e R2 são chamados vetores posição pois definem as posições do ponto nos instantes 1 e 2 em relação à origem do sistema de coordenadas X e Y ΔR chamado vetor deslocamento Da figura temos R2 R1 ΔR portanto ΔR R2 R1 translação Deslocamento angular Da figura abaixo Δθ θ2 θ1 deslocamento de rotação Y Δθ θ2 θ1 X X Y R2 t t2 R1 t t1 ΔR Trajetória Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 31 32 Deslocamento Relativo Considere um corpo rígido e localizando dois pontos A e B neste corpo o qual desloca se em movimentos de translação e rotação no plano Queremos descrever uma equação que expresse o deslocamento total do ponto B entre as posições inicial e final Translação O corpo deslocase da posição 1 para a posição 2 Rotação O corpo deslocase da posição 2 para a posição 3 girando em torno de um eixo que passa pelo ponto A2 Da figura RB3A2 RB2A2 ΔRBA portanto ΔRBA RB3A2 RB2A2 Y X A1 B1 A2 B2 RB1A1 RB2A2 ΔRA ΔRB ΔRA Y X A3A2 B2 B3 RB2A2 RB3A2 ΔRB ΔRBA Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 32 Movimento geral O corpo descreve os movimentos de translação e rotação e o deslocamento total do ponto B é dado por ΔRB ΔRB ΔRB ou ΔRB ΔRA ΔRBA Equação do Deslocamento Relativo O vetor ΔRBA representa o deslocamento de B em um sistema de coordenadas não rotativo cuja origem está em A A1 B1 A3A2 B2 B3 ΔRB ΔRA ΔRBΔRBA ΔRB Y X Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 33 33 Métodos para a Determinação de Posição 331 Análise de Posição de um Mecanismo BielaManivela O problema para análise de posição e deslocamento consiste na localização dos vários pontos de interesse do mecanismo para tanto deduzse expressões analíticas capazes de expressar a posição de um determinado corpo exemplo manivela ou o ponto em um corpo em função da configuração geométrica do mecanismo e do tipo de acionamento 3311 Método Algébrico Considere o mecanismo bielamanivela e pretendese determinar a posição do pistão corrediça localizada pelo ponto B o qual representa seu centro de massa A manivela barra 2 é a barra motora girando em torno de O2 com velocidade angular conhecida tal que ω2t θ2 r2 A r3 θ2 θ3 O2 C r1 B Escrevemos as expressões através das relações trigonométricas expressas pelas leis do seno e cosseno e pelas projeções cartesianas Podemos escrever para o ponto B em relação a O2 r1 O2C CB r2cosθ2 r3cosθ3 eq31 O mecanismo bielamanivela tal como visto no item 25 tem um grau de liberdade e as coordenadas ou variáveis θ2 e θ3 não são independentes ou seja θ3 depende de θ2 Podemos também escrever AC r2senθ2 r3senθ3 Isolando senθ3 senθ3 3 2 r r senθ2 Substituindo esta expressão na lei fundamental da trigonometria sen2θ cos2θ 1 ou cosθ 2θ 1 sen Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 34 cosθ3 2 2 2 3 22 1 r sen θ r eq 32 Inserindo a eq 32 em 31 obtemos r1 r2cosθ2 r3 2 2 2 3 22 1 r sen θ r a qual pode ser reescrita r1 r2cosθ2 2 2 2 32 r r senθ eq33 onde θ2 equivale e pode ser substituído por ω2t 3312 Método da Notação Complexa A equação 33 acima pode ser escrita através da notação complexa Com o fim de relembrarmos a manipulação complexa escrevemos R rx iry R vetor que representa o número complexo rx e iry representam respectivamente a parte real e a parte imaginária i representa a unidade imaginária tal que i 1 O vetor R representado no plano complexo O módulo de R é dado por r 2 2 y x r r O vetor R pode ser escrito em notação complexa e coordenadas polares R rcosθ isenθ ou R rcosθ isenθ reiθ Das séries numéricas de MacLaurin temos rx Y imag iry R X Real Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 35 eiθ 1 iθ 7 6 5 4 3 2 7 6 5 4 3 2 θ θ θ θ θ θ i i i cosθ 1 6 4 2 6 4 2 θ θ θ isenθ iθ 7 5 3 7 5 3 θ θ θ i i i Lembrese que 2 2 fatorial 2x1 3 3 fatorial 3x2x1 4 4 fatorial 4x3x2x1 e assim por diante O ângulo θ é expresso em radianos Provar que cos 200 09396926 e que sen200 03420201 As barras do mecanismo bielamanivela descrito no método algébrico acima estão sendo representadas por vetores posição formando uma cadeia cinemática fechada Da figura podemos escrever a soma de vetores R1 R2 R3 ou R2 R3 R1 0 Em notação complexa r2eiθ2 r3eiθ3 r1eiθ1 0 Aplicando Euler r2cosθ2 isenθ2 r3cosθ3 isenθ3 r1cosθ1 isenθ1 0 R1 θ2 A O2 B θ3 R2 R3 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 36 Separando as partes real e imaginária r2cosθ2 r3cosθ3 r1cosθ1 0 r2senθ2 r3senθ3 r1senθ1 0 Dado que θ1 0 cosθ1 1 e senθ1 0 reescrevemos r2cosθ2 r3cosθ3 r1 0 eq 34 r2senθ2 r3senθ3 0 Isolando θ3 e inserindo na equação acima com r1 isolado temos senθ3 2 3 2 r senθ r onde θ3 arcsen 3 2 2 r r sen θ eq 35 podemos escrever θ3 através da equação fundamental da trigonometria cos2θ3 1 sen2θ3 cosθ3 2 3 1 sen θ inserindo senθ3 da equação 35 acima dentro da raiz teremos cosθ3 2 2 2 3 22 1 r sen θ r eq 36 onde θ3 arcos 2 2 2 3 22 1 r sen θ r eq 37 Reescrevendo a eq 34 isolando r1 e inserindo a equação 37 r1 r2cosθ2 r3cosθ3 fica r1 r2cosθ2 2 2 2 32 r r senθ eq 38 Como era de se esperar a eq 38 é igual à eq 33 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 37 332 Análise de Posição de um Mecanismo de Quatro Barras 3321 Método da Notação Complexa Nesta análise os comprimentos das barras r1 r2 r3 e r4 são conhecidos e o problema consiste na determinação das posições angulares das barras 3 e 4 θ3 e θ4 respectivamente sendo θ2 conhecido Representando o mecanismo através de vetores posição formando uma cadeia cinemática fechada e representandoa pela seguinte equação vetorial R1 R2 R3 R4 0 α θd θ3 β θ4 θd Aplicando a lei dos cossenos para o triângulo AO2O4 rd2 r12 r22 2r1r2cosθ2 O vetor auxiliar Rd pode ser escrito Rd R1 R2 Na forma polar complexa rdeiθd r1eiθ1 r2eiθ2 Da mesma forma podemos resolver separando as partes real e imaginária rdcosθd r1cosθ1 r2cosθ2 rdsenθd r1senθ1 r2senθ2 Dado que θ1 1800 cosθ1 1 e senθ1 0 as duas equações acima ficam rdcosθd r1 r2cosθ2 rdsenθd r2senθ2 O4 B A O2 Rd rd θd θ4 R4 r4 R3 r3 R2 r2 R1 r1 β α θ4 θ3 θd θ2 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 38 θd arcsen 2 2 r senθ r d Aplicando a lei dos cossenos para o triângulo ABO4 e lembrando que α θd θ3 r42 r32 rd2 2r3rdcosθd θ3 Resolvendo em função de θ3 θ3 cos1 3 2 4 2 3 2 2 r r r r r d d θd 00 θ2 1800 θd 1800 θ2 