Máquinas Síncronas: Análise e Conceitos de Polos Salientes

Prof Marcel Parentoni Máquinas Síncronas Gerador de Polos Salientes ELE606 Conversão Eletromecânica de Energia II Tópicos Efeitos das Saliências Relações de Fluxos Conceitos de eixo direto e eixo em quadratura Reatâncias Transformada de Park Equações de Tensões Diagramas Fasoriais Relações de Potências e Conjugados Efeitos das Saliências Relações de Fluxos Conceitos de eixo direto e eixo em quadratura Do Fitzgerald Máquina de Rotor de Polos Lisos Cilíndrico versus Máquina de Rotor de Polos Salientes 5 Condições para conversão eletromecânica de energia 1 Fluxo contínuo no tempo em movimento no espaço 2 Fluxo variável no tempo parado no espaço ou em equilíbrio de movimento 3 Fluxo contínuo no tempo em circuitos magnéticos que possuam alterações de permeância 𝐹𝑀𝑀 𝑅𝑒 𝐸 𝑁 ⅆ ⅆ𝑡 Princípio para máquinas de relutância variável ou motores de passo por exemplo Não uniformidade de relutância no entreferro devido à posição instantânea do rotor Rotor de Polos Salientes Em geral as turbinas apresentam baixas velocidades Números de polos deve ser elevado os diagramas esquemáticos são feitos com 2 ou 4 polos para facilitar o entendimento dos fenômenos Diâmetro da máquina consequentemente será elevado Por exemplo Itaipu 78 polos 𝐸 𝑘ω Eixos Magnéticos Ângulo entre o eixo magnético do rotor e o eixo magnético da fase de referência Eixos magnéticos das fases são estáticos enquanto o eixo magnético do rotor é girante Variações de Relutância Variação periódica de fluxo e relutância 𝐹𝑀𝑀 𝑅𝑒 Ganho de nova taxa de variação de fluxo 𝐸 𝑁 ⅆ ⅆ𝑡 Senoidal com o dobro da frequência Harmônico de 2ª ordem Maior potencial de conversão eletromecânica de energia Maior tensão induzida Maior conjugado desenvolvido Variação de Fluxo em função da posição do Rotor 10 No eixo polar direto o fluxo assume uma característica praticamente senoidal No eixo interpolar quadratura o fluxo magnético assume uma característica distorcida O espectro dessa distorção em geral é composto por harmônicas de ordem ímpares Quanto menor o número de polos maior o efeito essa distorção Análise do Posicionamento do Rotor 11 θ𝑚 0º θ𝑚 90º θ𝑚 180º Comportamento resultante do Fluxo e da Indutância Frequência dupla 2º harmônico Adicional ao que já acontece para uma máquina síncrona de polos lisos Se indutância varia reatância varia impedância varia Reatâncias Variação da Reatância 13 Comportamento resultante Reatância Identificação dos eixos Eixo direto Eixo em quadratura 90º elétricos adiantado do eixo direto Impedância vista pelo referencial fase A neste exemplo varia pois o referencial está fixo Se tivermos condições de estabelecer um referencial girando junto com o rotor poderíamos decompor as grandezas originais nos eixos de reatância máxima e mínima ou seja nos eixos direto e em quadratura respectivamente Ou seja Um referencial no eixo direto visualizaria uma reatância fixa igual à reatância máxima reatância de eixo direto Um referencial no eixo em quadratura visualizaria uma reatância fixa igual à reatância mínima reatância de eixo em quadratura Reatâncias de Eixo Direto e de Eixo em Quadratura 14 Nesse novo