Atividade Adaptativas

ESAMC Regime especial 202401 Prof Diogo Cirulli Parte 01 Matrizes e determinantes 1 Calcule o determinante das matrizes abaixo 2 Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer Parte 02 Geometria analítica 1 Calcule a distância entre os pontos a seguir a 23 e 47 b 45 e 2 4 c 6 8 e 0 0 2 Calcule o ponto médio dos segmentos cujos pontos extremos são a 23 e 47 b 45 e 2 4 c 6 8 e 0 0 3 Calcule o baricentro dos triângulos formados pelos vértices a 11 23 e 47 b 11 45 e 2 4 c 11 6 8 e 0 0 4 Determine a equação reduzida das retas que passam pelos pontos a 0 3 e 45 b 0 2 e 3 8 c 3 1 e 3 10 d 0 5 e 3 5 5 Encontre o ponto de interseção entre as retas a seguir a y 3x 2 e y 5x 1 b y 2x 4 e y 3x 1 c y x 2 e y x 4 6 Determine a equação da reta paralela à reta y 2x 1 que passa pelo ponto médio do segmento AB onde A 1 1 e B 2 3 7 Uma reta que passa pela intersecção das retas 7x 2y 0 e 4x y 1 é perpendicular à reta 3x 8y 19 Determine a equação 8 Encontre a equação reduzida da circunferência com os centros e raios indicados a seguir a C00 e R 1 b C34 e R 5 c C22 e R 2 Parte 03 Vetores 1 Determine a soma dos vetores dados e ilustre geometricamente a 23 34 b 1253 c 1 01 0 01 2 Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores a b e c a a 106 b 238 c 856 b a 2i 3j 2k b i j c 2i 3k 3 Encontre a b 60 a a 25 b 31 b a 2 8 b 6 4 c a 4 7 1 b 2 1 4 d a 1 2 3 b 2 8 6 e a 2i 3j 4k b i 3j k f a i k b i 2j Parte 04 TESTES GERAIS 1 Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e que o determinante de A é 2 calcule o valor do determinante da matriz 3A a 8 b 54 c 27 d 18 e 2 2 Considerando a matriz quadrada A abaixo e detA seu determinante calcule o valor de 5detA a 10 b 140 c 270 d 130 e 35 3 A reta r de equação 6x 8y 48 0 intersecta os eixos coordenados cartesianos nos pontos P e Q Desse modo a distância em uc de P a Q é igual a a 7 b 8 c 10 d 14 e 18 4 A distância entre o centro da circunferência de equação x 2² y 5² 9 e a reta de equação 2y 5x 0 é a 5 b 0 c 2 d 5 e 9 5 A distância entre o ponto P35 e a reta r de equação x 2y 8 0 é igual a a 5 b 3 c 2 d 5 e 3 6 Considere as equações I 2x y 5 0 II 5x 2y 4 0 III 5x 2y 4 0 IV 4x 2y 7 0 Qual das afirmações é verdadeira a II e III representam retas coincidentes b I e III representam retas perpendiculares c II e III representam retas paralelas d I e IV representam retas paralelas e I e III representam retas paralelas 7 Dada a circunferência de equação x² y² 6x 10y 30 0 seja P seu ponto de ordenada máxima A soma das coordenadas de P é a 10 b 105 c 11 d 115 e 1 8 Considere a circunferência C dada pela equação x² y² 4x 5 0 O raio desta circunferência é a 3 b 4 c 5 d 6 e 7 9 Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD Se A 2 3 e C 0 5 a área de ABCD em unidades de área é a 4 b 4 2 c 8 d 8 2 e 16 10 O ponto B 3 b é equidistante dos pontos A 6 0 e C 0 6 Logo o ponto B é a 31 b 36 c 33 d 32 e 30 11 A equação da reta mostrada na figura a seguir é a 3x 4y 12 0 b 3x 4y 12 0 c 4x 3y 12 0 d 4x 3y 12 0 e 4x 3y 12 0 12 As retas x ay 3 0 e 2x y 5 0 são paralelas se a vale a 2 b 05 c 05 d 2 e 8 13 Dados os vetores calcule a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 14 Dados os pontos A2 1 1 B3 0 1 e C2 1 3 determinar o ponto D tal que a D4 1 1 b D4 1 1 c D4 1 1 d D4 1 1 e D011 GEOMETRIA ANALÍTICA Parte 1 Questão 1 a Seja a matriz 3 1 4 2 O determinante dessa matriz é dado por 3 1 4 2 321 46410 Portanto o determinante é 10 b Seja a matriz 1 3 4 5 2 3 1 4 2 O determinante dessa matriz é dado por 1 3 4 5 2 3 1 4 2 4980 81230 752649 Portanto o determinante é 49 c Seja a matriz 1 4 6 0 2 5 0 0 3 Como a matriz é triangular inferior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal isto é 1 4 6 0 2 5 0 0 3 12 3 6 Portanto o determinante é 6 d Seja a matriz 1 3 2 0 3 1 0 2 2 3 0 1 0 2 1 3 Aplicando