Equações Diferenciais e Séries: Conteúdo de Cálculo III

M005 Calculo III Prof Renan Sthel Duque 8 de Novembro de 2019 Conteudo Lista de Figuras 3 1 Equacoes diferenciais ordinarias 4 11 Introducao 4 12 Definicao de equacoes diferenciais 4 13 Classificacao das equacoes diferenciais 5 131 Classificacao quanto ao tipo 5 132 Classificacao quanto a ordem 6 133 Classificacao quanto a linearidade 7 14 Origem das equacoes diferenciais 7 141 Problemas geometricos 8 142 Problemas fısicos 8 143 Primitivas 9 15 Solucoes gerais e particulares de uma equacao diferencial 9 151 Solucao geral de uma equacao diferencial 10 152 Solucao particular de uma equacao diferencial 11 16 1a serie de exercıcios 11 17 Equacoes diferenciais de primeira ordem 12 171 Problema de valor inicial 12 172 Forma normal e forma diferencial 12 173 Solucao do problema de valor inicial 13 174 Formas de equacoes diferenciais de 1a ordem 13 18 Aplicacoes dos diversos tipos de equacoes diferenciais 19 19 Equacoes diferenciais lineares de ordem superior 22 191 Definicao 22 192 Propriedades do operador diferencial 23 193 Sımbolos 23 110 Equacoes diferenciais lineares homogˆeneas de ordem n com coeficientes cons tantes 25 1101 Definicao 25 1102 Equacao caracterıstica 26 1103 Princıpio da superposicao 26 1104 Solucao da equacao diferencial linear homogˆenea de coeficientes cons tantes 28 111 Equacoes diferenciais naohomogˆeneas de ordem n com coeficientes constantes 32 1111 Definicao 32 1 1112 Solucao da equacao diferencial naohomogˆenea de ordem n com coe ficientes constantes 32 112 2a serie de exercıcios 41 113 Aplicacoes das equacoes diferenciais homogˆeneas na analise de circuitos ele tricos 43 2 Sequˆencias e Series 48 21 Sequˆencias infinitas ou sucessoes 48 211 Introducao 48 212 Definicao de uma sequˆencia 48 213 Limite de uma sequˆencia 50 214 Propriedades do limite de sequˆencias 54 22 Limites que aparecem com frequˆencia 55 23 Series numericas 57 231 Definicao e conceitos iniciais 57 232 Series convergentes e divergentes 57 233 Series geometricas 59 234 Propriedades das series infinitas 60 235 Seriesp 62 24 Series de termos nao negativos 62 241 Teste da integral 63 242 Teste da comparacao direta ou criterio de Gauss 65 243 Teste da comparacao no limite 66 244 Teste da razao 68 245 Teste da raiz 70 25 Series alternadas 71 251 Teste para series alternadas 71 252 convergˆencia absoluta e convergˆencia condicional 72 26 Resumo dos testes de convergˆencia 74 27 3a serie de exercıcios 76 28 Respostas da 3a serie de exercıcios 78 29 4a serie de exercıcios 79 210 Respostas da 4a serie de exercıcios 82 211 Series de potˆencias 84 2111 Introducao 84 2112 Definicao 84 2113 Teorema da convergˆencia para series de potˆencias 87 212 Expansao de funcoes em series de potˆencias 88 2121 Diferenciacao e integracao de series de potˆencias 88 2122 Series de Taylor e series de Maclaurin 89 213 5a serie de exercıcios 91 214 Respostas da 5a serie de exercıcios 93 2 Lista de Figuras 11 Famılia de curvas integrais 10 12 Circuito RL e RC serie 20 13 Circuito RLC 43 14 Circuito LC 47 21 Grafico da sequˆencia an n 49 22 Limite de uma sequˆencia an 50 23 120 primeiros termos da sequˆencia an 1 n 51 24 Faixa de convergˆencia da sequˆencia an 1 n para ε 0 01 52 25 20 primeiros termos da sequˆencia an n n 1 53 26 Faixa de convergˆencia da sequˆencia an n n 1 para ε 0 1 53 27 Funcao para demonstracao do teste da integral 64 28 Funcao para demonstracao do teste da integral 64 29 Demonstracao do teste da razao 68 210 Demonstracao do teste da raiz 70 211 Demonstracao do teste das Series alternadas 72 212 Resumo dos testes de convergˆencia 74 213 Grafico do exemplo 31 84 214 Grafico do exemplo 32 c 86 215 Intervalo de convergˆencia de uma serie de potˆencias 87 3 Capıtulo 1 Equacoes diferenciais ordinarias 11 Introducao Como visto em Calculo I dada uma funcao y fx sua derivada dy dx f x 11 e tambem uma funcao de x e e calculada atraves de regras apropriadas Por exemplo se y ex2 entao dy dx d dxex2 2xex2 2xy 12 Exemplo 01 Encontre a derivada da funcao y esenlnx3 O objetivo do estudo de equacoes diferenciais nao e encontrar uma derivada de uma funcao e sim tendo uma equacao do tipo dy dx 2xy encontrar de alguma forma uma funcao y fx que satisfaca esta equacao Portanto o objetivo e resolver equacoes diferenciais 12 Definicao de equacoes diferenciais Equacoes diferenciais sao equacoes que relacionam as variaveis independentes a uma funcao y e uma ou mais de suas derivadas Em outras palavras uma equacao diferencial e toda equacao que contem derivadas ou diferenciais Exemplo 02 Sabendo que y fx as equacoes abaixo sao equacoes diferenciais a d2y dx2 3dy dx 2y 0 derivadas x variavel independente 4 y variavel dependente b a ydzyrdy0 diferenciais dy oF 9 c a ety De acordo com o exemplo 2c temse dy 2xydx 13 d a eves 14 y Iny Cy 2 Cy 15 Iny a CC 16 y er tC2C1 er eC2C1 17 y Ce 18 Substituindo 18 na equacao diferencial dada Ce Qr 2xCe 19 que mostra que 18 é uma solugaéo que satisfaz a equagéo diferencial dada 13 Classificagao das equacoes diferenciais As equacoes diferenciais sao classificadas de acordo com 0 tipo a ordem e a linearidade 131 Classificagao quanto ao tipo Equacoes diferenciais ordinarias Apresentam derivadas de uma ou mais fungoes de apenas uma varidvel independente Exemplo 03 sao equacgoes diferenciais ordinarias dy 5y1 a 7 OY 5 b y xdx 6ady 0 dz dv 45 9 dx dx dy dy d 5 3y dx de Equacoes diferenciais parciais Apresentam derivadas parciais de uma ou mais fungoes de varias varidveis independentes Exemplo 04 sao equacoes diferenciais parciais Ou Ov 242 9 a Oy Ox Pu Ou b 0 Ox On Ou 4 Ou c u Ox Vay 132 Classificagao quanto a ordem A ordem de uma equacaéo diferencial é dada pela derivada ou diferencial de mais alta ordem presente na equacao Exemplo 05 a yi tay 2x 1 ordem a dy b aot 4 y0 2 ordem O O c oo IF 0 3 ordem d 2 ydy rydx 0 4 ordem Uma equacao diferencial ordinaria de nésima ordem é representada simbolicamente por dy dy dy F yee 110 Y dx dx 9 9 dx 9 onde y fz 6 133 Classificacao quanto a linearidade Equacoes diferenciais lineares Uma equacao diferencial linear pode ser escrita da forma dny dxn a1xdn1y dxn1 a2xdn2y dxn2 an1xdy dx anxy fx 111 onde fx e os coeficientes a1x a2x anx sao funcoes de x Para que uma equacao diferencial seja linear ela deve satisfazer dois requisitos i A variavel dependente y e todas as suas derivadas devem ser do primeiro grau ou seja o expoente de cada termo y e suas derivadas deve ser 1 ii Cada coeficiente anx deve ser uma funcao da variavel independente x apenas Equacoes diferenciais naolineares sao equacoes diferenciais que nao obedecem aos dois requisitos estabelecidos anterior mente Exemplo 06 Classifique as equacoes diferenciais a seguir quanto a linearidade a x ydx yxdy 0 b x ydx xdy 0 c y 2y 1 0 d x3 d3y dx3 x2 d2y dx2 2xdy dx 2y ex e y d2y dx2 dy dx x f d2y dx2 xy2 0 14 Origem das equacoes diferenciais Uma equacao diferencial pode se originar de um problema geometrico de um problema fısico ou ate mesmo de uma primitiva 7 141 Problemas geometricos O exemplo a seguir mostra como um problema geometrico gera uma equacao diferencial Exemplo 07 a Uma curva e definida pela condicao de ter em todos os seus pontos Px y a incli nacao igual a media aritmetica das coordenadas do ponto Expressar esta condicao usando uma equacao diferencial dy dx x y 2 b Uma curva e definida pela condicao de ter em todos os pontos Px y a inclinacao igual ao dobro da soma das coordenadas do ponto Expressar esta condicao usando uma equacao diferencial dy dx 2x y 142 Problemas fısicos Os exemplos a seguir mostram como problemas fısicos podem gerar equacoes diferenciais Exemplo 08 Suponha que Tt denote a temperatura de um corpo no instante t e que a temperatura do meio ambiente seja constante igual a Tm Se dT dt representa a taxa de variacao da temperatura do corpo ao longo do tempo entao a lei de resfriamento de Newton pode ser expressa matematicamente da seguinte forma dT dt kT Tm onde k e uma constante de proporcionalidade Admitindo que o corpo esta esfriando deve se ter T Tm Logo k 0 Exemplo 09 A diferenca de potencial E atraves de um elemento de circuito de indu tˆancia L e igual ao produto de L pela taxa de variacao em relacao ao tempo da corrente i na indutˆancia Assim E Ldi dt Exemplo 10 O elemento quımico radio se decompoe numa razao proporcional a quan tidade de radio Q presente Assim dQ dt kQ 8 Exemplo 11 A populacao P de uma cidade aumenta numa razao proporcional a po pulacao e a diferenca entre 200000 e a populacao Assim dP dt kP200000 P 143 Primitivas Uma relacao entre as variaveis encerrando n constantes arbitrarias essenciais como y Ax B e chamada primitiva As n constantes sao denominadas essenciais se nao puderem ser substituıdas por um numero menor de constantes Em geral uma primitiva encerrando n constantes arbitrarias essenciais dara origem a uma equacao diferencial de ordem n livre das constantes A equacao diferencial e obtida pela eliminacao das constan tes mediante n derivacoes sucessivas Exemplo 12 Obter uma equacao diferencial associada as primitivas a y Ae2x Bex C b x2y xy a c y BeAx d y Ax2 Bx C e y A lnBx f y A cosax Bsenax 15 Solucoes gerais e particulares de uma equacao di ferencial Uma solucao fx definida num intervalo I e solucao de uma equacao diferencial se a mesma e suas n derivadas satisfizerem a equacao Fx fx f x f x f nx 0 112 para qualquer valor de x no intervalo I Este intervalo pode representar um intervalo aberto a b um intervalo fechado a b um intervalo infinito a e assim por diante Exemplo 13 Verificar se a funcao yx C1sen2x C2 cos2x com C1 e C2 sendo constantes arbitrarias e solucao da equacao diferencial y 4y 0 9 Exemplo 14 Verificar se y x2 1 e uma solucao de y4 y2 1 E importante notar que algumas equacoes diferenciais admitem infinitas solucoes en quanto outras nao admitem solucao E possıvel tambem uma equacao diferencial apresentar uma unica solucao como por exemplo a equacao y4 y2 0 que apresenta apenas a solucao trivial y 0 151 Solucao geral de uma equacao diferencial A solucao geral de uma equacao diferencial e dada por uma famılia de solucoes y fx C tais que para cada valor da constante C temse uma solucao para a equacao diferencial dada cujos graficos formam uma famılia de curvas