Calculo do Centro de Massa por Integrais - Pesquisa e Exercicios Resolvidos

1 Elaborar uma pesquisa explicando a aplicação de integral para cálculo de centro de massa Apresentando todas as fórmulas e conceitos envolvidos no processo para calcular o centro de massa conhecendo a função densidade Este item deve ser elaborado de acordo com as normas da ABNT Fonte Arial ou Times New Roman tamanho 12 texto justificado 15 de espaçamento entre linhas sem recuo de primeira linha apontando todas as referências devidamente utilizadas assim como citadas no decorrer do texto Aproximadamente 2 laudas de conteúdo Deverá conter capa e folha de rosto 2 Calcule o centro de massa da barra da figura abaixo Esta etapa deve ser realizada de forma manuscrita Considere que a barra da figura abaixo tem 10 cm de comprimento e fica mais espessa da esquerda para a direita de forma que sua densidade medida em kgm é dada pela função δx 1 x10 Questão 1 1 Elaborar uma pesquisa explicando a aplicação de integral para cálculo de centro de massa Apresentando todas as fórmulas e conceitos envolvidos no processo para calcular o centro de massa conhecendo a função densidade Este item deve ser elaborado de acordo com as normas da ABNT Fonte Arial ou Times New Roman tamanho 12 texto justificado 15 de espaçamento entre linhas sem recuo de primeira linha apontando todas as referências devidamente utilizadas assim como citadas no decorrer do texto Aproximadamente 2 laudas de conteúdo Deverá conter capa e folha de rosto 2 Calcule o centro de massa da barra da figura abaixo Esta etapa deve ser realizada de forma manuscrita Considere que a barra da figura abaixo tem 10 cm de comprimento e fica mais espessa da esquerda para a direita de forma que sua densidade medida em kgm é dada pela função δx 1 x10 1 O cálculo do centro de massa é uma aplicação importante da matemática na física especialmente em problemas envolvendo a mecânica dos corpos A determinação do centro de massa permite entender o comportamento dos objetos em relação às forças que atuam sobre eles e a sua estabilidade Uma das formas de se calcular o centro de massa é através do uso de integrais que nos permitem encontrar o ponto médio de um objeto com densidade variável A seguir serão apresentados os conceitos básicos do cálculo de centro de massa por meio de integrais O centro de massa de um objeto é definido como o ponto em que todo o peso do objeto pode ser considerado concentrado ou seja o ponto em que é possível aplicar uma força que representa todo o peso do objeto Esse ponto pode ser encontrado utilizando a fórmula r cm mir i mi Onde r cm é o vetor posição do centro de massa em relação a um ponto de referência ri é o vetor posição da iésima partícula em relação ao mesmo ponto de referência e mi é a massa da iésima partícula No caso de um objeto contínuo a fórmula acima pode ser escrita em termos de integrais A massa de um objeto contínuo pode ser expressa como uma integral tripla da sua densidade representada por ρao longo do seu volume M ρ O centro de massa pode ser encontrado usando a seguinte fórmula r cm ri ρ Ou expressando em termos das componentes cartesianas temos também xcm x ρ ycm y ρ zcm z ρ Para calcular essa integral é necessário conhecer a densidade do objeto em cada ponto do espaço Para objetos com densidade uniforme a densidade é constante em todo o objeto e pode ser representada por um único valor No entanto para objetos com densidade variável é necessário conhecer a função de densidade em cada ponto Por exemplo considere um objeto com densidade variável como um prisma triangular com altura h base de comprimento b e densidade ρ Para encontrar o centro de massa desse objeto podemos dividir o prisma em camadas infinitesimais ao longo do eixo z e calcular o centro de massa de cada camada e em seguida realizando as integrações acima propostas para encontrar as coordenadas do centro de massa do sólido Referência Bibliográfica STEWART James Cálculo volume 2 8ª 2 v SÃO PAULO Cengage Learning 2016 672 p 2 Obs aqui o enunciado se contradiz de modo que será assumido que a barra possui 10 m de comprimento A coordenada xcm do centro de massa é dada pela seguinte equação xcm 0 10 x dm 0 10 dm Mas temos dmδdx logo xcm 0 10 xδdx 0 