Taxas Equivalentes em Matemática Financeira - Aula 10

Taxas Equivalentes Matemática Financeira Prof Felipe Augusto Tasca Aula 10 1 20 Taxas Equivalentes 1 Taxas Equivalentes 2 20 Taxas Equivalentes Taxas Equivalentes Recordando duas taxas são ditas equivalentes quando referi das a períodos distantes e aplicadas sobre o mesmo capital no mesmo prazo produzem montantes iguais Observação Fazendo um comparativo com os juros simples lembre que as taxas equivalentes são também proporcionais Por exemplo a juros simples tanto faz eu aplicar R10000 durante 1 ano à taxa de 2 ao mês ou aplicar à taxa de 24 ao ano pois as duas são proporcionais No entanto no regime de juros com postos as taxas equivalentes não são necessariamente propor cionais 3 20 Taxas Equivalentes Exemplo 1 Considere um indivíduo que aplicou R10000 durante 1 ano a uma taxa de 2 am com capitalização mensal Vamos calcu lar o montante produzido no final do prazo 4 20 Taxas Equivalentes Resolução Perceba que o capital é C 100 a taxa de juros é i 0 02 am e n 12 meses 1 ano com capitalização mensal Portanto o montante a juros compostos se dá por M C1 in 1001 0 0212 1001 0212 100 1 2682 126 82 Observação Perceba que o capital de R10000 passou para um montante de R12682 Portanto houve um aumento de 2682 5 20 Taxas Equivalentes Resolução Se tivéssemos utilizado a taxa aproximada de 2682 aa ca pitalizada anualmente o montante seria de M C1 in 1001 0 26821 1001 2682 126 82 Observação Uma vez que os montantes são iguais podemos concluir que a taxa de 2 ao mês é equivalente em juros compostos à taxa de aproximadamente 2682 ao ano Observe que as taxas equivalentes possuem capitalizações diferentes 6 20 Taxas Equivalentes Observação Importante observarmos que 1 0 0212 1 0 26821 Isto nos diz que duas taxas são equivalentes quando os seus fatores de capitalização forem iguais ao mesmo prazo Observação Voltando ao Exemplo 1 observe que para a taxa de juros com posta de 2 am capitalizada mensalmente é equivalente a 2682 aa capitalidada anualmente porém é proporcional a 24 aa capitalizada mensalmente Muito cuidado com essas diferenças 7 20 Taxas Equivalentes Observação Juros Simples Taxas equivalentes Taxas proporcionais Juros Compostos Capitalizações diferentes Taxas equivalentes Capitalizações iguais Taxas proporcionais 8 20 Taxas Equivalentes Sendo assim denotando a taxa equivalente por ieq o cálculo é dado pelo fórmula ieq 1 i nd nc 1 em que i é a taxa conhecida nc é o período da taxa conhecida e o nd é o período da taxa desconhecida 9 20 Taxas Equivalentes Exemplo 2 Calcular a taxa anual composta equivalente a 4 am Resolução Observe que i 0 04 am o período conhecido é nc 1 mês e o período desconhecido ou desejado é nd 12 meses 1 ano Portanto a taxa equivalente se dá por ieq 1 i nd nc 1 ieq 1 0 04 12 1 1 ieq 1 0412 1 ieq 0 6010 Isto é ieq 60 10 aa 10 20 Taxas Equivalentes De onde vem essa formulaVamos explicar De fato sabemos que duas taxas sao equivalentes quando os seus fatores de capitalizagao forem iguais ao mesmo prazo As sim considere duas taxas e 2 aplicadas sobre 0 mesmo Ca pital durante o mesmo prazo com periodos denotados por n No respectivamente Se i e 2 forem equivalentes teremos que 1h1bP oe VA 4 V1 ie A eth 1i ne Sih 1 Io 1 1120 Taxas Equivalentes Calcular a taxa mensal composta equivalente a 12 aa Observe que i 012 aa 0 periodo conhecido 6 ng 12 meses 1 ano e o periodo desconhecido ou desejado 6 ng 1 més Portanto a taxa equivalente se da por jeg 1 i 1 fog 14012 1 leq 112 1 leq 00094887 Isto 6 leg 094887 am 1220 Taxas Equivalentes Exemplo 4 Calcular a taxa semestral equivalente a 36 aa capitalizada mensalmente Resolução Primeiramente devido a capitalização ser mensal utilizando o conceito de taxa proporcional a taxa de 36 aa corresponde a taxa de 3 am Sendo assim segue que i 0 03 am nc 1 mês e nd 6 meses 1 semestre Portanto ieq 1 i nd nc 1 ieq 1 0 03 6 1 1 ieq 1 036 1 ieq 0 1940 Isto é ieq 19 4 as 13 20 Taxas Equivalentes Para facilitar o nosso entendimento podemos calcular as taxas equivalentes de duas maneiras Deum periodo maior para um menor Imaior 1 imenor 1 em que ncorresponde ao periodo considerado Deum periodo menor para um maior Imenor V 1 imaior 1 em que ncorresponde ao periodo considerado 1420 Taxas Equivalentes Exemplo 5 Suponha que você tem um capital de R140000 e duas taxas de 1160 am e 3899 at aplicados a juros compostos durante três meses Pergunta essas taxas são equivalentes 15 20 Taxas Equivalentes Resolução Sejam i1 0 1160 am e i2 0 3899 at Para sabermos se essas duas taxas são equivalentes basta aplicar o montante so bre o capital de R140000 pelo mesmo prazo correspondente as taxas propostas Sendo assim calculando os montantes temos M1 C1 i1n 14001 0 11603 1945 90 e M2 C1 i2n 14001 0 38991 1945 86 Apesar de haver uma diferença muita pequena podemos con cluir que as taxas acima são equivalentes 16 20 Taxas Equivalentes Resolução Utilizando o que vimos nos slides anteriores podemos verificar se uma taxa é equivalente a outra maneira Por exemplo para saber qual taxa trimestral é equivalente a 1160 am usamos que ieq 1 0 11603 1 0 3899 Ou seja ieq 38 99 at Portanto são equivalentes 17 20 Taxas Equivalentes Exemplo 6 Determinar 1 Taxa anual equivalente a 35 am 2 Taxa semestral equivalente a 6 aa 3 Taxa trimestral equivalente a 12 aa capitalizada mensalmente 18 20 Taxas Equivalentes Qe lanual 1 imensal 1 10035 1 05111 Ou sefa tere 51 5 1 1 aa e lsemestral 1 ianual 2 1 106 1 00295 Ou sefa lecamacizi 2 95 as 1920 Taxas Equivalentes Resolução 3 12 aa é proporcional a 1 am capitalizado mensalmente Assim itrimestral 1 imensal3 1 1 0 013 1 1 013 1 0 0303 Ou seja ianual 3 03 at 20 20