Cálculo III: Derivadas Parciais e Regra da Cadeia

CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS Derivadas Parciais de ordens superiores Em nosso exemplo as duas últimas derivadas as mistas deram o mesmo resultado Isto não é coincidência A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas Proposição Se fxy está definida numa certa vizinhança de x0y0 e é tal que as derivadas existem e são contínuas nessa vizinhança então x y f y e x f y f x f 2 2 x y f y x f 2 2 CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS Regra da Cadeia A regra da cadeia para funções de várias variáveis tem o intuito de calcular derivadas parciais de funções compostas de várias variáveis Suponha que a função P pxy com derivadas parciais contínuas represente a quantidade produzida de um determinado bem a partir de matériasprimas x e y que por sua vez variam com o tempo ou seja x xt e y yt CÁLCULO III REGRA DA CADEIA DERIVADAS PARCIAIS A quantidade produzida expressase como função do tempo de acordo com a seguinte expressão P pxt yt Pt A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por dt dy x p dt dx x p P t CÁLCULO III REGRA DA CADEIA DERIVADAS PARCIAIS Exemplo Considere uma firma cuja receita expressase através da função Rxy xy2 onde x e y representam as quantidades de dois bens produzidos Suponha que estas quantidades dependam do capital k e do trabalho l de acordo com as funções x 4k 3l e y 3k l Calcule as derivadas parciais da receita em relação ao capital e ao trabalho como funções de tais variáveis Antes de aplicar a Regra da Cadeia precisamos calcular as seguintes derivadas parciais l k e y y l x k x y R x R CÁLCULO III REGRA DA CADEIA DERIVADAS PARCIAIS Exemplo 3 l x 2 2 1 3 k y x R 1 3 3 24 2 k l k xy y R 4 k x 3 k y 1 l y CÁLCULO III REGRA DA CADEIA DERIVADAS PARCIAIS Exemplo Aplicando a Regra da Cadeia temos 3 3 3 42 4 3 2 l k l k l k k y y R k x x R k R 1 3 3 42 3 3 2 l k l k l k l y y R l x x R l R CÁLCULO III REGRA DA CADEIA DERIVADAS PARCIAIS Aplicação A temperatura no ponto xy de uma placa de metal situada no plano XOY é dada por T 10x2 y22 Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto 1 2 e na direção de OY Partindose do ponto 1 2 e deslocandose na direção do eixo OX a temperatura aumenta ou diminui CÁLCULO III REGRA DA CADEIA DERIVADAS PARCIAIS Solução 40 2 20 2 2 2 2 y y x y y x y T 40 2 20 2 2 2 2 y x x x y x x T 200 1 2 2 1 20 21 2 2 x T CÁLCULO III REGRA DA CADEIA DERIVADAS PARCIAIS Curvas de nível As curvas de nível são maneiras de descrever geometricamente o comportamento das funções de duas variáveis A idéia básica é semelhante ao mapeamento do relevo de um terreno Dandose um valor particular para z digamos zcobtemos uma equação em duas variáveis fx y c Esta equação define uma curva no plano xy que se chama uma curva de nível da função fx y referente ao valor c Esta curva é a projeção ortogonal sobre o plano xy da curva intersecção do plano zc com o gráfico da função z fx y CÁLCULO III REGRA DA CADEIA DERIVADAS PARCIAIS Curvas de nível Para traduzir um gráfico de z fx y em curvas de nível basta esboçar as curvasintersecção de fx y com z c para diferentes valores de c CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS Exemplo1 Reconhecer e representar graficamente o gráfico da função z fx y x2 y2 Fazendo z c desde que c 0 obtemos a equação x2 y2 c Isto significa que a projeção no plano xy da curvaintersecção do plano horizontal z c com o gráfico da função possui tal equação Essa projeção é a circunferência de centro na origem e raio Como o corte z c é um círculo o gráfico desta função é um parabolóide de revolução obtido pela rotação da parábola z x2 em torno do eixo z CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS Exemplo 1 CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS Exemplo 1 CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS Exemplos de outras curvas CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS Exemplos de outras curvas CÁLCULO III GRADIENTE Gradiente de uma função O gradiente de uma função fx y num ponto x0 y0 designado por fx0 y0 ou grad fx0 y0 é o vetor livre cujas coordenadas são 0 y0 x x f 0 y0 x y f e CÁLCULO III GRADIENTE Simbolicamente Exemplo 2 Calcule o gradiente da função fxy 3x2yx23y2 no ponto 13 0 0 0 0 0 0 y y x f y x x f y f x CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS Resolução Calculemos a derivada parcial da função fxy em relação a x e y No ponto 13 2 3 1 0 0 3 2 6 y x xy y x x f x y x y y x f 3 2 2 0 0 2 3 31 31 31 y f x f f 12 6 18 3 1 3 2 316 31 2 3 1 x f 3 3 2 1 3 1 31 3 2 2 y f Portanto o gradiente da função fx y no ponto 1 3 é o vetor f13 123 CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS Gradiente de uma função Convencionase representar este vetor com origem no ponto em relação ao qual se calcula o gradiente CÁLCULO III Gradiente de uma função Dessas considerações é possível pensar num campo de vetores gradiente de uma função que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornecem em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da função CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS Relação entre Gradiente Curvas de Nível Dizemos que um vetor u é ortogonal a uma curva plana dada pelas equações paramétricas x xt e y yt se ele é ortogonal ao vetor xt yt que é o vetor tangente à curva Teorema O gradiente de uma função fx y no ponto x0 y0 é ortogonal à curva de nível da função que passa por esse ponto CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS Prova Os pontos x y que satisfazem essa equação podem por pertencerem a uma curva plana ser parametrizados por uma variável t x xt e y yt Como fx0 y0 C então fxt yt C Derivando ambos os membros da igualdade em relação a t obtemos pela regra da cadeia 0 y t t y t x y f x t t y t x x f CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS Prova O primeiro membro dessa igualdade é o produto escalar dos vetores fxt yt e xt yt Mas xt yt é o vetor tangente à curva de nível no ponto xt yt Portanto o gradiente da função f no ponto x y é ortogonal ao vetor tangente à curva de nível no ponto x y CÁLCULO III Exercício 1 Se fx y x2 y2 Calculado fx y no ponto 1 1 e desenhe o esboço da representação geométrica CÁLCULO III Exercício 2 Se fx y x2 y2 Calculado fx y no ponto 1 4 e desenhe o esboço da representação geométrica