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Matemática
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60 Matemática para economia e administração SEÇÃO 1.5 Análise da oferta e da demanda Objetivos Ao final desta seção você será capaz de: • Usar a notação de função, y = f(x); • Identificar variáveis endógenas e exógenas em um modelo econômico; • Identificar e traçar uma função linear de demanda; • Identificar e traçar uma função linear de oferta; • Determinar gráfica e algebricamente o preço e a quantidade de equilíbrio para um mercado de um bem; • Determinar o preço e a quantidade de equilíbrio para um mercado de vários bens' resolvendo sistema de equações lineares. A microeconomia refere-se à análise da teoria econômica e da política de empresas e mercados. Nesta seção focaremos um aspecto particular conhecido como equilíbrio de mercado, onde qual a oferta e a demanda se equilibram. Descreveremos como a matemática apresentada nas duas seções anteriores pode ser utilizada para calcular o equilíbrio do preço e da quantidade. Entretanto, antes de iniciar, é útil explorar o conceito de uma função, pois este conceito é fundamental para quase todas as aplicações da matemática na economia. Em alguns textos, funções são tratadas como uma determinação para cada número de entrada, x, um número de saída, y. Além disso, utiliza-se uma regra para detalhar como este ato será realizado, em uma 'caixa-preta' que efetua um cálculo aritmético dedicado. Como um exemplo, considere a regra 'dobrar e adicionar 3'. O efeito dessa regra em dois números de entrada específicos, 5 == 17, e está ilustrado na Figura 1.13. Infelizmente, tal representação é um tanto lenta e complicada. Há, entretanto, duas alternativas naturais de expressão: essa regra mais concisamente. Podemos escrever Y = 2x + 3 ou f(x) = 2x + 3. A primeira delas, tratada na seção anterior, é mais familiar, correspondendo a qualquer número de entrada, x, o lado direito informa o que fazer com x para gerar o número de saída, y. Figura 1.13: 2. Do inglês, 'multicommodity'. 'Commodities' são bens primários ou sem pequeno grau de beneficiamento ou industrialização, não processados obtidos principalmente pela oferta e procura internacional. (N.E.T.) Capítulo 1 Equações lineares 61 A segunda notação também é útil e tem a vantagem de envolver o símbolo f, que é utilizado para nomear a regra. Se, em uma parte da teoria econômica, houver duas ou mais funções, poderiam ser utilizadas denominações diferentes para se referir a uma e a outra. Por exemplo, uma segunda função poderia ser: g(x) = 3x + 10 e identificaríamos a respectiva função subsequentemente, simplesmente referindo-se a elas pelo nome: isto é, ou f ou g. A nova notação também possibilita que a informação transmitida na Figura 1.13 seja expressa como g(5) = 13 g(x)=2x+3 x f(3x+10)=2y+17 lida 'g de x igual a 13'; lida 'f de x igual a 2y mais 27'. O número dentro dos parênteses é o valor de entrada, x, e o do lado direito é o valor correspondente de saída, y. Exemplo (a) Se f(x) = 2x - 3x, encontre o valor de f(5). (b) Se g(x) = 3 + 2, encontre o valor de g(2). Solução (a) Substituindo x = 5 em 2x - 3x temos: f(x) = 2 x - 3x - 5x = 2 x 25 - 3x - 5 80 15 - 35 (b) Apesar de ser utilizada a letra Q em vez de x, o procedimento é o mesmo: g(2) = 3 1 = 3/3 5 + 2x 2 Problema prático 1. Calcule (a) g(25) (b) g(11) 21 (c) f(17) f(x) = 2x + 50; g(x) = l = 7 + 25 Você nota alguma relação entre f e g? (e) g(48) (d) g(10) (f) g(16) 62 Matemática para economia e administração As variáveis de entrada e de saída são denominadas, respectivamente, independentes e dependentes. O valor de y depende claramente do valor real de x colocado na função. Por exemplo, em microeconomia a quantidade demandada Q de um bem depende do preço de mercado P. Podemos expressar isso na seguinte forma: Q = f(P); Tal função é denominada função demanda. Dada qualquer fórmula particular para f(P), é uma simples questão desenhar a curva de demanda correspondente em um papel quadriculado. Há, entretanto, diferenças de opinião entre econômicos sobre como isso deveria ser feito. Se o método quantitativo for de um matemático, ele representará graficamente: Q no eixo vertical e P no horizontal. De outra forma, normalmente os economistas apresentam graficamente no inverso, colocando Q no eixo horizontal. Assim, notamos que, uma vez que Q está relacionado com P inversamente P deve estar relacionado com Q em virtude de uma função de dado real: P = g(Q); As duas funções, f e g, são funções inversas: isto é, f é a inversa de g, e, equivalentemente, g é inverso de f. Neste livro adotamos o enfoque dos economistas. Nos capítulos subsequentes investigaremos outras funções microeconômicas, incluindo as de custo e receita, produção e lucro. E convenientemente reverte-las graficamente até o contrário de Q (isto é, com Q no eixo horizontal), então, se tornando correto em relação a: Na formula L, lembramos que é importante que os economistas tenham meios de inferir sobre o relacionamento preciso entre estas duas variáveis. Para descobrir isso, eles geralmente recomendam comparar a predição do modelo com o que é evidencia empírica. No momento a hipótese é que... a. Capítulo 1 Equações lineares 63 Figura 1.14 Exemplo Trace o gráfico da função demanda P = -2Q + 50 Depois, determine o valor de (a) P quando Q = 9 (b) Q quando P = 10 Solução Para a função demanda P = -2Q + 50 Q = -2, b = 50, então a reta tem uma inclinação de -2 e uma interseção de 50. Para cada unidade longitudinal, a reta desce 2 unidades, então deve cruzar o eixo horizontal quan- do Q = 25. (Alternativamente, note que, quando P = 0, o equação indica 0 = -2Q + 50, com solução de