referencial existiriam dessa forma duas reatâncias a de eixo direto Xd e a de eixo em quadratura Xq Xd será sempre maior do que Xq Quanto maior o número de polos menor será a diferença entre Xd e Xq Para uma máquina de polos lisos Xd Xq Xs Máquina de polos lisos Máquina de polos salientes Transformada de Park Variáveis de eixo direto e quadratura Transformação dq0 Transformada de Park Transformada de Park Exemplo C1 Uma máquina síncrona de dois polos está conduzindo correntes trifásicas equilibradas de armadura dadas por ia 2Ia cos ωt ib 2Ia cosωt 120 ic 2Ia cosωt 120 O rotor está girando na velocidade síncrona ω e o eixo direto do rotor está alinhado com o eixo da fase a do estator no tempo t 0 Encontre as componentes de eixo direto e em quadratura da corrente Exemplo Interpretação Física da Transformada dq0 Onda de fluxo está alinhada com o eixo direto no mesmo referencial das fases do estator Como o sistema dq gira em velocidade síncrona assim permanecerá Equações de Tensões e Diagramas Fasoriais Equações de Tensão Do Chapman Do Fitzgerald Atentar para as diferenças de nomenclaturas entre os autores A tensão de reação de armadura é subdividida em componentes de eixo direto e de eixo em quadratura Diagramas Fasoriais Do Chapman Do Fitzgerald Para traçar o diagrama fasorial é necessário decompor a corrente em suas componentes de eixo direto e quadratura Se o fluxo magnético induzido pelo rotor nas bobinas do estator está em fase com o eixo direto a tensão induzida estará a 90º ou seja em fase com o eixo em quadratura A corrente Iq está em fase com a tensão induzida Ea Apesar de o ângulo θ ser conhecido fator de potência da carga o ângulo δ não é conhecido pois 𝐸𝐴não é conhecida 𝐼𝑑 𝐼𝐴sen𝛿 𝜃 𝐼𝑞 𝐼𝐴cos𝛿 𝜃 Diagramas Fasoriais Do Chapman Do Fitzgerald Mas como determinar o ângulo δ Diagramas Fasoriais Do Chapman É possível construir o diagrama fasorial sem o conhecimento prévio do ângulo δ como está mostrado na Figura C5 As linhas cheias da Figura C5 são as mesmas linhas mostradas na Figura C4 ao passo que as linhas tracejadas mostram o diagrama como se a máquina tivesse um rotor cilíndrico com reatância síncrona Xd O ângulo δ de EA pode ser encontrado usando dados obtidos nos terminais do gerador Observe que o fasor EA dado por EA Vφ RIA jXqIA é colinear com a tensão gerada interna EA Como EA é determinada pela corrente nos terminais do gerador o ângulo δ pode ser determinado conhecendose a corrente de armadura Após sabermos qual é o ângulo δ a corrente de armadura poderá ser descomposta nas componentes direta e em quadratura e a tensão gerada interna poderá ser determinada Vφ EA jXadId jXqIq Diagramas Fasoriais EXEMPLO C1 Um gerador síncrono de 480 V 60 Hz conectado em Δ e quatro polos tem uma reatância de eixo direto de 01 Ω e uma reatância de eixo em quadratura de 0075 Ω Sua resistência de armadura pode ser ignorada A plena carga o gerador fornece 1200 A com um fator de potência de 08 atrasado a Encontre a tensão gerada interna EA desse gerador a plena carga assumindo que ele tem um rotor cilíndrico de reatância Xd b Encontre a tensão gerada interna EA do gerador a plena carga assumindo que ele tem um rotor de