Estruturas Hiperestáticas - Rodrigo Cuberos Vieira e Ana Paula Vedoato Torres

KLS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Estruturas Hiperestáticas Rodrigo Cuberos Vieira Ana Paula Vedoato Torres Estruturas hiperestáticas Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Vieira Rodrigo Cuberos ISBN 9788552207351 1 Engenharia I Vieira Rodrigo Cuberos II Torres Ana Paula Vedoato III Título CDD 620 2018 por Editora e Distribuidora Educacional SA Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Editora e Distribuidora Educacional SA 2018 Editora e Distribuidora Educacional SA Avenida Paris 675 Parque Residencial João Piza CEP 86041100 Londrina PR email editoraeducacionalkrotoncombr Homepage httpwwwkrotoncombr Presidente Rodrigo Galindo VicePresidente Acadêmico de Graduação e de Educação Básica Mário Ghio Júnior Conselho Acadêmico Ana Lucia Jankovic Barduchi Camila Cardoso Rotella Danielly Nunes Andrade Noé Grasiele Aparecida Lourenço Isabel Cristina Chagas Barbin Lidiane Cristina Vivaldini Olo Thatiane Cristina dos Santos de Carvalho Ribeiro Revisão Técnica Bárbara Nardi Melo Armando Diório Filho Editorial Camila Cardoso Rotella Diretora Lidiane Cristina Vivaldini Olo Gerente Elmir Carvalho da Silva Coordenador Letícia Bento Pieroni Coordenadora Renata Jéssica Galdino Coordenadora Thamiris Mantovani CRB89491 V658e Estruturas hiperestáticas Rodrigo Cuberos Vieira Ana Paula Vedoato Torres Londrina Editora e Distribuidora Educacional SA 2018 216 p Unidade 1 Grau de hiperestaticidade Seção 11 Estruturas estaticamente indeterminadas Seção 12 Estruturas com um grau hiperestático Seção 13 Estruturas com múltiplos graus hiperestáticos 7 8 22 34 Sumário Unidade 2 Método das forças e do deslocamento Seção 21 Teoremas e princípios Seção 22 Método das forças Seção 23 Método dos deslocamentos 47 49 66 82 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 101 Linhas de influência de vigas 103 Linhas de influência para estruturas com vários graus de indeterminação 121 Representação esquemática das linhas de influência 137 157 159 178 194 Unidade 3 Seção 31 Seção 32 Seção 33 Unidade 4 Método da Rigidez e Processo de Cross Seção 41 Análise matricial de treliças Seção 42 Análise matricial de vigas e pórticos Seção 43 Processo de Cross Bemvindo à disciplina de Estruturas Hiperestáticas Esta disciplina é parte da área de estruturas dentro da engenharia civil Ela colabora para que nossos edifícios casas pontes e todas as outras estruturas que conhecemos saiam do papel e se tornem reais A disciplina busca trazer o conhecimento e a análise de estruturas hiperestáticas calculando os esforços e os deslocamentos em elementos e as reações de apoio Na primeira fase será definido qual é o grau de hiperestaticidade da estrutura Depois aplicaremos o método das forças ou dos deslocamentos para determinação das reações e forças internas nas estruturas Em seguida avaliaremos a força cortante o momento fletor e representaremos a linha de influência Ao final aplicaremos o Método da Rigidez na análise matricial de estruturas ou o Processo de Cross Na primeira unidade veremos como classificar a estrutura quanto ao grau hiperestático A definição destes graus irá direcionará o modelo que usaremos para resolver a estrutura encontrando como resultado as reações de apoio a força cortante e o momento fletor Na segunda unidade serão tratados dois métodos o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos Antes de iniciarmos seu uso precisamos de alguns conceitos fundamentais que serão apresentados como os princípios e teoremas que norteiam a hiperestática entre eles o Princípio do Trabalho Virtual PTV Já na terceira unidade o estudo se refere às linhas de influência Elas têm papel importante nas estruturas que recebem cargas móveis como as pontes Nesta unidade veremos a aplicação nas estruturas hiperestáticas tanto as com um grau hiperestático quanto as com múltiplos graus hiperestáticos A última unidade é sobre a aplicação das propriedades matemáticas das matrizes no cálculo das estruturas hiperestáticas O Método da Rigidez será um dos métodos abordados assim como o Processo de Cross Este se baseia no Método dos Deslocamentos abordado na unidade dois o que facilita seu aprendizado Dediquese ao estudo das estruturas hiperestáticas pois estes conceitos abrirão muitas possibilidades no campo da engenharia Palavras do autor estrutural Apesar da complexidade quase a totalidade das estruturas construídas hoje são estaticamente indeterminadas Valorize o privilégio de estudar e apliquese a esta disciplina tão complexa mas ao mesmo tempo apaixonante Bom estudo Grau de hiperestaticidade Seja bemvindo à primeira unidade de estudo da disciplina de Estruturas Hiperestáticas Nesta unidade veremos como encontrar o grau de hisperestaticidade de elementos como vigas treliças e pórticos com um e com vários graus de hiperestaticidade Portanto aprenderemos aprender a definir o grau de hiperestaticidade da estrutura Em um de seus projetos como engenheiro sua empresa de facilities foi contratada para realizar manutenções em um hotel e dentro do escopo de trabalho está a implantação de uma estrutura em um jardim Junto com a renovação do projeto paisagístico foi escolhido um pórtico que será inaugurado como a nova estrutura moderna do local O pórtico se destaca pelo seu tamanho e uso de materiais inovadores O projeto paisagístico foi apresentado e agora o próximo passo será analisar a estrutura Mas além da estética você deve verificar se este elemento é uma estrutura estaticamente indeterminada Se for qual é seu grau hiperestático Assim para responder a este desafio estudaremos como definir o grau de hiperestaticidade das estruturas Para isso primeiramente devemos determinar se uma estrutura é hipostática isostática ou hiperestática Como consequência do número de graus hiperestáticos escolheremos dessa forma o melhor método de cálculo Após esta unidade você será capaz de determinar se estruturas tais como vigas pórticos e treliças apresentam um ou múltiplos graus de hiperestaticidade Bom estudo Convite ao estudo Unidade 1 U1 Grau de hiperestaticidade 8 Estruturas estaticamente indeterminadas Olá aluno O aprendizado do cálculo das estruturas hiperestáticas é fundamental para a área de cálculo de estruturas Na maioria dos projetos de engenharia surgirão desafios relacionados a esta área Nesta primeira seção serão explicados os motivos de usarmos as estruturas hiperestáticas suas vantagens e desvantagens Também será abordada a definição da estrutura externamente hiperestática e da internamente hiperestática e como encontrar seu grau hiperestático total No seu desafio profissional do pórtico localizado no jardim do hotel você precisa definir o grau de hiperestaticidade da estrutura para que ela seja calculada e executada e seu projeto seja entregue com êxito Como definir o grau hiperestático deste pórtico Quais são as possibilidades de vinculação para este elemento Conhecendo as possibilidades de vinculação para esta estrutura e as vantagens e desvantagens de cada opção você será capaz de escolher a que melhor se enquadra em seu projeto tendo um melhor custobenefício Dedicandose nos estudos aplicados da disciplina e resolvendo este desafio profissional quando se deparar com projetos semelhantes você terá todo o conhecimento necessário para ter êxito Bom estudo Introdução ao estudo das estruturas hiperestáticas As estruturas são sistemas compostos por um ou mais elementos ligados entre si de forma a se tornarem estáveis Isto significa que as estruturas devem ser capazes de receber os esforços externos absorvêlos internamente e direcionálos aos apoios Seção 11 Diálogo aberto Não pode faltar Todavia o cálculo de alguns tipos de estruturas não é tão simples de se resolver Até o início do século passado as estruturas estaticamente indeterminadas eram complexas demais e evitadas pelos engenheiros pois não havia métodos tão precisos de análise como temos hoje O que é uma estrutura estaticamente indeterminada Quando a estrutura a ser analisada tem mais reações externas e ou mais forças internas a serem determinadas do que as incógnitas resolvidas pelas equações de equilíbrio da estática ela é considerada uma estrutura estaticamente indeterminada As equações de equilíbrio da estática consideram que a somatória das forças verticais horizontais e do momento devem ser nulas São descritas pelas equações Fx 0 Fy 0 M 0 Onde Fx Forças horizontais Fy Forças verticais M Momentos Para isso considerase que as vinculações estão em um sistema plano isto é só podem se movimentar nas direções contidas neste plano Isto não ocorre na estrutura real mas esta consideração não interfere nas estruturas usuais analisadas Já o tipo de vinculação a ser considerado no cálculo interferirá na análise da estrutura O Quadro 11 apresenta os principais vínculos utilizados e suas características O número de graus de mobilidade retirado pelo vínculo é fator determinante para a classificação da estrutura em hiperatéctica isostática ou hipostática Quadro 11 Vínculos e características Nome do vínculo Símbolo Reações de apoio provocadas pelos vínculos Números de graus de mobilidade retirados pelo vínculo n Apoio móvel 1 U1 Grau de hiperestaticidade 10 Apoio fixo 2 Engaste 3 Fonte elaborado pelo autor As estruturas hipostáticas Figura 11 são móveis em seu conjunto e apresentam grau de hiperestaticidade negativo ou a estrutura possui uma parte móvel o que a torna inaceitável para edificações Por causa do número inferior de reações de apoio que possam trazer estabilidade à estrutura o conjunto da estrutura não é impedido de se deslocar Fonte elaborada pelo autor Figura 11 Estrutura hipostática As estruturas hipostáticas têm um número inferior de graus de mobilidade permitido pelos apoios necessários para impedir que a estrutura se movimente Figura 12 mas também podem ser hipostáticas quando não tiverem restrição em ambas as direções do plano Figura 13 Assim estas estruturas têm movimento infinito e não podem ser usadas para projetos pois seu equilíbrio é instável Exemplificando U1 Grau de hiperestaticidade 11 Fonte elaborada pelo autor Figura 14 Estrutura isostática Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 12 Estrutura hipostática com graus de mobilidade permitidos pelos apoios inferiores às equações de equilíbrio Figura 13 Estrutura hipostática com graus de mobilidade permitidos pelos apoios superiores às equações de equilíbrio As estruturas isostáticas Figura 14 são aquelas que apresentam número de reações igual ao número de incógnitas das equações de equilíbrio e consequentemete o grau de hiperestaticidade é igual a zero As estruturas isostáticas apresentam um número de apoios suficiente para impedir que a estrutura se movimente Figura 15 e portanto seu equilíbrio é estável Exemplificando U1 Grau de hiperestaticidade 12 As estruturas hiperestáticas apresentam um número de apoios superior ao necessário para impedir que a estrutura se movimente Figura 17 e portanto seu equilíbrio é estável Apesar de a análise da estrutura hiperestática ser complexa a maioria das estruturas é hiperestática As estruturas hiperestáticas Figura 16 são aquelas em que o número de reações é maior que o número de equações da estática ou se as equações da estática não são suficientes para determinar os esforços internos consequentemete o grau de hiperestaticidade é de um ou mais Assim não é possível determinar suas reações de apoio apenas com estas equações Fonte elaborada pelo autor Figura 16 Estrutura hiperestática Fonte elaborada pelo autor Figura 15 Estrutura isostática Exemplificando U1 Grau de hiperestaticidade 13 Fonte elaborada pelo autor Figura 17 Estrutura hiperestática Fonte elaborada pelo autor Figura 18 Comparação de deformação da estrutura hiperestática e isostática Vantagens das estruturas hiperestáticas 1 Estruturas mais seguras há uma redistribuição maior das tensões devido à rigidez da estrutura Quando um elemento da estrutura está sendo muito solicitado ele redistribuirá a tensão para os elementos ao seu redor pois haverá uma redistribuição dos momentos 2 Menor deslocamento transversal com maior rigidez devido à maior rigidez da estrutura por causa do menor grau de liberdade ocorrerá uma melhor distribuição dos esforços assim como tensões menores Figura 18 Quando as colunas são muito mais rígidas do que a viga que se apoia nelas a rotação em suas extremidades é pequena ficando próxima a uma viga biengastada Estrutura Hiperestática Estrutura Isostática U1 Grau de hiperestaticidade 14 Fonte elaborada pelo autor Figura 19 Deformada a viga contínua b viga rotulada no apoio central Desvantagens das estruturas hiperestáticas 1 Modelos de cálculo mais complexos devido à complexidade dos modelos de cálculo podese gerar algumas dificuldades na análise estrutural e em projeto 2 Devido a recalques dos apoios podem surgir problemas significativos caso ocorra algum tipo de recalque nos apoios devido à maior rigidez da estrutura isso pode acarretar mudanças nos valores de momento fletor e torçor no esforço cortante nas forças de reação e nos esforços normais dos elementos estruturais 3 Tensões não consideradas podem gerar variações significativas tensões geradas devido à má execução do material ou a variações de temperatura não consideradas podem gerar uma 3 Economia de material as vigas contínuas caso a da Figura 19 apesar de apresentarem momentos negativos maiores nos apoios têm momentos positivos menores no meio do vão e consequentemente isso gerará uma economia de material Já as vigas simplesmente apoiadas caso b da Figura 19 apresentam momentos fletores maiores no meio do vão e maior gasto com material o que significa vigas de seções maiores e maior peso sendo descarregado na fundação U1 Grau de hiperestaticidade 15 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 110 Exemplo de estrutura externamente hiperestática Figura 111 Exemplo de estrutura internamente hiperestática modificação da posição relativa do elemento o que gerará variações nos esforços atuantes ao longo da estrutura Estruturas externamente hiperestática As estruturas externamente hiperestáticas são aquelas em que o número de reações é maior do que as equações de equilíbrio da estática Figura 110 As estruturas externamente hiperestáticas são aquelas que apresentam o número de reações de apoio superior a três Estruturas internamente hiperestática Apesar de a estrutura ser isostática externamente caso não seja possível determinar os esforços das seções ao longo da estrutura utilizando as equações de equilíbrio da estática esta estrutura é considerada internamente hiperestática Figura 111 Assimile U1 Grau de hiperestaticidade 16 As estruturas internamente hiperestáticas são aquelas que apresentam todas as reações de apoio conhecidas entretanto devido à geometria de sua estrutura um conjunto de barras não articulado entre si formam uma poligonal fechada Grau hiperestático O grau hiperestático da estrutura é determinado somandose o grau hiperestático interno e externo Ao se retirar determinadas reações seguindo certos critérios as estruturas hiperestáticas continuam a não apresentar quaisquer movimentos portanto estáveis Assim o grau de hiperestaticidade é igual ao número de reações que pode ser suprido até que a estrutura se torne isostática Dessa forma para a estrutura isostática que tem grau de hiperestaticidade nulo podem ser utilizadas as equações de equilíbrio da estática Você observou que as estruturas isostáticas são menos complexas de se calcular do que as estruturas hiperestáticas Após a definição do grau de hiperestaticidade os métodos buscam utilizar formas de transformar a estrutura hiperestática em uma estrutura isostática adicionando outras ferramentas para ajustar esta mudança FTOOL programa gráfico interativo para estudo do comportamento das estruturas Este programa pode ser baixado gratuitamente e utilizado para análise de estruturas isostáticas e hiperestáticas É uma ferramenta simples e de fácil uso utilizado para estruturas bidimensionais Ele permite uma grande variedade de esquemas estáticos e após a definição de alguns parâmetros o programa detalha os gráficos de momento fletor esforço Assimile Reflita