3600 θd Aplicando novamente a lei dos cossenos para o triângulo ABO4 e que β θ4 θd r32 r42 rd2 2r4rdcosθ4 θd Resolvendo em função de θ4 θ4 cos1 4 2 3 2 4 2 2 r r r r r d d θd 00 θ2 1800 θd 1800 θ2 3600 θd Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 39 4 VELOCIDADE EM MECANISMOS ARTICULADOS Considerando o movimento de uma partícula descrevendo uma trajetória qualquer e localizando dois pontos R1 e R2 referentes aos instantes t1 e t2 Durante o intervalo de tempo Δt t1 t2 o deslocamento da partícula é dado pelo vetor deslocamento ΔR R2 R1 Definese a sua velocidade média durante o intervalo de tempo Δt como sendo Vm t R A velocidade instantânea que é a velocidade da partícula em um determinado instante t é chamada somente velocidade dada por V 0 lim t t R r t R dt dR 0 Como ΔR é um vetor no limite haverá convergências módulo direção e sentido portanto a velocidade é a razão da variação do deslocamento em relação ao tempo Com o objetivo de definirmos as duas convergências vamos recordar alguns elementos matemáticos ΔR R2 R1 X Y R1 tt1 R2 tt2 trajetória Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 40 41 Regra da Cadeia para Derivadas Considerando uma partícula movendose em uma trajetória plana e curva Determinase sua posição no instante t por meio de equações que expressam X e Y em função de t X ft Y gt Eliminandose t podemos escrever Y FX mas X ft A regra da cadeia para derivadas nos dá Y FX função diferenciável em x X ft função diferenciável em t Podemos escrever Yt F ft gt função diferenciável em t portanto Yt Fxft ou dt dX dX dY dt dY Retornando ao nosso estudo sobre velocidade e considerando uma partícula em movimento deslocandose da posição 1 t t1 até a posição 2 t t2 seguindo uma trajetória circular ΔS ΔR vetor posição com origem no sistema λ e μ λ e μ vetores unitários ΔS trajetória grandeza escalar Y X Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 41 De acordo com a figura ΔR depende de ΔS portanto a velocidade depende da trajetória Como ΔR e ΔS são grandezas que dependem do tempo então são grandezas em função do tempo Chamando ΔS ft ΔR gt Eliminandose t podemos escrever ΔR FΔS mas ΔS ft Aplicando a regra da cadeia ΔR FΔS função diferenciável em ΔS ΔS ft função diferenciável em t Podemos escrever ΔR F ft gt função diferenciável em t portanto ΔRt FΔSft ou 0 lim t t S S R t R ou dt dS dS dR dt dR onde dt dR V vetor velocidade módulo e direção dS dR λ somente direção vetor tangente à trajetória dt dS 10 velocidade da partícula na trajetória Podemos escrever a expressão V 10 λ eq 41 Em qualquer posição a velocidade é sempre tangente à trajetória 1 t t1 μ ΔS ΔR Y X λ 2 t t2 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 42 42 Velocidade Angular Considerando um corpo rígido representado pelo disco girando em torno do eixo OA Isto significa que todos os pontos do corpo tal como o ponto P se movem numa trajetória circular em torno do eixo OA A velocidade angular do corpo é dada pelo vetor ω que tem direção OA e sentido dado pela regra da mão direita A magnitude da velocidade angular é a razão de variação de qualquer segmento de reta do corpo com direção normal ao eixo de rotação Designando o deslocamento angular do segmento por Δθ no intervalo de tempo Δt sua magnitude fica ω 0 lim t t θ θ O vetor posição r expressa a posição do ponto P em relação a origem do sistema de coordenadas O e o corpo gira com velocidade angular ω O produto entre os dois vetores nos dá um terceiro vetor perpendicular ao plano formado por eles tal que V rωsenφ λ onde λ é um vetor unitário perpendicular ao plano formado por r e ω Representando a origem do sistema de coordenadas O no corpo o ângulo φ torna se 900 e o vetor r tornase o raio do circulo sendo que o ponto P deslocase na trajetória circular A figura acima fica representada abaixo rsenφ A Y X O φ ω r P V λ Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 43 Como sen 900 1 a expressão de velocidade fica V ωr λ ou simplesmente V ωr A velocidade de um ponto qualquer em um corpo rígido com velocidade de rotação é igual ao produto da velocidade angular pela distância entre esse ponto e o eixo de rotação com direção tangente ao círculo de rotação do ponto Sintetizando o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória 43 Equação de Velocidade Relativa Considerando um corpo rígido que apresenta movimentos de translação e rotação girando com velocidade angular ω em torno de um eixo que passa pelo ponto A e destacando um ponto B localizado por RBA em relação ao ponto A ω velocidade angular do corpo VA velocidade de translação do corpo A posição de B é dada pela equação RB RA RBA A velocidade de B é dada pela equação dt dRBA dt dRA dt dRB ou VB VA VBA denominada equação de velocidade relativa P ω r V λ B RA RB A VA ω Y X RBA Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 44 VBA ω x RBA pois RBA é um vetor fixo ao corpo A equação de velocidade relativa expressa que a velocidade de um ponto qualquer do corpo rígido B é igual à soma da velocidade de A componente de translação do movimento mais a velocidade de B em relação a A componente de rotação do movimento 44 Métodos para a Determinação de Velocidades em Mecanismos 441 Método da Notação Complexa Mecanismo BielaManivela Considerando o mecanismo bielamanivela já visto no estudo sobre posição item 3 queremos agora determinar a velocidade angular da barra 3 ω3 e a velocidade do ponto B VB Da figura podemos escrever a soma de vetores R1 R2 R3 ou R2 R3 R1 0 Em notação complexa r2eiθ2 r3eiθ3 r1eiθ3 0 Derivando esta equação em relação ao tempo obtemos a expressão da velocidade da corrediça B Lembrando que dx du e dx e d u u a expressão para a velocidade fica 0 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ i i i i i i dt e r i d dt e dr dt e r i d dt e dr e dt r i d dt e dr eq 42 Dado que os comprimentos r2 e r3 das barras 2 e 3 são constantes assim como o ângulo θ1 da corrediça suas respectivas derivadas são nulas além disso da expressão acima teremos R1 r1 θ2 A O2 B θ3 R2 r2 R3 r3 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 45 2 2 ω θ dt d 3 3 ω θ dt d 1 1 v dt dr A eq 42 pode ser simplificada e reescrita ir2ω2eiθ2 ir3ω3eiθ3 v1eiθ1 0 Lembrando a