·
Engenharia Elétrica ·
Matemática Financeira
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Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 105 7 DESCONTO COMPOSTO Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor futuro valor nominal valor de face ou valor de resgate Na verdade a definição de desconto composto é semelhante a de desconto simples A diferença entre eles está no regime de capitalização No desconto composto também existem duas modalidades desconto composto racional e desconto composto comercial O desconto composto comercial raramente é utilizado na prática uma vez que para operações em longo prazo pode levarnos a resultados sem nexo 71 DESCONTO RACIONAL OU POR DENTRO DEFINIÇÃO Desconto Racional ou por dentro Dr é a diferença entre o valor nominal N e seu valor atual A na data do resgate ou seja A N Dr 711 CÁLCULO DO VALOR ATUAL valor presente valor descontado ou valor liberado O valor atual de um título de um valor nominal N disponível no fim de n períodos é o capital A que colocado à taxa i de juros compostos produz no fim dos n períodos o montante N Em virtude desta definição temos N M A C Como in C M 1 então podemos dizer que in A N 1 Logo o valor atual de um título segundo o desconto racional composto pode ser calculado utilizando a seguinte expressão n i N A 1 ou i n N A 1 Observação n 1 i é chamado de fator de descapitalização 712 VALOR DO DESCONTO RACIONAL COMPOSTO Da definição temos que o valor do desconto é determinado pela diferença entre o valor nominal e o valor atual calculado a juros compostos Assim temos A N Dr 1 Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 106 n i N A 1 Substituindo o A de 2 em 1 temos n r i N N D 1 Fatorando N e reagrupando os termos de 3 determinamos a equação 4 que possibilita o cálculo do valor do desconto racional composto quando é conhecido o valor nominal do título a taxa de desconto e o prazo de antecipação 4 O Dr também pode ser escrito em função do valor descontado A da taxa de desconto i e do prazo de antecipação n Reescrevendo a equação 2 temos i n A N 1 5 Substituindo N de 5 em 1 obtemos A i A D n r 1 6 Fatorando A na equação 6 chegase a expressão 7 que permite calcular o valor do desconto racional composto quando é conhecido o valor descontado a taxa de desconto e o prazo de antecipação do título 7 Observe que a equação obtida em 7 se assemelha a equação utilizada para o calculo dos juros no regime de capitalização composto Se considerarmos A como um capital Dr é igual aos juros auferidos por um capital que esteve empregado a uma taxa de juros compostos durante um determinado período n Exemplos 1 Um título de valor nominal igual a R 400000 vai ser resgatado 2 meses antes do vencimento segundo o critério do desconto racional composto Se a taxa de desconto é de 3 ao mês qual o desconto e o valor descontado Solução N 400000 i 3 am n 2 meses O valor descontado será n i N A 1 0 03 2 1 4 000 A A 377038 2 3 n n r i i N D 1 1 1 1 1 n r i A D Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 107 O desconto será A N Dr Dr 4000 377038 Dr 22962 Ou n n r i i N D 1 1 1 2 2 0 03 1 1 0 03 1 4 000 Dr Dr 22962 2 O valor do desconto racional de um título foi de R 47486 Determine o valor descontado desse título sabendo que foi resgatado 75 dias antes de seu vencimento a uma taxa de juros compostos de 35 ao mês 1 1 n r i A D 1 1 n r i D A 1 0 035 1 86 474 52 A A 5 28737 3 Um título de R 840000 vence daqui a 4 meses Se a taxa de juros compostos é de 2 ao mês qual é o valor atual 2 meses antes de seu vencimento n i N A 1 0 02 2 1 8 40000 A A 8 07382 4 Quanto devo aplicar hoje a uma taxa de juros compostos de 24 ao ano para que o saldo daqui a 38 dias seja suficiente para pagar uma dívida de R 1500000 Solução N 840000 n 2 meses i 2 ao mês A HP 12 C 840000 CHS FV 2 n 2 i PV R 807382 A 377038 Dr 22962 HP 12 C 4000 enter 4000 CHS FV 2 n 3 i PV HP 12 C 47486 enter 1 enter 35 enter 100 25 yx 1 R 528737 Solução Dr 47486 n 25 meses i 35 ao mês A Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 108 n i N A 1 360 38 0 24 1 000 15 A A 1466324 72 DESCONTO COMERCIAL OU POR FORA Consiste em efetuarmos descontos sucessivos de um título utilizando o mesmo conceito de desconto comercial simples Seja N o valor Nominal de um título n o número de antecipação e i a taxa de desconto Calculase o valor descontado comercial simples para o instante n 1 em seguida sobre este valor descontado se calcula novamente o desconto comercial simples para o instante n 2 e assim sucessivamente