polos salientes Solução a Como esse gerador está ligado em Δ a corrente de armadura a plena carga é IA 1200 A3 693 A O fator de potência da corrente é 08 atrasado de modo que o ângulo de impedância θ da carga é θ arccos 08 3687 Portanto a tensão gerada interna é EA VΦ jXs IA 480 0 V j01 Ω693 3687 A 480 0 693 5313 5245 61 V Observe que o ângulo de conjugado δ é 61 EXEMPLO C1 Um gerador síncrono de 480 V 60 Hz conectado em Δ e quatro polos tem uma reatância de eixo direto de 01 Ω e uma reatância de eixom em quadratura de 0075 Ω Sua resistência de armadura pode ser ignorada A plena carga o gerador fornece 1200 A com um fator de potência de 08 atrasado a Encontre a tensão gerada interna E₄ desse gerador a plena carga assumindo que ele tem um rotor cilíndrico de reatância Xd b Encontre a tensão gerada interna E₄ do gerador a plena carga assumindo que ele tem um rotor de polos salientes Assuma que o rotor é de polos salientes Para decompormos a corrente em componentes de eixo direto e de eixo em quadratura é necessário que conheçamos a direção de E₄ Essa direção pode ser determinada a partir da Equação C8 E₄ Vφ RIA jXIA C8 A direção de E₄ é δ 465 A componente de eixo direto da corrente é portanto Id IA senθ δ 693 A sen3687 465 459 A e a componente de eixo em quadratura da corrente é Iq IA cosθ δ 693 A cos3687 465 519 A Combinando esses valores e os ângulos temos Id 459 8535 A Iq 519 465 A A tensão gerada interna resultante é E₄ Vφ RIA jXIA Iq 480 0 V j01 Ω459 8535 A j0075 Ω519 465 A 5243 465 V Observe que o módulo de E₄ não é muito afetado pelos polos salientes mas o ângulo de E₄ é bem diferente com polos salientes do que sem polos salientes Exemplo Caso Xd seja 015 Ohm e Xq seja 005 Ohm é de se esperar que os efeitos das saliências sejam mais sentidos Quantifique E se a proporção entre Xd e Xq for mantida porém alterando a magnitude de ambas reatâncias por exemplo Xd03 e Xq0225 Quantifique também Exemplo 515 As reatâncias Xd e Xq de um gerador síncrono de polos salientes são 100 e 060 por unidade respectivamente A resistência de armadura pode ser considerada desprezível Calcule a tensão gerada quando o gerador fornece seus kVA nominais com fator de potência atrasado 080 e tensão nominal de terminal Exemplo 515 As reatâncias Xd e Xq de um gerador síncrono de polos salientes são 100 e 060 por unidade respectivamente A resistência de armadura pode ser considerada desprezível Calcule a tensão gerada quando o gerador fornece seus kVA nominais com fator de potência atrasado 080 e tensão nominal de terminal Solução O diagrama fasorial está mostrado na Figura 528 Como se faz normalmente em tais problemas a tensão de terminal Vₐ será usada como fasor de referência isto é Vₐ Vₐ e¹⁰ Vₐ Neste caso a máquina está operando com tensão de terminal nominal e portanto Vₐ 10 por unidade Além disso como a máquina está operando com seus kVA nominais o valor da corrente de armadura é IA 10 por unidade Exemplo 515 As reatâncias Xd e Xq de um gerador síncrono de polos salientes são 100 e 060 por unidade respectivamente A resistência da armadura pode ser considerada desprezível Calcule a tensão gerada quando o gerador fornece seus kVA