integrais Pode haver tam bem solucao geral com duas ou mais constantes da forma y fx C1 C2 Exemplo 15 Tomando a equacao diferencial y cosx temse dy dx cosx dy cosxdx Esta equacao diferencial apresenta como solucao geral a expressao a seguir y senx C onde C e uma constante arbitraria que representa a totalidade das solucoes da equacao di ferencial dada Tomando C 1 0 1 2 3 temse algumas das curvas que formam a famılia de curvas integrais como mostrado na Figura 11 0 05 1 15 2 25 3 35 4 2 1 0 1 2 3 4 5 X em unidades de PI Y Figura 11 Famılia de curvas integrais 10 152 Solucao particular de uma equagao diferencial Ea solucao obtida para um valor especifico de C mediante condicgoes iniciais Especifi car uma solucao particular é equivalente a escolher uma curva integral particular da familia de curvas por exemplo tomar uma curva apenas do grafico da Figura 11 Isso pode ser feito préfixando um ponto 29 yo através do qual a curva deve passar isto é adotando uma condigao inicial Exemplo 16 Encontre uma solucao particular para a equacao diferencial y 6x 0 sabendo que y0 1 16 1 série de exercicios 1 Classifique cada uma das seguintes equacoes diferenciais a seguir quanto 4 ordem e a linearidade Indique também a varidvel independente e a varidvel dependente a 12y 4xy 5y cosx dy dy b t 4 2 y0 dx J c xty xy et d ts ts 1 sent d dy dx dx d k f 1 dt r2 2 Verifique se a solugcao dada é uma solucao para a equacao diferencial dada sabendo que C e Cy sao constantes arbitrarias ayy y12y0 y Cye Coe dy b 4 Cie dx Y y 1 cyy0 yCcosx Cosenz dyay sy ysrl 3 Quais das funcoes a seguir sao solucdes da equacao diferencial y y 0 a e 11 b senx c 4ex d 0 e 1 2x2 1 17 Equacoes diferenciais de primeira ordem 171 Problema de valor inicial Um problema de valor inicial consiste em uma equacao diferencial juntamente com as condicoes iniciais relativas a funcao incognita e suas derivadas O objetivo destes problemas e resolver uma equacao diferencial de primeira ordem sujeita a condicao inicial yx0 y0 onde x0 e um numero no intervalo I onde a funcao e suas derivadas existem e y0 um numero real arbitrario O problema dy dx fx y yx0 y0 113 e chamado de problema de valor inicial que tambem pode ser escrito na forma fxdx gydy 0 yx0 y0 114 conforme sera mostrado no item a seguir 172 Forma normal e forma diferencial A forma normal de uma equacao diferencial de primeira ordem e dada por y fx y 115 A funcao fx y em 115 pode sempre ser escrita como um quociente de duas outras funcoes Mx y e Nx y o sinal negativo aparece aqui apenas por conveniˆencia Dessa forma lembrando que y dy dx 116 a equacao 115 pode ser reescrita como dy dx Mx y Nx y 117 que resulta numa equacao diferencial na forma diferencial Mx ydx Nx ydy 0 118 12 173 Solucao do problema de valor inicial A solugao do problema de valor inicial 114 pode ser obtida na forma usual primeiro resolvendo a equacao diferencial e em seguida aplicando a condicao inicial diretamente para determinar a constante de integracgao C Alternativamente a solucao pode ser obtida a partir de x y fayde f gydy 0 119 xo Yo A equacaéo 119 pode entretanto nao determinar a solucao de 114 de maneira tinica isto é 119 pode ter muitas solugées das quais uma apenas satisfara o problema de valor inicial Exemplo 17 Determine se algumas das fungoes a yix sen2z b yox x 1 c ysx 5sen2a sao solucoes do problema de valor inicial y4y0 y00 y01 174 Formas de equacoes diferenciais de 1 ordem As equacoes diferenciais de 1 ordem podem ser encontradas em qualquer uma das 4 formas citadas a seguir Equagoes diferenciais de varidveis separadas Equagoes diferenciais homogéneas Equagoes diferenciais lineares Equagoes diferenciais redutiveis a linear ou equagées de Bernoulli Equacgoes diferenciais de variaveis separadas Uma equacao diferencial possui varidveis separadas quando é possivel escrever a equacao Maydx Naydy 0 120 na forma 13 fxdx gydy 0 121 onde fa 6 uma fungaéo somente de x e gy é uma fungao somente de y A solugao desta equacao é obtida através da integracao dos dois membros da equagao 121 ou seja J toae J owey Je 122 tars owey C 123 Exemplo 18 Resolva as equacoes diferenciais a seguir a adx ydy 0 dy b 4 22 9 pyres caV1lyyyvVv142 0 d edx ydy0 y01 e Ladyaydx0 y12 d f Y aye2y2 y0 2 dx g 3a7y rydx 22 y x ydy 0 2 h dey dy x dx dy 2 WY a Dye 2x1 y3 yi dx y14 2 d k os e 4 dy 1 dy lity dx 1 2 m dy 60s y dx senz Exemplo 19 Quando um bolo é retirado do forno sua temperatura é de 300F Trés minutos depois sua temperatura passa para 200F Quanto tempo levara para sua tempe ratura chegar a 100F se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70F 14 Equacgoes diferenciais homogéneas Definigao de fungao homogénea Uma fungao fxy é homogénea de grau de homogeneidade n se e somente se para t 0 temse f ta ty t fxy 124 onde n é um numero real Exemplo 20 Verifique a homogeneidade das fungoes a seguir a fxy xy 4x 32y mee y b fxy rev ysen 2 x c ft yuy x d 444 e ft y 2 3xy By Definigao de equacao diferencial homogénea Uma equacao diferencial dada na forma diferencial Maydx Naydy 0 125 é homogénea se VM e N sao fungoes homogéneas de mesmo grau Se a equacao diferencial Mx ydx Nx ydy 0 é homogénea entao ela pode ser transformada em uma equacao diferencial de varidveis separadas adotando a mudancga de varidvel Y vx 126 dy xdv vdz 127 Isto reduzira qualquer equagao diferencial homogénea a forma Px vdz Qx vdv 0 128 onde as varidveis e v sao separdveis Depois da integracao v é substituido por y para x voltar as varidveis originais 15 Exemplo 21 Encontre a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir a 2ryy y 2 0 b a ydx x xydy 0 c aydy 2 ydx 0 d a ydx 3rydy 0 2ry ot aa Pp y y f xsen 2 ydx ady ycos 2 xdy ydx 0 x x g dy y V2 ydx 0 h 1 2edy 2e 1 dx 0 x Equacgoes diferenciais lineares sao equacoes diferenciais da forma dy aa UP QC 129 x d onde a derivada i e a varidvel dependente y sao do primeiro grau e Px e Qx sao x fungoes continuas de Exemplo 22 dy a dn ysen2x a Px sen2r Qx 2 x dy 2 3 2 3 b int yu Paa2 Qa2 x dy c teu ysecx Px cotgx Qx cossecx x dx d wilt Pyy Qiy 2 dy 2 wg e de 3xy senx Esta equacaéo nao é linear x Solucgao da equacao diferencial linear Com a ajuda de um fator de integracao apropriado ha uma técnica padrao para resolver uma equacao diferencial linear de primeira ordem da forma 16 d T Pxy Qx 130 dx em um intervalo onde as fungoes coeficientes Px e Qx sejam continuas Adotando um fator de integracao p el Pwde 131 e multiplicando a equagéo 130 por este fator de integracgao obtémse d of Poet 4 Pxef Potey Qaef Pirate 132 x O primeiro membro da equagao 132 corresponde a derivada do produto y aol Par 133 de modo que 132 é equivalente a d an lye Pees Qxef Pte 134 x Integrando os dois membros da equacao 134 resulta yet Prde aael ar C 135 Finalmente a solucao geral y da equacao diferencial linear de primeira ordem é y e J Pde alee oma c 136 A equacgao 136 nao deve ser memorizada Em um problema mais especifico é geral mente mais simples usar o método com que a mesma foi deduzida Exemplo 23 Encontre a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir dy 2 3 ec a dx yee b y 2ry2 d 4 c oF yx dx x dyysenz y71 17 e x2 1dy dx 3xy 6x f y 1 y cosx yπ 2 g x yeyy 1 Dica considere y como sendo a variavel independente h cos2xsenxdy y cos3x 1dx 0 i dy dx y 1 e2x ex ex j 1 xy xy x x2 k dy dx y x2 l x 2dy dx y 2x 23 m dy dx x 1 x2y 2x 1 x2 n dy dx ycotgx 5ecosx Equacoes diferenciais redutıveis a linear Equacoes de Bernoulli sao equacoes diferenciais da forma dy dx Pxy Qxyn 137 onde Px e Qx sao funcoes de x ou constantes Exemplo 24 a dy dx ysenx y3 cosx Px senx Qx cosx b xy dy dx y2 x2y4 xy dy dx y x xy3 Px 1 x Qx x Solucao da equacao diferencial de Bernoulli Uma equacao diferencial de Bernoulli se reduz a linear pela multiplicacao de ambos os membros da equacao 137 pelo fator yn obtendo 18 ndy n ys Ply Qe 138 Adotando uma substituicao de varidveis da forma dz dy ln n ay 1 139 cay Fa ny 139 temse dy 1 dz nF 140 4 dx 1lndx Substituindo 139 e 140 em 138 obtémse 1 dz P 141 F Pl Qo 141 logo dz 1nPoz 1 n Qx 142 que é uma equacao diferencial linear em z cuja solucao é dada pelo método de resolugao de equacoes diferenciais lineares visto anteriormente Apds a obtencao da solucaéo da equacao em z deve substituir na mesma a relacao dada por 139 para expressar a solugéo como uma fungao yx Exemplo 25 Encontre a solucao geral para as equacoes diferenciais a seguir a y 8y 2y d b ony ay 0 dx c xdy y vy1 Inw dx dy 1 1 d y 1 2z2y a 34 gl 2ay d e ty ycosasenx Dica na integral esenxdr fazer u senx e dv x e dx 18 Aplicacoes dos diversos tipos de equacoes diferen ciais Os exemplos a seguir mostram aplicagoes de equagoes diferenciais originadas de um problema geométrico problemas fisicos como taxa de crescimento e decrescimento de po 19 pulacao tempo de meia vida etc Exemplo 26 O grafico de y fx passa pelo ponto 94 A reta tangente ao grafico em qualquer ponto xy apresenta inclinacéo igual a 3x Determine fz Exemplo 27 Uma particula deslocase sobre 0 eixo OX de modo que em cada instante t a velocidade é 0 dobro da posicao Qual a equacao diferencial que rege o movimento E qual a fungao da posicgao xt Exemplo 28 A taxa de crescimento de uma populacao de moscas da fruta é pro porcional ao tamanho da populacao em qualquer instante t Se a populacao era de 180 moscas ao final do segundo dia de experiéncia e de 300 moscas ao final do quarto dia qual o tamanho da populagao original Exemplo 29 Sabendo que a populacao de uma cidade dobra em 50 anos em quantos anos ela sera o triplo admitindo que a razao de crescimento é proporcional ao nimero de habitantes Exemplo 30 A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de variacgao da tempe ratura de um objeto é proporcional a diferenca entre sua temperatura e a temperatura do meio ambiente isto é dT kT T 143 MI Ty 143 Suponha que um cOmodo seja mantido a uma temperatura constante de 22C e que um objeto neste cOmodo leve 45 minutos para resfriar de 150C a 50C Quanto tempo vai levar para este objeto atingir a temperatura de 27C Exemplo 31 Considere os circuitos simples contendo um indutor ou um capacitor em série com um resistor como mostrado na Figura 12 L C E E R R Figura 12 Circuito RL e RC série Temse R resisténcia dada em ohms LE induténcia dada em henries H 20 C capacitˆencia dada em