Pesquise mais U1 Grau de hiperestaticidade 17 normal e cortante linha elástica e gráfico de configuração deformada Foi originalmente criado pelo professor Luiz Fernando Martha Saiba mais em MARTHA L F Análise de estruturas conceitos e métodos básicos Rio de Janeiro Elsevier 2010 Seu cliente dono do hotel aguarda seu projeto para que seja renovada a área do jardim mas para isso você deve definir o grau hiperestático do pórtico Quais são as possibilidades de vinculação para este elemento Primeiramente devese avaliar quais são as vinculações possíveis para este conjunto A escolha do vínculo é de extrema importância pois algumas situações não são possíveis de serem executadas Se a estrutura por exemplo for hipostática Figura 112 tem uma parte móvel o que a torna inaceitável para edificações Por causa do número inferior de reações de apoio o conjunto da estrutura não é impedido de se deslocar portanto esta opção não é viável para este projeto Fonte elaborada pelo autor Figura 112 Estrutura hipostática Sem medo de errar U1 Grau de hiperestaticidade 18 Uma segunda opção de vinculação deste pórtico é a estrutura ser isostática Figura 113 Esta estrutura é possível de ser construída e tem a facilidade de ser calculada com apenas as equações de equilíbrio entretanto tem a desvantagem de ter maiores deformações A última opção é a escolha de uma estrutura hiperestática Figura 114 em que o número de incógnitas é maior do que o número das equações da estática Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 113 Estrutura isostática Figura 114 Estrutura hiperestática Caso opte por esta opção de vinculação você poderá ter uma estrutura mais segura com maior rigidez e com menos deslocamento e além disso gerar uma economia com gastos de material U1 Grau de hiperestaticidade 19 Vantagens e desvantagens da estrutura hiperestática Descrição da situaçãoproblema Uma construtora fechou um grande projeto na empresa em que você trabalha Seu chefe o chamou e disse que estava tendo uma discussão a respeito dos apoios a serem adotados em uma das estruturas Esta definição modificará toda a solução do projeto pois classificará a estrutura em isostática ou em hiperestática e consequentemente cada tipo de estrutura tem um lado contra e um a favor Seu chefe marca uma reunião com os engenheiros e pede que você apresente quais são as vantagens e as desvantagens da estrutura hiperestática em relação à estrutura isostática para que então possam encontrar a melhor solução para este caso Resolução da situaçãoproblema Você apresenta em slides para toda a equipe as vantagens e as desvantagens de cada estrutura Vantagens da estrutura hiperestática em relação à estrutura isostática 1 Estrutura mais segura há uma redistribuição maior das tensões devido à rigidez da estrutura Quando um elemento da estrutura está sendo muito solicitado ele redistribuirá a tensão para os elementos ao seu redor pois haverá uma redistribuição dos esforços 2 Menor deslocamento transversal com maior rigidez devido à maior rigidez da estrutura por causa do menor grau de liberdade ocorrerá uma melhor distribuição dos esforços assim como tensões e deslocamentos menores Quando as colunas são muito mais rígidas do que a viga que se apoia nelas a rotação em suas extremidades é pequena ficando próxima a uma viga biengastada 3 Economia de material as vigas contínuas apesar de terem momentos negativos maiores nos apoios apresentam momentos Avançando na prática U1 Grau de hiperestaticidade 20 positivos menores no meio do vão e consequentemente isso gerará uma economia de material Já as vigas simplesmente apoiadas apresentam momentos fletores maiores no meio do vão e maior gasto com material o que significa vigas de seções maiores e maior peso sendo descarregado na fundação Desvantagens das estruturas hiperestáticas em relação às estruturas isostáticas 4 Modelos de cálculo mais complexos devido à complexidade dos modelos de cálculo podese gerar algumas dificuldades na análise estrutural e em projeto 5 Devido a recalques dos apoios podem surgir problemas significativos caso ocorra algum tipo de recalque nos apoios devido à maior rigidez da estrutura pode acarretar mudanças nos valores de momento fletor e torçor no esforço cortante nas forças de reação e nos esforços normais dos elementos estruturais 6 Tensões não consideradas podem gerar variações significativas tensões geradas devido à má execução do material ou variações de temperatura não consideradas podem gerar uma modificação da posição relativa do elemento o que gerará variações nos esforços atuantes ao longo da estrutura 1 Na entrada de uma cidade é colocado um portal para recepção daqueles que chegam Este portal foi dimensionado como uma estrutura isostática Caso tivesse sido projetado como uma estrutura hiperestática qual seria a diferença entre eles Assinale a alternativa correta que corresponde à diferença entre a estrutura isostática e a estrutura hiperestática a Se fosse hiperestática a estrutura deveria ter menor rigidez b Se fosse hiperestática a estrutura deveria ter seções menores c Se fosse hiperestática a estrutura deveria ter pilares maiores d Se fosse hiperestática a estrutura deveria ter seções maiores e Se fosse hiperestática a estrutura deveria ter um vão menor Faça valer a pena U1 Grau de hiperestaticidade 21 Assinale a alternativa correta quanto à classificação dos croquis respectivamente em hipostático isostático ou hiperestático a Isostático hiperestático e hipostático b Hipostático hiperestático e isostático c Hiperestático hipostático isostático d Hipostático isostático e hiperestático e Hiperestático isostático e hipostático 3 Como consultor de um projeto foilhe entregue uma viga para ser analisada conforme croqui apresentado Como parte de sua análise inicial você tem de classificar a viga mas antes determinar os graus de cada apoio Qual é o grau de hiperestaticidade total da estrutura Assinale a alternativa correta que apresenta o grau de hiperestaticidade da estrutura a n 1 b n 0 c n 2 d n 3 e n 4 2 Como parte de um projeto de uma edificação em um condomínio entregue a você para solução três pórticos precisam ser analisados Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor U1 Grau de hiperestaticidade 22 Estruturas com um grau hiperestático Caro aluno bemvindo à nossa segunda seção da Unidade 1 Na primeira seção vimos os motivos de usarmos as estruturas hiperestáticas suas vantagens e desvantagens Também foi abordada a definição da estrutura externamente hiperestática e internamente hiperestática bem como o seu grau hiperestático total Nesta seção nos aprofundaremos nas definições das estruturas com um grau hiperestático entre elas as vigas os pórticos e as treliças Veremos as particularidades de cada arranjo estrutural e como definir sua hiperestaticidade e os modelos com um grau de hiperestaticidade Este tópico é importante pois o grau de hiperestaticidade definirá como utilizar os métodos para cálculo deste tipo de estrutura Como início do projeto do pórtico já que sua empresa de facilities foi contratada para a manutenção do hotel e para execução do pórtico você tem um novo desafio sendo a estrutura do pórtico com um grau hiperestático qual é o passo a passo para calcular este tipo de estrutura Para analisar este pórtico Figura 115 será necessário conhecer as particularidades deste arranjo e como encontrar seu grau hiperestático total Fonte elaborada pela autora Figura 115 Pórtico com um grau hiperestático Seção 12 Diálogo aberto U1 Grau de hiperestaticidade 23 Uma estrutura plana estará resolvida geometricamente desde que sejam conhecidos os deslocamentos nos extremos das barras que a compõem Após determinação dos esforços nas seções são traçados os diagramas de momento e força cortante portanto o primeiro passo para o cálculo da estrutura é definir seu grau hiperestático Assim o método de cálculo pode ser escolhido e com ele determinados os esforços máximos solicitantes a partir dos quais procedese a verificação do dimensionamento das peças estruturais Você observou que desenhamos e calculamos as estruturas em modelos planos Isso ocorre pois consideramos que estas estruturas não possuem deslocamento na direção não analisada Caso seja necessário levar em conta estes deslocamentos devese utilizar programas de cálculo que auxiliem no cálculo de estruturas tridimensionais Definição de estruturas com um grau hiperestático Uma estrutura é considerada com um grau de hiperestaticidade quando o número de reações desconhecidas excede o número das equações de equilíbrio da estática na qual esta diferença é igual a 1 Se uma vez conhecida as reações for impossível determinar os esforços das seções ao longo da estrutura utilizando as equações de equilíbrio então a estrutura é hiperestática internamente e pode ter este grau igual a 1 Vale salientar que se a viga tiver o apoio móvel na vertical isto a tornará uma estrutura hipostática e instável mesmo que tenha o número de equações menores que o número de reações Vigas com um grau hiperestático As vigas com um grau hiperestático são definidas em função de suas reações de apoio e suas rótulas As rótulas geram equações extras e são somadas às equações de equilíbrio da estática Não pode faltar Reflita R 2 1 1 4 E 3 r 0 g 4 3 0 1 R 3 2 5 E 3 r 1 g 5 3 1 1 O grau de hiperestaticidade é dado por g R b 2 n Quando g 1 a estrutura será uma vez hiperestática Neste caso específico as barras que se cruzam em x apenas se cruzam mas não estão ligadas entre si sendo barras independentes R 1 2 3 b 14 n 8 2n 16 g 3 14 2 8 1 Devese prestar atenção nas ligações feitas por rótulas pois nos pórticos elas variam de acordo com a forma em que são executadas Figura 124 Croquis de estruturas r 1 1 2 d Quando o número de reações desconhecidas excede o número das equações dos momentos fletores e esta diferença é igual a 2 e Quando o número de reações desconhecidas excede o número das equações de equilíbrio da estática e esta diferença é igual a 1 U1 Grau de hiperestaticidade 34 Estruturas com múltiplos graus hiperestáticos Caro aluno bemvindo à nossa terceira seção da Unidade 1 Na segunda seção aprofundamos as definições das estruturas com um grau hiperestático entre elas as vigas os pórticos e as treliças Vimos também as particularidades de cada arranjo estrutural e como definir sua hiperestaticidade e os modelos com um grau de hiperestaticidade Nesta unidade aprenderemos sobre as estruturas com múltiplos graus de hiperestaticidade com ênfase nos mesmos arranjos estruturais estudados na segunda seção Como uma segunda opção do projeto do pórtico já que sua empresa de facilities foi contratada para a manutenção do hotel e para execução desta estrutura você tem um novo desafio sendo a estrutura do pórtico com múltiplos graus hiperestáticos qual é o procedimento de análise desse tipo de estrutura Para analisar este pórtico Figura 126 será necessário conhecer as particularidades deste arranjo e como encontrar seu grau hiperestático total Bons estudos Fonte elaborada pelo autor Figura 126 Pórtico com múltiplos graus de hiperestaticidade Seção 13 Diálogo aberto Não pode faltar Quadro 13 Vínculos e características Pórtico com quatro graus hiperestáticos Para determinação do grau hiperestático as incógnitas a serem resolvidas nas treliças são A incógnita para este caso são os esforços nas barras portanto a estrutura é duas vezes internamente hiperestática Para resolver a estrutura é necessário que as barras com hiperestaticidade sejam removidas colocando no seu lugar a força normal como incógnita em ambos os lados e com igual valor mas com sentidos diferentes Figura 135 Início da resolução da trelica internamente hiperestática Fonte elaborada pelo autor Calcular o grau de hiperestaticidade é o primeiro passo antes da escolha do método a ser utilizado para cálculo dos esforços e momentos O Mola é um modelo físico interativo que simula o comportamento de estruturas arquitetônicas O modelo é composto por um conjunto de peças moduladas que se conectam por meio de magnetismo permitindo inúmeras combinações De uso simples e interativo o produto auxilia engenheiros e arquitetos em seus projetos Disponível em httpsmolamodelcom Acesso em 11 nov 2017 Onde R reações de apoio E equações de equilíbrio r número de equações referentes à rótula Portanto para o pórtico a ser executado no jardim teremos R 2 2 2 6 E 3 r 0 g 6 3 0 3 Figura 136 Pórtico com três graus de hiperestaticidade Fonte elaborada pelo autor Resolução da situaçãoproblema Para solução desta primeira etapa do projeto devem ser definidos quantos graus de hiperestaticidade esta estrutura possui pois na próxima etapa esta informação é fundamental na escolha do método para a solução R 2 2 4 b 23 n 12 2n 24 g 4 23 2 12 3 Salientando que as barras que se cruzam não se tocam sendo elementos independentes Portanto esta estrutura é três vezes hiperestática sendo uma vez externa e duas vezes internamente Faça valer a pena 1 Uma estrutura é considerada com múltiplos graus de hiperestaticidade quando Preencha a frase com a resposta correta sobre o múltiplo grau de hiperestaticidade a O número de reações desconhecidas é menor do que o número das equações de equilíbrio da estática e esta diferença é inferior a 1 b O número de reações desconhecidas excede o número das equações de equilíbrio da estática e esta diferença é superior a 1 c O número de reações desconhecidas excede o número das equações de equilíbrio da estática e esta diferença é inferior a 1 U1 Grau de hiperestaticidade 44 d O número de reações desconhecidas é menor do que o número das equações de equilíbrio da estática e esta diferença é superior a 1 e O número de reações desconhecidas não tem relações com o número das equações de equilíbrio da estática 2 Para que as áreas de lazer de dois prédios de um hotel localizadas no topo fossem unidas e os hóspedes pudessem circular de uma para outra foi criada uma viga de transição entre eles O modelo proposto para esta viga foi dado a você e lhe cabe resolver o grau de hiperestaticidade do elemento Assinale a resposta correta que contém o número do grau de hiperestaticidade da viga proposta a 2 b 4 c 6 d 3 e 1 3 Um shopping center quer ampliar seu tamanho e criar uma galeria para lojas Para isso um modelo de pórtico foi proposto Entre os pontos A e E ficarão as lojas e entre os pontos E e F será o corredor de acesso a ser fixado na estrutura já pronta Seu desafio profissional é calcular o grau de hiperestaticidade do pórtico conforme croqui Fonte elaborada pelo autor Figura Viga de transição Fonte elaborada pelo autor Figura Modelo de pórtico U1 Grau de hiperestaticidade 45 Assinale a alternativa correta que contém o grau de hiperestaticidade do pórtico proposto a 4 b 5 c 2 d 3 e 6 HIBBELER R C Análise das estruturas São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 MARTHA L F Análise de estruturas conceitos e métodos básicos Rio de Janeiro Elsevier 2010 ROCHA A M Teoria e prática das estruturas hiperestática plana geral 1ª parte vol II Rio de Janeiro Científica 1976 v II SÜSSEKIND J C Curso de análise estrutural 2 deformações em estruturas método das forças 5 ed Porto Alegre Globo 1981 Curso de análise estrutural 3 método das deformações processo de cross 4 ed Porto Alegre Globo 1980 Referências Método das forças e do deslocamento Convite ao estudo Bemvindo à Unidade 2 da disciplina de Estruturas hiperestáticas Nesta segunda unidade iremos nos aprofundar no estudo das estruturas hiperestáticas Pelo que aprendemos na Unidade 1 já sabemos identificar esse tipo de estrutura e também quais são as suas vantagens e desvantagens Agora precisamos aprender a calcular as estruturas hiperestáticas ou seja determinar as reações que ocorrem em seus apoios os esforços que ocorrem em suas barras e os deslocamentos que ocorrem em seus pontos Após a finalização do seu mestrado uma faculdade o convidou para ministrar a disciplina de Estruturas hiperestáticas mas para ser efetivado como professor permanente na vaga você terá que fazer um teste Seu coordenador lhe deu o desafio de estudar alguns princípios e métodos que são a base de sua disciplina Entre os desafios ele escolheu três exercícios diversos Para cumprir os três desafios propostos pelo