identidade de Euler eiθ cosθ isenθ e aplicando na expressão acima ir2ω2cosθ2 isenθ2 ir3ω3cosθ3 isenθ3 v1cosθ1 isenθ1 0 Nesta equação acima ω3 e v1 são incógnitas θ1 90 na análise do deslocamento θ1 0 e dado que θ2 é sempre conhecido Separando as partes real e imaginária e resolvendo em função das incógnitas r2ω2cosθ2 r3ω3cosθ3 v1cosθ1 0 eq 43 r2ω2senθ2 r3ω3senθ3 v1senθ1 0 eq 44 Isolando ω3 da expressão 43 ω3 3 3 2 2 2 cos cos θ θ ω r r eq 45 Como já visto em análise de posição no item 3 o ângulo θ3 é dado pela expressão abaixo θ3 arcsen 3 2 2 r r sen θ Isolando v1 na expressão 44 e inserindo ω3 da expressão 45 chegase na expressão de velocidade v1 r2ω2senθ2 r3ω3senθ3 v1 r2ω2senθ2 r3 3 3 2 2 2 cos cos θ θ ω r r senθ3 A expressão acima fica v1 r2ω2senθ2 cosθ2tgθ3 lembrando que v1 VB eq 46 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 46 442 Método do Polígono de Velocidades Mecanismo BielaManivela O método baseiase na construção e resolução gráfica de equações vetoriais isto é o método constituise em uma soma de vetores velocidades instantâneas que estão ocorrendo na condição do mecanismo Devemos nos lembrar que o vetor velocidade de um ponto qualquer contido na barra tem direção tangente à sua trajetória e por consequência este vetor será perpendicular à barra em questão exemplo Considere a barra descrevendo movimento de rotação articulada em O portanto girando em torno de O com velocidade angular ω e queremos expressar o vetor velocidade instantânea do ponto A em relação a articulação O A Trajetória de A VA ω O A direção de VA será perpendicular à barra sentido para baixo devido ao sentido da velocidade angular ω ser antihorária e sua magnitude dada pela expressão VA ωAO Considerando o mecanismo articulado bielamanivela Queremos determinar a velocidade da corrediça B assim como a velocidade angular da barra 3 biela ω3 ω2 A 3 2 θ2 θ3 4 B O2 1 Na determinação das velocidades partese sempre de uma velocidade conhecida que é a da barra 2 manivela pois sua velocidade angular também é conhecida dado que é a barra motriz girando com velocidade n de onde obtemos a expressão ω 2π 60 n onde n rpm Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 47 A obtenção das velocidades pelo método dos polígonos resulta da soma de vetores obtidos da equação de velocidade relativa onde VB VA VBA A magnitude do vetor velocidade VA é encontrado VA ω2AO2 Conhecida sua magnitude a direção também é conhecida pois o ponto A descreve uma trajetória circular e por conseqüência a direção é perpendicular à barra AO2 e o sentido do vetor VA acompanha o sentido da velocidade angular ω2 A origem do vetor VA define o polo de velocidades Ov o qual é a origem também do vetor resultante VB Dado que o ponto B está localizado na corrediça e esta deslocase em translação traçamos uma reta na horizontal a partir de Ov No mecanismo a barra AB 3 tem como extremidades os pontos A e B Esta barra descreve movimentos de translação e rotação portanto sua velocidade tangencial também será perpendicular Para determinarmos a velocidade VBA traçamos uma reta perpendicular à barra AB reta essa que passa pelo ponto A e ao traçarmos essa reta haverá o cruzamento com a reta horizontal onde se localiza o vetor VB O cruzamento define o ponto B comum aos vetores VB e VBA Na construção do polígono de velocidades a velocidade de uma corrediça cursor ou pistão peça que descreve movimento de translação somente sempre tem como origem o polo O polígono de velocidades fica representado na figura abaixo Uma vez determinado VBA a determinação da velocidade angular ω3 é trivial dado por ω3 BA VBA Ov VB VA vetor perpendicular à barra AO2 VBA VBA vetor perpendicular à barra AB A B Reta tangente paralela ao deslocamento da corrediça Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 48 443 Método dos Centros Instantâneos de Rotação Mecanismo BielaManivela Num dado instante o centro instantâneo de rotação de um corpo rígido que executa movimento plano é o ponto de interseção de duas retas traçadas de quaisquer dois pontos de um corte do corpo rígido perpendicular aos vetores velocidade daquelas partículas Análise considerando o mecanismo bielamanivela O ponto A pertence à manivela peça 2 e o ponto B pertence à corrediça peça 4 Essas peças 2 e 4 têm em comum o polo P13 e apresentam a mesma velocidade quer se considere fazendo parte de uma ou outra peça O polo P13 é o ponto de intersecção entre o prolongamento da reta coincidente com a peça 2 e com a peça 4 sendo chamado centro instantâneo dos pontos A e B Analisando a peça 2 manivela todos os pontos que a ela pertence giram em torno de O2 assim podemos escrever ω3 13 13 BP VB AP VA P13 ω2 A 3 2 θ2 θ3 4 B O2 1 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 49 444 Método da Notação Complexa Mecanismo de Quatro Barras Utilizando a notação complexa a equação que representa a cadeia cinemática formada pelos vetores R1 R2 R3 e R4 é dada por r1eiθ1 r2eiθ2 r3eiθ3 r4eiθ4 0 Os termos r1 r2 r3 r4 e θ1 não variam no tempo derivando a expressão acima em relação ao tempo 0 4 4 4 3 3 3 2 2 2 θ θ θ θ θ θ i i i dt e r i d dt e r i d dt e r i d eq47 Sendo que 2 2 ω θ dt d 3 3 ω θ dt d 4 3 ω θ dt d A equação 47 acima fica reescrita 0 4 4 4 3 3 3 2 2 2 θ θ θ ω ω ω i i i e r i e r i e r i aplicando Euler eiθ cos θ isenθ obtemos r2iω2cosθ2 isenθ2 r3iω3cosθ3 isenθ3 r4iω4cosθ4 isenθ4 0 ω2 O4 B A O2 Rd rd R4 r4 R3 r3 R2 r2 R1 r1 β α θd θ4 θ3 θ2 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 50 Separando as partes real e imaginária r2ω2senθ2 r3ω3senθ3 r4ω4senθ4 0 r2ω2cosθ2 r3ω3cosθ3 r4ω4cosθ4 0 Essas equações acima constituemse em equações lineares homogêneas com duas incógnitas ω3 e ω4 e a sua resolução pode ser obtida pela Regra de Cramer Essa regra é um método para a resolução de um sistema de equações e se baseia no uso de determinantes cuja solução é dada por Xi D Dxi onde D é o determinante da matriz dos coeficientes formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema e Dxi é o determinante obtido pela substituição na matriz incompleta da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes Resolvendo para a incógnita ω3 obtemos Resolvendo os determinantes ω3 3 4 3 4 4 3 4 3 4 2 2 2 