Problema de Programacao Linear - Maximizacao de Lucro na Producao de Pneus

Detalhes da tarefa AD7AAnálise das Decisões Descrição Criar um problema que envolva duas variáveis de decisão pelo menos 3 restrições e uma função objetivo Nenhum exemplo de classe poderá ser utilizado tampouco exercícios de casa Use o seguinte roteiro 1 Quais são as variáveis de decisão Quais devo manipular 2 Que objetivo devo alcançar Escreva a função objetivo 3 Quais são as restrições e condições do problema 4 Organize os dados do problema em formato de tabela 5 Vincule a função objetivo e as restrições às células das variáveis de decisão 6 Insira os parâmetros no SOLVER 7 Rode o SOLVER 8 Análise o relatório de sensibilidade destacando até quanto os coeficientes da função Enviar tarefa Painel Calendário Lista de Tarefas Notificações Caixa de entrada Proposta de Problemática A PNEUTOPSHOW empresa fabricante de pneus automotivos e líder do mercado produz 2 tipos de pneus A e B e tem disponível semanalmente 300h de mãode obra homenshora 350 kg de material básico matériaprima e 400h de maquinário para a fabricação de tais pneus Os dois tipos de pneus são vendidos respectivamente lucros por unidade de R7500 e R8000 Para a fabricação do pneu A são necessárias 5h de mão de obra 35kg de material e 6h de maquinário já para a produção do B são necessárias 6h de mão de obra 7kg de material e 4h de maquinário Dada a problemática deve ser explanada a solução minuciosa de forma a compreender a importância da modelagem para a Análise de Decisão neste caso sob o aspecto de quanto produzir semanalmente para obter o máximo lucro Inicialmente para a modelagem do problema as variáveis de decisão com as quais trabalharemos devem ser bem definidas x1 quantidadeaser produzidado pneu A x2 quantidadeaser produzida do pneu B Após a definição das variáveis de decisão é necessário definir o objetivo da problemática isto é a função objetivo da situação apresentada Tratase de um problema de maximização do lucro Max L definido por Max L75 x180x2 E o problema tem condições que o limitam chamadas de restrições as quais são modeladas matematicamente por 5 x16 x2300 disponibilidade de mãodeobraemh 35x17 x2350 disponibilidade dematériaprima emkg 6 x14 x2400 disponibilidade demaquinário emh x10 x20 restrições denãonegatividade De forma resumida os dados da problemática podem ser organizados em formato de tabela tal como mostrado a seguir Pneu A Pneu B Total disponível Mãodeobra 5 6 300 Matériaprima 35 7 350 Maquinário 6 4 400 Lucro unitário 75 80 Para a solução do caso apresentado na problemática será utilizado o Microsoft Excel mais especificamente a ferramenta Solver Para isso os dados inicialmente devem ser inseridos em Excel tal como mostrado na figura abaixo Finalmente o problema completo deve ser inserido no Solver Resolvendo usando o Solver temos a solução na planilha original e o Solver fornece as planilhas de resposta e de análise de sensibilidade as quais são mostradas a seguir Finalmente para obter o lucro máximo de R450000 a PNEUTOPSHOW deve produzir 60 unidades do pneu A e nenhuma do pneu B Desta forma fica ressaltada a importância da programação linear sob o aspecto da análise de decisões de forma a constituir uma ferramenta vital para a tomada de decisões adequadas Analisando ainda mais a solução apresentada de forma a compreender a utilização dos recursos mãodeobra matériaprima e maquinário em relação ao total disponível é possível verificar que o único recurso utilizado em sua totalidade é a mãodeobra de 300h disponíveis as 300h estão sendo utilizadas Já os outros dois recursos apresentam folga uma vez que não estão sendo usados em sua totalidade de 350 kg de matériaprima disponível estão sendo usados 210 kg 60 e de 400h de maquinário estão sendo usadas 360h 90 Outra análise importante é a dos dados de análise de sensibilidade apresentados pelo Solver uma vez que a sensibilidade permite verificar os acréscimosdecréscimos possíveis tanto na função objetivo como nos totais disponíveis de recursos que mantém a solução otimizada No que tange a função objetivo os coeficientes de x1 pode ser aumentado até infinito e decrescido em R833 ficando em R6667 e x2 pode ser aumentado em R10 ficando em R90 e decrescido até infinito Desta forma podemos resumir as informações como 6667coeficiente de x1 coeficientede x290 Sob a