seu coordenador da faculdade iniciaremos pelo estudo do Princípio do Trabalho Virtual que pode ser empregado nas estruturas isostáticas e também nas estruturas hiperestáticas A compreensão desse princípio é fundamental para que possamos entender como realizar o cálculo das estruturas hiperestáticas Na sequência estudaremos dois métodos de análise de estruturas hiperestáticas o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos Dessa maneira ao final desta unidade você será capaz de determinar os diagramas de esforços solicitantes como esforço normal cortante e momento fletor que ocorrem nos mais diversos tipos de estruturas hiperestáticas como vigas e pórticos Unidade 2 Assim ao projetar uma estrutura você poderá tirar proveito das vantagens já estudadas que as estruturas hiperestáticas possuem Bons estudos U2 Método das forças e do deslocamento 49 Teoremas e princípios Caro aluno após a conclusão da primeira unidade na qual iniciamos os estudos das estruturas hiperestáticas aprendendo como identificar esse tipo de estrutura e quais são as suas vantagens e desvantagens iremos agora nos aprofundar mais na análise deste tipo de estrutura Para que possamos empregar as estruturas hiperestáticas na nossa prática diária devemos determinar qual a intensidade dos esforços que atuam sobre ela Para isso é fundamental ter a compreensão do Princípio do Trabalho Virtual que estudaremos nesta nossa primeira seção da Unidade 2 Para conseguir realizar o teste e assim garantir a sua vaga como professor permanente na faculdade você deve cumprir o primeiro desafio proposto por seu coordenador analisar a aplicação do Princípio do Trabalho Virtual e explicar como ele é empregado nas estruturas hiperestáticas tomando como exemplo a viga da Figura 21 Fonte elaborada pelo autor Figura 21 Viga hiperestática Antes de aplicarmos esse princípio neste tipo de estrutura devemos compreender a sua essência e aplicálo em estruturas mais simples como as estruturas isostáticas Tendo esse conhecimento poderemos avançar para o emprego do Princípio do Trabalho Virtual nas estruturas hiperestáticas com mais confiança e desta forma conseguir realizar o teste com êxito Vamos aos estudos Seção 21 Diálogo aberto U2 Método das forças e do deslocamento 50 Princípio do Trabalho Virtual PTV Quando um ponto material submetido a uma força F apresenta um deslocamento d na mesma direção da força F essa força realiza um trabalho dado por U F d Assim ao aplicarmos forças externas em um determinado corpo ele se deformará apresentando deslocamentos nos pontos de aplicação das forças externas Dessa forma essas forças externas irão realizar um trabalho externo Ue que pelo Princípio da Conservação de Energia será convertido em energia de deformação a qual é armazenada na estrutura quando esta se deforma Essa energia de deformação que também pode ser chamada de trabalho interno Ui é liberada com a retirada das forças externas atuantes no corpo fazendo com que o corpo retorne à sua configuração indeformada caso não seja excedido o limite elástico do material O Princípio da Conservação de Energia é a base do Princípio do Trabalho Virtual e pode ser expresso matematicamente por U U e i O Princípio do Trabalho Virtual pode ser utilizado para determinar um deslocamento ou uma inclinação em um ponto de uma estrutura qualquer Para compreender melhor esse princípio tomemos um corpo submetido a um conjunto de forças externas conforme a Figura 22a As forças externas P1 P2 e P3 irão provocar esforços internos fi nos vários pontos internos ao longo do corpo que em uma estrutura convencional como uma treliça uma viga ou um pórtico são os esforços normal cortante momento fletor e momento torçor Consequentemente o corpo irá se deformar apresentando deslocamentos externos Dn nos pontos de aplicação das forças externas e deslocamentos internos d nos diversos pontos internos ao longo do corpo Não pode faltar U2 Método das forças e do deslocamento 51 Fonte elaborada pelo autor Figura 22 a Corpo submetido a um conjunto de forças externas e b Corpo com aplicação da força virtual externa P O produto de uma força externa pelo deslocamento externo que ocorre na direção dessa força no ponto de sua aplicação resulta em um trabalho externo Já o produto de um esforço interno em um determinado ponto interior pelo deslocamento interno que ocorre nesse mesmo ponto resulta em um trabalho interno Dessa forma pelo Princípio da Conservação de Energia podemos escrever U U P f d e i n n i i Consideremos agora que se deseja determinar o deslocamento D do ponto A do corpo da Figura 22a na direção mostrada submetido ao conjunto de forças externas reais indicadas Para isso utilizaremos o Princípio do Trabalho Virtual Primeiramente com o corpo indeformado ou seja antes da atuação das forças externas reais aplicase uma força virtual externa P na mesma direção do deslocamento D que se deseja determinar conforme a Figura 22b Utilizase o termo virtual pois essa é uma força imaginária ou seja que não ocorre na realidade Essa força virtual pode ter uma intensidade qualquer mas por conveniência adotaremos uma força virtual de intensidade unitária ou seja P 1 A força virtual externa irá provocar esforços virtuais internos fv compatíveis com as condições de equilíbrio como exemplificado na Figura 22b Posteriormente aplicamse as forças externas reais que irão provocar o deslocamento externo real D no ponto A e deslocamentos internos reais d compatíveis nos pontos internos do corpo Dessa forma a força virtual externa P irá realizar um trabalho virtual externo ao se mover ao longo do deslocamento real D Já nos pontos internos U2 Método das forças e do deslocamento 52 do corpo cada esforço virtual interno fv irá realizar um trabalho virtual interno ao se mover ao longo do deslocamento interno real d Dessa forma é possível formular a equação do Princípio do Trabalho Virtual igualando o trabalho virtual externo com o trabalho virtual interno realizado em todos os pontos do corpo P f d f d v v 1 No Princípio dos Trabalhos Virtuais as forças externas e internas são virtuais e os deslocamentos externos e internos são reais Assim os deslocamentos D e d não são provocados pelas forças P e fv Porém é necessário que as forças externas e internas estejam em equilíbrio e que os deslocamentos externos e internos sejam compatíveis ou seja as forças internas virtuais fv são provocadas pela aplicação da força externa virtual P e seus valores são obtidos respeitando as condições de equilíbrio Já os deslocamentos internos reais d são provocados pelo deslocamento externo real D e seus valores são obtidos respeitando as condições de compatibilidade de deslocamentos Em comum os sistemas de forças e deslocamentos têm o fato de atuarem sobre o mesmo corpo Método do Trabalho Virtual O método do trabalho virtual pode ser empregado para determinar um único deslocamento em uma determinada direção que ocorre em um ponto de uma estrutura seja ela uma treliça uma viga ou um pórtico Para tanto utilizaremos a equação do PTV que acabou de ser apresentada 1 f d v Suponha que se deseja determinar o deslocamento D em uma determinada direção de um ponto da estrutura quando ela estiver submetida a um conjunto de forças reais Para resolver esse problema usando o método do trabalho virtual basta aplicar no ponto em estudo uma força ou momento unitária força externa virtual na mesma direção do deslocamento desejado Essa força ou momento unitária virtual irá provocar esforços internos virtuais fv que podem ser o esforço normal esforço cortante momento fletor ou momento torçor nos diversos pontos ao longo da estrutura Esses esforços Assimile U2 Método das forças e do deslocamento 53 internos podem ser determinados rapidamente para uma estrutura isostática traçando os seus diagramas de esforços solicitantes quando ela está submetida somente à força unitária O deslocamento real D que na equação anterior será a incógnita foi provocado pelas forças reais que atuam na estrutura as quais também geraram deslocamentos internos reais compatíveis ou deformações nos diversos pontos da estrutura Essas deformações são funções dos esforços solicitantes reais que atuam na estrutura provocados pelas forças reais e suas expressões foram deduzidas pela teoria de Resistência dos Materiais Assim sabese que cada um dos esforços solicitantes força normal força cortante momento fletor e momento torçor provoca as seguintes deformações em um elemento dx da estrutura Deformação axial devido ao esforço normal N dL N dx E A Deformação de cisalhamento devido ao esforço cortante Q dh Q dx G A c Giro devido ao momento fletor M d M dx q E I Giro de torção devido ao momento torçor T d T dx E It j Em que E Módulo de elasticidade longitudinal do material G Módulo de elasticidade transversal do material A Área da seção transversal I Momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flexão It Momento de inércia à torção da seção transversal U2 Método das forças e do deslocamento 54 c fator de forma varia conforme o tipo de seção transversal Como essas deformações são correspondentes a um elemento infinitesimal dx devese fazer a multiplicação dessas deformações pelos esforços que atuam no elemento infinitesimal e então integrar ao longo de todo o comprimento da estrutura para que seja possível determinar a somatória do trabalho virtual interno em todos os pontos dessa estrutura Dessa forma no caso mais geral de uma estrutura que apresenta os quatro esforços internos esforço normal esforço cortante momento fletor e momento torçor o trabalho virtual interno total será a soma dos trabalhos virtuais internos de cada um desses quatro esforços ao longo de toda a estrutura Como já visto o trabalho virtual interno é dado pela multiplicação entre o esforço interno virtual e a deformação real Assim a equação do PTV será 1 U U U U i Normal iCor te i MFletor i MTorçor tan 1 N dL Q dh M d T d L L L L θ ϕ 1 N N dx E A Q Q dx G A M M dx E I T T dx G I L L L t L c Em que N Q M e T esforços internos virtuais provocados pela força virtual unitária N Q M e T esforços internos reais provocados pelas forças reais Vale ressaltar que é comum que tanto os esforços virtuais quanto os esforços reais variem ao longo do comprimento total da estrutura Assim eles são funções da posição x na estrutura Em determinadas estruturas convencionais podemos desprezar sem que ocorra um erro significativo no resultado final algumas das parcelas dos trabalhos virtuais internos pois resultam em trabalhos muito pequenos em comparação com as outras parcelas de trabalhos virtuais internos Por exemplo Nas treliças podese considerar somente a parcela referente ao esforço normal U2 Método das forças e do deslocamento 55 Nas vigas e pórticos podese considerar somente a parcela referente ao momento fletor a parcela da cortante só é utilizada em casos de vãos muito curtos ou cargas elevadas A parcela da torção só é utilizada em estruturas espaciais como grelhas e pórticos espaciais Sabendo que a viga da Figura 23a possui E kN m 2 108 ² e I m 5 10 4 4 o deslocamento vertical que ocorre na extremidade livre da viga devido ao carregamento real indicado pode ser encontrado com a aplicação do PTV Como se trata de uma viga iremos considerar apenas a parcela do trabalho virtual interno referente aos momentos fletores Aplicando uma força virtual unitária no mesmo ponto e na mesma direção do deslocamento desejado conforme a Figura 23b temos 1 0 M M dx E I L Basta agora determinar as equações dos momentos fletores M e M em função da posição x da viga obtidos respectivamente com a aplicação da força unitária Figura 23b e do carregamento real Figura 23a substituí los na equação do PTV e resolver a integral ao longo do comprimento L 8m da viga Podese tomar como origem da coordenada x qualquer ponto desde que essa origem seja a mesma para a determinação de M e M Admitindo que a tração no lado de baixo da viga é positiva temos M x M x x x 1 15 2 7 5 2 1 1 7 5 2 10 5 10 1 10 7 5 2 8 4 0 8 5 3 0 8 x x dx x dx Fonte elaborada pelo autor Figura 23 a Viga com carregamento real b Viga com força virtual Exemplificando U2 Método das forças e do deslocamento 56 1 10 7 5 8 4 0 0768 76 8 5 4 m mm Como o deslocamento resultou em um valor positivo isso significa que ele tem o mesmo sentido da força unitária ou seja para baixo As deformações reais d além de serem provocadas por esforços reais também podem ser provocadas por variações de temperatura expansão térmica ou dilatação térmica e defeitos de fabricação barras fabricadas com comprimentos diferentes dos previstos em projeto Caso esses efeitos reais ocorram os seus trabalhos virtuais internos devem ser somados aos demais trabalhos virtuais internos no lado direito da equação do PTV As deformações reais provocadas por esses efeitos e seus respectivos trabalhos virtuais internos são Expansão térmica provoca uma deformação de flexão d T T h dx U M T T h dx i e i i e L θ α α Dilatação térmica provoca uma deformação axial dL T T dx U N T T dx i e i i e L a a 2 2 Defeito de fabricação provoca uma deformação axial dL L L dx U N L L dx i L d d Em que a Coeficiente de dilatação térmica Te Variação de temperatura nas fibras externas Ti Variação de temperatura nas fibras internas h Altura da seção transversal da barra dL Variação do comprimento da barra L Comprimento da barra U2 Método das forças e do deslocamento 57 Os recalques de apoio deslocamentos que podem ocorrer nos apoios de uma estrutura também devem ser considerados na equação do PTV Porém como um recalque de apoio provoca um movimento de corpo rígido em uma estrutura ou seja não provoca deformações nela ele não irá provocar trabalho virtual interno Entretanto o recalque de apoio provoca um trabalho virtual externo que deve ser somado no lado esquerdo da equação do PTV Esse trabalho virtual externo é dado pela multiplicação entre a reação de apoio virtual na direção do recalque provocada pela força virtual unitária e o recalque de apoio deslocamento real Para determinar o giro deslocamento angular de um determinado ponto devemos aplicar uma força unitária na direção de um deslocamento linear ou será que devemos aplicar um momento unitário na direção de um deslocamento angular Lembrese de que a carga unitária deve ser aplicada na mesma direção do deslocamento desejado Para recordar como são deduzidas as expressões das deformações provocadas pelos esforços solicitantes esforço normal esforço cortante momento fletor e momento torçor utilizadas no PTV consulte alguns livros que tratam da teoria da Resistência dos Materiais como HIBBELER R C Análise das estruturas São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 Teorema de Castigliano Tendo como base o Princípio da Conservação de Energia e os conceitos de energia de deformação o segundo teorema de Castigliano pode ser usado para determinar o deslocamento linear ou angular de um ponto de uma estrutura Segundo esse teorema o deslocamento em um ponto de uma estrutura é igual à primeira derivada parcial da energia de deformação em relação a uma ação força ou momento que atua no ponto e na direção do deslocamento Assim para determinar o deslocamento no ponto e na direção de uma Reflita Pesquise mais U2 Método das forças e do deslocamento 58 força P aplicada em uma estrutura empregando esse teorema temos U P i No caso de flexão de uma viga de material elástico linear a relação entre momento fletor M e giro da seção transversal q é linear e pode ser representada pelo gráfico da Figura 24 Fonte elaborada pelo autor Figura 24 Relação entre M e q para material elástico linear Um acréscimo dM1 do momento produz um acréscimo dq1 no giro da seção O trabalho produzido por M1 durante esse acréscimo é dado pela multiplicação de M1 e dq1 representado pela área hachurada no gráfico da Figura 24 O trabalho total energia de deformação armazenada na barra quando o momento cresce de 0 a M será a soma das várias áreas elementares que resulta na área do triângulo abaixo da reta do gráfico U M i 1 2 q Para um elemento infinitesimal dx da viga submetido a um giro dq temos dU M d d M dx E I i 1 2 q q Fazendo a substituição e integrando ao longo do comprimento L da viga dU M M dx E I M dx E I U M dx E I i i L 1 2 2 2 2 2 