4 4 2 2 2 4 cos cos cos cos θ θ θ θ θ θ ω θ θ ω r r sen r r sen sen r r sen r r Lembrando que senab senacosb cosasenb ω3 fica ω3 3 4 3 4 2 2 2 θ θ θ θ ω r sen sen r θ4 tomado a partir do eixo x Para a determinação da velocidade angular ω4 o procedimento se repete e a expressão fica r2ω2senθ2 r4senθ4 r2ω2cosθ2 r4cosθ4 r3senθ3 r4senθ4 r3cosθ3 r4cosθ4 ω3 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 51 ω4 3 4 4 3 2 2 2 θ θ θ θ ω r sen sen r Os ângulos θ3 θ4 θd e a grandeza rd foram obtidos na análise de posição θ3 arcos 3 2 4 2 3 2 2 r r r r r d d θd θ4 arcos 4 2 3 2 4 2 2 r r r r r d d θd θd arcsen 2 2 r senθ r d rd2 r12 r22 2r1r2cosθ2 445 Método do Polígono de Velocidades Mecanismo de Quatro Barras Considere o mecanismo de quatro barras onde a barra 2 manivela gira com velocidade angular ω2 conhecida A barra 2 ao completar um ciclo permite ao pino A descrever uma trajetória circular e a magnitude da velocidade do ponto A em relação à articulação O2 é dada pela expressão VA ω2 AO2 O vetor velocidade VA é totalmente definido em sua magnitude direção sua direção tangencia a trajetória do ponto A portanto é perpendicular à barra AO2 e sentido o sentido do vetor velocidade acompanha o sentido do vetor velocidade angular 3 B C A 4 ω2 2 O2 1 O4 A velocidade angular da barra 2 é conhecida VA ω2AO2 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 52 Para se determinar a velocidade da articulação B e as velocidades angulares das barras 3 e 4 ω3 e ω4 respectivamente utilizamos a soma de vetores velocidade estabelecida na equação de velocidade relativa VB VA VBA O vetor velocidade VB expressa a velocidade da articulação B em relação à articulação fixa O4 e sua direção é perpendicular à barra BO4 da mesma forma a velocidade VBA está relacionada com a barra BA sendo perpendicular a essa barra 4 O polígono de velocidades fica A VA AO2 VBA BA C VC Ov polo B VB BO4 Na construção do polígono é importante atentar que as velocidades de pontos relacionados às barras que estão ligadas em articulações fixas como O2 e O4 têm o polo Ov como origem comum A velocidade relacionada à barra 3 a qual está articulada aos pontos A e B é expressa pelo vetor VBA o qual é perpendicular à barra 3 e cuja origem coincide com o ponto A definido na extremidade do vetor VA e o ponto B será encontrado no cruzamento com a reta direção onde está localizado o vetor VB As velocidades angulares são determinadas fazendo VBA ω3BA BA VBA ω3 VB ω4BO4 4 4 BO ω VB A determinação da velocidade de um ponto C localizado na barra 3 é realizada através da equação de velocidade relativa para o ponto C efetuando a seguinte soma vetorial VC VA VCA VCA é a velocidade do ponto C em relação ao ponto A Como o ponto C está localizado na barra 3 a velocidade fica VCA ω3CA Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 53 Uma vez determinada a grandeza de VCA localizase a posição do ponto C no polígono de velocidades e o vetor VC é expresso do polo até o ponto C realizando a equação acima 446 Método dos Centros Instantâneos de Rotação Mecanismo de Quatro Barras O procedimento para a determinação das velocidades pelo método dos centros instantâneos de rotação segue os mesmos parâmetros já definidos no mecanismo biela manivela porém determinamos 2 centros denominados P13 e P24 relacionados com as peças 13 e 24 respectivamente O comprimento das peças ou barras são conhecidos assim como a velocidade angular da barra 2 ω2 P13 3 B C P24 A 4 ω2 2 O2 1 O4 A velocidade angular da barra 2 é conhecida VA ω2AO2 O centro P24 é obtido pelo cruzamento do prolongamento das linhas 1 e 3 respectivamente A centro P13 é obtido pelo cruzamento do prolongamento das linhas 2 e 4 respectivamente Mecanismos Elementos de Cinematica e Dindmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia Determinacdo de wa Do mecanismo acima podemos escrever a On Pog Qo OP 4 Utilizando as relagdes angulares acima escrevemos W4 O4P 24 W202P 24 isolando wa O Q0 Py OP 4 Determinacdo de w3 As velocidades VA e VB podem ser encontradas fazendo VA W3AP13 VB W3BP13 VC W3BP13 Portanto w3 pode ser obtido VA VB VC 03 SS Determinagdo de VC A velocidade em qualquer ponto ao longo da barra 3 pode ser obtida tomada em relacdo ao centro P13 VC W3CP33 Podese expressar os vetores velocidades dos ponto A B e C tracando retas perpendiculares entre a reta do ponto buscado e o polo P13 54 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 55 5 ACELERAÇÃO EM MECANISMOS ARTICULADOS A aceleração mede a rapidez com que um corpo varia sua velocidade Acelerar ou desacelerar um corpo significa variar sua velocidade em um intervalo de tempo e em um corpo acelerado o vetor aceleração tem a mesma direção e sentido do vetor velocidade enquanto que um corpo que sofre desaceleração o vetor aceleração possui mesma direção do vetor velocidade porém os sentidos são opostos A aceleração média pode ser definida como sendo a razão da variação da velocidade em um intervalo de tempo e quando o intervalo de tempo tende a zero a aceleração denominase aceleração instantânea A aceleração instantânea também chamada simplesmente de aceleração é definida pela equação 0 lim t r v dt dv t v a Δv é o incremento de v durante o intervalo de tempo Δt Analogamente a aceleração angular de um corpo que gira é definida pela equação 0 lim t dt d t θ ω ω ω α Retornando ao equacionamento visto na seção anterior da equação 41 temos V λ S Onde S é a velocidade do ponto P ao longo da trajetória e o vetor unitário λ tangente à mesma trajetória Derivando duas vezes em relação ao tempo a expressão de velocidade tangencial acima teremos λ λ S S A A expressão acima nos indica que na aceleração aparecem duas componentes Aceleração tangencial at λ S pois λ é tangente à trajetória Aceleração normal ou radial an λ S pois λ é um vetor unitário defasado 900 de λ Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 56 Considere um corpo deslocandose da posição 1 para a posição 2 acelerado positivamente tal que V2 V1 ΔV ΔVn ΔVt Como V2 V1 e o corpo descreve uma trajetória circular significa que ω2 ω1 dado que R é constante numa taxa de variação do vetor velocidade onde V1 ω1R V2 ω2R Da segunda figura podemos escrever ΔVn VΔθ t V t V n