10 δdx xcm 0 10 x1 x 10 x 0 10 1 x 10dx Calculando obtemos xcm 0 10 x x 2 10x 0 10 1 x 10dx xcm 10 2 2 10 3 30 10 10 2 20 xcm 50333333 105 xcm 833333 15 xcm5556m No text extracted from image 5 Questão 1 1 Elaborar uma pesquisa explicando a aplicação de integral para cálculo de centro de massa Apresentando todas as fórmulas e conceitos envolvidos no processo para calcular o centro de massa conhecendo a função densidade Este item deve ser elaborado de acordo com as normas da ABNT Fonte Arial ou Times New Roman tamanho 12 texto justificado 15 de espaçamento entre linhas sem recuo de primeira linha apontando todas as referências devidamente utilizadas assim como citadas no decorrer do texto Aproximadamente 2 laudas de conteúdo Deverá conter capa e folha de rosto 2 Calcule o centro de massa da barra da figura abaixo Esta etapa deve ser realizada de forma manuscrita Considere que a barra da figura abaixo tem 10 cm de comprimento e fica mais espessa da esquerda para a direita de forma que sua densidade medida em kgm é dada pela função δx 1 x10 1 O cálculo do centro de massa é uma aplicação importante da matemática na física especialmente em problemas envolvendo a mecânica dos corpos A determinação do centro de massa permite entender o comportamento dos objetos em relação às forças que atuam sobre eles e a sua estabilidade Uma das formas de se calcular o centro de massa é através do uso de integrais que nos permitem encontrar o ponto médio de um objeto com densidade variável A seguir serão apresentados os conceitos básicos do cálculo de centro de massa por meio de integrais O centro de massa de um objeto é definido como o ponto em que todo o peso do objeto pode ser considerado concentrado ou seja o ponto em que é possível aplicar uma força que representa todo o peso do objeto Esse ponto pode ser encontrado utilizando a fórmula 𝑟𝑐𝑚 𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝑚𝑖 Onde 𝑟𝑐𝑚 é o vetor posição do centro de massa em relação a um ponto de referência 𝑟𝑖 é o vetor posição da i ésima partícula em relação ao mesmo ponto de referência e 𝑚𝑖 é a massa da iésima partícula No caso de um objeto contínuo a fórmula acima pode ser escrita em termos de integrais A massa de um objeto contínuo pode ser expressa como uma integral tripla da sua densidade representada por 𝜌𝑥 𝑦 𝑧 ao longo do seu volume 𝑀 𝜌𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑉 O centro de massa pode ser encontrado usando a seguinte fórmula 𝑟𝑐𝑚 𝑟𝑖 𝜌𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑉 𝜌𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑉 Ou expressando em termos das componentes cartesianas temos também 𝑥𝑐𝑚 𝑥𝜌𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑉 𝜌𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑉 𝑦𝑐𝑚 𝑦𝜌𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑉 𝜌𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑉 𝑧𝑐𝑚 𝑧𝜌𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑉 𝜌𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑉 Para calcular essa integral é necessário conhecer a densidade do objeto em cada ponto do espaço Para objetos com densidade uniforme a densidade é constante em todo o objeto e pode ser representada por um único valor No entanto para objetos com densidade variável é necessário conhecer a função de densidade em cada ponto Por exemplo considere um objeto com densidade variável como um prisma triangular com altura ℎ base de comprimento 𝑏 e densidade 𝜌𝑥 𝑦 𝑧 Para encontrar o centro de massa desse objeto podemos dividir o prisma em camadas infinitesimais ao longo do eixo 𝑧 e calcular o centro de massa de cada camada e em seguida realizando as integrações acima propostas para encontrar as coordenadas do centro de massa do sólido Referência Bibliográfica STEWART James Cálculo volume 2 8ª 2 v SÃO PAULO Cengage Learning 2016 672 p 2 Obs aqui o enunciado se contradiz de modo que será assumido que a barra possui 10 m de comprimento A coordenada 𝑥𝑐𝑚 do centro de massa é dada pela seguinte equação 𝑥𝑐𝑚 𝑥𝑑𝑚 10 0 𝑑𝑚 10 0 Mas temos 𝑑𝑚 𝛿𝑑𝑥 logo 𝑥𝑐𝑚 𝑥𝛿𝑑𝑥 10 0 𝛿𝑑𝑥 10 0 𝑥𝑐𝑚 𝑥 1 𝑥 10 𝑥 10 0 1 𝑥 10 𝑑𝑥 10 0 Calculando obtemos 𝑥𝑐𝑚 𝑥 𝑥2 10 𝑥 10 0 1 𝑥 10 𝑑𝑥 10 0 𝑥𝑐𝑚 102 2 103 30 10 102 20 𝑥𝑐𝑚 50 333333 10 5 𝑥𝑐𝑚 833333 15 𝒙𝒄𝒎 𝟓 𝟓𝟓𝟔 𝒎