Desconto Comercial Simples e Taxa de Juros Efetiva

Prof Ms Dirceu Lima dos Santos Universidade de Passo Fundo 21 D c Desconto Comercial Simples N Valor Nominal ou valor de face i c Taxa de desconto comercial n Período ou prazo de antecipação de regate do documento De posse do valor atual podemos ainda determinar o desconto comercial simples pela expressão D c N A c onde A c Valor Atual ou valor descontado valor líquido pago ou recebido antes do vencimento do título O valor atual A c pode ser ainda determinado em função do valor nominal do título da taxa de desconto e do prazo de antecipação isto é se A c N D c e D c N i c n temos A c N N i c n Fatorando N a expressão assume a seguinte forma A c N 1 i c n É importante salientar que as operações de desconto comercial simples devem ser efetuadas em períodos de curto prazo uma vez em períodos longos o valor do desconto pode ser maior que o valor nominal do título o que gera um valor atual negativo 311 TAXA DE JURO EFETIVA DEFINIÇÃO É a taxa de juros simples que em um período n torna o capital A igual a montante N Denotaremos taxa efetiva por i Exemplo A empresa X necessita levantar recursos e para isso desconta um título de R 500000 para ser resgatado em 30 dias a uma taxa de desconto simples de 37 am Determinar o valor líquido desse título Solução O valor líquido neste caso é igual ao valor atual comercial A c N 1 i n N 500000 n 30 dias i 37 ao mês Logo temos A c 5000 1 0037 1 ou seja A c 481500 Portanto o valor recebido pela empresa na operação de desconto é de R 481500 Vamos criar uma nova situação suponha que nesse meio tempo enquanto a empresa X realizava a operação de desconto junto a uma instituição financeira houve uma entrada de capital alguns devedores dessa pagaram títulos atrasados e assim os R 481500 passaram a sobrar no caixa Para compensar os juros pagos na operação de desconto realizada essa resolve aplicar este excedente por 30 dias conseguindo uma taxa juros igual a taxa de desconto ou seja a 37 am Calculando o montante produzido pela aplicação temos M C1 i n M 4815001 0037 1 M 499315 Observe que embora a operação tenha sido feita pelo mesmo prazo da operação de desconto e taxa utilizada também seja a mesma o montante M obtido é menor que o compromisso assumido na operação de desconto A taxa que aplicada sobre os R 481500 valor atual obtidos na operação de desconto que tornará este valor igual ao valor nominal R 500000 é a taxa efetiva ou seja é a taxa que realmente está cobrando nesta operação financeira Prof Ms Dirceu Lima dos Santos Universidade de Passo Fundo 3 DESCONTO SIMPLES DEFINIÇÃO DE DESCONTO É a quantia a ser abatida sobre direitos creditórios que uma empresa tem sobre receitas por meio de títulos de crédito duplicatas cheques cartões de crédito aluguéis quando estes são negociados antes de seu vencimento A operação de desconto de títulos de direitos creditórios é uma linha de crédito que algumas instituições financeiras disponibilizam a empresas fornecedoras privadas com atividades comerciais industriais ou de prestação de serviços para que essas possam antecipar recebíveis futuros melhorando o fluxo de caixa presente Nas operações de desconto os juros e as taxas são préfixadas e conhecidas antecipadamente pelo emissor do título Tratandose de desconto simples o cálculo do desconto é feito em geral segundo dois critérios DESCONTO COMERCIAL onde a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do documento que está sendo descontado DESCONTO RACIONAL onde a taxa de desconto incide sobre o valor líquido Atual Na prática as operações de desconto são feitas segundo o critério do desconto comercial simples uma vez que nesta operação o valor do desconto é maior atendendo assim os interesses de quem empresta Tratandose de operações de desconto independentemente do modalidade e do regime em que