o Teorema de Laplace à terceira coluna temos 1 3 2 0 3 1 0 2 2 3 0 1 0 2 1 3 2 3 1 2 2 3 1 0 2 3 0 1 3 0 2 3 1 0 2 3 0 1 3 0 3 1 2 0 2 3 1 1 3 0 3 1 2 2 3 1 22780066 1 1012096 23512113152231246248 Portanto o determinante é 48 e Seja a matriz 0 a b 1 0 1 0 0 a a 0 b 1 b a 0 Aplicando o Teorema de Laplace à segunda linha temos 0 a b 1 0 1 0 0 a a 0 b 1 b a 0 0 a b 1 a 0 b b a 0 1 0 b 1 a 0 b 1 a 0 0 0 a 1 a a b 1 b 0 0 0 a b a a 0 1 b a 1a 2b 2000 a 2b 2 Portanto o determinante é a 2b 2 f Seja a matriz 1 2 3 4 5 0 a 1 2 3 0 0 b 1 2 0 0 0 c 1 0 0 0 0 d Como a matriz é triangular inferior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal isto é 1 2 3 4 5 0 a 1 2 3 0 0 b 1 2 0 0 0 c 1 0 0 0 0 d 1abc dabcd Questão 2 a Seja o sistema de equações lineares 2 x y2z4 x2 yz1 3x5 y2 z1 A matriz dos coeficientes é 2 1 2 1 2 1 3 5 2 e a matriz dos termos independentes é 4 1 1 Temos que D 2 1 2 1 2 1 3 5 2 81031210221243 D x 4 1 2 1 2 1 1 5 2 161014220 72215 D y 2 4 2 1 1 1 3 1 2 41226821046 D z 2 1 4 1 2 1 3 5 1 432024110 21156 Logo pela Regra de Cramer temos que x Dx D 15 3 5 y D y D 6 32 z Dz D 6 32 Portanto a solução do sistema é x5 y2 e z2 b Seja o sistema de equações lineares x3 yz0 2 y2z0 x y z0 A matriz dos coeficientes é 1 3 1 0 2 2 1 1 1 e a matriz dos termos independentes é 0 0 0 Temos que D 1 3 1 0 2 2 1 1 1 260 202808 D x 0 3 1 0 2 2 0 1 1 0 D y 1 0 1 0 0 2 1 0 1 0 D z 1 3 0 0 2 0 1 1 0 0 Logo pela Regra de Cramer temos que x Dx D 0 80 y D y D 0 80 z Dz D 0 80 Portanto a solução do sistema é x0 y0 e z0 c Seja o sistema de equações lineares x yz0 2 x yz1 3xyz1 A matriz dos coeficientes é 1 1 1 2 1 1 3 1 1 e a matriz dos termos independentes é 0 1 1 Temos que D 1 1 1 2 1 1 3 1 1 123321628 D x 0 1 1 1 1 1 1 1 1 011110202 D y 1 0 1 2 1 1 3 1 1 120301121 D z 1 1 0 2 1 1 3 1 1 103021413 Logo pela Regra de Cramer temos que x Dx D 2 81 4 y D y D 1 8 z Dz D 3 8 Portanto a solução do sistema é x1 4 y1 8 e z3 8 Parte 2 Questão 1 Dados os pontos A x A y Ae B xB yB A distância entre esses pontos é dada por dx Bx A 2 yBy A 2 a Sejam os pontos 23 e 4 7 A distância entre esses pontos é dada por d42 273 22 24 24162025 Logo a distância é 25 unidades de comprimento b Sejam os pontos 4 5 e 24 A distância entre esses pontos é dada por d24 245 26 29 23681 117913313 Logo a distância é 313 unidades de comprimento c Sejam os pontos 68 e 00 A distância entre esses pontos é dada por d06 208 26 28 2366410010 Logo a distância é 10 unidades de comprimento Questão 2 Dados os pontos A x A y Ae B xB yB O ponto médio do segmento de reta AB é dado por M xAxB 2 y A y B 2 a Sejam os pontos 23 e 4 7 O ponto médio do segmento de reta cujos extremos são esses pontos é dado por M 24 2 37 2 M 6 2 10 2 M 35 Logo o ponto médio é M 35 b Sejam os pontos 4 5 e 24 O ponto médio do segmento de reta cujos extremos são esses pontos é dado por M 42 2 54 2 M 2 2 1 2M1 1 2 Logo o ponto médio é M1 1 2 c Sejam os pontos 68 e 00 O ponto médio do segmento de reta cujos extremos são esses pontos é dado por M 60 2 80 2 M 6 2 8 2M 34 Logo o ponto médio é M 34 Questão 3 Dados os pontos A x A y A B xB y BeC xC yC O baricentro do triângulo ABC é dado por G x AxBxC 3 y A y B yC 3 a Sejam os pontos 11 23 e 4 7 O baricentro do triângulo cujos vértices são esses pontos é dado por G 124 3 137 3 G 7 3 11 3 Logo o baricentro é G 7 3 11 3 Observação Os pontos 11 23 e 4 7 não formam um triângulo pois são colineares b Sejam os pontos 11 4 5 e 24 O baricentro do triângulo cujos vértices são esses pontos é dado por G 142 3 154 3 G 3 3 2 3G1 2 3 Logo o baricentro é G1 2 3 c Sejam os pontos 11 68 e 00 O baricentro do triângulo cujos vértices são esses pontos é dado por G 160 3 180 3 G 7 3 9 3G 7 3 3 Logo o baricentro é G 7 3 3 Questão 4 Dados os pontos A x A y Ae B xB yB A equação reduzida da reta que passa por esses pontos