farads F E tensao da fonte dada em volts V it corrente no circuito serie em funcao do tempo dada em amperes A qt carga em um capacitor em funcao do tempo dada em coulombs C A carga qt se relaciona com a corrente it atraves da expressao it dqt dt 144 e a tensao et se relaciona com a corrente it da forma mostrada a seguir para cada ele mento de circuito Resistor et Rit Rdqt dt Indutor et Ldii dt Ld2qt dt2 Capacitor et 1 C qt A 2a lei de Kirchhoff diz que a soma das quedas de tensao em uma malha fechada de um circuito e nula ou seja Ldi dt Ri E 145 para o circuito RL e Rdq dt 1 C q E 146 para o circuito RC Vale notar que as equacoes 145 e 146 sao equacoes diferenciais lineares de 1a ordem Baseado nessas informacoes pedese a Uma bateria de 12 volts e conectada a um circuito em serie no qual a indutˆancia e de 12 henry e a resistˆencia de 10 ohms Determine a expressao para a corrente no circuito it sabendo que a corrente no instante inicial e zero b Encontre a corrente it sabendo que esta corrente satisfaz a equacao diferencial Ldi dt Ri sen2t onde R e L sao constantes nao nulas 21 Exemplo 32 Tempo de duplicacao e meia vida Se uma quantidade y possuir um modelo de crescimento exponencial entao o tempo necessario para a quantidade inicial dobrar e chamado de tempo de duplicacao e se y pos suir um modelo de decaimento exponencial entao o tempo requerido para a quantidade inicial se reduzir pela metade e chamado de meia vida O tempo de duplicacao e meia vida dependem somente da taxa de crescimento ou decaimento e nao da quantidade presente inicialmente Suponha que y yt possui um modelo de crescimento exponencial dado por y y0ekt 147 e seja T o tempo requerido para y dobrar seu tamanho Desta forma no tempo t T o valor de y sera duas vezes y0 e portanto 2y0 y0ekT ekT 2 lnekT ln2 T ln2 k 148 Baseado nestas informacoes pedese A taxa de decomposicao do elemento radio e proporcional a quantidade presente em um dado instante Sabendo que a meia vida do radio e de 1600 anos encontre o percentual de radio que permanece apos 25 anos 19 Equacoes diferenciais lineares de ordem superior 191 Definicao Uma equacao diferencial linear de ordem n tem a forma geral representada por a0 dny dxn a1 dn1y dxn1 a2 dn2y dxn2 an1 dy dx any fx 149 onde a0 0 a1 a2 an sao constantes ou funcoes de x somente Por conveniˆencia a equacao 149 pode ser representada na forma de um polinˆomio atraves da utilizacao de um operador diferencial D onde D d dx 150 Assim dy dx Dy d2y dx2 D2y d3y dx3 D3y dny dxn Dny Portanto a equacao 149 pode ser escrita na forma 22 a0Dny a1Dn1y a2Dn2y an1Dy any fx 151 ou a0Dn a1Dn1 a2Dn2 an1D any fx 152 A expressao entre colchetes de 152 e chamada de operador polinomial e e represen tada por FD ou seja FD a0Dn a1Dn1 a2Dn2 an1D an 153 e a equacao 149 pode ser escrita na forma FDy fx 154 Exemplo 33 Representar a equacao diferencial a seguir utilizando o operador dife rencial D d3y dx3 d2y dx2 4dy dx 4y 0 192 Propriedades do operador diferencial P1 Dkyx kDyx P2 Dk1y1x k2y2x kDy1x k2Dy2x P3 DmDnyx Dmnyx P4 D2 a bD abyx D aD byx 193 Sımbolos 1 O simbolo Dnfx significa que a funcao fx deve ser derivada n vezes Exemplo 34 Obtenha a Dx2 2x 1 b D 2D 2ex c D2x3 e2x d D3D2senx 2 O sımbolo 1 Dnfx Dnfx significa que a funcao fx deve ser integrada n vezes 23 Seja a equacao diferencial dy in fx dy fxdx 155 dy flade 156 y tae 157 Escrevendo a equagao 155 utilizando o operador diferencial D e comparando o resul tado com a equagao 157 temse dy Sfx Dy fla 158 x 5 fle 159 y phe 1 pil f Fleder 160 dx 161 palle ff Fada 161 da 162 alle ff fear 162 Generalizando 1 n pie ff rea 163 Exemplo 35 Obtenha sl a Dp ax b Fle en pete c sen2 D d ae pe 3 O simbol fx signifi d Osimbolo Y f x significa que devese operar com DrD rsD Tn sumed P Dn 1 em fx em seguida com Do 2 resultado encontrado e assim sucessivamente até o r Lo perar no ultimo resultado DT 24 Exemplo 36 Seja a equacao diferencial linear dy qe TY Fe Pe r Qa Fa 164 A solugao geral desta equagao é y e J Pde flajel PO dar 165 y ef mde faje I de 166 Escrevendo 164 em fungao do operador diferencial D temse Dy riy fx 167 Driy fx 168 Fle 169 y D TY v Comparando 166 e 169 concluise que 1 pot of mde fvye Ida 170 Exemplo 37 Obtenha 1 x a Do b 50 D4 aap c e D 1D 2 110 Equacoes diferenciais lineares homogéneas de or dem n com coeficientes constantes 1101 Definigao sao equacoes diferenciais da forma dy dty dy dy dun UGgnat 2 Gmea Fo tna any 0 171 25 Dny a1Dn1y a2Dn2y an1Dy any 0 172 FDy 0 173 onde os coeficientes a1 a2 an sao constantes Observacao A equacao dny dxn a1 dn1y dxn1 a2 dn2y dxn2 an1 dy dx any gx 174 onde gx 0 e chamada naohomogˆenea Tomando o polinˆomio FD e fatorandoo obtemse FD D r1D r2D r3 D rn 175 Dessa forma a equacao 173 fica D r1D r2D r3 D rny 0 176 1102 Equacao caracterıstica e a equacao FD D r1D r2D r3 D rn 0 177 onde r1 r2 r3 rn sao chamadas raızes caracterısticas Exemplo 38 Encontre a equacao caracterıstica e as raızes caracterısticas das equacoes diferenciais a seguir a y y 4y 4y 0 b y y 12y 0 c y 2y 3y 0 d 2y 3y y 0 1103 Princıpio da superposicao Se as funcoes y1x y2x y3x ynx sao solucoes de uma equacao diferencial homogˆenea entao a combinacao linear 26 yx Crys Caye C3y3 Crun 178 também é uma solucao onde y1 ya y3 Yn Sao funcoes linearmente independentes Dessa forma a equacao 178 representa a solucao geral ou completa da equagao diferencial linear homogénea Dependéncia linear As fungoes y2 yox y3Yna possuem dependéncia linear quando uma ex pressao pode ser escrita na forma i1 onde C Co C3C sao constantes arbitrarias As fungoes 41 2 Yo2 y3Ynx sao linearmente independentes se a equacao Crys x Coyox Cay3x Cnnx 0 180 é satisfeita somente quando C Cp C3 C 0 Caso contrario as n funcoes sao ditas linearmente dependentes Exemplo 39 As fungdes y e e yo e sao linearmente independentes pois Cie Coe 0 somente quando C Co 0 Exemplo 40 As fungoes y e yo 2e e yz e sao linearmente dependentes pois Cle 2Cze C3e 0 nao somente quando C Cy C3 0 e sim para uma infinidade de valores como C 2 Cp 1 e C3 0 Cy 2 Cp 1 e C3 0 etc Assim é interessante usar um método mais pratico para estabelecer uma condicao ne cesséria e suficiente para a confirmacao da dependéncia linear entre funcoes Isto pode ser realizado através do determinante de Wronski ou Wronskiano que é formado na sua primeira linha pelas fungoes em estudo e da segunda linha em diante por suas fungoes derivadas de primeira ordem até a de ordem n 1 como mostrado a seguir x yox Ys Yn a yy x yox ysx 2 w We wz s ey 2 181 n1 n1 n1 n1 mn Pe PCa Pe gh M Da teoria dos determinantes podese concluir que 27 Se W 0 as funcoes sao linearmente dependentes Se W 0 as funcoes sao linearmente independentes Exemplo 41 Estudar a dependˆencia linear das funcoes a seguir a y1 ex y2 e2x b y1 ex y2 2e2x c y1 x y2 x 1 y3 x 2 d y1 senax y2 cosax e y1 lnx y2 x lnx y3 x2 lnx 1104 Solucao da equacao diferencial linear homogˆenea de coe ficientes constantes A solucao geral de uma equacao diferencial linear homogˆenea de coeficientes constantes e dada de acordo com a forma assumida pelas raızes da equacao caracterıstica Existem 4 casos de raızes da equacao caracterıstica 10 Caso raızes da equacao caracterıstica reais e distintas Considerando a equacao dy dx r1y 0 D r1y 0 182 sua solucao e dada por y C1er1x 183 Considerando a equacao D r1D r2y 0 184 onde r1 r2 sua solucao e dada por y C1er1x C2er2x 185 Generalizando para uma equacao diferencial de ordem n temse como solucao 28 y C1er1x C2er2x C3er3x Cn1ern1x Cnernx 186 onde as funcoes er1x er2x er3x ern1x ernx sao linearmente independentes Exemplo 42 Encontre a solucao geral das seguintes equacoes diferenciais a d3y dx3 d2y dx2 4dy dx 4y 0 b D3 2D2 5D 6y 0 c D2 D 6y 0 20 Caso raızes da equacao caracterıstica reais e iguais Considerando a equacao D r1D r2D r3 D rkD rk1D rk2 D rny 0 187 e supondo que a equacao caracterıstica possui k raızes reais iguais e as raızes restantes reais distintas ou seja r1 r2 r3 rk 188 e rk rk1 rk2 rn 189 No caso da equacao caracterıstica admitir raızes reais multiplas ou seja raızes de mul tiplicidade k e k n onde n e a ordem da equacao diferencial a solucao geral da mesma assume a forma y C1 C2x C3x2 Ckxk1erkx Ck1erk1x Cnernx 190 onde as funcoes erkx xerkx x2erkx xk1erkx erk1x ernx sao linearmente independen tes Exemplo 43 Encontre a solucao geral das seguintes equacoes diferenciais a D3 3D2 3D 1y 0 b D2 6D 9y 0 29 c D 23D 3D 12y 0 30 Caso raızes da equacao caracterıstica complexas e distintas Sabese que se a equacao caracterıstica FD 0 possui uma raiz complexa da forma α jβ o conjugado α jβ tambem e raiz da mesma Supondo que a equacao caracterıstica apresenta n raızes onde duas raızes sao α jβ α jβ e as raızes restantes sao reais e distintas a equacao diferencial linear homogˆenea apresentara como solucao geral y K1eαjβx K2eαjβx C3er3x C4er4x Cnernx 191 onde atraves da utilizacao das relacoes de Euler ejβx cosβx jsenβx 192 e ejβx cosβx jsenβx 193 e apos algumas manipulacoes algebricas a equacao 191 fica y C1 cosβx C2senβxeαx C3er3x C4er4x Cnernx 194 Novamente as funcoes presentes na solucao da equacao diferencial sao linearmente in dependentes Exemplo 44 Encontre a solucao geral das seguintes equacoes diferenciais a d2y dx2 2dy dx 10y 0 b D3 4Dy 0 40 Caso raızes da equacao caracterıstica complexas e iguais Neste caso basta fazer a combinacao do 20 e 30 casos Supondo que a equacao caracte rıstica FD 0 de uma equacao diferencial apresenta n raızes onde 4 delas correspondem a 2 pares de raızes conjugadas e as demais raızes sao reais e distintas Assim r1 r3 α jβ 195 r2 r4 α jβ 196 30 r1 r2 r5 r6 rn 197 A solucao geral para esta equacao diferencial e dada por y C1 C2x cosβx C3 C4xsenβxeαx C5er5x C6er6x Cnernx 198 Novamente as funcoes presentes na solucao da equacao diferencial sao linearmente in dependentes Exemplo 45 Encontre a solucao geral das seguintes equacoes diferenciais a y 4y 0 b y 16y 0 c d4y dx4 4d2y dx2 0 d y 2y 10y 0 e d2y dx2 3dy dx 4y 0 f d4y dx4 2d2y dx2 y 0 g yiv 4y 4y 0 h yiv 8y 16y 0 i D2 D 13D2 92D 42D 7y 0 Exemplo 46 Encontre a solucao das equacoes diferenciais a seguir levando em conta as condicoes iniciais dadas a y 4y 3y 0 y0 7 y0 11 b 9y 6y 4y 0 y0 3 y0 4 c 3y 2y 0 y0 1 y0 0 y0 1 31 111 Equacoes diferenciais naohomogˆeneas de ordem n com