θ dt V d dt dV n θ an Vω ΔVt Rω2 ω1 RΔω t R t V t ω dt R d dt dVt ω at Rα μ ΔVn V1 ΔV V2 V1 Δθ ΔS V1 ω2 ω1 Δθ R V2 ΔVt λ Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 57 51 Equação de Aceleração Relativa Considere um corpo girando acelerado em torno de uma articulação O destacando um ponto P neste corpo e chamando de R a distância do ponto P até o centro de curvatura O Os vetores aceleração podem ser representados At A V ponto P α An ω R O A componente tangencial da aceleração At mede a taxa de variação da velocidade escalar portanto é tangente à trajetória Se o ponto P movimentase com velocidade constante At 0 e a aceleração do ponto reduzse a seu componente normal A componente normal da aceleração An é sempre dirigida ao centro de rotação definindo a aceleração centrípeta Esses dois componentes são perpendiculares entre si An At Tal como visto no item 43 a equação de velocidade relativa que é derivada da equação do deslocamento relativo é dada pela expressão VB VA VBA Consequentemente a equação de aceleração relativa é expressa na forma AB AA ABA em notação minúscula aB aA aBA a qual pode ser desmembrada em aBn aBt aAn aAt aBAn aBAt Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 58 52 Métodos para a Determinação de Aceleração em Mecanismos 521 Método da Notação Complexa Mecanismo BielaManivela Considerando o mecanismo bielamanivela já visto no estudo sobre posição item 3 e velocidade item 4 queremos agora determinar a aceleração angular da barra 3 α3 e a aceleração do ponto B aB Tornase relevante dizer que as expressões que definem a posição e velocidade já foram trabalhadas e determinadas anteriormente Repetindoas Da figura podemos escrever a soma de vetores R1 R2 R3 ou R2 R3 R1 0 Em notação complexa r2eiθ2 r3eiθ3 r1eiθ3 0 Atentando ao fato de que r2 r3 e θ1 são constantes e derivando em relação ao tempo encontramos a expressão para a velocidade ir2ω2eiθ2 ir3ω3eiθ3 v1eiθ1 0 Derivando em relação ao tempo encontramos a expressão para a aceleração ir2 2 2 2 2 2 θ θ θ ω ω i i dt e i d dt e d ir3 3 3 3 3 3 θ θ θ ω ω i i dt e i d dt e d 1 1 ie θ dt dv 0 eq51 sendo que 2 0 dt dω 3 3 α ω dt d aB a dt dv 1 1 R1 r1 θ2 A O2 B θ3 R2 r2 R3 r3 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 59 Substituindo esses termos na equação 51 esta pode ser simplificada i2r2ω22eiθ2 ir3α3eiθ3 i2r3ω32eiθ3 a1eiθ1 0 eq51 Nesta equação 52 há duas incógnitas α3 e a1 Utilizando a fórmula de Euler separando as partes real e imaginária e resolvendo o sistema obtemos 3 3 3 2 3 3 2 2 2 2 3 cosθ θ ω θ ω α r sen r sen r eq52 α3 aceleração angular da biela barra 3 Uma vez determinado α3 encontramos a1 ou aB a1 aB ω22r2cosθ2 senθ2tgθ3 ω32r3cosθ3 senθ3tgθ3 a1 aB aceleração linear da corrediça eq53 As expressões da posição e velocidade angular da biela θ3 e ω3 respectivamente já foram obtidos nos itens 3 e 4 θ3 arcsen 3 2 2 r r sen θ ω3 3 3 2 2 2 cos cos θ θ ω r r Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 60 No mecanismo bielamanivelacorrediça a velocidade da corrediça é máxima quando sua aceleração é zero Utilizandose da equação de velocidade eq 46 pagina 45 e da equação de aceleração acima constatase que essas grandezas são atingidas quando a manivela estiver a 770 do ponto morto superior Os gráficos estão dispostos abaixo 522 Método do Polígono de Acelerações Mecanismo Biela Manivela O método baseiase na construção e resolução gráfica de equações vetoriais isto é constituise em uma soma de vetores acelerações instantâneas que estão ocorrendo na condição do mecanismo Devemos nos lembrar que o vetor aceleração de um ponto qualquer contido na barra tem duas componentes sendo que uma a aceleração normal é paralela à barra e cujo vetor aponta ao centro de rotação enquanto que a outra componente aceleração tangencial tem direção tangente à trajetória do ponto e por consequência este vetor será perpendicular à barra em questão exemplo Considere a barra descrevendo movimento de rotação articulada em O portanto girando em torno de O com velocidade angular ω e aceleração angular α e queremos expressar o vetor aceleração instantânea do ponto A em relação a articulação O 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 15 1 05 0 05 1 15 2 25 x em graus velocidade aceleração linha cheia Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 61 A Trajetória de A VA aAn aAt α ω O Considerando o mecanismo articulado bielamanivela Queremos determinar a aceleração da corrediça B assim como a aceleração angular da barra 3 biela α3 Na determinação das acelerações partese sempre de uma aceleração conhecida que é a da barra 2 manivela pois sua velocidade angular também é conhecida dado que é a barra motriz girando com velocidade n ω2 A 3 2 θ2 θ3 4 B O2 1 A equação de aceleração relativa é da forma aB aA aBA eq54 Analisando o movimento do mecanismo é possível perceber que a barra AO2 2 gira em torno do centro de rotação O2 e que na medida em que essa barra 2 descreve seu movimento de rotação a articulação A descreve uma trajetória circular Como a barra BA 3 está articulada em A ela acompanha o movimento da barra 2 propiciando que a barra AB descreva movimentos de translação e rotação Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 62 Uma vez que descreve movimento de rotação haverá um centro de rotação e este centro é definido em A Com relação a corrediça B o mecanismo impõe restrições ao seu movimento permitindo somente a translação em uma dada direção no caso horizontal A translação da corrediça B ocorre devido a translação da barra AB Os vetores componentes aceleração podem ser desmembrados como se segue abaixo aA aAn aAt aA representa a aceleração da articulação A em relação ao centro de rotação O2 aBA aBAn aBAt aBA representa a aceleração da articulação B em relação a articulação A aB não possui componentes normal e tangencial devido a alguma rotação pois a corrediça B somente translada na horizontal Quando se pretende determinar as acelerações pelo método dos polígonos partese sempre de uma aceleração conhecida a qual está relacionada à barra 2 manivela pois essa é a peça motriz Normalmente estudase o movimento em regime permanente significando que a manivela gira com velocidade constante