é dada por y xx A y By A xBx A y A a Sejam os pontos 03 e 4 5 A equação reduzida da reta que passa por esses pontos é dada por yx0 53 403x 2 4 31 2 x3 Logo a equação reduzida da reta é y1 2 x3 b Sejam os pontos 02 e 38 A equação reduzida da reta que passa por esses pontos é dada por yx0 82 30 2x 10 3 210 3 x2 Logo a equação reduzida da reta é y10 3 x2 c Sejam os pontos 31 e 310 Como ambos os pontos possuem a mesma abscissa a reta que passa por esses pontos é uma reta vertical Logo a equação reduzida da reta é x3 d Sejam os pontos 05 e 35 Como ambos os pontos possuem a mesma ordenada a reta que passa por esses pontos é uma reta horizontal Logo a equação reduzida da reta é y5 Questão 5 a Sejam as retas y3 x2e y5 x1 Para determinar o ponto de interseção dessas retas devemos verificar o ponto que satisfaz ambas as equações isto é 3 x25 x13 x5 x122 x1 x1 2 Substituindo o valor de x na primeira equação temos y3 1 223 223 2 4 27 2 Logo o ponto de interseção é 1 2 7 2 b Sejam as retas y2x4e y3x1 Para determinar o ponto de interseção dessas retas devemos verificar o ponto que satisfaz ambas as equações isto é 2 x43 x12x3x145 x3 x3 5 Substituindo o valor de x na primeira equação temos y2 3 5 46 5 46 520 5 14 5 Logo o ponto de interseção é 3 5 14 5 c Sejam as retas yx2e yx4 Para determinar o ponto de interseção dessas retas devemos verificar o ponto que satisfaz ambas as equações isto é x2x4 xx4206 absurdo Chegamos a um absurdo Logo as retas não possuem ponto de interseção Observação As retas yx2 e yx4 não possuem ponto de interseção pois são paralelas isto é possuem a mesma inclinação Questão 6 Sejam os pontos A 11e B 23 O ponto médio do segmento de reta AB é dado por M 12 2 13 2 M 3 2 2 2M 3 2 1 Dada a reta y2x1 A reta paralela a essa que passa pelo ponto médio do segmento de reta AB é dada por y2xn Substituindo o ponto médio 3 2 1 na equação da reta temos 12 3 2n13n n2 Logo a equação da reta paralela é y2x2 Questão 7 Sejam as retas 7 x2 y0e 4 xy1 Reescrevendo as equações das retas na forma reduzida temos 7 x2 y0 2 y7 x y7 2 x 4 xy1 y4 x1 Para determinar o ponto de interseção dessas retas devemos verificar o ponto que satisfaz ambas as equações isto é 7 2 x4 x1 7 2 x4 x1 7 2 x8 2 x11 2 x1 x2 Substituindo o valor de x na primeira equação temos y7 2 27 Logo o ponto de interseção é 27 Dada a reta 3 x8 y19 Reescalando a equação da reta na forma reduzida temos 3 x8 y198 y3x19 y3 8 x 19 8 Logo a reta possui coeficiente angular 3 8 A reta perpendicular a essa que passa pelo ponto de interseção das retas 7 x2 y0 e 4 xy1 é dada por y 3 8 1 xn y8 3 xn Substituindo o ponto de interseção 27 na equação da reta temos 78 3 2n716 3 n n716 3 21 3 16 3 5 3 Logo a equação da reta perpendicular é y8 3 x 5 3 Questão 8 Uma circunferência de centro C xC yC e raio r possui equação reduzida dada por xxC 2 yyC 2r 2 a Dado o centro C 00 e raio r1 A equação reduzida da circunferência é x0 2 y0 21 2 x 2 y 21 Logo a equação reduzida da circunferência é x 2 y 21 b Dado o centro C 34 e raio r5 A equação reduzida da circunferência é x3 2 y4 25 2x3 2 y4 225 Logo a equação reduzida da circunferência é x3 2 y4 225 c Dado o centro C 22 e raio r2 A equação reduzida da circunferência é x2 2 y2 22 2x2 2 y2 24 Logo a equação reduzida da circunferência é x2 2 y2 24 Parte 3 Questão 1 a Sejam os vetores u23e v34 A soma desses vetores é dada por uv23342334 51 Graficamente temos b Sejam os vetores u12e v53 A soma desses vetores é dada por uv1253 152345 Graficamente temos c Sejam os vetores u101ev001 A soma desses vetores é dada por uv101001100011102 Graficamente temos Questão 2 Dados os vetores u v e w O volume do paralelepípedo formado pelos vetores u v e w é dado por Vuv w a Sejam os vetores a106 b238 e c856 O produto misto desses vetores é dado por ab c 1 0 6 2 3 8 8 5 6 1806014404042184226 O volume do