Cálculo III: Funções de Várias Variáveis e Derivação Implícita

ESAMC Cálculo III Módulo A CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Cálculo Variacional x Cálculo Diferencial A diferença básica entre esses dois cálculos é o domínio dos respectivos objetos a serem otimizados Enquanto o domínio no cálculo diferencial são os números o do cálculos variacional são as funções curvas CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Função Implícita Algumas funções entretanto são definidas implicitamente por uma relação entre e Por exemplo ou Obs Em alguns casos é possível resolver tais equações isolando como uma função explícita de CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Logo duas funções determinadas pela equação implícita são e Os gráficos de e podem ser visto a seguir Exemplo CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplo CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Observação Não é fácil resolver a equação e escrever como uma função de à mão Para um sistema de computação algébrica não há problema mas as expressões obtidas são muito complicadas Não obstante a expressão acima é a equação da curva chamada fólio de Descartes CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS O fólio de Descartes CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Gráfico de três funções definidas pelo fólio de Descartes CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Derivação Implícita O método de derivação implícita consiste em derivar ambos os lados da equação em relação a e então isolar na equação resultante Exemplo 1 a Se encontre b Encontre uma equação da tangente ao círculo no ponto CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Solução a Note que CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Solução Assim Agora isolando obtemos b No ponto temos Logo uma equação da reta tangente ao círculo no ponto é portanto ou CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplo 2 a Encontre se b Encontre a reta tangente ao fólio de Descartes no ponto c Em quais pontos do primeiro quadrante a reta tangente é horizontal CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Solução Derivando ambos os lados de em relação a obtemos Ou Isolando obtemos CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Solução b Quando Reta tangente ou CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Solução c A reta tangente é horizontal se quando desde que Substituindo na equação da curva obtemos Como no 1º quadrante temos CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Solução Se então Assim a tangente é horizontal em que é aproximadamente CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplo 3 Encontre se Solução derivando implicitamente em relação a obtemos Portanto 2 sen cos x y y x 2 cos 1 sen cos 2 x y y y x x yy 2 sen cos 2 cos cos y x x y y y x x y CÁLCULO III MÓDULO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplo 4 Encontre se Solução derivando implicitamente em relação a obtemos Derivando usando a Regra cadeia e substituindo a expressão obteremos Módulo A Item 14 Momento Gamification Módulo B CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Funções de várias variáveis Cálculo Variacional x Cálculo Diferencial A diferença básica entre esses dois cálculos é o domínio dos respectivos objetos a serem otimizados Enquanto o domínio no cálculo diferencial são os números o do cálculos variacional são as funções curvas CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Exemplo 1 Qual dos números 2 3 4 5 ou 6 produz em fx x2 8x 12 o valor máximo fx x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 fx 24 fx 27 fx 28 fx 27 fx 24 CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Exemplo 2 Qual dos funções abaixo delimita uma área máxima sob seu traçado quando integrada de 2 a 6 f1x 18018 lnx 12113 f2x 4948x9521 f3x 22857 sen x3 20171 f4x 618x2 2098 A1 4820 A2 4109 A3 11392 A4 3449 f1x f2x f3x f4x 6 2 f x dx A CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Propriedades de curvas Assim cada curva tem sua propriedade Cabe escolher aquela que se adequa melhor ao projeto MATEMÁTICA Curva Propriedade Uso em Catenária fx cos hx Resistência Cúpulas