Introdução às Funções - Cálculo Diferencial e Integral Aplicado

Cálculo diferencial e integral aplicado Aula 1 Introdução às funções parte 1 ProfMs Kyung Moo Kim EMAILDOPROFESSOR kyungkimfaculdadeimpactacombr Sumário Apresentação da disciplina Estudo de funções Básicas Função de primeiro grau Funções de segundo grau Função racional 2 Apresentação de disciplina Nome da disciplina Cálculo diferencial e integral aplicado Nome de professor responsável Prof Ms Kyung Moo Kim Programa resumido Revisão de funções Limite e continuidade de funções Derivada Aplicação de derivada Integração Aplicação de integração 3 Bibliografia 1 Cálculo Volume 1 James Stewart Cengage 2 Um curso de Cálculo vol 1 Hamilton Guidorizzi 4 Bibliografia 3 Cálculo 1 Thomas Giordano Pearson 4 Fundamentos da matemática vol 8 Gelson Iezzi Ed Atual 5 Avaliação da disciplina A disciplina será avaliada da seguinte forma 5 ACs que serão lançadas segundo o calendário acadêmico 1 prova no final do semestre que envolve todo o conteúdo da disciplina Prova PAI as datas serão de acordo com o calendário acadêmico 6 Avaliação As médias de ACs são consideradas as 4 melhores Faltas permitidas 25 Média geral 03xmédia de ACs 04x nota da prova03xmédia de PAI Critério de aprovação Média geral 6 e frequência 75 Aprovado Se Média geral 6 e frequência75 Reprovado 7 Avaliação Atividades acadêmicas ACs As atividades acadêmicas serão divididas em 2 partes Parte 1 Resolução de lista de exercícios proposto pelo professor Parte 2 Resolução computacional de exercícios proposto pelo professor utilizando python 8 Avaliação da disciplina Será lançada lista de exercícios para cada tópico da disciplina para vocês praticaram pois ter êxito nesta disciplina a resolução de exercícios é fundamental O aluno tem direito a uma Prova Substitutiva com todo o conteúdo do semestre letivo para substituir a Prova Semestral A Prova Substitutiva somente será utilizada se for maior que a Prova 9 Dado dois conjuntos A e B não vazios uma relação f de A em B recebe o nome de função definida em A com imagem em B se somete se para todo x A existe um só y B tal que xy f Relação entre conjunto A em B httpsmatematicanetspacombr20201124matematicaconjuntosrelacoesefuncoes 11 Exemplo de definição de funções 12 Quando um gráfico é uma função ou não Dado um gráfico de uma relação Para verificar se uma relação dada através de um gráfico deverá traçar retas verticais e ver se essas retas verticais se intersectam duas ou mais vezes no gráfico não será uma função caso contrário será uma função 13 Verificar quando um gráfico é função ou não 14 Uma função f ℝ ℝ fx ax b a 0 Onde a coeficiente angular indica inclinação da reta b coeficiente linear indica o ponto em que corta no eixo y Exemplo 1 f ℝ ℝ fx 2x 4 a 2 e b 4 2 f ℝ ℝ fx 64x 1 3 2 f ℝ ℝ fx 64x 1 a 64 e b 1 Função de Primeiro grau valor numérico 16 Agora vamos estudar com um pouco mais por perto o coeficiente angular ou seja o valor de a A questão que fica é o que acontece com a reta quando o valor de a é positivo e quando o valor de a é negativo Zero da função Definição Zero de uma função polinomial de primeiro grau fx ax b a 0 o número real x tal que fx 0 Temos fx 0 ax b 0 x ba Exemplo Seja fx 5x 2 Então fx 0 5x 2 0 x 25 Observação O zero de uma função é o ponto de intersecção da função com o eixo x Interseção com o eixo y A interseção com o eixo y de uma função fx ax b é encontrado quando na função fx é substituída x 0 Assim fx ax b x 0 f0 a 0 b b Exemplo Encontrar o ponto de intersecção com o eixo y da função fx 2x 13 Solução vamos substituir o valor de x 0 na função Assim fx 2x 13 x 0 f0 2 0 13 13 Função inversa Toda função de primeiro grau tem inversa 20 Exemplo Seja a função fx 3x 4 Encontre a função inversa Vamos a escrever a função y fx Assim temos y 3x 4 y 4 3x y 43 x Finalmente reescrevendo a função f1x x 43 Exercício 1 Dada a seguinte função fx 4x 6 Encontre a O zero da função b O ponto onde o gráfico se intersecta com o eixo y c Encontre f3 d Encontre fhx fx e Encontre f1x f Gráfico das funções fx e f1x 22 Função de segundo grau Valor numérico Gráfico de uma Parábola