coeficientes constantes 1111 Definicao sao equacoes diferenciais da forma dny dxn a1 dn1y dxn1 a2 dn2y dxn2 an1 dy dx any fx 199 Usando o operador diferencial esta equacao fica Dn a1Dn1 a2Dn2 an1D any fx 1100 FDy fx 1101 Escrevendo FD na forma fatorada obtemse FD D r1D r2D r3 D rn 1102 Assim 1100 fica D r1D r2D r3 D rny fx 1103 1112 Solucao da equacao diferencial naohomogˆenea de ordem n com coeficientes constantes Considerando a equacao diferencial homogˆenea D r1D r2D r3 D rny 0 1104 associada e equacao 1103 A equacao 1104 possui uma solucao yhx chamada de solucao homogˆenea que pos sui constantes arbitrarias A equacao diferencial naohomogˆenea dada por 1103 possui tambem uma solucao ypx chamada de solucao particular livre de constantes arbitrarias Dessa forma a solucao geral da equacao diferencial naohomogˆenea com coeficientes constantes e dada por yx yhx ypx 1105 onde 32 ynx solucao homogénea ou funcgaéo complementar que no estudo de circuitos corres ponde ao regime transitdrio Yx solugao particular ou integral particular que no estudo de circuitos corresponde ao regime permanente yx solugao geral que no estudo de circuitos corresponde é resposta completa do mesmo Sabese que a solucao geral possui n constantes arbitrarias devido a presenca da solucao homogénea Assim FDy FD lyn wl FD un FDyp 0 fx 1106 A equacgaéo 1106 indica que a solugéo homogénea da equagéo diferencial 1103 é aquela que se substituida na equagao o resultado sera nulo e a solucao particular é aquela que se substituida na equacgao ira gerar a fungao fx Foi visto anteriormente como pro ceder no calculo da solucao homogénea Para o calculo da solugao particular existem dois métodos principais Método abreviado Método dos coeficientes a determinar Método abreviado A solugao particular de uma equagao diferencial FDy fa com coeficientes cons tantes é dada por 1 Yp Fib 1107 Sabese que para uma equacao diferencial de primeira ordem temse 1 1 T12 T12X Ypx Fi Do e faje dx 1108 Para uma equacao diferencial de ordem n temse 0 a fla fa 1109 yx fx Sa ff av p FD D 11D 12D Tn Ypx mere frerrie feobrrrie f clmrmais Ef Fayent de 1110 E facil notar em 1110 que o célculo da solucao particular é uma tarefa trabalhosa porém este cdlculo facilita bastante quando a fungaéo fx assume formas conhecidas como 33 fK fa e fx 2 fx a fx e cosG fx esenGx onden Zea BER 1 Caso fx ac FDy ac onde a e 2 sao constantes arbitrarias Neste caso a solucao particular é dada por ol ol Ba wnle Ele Fae oe FB 40 ant Exemplo 47 Encontre a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir a D 1D 3D 2y e b D 1D 3D 2y e 3 c D1D3D 2y d y 3y 2y 30 e D 1D 2y 3c 2ex 2 Caso fr ksenaxr 6 ou fx kcosarb onde kabeR A equacao diferencial tera a forma FDyp ksenax 6 1112 ou FDy k cosax b 1113 Neste caso a solucao particular é dada por 34 1 x ksenax b 1114 ina epyhsenar 1114 ou x keos 1115 x kcosax 4p FD pea onde Fa 4 0 Exemplo 48 Determinar a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir a y y 2senz b D 4y cos3zr c yy y sen2z d y 3y 2y 2sen2x e y 3y 4y sen2xr Observagao Se no calculo da solugao particular para este caso FD 0 para D a devese resolver a equacao diferencial pelo método dos coeficientes a determi nar que sera visto posteriormente 3 Caso fz x FDy x onde me Z Neste caso a solucao particular é dada por 1 Ypx Fb ay aD aD 03D amD2 ay 0 1116 1 onde o polinémio a9 a D aD a3D4dmD obtido ao fazer a divisao FD desprezandose todos os termos além de D pois D x 0 Exemplo 49 Encontrar a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir a yl Ay 7 b y4ya1 c D 4D3y272r1 35 d D3 4D2 3Dy x2 40 Caso fx ezxQx FDyp ezxQx onde z R e Qx e uma das funcoes estudadas nos casos 2 e 3 ou seja Qx xm 1117 ou Qx ksenax b 1118 ou Qx k cosax b 1119 Neste caso a solucao particular da equacao diferencial e dada por ypx 1 FDezxQx ezx 1 FD zQx 1120 Exemplo 50 Encontre a solucao geral para as equacoes diferenciais a seguir a D2 4y x2ex b D2 D 6y e5xsenx c D2 D 4y xe3x Metodo dos coeficientes a determinar Semelhante ao metodo abreviado a aplicacao deste metodo se limita as equacoes dife renciais lineares naohomogˆeneas com coeficientes constantes da forma FDy fx 1121 onde fx apresenta uma das formas mostradas abaixo ou e uma combinacao linear das mesmas fx k k R xm m Z eβx β R senax a R cosax a R 1122 36 Exemplo 51 A funcao fx poderia assumir as formas a fx 10 b fx x2 5x c fx 8x 6e2x d fx sen2x 5xsen3x 3x2ex O metodo dos coeficientes a determinar nao se aplica as equacoes diferenciais cujas fun coes fx sao diferentes das formas citadas como por exemplo fx lnx fx x1 fx tgx ou fx secx As famılias de funcoes conhecidas constantes exponenciais polinˆomios senos e cosse nos possuem a seguinte propriedade Se as somas e os produtos destas funcoes forem derivadas sucessivas vezes o resul tado obtido continuara sendo somas e produtos destas mesmas funcoes Exemplo 52 Seja fx x3 3x2e4x e2xsenx Notase que fx possui um produto de um polinˆomio por uma exponencial e um pro duto de um seno por uma exponencial Derivando esta funcao em relacao a x obtemse f x 3x2 6xe4x x3 3x24e4x 2e2xsenx e2x cosx Como dito na propriedade o resultado f x consiste em somas de produtos das mesmas funcoes ou seja ao produto de exponenciais por polinˆomios e ao produto de exponenciais por funcoes senoidais Tomando esta propriedade e sabendo que uma equacao diferencial linear naohomogˆenea de coeficientes constantes e uma combinacao linear entre a funcao yx e suas derivadas podese concluir que a solucao particular ypx que gera a funcao fx possui a mesma forma de fx Exemplo 53 Encontrar a solucao geral de y 4y 2y 2x2 3x 6 1123 A solucao homogˆenea e determinada a partir das raızes da equacao caracterıstica As sim D2 4D 2 0 1124 37 As raızes da equacao caracterıstica sao r1 2 6 e r2 2 6 Logo a solucao homogˆenea e yh C1e2 6x C2e2 6x 1125 Para determinar a solucao particular uma vez que fx assume a forma de um po linˆomio do segundo grau admitese que yp tambem assume a forma de um polinˆomio do segundo grau Assim yp Ax2 Bx C 1126 Para encontrar a solucao particular os valores de A B e C devem ser calculados deri vando a equacao 1126 duas vezes e substituindo os resultados em 1123 Assim y p 2Ax B 1127 y p 2A 1128 Substituindo estes resultados em y 4y 2y 2x2 3x 6 vem 2A 8Ax 4B 2Ax2 2Bx 2C 2x2 3x 6 1129 2Ax2 8A 2Bx 2A 4B 2C 2x2 3x 6 1130 Comparando os dois membros de 1130 concluise que 2A 2 A 1 1131 8A 2B 3 B 5 2 1132 2A 4B 2C 6 C 9 1133 Assim a solucao geral da equacao diferencial dada e y yh yp C1e2 6x C2e2 6x x2 5 2x 9 1134 Exemplo 54 Encontre a solucao da equacao diferencial y y y 2sen3x Dica Sabendo que derivacoes sucessivas de sen3x geram termos com sen3x e cos3x uma escolha sensata para a solucao particular e yp Asen3x B cos3x 38 Exemplo 55 Encontre a solucao da equacao diferencial y 2y 3y 4x56xe2x Dica Sabendo que fx e composta por uma funcao polinomial do primeiro grau so mada com o produto de um polinˆomio do primeiro grau com uma exponencial a solucao particular assume a mesma forma yp Ax B Cx De2x Exemplo 56 A tabela a seguir traz alguns exemplos de fx Complete esta tabela com as escolhas apropriadas para a solucao particular ypx fx Solucao particular ypx 1 5x 7 3x2 2 x3 sen4x e5x 9x 2e5x x2e5x e3x cos4x 5x2sen4x xe3x cos4x O exemplo a seguir mostra que algumas vezes o metodo dos coeficientes a determinar deve sofrer uma pequena modificacao no momento de adotar a solucao particular ao ob servar a forma de fx Exemplo 57 Encontre a solucao geral para a equacao diferencial y 2y 4e2x A solucao homogˆenea obtida a partir da raiz da equacao caracterıstica D 2 0 e yh C1e2x 1135 Observando a funcao fx 4e2x uma escolha inicial para a solucao particular e yp Ae2x 1136 Derivando 1136 vem y p 2Ae2x 1137 39 Substituindo estes resultados na equacao diferencial dada vem 2Ac 2Ac de 1138 0 4e 1139 Isto ocorre devido ao fato da solucao particular adotada y Ae estar presente na solucao homogénea Sabese que a solucao homogénea é aquela que zera a equacao dife rencial O objetivo da solucao particular é gerar a fungao fx e nao anular a equacao diferencial como ocorreu neste exemplo Voltando a equacao diferencial dada D 2y 40 1140 1 428 1141 Yp D2 e Mas Fa 0 f fae 1142 fxr e xje Dr Logo Yp setetae 1143 Yp 4a 1144 Assim podese concluir que quando a funcao fx presente na equacao diferencial fizer parte da solugao homogénea a solucao particular adotada deve ser multiplicada por 2 Exemplo 58 Encontre a solucao geral para a equacao diferencial y 10y25y 2e Dica A equagao caracteristica desta equacao diferencial 6 dada por D 5 0 e sabendo que a mesma possui duas raizes iguais a 5 a solucao homogénea fica Yn Cy Coxe 1145 Para determinar a solucao particular temse fx 2e e observase que a solucao particular inicialmente adotada y Ae esté presente na solugéo homogénea Multipli cando esta solugaéo adotada por x obtémse y Axe que também esta presente na solucao homogénea Portanto devese multiplicar novamente esta solucéo adotada por x até resultar numa funcao que nao coincida com yp Portanto devera ser adotada a solucao particular 40 yp Ax2e5x 1146 Exemplo 59 Encontre a solucao geral para as equacoes diferenciais a seguir usando o metodo dos coeficientes a determinar a y 5y 4y 8ex b y 8y 25y 5x3ex ex c y 4y x cosx d y 9y 14y 3x2 5sen2x 7xe6x e y 2y y ex f y 4y 8t2 g y 3y 2y et h y 2y 5y 1 25e05t 40 cos4t 55sen4t Exemplo 60 Resolva os problemas de valores iniciais a seguir a y y 4x 10senx yπ 0 yπ 2 b y 2y y et y0 1 y0 1 112 2a serie de exercıcios 1 Resolva as equacoes diferenciais a seguir pelo metodo abreviado a y 9y 54 b 2y 7y 5y 29 c y y 3 d y 3y 4x 5 e y 4y 4y 2x 6 f y 2y y x3 4x g y y 8x2 41 h y 6y 8y 3e2 2x i y 2y 3y 4e 9 j y 2y 2e k y 2y 5y esenz l y y 4cos2x sen2z7 2 Resolva as equacgoes diferenciais a seguir pelo método dos coeficientes a determinar a y 3y 2y 6 b y y 6y 2a c y 10y 25y 302 4 3 d 4y 4y 3y cos2x e y 4y 4y 4x 8x f y 2y 22 5e7 g y y 2axsenx h y 4y x 3sen2z i y y 8senz j y y sena cosx 3 Resolva as equacoes diferenciais a seguir observando as condicoes iniciais dadas a y 4y 2 v y 2 8 2 8 b 5y y6r y00 y0 10 xr c 7p wr Fysenwt 2x00 20 0 42 113 Aplicagoes das equacoes diferenciais homogéneas na analise de circuitos elétricos Seja um circuito RLC composto por uma fonte de tenséo em série com um capacitor um indutor