até chegar ao instante 0 Esquematicamente temos N 0 n A n 1 0 n 1 A n2 0 n 2 0 A 0 Para o último período c n D N A 1 onde N i n Dc N i N A n 1 i N A n 1 1 Para o penúltimo período c n n D A A 1 2 onde i n A D n c 1 i A A A n n n 1 1 2 i A A n n 1 1 2 i i N A n 1 1 2 2 2 1 i N A n HP 12 C 1500000 CHS FV 38 enter 360 n 24 i PV R 1466324 Solução N 150000 n 38 dias i 24 ao ano A Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 109 Para o antepenúltimo período c n n D A A 2 3 onde i n A D n c 2 i A A A n n n 2 2 3 i A A n n 1 2 3 i i N A n 1 1 2 3 3 3 1 i N A n Procedendose desta forma chegase ao resultado in N A 1 0 O DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO é dado por A0 N Dc ou n c i N N D 1 EXERCÍCIOS 1 Um título de R 1500000 vence daqui a 6 meses Considerando uma taxa de juros compostos de 38 ao mês calcule seu valor atual nas seguintes datas a hoje b daqui 2 meses c 2 meses antes do vencimento 2 Para pagar uma dívida de R 1250000 João vai fazer um saque em conta corrente de R 450000 e descontar um título para complementar o pagamento da divida Se a taxa de juros compostos para operações de desconto é de 335 am e o prazo de resgate é 30 dias determine o valor nominal deste título 3 Tenho as seguintes dividas para saldar R 384000 com vencimento para 30 dias R 535400 com vencimento para 60 dias R 282300 com vencimento para 75 dias Quanto devo aplicar hoje a uma taxa de juros de 1 ao mês para fazer frente a estes compromissos 4 Um produto é vendido por R 400000 para pagamento daqui dois meses ou por R 370000 se o pagamento for daqui um mês Qual a melhor alternativa de pagamento se a taxa de juros de mercado for de 36 ao ano 5 A empresa X possui um título a ser pago no valor de R 850000 com vencimento para 120 dias O credor propôs a troca deste título por outro de R 795000 com vencimento para 60 dias Levando em consideração uma taxa de juros compostos de 32 am verifique se a troca é vantajosa 6 O valor nominal de uma duplicata é R 300000 Seu portador deseja descontála quatro meses antes do seu vencimento Sendo a taxa de desconto composto de 2 ao mês o valor do resgate será CEF 2004 A R 156789 Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 110 B R 215698 C R 277143 D R 298712 E R 309812 7 Para o capital inicial aplicado de R100000 a uma taxa de 8 ao ano juros compostos o valor do desconto racional no final do segundo ano é igual a Fiscal de Tributos Pref RJ 2002 A R12640 B R14640 C R15640 D R16640 8 Obtenha o valor hoje de um título de R 1000000 de valor nominal vencível ao fim de três meses a uma taxa de juros de 3 ao mês considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos AFRF 1998 9 Um título foi descontado por R 84000 quatro meses antes de seu vencimento Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3 ao mês AFRF 2001 10 Um título sofre um desconto composto racional de R 646518 quatro meses antes do seu vencimento Indique o valor mais próximo do valor descontado do título considerando que a taxa de desconto é de 5 ao mês AFRF 20022 11 Um título sofre um desconto composto racional de R 34010 seis meses antes do seu vencimento Calcule o valor descontado do título considerando que a taxa de desconto é de 5 ao mês Despreze os centavos SERPRO 2001 Analista de Finanças A R 94400 B R 98000 C R 100000 D R 113300 E R 134000 12 Julgue o item seguinte Auditor do Estado do Espírito Santo 2004 Considere que um título de valor nominal igual a R 1000000 foi resgatado 2 meses antes de seu vencimento e que a taxa de desconto composto racional praticada nessa transação era de 10 ao mês Nessa situação o valor do desconto foi superior a R 200000 13 Um título é descontado por R 440000 quatro meses antes do seu vencimento Obtenha o valor de face do título considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3 ao mês Despreze os centavos se houver Agente Tributário Estadual MS2001 A R 440000 B R 472500 C R 492800 D R 495200 E R 500000 Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 111 14 Um título de renda fixa é emitido com um prazo de dois anos e com valor de resgate de R 1000000 Para que seja garantido ao investidor uma rentabilidade de 10 ao ano no regime de juros compostos o valor de emissão deve ser de Fiscal de Tributos Pref RJ 2002 A R 826446 B R 726446 C R 626446 D R 526446 Respostas 1 a R 1199243 b R 1292117 c R 1392184 2 R 826800 3 R 1180413 4 A melhor alternativa é o pagamento de R 350000 em um mês 5 A troca é vantajosa 6 C 7 D 8 R 915100 9 R 10543 10 Valor Nominal R 3646518 Valor Atual R 3000000 11 C 12 Errado 13 D 14 A