essa esteja sendo negociada é importante salientar que operações de desconto de títulos de direitos creditórios não são consideradas operações de compra e venda Essas operações normalmente ocorrem envolvendo CNPJs um de empresa e outro instituição financeira A instituição financeira que financia a antecipação de parte do valor nominal do título através de uma operação de desconto tem o direito de regressar no negócio o devedor não liquidar o título na data aprazada ou em um último caso em uma cobrança através de um cartório de protesto Não havendo a liquidação do título o cedente passa ser o devedor do valor nominal e de todos os encargos gerados pela falta de pagamento nas datas aprazadas e tem que reembolsar esses valores à Instituição Financeira Quando isso ocorre o título é devolvido para o cedente e a responsabilidade de efetuar a cobrança do mesmo passa a ser exclusivamente dele 31 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES DCS Seja N o valor nominal de um título O desconto comercial simples ou também chamado por fora ou ainda de desconto bancário simples é o juro simples produzido sobre o valor nominal quando é aplicado sobre este uma taxa chamada taxa de desconto durante um prazo igual ao de antecipação do resgate Por definição o DCS pode ser expresso pela seguinte fórmula D t N i c n onde 311 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA TAXA EFETIVA Partindo da definição de taxa efetiva utilizando a fórmula do montante para capitalização simples podemos determinar uma expressão que nos permite calcular a taxa efetiva de uma operação de desconto Da definição de taxa efetiva temos que essa é aquela que torna o capital A igual ao montante N em um período de tempo n Seja a fórmula do Montante para juros simples dada por M C1 i n Substituindo na fórmula do montante M por N C por A e considerando que n é igual a um período qualquer a taxa de juros simples e dessa fórmula que é a taxa efetiva ie da operação de desconto pode ser obtida como segue N Ac1 ie isolando ie obtémse ie NAc 1 Observação 1 neste caso o valor atual Ac é o valor líquido pago ou recebido na operação de desconto Observação 2 a taxa efetiva de juros simples na operação de desconto comercial simples é também chamada de taxa de desconto efetiva linear Exemplo Utilizando os dados do exemplo anterior e a fórmula da taxa efetiva da operação vamos calcular a taxa que a empresa X está pagando na operação de desconto Solução N 500000 Ac 481500 ie ie 500000481500 1 ie 384 no período EXERCÍCIOS 31 1 a R 79200 b R 800800 c 998 no período 2 a R 934135 b 263 ao mês 312 O Imposto Sobre Operações Financeiras IOF O IOF é um imposto cobrado pela União que incide sobre a totalidade das operações financeiras realizadas e serve para gerar receita para o Governo Federal O imposto está previsto no artigo 153 inciso V da Constituição Federal e toda a sua regulamentação encontrase no Decreto n 6306 de 14 Dezembro de 2007 Por meio deste Decreto se estabeleceu que os casos de incidência são as operações de crédito e de câmbio seguro ou qualquer outra relativa a títulos e valores mobiliários As incidências de aliquotas do IOF variam de acordo com a operação que está realizando e em alguns casos como instrumento para regular determinadas operações como por exemplo as exportações e importações Sobre as operações de desconto incidental IOF que o Banco Central acaba Esse Decreto Capítulo III que trata de cálculo da alíquota Artigo 7 inciso II apresenta o seguinte texto na operação de desconto inclusive na alienação de empresas de factoring de direitos creditórios resultantes de vendas a prazo a base de cálculo é o valor líquido obtido Em outras palavras a alíquota do IOF incide sobre o valor atual comercial Ac que é determinado após a aplicação da taxas de desconto sobre o valor nominal considerando período de