e um resistor como mostrado na Figura 13 t0 L Et C R Figura 13 Circuito RLC A partir do instante que a chave fecha t 0 e a corrente comega a circular no circuito sabese que a soma de todas as quedas de tenséo em uma malha fechada é nula Assim er t ept ect Et 1147 onde et queda de tensao no indutor ect queda de tensao no capacitor pt queda de tensao no resistor Et tensao da fonte Para os elementos de circuito citados a tensdo et se relaciona com a corrente it da seguinte forma Indutor dit tL 1148 ext 1148 onde L é a indutancia dada em henries H Capacitor 1 ect 5 ieee 1149 onde C é a capacitancia dada em farads F 43 Resistor ert Rit 1150 onde R é a resisténcia dada em ohms Assim a equacao 1147 fica dit 1 f DL Rit tdt Et 1151 Te Rit G f itd BW 1181 Derivando a equagéo 1151 em relagéo ao tempo obtémse dit dit 1 dEt D R 4 it 1152 dee tT Ome 1152 dit Rdit 1 1 dEt WAY 4 2 i SO 1153 a p at LOOT at 1153 Escrevendo 1153 utilizando o operador diferencial D temse R 1 1 D D jitDE 1154 v TD 7a Me pDEW 1154 Para o calculo da solugéo homogénea equacao caracteristica deste circuito é R 1 DD 11 ZT To 0 1155 R 4 A 1156 I Le Se A 0 R 4 11 Bra 0 1157 R 4 11 RP Ie 1158 e o circuito é dito superamortecido A equacao caracteristica apresenta raizes reais distin tas que faz com que a corrente apresente a forma it Cye Cye 1159 Se A 0 44 R2 L2 4 LC 0 1160 R2 L2 4 LC 1161 e o circuito e dito criticamente amortecido A equacao caracterıstica apresenta raızes reais iguais que faz com que a corrente apresente a forma it C1 C2tert 1162 Se 0 R2 L2 4 LC 0 1163 R2 L2 4 LC 1164 e o circuito e dito subamortecido A equacao caracterıstica apresenta raızes complexas que faz com que a corrente apresente a forma it C1 cosβt C2senβteαt 1165 Uma outra abordagem pode ser feita para este circuito bastando para isto equacionalo em relacao a carga q dada em Coulombs C ao inves de utilizar a corrente Neste caso sabese que a corrente que circula no circuito corresponde a variacao da carga ao longo do tempo ou seja it dqt dt 1166 Assim a relacao entre tensao e carga para cada elemento de circuito e estabelecida utilizando a relacao 1166 Assim Indutor eLt Ldii dt Ld2qt dt2 1167 Capacitor eCt 1 C qt 1168 45 Resistor dqt ept Rit nal 1169 Assim a equacao 1147 fica dqt dgt 1 L R qt Et 1170 RD 5 Ault Blt 1170 qt Rdgt 1 4 qt Et 1171 Ww Ld tT LG FO 1171 Escrevendo 1171 utilizando o operador diferencial D temse R 1 1 D D qt Et 1172 v 50 za a pe 1172 Para o calculo da solugéo homogénea equacao caracteristica deste circuito é R 1 D D 11 Z La 0 1173 A Re 4 1174 2 LO Se A 0 R 4 11 Ria 0 1175 R 4 we Ft 1176 LI LC e o circuito é dito superamortecido A equacao caracteristica apresenta raizes reais distin tas que faz com que a carga apresente a forma qt Cye Coe 1177 Se A 0 R 4 LT 11 RIG 0 1178 R 4 a 11 2 Le 1179 e o circuito é dito criticamente amortecido A equacao caracteristica apresenta raizes reais iguais que faz com que a carga apresente a forma 46 qt Cy Cote 1180 Se A 0 R 4 1181 R re 0 1181 R 4 we Ft 1182 I LC eo circuito é dito subamortecido A equacao caracteristica apresenta raizes complexas que faz com que a carga apresente a forma qt C cos Gt CysenGte 1183 Exemplo 61Para o circuito LC da Figura 14 encontre a carga no capacitor e a cor rente no circuito sabendo que q0 0 e i0 0 t0 L Et C Figura 14 Circuito LC 1 a L1 Aj C 6 F Et 60 V b L5 AH C001 F Et 20t V 47 Capıtulo 2 Sequˆencias e Series 21 Sequˆencias infinitas ou sucessoes 211 Introducao Quando dizemos que uma colecao de objetos forma uma sequˆencia significa que esta colecao esta ordenada de forma que possui um primeiro elemento um segundo elemento e assim por diante Do ponto de vista da matematica uma sequˆencia e uma funcao cujo domınio e o conjunto dos numeros inteiros positivos e a imagem e dada por um conjunto de valores que seguem uma lei de formacao Utilizamos a notacao n 1 2 3 4 5 n domınio an a1 a2 a3 a4 a5 an imagem 212 Definicao de uma sequˆencia Uma sequˆencia de numeros reais e uma funcao f N R que associa a cada numero natural n um numero real an ou fn Exemplo 01 A sequˆencia fn n ou an n mostrada no grafico da Figura 21 e dada por a0 0 a1 1 a2 2 a3 3 an n Observacoes 1 Os termos a0 a1 a2 an sao chamados de termos da sequˆencia 2 Em alguns casos e conveniente considerar o primeiro termo da sequˆencia como a0 Neste caso a sequˆencia assume a forma a0 a1 a2 a3 an 21 3 Conhecendo os primeiros termos da sequˆencia e possıvel representala pelo seu termo geral 48 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n fn Figura 21 Grafico da sequˆencia an n Exemplo 02 a 1 1 2 1 3 1 4 O termo geral desta sequˆencia e dado por an 1 n n 1 b 1 1 1 1 1 O termo geral desta sequˆencia e dado por an 1n n 1 4Uma regra de formacao ou equacao para o nesimo termo de uma sequˆencia e sufici ente para especificala Exemplo 03 Indique os quatro primeiros termos e o decimo termo das sequˆencias a seguir considerando a1 como sendo o primeiro termo da sequˆencia a an n n 1 b bn n2 2n 1 c cn 1n1 n2 3n 1 d an 4 49 213 Limite de uma sequˆencia Um numero real L e limite de uma sequˆencia an ou a sequˆencia an converge para o valor L se a seguinte condicao for satisfeita ε 0 existe um ındice M N tal que an L ε n M 22 Isto significa que ε an L ε L L ε an L ε 23 Este resultado e mostrado no grafico da Figura 22 Figura 22 Limite de uma sequˆencia an A definicao dada na equacao 22 diz que a partir de um determinado ındice M n M todos os termos da uma sequˆencia que converge para o valor L se encontram dentro da faixa mostrada no grafico E importante notar que 1 Se a sequˆencia an converge para um valor L apenas uma quantidade finita de termos M termos ficara fora da faixa compreendida entre as retas y L ε e y L ε 2 O ındice M para o qual a sequˆencia an comeca a convergir depende do valor de ε 3 Todos os termos da sequˆencia an a partir do termo de ordem M estao dentro do intervalo aberto L ε L ε 50 Exemplo 04 iL ns 1 1 Sabemos que lim 0 Neste caso a sequéncia cujo termo geral é dado por a noo 1 n converge para o valor L 0 Utilizando a definigéo dada na equacao 22 vamos conside rar 001 A definicao diz que la Lle WnM 24 ou seja 1 Fe o 001 25 n Sendo n um inteiro positivo temos 1 001 26 n Para que isto ocorra devemos ter n 100 Logo M 101 satisfaz a definicao 22 que indica que todos os termos da sequéncia a Yn 100 se encontram dentro do intervalo aberto 0010 01 O grafico da Figura 23 mostra os 120 primeiros termos desta sequéncia e o grafico da Figura 24 mostra a mesma sequéncia porém com uma visualizacaéo que permite ob servar que a partir do 101 todos os termos da sequéncia se encontram dentro da faixa 0 01 001 1p nal nal E 05h wal 01 i i Ak 0 20 40 60 80 100 120 oo ns 1 Figura 23 120 primeiros termos da sequéncia a n 51 001 Pf 969 7 7 TOO oo OO oo Oo S 0 0015 95 100 105 110 115 ns ns 1 Figura 24 Faixa de convergéncia da sequéncia a para e 001 n n 2 Dada uma sequéncia de termo geral a oT verificamos que n n lim 1 27 nl G0 Adotando um valor 0 observamos que lan Le Yn M 28 ou seja n ie 29 1 29 nnl J e 210 n1 1 ee 211 n1 1 n1 212 e finalmente 1 n1 213 E Esta desigualdade nos sugere que dado um valor devemos escolher WZ como sendo o 1 primeiro numero natural maior que 1 Qualquer valor de indice n M atende a defini E 1 1 cao de convergéncia da sequéncia Por exemplo para 01 temos 7 1 b1 19 e M 10 0 primeiro indice a partir do qual os termos da sequéncia se encontram dentro da faixa de convergéncia 0911 Fora deste intervalo existem exatamente 9 termos da sequencia 52 O grafico da Figura 25 mostra os 20 primeiros termos desta sequˆencia e o grafico da Figura 26 mostra a mesma sequˆencia porem com uma visualizacao que permite observar que a partir do 10o todos os termos da sequˆencia se encontram dentro da faixa 0 9 1 1 0 5 10 15 20 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 n fn Figura 25 20 primeiros termos da sequˆencia an n n 1 0 5 10 15 20 07 08 09 1 11 12 n fn Figura 26 Faixa de convergˆencia da sequˆencia an n n 1 para ε 0 1 Teorema 01 Limite de uma sequˆencia Se os termos de uma sequˆencia coincidem com os valores de uma funcao fx que possui limite quando x entao esta sequˆencia converge para este mesmo limite Em outras palavras Seja fx uma funcao de variavel real tal que lim x fx L Se a sequˆencia an e tal que fn an n inteiro positivo entao lim n an L 53 sequéncias que possuem limites L finitos para n co sao chamadas de convergentes ao passo que sequéncias que nao possuem limites sao chamadas de divergentes O teorema 01 permite a utilizacgao da Regra de LHopital para calcularmos limites de sequéncias ns 1 Exemplo 05 Determine o limite da sequéncia a 1 n Teorema 02 Teste da razao para sequéncias Para uma sequéncia a de termos positivos se lim nth 1 esta sequéncia tende NCO On para zero Exemplo 06 Verifique se 0 teorema 02 é satisfeito para as sequéncias a seguir n a an an b bn r 0 bo Tr n c c ten 1x3x5xx 2n1 nP dn am 2 214 Propriedades do limite de sequéncias Se lim a A lim b BeceER entao nCo nco 1 lim a b AB noo 2 lim cxacx A noo 3 lim a xX b Ax B noo a A 4 lim Vb 400 BFO noo by B 5 Se ja 1 entao lim a 0 noco 6 Se ja 1 entao lim a oo e a diverge noco 54 22 Limites que aparecem com frequéncia 1 tim 2M 9 noo n 2 lim Wn1 Nnoo 3 lima 1 x0 Nnoo 4 lim 0 a 1 Nnoo zr 5 lim 1 e VreER noo n 6 im 0 WeR noo n Exemplo 07 Determine se as sequéncias a seguir convergem ou divergem a an 3 1 n b b tm 5 2n c fon 5 on a fon 2 n2 e an 5 Exemplo 08 Encontre 0 nésimo termo das sequéncias a seguir e verifique se as mes mas convergem ou divergem 1 23 O a 9 9 3 4 b 0 20202 5 10 17 2 c 9 9 3 9 4 9 234 5 d 369 12 55 e 19 254981121 4 8 16 32 f 2 9 3 5 7 9 9 9 1 8 27 64 8 379 9781 De acordo com os exemplos anteriores é preciso conhecer a lei de formacao de uma sequéncia para identificarmos sua convergéncia ou sua divergéncia Exemplo 09 Determine se as sequéncias a seguir convergem ou divergem Se con vergem calcule o limite das mesmas n2n1 a n3n4 Qn b pa iisenZ c 4 sen 2 d n5n 7n 1 n 3n1 e dn 2 T 6 msen Se 4 msen on 4 senan sen7n S n h vn F1 vin 56 23 Séries numéricas 231 Definigao e conceitos iniciais Uma série infinita é definida como sendo a soma dos termos de uma sequéncia infinita ou seja dn G2 43 A4A5 sequéncia 214 Say a1 a2 03 04 5 Série 215 n1 Embora nao possamos somar um numero infinito de