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Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 105 7 DESCONTO COMPOSTO Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor futuro valor nominal valor de face ou valor de resgate Na verdade a definição de desconto composto é semelhante a de desconto simples A diferença entre eles está no regime de capitalização No desconto composto também existem duas modalidades desconto composto racional e desconto composto comercial O desconto composto comercial raramente é utilizado na prática uma vez que para operações em longo prazo pode levarnos a resultados sem nexo 71 DESCONTO RACIONAL OU POR DENTRO DEFINIÇÃO Desconto Racional ou por dentro Dr é a diferença entre o valor nominal N e seu valor atual A na data do resgate ou seja A N Dr 711 CÁLCULO DO VALOR ATUAL valor presente valor descontado ou valor liberado O valor atual de um título de um valor nominal N disponível no fim de n períodos é o capital A que colocado à taxa i de juros compostos produz no fim dos n períodos o montante N Em virtude desta definição temos N M A C Como in C M 1 então podemos dizer que in A N 1 Logo o valor atual de um título segundo o desconto racional composto pode ser calculado utilizando a seguinte expressão n i N A 1 ou i n N A 1 Observação n 1 i é chamado de fator de descapitalização 712 VALOR DO DESCONTO RACIONAL COMPOSTO Da definição temos que o valor do desconto é determinado pela diferença entre o valor nominal e o valor atual calculado a juros compostos Assim temos A N Dr 1 Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 106 n i N A 1 Substituindo o A de 2 em 1 temos n r i N N D 1 Fatorando N e reagrupando os termos de 3 determinamos a equação 4 que possibilita o cálculo do valor do desconto racional composto quando é conhecido o valor nominal do título a taxa de desconto e o prazo de antecipação 4 O Dr também pode ser escrito em função do valor descontado A da taxa de desconto i e do prazo de antecipação n Reescrevendo a equação 2 temos i n A N 1 5 Substituindo N de 5 em 1 obtemos A i A D n r 1 6 Fatorando A na equação 6 chegase a expressão 7 que permite calcular o valor do desconto racional composto quando é conhecido o valor descontado a taxa de desconto e o prazo de antecipação do título 7 Observe que a equação obtida em 7 se assemelha a equação utilizada para o calculo dos juros no regime de capitalização composto Se considerarmos A como um capital Dr é igual aos juros auferidos por um capital que esteve empregado a uma taxa de juros compostos durante um determinado período n Exemplos 1 Um título de valor nominal igual a R 400000 vai ser resgatado 2 meses antes do vencimento segundo o critério do desconto racional composto Se a taxa de desconto é de 3 ao mês qual o desconto e o valor descontado Solução N 400000 i 3 am n 2 meses O valor descontado será n i N A 1 0 03 2 1 4 000 A A 377038 2 3 n n r i i N D 1 1 1 1 1 n r i A D Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 107 O desconto será A N Dr Dr 4000 377038 Dr 22962 Ou n n r i i N D 1 1 1 2 2 0 03 1 1 0 03 1 4 000 Dr Dr 22962 2 O valor do desconto racional de um título foi de R 47486 Determine o valor descontado desse título sabendo que foi resgatado 75 dias antes de seu vencimento a uma taxa de juros compostos de 35 ao mês 1 1 n r i A D 1 1 n r i D A 1 0 035 1 86 474 52 A A 5 28737 3 Um título de R 840000 vence daqui a 4 meses Se a taxa de juros compostos é de 2 ao mês qual é o valor atual 2 meses antes de seu vencimento n i N A 1 0 02 2 1 8 40000 A A 8 07382 4 Quanto devo aplicar hoje a uma taxa de juros compostos de 24 ao ano para que o saldo daqui a 38 dias seja suficiente para pagar uma dívida de R 1500000 Solução N 840000 n 2 meses i 2 ao mês A HP 12 C 840000 CHS FV 2 n 2 i PV R 807382 A 377038 Dr 22962 HP 12 C 4000 enter 4000 CHS FV 2 n 3 i PV HP 12 C 47486 enter 1 enter 35 enter 100 25 yx 1 R 528737 Solução Dr 47486 n 25 meses i 35 ao mês A Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 108 n i N A 1 360 38 0 24 1 000 15 A A 1466324 72 DESCONTO COMERCIAL OU POR FORA Consiste em efetuarmos descontos sucessivos de um título utilizando o mesmo conceito de desconto comercial simples Seja N o valor Nominal de um título n o número de antecipação e i a taxa de desconto Calculase o valor descontado comercial simples para o instante n 1 em seguida sobre este valor descontado se calcula novamente o desconto comercial simples para o instante n 2 e assim sucessivamente até chegar