0 U2 Método das forças e do deslocamento 59 Empregando no teorema de Castigliano P M dx E I L 2 0 2 Para resolver essa equação é mais fácil diferenciar o momento em relação à P antes da integração Assim a equação fica M M P dx E I L 0 Aplicação do Teorema de Castigliano O teorema de Castigliano pode ser aplicado na determinação de deslocamentos em qualquer estrutura que tenha temperatura constante apoios sem recalques e material elástico linear Como exemplo iremos determinar o deslocamento vertical na extremidade livre da viga da Figura 23a que já foi determinado pela aplicação do PTV Para tanto devemos aplicar uma força vertical P na extremidade livre conforme a Figura 25 Primeiramente determinase a equação do momento fletor na viga em relação à coordenada x para o carregamento da Figura 25 Em seguida encontrase a derivada parcial desse momento fletor com relação à força P força que atua no ponto e na direção do deslocamento Admitindo que tração no lado de baixo da viga é positiva M P x x x M P x x 15 2 7 5 2 M P x Fonte elaborada pelo autor Figura 25 Viga com carregamento real e força P Exemplificando U2 Método das forças e do deslocamento 60 Substituindo o valor da força P por seu valor real que neste caso é P 0 uma vez que no carregamento original essa força não existe M x M P x 7 5 2 Aplicando a equação do teorema de Castigliano temos M M P dx E I x x dx L 0 2 8 4 7 5 2 10 5 10 0 8 1 10 7 5 1 10 7 5 8 4 0 0768 76 8 5 3 0 8 5 4 x dx m mm Esse é o mesmo valor de deslocamento encontrado através do PTV Agora que já sabemos como aplicar o PTV na determinação dos deslocamentos de estruturas isostáticas vamos verificar como podemos utilizálo nas estruturas hiperestáticas permitindo assim resolver o primeiro desafio proposto pelo coordenador da faculdade Em uma estrutura isostática o respeito às condições de equilíbrio equações de equilíbrio são condições únicas e suficientes para determinar as reações de apoio e os esforços na estrutura Já no caso de uma estrutura hiperestática utilizandose somente as condições de equilíbrio não temos condições de determinar as suas reações e os seus esforços Para resolver uma estrutura hiperestática devemos além das condições de equilíbrio respeitar também as condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações e as condições que regem o comportamento dos materiais utilizados leis constitutivas dos materiais O Princípio do Trabalho Virtual pode ser utilizado nas estruturas hiperestáticas justamente para verificar o atendimento das condições de compatibilidade de deslocamentos dessa estrutura Como exemplo tomemos a viga da Figura 21 a qual pelos nossos estudos da Unidade 1 já sabemos se tratar de uma viga uma vez hiperestática Sem medo de errar U2 Método das forças e do deslocamento 61 Essa viga hiperestática r pode ser desmembrada nas vigas 0 e 1 conforme a Figura 26 ambas isostáticas sendo X a reação do apoio direito da viga hiperestática Pela superposição dos efeitos ao serem somadas as vigas 0 e 1 resultam na viga hiperestática r Fonte elaborada pelo autor Figura 26 Superposição dos efeitos Sendo Dr o deslocamento vertical na extremidade direita da viga hiperestática que deve ser nulo e D0 e D1 dos deslocamentos verticais na extremidade direita das vigas isostáticas 0 e 1 respectivamente a condição de compatibilidade de deslocamentos nos diz que r 0 1 0 0 1 1 0 Assim podemos aplicar o PTV na viga isostática 0 para determinar D0 e depois aplicar o PTV novamente na estrutura 1 impondo que D1 seja igual a 0 para encontrar a reação X Esses conceitos serão utilizados nas seções seguintes para a resolução de estruturas hiperestáticas Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais em treliças Descrição da situaçãoproblema Seu chefe solicitou que você determine o deslocamento vertical que ocorre no nó C da treliça da Figura 27 que será utilizada na construção da cobertura de uma residência Os dados fornecidos pela sua equipe são a área da seção transversal de cada barra da treliça é A mm m 400 4 10 4 ² ² e o módulo de elasticidade do material empregado na treliça é E kN cm kN m 20000 2 108 ² ² Avançando na prática U2 Método das forças e do deslocamento 62 Fonte elaborada pelo autor Figura 27 Treliça da cobertura Resolução da situaçãoproblema Como se deseja determinar o deslocamento vertical no nó C da treliça devese aplicar uma força virtual de 1 kN na direção vertical do nó C Em seguida pelas três equações de equilíbrio determinam se as reações de apoio e pelo método dos nós encontramse os esforços normais que atuam em cada barra conforme a Figura 28a De maneira semelhante as reações e os esforços nas barras da treliça são determinados para a treliça com o seu carregamento real conforme a Figura 28b Fonte elaborada pelo autor Figura 28 a Esforços normais N provocados pela força virtual b Esforços normais N provocados pelo carregamento real Como tratase de uma treliça consideraremos apenas a parcela referente aos esforços normais na equação do PTV 1 C LN N dx E A Como N e N são constantes ao longo do comprimento de cada barra a integral resulta na seguinte expressão para cada barra de comprimento L U2 Método das forças e do deslocamento 63 N N dx E A N N E A dx N N L E A L L 0 Portanto o trabalho virtual interno da treliça toda será o somatório do trabalho interno de cada barra Assim substituindo os valores de N e N de cada barra temos C AC AC AC BC BC BC AB AB AB N N L E A E A N N L N N L N N L 1 C 1 2 10 4 10 0 83 3 75 5 0 83 3 75 5 0 67 3 8 8 4 2 01 10 0 201 4 m mm Como o deslocamento calculado é positivo isso indica que ele tem o mesmo sentido da força unitária ou seja para baixo 1 Um novo equipamento que será colocado em operação em uma fábrica está localizado próximo de uma barra da estrutura da fábrica Este equipamento gera uma grande quantidade de calor ao ser ligado e devido ao funcionamento foi identificado que as fibras externa e interna da barra da estrutura apresentaram variações de temperatura de 10 C e 18 C respectivamente Você deve identificar se essa variação de temperatura provocou uma deformação do tipo expansão térmica uma deformação do tipo dilatação térmica ou ambos os casos Além disso também é preciso identificar se no caso de uma expansão térmica ela provoca tração na fibra externa ou interna e no caso de uma dilatação térmica se ela provoca tração ou compressão do eixo da barra Assinale a alternativa correta que corresponde às deformaçãoões ocorridas a Apenas dilatação térmica com tração do eixo b Expansão térmica com tração na fibra interna e dilatação térmica com tração do eixo c Apenas dilatação térmica com compressão do eixo Faça valer a pena U2 Método das forças e do deslocamento 64 d Apenas expansão térmica com tração na fibra interna e Expansão térmica com tração na fibra externa e dilatação térmica com tração do eixo 2 O pórtico da figura a seguir foi construído em um terreno que apresenta grandes deformações ao ser submetido a cargas Ao final da construção antes da aplicação do carregamento real foi identificado que o apoio A sofreu os recalques indicados Determine o deslocamento horizontal que ocorre no ponto C do pórtico devido aos recalques do apoio A indicando o seu sentido e assinale a alternativa correta a 26 cm para a direita b 2 cm para a esquerda c 26 cm para a esquerda d 2 cm para a direita e Zero 3 A viga em balanço apresentada na figura a seguir possui momento de inércia em relação ao eixo de flexão I m 5 10 4 4 e material com módulo de elasticidade E kN m 2 108 ² Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura Pórtico com recalque de apoio Figura Pórtico com recalque de apoio U2 Método das forças e do deslocamento 65 Determine o giro que ocorre na extremidade livre esquerda da viga indicando se é um giro horário ou antihorário e assinale a alternativa correta a 00768 rad giro horário b 00128 rad giro antihorário c 00768 rad giro antihorário d Zero e 00128 rad giro horário U2 Método das forças e do deslocamento 66 Método das forças Bemvindo à segunda seção da Unidade 2 da disciplina de Estruturas hiperestáticas Após estudarmos o Princípio do Trabalho Virtual e entendermos a sua aplicação na determinação dos deslocamentos de estruturas isostáticas iremos agora empregálo na resolução das estruturas hiperestáticas Um dos métodos que pode ser utilizado para resolver estruturas desse tipo é o método das forças que usa o Princípio do Trabalho Virtual A compreensão desse método de análise de estruturas hiperestáticas será fundamental para que você consiga resolver o seu segundo desafio proposto pelo seu coordenador na busca por uma vaga como professor da disciplina de Estruturas hiperestáticas Lembrese de que nesse desafio você deve determinar o diagrama de momentos fletores da viga da Figura 29 Fonte elaborada pelo autor Figura 29 Viga hiperestática Portanto para vencer mais uma barreira na busca pela sua vaga vamos aprender como funciona o método das forças Seção 22 Diálogo aberto U2 Método das forças e do deslocamento 67 Definição do método das forças O método das forças é um procedimento empregado para analisar estruturas hiperestáticas permitindo encontrar as suas reações de apoio e traçar os seus diagramas de esforços solicitantes Os métodos de resolução de estruturas hiperestáticas devem sempre respeitar as seguintes condições Condições de equilíbrio Condições de compatibilidade Condições que regem o comportamento dos materiais empregados leis constitutivas dos materiais As condições de equilíbrio são satisfeitas quando a estrutura se mantém em repouso ou seja quando as reações de apoio e as forças atuantes na estrutura estão em equilíbrio Para respeitar essas condições no método das forças iremos aplicar as equações de equilíbrio estático já conhecidas e empregadas na resolução das estruturas isostáticas O comportamento do material é a resposta que ele apresenta quando submetido aos esforços que ocorrem na estrutura Para que o método das forças respeite o comportamento dos materiais empregados iremos considerar que os materiais possuem comportamento elástico linear e que as deformações estejam dentro do limite da região elástica Já uma estrutura que respeita as condições de compatibilidade é aquela que não apresenta rompimentos de seus vários segmentos e cuja forma defletida seja coerente com as restrições de deslocamentos impostas pelas vinculações de apoio Para respeitar essas condições no método das forças iremos escrever uma ou mais equações de compatibilidade que garantam o não rompimento da estrutura ou que garantam que as deflexões da estrutura respeitem as condições de vinculação O conceito básico do método das forças consiste em substituir a estrutura hiperestática por uma estrutura isostática fundamental obtida pela remoção de certas restrições como a remoção de reações de apoio Como essa estrutura fundamental é isostática a sua análise pode ser feita facilmente pelos métodos já conhecidos de análise de estruturas isostáticas Não pode faltar U2 Método das forças e do deslocamento 68 Para exemplificar consideremos a viga apresentada na Figura 210a Conforme já estudado na Unidade 1 essa viga é uma vez hiperestática já que possui quatro reações de apoio força vertical e força horizontal no apoio fixo em A força vertical no apoio móvel em B e força vertical no apoio móvel em C e apenas três equações de equilíbrio Dessa forma para resolver essa estrutura precisamos definir mais uma equação resultando em um sistema de quatro equações e quatro incógnitas ou seja um sistema com uma única solução Fonte elaborada pelo autor Figura 210 a Viga uma vez hiperestática b Estrutura isostática fundamental Para encontrar essa equação adicional iremos substituir a estrutura hiperestática por uma estrutura isostática fundamental equivalente através da retirada de uma das vinculações de apoio e da aplicação da reação de apoio correspondente ao vínculo retirado conforme a Figura 210b Para que essa estrutura fundamental seja realmente equivalente à estrutura hiperestática além de aplicar uma força vertical em B correspondente à reação de apoio também devemos respeitar a condição de compatibilidade imposta por esse apoio móvel em B ou seja a condição de que o deslocamento vertical no ponto B deve ser nulo Esse requisito geométrico nos permite escrever uma equação de compatibilidade adicional que irá se juntar às três equações de equilíbrio permitindo encontrar as quatro reações de apoio e resolver a estrutura hiperestática Equações de equilíbrio Equação de compatibilidade Fx B 0 0 Fy 0 M 0 U2 Método das forças e do deslocamento 69 Fonte elaborada pelo autor Figura 211 Superposição Em muitas estruturas hiperestáticas a escolha de qual vínculo iremos retirar para definir a estrutura isostática fundamental é arbitrária No caso da viga da Figura 210a alternativamente poderíamos retirar o vínculo correspondente à reação vertical no ponto C Neste caso a equação de compatibilidade que deve ser respeitada é a de que o deslocamento vertical no ponto C deve ser nulo Entretanto não poderíamos retirar o vínculo horizontal no ponto A porque transformaríamos a estrutura em hipostática Independentemente de qual vínculo escolhemos para retirar a resposta encontrada deve ser a mesma Método das forças vigas Já vimos que para aplicar o método das forças devemos montar uma ou mais equações de compatibilidade Como iremos utilizar essas equações para resolver os problemas de estruturas hiperestáticas A resposta desse questionamento passa pelo princípio da superposição que é válido para materiais de comportamento elástico linear Para solucionar o problema iremos desmembrar a estrutura isostática fundamental em duas ou mais estruturas isostáticas que ao serem somadas resultam na estrutura isostática fundamental Para esclarecer esse procedimento iremos considerar a viga já apresentada na Figura 210a uma vez hiperestática A sua estrutura isostática fundamental apresentada na Figura 210b pode ser desmembrada nos casos 0 e 1 conforme a Figura 211 que ao serem somados resultam na estrutura isostática fundamental Como o deslocamento vertical em B deve ser nulo a equação de compatibilidade fica B y B B e d d 10 11 0 Reflita U2 Método das forças e do deslocamento 70 0 10 11 10 11 d d d d B B y y Conhecidos os deslocamentos no ponto B para os casos 0 e 1 podemos determinar a reação de apoio vertical em B da estrutura real viga hiperestática que é uma das quatro incógnitas do nosso problema Para encontrar as outras três incógnitas que são as reações de apoio horizontal e vertical em A e a reação de apoio vertical em C basta aplicar as três equações de equilíbrio estático A determinação dos valores dos deslocamentos no ponto B das estruturas isostáticas dos casos 0 e 1 pode ser feita aplicando os conceitos estudados na primeira seção desta unidade o Princípio dos Trabalhos Virtuais O deslocamento d10 é encontrado através do PTV com a aplicação de uma força virtual unitária na direção vertical em B na estrutura do caso 0 Já o deslocamento d11 é encontrado através do PTV com a aplicação de uma força virtual unitária na direção vertical em B na estrutura do caso 1 Determinar as reações de apoio para a viga da Figura 212 que possui E I constante Essa viga é uma vez hiperestática Para montar a sua estrutura isostática fundamental podemos retirar a vinculação correspondente ao deslocamento vertical no apoio B obtendo assim os casos 0 e 1 da Figura 213 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 212 Viga com carregamento uniformemente distribuído Figura 213 Casos 0 e 1 Exemplificando U2 Método das forças e do deslocamento 71 Fonte elaborada pelo autor Figura 214 a Carregamento real e força virtual do caso 0 b Carregamento real e força virtual do caso 1 Desta forma temos a seguinte equação de compatibilidade 0 10 11 10 11 d d d d B B y y A determinação dos deslocamentos será feita aplicando o PTV duas vezes considerando os carregamentos reais dos casos 0 e 1 apresentados na Figura 213 e admitindo que o momento que traciona a fibra de baixo da viga é positivo A Figura 214a representa o PTV do caso 0 com o carregamento real e a força unitária virtual aplicada em B na direção do deslocamento d10 vertical a Determinação de d10 M x x x M x 5 2 