Zeros de uma função quadrática Ponto de interseção com o eixo x Definição Seja uma função fx ax² bx c definimos zeros quando fx 0 isto é ax² bx c 0 Para encontrar os zeros da função vamos utilizar a fórmula de Bhaskara Características del valor de discriminante e a 28 O vértice da parábola é um ponto em que o gráfico da função de segundo grau muda o sentido da parábola O cálculo deste ponto no plano cartesiano é dado pelas expressões xv b2a e yv Δ4a onde Δ b² 4ac Notação V xv yv Observação Se conhecermos os zeros da função quadrática x1 x2 podemos calcular o valor de xv pois esse valor será dada pela expressão xv x1 x22 Seja a equação quadrática ax² bx c 0 Vamos a calcular em primeiro momento o valor de Δ Por definição o valor de Δ discriminante é a seguinte expressão Δ b² 4ac Depois de calcular o valor de Δ vamos a utilizar a expressão x1 b Δ2a e x2 b Δ2a Vértice de uma Parábola Eixo de simetria Gráfico de uma função quadrática 32 Definição O eixo de simetria é uma reta paralela ao eixo y e pode ser o próprio eixo y passando pelo vértice da parábola x fracb2a Exemplo Seja função f x 3x2 5x 4 O eixo de simetria para a função será x fracb2a frac52 cdot 3 frac56 Gráfico de uma função de segundo grau 33 Gráfico de uma função de segundo grau 34 Função Inversa Função Quadrática Seja a função A função deve ser injetora e sobrejetora para que a função f tenha inversa Porém a função quadrática não é uma função injetora pois ao traçar uma reta horizontal no gráfico essa mesma reta se intersecta em dois pontos do gráfico 35 Inversa de uma função quadrática Exemplo Seja a função fx x² cujo gráfico é Ao traçar reta paralela ao eixo x podemos ver 36 Inversa de uma função quadrática Mas então tem ou não tem função inversa Rta tem mas deve restringir algo 37 Inversa de função quadrática Como obter a inversa de função quadrática 1 Encontrar a imagem 2 Escrever a função yfx 3 Isolar y em função de x 4 observar as restrições imposta no ponto 1 38 Exemplo de inversa de função quadrática Seja a função Encontrara função inversa de f 1 Encontrar a imagem da função 2 escrevemos y fx Assim 39 Inversa de função quadrática 3 Completamos o quadrado do lado direito 4 No espaço vazio completamos com o valor obtido pela metade do coeficiente do termo linear Isto é 40 Inversa de função quadrática Assim a expressão fica finalmente temos 41 Inversa de uma função quadrática Da última expressão isolase a variável x Assim ou O que resulta ou 42 Inversa de uma função quadrática e finalmente ou 43 gráfico da função e sua inversa 44 Exercício Seja a função fx 2x2 4x 40 Encontre a Ponto de intersecção com o eixo x b ponto de interseção com o eixo y c Vértice da parábola d Eixo de simetria da parábola e gráfico 45 Função Racional Uma função é dita racional a toda relação f tal que Exemplo 46 Domínio de uma função racional Seja uma função racional Podemos calcular o domínio da função fx restringindo o denominador da função Assim 47 Função racional A função racional representa uma hipérbole A hipérbole está delimitado através de duas retas chamadas de assíntotas 48 Função racional 3 Tipos de assíntotas Seja a função 1 Assíntota vertical 2 Assíntota horizontal 3 Assíntota oblíqua Proximamente 49 Gráfico de funções racionais 2 51 Gráfico da função racional Função inversa de uma função racional Via de regra as funções racionais são funções bijetoras Então todas as funções racionais possui sua inversa Exemplo seja a função 52 Inversa de uma função racional Chamaremos y fx Assim temos a expressão 3x 8 passa para o outro lado e multiplicase com o y Assim aplicase a propriedade distributiva no lado esquerdo 53 Inversa de uma função racional Assim da última expressão fica reagrupa os termos assim temos Fator comum em evidência do lado esquerdo da letra x temos 54 Inversa de uma função racional Isola x do lado esquerdo e passa para outro lado a expressão 3y 2 dividendo Assim temos mudando de posição as letras obtemos a expressão ou 55 Exercício Seja a função Encontre a O domínio da função b O assíntota vertical c O assíntota horizontal d Gráfico da função e Função inversa 56