Q = 25.) O gráfico está esboçado na Figura 1.15. (a) Dada qualquer quantidade, Q, o gráfico simplesmente é utilizado para encontrar o preço correspondente, P. Uma reta vertical ascendente é traçada até interceptar a cur- va da demanda, e o valor de P é obtido do eixo vertical. Da Figura 1.15, quando Q = 9, 9 notamos que P = 32. Esse resultado também pode ser encontrado substituindo por Q = 9 diretamente na função demanda para obter: P = -2(9) + 50 = 32. (b) O processo inverso possibilita calcular Q de um dado valor P. Uma reta é traçada ho- rizontalmente até que intercepte a curva da demanda, e o valor de Q é obtido no eixo horizontal. A Figura 1.15 indica que Q = 20 quando P = 10. Novamente isso pode ser exercitado pelo cálculo. Se P = 10, então a equação indica: 10 = -2Q + 50 -40 = -2Q (Subtraia 50 de ambos os lados) 20 = Q. (divida ambos os lados por -2) 64 Matemática para economia e administração Figura 1.15 Problema prático 2. Trace o gráfico da função demanda P = -3Q + 75 Depois, determine o valor de (a) P quando Q = 23 (b) Q quando P = 18 O modelo da demanda do consumidor dado é bem impreciente e assume que a quan- tidade depende somente do preço, P, do bem considerado. Na prática, Q também de- pende de outros fatores, incluindo a renda dos consumidores, Y, o preço de produtos substituíveis, PS, o preço de produtos complementares, Pc, gastos com propaganda, E, e a preferência dos consumidores, C. Produto substituível é aquele que pode ser utilizado em lugar do produto considerado. Por exemplo, na indústria de transporte, ônibus e táxi podem ser substituídos um pelo outro, nas áreas urbanas. Um bem complementar é o que é utilizado em conjunto com outros bens. Por exemplo, CDs de música e sistemas hi- -fi são consumidos juntos. Matematicamente, dizemos que Q é função de: P, Y, PS, Pc, E e C. Escreve-se Q = f(P, Y, PS, Pc, E, C) onde as variáveis dentro dos parênteses são separadas por vírgulas. Em um diagrama de "caixa-preta", f é representada por seis setas de entrada e uma de saída, como mostrado na Figura 1.16. Na discussão anterior, foi assumido implicitamente que as variáveis Y, PS, Pc, E e C eram fixas. Descreveremos essa situação chamando Q e P de variáveis endóge- nas, por poderão variar e estarão dentro do modelo, e as variáveis restantes são dita- das exógenas, por serem constantes e estarem fora do modelo. Voltamos para a curva de demanda padrão mostrada na Figura 1.17, como esta EQ, que foi traçada sobre o pressuposto de que Y, PS, Pc, E, C são todos constantes. Note que Capítulo 1 Equações lineares 65 Figura 1.16 Figura 1.17 quando o preço é P a quantidade demanda é Q. Agora suponha que a renda, Y, cresça. Normalmente esperaríamos que a demanda pela compra de mais bens crescesse com a renda extra ao preço P. O efeito é deslocar a curva da demanda para a direita, porque ao preço P os consumidores podem comprar uma maior quantidade de bens, Q2. Da Figura 1.17 deduzimos que se a curva da demanda for P = mQ + b um aumento na renda faz com que a interseção, b, aumente. Concluímos que, quando uma das variáveis exógenas se altera, toda a curva da de- manda se move, enquanto que se uma das variáveis endógenas se altera, apenas nos movemos ao longo da curva fixa. Incidentalmente, é possível que, para alguns bens, um aumento na renda realmente cause um deslocamento na curva da demanda para a esquerda. Nos anos 1960 e 1970, a maioria das economias do Oeste permitiu um declínio do consumo doméstico de car- vão, como resultado do aumento da renda. Nesse caso, o aumento da riqueza significou que mais pessoas pudessem instalar sistemas de aquecimento central que usam formas 66 Matematica para economia e administracao alternativas de energia. Sob essas circunstancias, diz-se que o bem é um bem inferior. De outra forma, o bem superior é aquele cuja demanda cresce quando a renda cresce. Carros e produtos eletronicos sao exemplos claros de bens superiores. Atualmente, o interesse crescente do aquecimento global tambem está reduzindo a demanda de carvão. Esse fator pode ser incorporado em parte como preferencia, contudo é dificil de tratar matematicamente por ser virtualmente impossivel quantificar a preferencia, e, por conseguinte, definir C numericamente. A funcao oferta é a relacao entre a quantidade, Q, de um bem que os produtores planejam trazer ao mercado ao preco, P, do bem. A figura 1.18 indica uma curva linear tipica de oferta. A teoria economica indica que, quando o preco cresce, a oferta tambem cresce. Matematicamente, P é considerado uma funcao crescente de Q. Um aumento de preco encoraja os produtores existentes a uma elevacao no produto e atrai novas empresas para o mercado. A reta mostrada na Figura 1.18 tem a equacao p=q+rQ com a inclinacao r>0 e intersecao h>0. Note que, quando o preco do mercado é igual a h, Q é zero. Os produtores estao dispostos a trazer uma oferta qualquer bem de qualquer forma somente quando o preco excede determinada patamar. Isso é novamente uma simplificacao do mundo real. A funcao oferta assim representada não tem de ser linear e a quantidade ofertada, Q, é influenciada por outros fatores além do preco. Esses variaveis exogenas incluem bem o custo das materias-primas necessarias para a producao, trabalho e capital, tributacao, subsidios governamentais, clima e tecnologia. Em microeconomia, a funcional rivalidade em um mercado ocupa um papel central. A figura 1.19 indica a oferta e demanda de um bem e o preco de equilibrio. Na intersecao desta curva é o ponto principal e o ponto de interesse. Nesse ponto, o mercado esta em estado de descanso, sem pressao sobre o preco ou qualquer quantidade. Quando o mercado alcança o ponto de equilibrio, geralmente