Reta fx ax b Menor distância Rotas Ciclóide y a sen x a1 cos Menor Tempo Relógios Semicírculo Maior Área Jóias Parábola fx ax2 bx c Focal faróis 2 2 x r f x CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Derivadas Parciais Para este curso discutiremos o caso de funções de duas variáveis independentes que permitem uma visualização gráfica possibilitado desta maneira uma tradução de maneira simples do conceito de derivadas parciais Mas os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funções com um número maior de variáveis CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Definição Seja z fxy uma função de duas variáveis reais a derivada parcial de fxy em relação a x no ponto x0y0 designada por x0y0 é a derivada dessa função em relação a x aplicada no ponto x0y0 mantendose y constante Analogamente em relação a y aplicada no ponto x0y0 designando por mantendose x constante x f y f CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Exemplo 1 Calcule a derivadas parciais da função fxy yx3 xy2 2 0 2 0 0 0 0 3 y y x y x x f 0 0 3 0 0 0 2 x y x y y x f CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Exemplo 2 Calcule as derivadas parciais da função no ponto 12 1º método 3 3 4 xy x f x y 3 4 3 3 y x x f 2 2 3 3 xy xy y f 3 20 3 8 4 3 2 4 1 21 3 3 x f 4 21 21 2 y f CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Exemplo 2 2º método Encontramos a derivada parcial de fxy em relação a x no ponto 12 fazendo y2 e derivando a função para uma única variável 3 20 3 8 4 1 3 8 4 3 8 2 3 4 g x x g x x f x g x CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Analogamente para x 1 Logo 4 2 3 1 1 2 3 h y y h y y f y h 4 21 y f 3 20 21 x f e CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Interpretação geométrica Sob a ótica geométrica a obtenção das derivadas parciais nos dá a intersecção da curva com o plano de y ou de x já uma das variáveis se mantém constante enquanto calculase a derivada da outra Manter x ou y constante significa interceptar a superfície definida pelo gráfico de f com o plano x x0 ou y y0 CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Derivadas Parciais de ordens superiores Calculamse as derivadas parciais de ordem superior computando as derivadas parciais das funções já derivadas Essas derivadas são derivadas obtidas parcialmente e de uma ordem a menos Exemplo Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função fxy 2x3e5y Temos que x e y x x y f 6 2 5 x e y y x y f 10 3 5 CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Portanto a segunda derivada em relação a x é E a segunda derivada em relação a y é x e y y x x f 5 2 2 12 x e y y x y f 5 3 2 2 50 CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Ainda podemos calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a y calculada agora em relação a x E a segunda derivada da derivada parcial em relação a x calculada agora em relação a y y y x e e x x y x y x f 5 2 5 3 2 30 10 y y x e e x y y x x y f 5 2 5 2 2 30 6 CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Derivadas Parciais de ordens superiores As duas primeiras derivadas parciais apresentadas acima são chamadas de puras As duas últimas são chamadas de mistas CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Notação Se z fxy podemse computar quatro derivadas parciais de segunda ordem com suas respectivas notações de acordo com as expressões abaixo 2 2 x y f x y z x z x x z xx xx 2 2 x y f x y z y z y y z yy yy 2 x y f x y z x z x y x z yx yx 2 x y f x y z x z y x y z xy xy CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Derivadas Parciais de ordens superiores Em nosso exemplo as duas últimas derivadas as mistas deram o mesmo resultado Isto não é coincidência A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Derivadas Parciais de ordens superiores Em nosso exemplo as duas últimas derivadas as mistas deram o mesmo resultado Isto não é coincidência A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas Proposição Se fxy está definida numa certa vizinhança de x0y0 e é tal que as derivadas existem e são contínuas nessa vizinhança então x y f y e x f y f x f 2 2 x y f y x f 2 2 CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Regra