paralelepípedo formado pelos vetores a b e c é V226226 Logo o volume é 226 unidades cúbicas b Sejam os vetores a2 i3 j2k232 bij110 c2 i3k203 O produto misto desses vetores é dado por ab c 2 3 2 1 1 0 2 0 3 60040961319 O volume do paralelepípedo formado pelos vetores a b e c é V1919 Logo o volume é 19 unidades cúbicas Questão 3 Dados os vetores uu1u2u3evv1v2v3 O produto escalar desses vetores é dado por uvu1v1u2v2u3v3 a Sejam os vetores a25 e b31 O produto escalar desses vetores é dado por a b25 312 351651 Logo o produto escalar é 1 b Sejam os vetores a28 e b6 4 O produto escalar desses vetores é dado por a b28 642 68 4123220 Logo o produto escalar é 20 c Sejam os vetores a4 7 1eb214 O produto escalar desses vetores é dado por a b471214 42711 48745 Logo o produto escalar é 5 d Sejam os vetores a123eb286 O produto escalar desses vetores é dado por a b123286122836216180 Logo o produto escalar é 0 e Sejam os vetores a2 i3 j4 k234 e bi3 jk13 1 O produto escalar desses vetores é dado por a b23413121334129411 Logo o produto escalar é 11 f Sejam os vetores aik101ebi2 j120 O produto escalar desses vetores é dado por a b10112011021 01001 Logo o produto escalar é 1 Parte 4 Questão 1 Dada uma matriz quadrada A de ordem n Pelas propriedades dos determinantes temos que det kA k ndet A Seja a matriz quadrada A de ordem 3 com determinante det A 2 O determinante da matriz 3 A é det 3 A 3 3det A 272 54 Portanto a alternativa correta é b 54 Questão 2 Seja a matriz A 7 13 2 4 O determinante da matriz A é det A 7 13 2 4 7 4132282654 Logo temos que 5det A 554270 Portanto a alternativa correta é c 270 Questão 3 Seja a reta r 6 x8 y480 Para x0 temos 608 y4808 y48 y6 Logo a reta r intersecta o eixo y no ponto P 06 Para y0 temos 6 x804806 x48 x8 Logo a reta r intersecta o eixo x no ponto Q 80 A distância entre os pontos P e Q é dada por d80 206 28 26 2643610010 Portanto a alternativa correta é c 10 Questão 4 Dado o ponto x0 y0 e a reta r axbyc0 A distância entre o ponto e a reta é dada por dax0b y0c a 2b 2 Seja a circunferência x2 2 y5 29 O centro da circunferência é o ponto C 25 Dada a reta 2 y5x0 A distância entre o centro da circunferência e a reta é d5225 5 22 2 1010 254 0 29 0 Portanto a alternativa correta é b 0 Questão 5 Seja o ponto P 35 e a reta r x2 y80 A distância entre o ponto e a reta é dada por d13258 1 22 2 3108 14 5 5 5 5 5 Portanto a alternativa correta é d 5 Questão 6 Sejam as retas I 2 xy50 II 5x2 y40III 5 x2 y40IV 4 x2 y70 Reescrevendo as equações das retas na forma reduzida temos 2 xy50 y2x5 5 x2 y402 y5 x4 y5 2 x2 5 x2 y402 y5 x4 y5 2 x2 4 x2 y70 2 y4 x7 y2x 7 2 Analisando as equações das retas notamos que as retas I e IV são paralelas pois possuem a mesma inclinação Portanto a alternativa correta é d I e IV representam retas paralelas Questão 7 Seja a circunferência x 2 y 26 x10 y300 Reescrevendo a equação da circunferência temos x 2 y 26 x10 y300x 26 x y 210 y30 x 26 x9 y 210 y2530925 x3 2 y5 24 Logo o centro da circunferência é o ponto C 35 e o raio é r2 O ponto de ordenada máxima é xC yCr3523 7 A soma das coordenas do ponto P 37 é 3710 Portanto a alternativa correta é a 10 Questão 8 Seja a circunferência x 2 y 24 x50 Reescrevendo a equação da circunferência temos x 2 y 24 x50 x 24 x y 25 x 24 x4 y 254 x2 2 y 29 Logo o centro da circunferência é o ponto C 20 e o raio é r3 Portanto a alternativa correta é a 3 Questão 9 Dado um quadrado de diagonal de medida d A medida do lado do quadrado é dada por l d 2 Sejam os pontos A 23 e C 05 A distância entre esses pontos é dada por d20 235 22 22 244822 Logo a medida da diagonal AC do quadrado ABCD é 22 e consequentemente a medida do lado do quadrado é l22 2 2 Desse modo a área do quadrado é Al 22 24 Portanto a alternativa correta é a 4 Questão 10 Sejam os pontos A 60B 3b eC 06 A distância entre os pontos A e B é dada