Aula 08: Juros Compostos em Matemática Financeira

Juros Compostos Matemática Financeira Prof Felipe Augusto Tasca Aula 08 1 28 Juros Compostos 1 Juros Compostos 2 28 Juros Compostos Antes de começarmos a estudar juros compostos a título de comparação faremos uma pequena revisão do regime de ca pitalização simples Nas aulas anteriores vimos que os juros simples apresentam as seguintes características 1 São calculados sobre o capital inicial 2 São diretamente proporcionais ao prazo ao capital aplicado e à taxa de juros da aplicação J C i n 3 São adicionados ao capital inicial no final do prazo formando o montante M C J M C1 i n 3 28 Juros Compostos Juros Compostos No regime de juros compostos os juros são capitalizados não no final do prazo e sim no final de cada período ou seja o juro do primeiro período é adicionado ao capital inicial e sobre esse montante é calculado o juro do segundo período que por sua vez será adicionado ao montante anterior para que se calcule o juro do período seguinte e assim sucessivamente 4 28 Juros Compostos Exemplo 1 Você aplicou R50000 em uma instituição financeira a uma taxa de juros de 2 am capitalizados mensalmente durante 3 meses Qual será o montante no final desse prazo 5 28 Juros Compostos Resolução Primeiramente note que o capital é C 500 a taxa de juros i 0 02 am e o prazo total é de 3 meses com capitalização mensal Isso significa que no final do primeiro mês temos que o montante é dado por M1 C1 i 1 5001 0 02 500 1 02 510 Já no final do segundo mês o montante será dado por M2 M11 i 1 5101 0 02 510 1 02 520 20 Da mesma forma segue que o montante no final do terceiro mês será dado por M3 M21i1 520 2010 02 520 201 02 530 60 6 28 R 50000 R 51000 R 52020 R 53060 0 1 2 3 Juros Compostos No regime de juros compostos ao final de cada período os juros são capitalizados e o montante constituído passa a render juros no período seguinte e assim por diante Dizse que os juros são capitalizados variando exponencialmente em função do tempo Para entendermos como calcularmos o valor do juros compos tos vamos supor a aplicação de um capital C durante n perío dos a uma taxa de juros compostos i ao período Calculemos o montante Mn no final dos n períodos utilizando o mesmo pro cesso do exemplo anterior ou seja período a período 8 28 Juros Compostos M1 C1 i M2 M11 i C1 i 1 i C1 i2 M3 M21 i C1 i2 1 i C1 i3 Mn C1 in 9 28 Juros Compostos Portanto a fórmula do montante para um prazo total n será dado por Mn C1 in O fator 1 in é chamado de fator de acumulação de capital ou ainda fator de capitalização composta Observação Como vimos nas aulas passadas ele guarda alguma seme lhança com o fator de capitalização simples dado pela expres são 1i n Tanto no regime de juros simples como no regime de juros compostos o montante é dado pelo produto do capital pelo respectivo fator de acumulação 10 28 Juros Compostos De acordo com a fórmula geral do montante a fórmula dos ju ros compostos acumulados ao final de um prazo n é obtida con forme segue abaixo M J C J M C J C1 in C J C1 in 1 Então concluímos que a fórmula dos juros compostos ao final do nenésimo período será dado por Jn C1 in 1 11 28 Juros Compostos Atenção Para os cálculos daqui em diante precisamos ser mais precisos com erros menores a fim de conseguir analisar e comparar isto é vamos considerar os cálculos com 4 casas decimais Apenas nas respostas finais podemos arrendondar para 2 casas decimais 12 28 Juros Compostos Uma dúvida conveniente neste momento e bastante frequente quando iniciamos os estudos de matemática financeira é Como saber se um problema é de juros simples ou juros compostos 13 28 Juros Compostos Bem existem determinadas expressões que indicam o regime de capitalização a ser trabalhada tais como Juros simples compostos Fator de capitalização simples composta Montante simples composto Taxa de juros simples composta Mas a principal diferença entre o regime simples e o composto entretanto é que em juros compostos é necessário que saiba mos através do enunciado do problema o período das capi talizações Se não houver nenhuma indicação de como a taxa deva ser capitalizada ou nenhuma referência a regime com posto presumimos que o regime de