não existe razao para os produtores elevarem seu preco ou sua producao. Na pratica, o que é de maior interesse é como o mercado se comportara quando se encontrar fora do equilibrio. Se o preco do mercado for maior que o preco de equilibrio indicado pela Figura 1.19, como se estivesse ao nivel de Pa, então a quantidade demandada, Qd, é menor que a quantidade ofertada, Qo, então ha um excesso de oferta. Ha estoque de bens não vendidos, que tende a depreciar os precos e faz com que as empresas cortem a producao. O efeito das "forcas de mercado" é sempre deslocar o mercado de volta ao ponto de equilibrio. Igualmente, se o preco do mercado cai abaixo do preco de equilibrio, então a demanda excede a oferta. A falta do bem empurra os precos para cima e encoraja as empresas a aumentar a producao, então o mercado flutua novamente em direcao ao equilibrio. 67 Capítulo 1 Economia linear Figura 1.19 dom de oferta o meninas glutonarias coneio de instricuidado Exemplo As funções demanda e oferta de um bem são dadas por P=2Qd+50 P= 1 2 Qo+25 onde P, Qd e Qo indicam preço, quantidade demandada e quantidade ofertada, respectivamente. (a) Determine o preço e a quantidade de equilíbrio. (b) Determine o efeito no equilíbrio de mercado se o governo decidir impor um imposto fixo de 5$ em cada bem de consumo. Solução (a) A curva da demanda já foi traçada na Figura 1.15. Para a função oferta P= 1 2 Qo+25 tomamos a= 1 2b=25 entao a inclinacao da reta é e a interseção, 25. Percorre portanto (0, 25). Em um segundo ponto, vamos escolher Qo=20. O valor correspondente de P é P= 1 2 (20)+25=35 então a reta também passa por (20, 35). Os pontos (0, 25) e (20, 35) podem agora ser representados e a curva da oferta, traçada. A figura 1.20 mostra as curvas da oferta e da demanda traçadas no mesmo diagrama. O ponto de interseção tem coordenadas (10, 30), então a quantidade de equilíbrio é 10 e o preço de equilíbrio é 30. 68 Matematica para economia e administracao Com álgebras, é possível calcular esses valores. Em equilíbrio, Qd=Qo. Se o valor comum é indicado por Q, então as equações de demanda e de oferta tornam-se 2Q+50= 1 2 Q+25 Elas representam um sistema de equações para as incógnitas P e Q, que pode ser resolvido utilizando o método da eliminação descrito na seção anterior. Entretanto, isso não é estritamente necessário, porque se depreende imediatamente das equações anteriores que: -2Q+50=- 1 2 Q+25 desde que ambos os lados sejam iguais a -8. Isso pode ser rearranjado para calcular Q: -2Q+50=-25 (subtraia 1 2Q de ambos os lados) -2Q=10 (subtraído 50 de ambos os lados) Q=10 (divida ambos os lados por -2) Finalmente, P pode ser encontrado substituindo esse valor em qualquer das equações originais. A equação da demanda resulta P=2(10)+50=30 Como conferência, a equação da oferta resulta P=2(10)+25=30 (b) Se o governo fixar um imposto de $5 por bem, então o dinheiro que a empresa realmente recebe da venda de cada bem é o montante, P, que o consumidor paga, menos o imposto, i, isto é, P-5. Matematicamente, este problema pode ser resolvido substituindo P por P-5 na equação da oferta para obter a nova equação da oferta P=2 1 Q+25 isto é, P= 2 1 Q+30 Os cálculos resultantes são iguais aos anteriores. Em equilíbrio, Qd=Qo. Estabelecendo novamente esse valor comum como Q, resulta P=-2Q+50 P=Q+30 Consequentemente -2Q=Q+30 que pode ser resolvido como antes para ficar Q=8. A substituição em cada uma das equações anteriores dá P=14. (Confira os detalhes) Graficamente, a introdução do imposto desloca a curva da oferta 5 unidades para cima. Obviamente, a curva da demanda permanece inalterada. A reta traçada na figura 1.20 mostra a nova curva da oferta, da qual a nova quantidade de equilíbrio e 8 e o prêço de equilíbrio; 34: Note o efeito que a fixação do governo tem no equilíbrio do preço, o que subiu para $34, sendo que nem todo o imposto é repassado ao con- sumidor. O consumidor paga um adicional de $4 por bem. O $3 restante de imposto deve, portanto, ser pago pela empresa. Figura 1.20 Problema prático 3. As funções demanda e oferta de um bem são expressas por p_{d} = -4Q_{d} + 120 p_{S} = \frac{1}{2} Q_{S} + 25 onde p, Q_{d} e Q_{S}, indicam preço, quantidade demandada e quantidade ofertada, res- pectivamente. (a) Calcule o preço e a quantidade de equilíbrio. (b) Calcule o novo preço e a quantidade de equilíbrio após a impositação de um im- posto fixo de $13 por bem. Quem pagará o imposto? Exemplo As funções demanda e oferta de um bem são expressas por p_{d} = - \frac{1}{2} (Q_{d} - 20) p_{S} = \frac{1}{3} (Q_{S} + 10) O governo estabelece um imposto fixo de $x em cada bem. Determine preço e quantidade de equilíbrio quando: (a) x = 0 (b) x = 5 (c) x = 10 (d) x = 2,50 Em cada caso, calcule o imposto pago pelo consumidor e comente esses valores. Solução (a) No caso quando x = 0, não há imposto e as funções demanda e oferta são as já in- dicadas. Em equilíbrio, Q_{d} = Q_{S}, então expressando esse valor como Q, podemos encontrar a posição de equilíbrio resolvendo o sistema de equações p_{d} = \frac{1}{2} Q + 20 p_{S} = \frac{1}{3} (Q + 10) No Excel, primeiro estabelecemos uma lista de valores para Q. Na Figura 1.21, a inicial Q1 foi colocada na célula A1, e valores de 0 a 40 (crescendo em dezenas) en- traram nas células de A2 até A4. Nesse estagio, precisamos introduzir uma fórmula para calcular os valores correspondentes de p utilizando uma equação de cada vez. Como o primeiro valor de Q está na célula A2, digitamos = -2 / A2 + 20 na célula B2 para a função demanda e 1 / 3 * (A2 + 10) Figura 1.21 na célula C2 para a função oferta. Clicando e arrastando as colunas, o Excel gerá os valores correspondentes para a demanda e a