ao instante 0 Esquematicamente temos N 0 n A n 1 0 n 1 A n2 0 n 2 0 A 0 Para o último período c n D N A 1 onde N i n Dc N i N A n 1 i N A n 1 1 Para o penúltimo período c n n D A A 1 2 onde i n A D n c 1 i A A A n n n 1 1 2 i A A n n 1 1 2 i i N A n 1 1 2 2 2 1 i N A n HP 12 C 1500000 CHS FV 38 enter 360 n 24 i PV R 1466324 Solução N 150000 n 38 dias i 24 ao ano A Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 109 Para o antepenúltimo período c n n D A A 2 3 onde i n A D n c 2 i A A A n n n 2 2 3 i A A n n 1 2 3 i i N A n 1 1 2 3 3 3 1 i N A n Procedendose desta forma chegase ao resultado in N A 1 0 O DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO é dado por A0 N Dc ou n c i N N D 1 EXERCÍCIOS 1 Um título de R 1500000 vence daqui a 6 meses Considerando uma taxa de juros compostos de 38 ao mês calcule seu valor atual nas seguintes datas a hoje b daqui 2 meses c 2 meses antes do vencimento 2 Para pagar uma dívida de R 1250000 João vai fazer um saque em conta corrente de R 450000 e descontar um título para complementar o pagamento da divida Se a taxa de juros compostos para operações de desconto é de 335 am e o prazo de resgate é 30 dias determine o valor nominal deste título 3 Tenho as seguintes dividas para saldar R 384000 com vencimento para 30 dias R 535400 com vencimento para 60 dias R 282300 com vencimento para 75 dias Quanto devo aplicar hoje a uma taxa de juros de 1 ao mês para fazer frente a estes compromissos 4 Um produto é vendido por R 400000 para pagamento daqui dois meses ou por R 370000 se o pagamento for daqui um mês Qual a melhor alternativa de pagamento se a taxa de juros de mercado for de 36 ao ano 5 A empresa X possui um título a ser pago no valor de R 850000 com vencimento para 120 dias O credor propôs a troca deste título por outro de R 795000 com vencimento para 60 dias Levando em consideração uma taxa de juros compostos de 32 am verifique se a troca é vantajosa 6 O valor nominal de uma duplicata é R 300000 Seu portador deseja descontála quatro meses antes do seu vencimento Sendo a taxa de desconto composto de 2 ao mês o valor do resgate será CEF 2004 A R 156789 Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 110 B R 215698 C R 277143 D R 298712 E R 309812 7 Para o capital inicial aplicado de R100000 a uma taxa de 8 ao ano juros compostos o valor do desconto racional no final do segundo ano é igual a Fiscal de Tributos Pref RJ 2002 A R12640 B R14640 C R15640 D R16640 8 Obtenha o valor hoje de um título de R 1000000 de valor nominal vencível ao fim de três meses a uma taxa de juros de 3 ao mês considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos AFRF 1998 9 Um título foi descontado por R 84000 quatro meses antes de seu vencimento Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3 ao mês AFRF 2001 10 Um título sofre um desconto composto racional de R 646518 quatro meses antes do seu vencimento Indique o valor mais próximo do valor descontado do título considerando que a taxa de desconto é de 5 ao mês AFRF 20022 11 Um título sofre um desconto composto racional de R 34010 seis meses antes do seu vencimento Calcule o valor descontado do título considerando que a taxa de desconto é de 5 ao mês Despreze os centavos SERPRO 2001 Analista de Finanças A R 94400 B R 98000 C R 100000 D R 113300 E R 134000 12 Julgue o item seguinte Auditor do Estado do Espírito Santo 2004 Considere que um título de valor nominal igual a R 1000000 foi resgatado 2 meses antes de seu vencimento e que a taxa de desconto composto racional praticada nessa transação era de 10 ao mês Nessa situação o valor do desconto foi superior a R 200000 13 Um título é descontado por R 440000 quatro meses antes do seu vencimento Obtenha o valor de face do título considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3 ao mês Despreze os centavos se houver Agente Tributário Estadual MS2001 A R 440000 B R 472500 C R 492800 D R 495200 E R 500000 Prof Ms Dirceu Lima dos Santos 111 14 Um título de renda fixa é emitido com um prazo de dois anos e com valor de resgate de R 1000000 Para que seja garantido ao investidor uma rentabilidade de 10 ao ano no regime de juros compostos o valor de emissão deve ser de Fiscal de Tributos Pref RJ 2002 A R 826446 B R 726446 C R 626446 D R 526446 Respostas 1 a R 1199243 b R 1292117 c R 1392184 2 R 826800 3 R 1180413 4 A melhor alternativa é o pagamento de R 350000 em um mês 5 A troca é vantajosa 6 C 7 D 8 R 915100 9 R 10543 10 Valor Nominal R 3646518 Valor Atual R 3000000 11 C 12 Errado 13 D 14 A