Equivalência de Capitais a Juros Compostos

Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 112 8 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS Como já foi visto em Equivalência de Capitais Diferidos a juros simples existem muitas situações em que é conveniente buscar uma nova negociação de uma dívida a fim de adiar ou antecipar a sua data de vencimento Operações similares ocorrem no regime de capitalização composta onde a equivalência de capitais permite transformar formas de pagamento e recebimento que são feitas considerando uma data base data focal data de comparação de valores diferidos Uma das vantagens do regime de juros compostos é que nos permite garantir que uma comparação feita em uma dada data focal permanece válida em qualquer outra data focal isto é em juros compostos quando dois conjuntos de capitais são equivalentes a equação de equivalência pode ser verificada em qualquer data Podemos ainda dizer que dois conjuntos de capitais são equivalentes se seus valores totais valores datados forem iguais em uma determinada data comum Considerando uma única parcela R como valor atual podemos calcular seus valores equivalentes para n períodos antecipados ou m períodos postecipados da seguinte forma i n R 1 R m n i R 1 n 0 m No esquema apresentado acima a esquerda de R temse um processo de descapitalização e a direita de R um processo de capitalização Assim considerando os capitais 0 R 1 R 2 R n R nos períodos 0 1 2 n respectivamente Dizemos que este conjunto de valores é equivalente ao valor V numa determinada época f data focal se apresentar valores iguais quando avaliados nesta época para uma mesma taxa i de juros compostos Esquematicamente temos 0 R 1 R 2 R f R n R 0 1 2 data focal f n A EQUAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA para determinar o valor equivalente Vf na data focal f do conjunto de capitais que está esquematizado na linha de tempo acima é dada pela expressão f n n f f f f f f i R i R R i R i R i R V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 onde 1 2 3 n períodos a que se refere o termo Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 113 Exemplos 1 Uma pessoa deve R 300000 com vencimento em dois anos e R 450000 com vencimento em 6 anos Esta pretende pagar seus débitos por meio de um único pagamento a ser realizado no final de 4 anos Se a taxa de juros composta for de 10 aa qual será o valor desse pagamento único Solução Esquematicamente temos 3000 4500 R 0 2 4 6 0 2 4 6 Assim o valor equivalente a ser pago passa pela capitalização dos R 300000 por dois períodos e pela descapitalização dos R 450000 também por dois períodos 2 2 10 4 50000 1 10 3 00000 1 V V R 734900 R 363000 R 371900 R 734900 Portanto o valor equivalente de R 300000 na data focal 2 e R 450000 na data focal 6 é de R 734900 na data focal 4 2 Certa pessoa tem uma nota promissória a receber com valor nominal de R 1500000 que vencerá em dois anos Além disto possui R 2000000 hoje Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje ou seja a taxa de juros compostos vigente no mercado é de 2 am perguntase a Quanto possui hoje b Quanto possuirá daqui um ano c Quanto possuirá daqui dois anos Solução Vamos considerar X a quantia que possui na data zero Y a quantia que possuirá na data 12 meses Z a quantia que possuirá na data 24 meses HP 12C 3000 CHS PV 10 i 2 n FV 4500 CHS FV PV Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 114 Para respondermos a letra a teremos que somar o capital que esta pessoa possui hoje com o valor resultante da descapitalização dos R 1500000 a uma taxa de 2 am por 24 períodos Já consideramos como fator de capitalização 1 in e agora vamos considerar como fator de descapitalização 1 i n 0 02 24 20000 15000 1 X X 2932582 Na letra b teremos que capitalizar o valor que esta pessoa possui hoje por 12 períodos a uma taxa de 2 am e descapitalizar os R 1500000 por 12 períodos a mesma taxa 12 12 0 02 15000 1 0 02 20000 1 Y Y 3719224 Na letra c capitalizamos os R 2000000 por 24 períodos à taxa de 2 am e somamos os R 1500000 que esta tem para receber 15000 0 02 20000 1 24 Z Z 4716874 Z R 4716874 Embora