da Cadeia A regra da cadeia para funções de várias variáveis tem o intuito de calcular derivadas parciais de funções compostas de várias variáveis Suponha que a função P pxy com derivadas parciais contínuas represente a quantidade produzida de um determinado bem a partir de matériasprimas x e y que por sua vez variam com o tempo ou seja x xt e y yt CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS A quantidade produzida expressase como função do tempo de acordo com a seguinte expressão P pxt yt Pt A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por dt dy x p dt dx x p P t CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Exemplo Considere uma firma cuja receita expressase através da função Rxy xy2 onde x e y representam as quantidades de dois bens produzidos Suponha que estas quantidades dependam do capital k e do trabalho l de acordo com as funções x 4k 3l e y 3k l Calcule as derivadas parciais da receita em relação ao capital e ao trabalho como funções de tais variáveis Antes de aplicar a Regra da Cadeia precisamos calcular as seguintes derivadas parciais l k e y y l x k x y R x R CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Exemplo 3 l x 2 2 1 3 k y x R 1 3 3 24 2 k l k xy y R 4 k x 3 k y 1 l y CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Exemplo Aplicando a Regra da Cadeia temos 3 3 3 42 4 3 2 l k l k l k k y y R k x x R k R 1 3 3 42 3 3 2 l k l k l k l y y R l x x R l R CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Aplicação A temperatura no ponto xy de uma placa de metal situada no plano XOY é dada por T 10x2 y22 Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto 1 2 e na direção de OU Partindose do ponto 1 2 e deslocandose na direção do eixo OX a temperatura aumenta ou diminui CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Solução 40 2 20 2 2 2 2 y y x y y x y T 40 2 20 2 2 2 2 y x x x y x x T 400 2 40 2 1 2 22 20 1 21 2 2 2 2 y T 200 1 2 2 1 20 21 2 2 x T CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Curvas de nível As curvas de nível são maneiras de descrever geometricamente o comportamento das funções de duas variáveis A idéia básica é semelhante ao mapeamento do relevo de um terreno Dandose um valor particular para z digamos zcobtemos uma equação em duas variáveis fx y c Esta equação define uma curva no plano xy que se chama uma curva de nível da função fx y referente ao valor c Esta curva é a projeção ortogonal sobre o plano xy da curva intersecção do plano zc com o gráfico da função z fx y CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Curvas de nível Para traduzir um gráfico de z fx y em curvas de nível basta esboçar as curvasintersecção de fx y com z c para diferentes valores de c CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Exemplo1 Reconhecer e representar graficamente o gráfico da função z fx y x2 y2 Fazendo z c desde que c 0 obtemos a equação x2 y2 c Isto significa que a projeção no plano xy da curvaintersecção do plano horizontal z c com o gráfico da função possui tal equação Essa projeção é a circunferência de centro na origem e raio Como o corte z c é um círculo o gráfico desta função é um parabolóide de revolução obtido pela rotação da parábola z x2 em torno do eixo z CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Exemplo 1 CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Exemplo 1 CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Exemplos de outras curvas CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Exemplos de outras curvas CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Gradiente de uma função O gradiente de uma função fx y num ponto x0 y0 designado por fx0 y0 ou grad fx0 y0 é o vetor livre cujas coordenadas são 0 y0 x x f 0 y0 x y f e CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Simbolicamente Exemplo 2 Calcule o gradiente da função fxy 3x2yx23y2 no ponto 13 0 0 0 0 0 0 y y x f y x x f y f x CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Resolução Calculemos a derivada parcial da função fxy em relação a x e y No ponto 13 2 3 1 0 0 3 2 6 y x xy y x x f x y x y y x f 3 2 2 0 0 2 3 31 31 31 y f x f f 12 6 18 3 1 3 2 316 31 2 3 1 x f 3 3 2 1 3 1 31 3 2 2 y f