2 5 2 1 2 5 2 5 10 0 2 0 10 3 0 10 d M M dx E I x x dx E I E I x dx L 2 5 10 4 4 E I d10 6250 E I para baixo m b Determinação de d11 Já a Figura 214b representa o PTV do caso 1 com o carregamento real deste caso e a força unitária virtual aplicada em B na direção do deslocamento d11 vertical M M x 10 10 2 11 0 0 0 1 1 L M dx x dx M x x dx E I E I E I δ U2 Método das forças e do deslocamento 72 d11 3 10 3 E I para cima m kN Assim determinamos as quatro reações de apoio adotando giro anti horário positivo B E I E I E I E I kN par y d d 10 11 3 3 6250 10 3 6250 3 10 18 75 a cima F Ax x 0 0 M M M kN m anti horário A A A 0 5 10 10 2 18 75 10 0 62 5 F A A kN para cima y y y 0 5 10 18 75 0 3125 Método das forças pórticos O método das forças também pode ser empregado para resolver pórticos hiperestáticos como o apresentado na Figura 215a Note que por se tratar de um pórtico duas vezes hiperestático foram retiradas duas vinculações momento em A e reação horizontal em B para encontrar a sua estrutura isostática fundamental representada na Figura 215b Essas duas vinculações retiradas são duas incógnitas do nosso problema e são denominadas de hiperestáticos Utilizaremos a nomenclatura Xi para indicar os hiperestáticos X 1 MA e X 2 Bx Fonte elaborada pelo autor Figura 215 a Pórtico hiperestático b Estrutura isostática fundamental Como foram retiradas duas vinculações a estrutura isostática fundamental será obtida pela superposição de três casos básicos U2 Método das forças e do deslocamento 73 Fonte elaborada pelo autor Figura 216 Casos 0 1 e 2 caso 0 correspondente ao carregamento original caso 1 correspondente ao momento unitário aplicado no ponto do hiperestático X1 caso 2 correspondente à força unitária aplicada no ponto do hiperestático X2 Esses três casos são apresentados na Figura 216 O número de casos básicos sempre será igual ao grau de hiperestaticidade mais um Assim teremos duas equações de compatibilidade resultando em um sistema de duas equações e duas incógnitas X1 e X2 θ δ δ δ A X X 0 0 10 11 1 12 2 B h X X 0 0 20 21 1 22 2 d d d A rotação d10 e o deslocamento d20 são denominados termos de carga Podemos definir um termo de carga como di 0 deslocamento ou rotação na direção do vínculo associado ao hiperestático Xi para o carregamento do caso 0 que corresponde ao carregamento original Já as rotações d11 e d12 e os deslocamentos d21 e d22 são denominados coeficientes de flexibilidade e são definidos como dij deslocamento ou rotação na direção do vínculo associado ao hiperestático Xi para o carregamento do caso j Para determinar cada um dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade devemos aplicar o PTV uma vez o que neste caso resulta em aplicar o PTV seis vezes d10 aplicar um momento unitário na direção de X1 para o carregamento do caso 0 d20 aplicar uma força unitária na direção de X2 para o carregamento do caso 0 U2 Método das forças e do deslocamento 74 d11 aplicar um momento unitário na direção de X1 para o carregamento do caso 1 d12 aplicar um momento unitário na direção de X1 para o carregamento do caso 2 d21 aplicar uma força unitária na direção de X2 para o carregamento do caso 1 d22 aplicar uma força unitária na direção de X2 para o carregamento do caso 2 Determinados os termos de carga e os coeficientes de flexibilidade basta resolver o sistema de duas equações e duas incógnitas para determinar os hiperestáticos X1 e X2 que no caso do pórtico da Figura 215 correspondem às reações de apoio MA e Bx respectivamente As outras três reações de apoio Ax Ay e By são encontradas através das equações de equilíbrio A resolução de estruturas hiperestáticas pelo método das forças consiste nos seguintes passos Retirar o número de vinculações correspondente ao grau de hiperestaticidade da estrutura definindo os hiperestáticos Xi Montar os casos básicos A quantidade de casos básicos é igual ao grau de hiperestaticidade mais um Escrever as equações de compatibilidade Aplicar o PTV quantas vezes forem necessárias para determinar os termos de carga di 0 e os coeficientes de flexibilidade dij Encontrar os hiperestáticos Xi através das equações de compatibilidade Encontrar as demais reações de apoio através das equações de equilíbrio Como proceder quando uma estrutura hiperestática está submetida a variações de temperatura defeitos de fabricação ou recalques de apoio A resposta é simples essas situações devem ser consideradas no caso 0 junto ao carregamento original da estrutura Assim elas serão consideradas apenas na determinação dos termos de carga di 0 Assimile U2 Método das forças e do deslocamento 75 O Teorema de Maxwell Lei de Betti garante que dij dji Isso reduz a quantidade de cálculo que precisamos fazer no método das forças No caso do pórtico anterior temos d d 12 21 Aprofunde seus conhecimentos no Capítulo 10 do livro Fundamentos da análise estrutural disponível na biblioteca virtual LEET Kenneth M UANG ChiaMing GILBERT Anne M Fundamentos da análise estrutural 3 ed São Paulo McGrawHill 2009 Método das forças diagramas Uma vez determinadas as reações de apoio de uma estrutura hiperestática é possível traçar os diagramas de esforços solicitantes da mesma forma como é feito para uma estrutura isostática Tomando como exemplo a viga da Figura 212 após a determinação de suas reações de apoio basta traçar os diagramas de cortante e momento fletor conforme a Figura 217 O diagrama de esforço normal não foi traçado visto que não existe nenhuma força horizontal atuando na viga ou seja esse diagrama é nulo a m 18 75 5 3 75 M kN m tração em baixo C 18 75 3 75 5 3 75 2 35 16 2 Fonte elaborada pelo autor Figura 217 Diagramas de esforço cortante e momento fletor Pesquise mais Exemplificando U2 Método das forças e do deslocamento 76 Agora que você conhece o método das forças já tem todas as condições necessárias para continuar a sua busca pela vaga de professor da disciplina de Estruturas hiperestáticas O seu segundo desafio consiste em obter o diagrama de momentos fletores para a viga da Figura 29 Como tratase de uma viga duas vezes hiperestáticas devemos retirar dois vínculos para obter a estrutura isostática fundamental conforme a Figura 218 A Figura 219 representa os casos 0 1 e 2 com suas respectivas reações de apoio Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 218 Estrutura isostática fundamental Figura 219 Casos 0 1 e 2 As duas equações de compatibilidad e o sistema de duas equações e duas incógnitas são B v X X 0 0 10 11 1 12 2 d d d Sem medo de errar U2 Método das forças e do deslocamento 77 C v X X 0 0 20 21 1 22 2 d d d Determinamse então as equações de momento fletor para cada um dos casos da Figura 219 adotando a convenção de momento anti horário positivo Para o caso 0 para 0 x 17 M x x x x 0 2 2 25 5 3 2 15 25 5 Para o caso 1 para 0 x 5 M x 1 0 71 para 5 x 17 M x x x 1 0 71 1 5 5 0 29 Para o caso 2 para 0 x 13 M x 2 0 24 para 13 x 17 M x x x 2 0 24 1 13 13 0 76 Aplicando o PTV para determinar os termos de carga e coeficientes de flexibilidade d10 1 0 0 2 0 5 0 71 15 25 5 5 0 29 M M dx E I x x x dx E I L C x x x dx E IC 15 25 5 2 2 5 13 5 0 29 15 25 5 1695 21 2 13 17 x x x dx E I E I m C C d20 2 0 0 2 0 5 0 24 15 25 5 0 24 M M dx E I x x x dx E I x L C 15 25 5 2 2 5 13 x x dx E IC 13 0 76 15 25 5 1409 31 2 13 17 x x x dx E I E I m C C d11 1 1 0 0 5 0 71 0 71 5 0 29 5 0 M M dx E I x x dx E I x L C 29 2 5 13 x dx E IC 5 0 29 5 0 29 47 79 13 17 x x dx E I E I m tf C C d12 1 2 0 0 5 0 24 0 71 0 24 5 0 29 M M dx E I x x dx E I x x L C dx E IC 2 5 13 13 0 76 5 0 29 3161 13 17 x x dx E I E I m tf C C U2 Método das forças e do deslocamento 78 d d 21 2 1 0 1 2 0 12 3161 M M dx E I M M dx E I E I m tf L L C d22 2 2 0 0 5 0 24 0 24 0 24 0 24 M M dx E I x x dx E I x x d L C x E IC 2 5 13 13 0 76 13 0 76 35 61 13 17 x x dx E I E I m tf C C Resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas o termo E Ic é cancelado e encontramse os valores dos dois hiperestáticos Posteriormente através das equações de equilíbrio determinamse as três reações de apoio restantes O último passo consiste em traçar os diagramas dos esforços solicitantes conforme a Figura 220 X B tf X C tf y y 1 2 22 51 19 59 F A x x 0 0 M D D tf A y y 0 3 17 2 22 51 5 19 59 13 17 0 3 90 2 F A A tf y y y 0 3 17 22 51 19 69 3 9 0 5 Fonte elaborada pelo autor Figura 220 Diagramas de esforço cortante e momento fletor Uso da tabela da integral do produto de duas funções Descrição da situaçãoproblema Quando a aplicação do PTV envolve muitas integrações podemos empregar um procedimento com o uso de uma tabela que apresenta o resultado da integral do produto de duas funções Esse procedimento Avançando na prática U2 Método das forças e do deslocamento 79 Fonte elaborada pelo autor Figura 222 Diagrama de momento fletor do caso 1 kNm facilita a resolução de estruturas hiperestáticas pelo método das forças Para exemplificar vamos utilizar a tabela da Figura 221 para determinar o deslocamento d11 da viga da Figura 212 que já foi determinado utilizando integrais Resolução da situaçãoproblema Fonte adaptado de Martha 2010 Figura 221 Integral do produto de duas funções M M dx L 0 Para encontrar o deslocamento d11 basta determinar os diagramas de momentos fletores da viga para o caso 1 apresentado na Figura 222 O uso da tabela consiste em combinar o diagrama do carregamento real com o diagrama do carregamento virtual Como no caso da determinação de d11 o carregamento real é igual ao carregamento virtual conforme a Figura 214b temos M M e basta combinar o diagrama triangular da Figura 222 com outro diagrama triangular igual na tabela M M B B 10 e L 10 Assim temos U2 Método das forças e do deslocamento 80 1 1 1 1 3 10 10 10 10 11 0 0 11 d d M M dx E I E I M M dx E I L L 3 3 E I para cima m kN 1 Uma viga com seis metros de comprimento e E I kN m 105 2 possui os diagramas de momentos fletores apresentados na figura a seguir para os casos 0 e 1 Determine o valor do termo de carga d10 desta viga com o uso da Figura 221 e assinale a alternativa correta a 000324 m b 000648 m c 001944 m d 000324 m e 001944 m 2 A viga da figura a seguir possui E I kN m 105 2 e seu apoio A apresentou um recalque de apoio vertical de 15 mm 15102 m Determine a reação de apoio vertical em B u2s2Eqn116eps e assinale a alternativa correta a 28125 kN para cima b 1875 kN para cima Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura Diagramas de momentos fletores dos caso 0 e 1 Figura Viga com recalque de apoio Faça valer a pena U2 Método das forças e do deslocamento 81 Fonte elaborada pelo autor Figura Pórtico hiperestático e casos 0 e 1 c 28125 kN para baixo d 1875 kN para baixo e 2327 kN para cima 3 Considere o pórtico uma vez hiperestático e seus casos 0 e 1 obtidos pela retirada da vinculação correspondente à reação vertical em B conforme a figura a seguir Todas as barras possuem E I kN m 105 2 Determine o valor do termo de carga d10 deste pórtico e assinale a alternativa correta a 5 m b 0 c 005 m d 01 m e 04 m U2 Método das forças e do deslocamento 82 Método dos deslocamentos Caro aluno seja bemvindo à terceira e última seção da Unidade 2 Na seção anterior estudamos um método de resolução de estruturas hiperestáticas o método das forças porém este não é o único método que podemos utilizar para resolver esse tipo de estrutura Outro método muito utilizado é o método dos deslocamentos que estudaremos nesta seção O método das forças funciona muito bem quando desejamos resolver estruturas hiperestáticas com grau de hiperestaticidade pequeno Quando estamos trabalhando com estruturas com grau de hiperestaticidade maior esse método fica muito trabalhoso São nessas situações que o método dos deslocamentos passa a ser mais vantajoso principalmente quando desejamos implementar esse método em um programa de computador para resolver a estrutura mais rapidamente Essa vantagem se dá pelo fato de o método dos deslocamentos trabalhar com soluções fundamentais já conhecidas como iremos ver nesta seção facilitando a programação computacional desse método Por esse motivo o método dos deslocamentos é a base de muitos programas computacionais que realizam a análise de diversos tipos de estruturas Sabendo aplicar esse método você será capaz de cumprir o seu último desafio em busca da sua vaga de professor da disciplina de Estruturas hiperestáticas Para tanto você deverá determinar o diagrama de momentos fletores da viga da Figura 223 sabendo que E I 104 kN m ² Seção 23 Diálogo aberto U2 Método das forças e do deslocamento 83 Não deixe esta vaga escapar Então mãos à obra Fonte elaborada pelo autor Figura 223 Viga hiperestática Definição do método dos deslocamentos Tanto o método das forças quanto o método dos deslocamentos respeitam as condições de equilíbrio as condições de compatibilidade e as que regem o comportamento dos materiais leis constitutivas dos materiais Porém no caso geral enquanto que no método das forças temos as forças hiperestáticas como incógnitas que são determinadas pela resolução de um sistema de equações de compatibilidade no método dos deslocamentos temos os deslocamentos como incógnitas que são determinados pela resolução de um sistema de equações de equilíbrio Dessa maneira podemos dizer que o método dos deslocamentos é um método dual do método das forças No método dos deslocamentos também utilizaremos a superposição de casos básicos que ao serem somados resultam na estrutura original No método das forças é feita a superposição de uma série de casos básicos que satisfazem as condições de equilíbrio e as condições de compatibilidade são respeitadas escrevendose uma série de equações de compatibilidade Já no método dos deslocamentos é feita a superposição de uma série de casos básicos que respeitam as condições de compatibilidade e as condições de equilíbrio são respeitadas escrevendose uma série de equações de equilíbrio Não pode faltar U2 Método das forças e do deslocamento 84 Método das forças as incógnitas são forças cujos deslocamentos associados recuperam as condições de compatibilidade Método dos deslocamentos as incógnitas são deslocamentos cujas forças associadas recuperam as condições de equilíbrio A primeira etapa do método dos deslocamentos consiste em identificar quais são os deslocamentos desconhecidos em cada nó da estrutura No caso da Figura 224a como os nós A e C são engastes rotação e deslocamentos vertical e horizontal impedidos os únicos deslocamentos desconhecidos são os deslocamentos vertical horizontal e a rotação no nó B Esses deslocamentos desconhecidos que chamaremos de deslocabilidades são incógnitas do nosso problema e estão desenhados na Figura 224b segundo a convenção de sinais positiva indicada Essa será a convenção de sinais que adotaremos em todo o método dos deslocamentos Fonte elaborada pelo autor Figura 224 a Pórtico hiperestático b Deslocabilidades c Sistema hipergeométrico A seguir devemos fazer a superposição de casos básicos em que cada um desses casos são soluções cinematicamente determinadas ou seja são configurações deformadas conhecidas Assim cada um dos casos básicos isola o efeito que o carregamento e que cada uma das deslocabilidades provoca na estrutura O ponto de partida para a determinação dos casos básicos é a definição do sistema hipergeométrico representado na Figura 224c que nada mais é do que a estrutura original com todos os deslocamentos nodais impedidos através da adição de apoios fictícios A superposição dos casos básicos Reflita U2 Método das forças e do deslocamento 85 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 225 Superposição dos casos básicos Figura 226 a Reações nos apoios fictícios para o caso 0 b Forças nos apoios fictícios para o caso 1 está representada na Figura 225 na qual é possível notar que a soma da configuração deformada de cada caso resulta na configuração deformada da estrutura original É possível notar que o caso 0 isola o efeito do carregamento em cada barra da estrutura considerando a atuação desse carregamento no sistema hipergeométrico Já os casos 1 2 e 3 isolam o efeito de cada uma das deslocabilidades liberando apenas um dos deslocamentos desconhecidos e mantendo todos os demais impedidos A seguir devese resolver cada um dos casos básicos A resolução do caso 0 consiste