por d AB63 20b 23 2b 29b 2 A distância entre os pontos B e C é dada por d BC30 2b6 23 2b6 29b6 2 Como o ponto B é equidisante dos pontos A e C temos que d ABdBC9b 29b6 2 9b 29b6 2 b 2b6 2b 2b 212b36 12b36 b3 Logo o ponto é B 33 Portanto a alternativa correta é c 33 Questão 11 Sejam os pontos 40 03 A equação da reta que passa por esses pontos é dada por yx4 30 04 y3 4 x34 y3 x123 x4 y120 Portanto a alternativa correta é b 3 x4 y120 Questão 12 Sejam as retas xay302 xy50 Reescrevendo as equações das retas na forma reduzida temos xay30 ayx3 y1 a x 3 a 2 xy50 y2 x5 Para que as retas sejam paralelas devemos ter 1 a 2 a1 2 05 Portanto a alternativa correta é b 05 Questão 13 Sejam os vetores u3 ij2 k312 v2 i4 jk2 41 wik101 Temos que u v wu v w 3 1 2 2 4 1 1 0 1 1210820 1165 Portanto a alternativa correta é e 5 Questão 14 Sejam os pontos A 211B 301C 213e Dx y z Temos que BCCB213301231031 114 ACCA213 211 221131022 O produto vetorial desses vetores é dado por BC AC i j k 1 1 4 0 2 2 28 i02 j20 k6 i2 j2k622 Desse modo devemos ter AD BC AC DA BC AC DA BC AC2116 224 11 Portanto a alternativa correta é a D 4 11 GEOMETRIA ANALÍTICA Parte 1 Questão 1 a Seja a matriz 3 1 4 2 O determinante dessa matriz é dado por 3 1 4 2 3 2 1 4 6 4 10 Portanto o determinante é 10 b Seja a matriz 1 3 4 5 2 3 1 4 2 O determinante dessa matriz é dado por 1 3 4 5 2 3 1 4 2 4 9 80 8 12 30 75 26 49 Portanto o determinante é 49 c Seja a matriz 1 4 6 0 2 5 0 0 3 Como a matriz é triangular inferior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal isto é 1 4 6 0 2 5 0 0 3 1 2 3 6 Portanto o determinante é 6 d Seja a matriz 1 3 2 0 3 1 0 2 2 3 0 1 0 2 1 3 Aplicando o Teorema de Laplace à terceira coluna temos 1 3 2 0 3 1 0 2 2 3 0 1 0 2 1 3 2 3 1 2 2 3 1 0 2 3 0 1 3 0 2 3 1 0 2 3 0 1 3 0 3 1 2 0 2 3 1 1 3 0 3 1 2 2 3 1 2 27 8 0 0 6 6 1 1 0 12 0 9 6 2 35 12 1 13 15 2 23 1 2 46 2 48 Portanto o determinante é 48 e Seja a matriz 0 a b 1 0 1 0 0 a a 0 b 1 b a 0 Aplicando o Teorema de Laplace à segunda linha temos 0 a b 1 0 1 0 0 a a 0 b 1 b a 0 0 a b 1 a 0 b b a 0 1 0 b 1 a 0 b 1 b a 0 0 a 1 a a b 1 b 0 0 0 a b a 0 b 1 b a 1 a² b² 0 0 0 a² b² Portanto o determinante é a² b² f Seja a matriz 1 2 3 4 5 0 a 1 2 3 0 0 b 1 2 0 0 0 c 1 0 0 0 0 d Como a matriz é triangular inferior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal isto é 1 2 3 4 5 0 a 1 2 3 0 0 b 1 2 0 0 0 c 1 0 0 0 0 d 1 a b c d abcd Questão 2 a Seja o sistema de equações lineares 2r y 2z 4 x 2y z 1 3r 5y 2z 1 A matriz dos coeficientes é 2 1 2 1 2 1 3 5 2 e a matriz dos termos independentes é 4 1 1 Temos que D 2 1 2 1 2 1 3 5 2 8 10 3 12 10 2 21 24 3 Dx 4 1 2 1 2 1 1 5 2 16 10 1 4 2 20 7 22 15 Dy 2 4 2 1 1 1 3 1 2 4 12 2 6 8 2 10 4 6 Dz 2 1 4 1 2 1 3 5 1 4 3 20 24 1 10 21 15 6 Logo pela Regra de Cramer temos que x Dx D 15 3 5 y Dy D 6 3 2 z Dz D 6 3 2 Portanto a solução do sistema é x 5 y 2 e z 2 b Seja o sistema de equações lineares x 3y z 0 2y 2z 0 x y z 0 A matriz dos coeficientes é 1 3 1 0 2 2 1 1 1 e a matriz dos termos independentes é 0 0 0 Temos que D 1 3 1 0 2 2 1 1 1 2 6 0 2 0 2 8 0 8 Dx 0 3 1 0 2 2 0 1 1 0 Dy 1 0 1 0 0 2 1 0 1 0 Dz 1 3 0 0 2 0 1 1 0 0 Logo pela Regra de Cramer temos que x Dx D 0 8 0 y Dy D 0 8 0 z Dz D 0 8 0 Portanto a solução do sistema é x 0 y 0 e z 0 c Seja o sistema de equações lineares x y z 0 2 x z 1 3x y z 1 A matriz dos coeficientes é 1 1 1 2 1 1 3 1 1 e a matriz dos termos independentes é 0 0 1 Temos que D 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 2 3 1 3 2 6 2 8 Dx 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 2 0 2 Dy 1 0 1 2 0 1 3 1 1 1 2 0 3 0 1 1 2 1 Dz 1 1 0 2 1 0 3 1 1 1 0 3 0 2 1 4 1 3 Logo pela Regra de Cramer temos que x Dx D 2 8 14 y Dy D 1 8 z Dz D 3 8 Portanto a solução do sistema é x 14 y 18 e z 38 Parte 2 Questão 1 Dados os pontos 𝐴 𝑥𝐴 𝑦 𝐴 e 𝐵 𝑥𝐵 𝑦𝐵 A distância