termos como proposto na equagao 215 é necessdrio definir o significado de uma soma infinita Para tal iremos definir inicialmente uma sequéncia de somas parciais Dada uma série a a sequéncia de somas parciais é definida por Sn 1 S253S4Sn 216 onde Si a1 Sg a a 51 a S53 a A a3 So a3 217 S4 a1 G2 03 a4 S3 04 Sn a a a3 444 An Spi Gn 232 Séries convergentes e divergentes Dada uma série infinita a a sua nésima soma parcial é dada por Sn a a2 a3 ag An 218 Se a sequéncia S diverge isto significa que a série a diverge Se S converge para um valor L isto significa que a série a converge para o mesmo valor Exemplo 10 1 1 1 1221 a A série 4 possui as somas parciais d ao 24s ie P 57 1 Si 9 1 1 38 S rr a 1 1 1 7 GS4 42 SOT TT E78 stai li 1 b 248 16 16 5 ott at 254 8 77 Qn gn 2ri1 2In2 a Como lim lim 1 concluimos que esta série converge e sua soma é igual a 1 Observacao Do exemplo acima concluimos que determinar a soma S de uma série significa achar o limite da sequéncia de somas parciais S ou seja S lim S 219 noo 1 b ame nn 1 Expandindo o termo geral desta série em uma soma de fragoes parciais encontramos 1 1 1 1 1 1 1 1 sS 14 220 amen eat 13 3 Ga Observamos que 1 S 1 n1 e 1 lim S lim 15 1 Logo a série converge e sua soma é igual a 1 Observacao a série do ultimo exemplo dado é chamada série telescépica pois assume a forma Sua nésima soma parcial é dada por Sp by by 222 Uma série telescépica converge se e somente se b possui limite finito quando n oo e sua soma é dada por 58 S lim S b lim b 223 nCo noo oe a ee Exemplo 11 Calcule a soma da série telescépica S 4n 1 233 Séries geométricas Se a sequéncia a 6 uma progressao geométrica PG cuja razéo é dada por r e primeiro termo é dado por a cr 0 a soma dada pela equacao 224 a seguir 6 uma série geométrica S An S er er er 4 ork 4 er 3 4 ter perk 4 224 nk nk onde c é uma constante real Teorema 03 convergencia de uma série geométrica Uma série geométrica de razao r diverge se r 1 Se r 1 a série converge e sua soma é igual a sra Ser ae 225 nu lr ilr nk nk onde a cr corresponde ao primeiro termo da série geométrica Demonstracao do teorema Tomando os n primeiros termos da série geométrica dada pela equacao 224 temos Sy er erktt 4 ork 4 ork 4 feb ro 226 Multiplicando 226 pela razéo r obtemos rS crt ork 4 ert 8 4 tek th ek 227 Subtraindo a equacgéo 227 da equacgao 226 obtemos Sn 17S cr erk 228 S1r er1r 229 k n n erLlr ap1r Ss 230 lr lr 59 A equacao 230 representa a nésima soma parcial de uma série geométrica indepen dente da mesma ser convergente ou divergente uma vez que S é 0 resultado da soma de uma quantidade finita de termos Observando esta equagao para r 1 temos r oo quando n oo e por consequéncia a série geométrica diverge Para r 1 temos r 0 quando n oo e entao lim lim SU tim 1r 231 lim S lim lim 1 r n0o n0Co 1lr 1r nc lr Exemplo 12 Analise a convergéncia das Séries geométricas a seguir 3 a on n0 CO 3 n 5 n0 Observacao Uma dizima periddica pode ser expressa como uma série geométrica Exemplo 13 Expresse cada uma das dizimas periddicas a seguir como a razao de dois inteiros a 0 080808080808 b 1414414414414 c 1 24123123123 234 Propriedades das séries infinitas As propriedades a seguir sao derivadas das propriedades dos limites de sequéncias Se So dn A bp Bec é uma constante real as Séries a seguir convergem para as somas indicadas 1 Oa b AB 2 So cay cA 3 Se retirarmos um ntmero finito de termos de uma série sua convergencia ou diver gencia nao é alterada ou seja as Séries So an a a2 43 n1 60 co y Gn Gp Agsi ps2 Ggag nk ambas convergem ou ambas divergem Sf 1 1 Exemplo 14 Encontre a soma da série y 8 nn1 n1 Teorema 04 Limite do nésimo termo de uma série convergente CO Se uma série infinita y dyn converge entao lim a 0 noo n1 Observacao A reciproca nao é verdadeira ou seja nao podemos afirmar que uma série co 1 converge se lim a 0 Isto ocorre com a série harmonica divergente y que sera noo n1 n estudada a seguir Do teorema 04 podemos enunciar o teorema 05 a seguir Teorema 05 Critério do termo geral para a divergéncia de Séries 1 Se lim a nao existe ou se lim a existe e é diferente de zero entao a série So an é nN0o noo divergente 2 Se lim a 0 a principio nada pode ser afirmado a respeito da convergéncia da série noo Yan Exemplo 15 Analise 0 nésimo termo das Séries a seguir para determinar se as mes mas divergem CO a y 2 n0 7 b ael n1 n1 co n ome 2n 1 n1 2 Qn Exemplo 16 Sabendo que y converge encontre lim n1 Exemplo 17 Uma bola jogada de uma altura de 6 metros comeca a quicar ao atingir o solo A altura maéxima atingida pela bola a cada batida no solo é igual a 34 da altura da queda correspondente Calcule a disténcia vertical total percorrida pela bola 61 Exemplo 18 Encontre a série infinita que produz as sequéncias de somas parciais dadas Analise a natureza destas Séries n Sp a Sy 1 b Sn 2 grad 235 Sériesp Uma sériep 6 uma série que assume a forma 1 1 1 121 1 Lue tte tet tet 232 onde p é uma constante real No caso p 1 a série é chamada série harmonica e é dada pela equacao 233 1 1 1 1 1444 233 Sbatsdededs 239 Teorema 06 convergéncia das Sériesp Uma sériep converge se p 1 e diverge se p 1 A prova deste teorema serdé dada mais adiante Exemplo 19 De acordo com o teorema 06 1 1 11 A séri 1444 1édi te a serie t5tgtagt p 1 é divergente b Asérie S44 a14 hy 2445 p 2 é convergente Lae eT ge pe seme 24 Séries de termos nao negativos Dada uma série 5 a temos duas perguntas 1 A série converge 2 Se ela converge qual é a sua soma 62 Estudamos até entao algumas Séries conhecidas como a série telescépica a série ge ométrica e a sériep que possuem caracteristicas proprias que permitem a aplicacaéo de determinados testes de convergéncia porém se estas caracteristicas sofrerem pequenas alteragdes os testes vistos deixam de ser validos Isto pode ser observado no exemplo a seguir Exemplo 20 a 4 é uma série geométrica mas nao é n0 2 n0 2 b é uma sériep mas nao é n1 n n1 n 1 Veremos a seguir alguns critérios para o estudo da natureza das Séries 241 Teste da integral Seja a uma sequéncia de termos nao negativos Suponha que a fn onde f é uma funcgaéo de x continua positiva e decrescente para todo x M onde MEN entao tanto a série S Gy Quanto a integral fxdx convergem ou tanto uma nM M quanto a outra divergem Demonstracao Supondo uma funcao f decrescente com fn a Vn como mostrado na Figura 27 Os retangulos da Figura 27 de areas a1 d243 englobam coleti vamente uma area maior que a area sob a curva y fx dex laxnl1 isto 6 n1 fadaz a aga3 n 234 1 A Figura 28 traz o grafico da mesma fungaéo fx porém com os retangulos voltados para a esquerda Desconsiderando o primeiro retangulo na Figura 28 vemos que a soma das Areas dos retangulos restantes 6 menor que a area sob a curva fx para x 1 até xv n ou seja aa tag tartans fadx 235 1 Somando a nos dois membros da equagéo 235 temos ay ba basta te tay Say f fadx 236 1 Combinando as equagoes 234 e 236 encontramos 63 y fe a 0 1 2 3 4 n nl x Figura 27 Fungao para demonstracao do teste da integral y fx a ES a a fa 0 1 2 3 4 nl n x Figura 28 Funcao para demonstracao do teste da integral n1 n Flojde Say ag 05 a dy Sas f fxdax 237 1 1 Fazendo n oo concluimos que i Se fxdz é finita o lado direito da desigualdade 237 mostra que ay é finita 1 ii Se fxdzx é infinita o lado esquerdo da desigualdade 237 mostra que 53 a 1 é infinita Consequentemente a série S Gy a integral fxdx sao ambas convergentes ou nM M ambas divergentes Exemplo 21 Estude a natureza das Sériesp utilizando o teste da integral 64 Exemplo 22 Estude a natureza das Séries a seguir utilizando o teste da integral CO 2 a S ne n1 CO 3 b 4n3 n1 co 1 Cc ns Dd n n1 1 d nInn4 co e S ne n1 242 Teste da comparagao direta ou critério de Gauss Este teste consiste em comparar uma série com outra de natureza conhecida Seja dn uma série de termos nao negativos i a converge se existe uma série convergente 5 b com ay b para todon M MEN ii a diverge se existe uma série divergente b com a b para todo n M MEN Observacoes 1 Como a natureza de uma série nao é afetada pela remogao de um numero finito de termos as condicoes a bp Gn b sao exigidas somente a partir de um termo qualquer de ordem M 2 Uma série d domina uma série cp se 0 Gy dn Vn N Logo de acordo com a condicao i uma série dominada por uma série convergente é também convergente e de acordo com a condigao ii uma série que domina uma série divergente é também divergente 65 Exemplo 23 Estude a natureza das Séries a seguir utilizando o teste da comparacao direta 1 a aaa n2 1 b Lee 1 a n1 3 d uaa 1 e d Inn Pelo exemplo 23 concluimos que devemos ter em maos uma lista de Séries conhecidas para que possamos utilizar o teste da comparacao direta 243 Teste da comparagao no limite Este teste também consiste na utilizagao de uma série de natureza conhecida para o estudo da natureza de outra série Seja duas Séries a e 4 bn cujos termos gerais sao dados por a 0 e b 0 respectivamente para todo n M onde M EN i Se lim ms c 0 c o entdo ambas as Séries a e b convergem ou ambas noo n divergem An ii Se lim 57 0 e by converge entao 5 a converge nN0o n iii Se lim i coe d diverge entao a diverge noo n Demonstracao Como c2 0 pela definigéo dada na equagao 22 existe um ntiimero inteiro M tal que para todo n M An C eed s 238 entao para n M temos 66 C An c 7cKc 239 2b 2 239 Somando c nos trés membros da desigualdade 239 obtemos C An 3C 2S eo Me 240 2 bn 2 Multiplicando a desigualdade 240 por b obtemos Cc 3c 5 On an On 241 5 2 241 Analisando o resultado encontrado em 241 concluimos que se b converge entaéo 3 a S 5 b converge e consequentemente a converge pelo teste da comparacao direta Por outro lado se b diverge entao S 5 b diverge e consequentemente a diverge pelo teste da comparacao direta Exemplo 24 Estude a natureza das Séries a seguir utilizando o teste da comparacao no limite 1 a rs d vn 1 Ink b ar k1 1 Cc d V2n1 3k 5k o k1 1 e S sen Bp k1 67 244 Teste da razao On Seja 5 a uma série de termos positivos e suponha que lim tt f NCO On entao i A série converge se L 1 ii A série diverge se L 1 ou se L on iii Se L 1 nada pode ser afirmado a respeito da natureza da série An Demonstragao Suponha que lim 4 L 1 Escolhamos um ntimero r com N00 An Lr 1 Sejac rL observando que 0 como mostrado no esquema da Figura 29 t L r 1 R Figura 29 Demonstracao do teste da razao Uma vez