ótica da função objetivo a análise de sensibilidade apresenta o quanto os coeficientes da função objetivo no caso os lucros unitários podem ser aumentados ou reduzidos mantendo a solução ótima Desta forma ao aumentar o lucro unitário de x1 por exemplo o lucro total aumenta mas a produção deve continuar como 60 pneus de A e nenhum de B Além disso as restrições também são analisadas na sensibilidade desta forma é possível alterar os coeficientes das restrições recursos também mantendo a solução ótima Como analisado nas colunas de permitido aumentar e permitido reduzir o Solver detalha as variações possíveis nas disponibilidades dos recursos 0 MãodeObraemhoras33333 210 Matéria prima emkg 360Maquinário em h Ao analisar os limites das restrições é possível constatar que os valores de permitido reduzir são os valores das variáveis de folga Mãodeobra folga é zero ou seja o total disponível está sendo utilizado A matériaprima pode ser reduzida a disponibilidade em 140h valor exatamente igual ao valor da folga disponível menos o usado encontrada no problema original O maquinário pode ser reduzida a disponibilidade em 40h valor exatamente igual ao valor da folga encontrada para este recurso no problema original Em um cenário crítico a empresa prevê que os valores originalmente mencionados como lucro podem ser afetados por um determinado custo de característica fixa e no valor de R400 tanto para o pneu A como para o pneu B caso o pneu seja produzido Desta forma temos um problema com dois objetivos maximizar o lucro e minimizar os custos Finalmente o problema multiobjetivo pode ser resolvido de maneira simples uma vez que a solução ótima do estudo de caso apresentado resultou na produção de 60 unidades de apenas um tipo de pneu A Então nesse caso a solução do problema multiobjetivo é dada por Max LucroCondiçãoCrítica4500400R 4100 Neste contexto é importante destacar que as variáveis atreladas ao custo citado são binárias por exemplo se o pneu A é produzido devese descontar 400 reais do lucro se não é não se deve descontar também se aplica para o pneu B Finalmente a importância da análise de decisões no contexto gerencial foi destacada neste projeto usando um exemplo de modelagem de problemas reais voltado a maximização dos lucros perante as disponibilidades dos recursos Proposta de Problemática A PNEUTOPSHOW empresa fabricante de pneus automotivos e líder do mercado produz 2 tipos de pneus A e B e tem disponível semanalmente 300h de mãode obra homenshora 350 kg de material básico matériaprima e 400h de maquinário para a fabricação de tais pneus Os dois tipos de pneus são vendidos respectivamente lucros por unidade de R7500 e R8000 Para a fabricação do pneu A são necessárias 5h de mão de obra 35kg de material e 6h de maquinário já para a produção do B são necessárias 6h de mão de obra 7kg de material e 4h de maquinário Dada a problemática deve ser explanada a solução minuciosa de forma a compreender a importância da modelagem para a Análise de Decisão neste caso sob o aspecto de quanto produzir semanalmente para obter o máximo lucro Inicialmente para a modelagem do problema as variáveis de decisão com as quais trabalharemos devem ser bem definidas 𝑥1 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑛𝑒𝑢 𝐴 𝑥2 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑛𝑒𝑢 𝐵 Após a definição das variáveis de decisão é necessário definir o objetivo da problemática isto é a função objetivo da situação apresentada Tratase de um problema de maximização do lucro Max L definido por 𝑀𝑎𝑥 𝐿 75𝑥1 80𝑥2 E o problema tem condições que o limitam chamadas de restrições as quais são modeladas matematicamente por 5𝑥1 6𝑥2 300 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚ã𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑟𝑎 𝑒𝑚 ℎ 35𝑥1 7𝑥2 350 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡é𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑒𝑚 𝑘𝑔 6𝑥1 4𝑥2 400 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑚 ℎ 𝑥1 0 𝑥2 0 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑛ã𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 De forma resumida os dados da problemática podem ser organizados em formato de tabela tal como mostrado a seguir Pneu A Pneu B Total disponível Mãodeobra 5 6 300 Matériaprima 35 7 350 Maquinário 6 4 400 Lucro unitário 75 80 Para a solução do caso