nominais com fator de potência atrasado 080 e tensão nominal de terminal Solução O diagrama fasorial está mostrado na Figura 528 Como se faz normalmente em tais problemas a tensão de terminal Va será usada como fasor de referência isto é Va Va ej0 Va Neste caso a máquina está operando com tensão de terminal nominal e portando Va 10 por unidade Além disso como a máquina está operando com seus kVA nominais o valor da corrente de armadura é Ia 10 por unidade Exemplo 515 As reatâncias Xd e Xq de um gerador síncrono de polos salientes são 100 e 060 por unidade respectivamente A resistência da armadura pode ser considerada desprezível Calcule a tensão gerada quando o gerador fornece seus kVA nominais com fator de potência atrasado 080 e tensão nominal de terminal Solução O diagrama fasorial está mostrado na Figura 528 Como se faz normalmente em tais problemas a tensão de terminal Va será usada como fasor de referência isto é Va Va ej0 Va Neste caso a máquina está operando com tensão de terminal nominal e portando Va 10 por unidade Além disso como a máquina está operando com seus kVA nominais o valor da corrente de armadura pode ser decomposta em suas componentes de eixo direto e em quadratura Das Eqs 559 e 560 Id Ia senδ φ 100 sen563 0832 e Iq Ia cosδ φ 100 cos563 0555 e como fasores Ȣd 0832 ej194 90 0832 ej706 e Iq 0555 ej194 Agora podemos obter Ȣaf da Eq 558 Ȣaf Ȣa jXq Iq 10 j060 0555 ej194 178 ej194 e vemos que Ȣaf 178 por unidade Como esperado observe que Ȣaf está localizado sobre o eixo em quadratura Exemplo 516 Na teoria simplificada da Seção 52 assumiuse que a máquina síncrona pudesse ser representada por uma única reatância a reatância síncrona Xs da Eq 526 Naturalmente surge a questão Quão boa uma aproximação será quando uma máquina de polos salientes for analisada desse modo simplificado Podese supor que uma máquina de polos salientes seja analisada pela teoria do rotor cilíndrico como se ela tivesse uma única reatância síncrona igual ao seu valor de eixo direto Xd Para investigar essa questão vamos repetir o Exemplo 515 fazendo tal suposição Exemplo 516 Na teoria simplificada da Seção 52 assumiuse que a máquina síncrona pudesse ser representada por uma única reatância a reatância síncrona Xs da Eq 526 Naturalmente surge a questão Quão boa uma aproximação será quando uma máquina de polos salientes for analisada desse modo simplificado Podese supor que uma máquina de polos salientes seja analisada pela teoria do rotor cilíndrico como se ela tivesse uma única reatância síncrona igual ao seu valor de eixo direto Xd Para investigar essa questão vamos repetir o Exemplo 515 fazendo tal suposição Solução Neste caso assumindo que Xq Xd Xs 10 por unidade podese obter a tensão gerada simplesmente como Êaf Va jXsIá 10 j10 10 ej369 179 e266 por unidade Comparando esse resultado com o do Exemplo 515 em que encontramos Êaf 178ej194 vemos que o valor da tensão gerada prevista está relativamente próximo do valor correto Como resultado vemos que o cálculo da corrente de campo necessária para essa condição de operação será relativamente exato desde que se faça a suposição simplificada de que os efeitos das saliências possam