que lim Gott L pela definigéo dada pela equacao 22 existe um inteiro n00 On positivo M N tal que On m1 e Vn M 242 An isto é An e tH Le YnM 243 An ou An LetLe WnM 244 an JA que Le LrL r observando o lado direito da inequagao 244 concluimos que ott ep n M 245 An ou Qni1Qnr WnM 246 68 Portanto aM1 aur au Guyir ayr 247 QM3 Guyer aur e assim por diante De fato ay4 ayr se verifica para todo inteiro positivo k Portanto a série geométrica So aur domina a série So ase Sabendo que 0 r 1 a série k1 k1 geométrica converge dai So ansk S An 248 k1 nM1 converge pelo teste da comparacao direta Pela propriedade 3 da Secao 234 concluimos que S dy converge quando o resultado do teste da razao for L 1 n1 Exemplo 25 Estude a natureza das Séries a seguir utilizando o teste da razao Caso o teste seja insuficiente para determinar a natureza da série utilize outro teste nti a an n1 2 b 7 d 5n 1 c S nie n1 Sn d se 1 a n1 ar 4 f foe d a n 69 245 Teste da raiz Seja 5 a uma série de termos positivos e suponha que lim a L n OCo entao i A série converge se L 1 ii A série diverge se L 1 ou se L on iii Se L 1 nada pode ser afirmado a respeito da natureza da série Demonstragao Suponha que lim va L 1 Escolhamos um ntimero r com Noo Lr 1 Sejac rL observando que 0 como mostrado no esquema da Figura 210 tH L r 1 R Figura 210 Demonstracao do teste da raiz Uma vez que lim a L pela definicgéo dada pela equacao 22 existe um inteiro n OCo positivo M N tal que va Le WnM 249 isto é E WaLe VnM 250 ou Le VWaLe WnM 251 Mas e rL de forma que r L Observando o lado direito da inequagao 251 concluimos que VYanr VnM 252 ou anr WnM 253 Como r 1 observamos que a série geométrica convergente r domina a série dn Logo pelo teste da comparacao direta a série a é convergente quando lim a 1 noo 70 Exemplo 26 Estude a natureza das Séries a seguir utilizando o teste da raiz Caso o teste seja insuficiente para determinar a natureza da série utilize outro teste oe 93n1 aE n1 Inr b a oon 1 oon n1 CO n2 n d TS aa Sn 2a 25 Séries alternadas Toda série na qual os termos sao alternadamente positivos e negativos é uma série alternada E lo 27 A série 7 pers 1 142 érie alternad xemplo 27 série 4éuma série alternada P L n 273 4 5 série harmonica alternada 251 Teste para séries alternadas A série alternada So1 an 0 d2a3a4 converge se n1 i Os termos a forem todos positivos a 0 ii Gn41 Gn Vn M onde M EN iii lim a 0 noo 71 Supondo que as trés condicoes acima sejam satisfeitas a demonstracao da convergéncia para Séries alternadas pode ser facilmente observada na Figura 211 a ja 0 Ss S L Ss SOR Figura 211 Demonstragao do teste das Séries alternadas Exemplo 28 Estude a natureza das Séries alternadas a seguir n a a 2r n1 n b 1 Lan n1 on 2 c ntl fp Sb oc ES n1 1 d Soy t n1 n n e 1t Soap n1 2n f 1 i Lo a3 252 convergéncia absoluta e convergéncia condicional Uma série alternada 5 a é absolutamente convergente se a série 5 a 6 convergente Uma série alternada a é condicionalmente convergente se a série a converge mas a série a diverge 72 Exemplo 29 ns os 1 1 41 ns a A série geométrica 1 5 178 converge absolutamente pois a série de 1 1 1 valores absolutos correspondente 1 3 1 8 converge ns ns re b A série harmonica alternada 1 3 34 converge condicionalmente pois 1 1 1 a série de valores absolutos correspondente 1 5 3 Z diverge Exemplo 30 Estude a natureza das Séries a seguir Verifique se as Séries convergentes sao absolutamente ou condicionalmente convergentes n1 1 a Sys n1 oo nn1 1 3 n1 nn 9 Yoyre n0 1 d AU 2 senn e 2 73 26 Resumo dos testes de convergˆencia A Figura 212 e a Tabela 21 trazem um resumo dos testes de convergˆencia para Series Figura 212 Resumo dos testes de convergˆencia 74 TESTE convergéncia OU divergéncia ak oo oo i Converge para S se r 1 série geométrica Ss an Ss cr lr nk nk ii Diverge se r 1 1 i Converge se p 1 sériep Ss MP n1 ii Diverge se p 1 CO CO Ss An i Converge se fxdx converge Integral nk Ko ii Diverge se xdx diverge a fin i Diverge se f fwe divers i Se 5 b converge e ay by para todo n a dan entao ap converge yn ii Se 5 b diverge e ay by para todo n comparacao onde entao 5 a diverge an Ve wee an a iii Se lim c 0 ambas as Séries b 0 noo by convergem ou ambas divergem Se lim 1 a série n00 An i C sel 1 razio San i Converge se ii Diverge se L 1 iii Se L 1 nada pode ser afirmado Se tim V dn L a série i Converge se L 1 Raiz So Gan i ii Diverge se L 1 iii Se L 1 nada pode ser afirmado a de 1an Séries Alternadas Converge se a Gy41 para todo ke lim a 0 an 0 noo Se a converge entao a converge absolutamente Tabela 21 Resumo dos testes de convergéncia 75 27 3 série de exercicios 1 A sequéncia cujo nésimo termo é i An n1 converge Em caso afirmativo encontre lim ay noo 2 Mostre utilizando a Regra de LHopital que a sequéncia a seguir converge para o valor e r m 147 3 Encontre uma formula para o nésimo termo das sequéncias a 038 1524 b 1591317 4 Quais das sequéncias a a seguir convergem e quais divergem Encontre o limite de cada sequéncia convergente a dn 2 0 1 b a 1 1 n C dn 5n cr 1 d a ap sen 5 1 e an Inr 1 Jn f a Inn Inn 1 n S an 106 1 Bey h a m5 3n 6 1 an ol J G arctann 5 Diga se cada série converge ou diverge Se converge calcule a soma dela a 1 142 Vn 5tag7et 5 a nm 7m 7 b Jatqtyt 76 6 Expresse a dizima periddica 5 232323 como razao de dois inteiros usando uma série geométrica 7 Verifique se cada série a seguir converge ou diverge Se converge calcule sua soma a Soy n1 7 b 2n5 So 3rt c 671 n1 4 d Qn1 n1 co 1 n 9X 5 f Sov2 n0 cosn7 n0 h Soin n1 n We dG n0 yn J nl 8 Calcule a soma das Séries convergentes a seguir 1 1 a a Se ee 9n1 b n0 o Son Dica Expanda o t da séri de frago Dica Expanda o termo geral da série em uma soma de frag6es par 2 n Ip p g Goes p ciais 1 1 d a d a 2 Inn 5 9 Encontre uma formula para a nésima soma parcial de cada série e usea para en contrar a soma da série se ela convergir 77 a 24242424 gt otot tpt b oF a a a 100 100 1003 100 7 1 1 1 1 1l4 1t1 c 5 18 1 nl ad yp ty tg 23 34 45 n1n2 7 28 Respostas da 3 série de exercicios 1 A sequéncia converge e lim a e noco 2 Fazer lim Ina para encontrar uma indeterminagaéo do tipo 00 e depois apli nCo car a regra de LHopital Mesmo procedimento adotado no exercicio 1 3 a an n 1 b a 4n 3 4 a Converge para L 2 b Diverge c Converge para L 0 d Converge para L 1 e Converge para L 0 f Converge para L 0 g Diverge h Converge para L e i Converge para L 0 j Converge para L 5 9 a Converge e sua soma é igual a S 3 b Diverge 23 1 23518 6 5 232323 5 54 d 10 is 99 99 7 a Diverge b Diverge 78 4 c Converge e S 5 d Converge e S 8 e Converge e 9 V2 2 f Diverge 5 g Converge e S rs h Diverge i Converge e S Te j Diverge 8 7 S a 5 10 b S 3 c S1 d S In2 9 No asa1Jess 1 1 1 bS 1 Sn 7 ea eo a 2 1 2 Sp ll1 S a5 F Jee5 1 1 1 dS ou a Tg 85 29 4 série de exercicios 1 Séries de termos nao negativos Quais das Séries a seguir convergem e quais di vergem Lembrese de que pode existir mais de uma forma de determinar a convergéncia ou a divergéncia de uma série Utilize 0 teste que achar mais adequado CO e a 1 Inn b A vi 1 Cc d Jnn 1 79 1 d a nl Inn sen n arom n1 CO n n f d 5 3 g nai Va 1 cosn bh n1 n 1 i Inn we In n n1 n v2 n k or n1 1 So nle n1 m Sone n1 oo p10 Dion S Inn n1 n P d a n a a d Inn n r d n 2 Quais das Séries Sian definidas pelas formulas a seguir convergem e quais diver n1 gem 1 a a 2 Anu 1Fsenn n 1 3n 1 b a 3 ana a 80 1 c a 37 int Vn 3 Se So an é uma série convergente de termos nao negativos podese dizer algo so n1 bre S ono Justifique n n1 4 Séries alternadas Quais das Séries alternadas a seguir convergem e quais diver gem 1 n1 yoy b n1 Loon 7 1 c ntl 7 d inn Inn d n1 AVEO d inn 1 e 1t Lis Inn f n1 Vs yes 5 convergéncia absoluta x convergéncia condicional Quais das Séries a seguir convergem absolutamente quais convergem condicionalmente e quais divergem a S1101 n1 1 b 1 UW n 1rt1 c d Bad 1 d 1 d n3 3sn e ntl i owes senn f XI 2 81 CO 2 n 1n dyn 5 100 b ar n1 So 1 n2n1 cosnT J d nJi 1n 1 1 Senn 2n n1 210 MRespostas da 4 série de exercicios 1 a De acordo com o teste da integral a série converge b De acordo com o teste da comparagao direta a série diverge c De acordo com o teste da integral a série diverge d De acordo com o teste da integral a série converge e De acordo com o teste da comparacao direta a série converge f De acordo com o teste da raiz a série converge g De acordo com o teste da comparagao direta a série diverge h De acordo com o teste da comparacao direta a série converge i De acordo com o teste da comparacao no limite a série diverge j De acordo com o teste da comparagao no limite a série converge k De acordo com o teste da razao a série dada converge 1 De acordo com o teste da razao a série dada diverge m De acordo com o teste da razao a série dada converge n De acordo com o teste da razao a série dada converge 0 De acordo com o teste da raiz a série converge p De acordo com o teste da raiz a série converge q De acordo com o teste da raiz a série converge r De acordo com o teste da raiz a série diverge 2 a De acordo com o teste da razao a série converge b De acordo com o teste da razao a série diverge c De acordo com o teste do nésimo termo a série diverge 3 Pelo teste da comparacao direta a série 6 convergente A a A série converge 82 b A serie diverge c A serie converge d A serie diverge e A serie converge f A serie converge 5 a A serie e absolutamente convergente b A serie e condicionalmente convergente c Pelo teste da comparacao no limite a serie e absolutamente convergente d A serie e condicionalmente convergente e Pelo teste do nesimo termo a serie e divergente f Pelo teste da comparacao direta a serie e absolutamente convergente g Pelo teste da razao a serie e absolutamente convergente h Pelo teste da razao a serie e absolutamente convergente i Pelo teste da comparacao direta a serie e absolutamente convergente j A serie e absolutamente convergente k Pelo teste da raiz a serie e absolutamente convergente Observacao Os testes foram mencionados nos exercıcios apenas como suges tao pois mais de um teste pode ser aplicado a uma serie para o estudo de sua natureza 83 211 Séries de poténcias 2111 Introducao O objetivo principal deste estudo é representar as funcdes elementares do calculo como Séries de potencias que sao aquelas cujos termos contém potencias de uma varidvel x Exemplo 