Portanto o gradiente da função fx y no ponto 1 3 é o vetor f13 123 CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Gradiente de uma função Convencionase representar este vetor com origem no ponto em relação ao qual se calcula o gradiente CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Gradiente de uma função Dessas considerações é possível pensar num campo de vetores gradiente de uma função que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornecem em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da função CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Relação entre Gradiente Curvas de Nível Dizemos que um vetor u é ortogonal a uma curva plana dada pelas equações paramétricas x xt e y yt se ele é ortogonal ao vetor xt yt que é o vetor tangente à curva Teorema O gradiente de uma função fx y no ponto x0 y0 é ortogonal à curva de nível da função que passa por esse ponto CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Prova Os pontos x y que satisfazem essa equação podem por pertencerem a uma curva plana ser parametrizados por uma variável t x xt e y yt Como fx0 y0 C então fxt yt C Derivando ambos os membros da igualdade em relação a t obtemos pela regra da cadeia 0 y t t y t x y f x t t y t x x f CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Prova O primeiro membro dessa igualdade é o produto escalar dos vetores fxt yt e xt yt Mas xt yt é o vetor tangente à curva de nível no ponto xt yt Portanto o gradiente da função f no ponto x y é ortogonal ao vetor tangente à curva de nível no ponto x y CÁLCULO III MÓDULO B DERIVADAS PARCIAIS Exemplo 3 Se fx y x2 y2 então gx y fx y 2x 2y Calculado no ponto a b teremos o vetor gx y fx y 2a 2b Módulo B Item 210 Momento Gamification Módulo C CÁLCULO III MÓDULO C MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E APLICAÇÕES EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO MÁXIMOS E MINIMOS Definição 1 Máximo Dizse que a função fx admite um máximo em um ponto x x1 se o valor da função em x1 fx1 é maior que aqueles valores da função em todos pontos de uma vizinhança de x1 Então pela definição fx1Dx fx1 seja Dx positivo ou negativo Em outras palavras Df 0 sempre Definição 2 Mínimo Dizse que a função fx admite um mínimo em um ponto x x1 se o valor da função em x1 fx1 é menor que aqueles valores da função em todos pontos de uma vizinhança de x1 Então pela definição fx1Dx fx1 seja Dx positivo ou negativo Em outras palavras Df0 sempre CÁLCULO III MÓDULO C MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E APLICAÇÕES Não confundir máximomínimo com o maiormenor valor da função num intervalo X1DX X1DX x1 X1DX X1DX CÁLCULO III MÓDULO C MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E APLICAÇÕES Teorema 1Condição necessária para existência de máximo Se a função fx derivável no intervalo a b tem um máximo ou um mínimo no ponto x x1 então a derivada de fx é nula em x x1 ie fx1 0 Demonstração Se fx tem um máximo em x x1 então Df 0 conforme foi visto antes Assim CÁLCULO III MÓDULO C MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E APLICAÇÕES 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 para 0 0 para 0 e pelo que teremos 0 0 como e um valor chegamos a uma incongruencia Entao temos que t lim lim x x f x x f x f x x x e f x x f x f x x x f f x x e f f x x f x D D D D D D D D D D D D D D D D 1 er 0 f x CÁLCULO III MÓDULO C MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E APLICAÇÕES Note que a condição é necessária mas não suficiente Porque pode haver um ponto no intervalo no qual a derivada é nulamas o ponto não é nem um máximo nem um mínimo Isso pode ser constatado para o caso de alguma funções como mostrado abaixo Em x 0 f 0 0 CÁLCULO III MÓDULO C MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E APLICAÇÕES 3 f x x f x x 2 3 3 2 1 f x x CÁLCULO III MÓDULO C MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E APLICAÇÕES Os pontos onde uma função atinge seus extremos máximos ou mínimos são chamados pontos críticos da função assim como os pontos de descontinuidade Teorema Seja fx uma função contínua em um intervalo contendo um ponto crítico x1 e derivável em todos os pontos desse intervalo salvo excepcionalmente