ser desprezados Entretanto o cálculo do ângulo de potência δ 194 versus um valor de 266 quando as saliências são desconsideradas mostra um erro considerável maior Em geral tais erros de cálculo dos ângulos de potência em regime permanente podem ser significativos quando se estuda o comportamento transitório de um sistema que inclua diversas máquinas síncronas Assim embora as saliências possam ser ignoradas em alguns casos como quando os cálculos feitos para um sistema são simplificados elas raramente são ignoradas em estudos baseados em computador de sistemas de grande escala Problema prático 510 Repita o Exemplo 515 para fatores de potência de a 095 adiantado e b 095 atrasado Solução a Êaf 111 ej351 por unidade b Êaf 159 ej256 por unidade Obtenção das Equações de Tensão a partir do Diagrama Fasorial Obtenção das Equações de Tensão a partir do Diagrama Fasorial Obtenção das Equações de Tensão a partir do Diagrama Fasorial 𝑉𝑑 𝑉𝑠𝑒𝑛𝛿 𝑉𝑞 𝑉𝑐𝑜𝑠𝛿 ሶ𝑉 ሶ𝑉𝑑 ሶ𝑉𝑞 ሶ𝑉𝑑 𝑅𝐴 ሶ𝐼𝑑 𝑗𝑋𝑞 ሶ𝐼𝑞 ሶ𝑉𝑞 ሶ𝐸𝐴 𝑅𝐴 ሶ𝐼𝑞 𝑗𝑋𝑑 ሶ𝐼𝑑 0 𝑉𝑑 𝑋𝑞𝐼𝑞 𝐸𝐴 𝑉𝑞 𝑋𝑑𝐼𝑑 𝑉𝑑 𝑋𝑞𝐼𝑞 𝑉𝑞 𝐸𝐴 𝑋𝑑𝐼𝑑 ሶ𝐼𝐴 ሶ𝐼𝑑 ሶ𝐼𝑞 Equacionando os fasores Em módulo e desconsiderando 𝑅𝐴 Equações de Tensão Diagrama Fasorial Circuito Elétrico Equivalente Circuito Elétrico Equivalente Diagrama Fasorial ሶ𝑉 ሶ𝐸𝐴 𝑅𝐴 ሶ𝐼𝐴 𝑗𝑋𝑑 ሶ𝐼𝑑 𝑗𝑋𝑞 ሶ𝐼𝑞 ሶ𝐸𝐴 ሶ𝑉 𝑅𝐴 ሶ𝐼𝐴 𝑗𝑋𝑑 ሶ𝐼𝑑 𝑗𝑋𝑞 ሶ𝐼𝑞 Somando e subtraindo 𝑗𝑋𝑞 ሶ𝐼𝑑 ሶ𝐸𝐴 ሶ𝑉 𝑅𝐴 ሶ𝐼𝐴 𝑗𝑋𝑞 ሶ𝐼𝐴 𝑗𝑋𝑑 𝑋𝑞 ሶ𝐼𝑑 Equações de Tensão Diagrama Fasorial Circuito Elétrico Equivalente Circuito Elétrico Equivalente 𝑅𝐴 𝑗𝑋𝑞 𝑗𝑋𝑑 𝑋𝑞 ሶ𝐼𝑑 ሶ𝐼𝐴 ሶ𝐸𝐴 ሶ𝑉 Diagrama Fasorial ሶ𝑉 ሶ𝐸𝐴 𝑅𝐴 ሶ𝐼𝐴 𝑗𝑋𝑑 ሶ𝐼𝑑 𝑗𝑋𝑞 ሶ𝐼𝑞 ሶ𝐸𝐴 ሶ𝑉 𝑅𝐴 ሶ𝐼𝐴 𝑗𝑋𝑑 ሶ𝐼𝑑 𝑗𝑋𝑞 ሶ𝐼𝑞 Somando e subtraindo 𝑗𝑋𝑞 ሶ𝐼𝑑 ሶ𝐸𝐴 ሶ𝑉 𝑅𝐴 ሶ𝐼𝐴 𝑗𝑋𝑞 ሶ𝐼𝐴 𝑗𝑋𝑑 𝑋𝑞 ሶ𝐼𝑑 Observe que caso a máquina fosse de polos lisos 𝑋𝑑 𝑋𝑞 o circuito seria exatamente idêntico ao estudado no capítulo de Gerador de Polos Lisos Exemplo Prove que 𝛿 tan1 𝐼𝐴𝑋𝑞 cos 𝜃 𝐼𝐴𝑅𝐴 sen 𝜃 𝑉 𝐼𝐴𝑋𝑞 sen 𝜃 𝐼𝐴𝑅𝐴 cos 𝜃 E desconsiderando 𝑅𝐴 prove que 𝛿 tan1 𝐼𝐴𝑋𝑞 cos 𝜃 𝑉 𝐼𝐴𝑋𝑞 sen 𝜃 Essa relação pode ser utilizada para a obtenção do ângulo δ Apliquea nos exercícios anteriores Relações de Potência e Conjugado Relações da Potência Desconsiderando 𝑅𝐴 e analisando o Diagrama Fasorial Observase que a Potência Ativa é dada pela parte real da Potência Aparente Em outras palavras em coordenadas dq as parcelas das correntes responsáveis pela potência ativa são as projeções de 𝐼𝑑 e 𝐼𝑞 em fase com a tensão 𝑉 A equação da potência ativa passa a ter dois termos Relações da Potência Desenvolvendo a equação de potência Substituindo 𝐼𝑑 e 𝐼𝑞 Obtémse a equação de potência ativa em função do ângulo δ A equação da potência ativa apresenta dois termos Observe que o primeiro termo é relacionado a 𝑠𝑒𝑛𝛿 enquanto o segundo termo é relacionado a 𝑠𝑒𝑛2𝛿 O primeiro termo é a parte da potência relacionada ao conjugado cilíndrico O segundo termo é a parte da potência relacionada ao conjugado de relutância Observe também que caso a máquina fosse de polos lisos 𝑋𝑑 𝑋𝑞 só existiria a parte relativa ao conjugado cilíndrico Relações da Potência Comparação das equações do Chapman e do Fitzgerald Por fase Podese traçar a característica de ângulo de potência O primeiro termo é idêntico à potência obtida para a máquina de polos lisos O segundo termo representa a potência