entre esses pontos é dada por 𝑑 𝑥𝐵 𝑥𝐴2 𝑦𝐵 𝑦 𝐴2 a Sejam os pontos 2 3 e 4 7 A distância entre esses pontos é dada por 𝑑 4 22 7 32 22 42 4 16 20 2 5 Logo a distância é 2 5 unidades de comprimento b Sejam os pontos 4 5 e 2 4 A distância entre esses pontos é dada por 𝑑 2 42 4 52 62 92 36 81 117 9 13 3 13 Logo a distância é 3 13 unidades de comprimento c Sejam os pontos 6 8 e 0 0 A distância entre esses pontos é dada por 𝑑 0 62 0 82 62 82 36 64 100 10 Logo a distância é 10 unidades de comprimento Questão 2 Dados os pontos AxA yA e BxB yB O ponto médio do segmento de reta AB é dado por MxA xB2 yA yB2 a Sejam os pontos 2 3 e 4 7 O ponto médio do segmento de reta cujos extremos são esses pontos é dado por M2 42 3 72 M62 102 M3 5 Logo o ponto médio é M3 5 b Sejam os pontos 4 5 e 2 4 O ponto médio do segmento de reta cujos extremos são esses pontos é dado por M4 22 5 42 M22 12 M1 12 Logo o ponto médio é M1 12 c Sejam os pontos 6 8 e 0 0 O ponto médio do segmento de reta cujos extremos são esses pontos é dado por M6 02 8 02 M62 82 M3 4 Logo o ponto médio é M3 4 Questão 3 Dados os pontos A xA yA B xB yB e C xC yC O baricentro do triângulo ABC é dado por G xA xB xC 3 yA yB yC 3 a Sejam os pontos 1 1 2 3 e 4 7 O baricentro do triângulo cujos vértices são esses pontos é dado por G 1 2 4 3 1 3 7 3 G 73 113 Logo o baricentro é G 73 113 Observação Os pontos 1 1 2 3 e 4 7 não formam um triângulo pois são colineares b Sejam os pontos 1 1 4 5 e 2 4 O baricentro do triângulo cujos vértices são esses pontos é dado por G 1 4 2 3 1 5 4 3 G 33 23 G 1 23 Logo o baricentro é G 1 23 c Sejam os pontos 1 1 6 8 e 0 0 O baricentro do triângulo cujos vértices são esses pontos é dado por G 1 6 0 3 1 8 0 3 G 73 93 G 73 3 Logo o baricentro é G 73 3 Questão 4 Dados os pontos 𝐴 𝑥𝐴 𝑦 𝐴 e 𝐵 𝑥𝐵 𝑦𝐵 A equação reduzida da reta que passa por esses pontos é dada por 𝑦 𝑥 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝑦 𝐴 𝑥𝐵 𝑥𝐴 𝑦 𝐴 a Sejam os pontos 0 3 e 4 5 A equação reduzida da reta que passa por esses pontos é dada por 𝑦 𝑥 0 5 3 4 0 3 𝑥2 4 3 1 2𝑥 3 Logo a equação reduzida da reta é 𝑦 1 2𝑥 3 b Sejam os pontos 0 2 e 3 8 A equação reduzida da reta que passa por esses pontos é dada por 𝑦 𝑥 0 8 2 3 0 2 𝑥10 3 2 10 3 𝑥 2 Logo a equação reduzida da reta é 𝑦 10 3 𝑥 2 c Sejam os pontos 3 1 e 3 10 Como ambos os pontos possuem a mesma abscissa a reta que passa por esses pontos é uma reta vertical Logo a equação reduzida da reta é 𝑥 3 d Sejam os pontos 0 5 e 3 5 Como ambos os pontos possuem a mesma ordenada a reta que passa por esses pontos é uma reta horizontal Logo a equação reduzida da reta é 𝑦 5 Questão 5 a Sejam as retas y 3x 2 e y 5x 1 Para determinar o ponto de interseção dessas retas devemos verificar o ponto que satisfaz ambas as equações isto é 3x 2 5x 1 3x 5x 1 2 2x 1 x 12 Substituindo o valor de x na primeira equação temos y 3 12 2 32 2 32 42 72 Logo o ponto de interseção é 12 72 b Sejam as retas y 2x 4 e y 3x 1 Para determinar o ponto de interseção dessas retas devemos verificar o ponto que satisfaz ambas as equações isto é 2x 4 3x 1 2x 3x 1 4 5x 3 x 35 Substituindo o valor de x na primeira equação temos y 2 35 4 65 4 65 205 145 Logo o ponto de interseção é 35 145 c Sejam as retas y x 2 e y x 4 Para determinar o ponto de interseção dessas retas devemos verificar o ponto que satisfaz ambas as equações isto é x 2 x 4 x x 4 2 0 6 absurdo Chegamos a um absurdo Logo as retas não possuem ponto de interseção Observação As retas y x 2 e y x 4 não possuem ponto de interseção pois são paralelas isto é possuem a mesma inclinação Questão 6 Sejam os pontos A1 1 e B2 3 O ponto médio do segmento de reta AB é dado por M 1 2 2 1 3 2 M 32 22 M 32 1 Dada a reta y 2x 1 A reta paralela a essa que passa pelo ponto médio do segmento de reta AB é dada por y 2x n Substituindo o ponto médio 32 1 na equação da reta temos 