em determinar as reações nos apoios fictícios bi0 provocadas pelos carregamentos representadas na Figura 226a A resolução dos demais casos consiste em determinar as forças ou os momentos que devem ser aplicados nos apoios fictícios Kij para manter a configuração deformada quando se aplica um deslocamento unitário na direção e no sentido da deslocabilidade liberada Como estamos trabalhando com materiais elásticolineares podemos multiplicar cada valor de Kij pela deslocabilidade correspondente ao caso analisado e assim encontrar essas forças ou momentos nos apoios fictícios quando essa deslocabilidade é aplicada de maneira análoga ao procedimento adotado no método das forças Na Figura 226b estão representadas as forças Kij do caso 1 U2 Método das forças e do deslocamento 86 A seguir devese restabelecer as condições de equilíbrio Como o nó que possui as deslocabilidades deve estar em equilíbrio a resultante de forças e de momentos nesse nó deve ser nula Assim resolvendo o sistema de três equações e três incógnitas a seguir determinamse os valores das deslocabilidades D1 D2 e D3 F K D K D K D x 0 0 10 11 1 12 2 13 3 b M K D K D K D 0 0 30 31 1 32 2 33 3 b M K D K D K D 0 0 30 31 1 32 2 33 3 b Método dos deslocamentos vigas Agora que já sabemos quais são as etapas do método dos deslocamentos vamos analisar com mais detalhes o seu emprego no caso de vigas hiperestáticas Porém para a utilização desse método temos que determinar os valores das reações de apoio fictícias bi0 e Kij para diversas situações As reações nos apoios fictícios do caso 0 são chamadas de termos de carga bi0 e são definidas como bi0 reação de apoio fictícia associada à deslocabilidade Di quando o carregamento original atua isoladamente no sistema hipergeométrico Essas reações de apoio de cada barra podem ser calculadas utilizandose por exemplo o método das forças supondo que o carregamento atua em uma barra engastada em ambas as extremidades ou seja essas são as reações de apoio das situações de engastamento perfeito e seus valores são tabelados para cada tipo de carregamento ou seja são soluções já conhecidas A Figura 227 apresenta esses valores para alguns tipos de carregamentos Figura 227 Reações de engastamento perfeito para algumas situações de carregamentos U2 Método das forças e do deslocamento 87 Fonte adaptada de Martha 2010 p 292293 Fonte adaptada de Martha 2010 p 276278 Figura 228 Coeficientes de rigidez locais para algumas situações de deslocamentos Já as forças ou momentos que aparecem nos apoios fictícios dos demais casos são chamadas de coeficientes de rigidez globais Kij e são definidas como Kij força ou momento na direção da deslocabilidade Di que surge quando apenas um deslocamento Dj 1 é aplicado Os valores dos coeficientes de rigidez globais são obtidos somandose os coeficientes de rigidez locais das barras adjacentes a um mesmo nó A unidade do coeficiente de rigidez é dada pela unidade da força ou momento dividida pela unidade da deslocabilidade unitária aplicada Novamente os valores dos coeficientes de rigidez locais são soluções já conhecidas e seus valores são tabelados para cada tipo de deslocamento conforme apresentado na Figura 228 para algumas situações U2 Método das forças e do deslocamento 88 Determinar a rotação do apoio B da viga da Figura 229a que possui E I 105 kN m ² Como o único deslocamento nodal desconhecido é a rotação do apoio B temos apenas uma deslocabilidade D1 conforme a Figura 229b Assim teremos apenas os casos 0 e 1 representados na Figura 230 Pela Figura 227 podemos determinar o valor de b10 que é a reação de momento no apoio direito MBA 0 de uma viga biengastada submetida a uma carga concentrada no meio do vão além do valor da reação e momento no apoio esquerdo MAB 0 M P L kN m AB 0 8 3 12 8 4 5 M P L kN m BA 0 10 8 4 5 b Pela Figura 228 encontramos o valor de K11 que é o momento no apoio direito MBA 1 de uma viga engastada no lado oposto submetida a uma rotação unitária e também encontramos o momento no apoio esquerdo MAB 1 M E l L kN m rad AB 1 5 4 2 2 10 12 167 10 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 229 a Viga b Deslocabilidade Figura 230 Casos 0 e 1 Exemplificando U2 Método das forças e do deslocamento 89 M E l L kN m rad K BA 1 5 4 11 4 4 10 12 3 33 10 Montando a equação de equilíbrio de momentos do nó B e resolvendo para D1 b10 11 1 4 1 1 4 0 4 5 3 33 10 0 135 10 K D D D rad Como D1 é positivo isso significa que o giro tem o mesmo sentido do giro unitário aplicado em B no caso 1 ou seja o giro D1 é antihorário Método dos deslocamentos pórticos Em boa parte dos problemas envolvendo vigas no método dos deslocamentos as únicas deslocabilidades são as rotações em alguns apoios da viga Dessa forma todos os termos de carga e coeficientes de rigidez são reações fictícias de momento Já no caso de pórticos é muito comum termos também deslocabilidades correspondentes a deslocamentos horizontais e verticais Assim os termos de carga e os coeficientes de rigidez podem ser reações fictícias de momento força axial à barra ou força transversal à barra Os termos de carga e coeficientes de rigidez correspondentes a forças axiais e transversais também estão apresentados nas Figuras 226 e 227 portanto o processo de resolução de pórticos hiperestáticos pelo método dos deslocamentos é exatamente o mesmo apresentado para o caso de vigas Para exemplificar são determinados a seguir os coeficientes de rigidez do caso 1 do pórtico da Figura 224a Pela Figura 231 notase que ao aplicar um deslocamento unitário horizontal no nó B a barra AB vertical apresenta um deslocamento transversal unitário surgindo forças transversais e momentos nas suas extremidades para manter a configuração deformada da barra mas sem o surgimento de nenhuma força axial Já no caso da barra BC horizontal o deslocamento horizontal unitário em B provoca um deslocamento axial dessa barra surgindo forças axiais em suas extremidades mas sem o surgimento de forças transversais e momentos Exemplificando U2 Método das forças e do deslocamento 90 Esses momentos e forças que surgem nas extremidades das barras são os coeficientes de rigidez locais e são obtidos através da Figura 228 utilizando o caso de um deslocamento transversal unitário para a barra AB e o caso de um deslocamento axial unitário para a barra BC Para encontrar os coeficientes de rigidez globais do nó B basta somar os coeficientes de rigidez locais de mesma direção que ocorrem no nó B nas extremidades das duas barras K E A E I K K E I 11 3 21 31 2 6 12 4 0 0 0 6 4 Para encontrar os temos de carga e os coeficientes de rigidez dos demais casos devese proceder de maneira análoga Fonte elaborada pelo autor Figura 231 Coeficientes de rigidez do caso 1 O livro Análise de estruturas de Luiz Fernando Martha que consta nas referências desta seção demonstra os procedimentos de cálculo para definir os valores dos termos de carga e dos coeficientes de rigidez apresentados nas Figuras 226 e 227 além de outras situações de carregamentos e deslocamentos Consulte esse material para aprofundar os seus conhecimentos a respeito do método dos deslocamentos Método dos deslocamentos diagramas Uma vez determinados os deslocamentos nodais deslocabilidades é possível encontrar os momentos nas extremidades de cada barra da estrutura original utilizandose a superposição M M M D M D M D n n 0 1 1 2 2 Pesquise mais U2 Método das forças e do deslocamento 91 Em que M momento na extremidade de uma barra para a estrutura original M0 M1 M2 Mn momentos na extremidade de uma barra para os casos básicos D1 D2 Dn deslocabilidades já encontradas Com os momentos nas extremidades de todas as barras da estrutura original é possível traçar o diagrama de momentos fletores Essa mesma superposição também é válida para traçar os diagramas de esforço normal e esforço cortante Para traçar o diagrama de momentos fletores da viga da Figura 229a basta fazer a superposição dos momentos nas extremidades da viga para os casos 0 e 1 M M M D kN m AB AB AB 0 1 1 4 4 4 5 167 10 135 10 6 75 M M M D kN m BA BA BA 0 1 1 4 4 4 5 3 33 10 135 10 0 As reações de apoio verticais em A e B são determinadas pelo equilíbrio das forças verticais e dos momentos fletores nas extremidades da viga conforme a Figura 232a Assim é possível traçar o diagrama de momentos fletores da Figura 232b M B B kN A y y 0 6 75 3 6 12 0 0 94 F A A kN y y y 0 3 0 94 0 2 06 Fonte elaborada pelo autor Figura 232 a Equilíbrio da viga b Diagrama de momentos fletores kNm Exemplificando U2 Método das forças e do deslocamento 92 Os passos para a utilização do método dos deslocamentos são Determinar as deslocabilidades de cada nó no sentido positivo Definir o sistema hipergeométrico resolver o caso 0 e encontrar cada bi0 Resolver os demais casos básicos aplicando deslocamentos unitários isolados para encontrar cada Kij Montar o sistema de equações de equilíbrio resolver e determinar cada Di Determinar os esforços na extremidades das barras e traçar os diagramas Com os conhecimentos adquiridos nesta seção você já tem condições de resolver o último desafio proposto pelo seu coordenador Na busca pela tão sonhada vaga de professor deve demonstrar o seu domínio do conteúdo da disciplina de Estruturas hiperestáticas obtendo o diagrama de momentos fletores da viga da Figura 223 utilizando o método dos deslocamentos Essa viga possui duas deslocabilidades Assim são necessários três casos básicos 0 1 e 2 para resolver o problema As deslocabilidades e os casos básicos são apresentados na Figura 233 com a representação dos termos de carga e dos coeficientes de rigidez no sentido positivo Figura 233 Deslocabilidades e três casos básicos Assimile Sem medo de errar U2 Método das forças e do deslocamento 93 Fonte elaborada pelo autor Para encontrar os termos de carga b10 e b20 devemos determinar os momentos de engastamento perfeito nas extremidades das barras AB BC e CD para o caso 0 utilizando o caso de carregamento uniformemente distribuído da Figura 227 M q L kN m M q L kN m AB BA 0 2 2 0 2 12 6 2 12 2 12 2 M q L kN m M q L kN m BC CB 0 2 2 0 2 12 6 4 12 8 12 8 M q L kN m M q L kN m CD DC 0 2 2 0 2 12 6 3 12 4 5 12 4 5 O termo de carga b10 é a soma dos momentos de engastamento perfeito na extremidade B da barra AB e na extremidade B da barra BC Já b20 é a soma dos momentos de engastamento perfeito na extremidade C da barra BC e na extremidade C da barra CD b b 10 0 0 20 0 0 2 8 6 8 4 5 3 5 M M kN m M M kN m BA BC CB CD Para os casos 1 e 2 devemos usar a situação de giro unitário da Figura 228 para encontrar os momentos nas extremidades das barras AB BC e CD De maneira análoga à determinação dos termos de carga K11 K21 K12 e K22 são obtidos pela soma dos momentos nas extremidades das barras adjacentes ao nó em que o coeficiente de rigidez está atuando Lembrando que neste caso E I 104 kN m ² Para o caso 1 M E I L kN m rad M E I L kN m AB BA 1 4 4 1 4 4 2 2 10 2 10 4 4 10 2 2 10 rad M E I L kN m rad M E I L kN BC CB 1 4 4 1 4 4 4 4 10 4 10 2 2 10 4 0 5 10 m rad M kN m rad M kN m rad CD DC 1 1 0 0 U2 Método das forças e do deslocamento 94 M kN m rad M kN m rad CD DC 1 1 0 0 K M M kN m rad K M M kN m rad BA BC CB CD 11 1 1 4 21 1 1 4 3 10 0 5 10 Para o caso 2 M kN m rad M kN m rad AB BA 2 2 0 0 M E I L kN m rad M E I L kN BC CB 2 4 4 2 4 4 2 2 10 4 0 5 10 4 4 10 4 10 m rad M E I L kN m rad M E I L CD DC 2 4 4 2 4 4 4 10 3 133 10 2 2 10 3 0 67 104kN m rad K M M kN m rad K M M kN m ra BA BC CB CD 12 2 2 4 22 2 2 4 0 5 10 2 33 10 d Escrevendo as equações de equilíbrio de momentos dos nós B e C e resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas temos b10 11 1 12 2 4 1 4 2 0 6 3 10 0 5 10 0 K D K D D D b20 21 1 22 2 4 1 4 2 0 3 5 0 5 10 2 33 10 0 K D K D D D D rad D rad 1 4 2 4 2 33 10 2 10 Com as deslocabilidades determinadas basta encontrar os momentos nas extremidades de cada barra pela superposição e então traçar o diagrama de momentos fletores apresentado na Figura 234 M M M D M D kN m gir AB AB AB AB 0 1 1 2 2 4 4 2 10 2 33 10 0 0 33 o horário M M M D M D kN m BA BA BA BA 0 1 1 2 2 4 4 2 2 10 2 33 10 0 6 67 giro horário M M M D M D BC BC BC BC 0 1 1 2 2 4 4 4 4 8 10 2 33 10 0 5 10 2 10 6 67 kN m anti horário M M M D M D CB CB CB CB 0 1 1 2 2 4 4 4 8 0 5 10 2 33 10 10 2 10 4 7 17 kN m horário M M M D M D kN m ant CD CD CD CD 0 1 1 2 2 4 4 4 5 0 133 10 2 10 7 17 i horário M M M D M D kN m h DC DC DC DC 0 1 1 2 2 4 4 4 5 0 0 67 10 2 10 3 17 orário U2 Método das forças e do deslocamento 95 Fonte elaborada pelo autor Figura 234 Diagrama de momentos fletores kNm Para determinar os valores dos momentos máximos é necessário traçar o diagrama de esforço cortante permitindo encontrar os pontos de cortante nula conforme será apresentado na sequência Determinação das reações de apoio e do diagrama de esforço cortante Descrição da situaçãoproblema Uma vez obtido o diagrama de momentos fletores pelo método dos deslocamentos é preciso determinar as reações de apoio da viga para então traçar o diagrama de esforço cortante Veremos como realizar esse procedimento para a viga da Figura 232 Resolução da situaçãoproblema Para encontrar as reações de apoio faremos o equilíbrio de cada trecho da barra separadamente Na Figura 235 estão representados os três trechos AB BC e CD da viga com suas respectivas reações de apoio carregamentos atuantes ao longo do trecho e momentos nas extremidades das barras já calculados anteriormente MAB MBA MBC MCB MCD MDC Note que a reação vertical total no apoio B é a soma das reações no apoio B dos trechos AB e BC De maneira análoga a reação vertical total no apoio C é a soma das reações no apoio C dos trechos BC e CD Para o equilíbrio de momentos adotouse a convenção de que o momento no sentido antihorário é positivo Avançando na prática U2 Método das forças e do deslocamento 96 Fonte elaborada pelo autor Figura 235 Equilíbrio dos trechos da viga Trecho AB M B B kN A y y 0 0 33 6 2 1 6 67 2 0 9 5 F A A kN y y y 0 6 2 9 5 0 2 5 Trecho BC M C C kN B y y 0 6 67 6 4 2 7 17 4 0 12 13 F B B kN y y y 0 6 4 12 13 0 1188 Trecho CD M D D kN C y y 0 7 17 6 3 15 3 17 3 0 7 67 F C C kN y y y 0 6 3 7 67 0 10 33 Reações verticais totais em B e C B B B kN C C C kN y y y y y y 2138 22 46 Com as reações de apoio verticais encontradas basta traçar o diagrama de esforço cortante conforme a Figura 236 Note que desta forma é possível determinar os pontos de cortante nula e assim encontrar os valores dos momentos fletores máximos da mesma forma como é feito em uma viga isostática Fonte elaborada pelo autor Figura 236 Diagrama de esforço cortante kN U2 Método das forças e do deslocamento 97 1 Você é o responsável pelo projeto de uma indústria e deve determinar os esforços que atuam nas barras da estrutura da figura a seguir que será utilizada para apoiar alguns equipamentos Para iniciar o cálculo da estrutura pelo método dos deslocamentos devese determinar o número de deslocabilidades dessa estrutura Assinale a resposta que contém o número correto de deslocabilidades da estrutura a 1 b 2 c 0 d 8 e 6 2 A barra da figura a seguir faz parte de uma estrutura hiperestática e está submetida aos carregamentos indicados Durante a resolução da estrutura pelo método dos deslocamentos é necessário determinar os valores dos termos de carga dessa barra para o caso básico 0 Assinale a alternativa com os valores corretos dos termos de carga b10 b20 b30 b40 b50 e b60 respectivamente a 2kN 1 kN 10kNm 10kN 12 kN e 12 kNm Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura Estrutura de uma indústria Figura Barra de uma estrutura hiperestática Faça valer a pena U2 Método das forças e do deslocamento 98 b 1kN 10 kN 12kNm 2kN 10 kN e 12 kNm c 2kN 10 kN 12kNm 1kN 10 kN e 12 kNm d 2kN 10 kN 12kNm 1kN 10 kN e 12 kNm e 2kN 12 kN 10kNm 1kN 12 kN e 10 kNm 3 O pórtico da figura a está submetido às cargas nodais indicadas Durante o cálculo deste pórtico a sua equipe de projetistas determinou as deslocabilidades da estrutura conforme a figura b Neste momento você foi consultado pela equipe para ajudar na determinação dos coeficientes de rigidez K11 K21 e K31 Todas as barras possuem E kN m 108 2 I m 10 4 4 e A m 2 10 4 ² Assinale a alternativa que apresenta o valor correto dos coeficientes de rigidez K11 K21 