implicando em aceleração angular α2 igual a zero porém satisfazendo a segunda Lei de Newton F ma haverá a aceleração centrípeta devido a velocidade de rotação ω da barra Quando se estuda a aceleração em mecanismos é necessário conhecer os termos de velocidade Como as acelerações normais dependem das velocidades isso significa que a direção e sentido dos vetores aceleração normal são conhecidos porém com relação aos vetores aceleração tangencial somente a direção é conhecida ou seja é perpendicular à barra em questão mas o sentido é desconhecido pois depende do sentido da aceleração angular a qual obviamente é desconhecida Representando os vetores no mecanismo bielamanivela e considerando α2 0 A aAn aBAt ω2 aBAn B O2 1 aB Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 63 A magnitude dos vetores componentes pode ser determinada aAn ω2VA ω22AO2 conhecido aAt α2AO2 supondo α2 0 aAt 0 aBAn ω3VBA ω32BA conhecido aBAt α3BA desconhecido aB translação somente desconhecido O polígono de acelerações pode ser construído obedecendo a equação 54 O ponto B é encontrado através do cruzamento entre a linha que contém o vetor aceleração tangencial de BA aBAt e a linha que contém a aceleração de B aB Tanto o vetor aB quanto o vetor aAn o qual é o próprio vetor aceleração de A aA são chamados vetores aceleração absolutos pois exprimem a aceleração dos pontos relacionados e têm como origem o polo de aceleração OA O vetor aBA é chamado vetor aceleração relativa pois não tem o polo como origem dado que a barra 3 AB não gira em torno da articulação fixa O2 Uma vez que o polígono de acelerações foi construído em escala usando as grandezas das acelerações conhecidas a aceleração angular da barra 3 AB é determinada fazendo BA aBAt α3 O sentido de α3 é dado pela regra da mão direita sendo que a origem do vetor aBAt está localizada em A aBA aB B aAn AO2 A aBAn BA aBAt BA OA Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 64 523 Método da Notação Complexa Mecanismo de Quatro Barras As expressões para a determinação das acelerações derivam das expressões de velocidade portanto para o melhor entendimento seqüencial na obtenção das expressões de aceleração estamos repetindo as expressões de velocidades já encontrada no item 4 Utilizando a notação complexa a equação que representa a cadeia cinemática formada pelos vetores R1 R2 R3 e R4 é dada por r1eiθ1 r2eiθ2 r3eiθ3 r4eiθ4 0 Os termos r1 r2 r3 r4 e θ1 não variam no tempo derivando a expressão acima em relação ao tempo 0 4 4 4 3 3 3 2 2 2 θ θ θ θ θ θ i i i dt e r i d dt e r i d dt e r i d eq55 Sendo que 2 2 ω θ dt d 3 3 ω θ dt d 4 4 ω θ dt d A equação 55 acima fica reescrita 0 4 4 4 3 3 3 2 2 2 θ θ θ ω ω ω i i i e r i e r i e r i eq 56 ω2 O4 B A O2 Rd rd R4 r4 R3 r3 R2 r2 R1 r1 β α θd θ4 θ3 θ2 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 65 As expressões para ω3 e ω4 já descritas no tópico 444 podem ser reescritas abaixo ω3 3 4 3 4 2 2 2 θ θ θ θ ω r sen sen r ω4 3 4 4 3 2 2 2 θ θ θ θ ω r sen sen r Os ângulos θ3 θ4 θd e a grandeza rd foram obtidos na análise de posição tópico 3321 θ3 arcos 3 2 4 2 3 2 2 r r r r r d d θd θ4 arcos 4 2 3 2 4 2 2 r r r r r d d θd θd arcsen 2 2 r senθ r d rd2 r12 r22 2r1r2cosθ2 Para a determinação das acelerações angulares é necessário derivar a expressão 56 acima sendo 2 2 α ω dt d 3 3 α ω dt d 4 4 α ω dt d A equação 56 acima fica reescrita r2i2ω22eiθ2 r3iα3eiθ3 r3i2ω32eiθ3 r4iα4eiθ4 r4i2ω42eiθ4 0 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 66 Atendendo ao fato de que a manivela gira com velocidade angular constante α2 é zero e o ângulo θ2 é igual a ω2t Aplicando Euler os termos da expressão acima ficam r2i2ω22eiθ2 r2i2ω22cosθ2 isenθ2 r3iα3eiθ3 r3iα3cosθ3 isenθ3 r3i2ω32eiθ3 r3i2ω32cosθ3 isenθ3 r4iα4eiθ4 r4iα4cosθ4 isenθ4 r4i2ω42eiθ4 r4i2ω42cosθ4 isenθ4 Separando as partes real e imaginária obtemos o sistema de equações lineares r2ω22cosθ2 r3α3cosθ3 r3ω32cosθ3 r4α4cosθ4 r4ω42cosθ4 0 r2ω22senθ2 r3α3senθ3 r3ω32senθ3 r4α4senθ4 r4ω42senθ4 0 As incógnitas do sistema de equações são α3 e α4 Resolvendo pela Regra de Cramer resulta cos cos 3 4 3 2 4 4 4 3 2 3 3 4 2 2 2 2 3 θ θ ω θ θ ω θ θ ω α r sen r r r cos cos 3 4 4 2 3 3 4 3 2 4 4 3 2 2 2 2 4 θ θ ω θ θ ω θ θ ω α r sen r r r Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 67 524 Método do Polígono de Acelerações Mecanismo de Quatro Barras Considere o mecanismo de quatro barras e pretendese determinar as acelerações nas articulações A e B no ponto C e as acelerações angulares das barras 3 e 4 Tal como visto na determinação das velocidades pretendese expressar um polígono de vetores aceleração a fim de resolver a soma estabelecida na equação de aceleração relativa aB aA aBA Para resolver esta soma de vetores partese sempre de uma aceleração conhecida a qual será a aceleração da articulação A expressa na barra 2 manivela pois esta é a barra motora Pressupõese normalmente que o mecanismo esteja trabalhando em regime ou seja a velocidade angular da manivela é constante fazendo com que sua aceleração angular seja zero definindo assim a aceleração da articulação A em relação à articulação fixa O2 Devese notar que as barras 2 3 e 4 descrevem movimentos de rotação sendo que a barra 2 gira em torno da articulação fixa O2 a barra 3 descreve movimentos de translação e rotação girando em torno de A e a barra 4 descreve movimento de rotação girando em torno da articulação fixa O4 Devido a esses movimentos as três barras possuem velocidades angulares conhecidas o que torna possível determinar as suas acelerações normais Os vetores que expressam as acelerações normais são totalmente conhecidos em suas direções e sentidos e os vetores que expressam as acelerações tangenciais serão perpendiculares aos normais sendo conhecidos somente suas direções mas não os sentidos Podemos expressar os vetores no mecanismo abaixo aBAt aBAn B ω3 C aBn aBt A ω2 aAn ω4 O2 1 O4 Retornando a equação de aceleração relativa aB aA aBA Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 68 A magnitude de cada um desses vetores pode ser encontrada como se segue dado que se conhece o comprimento das barras e as velocidades lineares e angulares aBn ω4VB ou ω42BO4 aBt α4BO4 incógnita aAn ω2VA