capitalização seja simples 14 28 Juros Compostos Atenção Se não houver nenhuma indicação de como a taxa de juros compostos deva ser capitalizada presumimos que ela é capi talizada de acordo com a unidade da taxa mencionada Por exemplo se uma taxa de juros compostos mencionar apenas 12 aa presumimos que a capitalização será anual 15 28 Juros Compostos Observação Em juros simples podíamos escolher o período de capitalização que nos conviesse o mais simples para calcular Por exemplo se a taxa fosse de 24 aa e o prazo de 18 meses poderíamos transformar a taxa para mensal 2 am e usar o prazo em meses ou transformar prazo em anos 15 anos e utilizar a taxa anual Em juros compostos não podemos fazer isso pois o problema dirá como devemos capitalizar a taxa ou seja se os períodos serão mensais anuais etc Sendo assim se o período das capitalizações não coincidir com o da taxa devemos calcular a taxa para o período dado pela capitalização utilizando o conceito de taxas proporcionais 16 28 Juros Compostos Exemplo 2 1 Dada uma taxa de 12 aa capitalizada mensalmente devemos transformála em uma taxa igual a 1 am 2 Dada uma taxa de 7 am capitalizada semestralmente devemos transformála em uma taxa igual a 42 as 3 Dada uma taxa de 15 as capitalizada trimestralmente devemos transformála em uma taxa igual a 75 at 17 28 Juros Compostos Exemplo 3 Se uma pessoa deseja obter R3200000 dentro de um ano e meio quanto deverá depositar hoje em uma alternativa de poupança que rende 14 am de juros compostos 18 28 Juros Compostos Resolução Note que a taxa de juros i 0 014 am com capitalização mensal e o período total é de n 18 meses 1 ano e meio Além disso o montante após esse período é de M18 32000 O que queremos é o capital o qual será necessário depositar Para isso calcularemos através da fórmula de juros compostos da seguinte forma M18 C1 i18 32000 C1 0 01418 32000 C1 01418 32000 C 1 2843 C 24916 30 19 28 Juros Compostos Exemplo 4 Calcular os juros de um capital de R800000 aplicado a uma taxa de 16 aa com capitalização semestral durante 5 anos e 6 meses 20 28 Juros Compostos Resolução Primeiramente observe que se trata de juros compostos visto que existe uma capitalização semestral em jogo Sendo assim é necessário transformar a taxa anual em semestral e expres sar o prazo em semestres Portanto note que a taxa de 16 aa é proporcional a 8 as isto é i 0 08 as e o prazo se estabelece em 11 semestres Segue através da fórmula de juros compostos que J11 C1 i11 1 80001 0 0811 1 80001 0811 1 8000 1 3316 10653 11 21 28 Juros Compostos Exemplo 5 Uma aplicação de R400000 aplicado em uma certa data pro duz a taxa de juros composta de 2 aa um montante de 5654 25 em certa data futura Calcular o prazo aproximado da operação 22 28 Juros Compostos Resolução Note que C 4000 Mn 5654 25 i 0 02 aa Portanto para descobrirmos o prazo em anos basta utilizarmos a fórmula dos juros compostos Mn C1 in 5654 25 40001 0 02n 1 4135 1 02n Aplicando ln dos dois lados ln1 4135 ln1 02n ln1 4135 n ln1 02 n ln1 4135 ln1 02 n 17 47 Ou seja o prazo é de aproximadamente 17 anos ou mais precisamente 17 anos 5 meses e 19 dias 23 28 Juros Compostos Exemplo 6 Determine a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R20000 que produz um montante de R24750 ao final de um semestre 24 28 Resolução Note que C 20000 M₆ 24750 e o prazo total é de n 6 meses Sendo assim segue que M₆ C1 i⁶ 24750 200001 i⁶ 12375 1 i⁶ 12375 ⁶1 i⁶ 12375 1 i 10361 1 i i 00361 Isto é a taxa é de aproximadamente 361 am Juros Compostos Exemplo 7 Dois investidores aplicaram R10000 cada para resgatar em 6 meses Ambos aplicaram a uma taxa de juros de 10 ao ano O primeiro investidor aplicou no regime de juros simples o segundo no regime de juros compostos Em sua opinião qual das duas aplicações rendeu mais no período 26 28 Jurus Compostos Mont Simples Mont Composto Juros Compostos Resolução Basta calcularmos os montantes para as taxas de juros simples e compostos com o prazo de n 0 5 anos 6 meses Logo segue que Msimples C1 i n 100001 0 1 0 5 10500 Mcomposto C1 in 100001 0 105 10488 09 Portanto até 1 ano o rendimento a juros simples é mais van tajoso Após esse prazo o juros compostos passa a ser mais rentável 28 28