antecipação de resgate do título Nesse decreto a alíquota do IOF foi determinada em 00041 ao dia As despesas com o IOF podem ser obtidas da seguinte forma DIOF Ac iIOF n onde DIOF Despesas com IOF iIOF Alíquota do IOF dada em dias n Prazo da antecipação do resgate em dias 2 Qual é desconto que sofre título de R 600000 descontado por fora cujo prazo de antecipação é de 75 dias sendo 60 aa à taxa de desconto e 25 cobrados como taxa de comissão pela instituição financeira Exercícios 32 1 a R 32000 b R 754741 e 5996 no período c R 900000 3 R 420000 Observação 2 é importante ressaltar que uma boa parte da literatura que trata da Matemática Financeira calcula o valor atual levando em consideração que o IOF também incide sobre o valor nominal do título Para aqueles que vão prestar um concurso público em que o programa tem conteúdos voltados à Matemática Financeira é aconselhável verificar a bibliografia indicada e observar se nesta o cálculo do valor atual não está sendo calculado conforme foi mencionado nesta observação Caso esteja sendo calculado conforme aqui mencionado então a expressão matemática que levará ao resultado desejado é dada por At N1iniIOFn 34 EQUIVALÊNCIAS DE CAPITAIS DIFERIDOS A JUROS SIMPLES Em muitos casos não é possível saldar um título na data aprazada e a partir desta situação é comum buscar junto ao credor uma ampliação de prazo de pagamento ou via um parcelamento do valor nominal do título a fim de facilitar o pagamento Problemas iguais a esses ou similares estão afetos de um modo geral a equivalência de capitais deferidos isto é capitais cujos vencimentos têm datas diferentes O problema da equivalência de capitais constituise no raciocínio básico da matemática financeira Dois capitais diferidos são equivalentes em certa época quando a uma taxa de juros produzem resultados financeiros iguais em uma data comum 341 OPERAÇÕES ENVOLVENDO TAXAS DE DCS Em operações que tratam de equivalências de capitais deferidos envolvendo taxas de desconto comercial simples os capitais são comparados em uma data focal Zero Data focal é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes A data focal também é chamada data de avaliação ou data de referência Quando falamos da comparação em uma data focal zero estamos nos referindo que os capitais serão comparados pelos seus valores atuais Isto se justifica por desconto comercial simples estar relacionado aos juros simples a data de comparação deve ser a DATA ZERO ou seja a data em que o dividendo foi contratado uma vez que neste regime não se pode fracionar o prazo de aplicação pois o juro é formado somente no fim do período de aplicação A troca de um título por outro pode ocorrer pela solicitação de uma ampliação ou redução no prazo para a liquidação deste ou ainda por uma solicitação de um parcelamento que propõe uma forma de fracionar o valor nominal do título no intuito de facilitar a liquidação do mesmo Exemplos 1 Se for solicitada apenas uma ampliação do prazo de pagamento podemos fazer A c1 A c2 onde A c1 corresponde ao valor atual do título em questão A c2 corresponde ao valor atual do título prorrogado Prof Ms Dirceu Lima dos Santos Universidade de Passo Fundo 42 Logo A c N 1i c n N1 1i c n N2 1i c n 2 Se for solicitado um parcelamento de um título digamos em 3 vezes temos a seguinte comparação A c1 A c2 A c3 A c4 onde A c1 corresponde ao valor atual do título a ser pago na data aprazada combinada e A c2 A c3 e A c4 correspondem respectivamente aos valores atuais da primeira segunda e terceira parcela da negociação proposta para a liquidação da dívida Exemplos 1 Se for solicitada apenas uma ampliação do prazo de pagamento podemos fazer A c1 A c2 onde A c1 corresponde ao valor atual do título em questão A c2 corresponde ao valor atual do título prorrogado Prof Ms Dirceu Lima dos Santos Universidade de Passo Fundo 