Descontos Compostos - Aula 12

Descontos Compostos Matemática Financeira Prof Felipe Augusto Tasca Aula 12 1 29 Descontos Compostos 1 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr 2 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Antes de começarmos a estudar descontos compostos a título de comparação faremos uma pequena revisão do regime de ju ros simples Nas aulas anteriores vimos os conceitos de des conto D valor nominal N valor descontado VD e apresen tamos as definições de desconto simples racional e comercial Em resumo os conceitos vistos até então são calculados da se guinte maneira Relação entre D N e VD D N VD N VD D Desconto simples racional Dr VDr ir n ou Dr N ir n 1 ir n 3 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Desconto simples comercial Dc N ic n Relação entre Dc e Dr sobre mesmo Ni e n Dc Dr Dr i n Taxa efetiva de desconto Desconto racionalif ir Desconto comercialif ic 1 ic n 4 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Observação Os conceitos de descontos compostos são os mesmos em com paração com os descontos simples vistos até então porém a principal diferença é na forma de como calculamos 5 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Descontos Compostos Recordando o desconto de um título é a diferença entre o va lor nominal e o valor descontado O valor descontado de um título é seu valor atual na data do desconto sendo determinado portanto como a diferença entre o valor nominal e o desconto propriamente dito Em resumo D N VD N VD D 6 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Visto que o valor nominal o qual é valor do título na data do seu vencimento designa o montante e o valor descontado o qual é o valor do título em uma data que antecede o seu vencimento designa o capital então o valor nominal em n períodos pode ser visto como N VD1 in 7 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Da mesma maneira que no regime simples as operações de desconto compostos podem ser realizadas de duas formas 1 Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr 2 Desconto Composto Comercial ou por Fora Dc 8 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr No desconto por dentro a taxa de desconto age sobre o valor descontado conduzindo a fórmulas bastante similares às fórmu las de juros compostos O desconto racional composto é obtido através do cálculo Dr VDr1 irn 1 em que denotase desconto racional por Dr o valor de descon tado racional por VDr taxa de desconto racional ir e período n 9 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Observação Note que a fórmula é exatamente igual a fórmula dos juros com postos se substituir o Dr por J e VDr por C Portanto no des conto racional o desconto assume o papel do juro e o valor descontado assume o papel do capital 10 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro D A equacao universal do desconto e suas variagdes estabele cem uma relagao entre o valor nominal o valor descontado e o desconto Como no desconto racional a taxa de desconto age sobre o valor descontado podemos calculalo agindo sobre o valor nominal isto 6é segue de maneira alternativa que o des conto composto racional pode ser calculado como DN1 i 1 ir 1129 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro D Como assim Vamos explicar Observe que N VD D e sabemos que N VD1 i Logo segue que N VDD N N D r r 1 4 ir r N D N 1 ir 1 DN1 1 im 14 i 1 ou D N 1 ir 1229 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Exemplo 1 Calcular o desconto por dentro no regime composto de um título de valor nominal R320000 descontado 3 meses antes de seu vencimento à taxa de 15 am 13 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro D Os dados do problema sao N 3200 i 0015am en3 meses Sendo assim segue que o desconto por dentro sera de D N1 D 3200 1 1 i 1 00153 1 D 3200 1 0 9563 D 3200 004368 D 13978 Portanto o desconto aplicado foi de R139 78 1429 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Exemplo 2 Sabese que um título para ser pago daqui a 12 meses foi des contado 5 meses antes do seu vencimento O valor nominal do título é de R3260000 e a taxa de desconto por dentro foi de 25 am Calcule o valor líquido liberado nesta operação 15 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Resolução Os dados do problema são N 32600 ir 0 025 am e n 5 meses O que queremos é o valor líquido liberado isto