1 2 32 n 1 3 n n 2 Logo a equação da reta paralela é y 2x 2 Questão 7 Sejam as retas 7x 2y 0 e 4x y 1 Reescrevendo as equações das retas na forma reduzida temos 7x 2y 0 2y 7x y 72 x 4x y 1 y 4x 1 Para determinar o ponto de interseção dessas retas devemos verificar o ponto que satisfaz ambas as equações isto é 72 x 4x 1 72 x 4x 1 72 x 82 x 1 12 x 1 x 2 Substituindo o valor de x na primeira equação temos y 72 2 7 Logo o ponto de interseção é 2 7 Dada a reta 3x 8y 19 Reescalando a equação da reta na forma reduzida temos 3x 8y 19 8y 3x 19 y 38 x 198 Logo a reta possui coeficiente angular 38 A reta perpendicular a essa que passa pelo ponto de interseção das retas 7x 2y 0 e 4x y 1 é dada por y 381 x n y 83 x n Substituindo o ponto de interseção 2 7 na equação da reta temos 7 83 2 n 7 163 n n 7 163 213 163 53 Logo a equação da reta perpendicular é y 83 x 53 Questão 8 Uma circunferência de centro 𝐶 𝑥𝐶 𝑦𝐶 e raio 𝑟 possui equação reduzida dada por 𝑥 𝑥𝐶2 𝑦 𝑦𝐶2 𝑟2 a Dado o centro 𝐶0 0 e raio 𝑟 1 A equação reduzida da circunferência é 𝑥 02 𝑦 02 12 𝑥2 𝑦2 1 Logo a equação reduzida da circunferência é 𝑥2 𝑦2 1 b Dado o centro 𝐶3 4 e raio 𝑟 5 A equação reduzida da circunferência é 𝑥 32 𝑦 42 52 𝑥 32 𝑦 42 25 Logo a equação reduzida da circunferência é 𝑥 32 𝑦 42 25 c Dado o centro 𝐶2 2 e raio 𝑟 2 A equação reduzida da circunferência é 𝑥 22 𝑦 22 22 𝑥 22 𝑦 22 4 Logo a equação reduzida da circunferência é 𝑥 22 𝑦 22 4 Parte 3 Questão 1 a Sejam os vetores 𝑢 2 3 e 𝑣 3 4 A soma desses vetores é dada por 𝑢 𝑣 2 3 3 4 2 3 3 4 5 1 Graficamente temos 𝑥 𝑦 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 b Sejam os vetores 𝑢 1 2 e 𝑣 5 3 A soma desses vetores é dada por 𝑢 𝑣 1 2 5 3 1 5 2 3 4 5 Graficamente temos 𝑥 𝑦 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 c Sejam os vetores 𝑢 1 0 1 e 𝑣 0 0 1 A soma desses vetores é dada por 𝑢 𝑣 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 2 Graficamente temos 𝑥 𝑧 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 Questão 2 Dados os vetores u v e w O volume do paralelepípedo formado pelos vetores u v e w é dado por V u v w a Sejam os vetores a 106 b 238 e c 856 O produto misto desses vetores é dado por a b c 1 0 6 2 3 8 8 5 6 18 0 60 144 0 40 42 184 226 O volume do paralelepípedo formado pelos vetores a b e c é V 226 226 Logo o volume é 226 unidades cúbicas b Sejam os vetores a 2 i 3 j 2 k 232 b i j 110 c 2 i 3 k 203 O produto misto desses vetores é dado por a b c 2 3 2 1 1 0 2 0 3 6 0 0 4 0 9 6 13 19 O volume do paralelepípedo formado pelos vetores a b e c é V 19 19 Logo o volume é 19 unidades cúbicas Questão 3 Dados os vetores 𝑢 𝑢1 𝑢2 𝑢3 e 𝑣 𝑣1 𝑣2 𝑣3 O produto escalar desses vetores é dado por 𝑢 𝑣 𝑢1𝑣1 𝑢2𝑣2 𝑢3𝑣3 a Sejam os vetores 𝑎 2 5 e 𝑏 3 1 O produto escalar desses vetores é dado por 𝑎 𝑏 2 5 3 1 2 3 5 1 6 5 1 Logo o produto escalar é 1 b Sejam os vetores 𝑎 2 8 e 𝑏 6 4 O produto escalar desses vetores é dado por 𝑎 𝑏 2 8 6 4 2 6 8 4 12 32 20 Logo o produto escalar é 20 c Sejam os vetores 𝑎 4 7 1 e 𝑏 2 1 4 O produto escalar desses vetores é dado por 𝑎 𝑏 4 7 1 2 1 4 4 2 7 1 1 4 8 7 4 5 Logo o produto escalar é 5 d Sejam os vetores 𝑎 1 2 3 e 𝑏 2 8 6 O produto escalar desses vetores é dado por 𝑎 𝑏 1 2 3 2 8 6 1 2 2 8 3 6 2 16 18 0 Logo o produto escalar é 0 e Sejam os vetores 𝑎 2 𝑖 3 𝑗 4 𝑘 2 3 4 e 𝑏 𝑖 3 𝑗 𝑘 1 3 1 O produto escalar desses vetores é dado por 𝑎 𝑏 2 3 4 1 3 1 2 1 3 3 4 1 2 9 4 11 Logo o produto escalar é 11 f Sejam os vetores 𝑎 𝑖 𝑘 1 0 1 e 𝑏 𝑖 2 𝑗 1 2 0 O produto escalar desses vetores é dado por 𝑎 𝑏 1 0 1 1 2 0 1 1 0 2 1 0 1 0 0 1 Logo o produto escalar é 1 Parte 4 Questão 1 Dada uma matriz quadrada 𝐴 de ordem 𝑛 Pelas propriedades dos determinantes temos que det 𝑘 𝐴 𝑘𝑛 det 𝐴 Seja a matriz quadrada 𝐴 de ordem 3 com determinante det 𝐴 2 O determinante da matriz 3𝐴 é det 3𝐴 33 det 𝐴 27 2 54 Portanto a alternativa