oferta. Você notará que os valores da terceira coluna não parecem favoráveis para se co- mer, pois apresentam vários casos depois do ponto decimal. Entretanto, isso pode ser mudado marcando esses números e clicando no ícone de diminuição decimal, que pode ser encontrado na barra de ferramentas: O efeito disso é reduzir o número de casas decimais por arredondamento. Cada vez que você clicar no ícone, mais uma casa decimal será removida. Como estávamos tra- tando com dinheiro, arredondamos até 2 casas decimais. Finalmente, marcamos o conteúdo das primeiras três colunas e usamos o As- sistente de gráfico para criar um diagrama com as funções demanda e oferta, como mostra a Figura 1.21. No gráfico, podemos notar que as retas se cruzam quando Q = 20 e p = 10, que é uma posição de equilíbrio. Isso tambem pode ser verificado pela quantidade comum de (b) Se o governo fixar um imposto de $5 por item, a empresa que produz os bens receberá $7 a menos por item vendido. A equação de oferta então se quebra: p_{S} = \frac{1}{3} (Q - 10) (adicione 5 em ambos os lados) A função demanda permanece inalterada. Podemos estender nosso editor de planilha da parte (a) para incluir uma coluna extra para a função oferta retrabalhada e depois re- apresentar essa reta no mesmo gráfico. Isso pode ser feito digitando 1 / 3 * (A2 + 10) + 5 na célula D2 e arrastando para D6. É possível alterar o tipo de reta traçada pelo Assistente de gráfico clicando sobre a reta que se deseja alterar, o que deve destacar os pontos que foram assinalados. Selecione Formatar na barra de menu, clique em Tipos de dado, Modelos e finalmen- te role pelos estilos de reta disponíveis e selecione o requerido. A Figura 1.22 mostra a nova planilha. Note que o efeito do imposto é mover a reta da oferta cinco posições para cima e que a posição de equilíbrio foi deslocada para (14, 13). Isso significa que o preço aumentou de $10 para $13, com o consumidor pagando $3 em imposto. Os $2 restantes aõpagos, portanto, pela empresa. (c) Os cálculos em (b) podem ser obviamente repetidos, editando a fórmula para a equa- ção de oferta na célula D2 para 1 / 3 * (A2 + 10) +10 Capítulo 1 - Equações Lineares 75 Para um mercado de dois bens, os preços e as quantidades de equilíbrio podem ser encontrados resolvendo um sistema de duas equações. Exatamente o mesmo procedi- mento pode ser aplicado em um mercado de três bens, que requer a solução de um siste- ma de três equações. Dica Um exemplo de um modelo de três bens pode ser encontrado na Questão 6 dos Exercicios 15°. O Capítulo 7 descreve métodos alternativos e exemplos mais avançados. Em geral, com n bens é necessário resolver n equações com n incógnitas e, como indicado na Seção 1.4, é melhor utilizar um pacote de aplicativos toda vez que n for maior. Termos-chave Bem inferior Bem cuja demanda decresce quando a renda cresce. Bem superior Bem cuja demanda cresce quando a renda cresce. Bens complementares Bens que são consumidos juntos. Quando o preço de um deles sobe, a demanda de ambos desce. Bens substituíveis Bens alternativos um ao outro. Quando o preço de um deles sobe, a demanda pelos outros bens cresce. Equilíbrio (de mercado) Estado que ocorre quando a quantidade ofertada e demandada são iguais. Função Relação determinística para cada valor de entrada x, um único valor de saída y existe. Função arbitrária Uma)\ que especifica um arco ou segmento através de uma série de pontos. Função inversa Função escrita ƒ-1 que inverte o efeito de uma função dada ƒ, de modo que y = ƒ⁻¹(x) quando x = ƒ(y). Função oferta Relação entre a quantidade ofertada e os diversos fatores que afetam a oferta, inclusive o preço. Modelagem Parte da teoria matemática que representa (uma simplificação de) alguns aspectos do cenário econômico. Parâmetro Constante cujo valor afeta valores específicos, mas não a forma geral de expressão matemática tal como β constantes b e c em y = axⁿ + bx + c. Variável dependente Variável cujo valor é determinado pelo das variáveis independentes; em y = ƒ(x), a variável dependente é y. Variável endógena Variável cujo valor é determinado dentro do modelo. Variável, exógena Variável cujo valor é determinado fora do modelo. Variável independente Variável cujo valor determina o da variável dependente: em y = ƒ(x), x é a variável indepen- dente b = c. Exercicios 1.5 1. Se g(x) = 5x + 15 e ƒ(x) = 3, calcule: (a) (x) (c) (R) (b) f(10) Que palavra descreve a relação entre ƒ e g? [ ] sócio (d) g(x) (e) g(15) 76 Matemática para economia e administração 3. br3 Exbua" 9 ub üantídade de um bem e Rebos os valores da funcao oferta: la0 7 Dois quatro (ça) (1) quando Q = 12 A funtação demanda de um bem é Q = 100 – P + 2Y – 7 g, onde Q, Y e gɛ indicama respectivamente quantidae demandedia preço, renda e gelho com prego. Çaleule a demanda quando P= 10, < 40 ele e 6 5. Assunindo que o preço e a renda sao 500 caquele o posto adicional necessário como propragando para aumentar a demanda en MO unidades. Esse bem e inferior ou só superior? A demanda, Q por um bem em depende do seu proprio prego. P ç do prego o bem etena retau, as referências peloqa ended: Q= 60 – 3P + 4 P a) Escrever Q – P e - e b) Estos bens Aleárnativos substbuitveís ou complemetarios? Justificaque os resposta. 6. As funções demanda o oferta de um iem dos dados por: P = e – 3Q e 48 Encontran quantidade de equilíbrio sere governo estabelecẽu um tirmposto ive $6 em caba bem. 7. As funções demanda oferta para dois bens interdependentes são dadas por: Qₚ = 100 – 2P₁ Q₁ Q₁=10-0/Q¹ P₁ Dodos as Q₁ e Põe preços, o as quantidades relevantemente. Determine o pego e a qaeridade de equilibrio para o bonito ou da eqoacao demandes determinado by = f(x) que e | 25 (p) em quando doesor aomala oferta.