e K31 respectivamente a 444103 kNm 0 e 667103 kNmm b 844103 kNm 0 e 667103 kNmm c 4103 kNm 444103 kNm e 0 d 667103 kNm 0 e 844103 kNmm e 0 444103 kNm e 1067103 kNmm Fonte elaborada pelo autor Figura Pórtico ASSAN A E Resistência dos materiais Campinas SP Editora da Unicamp 2013 v 2 HIBBELER R C Análise das estruturas São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 LEET K M UANG C M GILBERT A M Fundamentos da análise estrutural 3 ed São Paulo McGrawHill 2009 LEET Kenneth M UANG ChiaMing GILBERT Anne M Fundamentos da análise estrutural 3 ed São Paulo McGrawHill 2009 MARTHA L F Análise de estruturas conceitos e métodos básicos Rio de Janeiro Elsevier 2010 Disponivel em httpswwwalissolcombrFtool Acesso em 31 ago 2017 SÜSSEKIND J C Curso de análise estrutural 3 método das deformações Processo de Cross 7 ed Rio de Janeiro Globo 1987 TIMOSHENKO S P Resistência dos materiais 3 ed Rio de Janeiro Ao Livro Técnico SA 1972 v 1 Referências Unidade 3 Caroa alunoa Seja bemvindo à Unidade 3 da disciplina de Estruturas Hiperestáticas Após estudarmos alguns princípios e métodos importantes para a resolução de estruturas hiperestáticas passaremos a estudar nesta unidade as linhas de influência Até o momento analisamos apenas estruturas submetidas às cargas estáticas ou seja que estão sempre no mesmo lugar porém você já parou para pensar em como é feito o dimensionamento de uma estrutura submetida a uma carga móvel ou seja uma carga que pode atuar em várias posições diferentes ao longo da vida útil da estrutura E que tipo de estrutura é essa que está submetida à uma carga móvel É exatamente isso que veremos nesta unidade na qual utilizaremos as linhas de influência para determinar as reações de apoio e os esforços em estruturas submetidas às cargas móveis como por exemplo os viadutos as pontes rodoviárias ferroviárias ou de pedestres Ou seja sem o conhecimento da linha de influência você não conseguirá projetar uma ponte ou um viaduto durante a sua vida profissional nem mesmo uma simples ponte rolante em uma indústria Assim fica clara a importância desse assunto para um engenheiro civil Iniciaremos o estudo das linhas de influência pelo caso mais simples as vigas isostáticas Posteriormente passaremos para as vigas hiperestáticas e por fim estudaremos o traçado das envoltórias de esforços que são de grande importância na definição dos esforços extremos atuantes na estrutura bem como empregados no dimensionamento dela Convite ao estudo Linhas de influência estruturas hiperestáticas Com os conhecimentos adquiridos nesta unidade você será capaz de desenvolver o seu primeiro projeto no seu novo emprego Desde que estava no curso de engenharia você já gostava de estudar como eram feitas as grandes estruturas e após algumas entrevistas você foi contratado por uma empresa de construção de grande porte No seu primeiro projeto você foi chamado para determinar as linhas de influência de uma ponte Essa ponte atravessa um grande lago e será construída com 3 faixas em cada sentido em cujo tráfego passarão veículos de tamanhos e pesos diversos Quais serão as linhas de influência se parte da estrutura for isostática E se for hiperestática como resolver essa questão Além disso você deverá entregar as representações gráficas das envoltórias de esforços para que a estrutura seja dimensionada corretamente Pronto para projetar a sua primeira ponte U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 103 Vamos iniciar o nosso estudo de linhas de influência pela análise de vigas isostáticas para nas seções seguintes passarmos ao estudo de linhas de influência em vigas hiperestáticas O nosso primeiro passo será entender o que a linha de influência representa para depois conseguirmos traçar as linhas de influência o que permitirá que você comece a trabalhar no projeto da sua primeira ponte no seu novo emprego Para projetar a ponte você deve analisar todos os seus elementos estruturais ou seja tanto as transversinas quanto as longarinas da ponte Para exemplificar na Figura 31 é apresentada a localização de uma longarina e de uma transversina de uma ponte qualquer Seção 31 Diálogo aberto Linhas de influência de vigas Fonte elaborada pelo autor Figura 31 Indicação de uma longarina e de uma transversina O seu primeiro desafio será analisar a transversina apresentada na Figura 32 que é uma viga isostática apresentando dois balanços U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 104 Fonte elaborada pelo autor Figura 32 Transversina da ponte em estudo Como veremos nesta seção para realizar o dimensionamento correto dessa transversina é fundamental que você consiga traçar algumas linhas de influência dela Para tanto você deve determinar a linha de influência da reação vertical By as linhas de influência de esforço cortante nas seções 1 Besq e Bdir e as linhas de influência de momento fletor nas seções 1 e B Para conseguir cumprir esse objetivo estudaremos em detalhes as linhas de influência de reações de apoio esforço cortante e momento fletor Ao final da seção você perceberá que esses estudos facilitarão muito o desenvolvimento do projeto dessa ponte Não pode faltar Definição de linha de influência As cargas que atuam em uma estrutura podem ser classificadas em cargas permanentes ou cargas acidentais As cargas permanentes são aquelas que atuam ao longo de toda a vida útil da estrutura como por exemplo o seu peso próprio As cargas acidentais por sua vez são aquelas que podem atuar ou não ao longo da vida útil da estrutura como por exemplo ações de vento sobrecargas cargas de utilização em edificações e cargas de veículos em pontes rodoviárias ou ferroviárias No estudo das estruturas as cargas permanentes e a maioria das cargas acidentais são chamadas de cargas fixas pois o seu ponto de atuação na estrutura é sempre o mesmo Porém algumas cargas acidentais são chamadas de cargas móveis uma vez que o ponto de atuação delas pode variar ao longo do tempo como é o caso de um veículo passando sobre uma ponte A determinação das reações de apoio e dos esforços internos em uma estrutura provocados por cargas fixas permanentes ou U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 105 acidentais é feita conforme os métodos já apresentados para estruturas isostáticas ou hiperestáticas que incluem o traçado dos diagramas dos esforços solicitantes Dessa forma é possível determinar quais são os maiores esforços que ocorrem na estrutura e dimensionála para que resista a essas solicitações No caso das cargas móveis no entanto a intensidade dos esforços varia conforme a posição da carga o que torna inviável o método de determinação dos maiores esforços solicitantes por meio do traçado dos diagramas pois isso incluiria o traçado de um diagrama para cada posição da carga móvel a fim de determinar qual a posição que resulta no maior esforço Portanto para estruturas submetidas a cargas móveis utilizase outro método para determinar a posição mais desfavorável da carga e os valores extremos máximos e mínimos dos esforços solicitantes que inclui o traçado das linhas de influência Uma linha de influência representa a variação de um determinado efeito elástico por exemplo uma reação de apoio um esforço cortante ou um momento fletor em uma seção específica da estrutura à medida que uma carga concentrada unitária a percorre Para exemplificar considere a linha de influência LI de momento fletor em uma seção S de uma viga representada na Figura 33 Quando a carga unitária P 1 estiver localizada no ponto A a uma distância x da extremidade esquerda da viga o momento fletor na seção S será dado pela ordenada da linha de influência no ponto A ou seja M a S Fonte elaborada pelo autor Figura 33 Linha de influência de momento fletor na seção S de uma viga Uma vez conhecida a linha de influência de um determinado esforço para uma seção específica percebese facilmente que a posição mais desfavorável da carga unitária é aquela que apresenta a maior ordenada da linha de influência Assim podemos definir os U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 106 valores extremos maior valor positivo e maior valor negativo dos esforços provocados pela carga móvel unitária que são as ordenadas da linha de influência com maiores valores positivo e negativo As linhas de influência podem ser traçadas para diversos tipos de estrutura como vigas pórticos ou treliças sejam elas isostáticas ou hiperestáticas Como uma das principais aplicações das linhas de influência é no dimensionamento de vigas de pontes estudaremos como é feito o traçado das linhas de influência para esse tipo de estrutura começando pelas vigas isostáticas passando posteriormente para as vigas hiperestáticas Por convenção desenharemos os valores positivos da linha de influência no lado de baixo e os valores negativos no lado de cima conforme representado na Figura 33 Determinação das reações de apoio para vigas Para determinar as reações de apoio de uma viga isostática submetida a uma carga móvel devemos primeiramente traçar as linhas de influência dessas reações de apoio Para tanto iremos aplicar uma carga unitária em uma posição variável x e determinar os valores das reações de apoio em função dessa posição x utilizando as equações de equilíbrio estático Assim para a viga isostática com balanços da Figura 34 submetida a uma carga unitária P 1 temos as reações de apoio a seguir notando que a reação de apoio horizontal no apoio A será sempre nula uma vez que não existe nenhuma carga horizontal Para o equilíbrio de momentos foi adotada a convenção de momento antihorário positivo M A l l x A l x l B y y 0 1 0 F A B l x l B B l x l l l x l x l y y y y y 0 1 0 1 0 1 U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 107 Figura 34 Viga isostática e linhas de influência de Ay e By Fonte elaborada pelo autor As relações de Ay e de By em função de x são as expressões analíticas da linha de influência de Ay LI Ay e da linha de influência de By LI By respectivamente Portanto para traçar essas linhas de influência basta representar graficamente essas duas expressões que nada mais são do que equações de retas Para encontrar o valor da ordenada da linha de influência em um ponto específico da viga basta substituir o valor de x pela posição desejada Dessa forma é possível traçar as linhas de influência conforme apresentado na Figura 34 Para exemplificar são determinadas as ordenadas da LI Ay de alguns pontos Para x a Ay l a l Para x Ay l l 0 0 1 Para x l Ay l l l 0 Para x l b Ay l l b l b l U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 108 Um método mais direto para a determinação da linha de influência é o denominado método cinemático ou princípio de MüllerBreslau que faz uso do princípio dos trabalhos virtuais para traçar as linhas de influência Considere que o apoio A da viga da Figura 35 sofreu um deslocamento unitário virtual para baixo fazendo com que toda a viga sofra um deslocamento conforme a função v x Figura 35 Viga com deslocamento virtual unitário no apoio A Fonte elaborada pelo autor Como a viga apresentou um deslocamento de corpo rígido ou seja ela não apresentou deformações continua reta o seu trabalho virtual interno é zero Assim pelo PTV temos U U A P v x A v x A v x e i y y y 1 0 1 Com isso podemos concluir que a configuração deslocada da viga v x é igual à reação de apoio Ay Ou seja a linha de influência de Ay é a própria configuração deslocada da viga Assim para traçar a linha de influência de um determinado efeito como uma reação de apoio ou um esforço solicitante basta seguir o procedimento apresentado a seguir Procedimento para traçar a linha de influência de uma viga isostática 1 Retirar o vínculo que transmite o efeito cuja linha de influência se deseja determinar Assimile U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 109 2 Aplicar no ponto em que atua o efeito analisado um deslocamento unitário considerado muito pequeno no sentido contrário ao da convenção positiva do efeito analisado 3 A linha de influência será a configuração deslocada da viga No caso de vigas isostáticas as linhas de influência sempre serão linhas retas o que facilita o seu traçado e a determinação dos valores das ordenadas que podem ser obtidos por simples semelhança de triângulos sabendose que o deslocamento aplicado no ponto em que atua o efeito analisado é unitário A convenção de sentido positivo de alguns efeitos é apresentada na Figura 36 Figura 36 Convenção positiva de alguns efeitos Fonte adaptada pelo autor Uma vez determinada a linha de influência da reação de apoio sabese que ao posicionar a carga móvel no ponto de maior ordenada da linha de influência teremos o valor máximo positivo ou negativo da reação de apoio Como a linha de influência foi traçada para uma carga unitária caso a carga móvel possua valor diferente do unitário basta multiplicar a ordenada da linha de influência pelo valor da carga móvel para encontrar o valor da reação de apoio quando a carga móvel estiver sobre aquele ponto Esse procedimento será apresentado em mais detalhes posteriormente Reflita Caso a carga móvel não seja uma força concentrada mas sim uma carga uniformemente distribuída como determinamos o valor da reação de apoio provocada por essa carga ao utilizarmos a linha de influência Pense na carga uniformemente distribuída como uma sucessão de cargas concentradas afastadas entre si por uma distância infinitesimal U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 110 Linha de influência de esforço cortante em viga Para determinar a linha de influência de esforço cortante em uma viga isostática podemos encontrar as equações que definem o valor do esforço cortante em função da posição x da carga unitária empregando as equações de equilíbrio de maneira semelhante ao procedimento realizado para a determinação das linhas de influência das reações de apoio Alternativamente também podemos traçar a linha de influência de esforço cortante utilizandonos do método cinemático seguindo o procedimento já apresentado e como esse é o método mais simples e intuitivo que permite traçar as linhas de influência de vigas isostáticas rapidamente passará a ser utilizado daqui em diante O primeiro passo do método cinemático é a retirada do vínculo que transmite o efeito analisado No caso da linha de influência da reação de apoio foi retirado o vínculo que transmite a reação de apoio vertical ou seja para traçar a LI Ay foi retirada a vinculação que impede o apoio A de deslocar verticalmente Agora para traçar a linha de influência de esforço cortante devemos retirar a vinculação que transmite o esforço cortante ou seja retirar a vinculação que impede o deslocamento vertical relativo entre duas partes de uma viga Com a retirada desse vínculo em uma seção S qualquer a viga se divide em dois trechos inclinados paralelos entre si apresentando o deslocamento relativo da Figura 37 Figura 37 Retirada do vínculo de cortante e aplicação de deslocamento unitário Fonte elaborada pelo autor O próximo passo consiste na aplicação de um deslocamento unitário contrário à convenção de esforço cortante positivo Pela Figura 36 o esforço cortante é positivo quando ele provoca um giro horário no elemento em que atua ou seja à esquerda da seção analisada o esforço cortante positivo tem sentido para baixo e a direita da seção analisada o esforço cortante positivo tem sentido para cima Assim aplicamos um deslocamento contrário ou seja U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 111 à esquerda da seção analisada o deslocamento tem sentido para cima e à direita da seção analisada o deslocamento tem sentido para baixo Como aplicamos um deslocamento à esquerda e outro à direita da seção analisada o deslocamento relativo entre os dois lados deve ser unitário ou seja a soma do deslocamento para cima à esquerda da seção e do deslocamento para baixo à direita da seção deve ser unitário Ao aplicar um deslocamento na viga devemos sempre identificar quais pontos da viga não podem apresentar deslocamentos verticais ou giros para que possamos traçar a configuração deslocada da viga corretamente obtendo a sua linha de influência A determinação das ordenadas da linha de influência é feita por simples semelhança de triângulos A seguir para a viga da Figura 