42 Logo A c N 1i c n N1 1i c n N2 1i c n 2 Se for solicitado um parcelamento de um título digamos em 3 vezes temos a seguinte comparação A c1 A c2 A c3 A c4 onde A c1 corresponde ao valor atual do título a ser pago na data aprazada combinada e A c2 A c3 e A c4 correspondem respectivamente aos valores atuais da primeira segunda e terceira parcela da negociação proposta para a liquidação da dívida Exemplo Quero substituir três títulos um de R 400000 para 30 dias outro de R 1000000 para 60 dias e um terceiro de R 1600000 para 90 dias por dois outros de valores nominais iguais vencíveis em 90 e 120 dias respectivamente Qual o valor nominal dos novos títulos sabendo que a taxa de desconto é de 35 ao mês Solução Fluxos de caixa A c1 A c2 A c3 Prof Ms Dirceu Lima dos Santos Universidade de Passo Fundo 42 Situação Atual Nova Situação Sabemos que A c k N k 1i c n k e queremos A c4 A c5 A c1 A c2 A c3 Assim A c1 N1 1i c n1 4000 10035 386000 A c2 N2 1i c n2 10000 10035 2 930000 A c3 N3 1i c n3 16000 10035 3 1432000 A c4 N4 1i c n4 N4 10035 3 0895 N4 A c5 N5 1i c n5 N5 10035 4 086 N5 Lembrando que N4 N5 N temos que A c4 A c5 A c1 A c2 A c3 0895 N 086 N 386000 930000 1432000 1755 N 2748000 N 1565812 Portanto o valor nominal dos novos títulos será de R 1565812 342 OPERAÇÕES ENVOLVENDO TAXAS DE JUROS SIMPLES Para comparar dois ou mais valores em uma data focal utilizando uma taxa de juros simples podemos utilizar a fórmula do montante para juros simples quando o valor N da data focal é corrigido em função de uma taxa centesimal i e de um tempo n Se estaaylor N da data focal é descontado em função de uma taxa centesimal i e de um tempo n então neste caso podemos utilizar a fórmula do valor atual do DRS para realizar as descaracterizações No diagrama anterior quando N é deslocado da esquerda para a direita de zero para n1 temse uma capitalização e consequentemente quando N é deslocado da direita para a esquerda de zero para n2 temse uma descaracterização Dois ou mais conjuntos de capitais equivalentes a uma taxa de juros simples e seus valores em qualquer data considerada forem iguais Exemplo Uma empresa deveria pagar um título de R 1800000 em 30 dias outro de R 2500000 em 60 dias e um terço de R R 2680000 em 150 dias Porém em uma negociação com o credor ficou acordado um único pagamento em 90 dias Se a taxa de juros simples merecido é 38 ao mês qual é o valor assumido para esse pagamento único Solução Observando o diagrama de fluxo vamos corrigir R 1800000 por dois períodos R 2500000 por um período e descaracterizar R 2680000 por dois períodos a uma taxa de juros simples de 38 ao mês A soma destes resultados determina o valor do único pagamento N acordado para a data focal considerada ou seja 90 dias Assim temos N 18000 100382 25000 100381 100382 N 18000 1076 25000 1038 86800 1076 Prof Ms Direa Lima dos Santos Universidade de Passo Fundo 44 N 19368 25950 24907 06 N 7022506 EXERCÍCIOS 37 1 Um empresário tem três títulos de R 1200000 R 800000 e R 1000000 para pagar em um banco e com vencimento para 45 90 e 150 dias respectivamente Desejando substituílos por outros dois títulos de valores nominais iguais para 60 e 105 dias que o valor nominal comum deverá ter estes novos títulos supondo que a taxa de desconto seja 32 am 2 A soma dos valores nominais de dois títulos de R 5000000 e a soma de seus descontos de R 442520 Se estes foram descontados por fora a uma taxa de 4 ao mês com prazos de 60 dias e 75 dias respectivamente determine o valor nominal de cada título 3 Dois títulos um de R 2840000 e outro de R 3278000 foram descontados a uma taxa de desconto comercial de 47 am totalizando um desconto de R 708572 O vencimento do primeiro ocorre um mês após do vencido o segundo Determine os prazos de vencimento de cada título EXERCÍCIOS 37 1 R 1483333 2 R 2126000 e R 2874000 3 90 dias e 60 dias