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60 Matemática para economia e administração SEÇÃO 1.5 Análise da oferta e da demanda Objetivos Ao final desta seção você será capaz de: • Usar a notação de função, y = f(x); • Identificar variáveis endógenas e exógenas em um modelo econômico; • Identificar e traçar uma função linear de demanda; • Identificar e traçar uma função linear de oferta; • Determinar gráfica e algebricamente o preço e a quantidade de equilíbrio para um mercado de um bem; • Determinar o preço e a quantidade de equilíbrio para um mercado de vários bens' resolvendo sistema de equações lineares. A microeconomia refere-se à análise da teoria econômica e da política de empresas e mercados. Nesta seção focaremos um aspecto particular conhecido como equilíbrio de mercado, onde qual a oferta e a demanda se equilibram. Descreveremos como a matemática apresentada nas duas seções anteriores pode ser utilizada para calcular o equilíbrio do preço e da quantidade. Entretanto, antes de iniciar, é útil explorar o conceito de uma função, pois este conceito é fundamental para quase todas as aplicações da matemática na economia. Em alguns textos, funções são tratadas como uma determinação para cada número de entrada, x, um número de saída, y. Além disso, utiliza-se uma regra para detalhar como este ato será realizado, em uma 'caixa-preta' que efetua um cálculo aritmético dedicado. Como um exemplo, considere a regra 'dobrar e adicionar 3'. O efeito dessa regra em dois números de entrada específicos, 5 == 17, e está ilustrado na Figura 1.13. Infelizmente, tal representação é um tanto lenta e complicada. Há, entretanto, duas alternativas naturais de expressão: essa regra mais concisamente. Podemos escrever Y = 2x + 3 ou f(x) = 2x + 3. A primeira delas, tratada na seção anterior, é mais familiar, correspondendo a qualquer número de entrada, x, o lado direito informa o que fazer com x para gerar o número de saída, y. Figura 1.13: 2. Do inglês, 'multicommodity'. 'Commodities' são bens primários ou sem pequeno grau de beneficiamento ou industrialização, não processados obtidos principalmente pela oferta e procura internacional. (N.E.T.) Capítulo 1 Equações lineares 61 A segunda notação também é útil e tem a vantagem de envolver o símbolo f, que é utilizado para nomear a regra. Se, em uma parte da teoria econômica, houver duas ou mais funções, poderiam ser utilizadas denominações diferentes para se referir a uma e a outra. Por exemplo, uma segunda função poderia ser: g(x) = 3x + 10 e identificaríamos a respectiva função subsequentemente, simplesmente referindo-se a elas pelo nome: isto é, ou f ou g. A nova notação também possibilita que a informação transmitida na Figura 1.13 seja expressa como g(5) = 13 g(x)=2x+3 x f(3x+10)=2y+17 lida 'g de x igual a 13'; lida 'f de x igual a 2y mais 27'. O número dentro dos parênteses é o valor de entrada, x, e o do lado direito é o valor correspondente de saída, y. Exemplo (a) Se f(x) = 2x - 3x, encontre o valor de f(5). (b) Se g(x) = 3 + 2, encontre o valor de g(2). Solução (a) Substituindo x = 5 em 2x - 3x temos: f(x) = 2 x - 3x - 5x = 2 x 25 - 3x - 5 80 15 - 35 (b) Apesar de ser utilizada a letra Q em vez de x, o procedimento é o mesmo: g(2) = 3 1 = 3/3 5 + 2x 2 Problema prático 1. Calcule (a) g(25) (b) g(11) 21 (c) f(17) f(x) = 2x + 50; g(x) = l = 7 + 25 Você nota alguma relação entre f e g? (e) g(48) (d) g(10) (f) g(16) 62 Matemática para economia e administração As variáveis de entrada e de saída são denominadas, respectivamente, independentes e dependentes. O valor de y depende claramente do valor real de x colocado na função. Por exemplo, em microeconomia a quantidade demandada Q de um bem depende do preço de mercado P. Podemos expressar isso na seguinte forma: Q = f(P); Tal função é denominada função demanda. Dada qualquer fórmula particular para f(P), é uma simples questão desenhar a curva de demanda correspondente em um papel quadriculado. Há, entretanto, diferenças de opinião entre econômicos sobre como isso deveria ser feito. Se o método quantitativo for de um matemático, ele representará graficamente: Q no eixo vertical e P no horizontal. De outra forma, normalmente os economistas apresentam graficamente no inverso, colocando Q no eixo horizontal. Assim, notamos que, uma vez que Q está relacionado com P inversamente P deve estar relacionado com Q em virtude de uma função de dado real: P = g(Q); As duas funções, f e g, são funções inversas: isto é, f é a inversa de g, e, equivalentemente, g é inverso de f. Neste livro adotamos o enfoque dos economistas. Nos capítulos subsequentes investigaremos outras funções microeconômicas, incluindo as de custo e receita, produção e lucro. E convenientemente reverte-las graficamente até o contrário de Q (isto é, com Q no eixo horizontal), então, se tornando correto em relação a: Na formula L, lembramos que é importante que os economistas tenham meios de inferir sobre o relacionamento preciso entre estas duas variáveis. Para descobrir isso, eles geralmente recomendam comparar a predição do modelo com o que é evidencia empírica. No momento a hipótese é que... a. Capítulo 1 Equações lineares 63 Figura 1.14 Exemplo Trace o gráfico da função demanda P = -2Q + 50 Depois, determine o valor de (a) P quando Q = 9 (b) Q quando P = 10 Solução Para a função demanda P = -2Q + 50 Q = -2, b = 50, então a reta tem uma inclinação de -2 e uma interseção de 50. Para cada unidade longitudinal, a reta desce 2 unidades, então deve cruzar o eixo horizontal quan- do Q = 25. (Alternativamente, note que, quando P = 0, o equação indica 0 = -2Q + 50, com solução de Q = 25.) O gráfico está esboçado