Aula 3: Definição de Limite e Continuidade em Cálculo Diferencial e Integral

Cálculo diferencial e integral aplicado Aula 3 Definição de limite e continuidade Prof Ms Kyung Moo Kim EMAILDOPROFESSOR kyungkimfaculdadeimpactacombr Sumário O limite calculo intuitivo Definição formal de limite uso de delta e epsilon Cálculo de limite limite lateral e casos de indeterminação Definição de continuidade e aplicações Uso de Sympy para cálculo de limite 2 Limite cálculo intuitivo Consideremos a função fx 3x 1 e vamos a calcular valores próximo a 2 Assim x fx x fx 10 40 30 10 15 55 25 85 18 64 22 76 19 67 21 73 195 685 205 715 199 697 201 703 1995 6985 2005 7015 1999 6997 2001 7003 Como avaliar sem tabela acima lim x2 3x 1 7 Limite de uma função definição intuitiva 4 Gráfico fx tende a 4 Quando x tende a 2 lim x2 x² x 2 4 Definição formal de limite de uma função Matemáticamente 6 Propriedades de Limites Seja c um constante real e os limites lim xa fx L e lim xa gx M existam então 1 lim xa fx gx lim xa fx lim xa gx L M 2 lim xa fx gx lim xa fx lim xa gx L M 3 lim xa fx gx lim xa fx lim xa gx L M 4 lim xa fxgx lim xa fxlim xa gx LM 5 lim xa ax n a n 6 lim xa c c 7 lim xa c fx c lim xa fx c L 8 lim xa fx lim xa fx L Exemplos de limite de uma função 1 limx2 3x 2 2 limx5 2x² 3x 4 3 limx2 x³2x²153x 4 limx3 x²9x3 5 limx3 x² 3x 2 Unicidade de limite O limite de uma função não pode ter dois valores diferentes 9 Limite lateral Exemplo Função degrau de unidade 1 10 Exemplo como Não existe limite 11 Exemplos de limite lateral seja a função Calcule 1 2 12 Gráfico da função xx Aplicação de função degrau A função degrau tem uma aplicação muito importante na área de engenharia em epecial em engenharia elétrica Nessa área o uso de função degrau é importante pois é utilizado em sinais elétricos onde envolve chaveamento DC 14 Indeterminação de limites A indeterminação de cálculo de limite acontece quando ao calcular o limite quando x a ocorre o seguinte Outras formas de calcular as indeterminações além de uso de álgebra que será realizado nesta aula é utilizando a regra de Lhôspital 15 Indeterminação Exemplo 1 Calcule 16 Indeterminação 00 Exemplo 2 Calcule 17 Indeterminação 1 Calcule limx 3x⁴ 5x³ 5x² 79x⁴ 8x³ 7 Indeterminação 2 Calcule limx frac3x 5x4x 6x Indeterminação Calcule limx x sqrt3x4 5x Limite fundamental Os limites são conhecidos como limites fundamentais 21 Gráfico de função de limite fundamental 22 Observação importante O limite fundamental cujo valor resulta o número e é dado por duas expressões 23 Exemplo de cálculo utilizando limites fundamentais Exemplos 24 Exemplo de cálculo utilizando limites fundamentais Exemplo 25 Continuidade de uma função Definição Seja uma função fx uma função definida em um intervalo I e a I Dizemos que f é contínua em a se limxa fx fa Da definição decorre três condições que devem satisfazer para que uma função é contínua 1 existe fa 2 existe limxa fx 3 limxa fx fa Continuidade de uma função Propriedades de funções contínuas Sejam as funções fx e gx duas funções contínuas então valem as seguintes propiedades 1 fxgx é contínua 2 fxgx é contínua 3 fxgx é contínua 4 fgx é contínua 28 Continuidade de uma função em partes Seja a função Encontre o valor de para que a função seja contínua 29 Uso de Sympy para calculo de limite import sympy as sp from sympyplotting import import matplotlibpyplot as plt xspsymbolsx def fx return 2x2 13x limitesplimitfxx1 printO limite da função é dado porlimite plotfx pltxlim22 pltylim55 pltgrid pltlegend 30 Gráfico da função e valor de limite calculado O limite da função é dado quando x tende para 1 é ⅓ 31