no ponto crítico Se a derivada de fx muda de sinal para quando se passa pelo ponto crítico x1 da esquerda para a direita então a função admite um máximo em x1 Se por outro lado a derivada muda de sinal de para quando se passa pelo ponto crítico x1 da esquerda para a direita então a função tem um mínimo em x1 Analiticamente esses teoremas expressam que existe um máximo em x1 se CÁLCULO III MÓDULO C MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E APLICAÇÕES 1 1 0 para 0 para f x x x f x x x E existe um mínimo em x1 se 1 1 0 para 0 para f x x x f x x x x1 X1DX X1DX X1DX X1DX X1 A demonstração deste teorema é feita com a aplicação do Teorema de Lagrange num intervalo compreendido entre um ponto x e o ponto x1 CÁLCULO III X1DX X1DX x1 fx10 fx10 x1 X1DX X1DX MÁXIMO MÍNIMO X1 X2 X3 X4 MÁXIMOS E MÍNIMOS CÁLCULO III MÓDULO C MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E APLICAÇÕES Teorema Seja fx0 então a função tem um máximo em x x1 se a segunda derivada em x1 for negativa ie fx1 0 e um mínimo se ela for positiva fx1 0 Demonstração Pela definição de derivada fx1 é dada por 1 1 1 0 lim x x x f x x f x f x x D D D 1 1 1 1 0 0 0 0 consequentemente teremos que ter 0 lim lim x x x x x x f x x f x f x x f x x x f x x D D D D D D D Se em x1 fx1 0 para Dx 0 sendo fx1 0 teremos pela relação acima CÁLCULO III MÓDULO C MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E APLICAÇÕES Se em x1 fx1 0 para Dx 0 sendo fx1 0 teremos pela relação acima 1 1 1 1 0 0 0 0 consequentemente teremos que ter 0 lim lim x x x x x x f x x f x f x x f x x x f x x D D D D D D D CÁLCULO III MÓDULO C MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E APLICAÇÕES Dos resultados anteriores concluímos que ao passarmos da esquerda para a direita em torno de x x1 a derivada fx passa de 0 para 0 o que pelo teorema anterior garante que em xx1 a função admite um máximo Para demonstrarmos a segunda parte do teorema que se fx1 0 fx admite um mínimo basta que usemos argumentos similares aos usados antes Pela definição de derivada fx1 é dada por 1 1 1 0 lim x x x f x x f x f x x D D D CÁLCULO III MÓDULO C MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E APLICAÇÕES Se em x1 fx10 para Dx 0 sendo fx10 teremos pela relação acima 1 1 1 1 0 0 0 0 consequentemente teremos que ter 0 lim lim x x x x x x f x x f x f x x f x x x f x x D D D D D D D CÁLCULO III MÓDULO C MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E APLICAÇÕES Se em x1 fx1 0 para Dx 0 sendo fx1 0 teremos pela relação acima 1 1 1 1 0 0 0 0 consequentemente teremos que ter 0 lim lim x x x x x x f x x f x f x x f x x x f x x D D D D D D D Dos resultados anteriores concluímos que ao passarmos da esquerda para a direita em torno de x x1 a derivada fx passa de 0 para 0 o que pelo teorema anterior garante que em x x1 a função admite um mínimo Módulo C Item 33 Momento Gamification Módulo D CÁLCULO III MÓDULO D INTEGRAIS MÚLTIPLAS Funções de Três Variáveis w fxyz Variável dependente Variáveis independentes Domínio em R3 Imagem em R4 hiperespaço Características de fxyz CÁLCULO III MÓDULO D INTEGRAIS MÚLTIPLAS Funções de Três Variáveis CÁLCULO III MÓDULO D INTEGRAIS MÚLTIPLAS Considerando os volumes elementares do DVi DxiDyiDzi domínio D em três dimensões R3 Podese calcular o somatório Tomando o limite quando n tende ao um número infinitamente grande e positivo temse a integral tripla D n 1 i i i i i n v f x y z S D n n T f x y z dx dy dz S I lim CÁLCULO III MÓDULO D INTEGRAIS MÚLTIPLAS D D f x y z dV K K f x y z dV 1ª 2ª D D D g x y z dV x y z dV f dV g x y z x y z f CÁLCULO III MÓDULO D INTEGRAIS MÚLTIPLAS D D f x y z dy dz dx f x y z dx dy dz 3ª 4ª D2 1 D D f x y z dV x y z dV f dV x y z f CÁLCULO III MÓDULO D INTEGRAIS MÚLTIPLAS dx dy dz z y x 2 1 0 1 0 1 0 2 2 z dx dy dz y x 1 1 1 0 2 1 dx dy dz 2 0 y 4 y 4 y x 2 0 2 2 Resolver CÁLCULO III MÓDULO D INTEGRAIS MÚLTIPLAS O Volume do Domínio 2 1 z 1 y y x z DdV V 1 0 2 0 1 0 y dz dx dy V CÁLCULO III MÓDULO D INTEGRAIS MÚLTIPLAS D D dV x y z dV f x y z f Valor Médio Módulo D Item 45 Momento Gamification Módulo E CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS Através de uma mudança de variáveis x xu v e y yu v uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D do plano uv CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS A correspondência entre as regiões D e D é BIJETORA e podemos retornar de D para D através da transformação inversa u ux y e v vx y Considerando que as funções em 1 e 2 são contínuas com derivadas parciais contínuas em D e D respectivamente temos 3 CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS Onde é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v dado por CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS A transformação que leva pontos r do plano r a pontos x y do plano xy é dada por e seu jacobiano é dado por 4 Portanto a fórmula 3 pode ser expressa por 5 CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS Coordenadas Polares Obtenção da Fórmula Para que 4 seja bijetora considerase r para os quais r e satisfazem CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS Área DA do retângulo em D Área DA do retângulo polar em D CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS dA dxdy rdrd 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r r x x x x y y rdrd f r f x y dydx A x dx V CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS Integral Dupla em D Assim obtemos o jacobiano rk da fórmula 5 Enumerando os retângulos polares e 1 a n tome um ponto arbitrário xk yk no késimo retângulo Este ponto pode ser representado por rk cosk rk sink é equivalente a onde DAk DrkDk é a área do késimo retângulo em D que tem representação rk k referente à região correspondente em D Assim a soma de Riemann CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS Assim se tomarmos limite com n com o máximo das diagonais dos n retângulos tendendo a zero temos dada pela fórmula 5 que equivale a integral CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS x y Pxy Pr r x y Relações r2 x2 y2 arctgyx x rcos y rsen z z CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS CÁLCULO III MÓDULO E COORDENADAS POLARES r x x y P y r sen x r cos sen yr cos xr r2 x2 y2 arctg yx retang polares polares retang y CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS y 2 x 1 1 2 r f r P CÁLCULO III MÓDULO E MUDANÇA DE COORDENADASVARIÁVEIS y 2 x 1 1 2 f1 r f2 r f2 r f1 R CÁLCULO III MÓDULO E INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES y x R DRk r1 2 r2 2 2 r1 r2 Rk r1 r22 DrD unidade de área DRk CÁLCULO III MÓDULO E INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES CÁLCULO III MÓDULO E INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES R r r 2 1 rdrd r f dA r f R r1 r r2 CÁLCULO III MÓDULO E INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Exemplo Calcular R x y dydx e 2 2 R é a região semicircular x2 y2 1 onde y é positivo R 1 CÁLCULO III MÓDULO E INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Área de uma superfície R y x dydx f f Área 1 2 2 Exemplo Achar a área do parabolóide z fxy x2 y2 abaixo do plano z 4 sugestão usar coordenadas polares CÁLCULO III MÓDULO E INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES CÁLCULO III MÓDULO E INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES CÁLCULO III MÓDULO E INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Cálculo de Volumes Aplicações Para f x y 0 a integral nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z f x y inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D CÁLCULO III MÓDULO E CALCULO DE VOLUMES APLICAÇÕES A Integral dupla dá o volume sob a superfície fxy CÁLCULO III MÓDULO E INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Teorema de Fubini b a b a d c f x y dy dx A x dx f x y dxdy CÁLCULO III MÓDULO E INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Teorema de Fubini d c d c b a f x y dx dy A y dy f x y dxdy CÁLCULO III MÓDULO E INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Exercícios CÁLCULO III MÓDULO E INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES CÁLCULO III MÓDULO E INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Cálculo Áreas de Regiões Planas Fazendo f x y 1 a área da região de integração D é dada por CÁLCULO III MÓDULO E INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Exercícios Módulo E Item 53 Momento Gamification