correta é b 54 Questão 2 Seja a matriz A 7 13 2 4 O determinante da matriz A é detA 7 13 2 4 7 4 13 2 28 26 54 Logo temos que 5 detA 5 54 270 Portanto a alternativa correta é c 270 Questão 3 Seja a reta 𝑟 6𝑥 8𝑦 48 0 Para 𝑥 0 temos 6 0 8𝑦 48 0 8𝑦 48 𝑦 6 Logo a reta 𝑟 intersecta o eixo 𝑦 no ponto 𝑃0 6 Para 𝑦 0 temos 6𝑥 8 0 48 0 6𝑥 48 𝑥 8 Logo a reta 𝑟 intersecta o eixo 𝑥 no ponto 𝑄8 0 A distância entre os pontos 𝑃 e 𝑄 é dada por 𝑑 8 02 0 62 82 62 64 36 100 10 Portanto a alternativa correta é c 10 Questão 4 Dado o ponto 𝑥0 𝑦0 e a reta 𝑟 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐 0 A distância entre o ponto e a reta é dada por 𝑑 𝑎𝑥0 𝑏𝑦0 𝑐 𝑎2 𝑏2 Seja a circunferência 𝑥 22 𝑦 52 9 O centro da circunferência é o ponto 𝐶2 5 Dada a reta 2𝑦 5𝑥 0 A distância entre o centro da circunferência e a reta é 𝑑 5 2 2 5 52 22 10 10 25 4 0 29 0 Portanto a alternativa correta é b 0 Questão 5 Seja o ponto 𝑃3 5 e a reta 𝑟 𝑥 2𝑦 8 0 A distância entre o ponto e a reta é dada por 𝑑 1 3 2 5 8 12 22 3 10 8 1 4 5 5 5 5 5 Portanto a alternativa correta é d 5 Questão 6 Sejam as retas I 2𝑥 𝑦 5 0 II 5𝑥 2𝑦 4 0 III 5𝑥 2𝑦 4 0 IV 4𝑥 2𝑦 7 0 Reescrevendo as equações das retas na forma reduzida temos 2𝑥 𝑦 5 0 𝑦 2𝑥 5 5𝑥 2𝑦 4 0 2𝑦 5𝑥 4 𝑦 5 2𝑥 2 5𝑥 2𝑦 4 0 2𝑦 5𝑥 4 𝑦 5 2𝑥 2 4𝑥 2𝑦 7 0 2𝑦 4𝑥 7 𝑦 2𝑥 7 2 Analisando as equações das retas notamos que as retas I e IV são paralelas pois possuem a mesma inclinação Portanto a alternativa correta é d I e IV representam retas paralelas Questão 7 Seja a circunferência x2 y2 6x 10y 30 0 Reescrevendo a equação da circunferência temos x2 y2 6x 10y 30 0 x2 6x y2 10y 30 x2 6x 9 y2 10y 25 30 9 25 x 32 y 52 4 Logo o centro da circunferência é o ponto C3 5 e o raio é r 2 O ponto de ordenada máxima é xC yC r 3 5 2 3 7 A soma das coordenadas do ponto P3 7 é 3 7 10 Portanto a alternativa correta é a 10 Questão 8 Seja a circunferência x2 y2 4x 5 0 Reescrevendo a equação da circunferência temos x2 y2 4x 5 0 x2 4x y2 5 x2 4x 4 y2 5 4 x 22 y2 9 Logo o centro da circunferência é o ponto C2 0 e o raio é r 3 Portanto a alternativa correta é a 3 Questão 9 Dado um quadrado de diagonal de medida 𝑑 A medida do lado do quadrado é dada por 𝑙 𝑑 2 Sejam os pontos 𝐴2 3 e 𝐶0 5 A distância entre esses pontos é dada por 𝑑 2 02 3 52 22 22 4 4 8 2 2 Logo a medida da diagonal 𝐴𝐶 do quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 é 2 2 e consequentemente a medida do lado do quadrado é 𝑙 2 2 2 2 Desse modo a área do quadrado é 𝐴 𝑙2 22 4 Portanto a alternativa correta é a 4 Questão 10 Sejam os pontos 𝐴6 0 𝐵3 𝑏 e 𝐶0 6 A distância entre os pontos 𝐴 e 𝐵 é dada por 𝑑𝐴𝐵 6 32 0 𝑏2 32 𝑏2 9 𝑏2 A distância entre os pontos 𝐵 e 𝐶 é dada por 𝑑𝐵𝐶 3 02 𝑏 62 32 𝑏 62 9 𝑏 62 Como o ponto 𝐵 é equidisante dos pontos 𝐴 e 𝐶 temos que 𝑑𝐴𝐵 𝑑𝐵𝐶 9 𝑏2 9 𝑏 62 9 𝑏2 9 𝑏 62 𝑏2 𝑏 62 𝑏2 𝑏2 12𝑏 36 12𝑏 36 𝑏 3 Logo o ponto é 𝐵3 3 Portanto a alternativa correta é c 3 3 Questão 11 Sejam os pontos 4 0 0 3 A equação da reta que passa por esses pontos é dada por 𝑦 𝑥 4 3 0 0 4 𝑦 3 4𝑥 3 4𝑦 3𝑥 12 3𝑥 4𝑦 12 0 Portanto a alternativa correta é b 3𝑥 4𝑦 12 0 Questão 12 Sejam as retas 𝑥 𝑎𝑦 3 0 2𝑥 𝑦 5 0 Reescrevendo as equações das retas na forma reduzida temos 𝑥 𝑎𝑦 3 0 𝑎𝑦 𝑥 3 𝑦 1 𝑎𝑥 3 𝑎 2𝑥 𝑦 5 0 𝑦 2𝑥 5 Para que as retas sejam paralelas devemos ter 1 𝑎 2 𝑎 1 2 05 Portanto a alternativa correta é b 05 Questão 13 Sejam os vetores u 3i j 2k 3 1 2 v 2i 4j k 2 4 1 w i k 1 0 1 Temos que u x v w u v w 3 1 2 2 4 1 1 0 1 12 1 0 8 2 0 11 6 5 Portanto a alternativa correta é e 5 Questão 14 Sejam os pontos A 2 1 1 B 3 0 1 C 2 1 3 e D x y z Temos que BC C B 2 1 3 3 0 1 2 3 1 0 3 1 1 1 4 AC C A 2 1 3 2 1 1 2 2 1 1 3 1 0 2 2 O produto vetorial desses vetores é dado por BC x AC i j k 1 1 4 0 2 2 2 8 i 0 2 j 2 0 k 6 i 2 j 2 k 6 2 2 Desse modo devemos ter AD BC x AC D A BC x AC D A BC x AC 2 1 1 6 2 2 4 1 1 Portanto a alternativa correta é a D 4 1 1