na Figura 1.15. (a) Dada qualquer quantidade, Q, o gráfico simplesmente é utilizado para encontrar o preço correspondente, P. Uma reta vertical ascendente é traçada até interceptar a cur- va da demanda, e o valor de P é obtido do eixo vertical. Da Figura 1.15, quando Q = 9, 9 notamos que P = 32. Esse resultado também pode ser encontrado substituindo por Q = 9 diretamente na função demanda para obter: P = -2(9) + 50 = 32. (b) O processo inverso possibilita calcular Q de um dado valor P. Uma reta é traçada ho- rizontalmente até que intercepte a curva da demanda, e o valor de Q é obtido no eixo horizontal. A Figura 1.15 indica que Q = 20 quando P = 10. Novamente isso pode ser exercitado pelo cálculo. Se P = 10, então a equação indica: 10 = -2Q + 50 -40 = -2Q (Subtraia 50 de ambos os lados) 20 = Q. (divida ambos os lados por -2) 64 Matemática para economia e administração Figura 1.15 Problema prático 2. Trace o gráfico da função demanda P = -3Q + 75 Depois, determine o valor de (a) P quando Q = 23 (b) Q quando P = 18 O modelo da demanda do consumidor dado é bem impreciente e assume que a quan- tidade depende somente do preço, P, do bem considerado. Na prática, Q também de- pende de outros fatores, incluindo a renda dos consumidores, Y, o preço de produtos substituíveis, PS, o preço de produtos complementares, Pc, gastos com propaganda, E, e a preferência dos consumidores, C. Produto substituível é aquele que pode ser utilizado em lugar do produto considerado. Por exemplo, na indústria de transporte, ônibus e táxi podem ser substituídos um pelo outro, nas áreas urbanas. Um bem complementar é o que é utilizado em conjunto com outros bens. Por exemplo, CDs de música e sistemas hi- -fi são consumidos juntos. Matematicamente, dizemos que Q é função de: P, Y, PS, Pc, E e C. Escreve-se Q = f(P, Y, PS, Pc, E, C) onde as variáveis dentro dos parênteses são separadas por vírgulas. Em um diagrama de "caixa-preta", f é representada por seis setas de entrada e uma de saída, como mostrado na Figura 1.16. Na discussão anterior, foi assumido implicitamente que as variáveis Y, PS, Pc, E e C eram fixas. Descreveremos essa situação chamando Q e P de variáveis endóge- nas, por poderão variar e estarão dentro do modelo, e as variáveis restantes são dita- das exógenas, por serem constantes e estarem fora do modelo. Voltamos para a curva de demanda padrão mostrada na Figura 1.17, como esta EQ, que foi traçada sobre o pressuposto de que Y, PS, Pc, E, C são todos constantes. Note que Capítulo 1 Equações lineares 65 Figura 1.16 Figura 1.17 quando o preço é P a quantidade demanda é Q. Agora suponha que a renda, Y, cresça. Normalmente esperaríamos que a demanda pela compra de mais bens crescesse com a renda extra ao preço P. O efeito é deslocar a curva da demanda para a direita, porque ao preço P os consumidores podem comprar uma maior quantidade de bens, Q2. Da Figura 1.17 deduzimos que se a curva da demanda for P = mQ + b um aumento na renda faz com que a interseção, b, aumente. Concluímos que, quando uma das variáveis exógenas se altera, toda a curva da de- manda se move, enquanto que se uma das variáveis endógenas se altera, apenas nos movemos ao longo da curva fixa. Incidentalmente, é possível que, para alguns bens, um aumento na renda realmente cause um deslocamento na curva da demanda para a esquerda. Nos anos 1960 e 1970, a maioria das economias do Oeste permitiu um declínio do consumo doméstico de car- vão, como resultado do aumento da renda. Nesse caso, o aumento da riqueza significou que mais pessoas pudessem instalar sistemas de aquecimento central que usam formas 66 Matematica para economia e administracao alternativas de energia. Sob essas circunstancias, diz-se que o bem é um bem inferior. De outra forma, o bem superior é aquele cuja demanda cresce quando a renda cresce. Carros e produtos eletronicos sao exemplos claros de bens superiores. Atualmente, o interesse crescente do aquecimento global tambem está reduzindo a demanda de carvão. Esse fator pode ser incorporado em parte como preferencia, contudo é dificil de tratar matematicamente por ser virtualmente impossivel quantificar a preferencia, e, por conseguinte, definir C numericamente. A funcao oferta é a relacao entre a quantidade, Q, de um bem que os produtores planejam trazer ao mercado ao preco, P, do bem. A figura 1.18 indica uma curva linear tipica de oferta. A teoria economica indica que, quando o preco cresce, a oferta tambem cresce. Matematicamente, P é considerado uma funcao crescente de Q. Um aumento de preco encoraja os produtores existentes a uma elevacao no produto e atrai novas empresas para o mercado. A reta mostrada na Figura 1.18 tem a equacao p=q+rQ com a inclinacao r>0 e intersecao h>0. Note que, quando o preco do mercado é igual a h, Q é zero. Os produtores estao dispostos a trazer uma oferta qualquer bem de qualquer forma somente quando o preco excede determinada patamar. Isso é novamente uma simplificacao do mundo real. A funcao oferta assim representada não tem de ser linear e a quantidade ofertada, Q, é influenciada por outros fatores além do preco. Esses variaveis exogenas incluem bem o custo das materias-primas necessarias para a producao, trabalho e capital, tributacao, subsidios governamentais, clima e tecnologia. Em microeconomia, a funcional rivalidade em um mercado ocupa um papel central. A figura 1.19 indica a oferta e demanda de um bem e o preco de equilibrio. Na intersecao desta curva é o ponto principal e o ponto de interesse. Nesse ponto, o mercado esta em estado de descanso, sem pressao sobre o preco ou qualquer quantidade. Quando o mercado alcança o ponto de equilibrio, geralmente não existe razao para os produtores elevarem seu preco ou sua producao. Na pratica, o que é de maior interesse é como o mercado se comportara quando se encontrar fora do equilibrio. Se o preco do mercado for maior que o preco de equilibrio indicado pela Figura 1.19, como se estivesse ao nivel de Pa, então a quantidade demandada, Qd, é menor que a quantidade ofertada, Qo, então ha um excesso de oferta. Ha estoque de bens não vendidos, que tende a depreciar os precos e faz com que as empresas cortem a producao. O efeito das "forcas de mercado" é sempre deslocar o mercado de volta ao ponto de equilibrio. Igualmente, se o preco do mercado cai abaixo do preco de equilibrio, então a demanda excede a oferta. A falta do bem empurra os precos para cima e encoraja as empresas a aumentar a producao, então o mercado flutua novamente em direcao ao equilibrio. 