apresentado na problemática será utilizado o Microsoft Excel mais especificamente a ferramenta Solver Para isso os dados inicialmente devem ser inseridos em Excel tal como mostrado na figura abaixo Finalmente o problema completo deve ser inserido no Solver Resolvendo usando o Solver temos a solução na planilha original e o Solver fornece as planilhas de resposta e de análise de sensibilidade as quais são mostradas a seguir Finalmente para obter o lucro máximo de R450000 a PNEUTOPSHOW deve produzir 60 unidades do pneu A e nenhuma do pneu B Desta forma fica ressaltada a importância da programação linear sob o aspecto da análise de decisões de forma a constituir uma ferramenta vital para a tomada de decisões adequadas Analisando ainda mais a solução apresentada de forma a compreender a utilização dos recursos mãodeobra matériaprima e maquinário em relação ao total disponível é possível verificar que o único recurso utilizado em sua totalidade é a mãodeobra de 300h disponíveis as 300h estão sendo utilizadas Já os outros dois recursos apresentam folga uma vez que não estão sendo usados em sua totalidade de 350 kg de matériaprima disponível estão sendo usados 210 kg 60 e de 400h de maquinário estão sendo usadas 360h 90 Outra análise importante é a dos dados de análise de sensibilidade apresentados pelo Solver uma vez que a sensibilidade permite verificar os acréscimosdecréscimos possíveis tanto na função objetivo como nos totais disponíveis de recursos que mantém a solução otimizada No que tange a função objetivo os coeficientes de 𝑥1 pode ser aumentado até infinito e decrescido em R833 ficando em R6667 e 𝑥2 pode ser aumentado em R10 ficando em R90 e decrescido até infinito Desta forma podemos resumir as informações como 6667 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑥1 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑥2 90 Sob a ótica da função objetivo a análise de sensibilidade apresenta o quanto os coeficientes da função objetivo no caso os lucros unitários podem ser aumentados ou reduzidos mantendo a solução ótima Desta forma ao aumentar o lucro unitário de x1 por exemplo o lucro total aumenta mas a produção deve continuar como 60 pneus de A e nenhum de B Além disso as restrições também são analisadas na sensibilidade desta forma é possível alterar os coeficientes das restrições recursos também mantendo a solução ótima Como analisado nas colunas de permitido aumentar e permitido reduzir o Solver detalha as variações possíveis nas disponibilidades dos recursos 0 𝑀ã𝑜 𝑑𝑒 𝑂𝑏𝑟𝑎 𝑒𝑚 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 33333 210 𝑀𝑎𝑡é𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑒𝑚 𝑘𝑔 360 𝑀𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑚 ℎ Ao analisar os limites das restrições é possível constatar que os valores de permitido reduzir são os valores das variáveis de folga Mãodeobra folga é zero ou seja o total disponível está sendo utilizado A matériaprima pode ser reduzida a disponibilidade em 140h valor exatamente igual ao valor da folga disponível menos o usado encontrada no problema original O maquinário pode ser reduzida a disponibilidade em 40h valor exatamente igual ao valor da folga encontrada para este recurso no problema original Em um cenário crítico a empresa prevê que os valores originalmente mencionados como lucro podem ser afetados por um determinado custo de característica fixa e no valor de R400 tanto para o pneu A como para o pneu B caso o pneu seja produzido Desta forma temos um problema com dois objetivos maximizar o lucro e minimizar os custos Finalmente o problema multiobjetivo pode ser resolvido de maneira simples uma vez que a solução ótima do estudo de caso apresentado resultou na produção de 60 unidades de apenas um tipo de pneu A Então nesse caso a solução do problema multiobjetivo é dada por 𝑀𝑎𝑥 𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 4500 400 𝑅4100 Neste contexto é importante destacar que as variáveis atreladas ao custo citado são binárias por exemplo se o pneu A é produzido devese descontar 400 reais do lucro se não é não se deve descontar também se aplica para o pneu B Finalmente a importância da análise de decisões no contexto gerencial foi destacada neste projeto usando um exemplo de modelagem de problemas reais voltado a maximização dos lucros perante as disponibilidades dos recursos