ou ω22AO2 aAt α2AO2 conhecido aBAn ω4VBA ou ω42BA aBAt α4BA incógnita Ao montarmos o polígono de acelerações traçamos o vetor aceleração que define a aceleração da articulação A Em sua origem definese o polo de acelerações OA O polo de acelerações é o ponto de onde partem os vetores aceleração normal de A e de B pois as barras 2 e 4 giram em torno das articulações fixas O2 e O4 Na extremidade do vetor aceleração normal de B traçase uma reta perpendicular na qual estará contido o vetor aceleração tangencial de B Na extremidade do vetor aceleração normal de A ou do vetor aceleração de A traçase um vetor paralelo à barra BA vetor aceleração normal de BA Na extremidade deste vetor traçase uma reta perpendicular na qual estará contido o vetor aceleração tangencial de BA a qual irá necessariamente se cruzar com a reta perpendicular onde estará contido o vetor aceleração tangencial de B No cruzamento destas duas retas será localizado o ponto B e sua aceleração será um vetor que tem como origem o polo e extremidade em B Considerando que α2 seja zero e as velocidades conhecidas O polígono de acelerações seria representado Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 69 Tanto o polígono de velocidades quanto o polígono de acelerações são construídos adotando escalas de grandezas métricas representando a magnitude dos vetores em questão portanto as medidas dos vetores aceleração tangencial nos dará suas magnitudes e dessa forma determinamos as acelerações angulares α3 BA aBAt α4 BO4 aB t O ponto C está localizado na barra AB A razão entre CA e BA nos dará um valor proporcional o qual representará o mesmo valor entre as acelerações de CA aCA e de BA aBA Ao determinarmos aCA localizamos o ponto C sobre o vetor aBA e o vetor aC será representado do polo ao ponto C aC C aBA aB aBAn A OA aBn aBt aAn aA B aBAt Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 70 Determinar as velocidades e acelerações em A B G3 e G4 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 71 53 Aceleração de um Ponto no Sistema Móvel Aceleração de Coriolis Em nosso estudo sobre velocidade e aceleração em mecanismos vistos até agora considerou dois pontos A e B sendo que o ponto A articulação descreve uma translação curvilínea devido ao movimento de rotação da barra 2 manivela e o ponto B articulação descreve um movimento em torno de A devido ao comportamento de translação e rotação da barra 3 acoplador chamado de movimento plano geral Com isso escrevemos as equações de velocidade e aceleração relativas Considerando agora uma barra BO girando em torno de O com velocidade angular constante ω e que entre as posições 1 e 2 uma corrediça P desliza radialmente para fora com velocidade V constante ao longo da barra BO No instante t t1 a corrediça P está na posição A com velocidade V No instante t Δt t2 a corrediça P está na posição A com velocidade V V V constante Em função da rotação da barra e do deslocamento da corrediça entre as posições AA com velocidade V surge uma aceleração chamada de aceleração de Coriolis que é uma componente da aceleração da corrediça associada com a mudança do raio de rotação AO e AO Considere as figuras abaixo e chamando de r a distancia AO e Δr r a distância AO Δr é o incremento de grandeza do raio entre as posições AA enquanto a barra sofre deslocamento angular Δθ girando com velocidade angular ω Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 72 A variação da velocidade VA entre as posições 1 e 2 pode ser expressa pelos vetores A velocidade no instante t1 t pode ser decomposta em seus componentes V e VA A velocidade no instante t2 t Δt pode ser decomposta em seus componentes Ve VA A variação da velocidade da corrediça durante o intervalo de tempo Δt pode ser representado pela soma dos três vetores RR TT e TT O vetor TT mede a variação na direção da velocidade VA portanto a aceleração de A quando Δt tende a zero fica 0 lim t t TT 0 lim t t VA θ VAω ωωr ω2r aAn V A A V Δθ VA ωr O B r A V an ω2r ω ω t1 t Δr r VA ωr VAωrΔr A t2 t Δt O VA T VA V R Δθ Δθ R V T T Posição 1 t t1 Posição 2 t2 t Δt Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 73 O vetor RR mede a variação na direção de V devido a rotação da barra O vetor TT mede a variação da intensidade de VA decorrente do movimento da corrediça na barra Ambos os vetores RR e TT resultam do efeito combinado da velocidade relativa da corrediça e da rotação da barra Eles desapareceriam se qualquer um desses dois movimentos cessasse A soma desses dois vetores define a aceleração de Coriolis Quando Δt tende a zero teremos 0 lim t t T T t RR 0 lim t t r t V ω θ Vω ωV 2ωV Podemos escrever acor 2ωV Considere o braço articulado e girando em torno de O2 e o bloco deslizando radialmente para fora VP desl VP VP transmissão VP deslizamento VP VP desl P α VP trans ω ω 2ωVP desl AP cor O2 AP AP desl AP cor APt P AP desl APn AP cor α APn AP APt ω O2 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 74 Para demonstrarmos novamente esta aceleração considere o mecanismo de retorno rápido A barra 2 é a motora com velocidade angular ω2 constante articulada na corrediça P peça 3 a qual desliza ao longo da barra 4 enquanto a barra 2 descreve movimento de rotação em torno de O2 De mesma forma devido a ação da corrediça a peça 4 descreve movimento de rotação em torno da articulação 4 São conhecidos PO2 P2O2 PO4 P4O2 O2O4 ω2 α2 0 3 P2 P4 4 2 ω2 O2 O4 O polígono de velocidades pode ser traçado VP2 ω2P2O2 conhecido VP2 P2O2 representa a velocidade da corrediça em relação a O2 É traçado uma reta perpendicular à barra 4 a partir do polo OV Na extremidade de VP2 é traçado uma reta paralela à barra 4 Haverá um cruzamento entre essas duas retas definindo o vetor VP4 VP4 P4O4 que representa a velocidade da corrediça em relação a O4 e o vetor VP2P4 paralelo à barra 4 que representa a velocidade da corrediça articulada na barra 2 deslizando na barra 4 ω4 pode ser determinada fazendo ω4 4 4 4 P O VP OV VP2 VP4 VP2P4 VP2P4 VP desl 2VP2P4ω4 ω4 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 75 A equação de acelerações pode ser escrita AP2 AP4 AP2P4 2VP2P4ω4 AP2n ω22 P2O2 Conhecidos módulo e direção AP2t 0 AP4n ω42 P4O4 Conhecidos módulo e direção