67 Capítulo 1 Economia linear Figura 1.19 dom de oferta o meninas glutonarias coneio de instricuidado Exemplo As funções demanda e oferta de um bem são dadas por P=2Qd+50 P= 1 2 Qo+25 onde P, Qd e Qo indicam preço, quantidade demandada e quantidade ofertada, respectivamente. (a) Determine o preço e a quantidade de equilíbrio. (b) Determine o efeito no equilíbrio de mercado se o governo decidir impor um imposto fixo de 5$ em cada bem de consumo. Solução (a) A curva da demanda já foi traçada na Figura 1.15. Para a função oferta P= 1 2 Qo+25 tomamos a= 1 2b=25 entao a inclinacao da reta é e a interseção, 25. Percorre portanto (0, 25). Em um segundo ponto, vamos escolher Qo=20. O valor correspondente de P é P= 1 2 (20)+25=35 então a reta também passa por (20, 35). Os pontos (0, 25) e (20, 35) podem agora ser representados e a curva da oferta, traçada. A figura 1.20 mostra as curvas da oferta e da demanda traçadas no mesmo diagrama. O ponto de interseção tem coordenadas (10, 30), então a quantidade de equilíbrio é 10 e o preço de equilíbrio é 30. 68 Matematica para economia e administracao Com álgebras, é possível calcular esses valores. Em equilíbrio, Qd=Qo. Se o valor comum é indicado por Q, então as equações de demanda e de oferta tornam-se 2Q+50= 1 2 Q+25 Elas representam um sistema de equações para as incógnitas P e Q, que pode ser resolvido utilizando o método da eliminação descrito na seção anterior. Entretanto, isso não é estritamente necessário, porque se depreende imediatamente das equações anteriores que: -2Q+50=- 1 2 Q+25 desde que ambos os lados sejam iguais a -8. Isso pode ser rearranjado para calcular Q: -2Q+50=-25 (subtraia 1 2Q de ambos os lados) -2Q=10 (subtraído 50 de ambos os lados) Q=10 (divida ambos os lados por -2) Finalmente, P pode ser encontrado substituindo esse valor em qualquer das equações originais. A equação da demanda resulta P=2(10)+50=30 Como conferência, a equação da oferta resulta P=2(10)+25=30 (b) Se o governo fixar um imposto de $5 por bem, então o dinheiro que a empresa realmente recebe da venda de cada bem é o montante, P, que o consumidor paga, menos o imposto, i, isto é, P-5. Matematicamente, este problema pode ser resolvido substituindo P por P-5 na equação da oferta para obter a nova equação da oferta P=2 1 Q+25 isto é, P= 2 1 Q+30 Os cálculos resultantes são iguais aos anteriores. Em equilíbrio, Qd=Qo. Estabelecendo novamente esse valor comum como Q, resulta P=-2Q+50 P=Q+30 Consequentemente -2Q=Q+30 que pode ser resolvido como antes para ficar Q=8. A substituição em cada uma das equações anteriores dá P=14. (Confira os detalhes) Graficamente, a introdução do imposto desloca a curva da oferta 5 unidades para cima. Obviamente, a curva da demanda permanece inalterada. A reta traçada na figura 1.20 mostra a nova curva da oferta, da qual a nova quantidade de equilíbrio e 8 e o prêço de equilíbrio; 34: Note o efeito que a fixação do governo tem no equilíbrio do preço, o que subiu para $34, sendo que nem todo o imposto é repassado ao con- sumidor. O consumidor paga um adicional de $4 por bem. O $3 restante de imposto deve, portanto, ser pago pela empresa. Figura 1.20 Problema prático 3. As funções demanda e oferta de um bem são expressas por p_{d} = -4Q_{d} + 120 p_{S} = \frac{1}{2} Q_{S} + 25 onde p, Q_{d} e Q_{S}, indicam preço, quantidade demandada e quantidade ofertada, res- pectivamente. (a) Calcule o preço e a quantidade de equilíbrio. (b) Calcule o novo preço e a quantidade de equilíbrio após a impositação de um im- posto fixo de $13 por bem. Quem pagará o imposto? Exemplo As funções demanda e oferta de um bem são expressas por p_{d} = - \frac{1}{2} (Q_{d} - 20) p_{S} = \frac{1}{3} (Q_{S} + 10) O governo estabelece um imposto fixo de $x em cada bem. Determine preço e quantidade de equilíbrio quando: (a) x = 0 (b) x = 5 (c) x = 10 (d) x = 2,50 Em cada caso, calcule o imposto pago pelo consumidor e comente esses valores. Solução (a) No caso quando x = 0, não há imposto e as funções demanda e oferta são as já in- dicadas. Em equilíbrio, Q_{d} = Q_{S}, então expressando esse valor como Q, podemos encontrar a posição de equilíbrio resolvendo o sistema de equações p_{d} = \frac{1}{2} Q + 20 p_{S} = \frac{1}{3} (Q + 10) No Excel, primeiro estabelecemos uma lista de valores para Q. Na Figura 1.21, a inicial Q1 foi colocada na célula A1, e valores de 0 a 40 (crescendo em dezenas) en- traram nas células de A2 até A4. Nesse estagio, precisamos introduzir uma fórmula para calcular os valores correspondentes de p utilizando uma equação de cada vez. Como o primeiro valor de Q está na célula A2, digitamos = -2 / A2 + 20 na célula B2 para a função demanda e 1 / 3 * (A2 + 10) Figura 1.21 na célula C2 para a função oferta. Clicando e arrastando as colunas, o Excel gerá os valores correspondentes para a demanda e a oferta. Você notará que os valores