P1 Dinamica dos Solidos - Rotacoes e Momento de Inercia - Moeda em Rotacao

Faculdade de Engenharia P1 Dinâmica dos Sólidos Total Nome Curso Turma RA Data Leia as questões antes de respondêlas A interpretação das questões faz parte da avaliação Os cálculos devem ser demonstrados para validação dos exercícios Questões com respostas sem UNIDADE terão pontos descontados É permitido o uso de lápis borracha caneta e calculadora Qualquer material sob as carteiras será considerado irregular e a prova retirada As respostas dos exercícios devem ser com tinta azul ou preta prova com resposta a lápis será corrigida normalmente mas não dará direito à arguição quanto à correção quando da vista a mesma Desligue o celular e observe o tempo disponível para resolução Instruções Dinâmica dos Sólidos Prof Dr Luíz Guilherme Rezende Rodrigues P2 Rotações e momento de inércia Questão 1 Rotação de uma moeda Uma das primeiras atitudes a se tomar ao iniciar qualquer tipo de resolução envolvendo problemas em engenharia é a determinação de um referencial onde o seu sistema será descrito Geralmente o eixo cartesiano tridimensional é o mais utilizado por apresentar já uma certa intimidade com os nossos conhecimentos No entanto é preciso reconhecer que dependendo do tipo de simetria do sistema a utilização do eixo cartesiano para sua descrição se torna inviável Em outras palavras queremos dizer que além do sistema cartesiano existem muitos outros tipos de sistemas cuja utilidade varia de acordo com a simetria do sistema Como exemplo podemos citar o sistema bidimensional polar coordenadas polares o sistema tridimensional esférico coordenadas esféricas e o sistema tridimensional cilíndrico coordenadas cilíndricas Diante dessas informações imagine que você tenha uma moeda de um real que gira ao redor de um eixo central que a divide ao meio eixo y A descrição das informações dessa situação é feita através da figura abaixo Figura Rotação de uma moeda de um real Não é difícil perceber que a moeda apresenta uma simetria circular Nesse caso você pode desconsiderar a altura dela e trabalhar apenas com as informações radiais e angulares Em outras palavras para descrever esse problema é indicado a utilização do sistema polar bidimensional onde as coordenadas 𝑥 e 𝑦 são transformadas em coordenadas radial 𝑟 e angular 𝜃 A figura abaixo é uma ilustração que indica a relação entre a transformação do eixo cartesiano e do eixo polar Figura Representação gráfica da transformação das coordenadas cartesianas para as polares Matematicamente a lei de transformação do sistema cartesiano para o sistema polar é dada por 𝑥 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟2 𝑥2 𝑦2 Uma observação extremamente importante e que deve ser destacada é que ao transformar o eixo cartesiano para qualquer outro eixo de referência é fundamental determinar um fator multiplicativo relacionado a compensação entre os dois sistemas de coordenadas Esse fator é conhecido como jacobiano Baseado nessas informações responda as seguintes perguntas a Faça uma pesquisa sobre jacobiano e indique a equação geral para seu cálculo b Utilize a equação geral indicada por você e calcule o jacobiano considerando a transformação do sistema de coordenadas cartesiano para o sistema polar indicados pela lei matemática acima c Calcule o momento de inércia da moeda girando ao redor do seu próprio eixo central considerando a densidade da moeda como uma constante e o raio da moeda sendo 15cm Dica Para esse cálculo utilize a definição de densidade superficial que é dada pela razão entre a massa da moeda e a área da mesma Questão 1 A Como o enunciado já esclarece o jacobiano é um fator multiplicativo que aparece na hora de mudarmos o sistema de coordenadas Assim se x y é o sistema de coordenadas anterior e uv é o novo sistema de coordenadas temos J x u x v y u y v B No caso acima temos ur e vθ de modo que xr cosθ yrsinθ Calculando o jacobiano temos J x r x θ y r y θ J r cosθ r r cosθ θ r sinθ r r sinθ θ J r r cos θ r cosθ θ r r sinθ r sinθ θ J 1 cosθ r sinθ 1sinθ r cosθ J cosθ r sinθ sinθ r cosθ Jcosθ r cosθr sinθ sinθ Jr cos 2θr sin 2θ Jrcos 2θsin 2θ Jr C No sistema x y o momento polar de inércia de massa é dado por Momentor 2dm Aqui seja ρ a densidade superficial Assim temos Momentor 2ρ d A Momentoρ x 2 y 2d xdy Momentoρ x 2 y 2dxdy Mas trocando o sistema de coordenadas a integral fica Momentoρ x 2 y 2 J d r dθ Momentoρ r 2r drdθ Momentoρ 0 2π 0 R r 3drdθ Momentoρ 0 2π r 4 4 0 R dθ Momentoρ R 4 4 0 2π dθ Momentoρ R 4 4 2π Momentoρ π R 4 2 Logo sendo ρ M moeda π R 2 temos também MomentoM moeda R 2 2 Onde R15cm é o raio da moeda Questão 1 A Como o enunciado já esclarece o jacobiano é um fator multiplicativo que aparece na hora de mudarmos o sistema de coordenadas Assim se 𝑥 𝑦 é o sistema de coordenadas anterior e 𝑢 𝑣 é o novo sistema de coordenadas temos 𝐽 𝑥 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦 𝑢 𝑦 𝑣 B No caso acima temos 𝑢 𝑟 e 𝑣 𝜃 de modo que 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin𝜃 Calculando o jacobiano temos 𝐽 𝑥 𝑟 𝑥 𝜃 𝑦 𝑟 𝑦 𝜃 𝐽 𝑟 cos 𝜃 𝑟 𝑟 cos 𝜃 𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝜃 𝐽 𝑟 𝑟 cos 𝜃 𝑟 cos 𝜃 𝜃 𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜃 𝐽 1 cos 𝜃 𝑟 sin𝜃 1 sin 𝜃 𝑟cos 𝜃 𝐽 cos 𝜃 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜃 𝑟 cos 𝜃 𝐽 cos 𝜃𝑟 cos 𝜃 𝑟 sin 𝜃sin𝜃 𝐽 𝑟 cos2 𝜃 𝑟 sin2 𝜃 𝐽 𝑟cos2 𝜃 sin2 𝜃 𝐽 𝑟 C No sistema 𝑥 𝑦 o momento polar de inércia de massa é dado por 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟2𝑑𝑚 Aqui seja 𝜌 a densidade superficial Assim temos 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟2𝜌𝑑𝐴 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝜌 𝑥2 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝜌 𝑥2 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 Mas trocando o sistema de coordenadas a integral fica 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝜌 𝑥2 𝑦2𝐽𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝜌 𝑟2𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝜌 𝑟3𝑑𝑟 𝑅 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝜌 𝑟4 4 0 𝑅 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝜌 𝑅4 4 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝜌 𝑅4 4 2𝜋 𝑴𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝝆𝝅𝑹𝟒 𝟐 Logo sendo 𝜌 𝑀𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎 𝜋𝑅2 temos também 𝑴𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑴𝒎𝒐𝒆𝒅𝒂 𝑹𝟐 𝟐 Onde 𝑅 15 𝑐𝑚 é o raio da moeda