correspondente ao conjugado de relutância Observe que o conjugado de relutância não depende da excitação do campo Trifásica Relações de Conjugado Aplicandose a relação entre potência e rotação obtémse as relações de conjugado em função do ângulo δ A equação do Conjugado também passa a ter dois termos O primeiro termo representa o conjugado cilíndrico O segundo termo representa o conjugado de relutância Observe também que caso a máquina fosse de polos lisos 𝑋𝑑 𝑋𝑞 só existiria a parte relativa ao conjugado cilíndrico Relações de Potência e Conjugado Máquina Síncrona de Polos Lisos Máquina Síncrona de Polos Salientes Potência Adicional Conjugado Adicional Devido à existência do Conjugado de Relutância Exemplo Exemplo 517 No motor síncrono do Exemplo 58 de 2000 HP e 2300 V assumese que a reatância síncrona é Xs 195 Ωfase Na realidade tratase de uma máquina de polos salientes com reatâncias Xd 195 Ωfase e Xq 140 Ωfase Desprezando todas as perdas calcule a potência mecânica máxima em kW que esse motor poderá entregar se for alimentado com potência elétrica diretamente a partir de um barramento infinito Figura 532a na tensão e frequência nominais e se sua excitação de campo for mantida constante com o valor do qual resulta um funcionamento com fator de potência unitário para a carga nominal Supõese que a carga no eixo seja incrementada gradualmente de modo que as oscilações transitórias são desprezíveis e que o limite de potência em regime permanente seja aplicável Calcule também o valor de δ correspondente a esse funcionamento em potência máxima Exemplo 517 No motor síncrono do Exemplo 58 de 2000 HP e 2300 V assumese que a reatância síncrona é Xs 195 Ωfase Na realidade tratase de uma máquina de polos salientes com reatâncias Xd 195 Ωfase e Xq 140 Ωfase Desprezando todas as perdas calcule a potência mecânica máxima em kW que esse motor poderá entregar se for alimentado com potência elétrica diretamente a partir de um barramento infinito Figura 532a na tensão e frequência nominais e se sua excitação de campo for mantida constante com o valor do qual resulta um funcionamento com fator de potência unitário para a carga nominal Supõese que a carga no eixo seja incrementada gradualmente de modo que as oscilações transitórias são desprezíveis e que o limite de potência em regime permanente seja aplicável Calcule também o valor de δ correspondente a esse funcionamento em potência máxima Exemplo 518 Escreva um script de MATLAB para plotar a característica de ângulo de potência por unidade de da máquina síncrona do Exemplo 517 para Va 10 por unidade e Eaf 15 por unidade no intervalo 90 δ 90 Assuma um sentido de referência para o gerador tal que uma potência positiva corresponda à saída de potência nos terminais da máquina Plote também a característica de ângulo de potência desprezando os efeitos das saliências isto é assumindo que Xq Xd 195 Ωfase Exemplo 518 P Eaf Va Xd sen δ 2 Xq Xd 2Xq Xd sen 28 2058 sen δ 0357 sen 28 ângulo no qual ocorre a potência máxima δ 732 Referências Umans Stephen D Máquinas Elétricas de Fitzgerald e Kingsley 7 edição 2014 CHAPMAN Stephen Electric Machinery Fundamentals McGrawHill Companies 2013 55