é o valor descontado racional desta operação Sendo assim utilizaremos a seguinte fórmula N VDr1 irn VDr N 1 irn VDr 32600 1 0 0255 VDr 32600 1 0255 VDr 32600 1 1314 VDr 28813 86 Portanto o valor descontado será de R2881386 16 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Exemplo 3 Uma empresa tomou um empréstimo que deve ser pago 1 ano após em um único pagamento de R18000 00 à taxa de 4 5 ao mêsCinco meses após ter feito o empréstimo a empresa já tem condições de resgatar o título Se a empresa tiver um desconto racional composto calculado a uma taxa equivalente à taxa de juros cobrada na operação do empréstimo qual será o valor líquido a ser pago pela empresa Valor nominal N 18000 00 Taxa mensal i 4 5am 0 045 Número de períodos para o desconto n 12 5 7 meses 17 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Resolução Valor nominal N 18000 00 Taxa mensal i 4 5am 0 045 Número de períodos para o desconto n 12 5 7 meses N VDr1 irn VDr N 1 irn VDr 18000 1 0 0457 VDr 18000 1 0457 VDr 18000 1 3609 VDr 13226 91 Portanto o valor descontado será de R13813 86 18 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Exemplo 4 Um título no valor nominal de R60000 foi descontado 5 me ses antes de seu vencimento e o desconto racional obtido foi de R5763 Qual é a taxa de desconto deste utilizada na ante cipação desse título 19 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro D Valor nominal N 600 00 Numero de periodos para o desconto n 5 meses Desconto composto racionalD R5763 1 D 1 D N1 1 i Ti NO i 5 1 4 Dr 1 1 9768 1i3 N 7 1i3 600 1 600 5763 1 542 37 1 i8 600 1 i8 600 600 600 7 3 3 oO TIN Sap 37 2 TT Bap 37 600 600 a 423 Ir 542 37 11 54237 0 03423 Portanto a taxa de desconto aplicada foi de 342am 2029 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr E se houver taxas nominais e não taxas efetivas nos problemas Adequamos as unidades das taxas e dos prazos de acordo com a capitalização efetuada Também pode ser utilizada as taxas equivalentes para as resoluções 21 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Exemplo 5 Um título no valor de R240000 foi descontado à taxa de 60 aa com capitalização mensal Sabendo que o prazo de anteci pação foi de cinco meses calcule o desconto composto racional desta operação 22 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro D Primeiramente precisamos adequar as unidades da taxa e do prazo de acordo com sua capitalizacao Segue que 60 aa corresponde a 5 am Sendo assim os dados do problema que vamos utilizar sao N 2400 005am en5 meses O que queremos é o desconto de fato Sendo assim segue que o desconto por dentro é dado por DpN1 D 2400 1 1 i a 1 0 05 1 D 24 1 D 24001 a5 D 2400 1 0 7835 D 2400 02165 D 51960 Portanto o desconto dado foi de R51960 2329 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Exemplo 6 Calcule a taxa anual de desconto composto racional se um tí tulo de R80000 foi resgatado a seis meses de seu vencimento pelo valor de R40000 24 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Resolução Os dados do problema são N 800 VDr 400 e n 6 meses O que queremos é a taxa anual de desconto Para isso vamos calcular a taxa mensal de desconto de acordo com a fórmula N VDr1 irn 800 4001 ir6 2 1 ir6 6 2 1 ir 1 1225 1 ir ir 0 1225 Assim ir 12 25 am 25 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Resolução Para calcularmos a taxa anual basta utilizarmos os conceitos de taxas equivalentes Segue então que ianual 1 imensaln 1 1 0 122512 1 3 0016 Ou seja ir 300 16 aa 26 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro D Alternativamente ao invés de calcularmos a taxa mensal po demos utilizar o prazo de meio ano n 12 e calcularmos diretamente Assim seguira da seguinte maneira N VD1 ir 800 4001 i 2 V i Ir 3 Assim i 30000 aa 2729 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Observação Observe que apesar do erro ser pequeno as taxas são aproxi madamente iguais Mas por que existiu esta diferença Note que a segunda resolução não houve aproximações diferente mente da primeira resolução onde consideramos em muitos cál culos apenas 4 casas decimais 28 29 Descontos Compostos Desconto Composto Racional ou por Dentro Dr Atenção No desconto racional tanto a divisão 1 1 irn quanto as raízes nésimas que calcularmos gerará muitos erros de casas deci mais Então não se assuste se ocorrer diferenças pequenas nas respostas finais 29 29