da terceira coluna não parecem favoráveis para se co- mer, pois apresentam vários casos depois do ponto decimal. Entretanto, isso pode ser mudado marcando esses números e clicando no ícone de diminuição decimal, que pode ser encontrado na barra de ferramentas: O efeito disso é reduzir o número de casas decimais por arredondamento. Cada vez que você clicar no ícone, mais uma casa decimal será removida. Como estávamos tra- tando com dinheiro, arredondamos até 2 casas decimais. Finalmente, marcamos o conteúdo das primeiras três colunas e usamos o As- sistente de gráfico para criar um diagrama com as funções demanda e oferta, como mostra a Figura 1.21. No gráfico, podemos notar que as retas se cruzam quando Q = 20 e p = 10, que é uma posição de equilíbrio. Isso tambem pode ser verificado pela quantidade comum de (b) Se o governo fixar um imposto de $5 por item, a empresa que produz os bens receberá $7 a menos por item vendido. A equação de oferta então se quebra: p_{S} = \frac{1}{3} (Q - 10) (adicione 5 em ambos os lados) A função demanda permanece inalterada. Podemos estender nosso editor de planilha da parte (a) para incluir uma coluna extra para a função oferta retrabalhada e depois re- apresentar essa reta no mesmo gráfico. Isso pode ser feito digitando 1 / 3 * (A2 + 10) + 5 na célula D2 e arrastando para D6. É possível alterar o tipo de reta traçada pelo Assistente de gráfico clicando sobre a reta que se deseja alterar, o que deve destacar os pontos que foram assinalados. Selecione Formatar na barra de menu, clique em Tipos de dado, Modelos e finalmen- te role pelos estilos de reta disponíveis e selecione o requerido. A Figura 1.22 mostra a nova planilha. Note que o efeito do imposto é mover a reta da oferta cinco posições para cima e que a posição de equilíbrio foi deslocada para (14, 13). Isso significa que o preço aumentou de $10 para $13, com o consumidor pagando $3 em imposto. Os $2 restantes aõpagos, portanto, pela empresa. (c) Os cálculos em (b) podem ser obviamente repetidos, editando a fórmula para a equa- ção de oferta na célula D2 para 1 / 3 * (A2 + 10) +10 Capítulo 1 - Equações Lineares 75 Para um mercado de dois bens, os preços e as quantidades de equilíbrio podem ser encontrados resolvendo um sistema de duas equações. Exatamente o mesmo procedi- mento pode ser aplicado em um mercado de três bens, que requer a solução de um siste- ma de três equações. Dica Um exemplo de um modelo de três bens pode ser encontrado na Questão 6 dos Exercicios 15°. O Capítulo 7 descreve métodos alternativos e exemplos mais avançados. Em geral, com n bens é necessário resolver n equações com n incógnitas e, como indicado na Seção 1.4, é melhor utilizar um pacote de aplicativos toda vez que n for maior. Termos-chave Bem inferior Bem cuja demanda decresce quando a renda cresce. Bem superior Bem cuja demanda cresce quando a renda cresce. Bens complementares Bens que são consumidos juntos. Quando o preço de um deles sobe, a demanda de ambos desce. Bens substituíveis Bens alternativos um ao outro. Quando o preço de um deles sobe, a demanda pelos outros bens cresce. Equilíbrio (de mercado) Estado que ocorre quando a quantidade ofertada e demandada são iguais. Função Relação determinística para cada valor de entrada x, um único valor de saída y existe. Função arbitrária Uma)\ que especifica um arco ou segmento através de uma série de pontos. Função inversa Função escrita ƒ-1 que inverte o efeito de uma função dada ƒ, de modo que y = ƒ⁻¹(x) quando x = ƒ(y). Função oferta Relação entre a quantidade ofertada e os diversos fatores que afetam a oferta, inclusive o preço. Modelagem Parte da teoria matemática que representa (uma simplificação de) alguns aspectos do cenário econômico. Parâmetro Constante cujo valor afeta valores específicos, mas não a forma geral de expressão matemática tal como β constantes b e c em y = axⁿ + bx + c. Variável dependente Variável cujo valor é determinado pelo das variáveis independentes; em y = ƒ(x), a variável dependente é y. Variável endógena Variável cujo valor é determinado dentro do modelo. Variável, exógena Variável cujo valor é determinado fora do modelo. Variável independente Variável cujo valor determina o da variável dependente: em y = ƒ(x), x é a variável indepen- dente b = c. Exercicios 1.5 1. Se g(x) = 5x + 15 e ƒ(x) = 3, calcule: (a) (x) (c) (R) (b) f(10) Que palavra descreve a relação entre ƒ e g? [ ] sócio (d) g(x) (e) g(15) 76 Matemática para economia e administração 3. br3 Exbua" 9 ub üantídade de um bem e Rebos os valores da funcao oferta: la0 7 Dois quatro (ça) (1) quando Q = 12 A funtação demanda de um bem é Q = 100 – P + 2Y – 7 g, onde Q, Y e gɛ indicama respectivamente quantidae demandedia preço, renda e gelho com prego. Çaleule a demanda quando P= 10, < 40 ele e 6 5. Assunindo que o preço e a renda sao 500 caquele o posto adicional necessário como propragando para aumentar a demanda en MO unidades. Esse bem e inferior ou só superior? A demanda, Q por um bem em depende do seu proprio prego. P ç do prego o bem etena retau, as referências peloqa ended: Q= 60 – 3P + 4 P a) Escrever Q – P e - e b) Estos bens Aleárnativos substbuitveís ou complemetarios? Justificaque os resposta. 6. As funções demanda o oferta de um iem dos dados por: P = e – 3Q e 48 Encontran quantidade de equilíbrio sere governo estabelecẽu um tirmposto ive $6 em caba bem. 7. As funções demanda oferta para dois bens interdependentes são dadas por: Qₚ = 100 – 2P₁ Q₁ Q₁=10-0/Q¹ P₁ Dodos as Q₁ e Põe preços, o as quantidades relevantemente. Determine o pego e a qaeridade de equilibrio para o bonito ou da eqoacao demandes determinado by = f(x) que e | 25 (p) em quando doesor aomala oferta.