31 O conhecimento de Séries geométricas nos afirma que n 2 3 4 n 1 Sox l4atae tartan t42 7 paraz 1 254 2x n0 Este resultado é comprovado na Figura 213 onde a curva continua corresponde ao 1 grafico da fungao fx Tog 2 curva tracejada corresponde ao grafico da soma dos 11 2x primeiros termos da série S x n0 10 8 6 4 2 Eo 5 4 6 8 054 gt 0 1 2 3 4 5 x Figura 213 Grafico do exemplo 31 Pelo grafico podemos observar que fora do intervalo 1 x 1 a série de poténcias diverge 2112 Definicao Se x é uma varidvel entao uma série infinita da forma S 5 Cn Co Cra Cox C32 Oya 255 n0 ou So Cnx a Cyo Oix a Cox a 4C x a 4 256 n0 84 é uma série de poténcias de x ou de x a respectivamente onde Co C1 Co sao os coeficientes da série e a 6 uma constante chamada centro da série Observacoes 1 A série dada pela equacgao 256 possui centro a e a série dada pela equacao 255 que é caso particular da série 256 possui centro a 0 2 Nas Séries de poténcias admitimos 2 1 e x a 1 mesmo quando x 0 e x a respectivamente Isto é feito para simplificar o termo geral da série Exemplo 32 n 2 3 n x us x a ns a Ie lr4444éuma série de poténcias com centro em n 2 3 n 1 a 0 e coeficientes dados por C n 1 h 1 1 3 a ne b S a1 a14 a1 a 1 4 6 uma série de poténcias com n 2 3 1 centro em a 1 e coeficientes dados por C n Dy a 2 1 2 2 2 6 rie d c xr 14 4 4 uma série de 2 2 4 8 1 n poténcias centrada em a 2 e coeficientes dados por C 5 Esta é uma série 1 geométrica cujo primeiro termo é dado por aj 1 e razao r 9 2 Esta série a converge para i se r 1 ou seja r 2 eS 1 2 x2 1 l 2 2422 Oa4 Dentro deste intervalo obtido a série de poténcias dada converge para a 1 1 2 Thay Assim concluimos que 1 1 1 1 2 1 a 2 x 2 w 2 2 O0a4 5 e qe gt y 5 a 2 7 L 85 A Figura 214 ilustra este exemplo onde a curva continua corresponde ao grafico da 2 fungao fz e a curva tracejada corresponde ao grafico da soma dos 11 primeiros x termos da série 5 4 3 2 1 x o 1 2 3 4 5 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 x Figura 214 Grafico do exemplo 32 c Pelo grafico podemos observar que fora do intervalo 0 x 4 a série de poténcias diverge Podemos observar também que o centro da série a 2 esta localizado no centro deste intervalo de convergéncia No exemplo anterior vimos que uma série de poténcias pode ser considerada uma fungao de x fx SCa a 257 n0 onde o dominio de fx é 0 conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge Observando a equacgao 257 concluimos que toda série de poténcias converge em seu centro 2 a para o valor Co fa SC a a Co 040404 Cp 258 n0 Todavia este nao é o tinico valor de x para o qual a série converge Existem outros valores de x que tornam a série convergente e estes valores formam um intervalo chamado de intervalo de convergéncia da série cujo centro é 0 ponto x a Figura 215 86 R R umee e x7 aR a aR x DIVERGENCIA DIVERGENCIA Figura 215 Intervalo de convergéncia de uma série de poténcias 2113 Teorema da convergéncia para séries de poténcias CO Dado que toda série de poténcias So Cnx a possui um raio de convergéncia R n0 a série converge absolutamente quando x a R e diverge quando x a R Este resultado pode ser observado na Figura 215 Observacoes 1 A série pode ou nao convergir nos extremos do intervalo de convergéncia 7 aR exaR 2 Se R 0 a série converge somente no ponto x a centro 3 Se R ow a série converge para qualquer valor de x O intervalo de convergéncia R pode ser encontrado através do teste da razao ou teste da raiz Para estudar a convergéncia da série nas extremidades x aRexaR utilizamos os demais testes vistos teste da comparacao comparacao no limite integral etc Exemplo 33 Para quais valores de x as Séries de poténcia a seguir convergem oo n x a 17 1 eye n1 ee ge2n1 b 11 Gr od n1 oe n x a n0 CO d S nla n0 87 Exemplo 34 Encontre o centro a 0 raio de convergéncia R e o intervalo de convergén cia das Séries de poténcias a seguir Estude a convergéncia das mesmas nas extremidades do intervalo de convergéncia CO 1 a d pat oo x 5n aT n0 3 a 4 c d a d S na 2 n0 e S n x 3 n1 oo gent f 2 ee x 4 5rt 8 a n1 n 212 Expansao de funcoes em séries de poténcias 2121 Diferenciacao e integracao de séries de poténcias Se Ca a converge paraa R x a R para algum raio de convergéncia R 0 isto define uma fungaéo fx fx SS Cnxa Cy Cy a aC2xaC3ra aRaatR n0 259 Esta funcao possui derivadas de todas as ordens dentro do intervalo de convergéncia Estas derivadas sao obtidas através da derivacao da série dada pela equacao 259 termo a termo obtendo as Séries dadas pelas equagoées 260 e 261 fz So nC7a C1 42C2xa3C3ra aRa2atR 260 n0 88 f2 S nn 1C 2 a 2024 6C32a aRaxatR 261 n0 Por outro lado esta fungao também é integravel dentro do intervalo de convergéncia C 4 tl1 feyae ORT 0 aRaaR 262 1 Exemplo 35 Encontre as Séries para fx e fa se fa ins la a tart Soa lal n0 Exemplo 36 Identifique a fungao fx através de sua derivacaéo e posteriormente in tegragao wg gl oo onl 2122 Séries de Taylor e séries de Maclaurin Seja fa uma funcgao com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo a como um ponto interior Desta forma a série de Taylor gerada por f em x a é dada por a n f0 ea 263 n0 onde fa corresponde é derivada de ordem n de fx calculada no ponto x a Demonstracgao Suponha que a série de poténcias Cx a tenha um raio de convergéncia dado por R entao a nésima derivada de fx existe para x a Re derivando a série de poténcias sucessivas vezes obtemos fO x Co Cia a Coa a C3a a Cya a C5a a 264 fx Cy 2C2a a 303a a 4Cyax a 5C5 a 265 fx 2C2 6C3x a 12C4x a 2005a a 266 f x 6C3 24C4x a 60C5 2 a 267 89 fx 24Cy 120C5 a 268 fx nIC uma soma de termos com poténcias de a a como fator comum 269 Calculando cada uma destas derivadas em x a obtemos fa Co OCo 270 fa C IC 271 fa 20 2IC 272 fa 6C3 3C3 273 fa 24C AICy 274 fa nC 275 Desta forma n o He 70 n e flo One a 9 Ew a n0 n0 277 i wy a Me 0 4 eM we a 4 AM ea 4 1 2 3 A série encontrada na equagao 277 é chamada de série de Taylor No caso especial a 0 a fungao fx assume a forma f 0 f 0 fl 0 fl 0 fx S ri f0 fr fr ris 278 n0 chamada de série de Maclaurin Exemplo 37 Obtenha a série de Taylor para fx Ina centrada em a 1 Para que valores de x esta série é valida 90 Exemplo 38 Ache as Séries de Maclaurin para as funcgoes a seguir Encontre o inter valo de convergéncia das Séries obtidas a fx e b fx senz 1 c fx lon d fx e e fx cosz 213 5 série de exercicios 1 Determine o centro o raio de convergéncia e o intervalo de convergéncia das Séries de poténcias a seguir a S x n0 b 5 22 n0 a 2 n0 nx d a n2 a 1 e avi 3 x f d n co gent 8 n0 h 1 a n1 n i SInnx n1 ji S2n w 1 n0 91 2 Determine o intervalo de convergéncia das Séries de poténcias a seguir e dentro deste intervalo a soma das Séries como uma funcao de z ee x 1 a 4n n0 n0 CO Jr n c 1 XS love get n a P n0 e FS n0 3 Para quais valores de x a série 1 1 1 1 a 3 x 3 3 5 e gle e x 3 converge Qual é a sua soma Qual série vocé obtém se derivar a série dada termo a termo Para quais valores de x a nova série converge Qual é a sua soma co r n 4 Dada a séri 5 dese ada a série fz 5 pedese a O intervalo de convergéncia de fx e a soma da série neste intervalo b Idem para fz c Idem para f x 5 Encontre os cinco primeiros termos nao nulos da série de Maclaurin para as fungoes a seguir e ache a série em notacao de somatorio Qual é o intervalo de convergéncia para cada série encontrada a fx e b fx e c fx n1 2 d fx cosz 92 6 Encontre os quatro primeiros termos nao nulos da série de Taylor em torno de x a para as funcoes a seguir e ache a série correspondente em notacao de somatério Qual é o intervalo de convergéncia para cada série encontrada a fz ea1 b fx e a In c fx Inx a 1 7 A funcao Inx admite uma representacéo em série de Maclaurin E a fungao 2 Justifique 8 Encontre a série de Maclaurin para as fungoes a seguir Defina o intervalo de con vergéncia das mesmas a ft e b fx xsenx 9 Desenvolva as funcgoes dadas em Séries de Taylor Encontre o intervalo de conver gencia da série obtida para cada item a seguir a fx senka em torno de x a e depois desenvolva para al fx sen2xr a0 a2 fx senmxz a 12 b fx Inkz em torno de x a e depois desenvolva para fx Inx3 a e 2 x 10 Em estatistica a funcao Ex Vi edt leva o nome de fungao Erro Encontre T Jo a série de Maclaurin da fungao Fz 214 Respostas da 5 série de exercicios 1 a Centro a 0 raio R 1 e intervalo de convergéncia 1 x 1 b Centro a 0 raio R 12 e intervalo de convergéncia 12 x 12 c Centro a 2 raio R 10 e intervalo de convergéncia 8 x 12 d Centro a 0 raio R 1 intervalo de convergéncia 1 x 1 e Centro a 1 raio R 1 e intervalo de convergéncia 0 x 2 f Centro a 0 raio R oo e intervalo de convergéncia Vx R g Centro a 0 raio R o e intervalo de convergéncia Vz R h Centro a 0 raio R 1 intervalo de convergéncia 1 x 1 i Centro a 0 raio R 1 e intervalo de convergéncia 1 x 1 j Centro a 1 raio R 12 intervalo de convergéncia 12 x 32 93 2 4 a fx t I intervalo de convergéncia 1 x 3 b fx soa intervalo de convergéncia 4 x 2 2 c fx t VJ intervalo de convergéncia 0 x 16 3 d fx Fog intervalo de convergéncia 2 x V2 2 e fx 3 intervalo de convergéncia V3 x V3 3 so fe 30 1 eayiees al 2 fa 2 n i e 3 la5 cx1P 2 A 2 SS a YN 2 2 a fx 5 5 a 2 Sn x n1 b fw e G 2 fx a 3 5 2a 4 nn 1 pay n2 Me v 2 2 oso gigs SMe M B28 oe 2 3 4 nt uk a fe DW lot at gn Wwe yo az ax aa att b Ma DG hha oe tap tap te we o fa a ae EE ey lal xt 37 gt 1 oo yen re ot gh 8 d 1 114 R 2 d nyl ata ata ws 6 Se 1P2 1 a Fle doe etezIte 7 te VEER x In2 x In2 wIn2 a In2 b R 2 d Yan 2 oxdl axgr TS 1 e1 w1 w1 yy x1 bee 2 Flo ST 1 SS a oe 94 7 nao pois ambas as fungoes nao sao definidas para x 0 8 CO ef a fx D2 Vr ER n0 g2nt3 1x R b f d Grape 9 2 2n1 senkaka a coskaka a 1 55 Vr eR a fx d 2n t 2n 1 wes nei t a 0 2a b fz nka D1 aay OS S20 10 5 7 9 2n1 2 x x x x 2 gent 2r 4 1V E2 3 5xa Tx3l Oud Fao One iy xn R 95 Referˆencias Bibliograficas ZILL Dennis G CULLEN Michel R Equacoes diferenciais Trad Antonio Zumpano Volume 1 3a Edicao Editora Makron Books Ltda sao Paulo 2001 JR Frank Ayres Equacoes Diferenciais 6a Edicao McGrawHill Inc sao Paulo 1973 EDWARDS Bruce H HOSTETLER Robert P LARSON Roland E Calculo com Geometria Analıtica Volume 2 5a Edicao Livros Tecnicos e Cientıficos Editora SA Rio de Janeiro 1997 GUIDORIZZI H Luiz Um Curso de Calculo Volume 4 Livros Tecnicos 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