a equivalência de capitais a juros compostos possa ser feito em qualquer data comparar capitais diferidos em uma data ZERO trazendo todos a valor presente é sempre uma opção confiável pois ao trazermos esses capitais a valor presente temos uma boa leitura do valor do dinheiro no tempo Se consideremos dois capitais C1 e C2 separados por n períodos de tempo o primeiro capital na data zero e o segundo na data n temos que C1 e C2 são equivalentes em uma data focal se C1 1 in C2 HP 12C 20000 Enter 15000 CHS FV 2 i 24 n PV HP 12C 20000 CHS PV 2 i 12 n FV 15000 CHS FV PV HP 12C 20000 CHS PV 2 i 24 n FV 15000 X R 2932582 YR 3719224 Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 115 Comparando a expressão acima com a fórmula do montante a juros compostos podemos afirmar que C2 M montante e que C1 C capital Logo C2 C1 1 i n M C 1 i n Se substituirmos M por N e C por A na fórmula do montante isolando A chegamos na fórmula utilizada para o cálculo do valor atual nas operações de desconto racional composto ou As expressões acima nos permite fazer a equivalência de capitais a juros compostos em uma data zero Veja os exemplos 1 Um título de valor nominal de R 640000 vence em 30 dias Não podendo saldar o título na data aprazada o devedor propõe a troca por outro a vencer em 2 meses Levando em consideração uma taxa de juros compostos de 38 am determine o valor nominal do novo título de forma que estes sejam equivalentes Solução A comparação vai ser feita em uma data focal zero Vamos comparar os valores atuais da divida inicial e divida que está sendo assumida para determinar o valor nominal do novo título que deverá ser liquidado ao final de 2 meses n i N A 1 A1 A2 0 038 2 1 0 038 1 400 6 N 1 038 2 038 1 6 400 N 038 N 6 400 1 N 664320 2 Desejase substituir três títulos um de R 1400000 para 30 dias outro R 1200000 para 60 dias e um terceiro de R 1500000 para 90 dias por dois outros de valores nominais iguais vencíveis em 90 e 120 dias respectivamente Qual o valor nominal dos novos títulos sabendo que a taxa de juros compostos de mercado é de 45 ao mês n i N A 1 n i N A 1 HP 12C 6400 CHS FV 38 i 1 n PV CHS PV 2 n FV R 664320 Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 116 Solução n i N A 1 A1 A2 A3 A4 A5 4 3 3 2 0 045 1 0 045 1 0 045 1 000 15 0 045 1 000 12 0 045 1 000 14 N N 4 3 2 045 1 045 1 1 045 1 1045 12000 15000 1045 14000 N 1 045 2 045 4282835 N 2 045N 1 045 4282835 4475563 2 045 N 045 2 N 4475563 N 2188540 EXERCÍCIOS 81 1 Uma empresa tem três títulos para pagar O primeiro de R 5000000 vencível em dois meses o segundo de R 7500000 exigível em cinco meses e o terceiro de R 9000000 que deve ser pago em 8 meses A empresa pretende substitui esses três últimos por um único de R 21835907 Considerando o regime de juros compostos e uma taxa de mensal de 3 ao mês determine o prazo do novo título 2 Um jogo de sofás é vendido em uma loja por R 75000 de entrada mais uma parcela de R 90000 após sessenta dias Se um comprador propõe dar R 50000 de entrada qual o valor da parcela a ser paga em 60 dias sabendose que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 5 am 3 A loja Som Bacana vende um amplificador em três parcelas R 35000 de entrada mais duas parcelas de R 40000 para 30 e 60 dias após a compra Considerando que a taxa de juros mensal cobrada é de 4 e o regime de capitalização composto quanto deverá pagar a mais na entrada para que os planos sejam equivalentes se o comprador pretende adiar a primeira parcela por mais um mês e a segunda vence 30 dias após o vencimento da primeira 4 Um guardaroupa é vendido por R 300000 à vista ou então com uma entrada e mais três parcelas mensais de R 80000 cada uma Se a loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 48 am qual o valor da entrada R 2188540 HP 12C 14000 CHS FV 1 n 45 i PV 12000 CHS FV 2 n PV 15000 CHS FV 3 n PV Enter 1 CHS FV 3 n PV 4 n PV Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 117 5 Um empréstimo de R 2090000 foi realizado com uma taxa de juros de 36 ao ano capitalizados trimestralmente e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações trimestrais iguais e consecutivas primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre segundo vencimento ao final do segundo trimestre O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é AFTN 1996 A R 1035000 B R 1080000 C R 1188100 D R 1243333 E R 1260000 6 Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4 ao mês com juros compostos capitalizados mensalmente Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas mensais e iguais de 100000 daqui a 13 e 14 meses respectivamente O valor que mais se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes dois pagamentos é AFTN 1996 A R 201200 B R 212100 C R 233333 D R 248484 E R 251616 7 Uma empresa deve pagar R 2000000 hoje R 1000000 ao fim de trinta dias e R 3120000 ao fim de noventa dias Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias considerando uma taxa de juros compostos de 4 ao mês AFRF 2001 A R 6323200 B R 6400000 C R 6203200 D R 6220000 E R 6251338 8 A quantia de R 50000000 é devida hoje e a quantia de R 60000000 é devida no fim de um ano ao mesmo credor Na medida em que os dois compromissos não poderiam ser honrados uma negociação com o credor levou ao acerto de um pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio Calcule o valor deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20 ao ano valendo a convenção exponencial para cálculo do montante despreze os centavos AFRF 20022 A R 144000000 B R 157744000 C R 158400000 D R 172800000 E R 173345700 9 A quantia de R 1000000 é devida hoje enquanto outra dívida no valor de R 2000000 vence no fim de um mês Na medida em que os dois compromissos não poderiam ser honrados uma negociação com o credor comum levou ao acerto de um pagamento único no fim de três meses e meio Calcule o valor do pagamento único considerando que foi Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 118 acertada uma taxa de juros compostos de 4 ao mês valendo a convenção linear para cálculo do montante dentro do quarto mês SERPRO 2001 Analista de Finanças A 3340000 B 3353180 C 3353825 D 3365100 E 3400000 10 Qual o capital hoje que é equivalente a taxa de juros compostos de 10 ao semestre a um capital de R 10000000 que venceu há um ano mais um capital de R 11000000 que vai vencer daqui seis meses Auditor do Tesouro MunicipalFortaleza 2003 A R 21000000 B R 22000000 C R 22100000 D R 23000000 E R 23100000 11 Em uma loja certo computador está a venda em 10 parcelas mensais de R 30000 sem entrada podendo também ser pago em 5 parcelas bimestrais de R 61500 sem entrada Qual a taxa de juros cobrada pela loja Banco do Nordeste 2004 A 3 ao mês B 4 ao mês C 5 ao mês D 6 ao mês E 7 ao mês 12 Uma dívida no valor de R 2000000 vence hoje enquanto outra no valor de R 3000000 vence em 6 meses À taxa de juros compostos de 4 ao mês e considerando um desconto racional obtenha o valor da dívida equivalente às duas anteriores com vencimento ao fim de 3 meses desprezando os centavos Auditor de Tributos Municipais Fortaleza 1998 A R 4880000 B R 4916700 C R 4918500 D R 4903900 E R 5000000 13 José tem uma divida a ser paga em três prestações A primeira prestação é de R 98000 e deve ser paga ao final do terceiro mês a segunda é de R 32000 e deve ser paga ao término do sétimo mês a terceira é de R 42000 e deve ser paga ao final do nono mês O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5 ao mês José contudo propõe a credor saldar a dívida ao final do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5 Se o credor aceitar a proposta então José pagará nesta única prestação o valor de Secretaria da Fazenda do Estado do Piauí SEFAZ 2001 A R 121491 B R 211405 C R 225205 D R 235225 E R 241491 Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 119 14 Uma empresa obteve um financiamento de 10000 à taxa de 120 ao ano capitalizados mensalmente juros compostos A empresa pagou 6000 ao final do primeiro mês e 3000 ao final do segundo mês O valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento juros principal é AFTN 1996 A R 3250 B R 3100 C R 3050 D R 2975 E R 2750 Respostas EXERCÍCIOS 81 1 6 meses 2 R 117563 3 R 2902 4 R 81321 5 R 1188100 6 R 212160 7 R 6203200 8 B 9 C 10 C 11 C 12 B 13 E 14 E