AP4t α4 P4O4 Conhecido a direção AP2P4n 0 pois AP2P4n R V P P 2 4 2 sendo R o raio de curvatura da trajetória de P4 na barra 4 infinito 2VP2P4ω4 conhecidos módulo e direção Ap2P4t conhecido a direção As acelerações podem ser determinadas através do polígono de acelerações AP2n AP4n 2VP2P4ω4 AP2P4t AP4t Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 76 Determinar a velocidade e aceleração de C peça 6 do mecanismo Limadora Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 77 6 ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA EM MECANISMOS ARTICULADOS 61 Análise Estática Uma força representa a ação de um corpo sobre outro É caracterizada por seu ponto de aplicação intensidade direção e sentido sendo portanto uma quantidade vetorial Supondo condição estática F 0 F1 e F2 têm a mesma intensidade mesma direção porém os sentidos são opostos F1 F2 Binário duas forças iguais e opostas agindo ao longo de duas retas paralelas e não coincidentes em um corpo não podem ser combinadas para se obter uma resultante Essas duas forças constituem um binário Braço do binário R É a distância perpendicular entre as linhas de ação Momento do binário T É outro vetor dirigido ao plano que o contém e o sentido é dado pela regra da mão direita F1 F2 F2 F2 R T RxF F F Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 78 611 Momento do Binário Considerando duas forças iguais e de sentidos opostos localizadas pelos vetores posição R1 e R2 em relação ao centro de referência O Da figura temos R2 R1 R21 R21 R2 R1 O momento do binário é a soma dos momentos produzidos por cada força T R1 x F1 R2 x R2 mas F1 F2 sentidos opostos T R1 x F1 R2 x F2 T R2 R1 x F2 T R21 x F2 análise vetorial A magnitude do momento também pode ser obtida fazendo R21 R21n R21t T R21n R21t x F2 T R21n x F2 R21t x F2 mas R1 X Y Z F1 F2 R2 R21 θ R21n X Y Z F1 F2 R21t R21 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 79 R21n é perpendicular à linha de ação de F2 T R21n x F2 R21t é paralela à linha de ação de F2 T R21t x F2 0 Expressando as magnitudes R21n R21 senθ T R21 senθ F2 Chamando R21 senθ h T hF2 h reta perpendicular à linha de ação da força Um corpo está em equilíbrio estático se A soma vetorial de todas as forças que agem sobre ele é zero A soma dos momentos de todas as forças em torno de um eixo que passa pelo corpo é zero Exemplo de fixação Determinar o torque aplicado na barra pela força F Determinação analítica T hF sah h é a distância perpendicular da linha de ação da força até a articulação h é uma grandeza medida θ h α F A O X Y Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 80 Determinação vetorial T AO x F AO AOθ AO cosθ i AO senθ j F Fα F cosα i F senα j 612 Forças e Torques Estáticos em Mecanismo Articulado Para calcular as forças e torques em qualquer mecanismo é necessário isolar cada peça deste mecanismo considerandoa como um corpo livre e aplicar as condições de equilíbrio A força FC está aplicada na barra 4 Determinar as forças que surgem em O2 e O4 assim como o torque a ser aplicado na barra 2 T2 para manter o mecanismo em equilíbrio estático B F34 F43 3 A F32 4 h C F23 T2 h FO4 h FC FO2 O2 1 O4 Na figura representando o mecanismo as forças e o momento T2 estão expressos porém para determinalos é necessário é necessário analisarmos a condição de equilíbrio estático de cada barra Partese inicialmente da barra onde a força conhecida está aplicada que é a barra 4 Ao ser aplicada a força FC surgirão nas articulações B e O4 as forças de reação F34 e FO4 Com relação à força F34 conhecese sua direção paralela à barra 4 e sentido da esquerda para a direita tendo como incógnita a intensidade A força F43 é a componente da força FC agindo na articulação B Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 81 Desconhecese todas as informações sobre a força FO4 pois é uma força aplicada no ponto articulação A magnitude de F34 é determinada através da somatória dos momentos em relação a O2 A condição de equilíbrio estático aplicado à barra 4 indica que a somatória das forças que atuam nela seja igual a zero e que a somatória dos momentos causados pelas forças que atuam nela em relação a articulação O4 também seja igual a zero F4 0 FC F34 FO4 0 T2 0 FCh F34h 0 As grandezas h e h são medidas tomadas por retas perpendiculares às linhas de ação das forças em questão A partir dessas medidas determinase F34 34 h F h F Uma vez determinado F34 a força FO4 é determinada através da somatória de forças A força FO4 é representada pelo vetor que fecha o polígono A grandeza do vetor na sua respectiva escala e sua inclinação definem a força Uma vez definida F34 é necessário elaborar a condição de equilíbrio estático da barra 3 F3 0 F34 F32 0 Como as forças são iguais e opostas a intensidade de F32 é igual à de F34 já determinada A força F32 atuando na articulação A promove a reação na articulação O2 dada pela força FO2 Essas duas forças constituem um binário atuando na barra 2 O momento aplicado na barra 2 que mantém o mecanismo em equilíbrio é o momento com sentido oposto ao causado pela força FO2 T2 0 F32 h T2 0 F34 F FO4 Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 82 A grandeza h é a medida tomada perpendicular entre a linha de ação da força F32 e a articulação O2 T2 F32 h sh Determinar o torque T2 necessário para manter o mecanismo em equilíbrio estático AO2 20cm AB 60 cm CA 20cm Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 83 Determinar o torque T2 necessário para manter o mecanismo em equilíbrio estático e as forças em O2 e O4 O2O4 04m AO2020m AB065m BO4050m CO4030m Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 84 Determinar T2 para manter o mecanismo em equilíbrio estático e as forças em O2 e O4 O2O406m AO2035m AB10m BO408m CO404m DA05m Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 85 Determinar T2 para manter o mecanismo em equilíbrio estático e FO2 e FO4 O2O4045m AB020m AO4055m AO2015m BC020m Mecanismos Elementos de Cinemática e Dinâmica de Mecanismos Prof Dr Newton Landi Grillo Escola de Engenharia 86 Considerando o torque T2 aplicado determinar a força FC necessária para manter o mecanismo em equilíbrio estático O2O4 047m AO2025m AB070m BO4050m AC050m CB025m T22500 Nm