38 será explicado o procedimento adotado para traçar a linha de influência de esforço cortante para a seção S Exemplificando Figura 38 Viga isostática e LI QS Fonte elaborada pelo autor Para traçar a LI QS retirase o vínculo que transmite o esforço cortante em S aplicando um deslocamento para cima no trecho à esquerda de S e para baixo no trecho à direita de S Como os pontos A e B são apoios eles não podem apresentar deslocamentos verticais porém a viga pode girar em torno desses pontos Assim ao serem aplicados os deslocamentos o trecho à esquerda de S gira em torno do ponto A e o trecho à direita gira em torno do ponto B apresentando uma U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 112 descontinuidade de valor unitário na seção S Sabendose que a ordenada do prolongamento da linha de influência de esforço cortante sobre os apoios tem valor unitário o deslocamento relativo é unitário as ordenadas y e z podem ser obtidas conforme apresentado a seguir sendo utlizada a semelhança de triângulos Dessa forma é obtida a LI QS apresentada na Figura 38 1 6 4 0 67 1 0 33 y y z y Como pela convenção adotada para linhas de influência os valores positivos são desenhados no lado de baixo e os valores negativos são desenhados no lado de cima a ordenada y deve ser negativa no diagrama de linha de influência da Figura 38 uma vez que ela está localizada no lado de cima Linha de influência de momento fletor em viga Para traçar a linha de influência de momento fletor devemos retirar o vínculo que transmite o momento fletor ou seja o vínculo que impede o giro relativo entre duas partes de uma viga Com a retirada desse vínculo em uma seção S qualquer a viga pode apresentar o deslocamento relativo da Figura 39 Figura 39 Retirada do vínculo de momento fletor e aplicação de giro unitário Fonte elaborada pelo autor A seguir aplicase um giro unitário relativo entre os dois trechos ou seja q 1rad com sentido contrário à convenção de momento fletor positivo apresentado na Figura 36 Ou seja no trecho à esquerda da seção analisada aplicase um giro horário e no trecho à direita da seção analisada aplicase um giro antihorário Como estamos trabalhando com pequenos deslocamentos a corda AB U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 113 da Figura 39 é aproximadamente igual ao comprimento do arco de circunferência AB Sendo r o raio da circunferência o comprimento do arco é calculado por q r r r 1 Assim a corda AB é igual ao raio da circunferência que para pequenos deslocamentos é aproximadamente igual à distância horizontal entre S e A na Figura 39 o que permite determinar as ordenadas da linha de influência de momento fletor por simples semelhança de triângulos A seguir será explicado o procedimento adotado para traçar a linha de influência de momento fletor para a seção S da viga da Figura 310 Exemplificando Figura 310 Viga isostática e LI MS Fonte elaborada pelo autor Para traçar a LI MS como o trecho à esquerda possui apenas um apoio ao aplicar um giro horário o trecho irá girar em torno do apoio A no sentido horário No trecho à direita por sua vez que também possui apenas um apoio ao ser aplicado um giro antihorário o trecho irá girar em torno do apoio B no sentido antihorário conforme a linha de influência da Figura 310 Como estamos trabalhando com pequenos deslocamentos prolongandose a linha de influência a ordenada sobre os apoios é igual à distância horizontal do apoio até a seção conforme a Figura 39 Assim achamos as ordenadas y e z por semelhança de triângulos 2 6 4 133 2 6 2 0 67 y y z z U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 114 As vigas Gerber que são associações de vigas apoiadas umas sobre as outras ligadas por meio de rótulas também são vigas isostáticas portanto o traçado das linhas de influência para esses tipos de vigas pode ser feito aplicando o método cinemático Leia o capítulo 14 do livro Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos sobre cargas acidentais e cargas móveis MARTHA L F Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Rio de Janeiro Editora Elsevie 2010 Cap 14 E o estudo das cargas móveis em estruturas isostáticas em SÜSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural 1 Método das deformações Processo de Cross 6 ed Porto Alegre Rio de Janeiro Globo 1981 Capítulo VI Pesquise mais Sem medo de errar Você inicia a análise da estrutura da ponte do seu projeto pelo estudo da transversina da Figura 31 Para essa viga é necessário determinar a linha de influência da reação de apoio By as linhas de influência de esforço cortante para as seções 1 Besq e Bdir bem como as linhas de influência de momento fletor nas seções 1 e B Essas seis linhas de influência e o procedimento para a determinação de cada uma delas estão representados na figura a seguir Figura 311 Transversina e linhas de influência U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 115 Fonte elaborada pelo autor Para traçar a LI By devese aplicar um deslocamento unitário para baixo em B Dessa forma toda a viga irá girar em relação ao ponto A Sabendose que a ordenada da linha de influência no ponto B é 10 as demais ordenadas são encontradas facilmente por semelhança de triângulos Para a LI Q1 aplicase um deslocamento para cima no trecho à esquerda de 1 e um deslocamento para baixo no trecho à direita de 1 Como o trecho à direita possui dois apoios A e B não existe um ponto em torno do qual o trecho possa girar assim ele permanece horizontal ou seja a linha de influência desse trecho é nula Como o trecho à esquerda não possui nenhum apoio ele também não apresenta nenhum giro porém todo o trecho apresenta um deslocamento vertical por igual Como o deslocamento relativo entre os trechos deve ser unitário e o trecho à direita não apresentou deslocamento todo o deslocamento unitário foi aplicado no trecho à esquerda resultando na LI Q1 apresentada na Figura 311 A seção Besq está localizada um infinitesimal à esquerda do apoio B ou seja está na região entre apoios Portanto o traçado da sua linha de influência é feito da mesma maneira como apresentando na Figura 38 Como essa seção está localizada em um infinitesimal à esquerda de B o deslocamento aplicado para baixo à direita da seção é praticamente nulo Consequentemente podese admitir que o deslocamento aplicado à esquerda da seção será 10 Prolongando U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 116 a linha de influência nas seções em balanço e fazendo a semelhança de triângulos encontrase a LI Besq conforme a Figura 311 Já a seção Bdir está localizada um infinitesimal à direita do apoio B ou seja está na região do balanço Assim a sua forma é semelhante à da LI Q1 porém com deslocamento à direita da seção para baixo e o trecho à esquerda da seção sem deslocamento algum já que possui dois apoios Para a LI M1 como o trecho à direita da seção possui dois apoios ele permanece horizontal Dessa forma a linha de influência de momento fletor é nula nesse trecho Assim todo o giro unitário é aplicado no trecho à esquerda da seção no sentido horário Como esse trecho não possui nenhum apoio ele irá girar em torno de 1 no sentido horário Admitindo pequenos deslocamentos a ordenada da linha de influência na extremidade do trecho à esquerda será igual à distância horizontal entre a extremidade do trecho e a seção 1 conforme a Figura 311 Na determinação da LI MB o giro unitário será todo aplicado à direita da seção sentido antihorário semelhante ao traçado da LI M1 No trecho à esquerda não é possível aplicar nenhum giro pois a seção em análise está exatamente sobre um apoio Assim não é possível que o trecho à esquerda gire em relação ao ponto A pois para isso o ponto B precisaria descer o que não é possível É interessante que se analisadas duas seções na região do balanço as formas de suas linhas de influência de esforço cortante serão muito semelhantes A mesma semelhança é observada para as linhas de influência de momento fletor em seções na região do balanço Para seções na região entre apoios a semelhança também existe tanto para linhas de influência de cortante como de momento fletor sempre ocorrendo o prolongamento da linha de influência nas regiões do balanço Avançando na prática Determinação dos valores extremos para uma carga móvel uniformemente distribuída Descrição da situaçãoproblema Você foi informado que no projeto da ponte uma carga móvel de 15 kNm uniformemente distribuída irá passar sobre a U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 117 transversina da Figura 311 Para fazer o dimensionamento desse elemento estrutural da ponte é necessário determinar os valores extremos máximo e mínimo do esforço cortante que atua na seção à esquerda do apoio B Besq Resolução da situaçãoproblema Como as linhas de influência são definidas para uma carga concentrada móvel unitária para que o valor extremo de um esforço ou reação de apoio seja encontrado devido a uma carga concentrada móvel de intensidade diferente de 10 basta que essa carga seja posicionada sobre a maior ordenada da linha de influência e multiplicar essa ordenada pela intensidade da carga concentrada móvel No caso da carga móvel uniformemente distribuída podemos imaginar que ela é composta por infinitas cargas concentradas posicionadas lado a lado Ou seja para que seja encontrado o valor extremo devido a essas infinitas cargas concentradas teríamos que multiplicar cada uma das infinitas cargas por suas respectivas ordenadas da linha de influência e somar os resultados Isso nada mais é do que multiplicar a carga uniformemente distribuída pela área da linha de influência Assim para que o valor extremo de um esforço ou reação de apoio seja identificado devido a uma carga móvel uniformemente distribuída basta que a carga uniformemente distribuída seja posicionada sobre a linha de influência e que o valor da carga seja multiplicado pela área da linha de influência Como a LI QBesq possui valores positivos e negativos posicionaremos primeiramente a carga uniformemente distribuída sobre a região positiva da linha de influência para determinarmos o valor do esforço cortante máximo positivo Posteriormente posicionaremos a carga uniformemente distribuída sobre a região negativa da linha de influência para determinarmos o valor do esforço cortante máximo negativo ou mínimo A Figura 312 apresenta essas duas situações U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 118 Figura 312 Posicionamento da carga uniformemente distribuída sobre a LI QBesq Fonte elaborada pelo autor Os valores extremos são então encontrados multiplicandose a carga pela área da linha de influência em destaque na Figura 312 Q kN Besq 15 2 0 4 2 6 Q kN Besq 15 5 1 2 3 0 6 2 51 1 Para traçar a linha de influência de esforço cortante em uma determinada seção de uma viga devese retirar a vinculação que transmite o esforço cortante e aplicar um deslocamento à esquerda e outro à direita da seção analisada deslocamento relativo unitário Assinale a resposta que apresenta o sentido correto de aplicação dos deslocamentos para traçar a linha de influência de esforço cortante a Aplicar um deslocamento no sentido contrário à convenção de esforço cortante positiva ou seja deslocamento para baixo à esquerda da seção e para cima à direita da seção b Aplicar um deslocamento no sentido contrário à convenção de esforço cortante positiva ou seja deslocamento para cima à esquerda da seção e para baixo à direita da seção Faça valer a pena U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 119 2 A linha de influência de momento fletor da seção S de uma viga isostática de concreto armado é apresentada na Figura 313 Sabese que uma carga concentrada móvel de 25 kN irá percorrer essa viga durante a sua utilização Para o correto dimensionamento das armaduras dessa viga é necessário determinar os valores extremos de momento fletor que podem ocorrer na seção S da viga 3 A viga Gerber da Figura 314 será utilizada na estrutura de uma ponte e possui uma rótula no ponto C Está sendo feita a análise dos momentos fletores extremos que podem ocorrer na seção D desta viga devido a uma c Aplicar um deslocamento no mesmo sentido da convenção de esforço cortante positiva ou seja deslocamento para baixo à esquerda da seção e para cima à direita da seção d Aplicar um deslocamento no mesmo sentido da convenção de esforço cortante positiva ou seja deslocamento para cima à esquerda da seção e para baixo à direita da seção e Aplicar um deslocamento no mesmo sentido da convenção de esforço cortante positiva ou seja deslocamento para cima em ambos os lados da seção Figura 313 Viga isostática e LI MS Marque a resposta que contém os valores extremos maior positivo e maior negativo respectivamente de momento fletor na seção S devido a carga concentrada móvel de 25 kN a 50 kNm e 100 kNm b 25 kNm e 75 kNm c 50 kNm e 125 kNm d 25 kNm e 50 kNm e 50 kNm e 50 kNm Fonte elaborada pelo autor U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 120 carga móvel Para essa finalidade é necessário traçar a linha de influência de momento fletor na seção D Figura 314 Viga Gerber Assinale a alternativa correspondente à informação correta em relação ao formato da linha de influência de momento fletor na seção D a Apenas o trecho ABC permanece horizontal b Nenhum trecho da viga permanece horizontal c Os trechos AB e EF permanecem horizontais d Apenas o trecho DEF permanece horizontal e A viga inteira permanece horizontal Fonte elaborada pelo autor U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 121 Agora que já sabemos o que são as linhas de influência e também já somos capazes de traçar a linha de influência de vigas isostáticas podemos avançar para o estudo de linhas de influência em vigas hiperestáticas Os conhecimentos que serão adquiridos nesta seção permitirão que você avance nos cálculos da ponte que está projetando já que uma das longarinas dela é duas vezes hiperestática O seu croqui está representado na Figura 315 Seção 32 Diálogo aberto Linhas de influência para estruturas com vários graus de indeterminação Figura 315 Croqui da longarina da ponte Fonte elaborada pelo autor Para que o projeto dessa longarina seja feito corretamente você deve determinar a linha de influência de esforço cortante e de momento fletor na seção S dessa viga Vamos entender quais são as diferenças entre as linhas de influência de vigas isostáticas e hiperestáticas para que você consiga resolver esse problema Não pode faltar Linhas de influência para estruturas com vários graus de indeterminação Assim como nas estruturas isostáticas a linha de influência de uma estrutura hiperestática também representa a variação de um efeito elástico reação de apoio esforço cortante ou momento fletor por exemplo em uma determinada seção quando uma carga U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 122 concentrada unitária percorre toda a estrutura Dessa forma as linhas de influência de estruturas hiperestáticas também são utilizadas para determinar os valores extremos máximos e mínimos de um esforço ou reação de apoio já que com o traçado da linha de influência podese determinar facilmente em que posição devemos aplicar o carregamento para que sejam obtidos esses valores extremos Vimos na seção anterior que a maneira mais rápida e prática para traçar as linhas de influência de estruturas isostáticas é o emprego do método cinemático Princípio de MüllerBreslau Esse método consiste em na seção analisada aplicar um deslocamento unitário no sentido contrário à convenção positiva do esforço ou reação em estudo e traçar a configuração deslocada da estrutura para esse deslocamento unitário Essa configuração deslocada será a linha de influência procurada O método cinemático também é válido para estruturas hiperestáticas ou seja também podemos determinar a forma das linhas de influência dessas estruturas por meio da aplicação de deslocamentos unitários no sentido contrário à convenção de esforços ou reação positiva A demonstração da validade desse método para estruturas hiperestáticas pode ser feita com a aplicação do teorema de Betti que diz que o trabalho virtual produzido por um sistema de forças 1 devido às deformações provocadas por um sistema de forças 2 é igual ao trabalho virtual produzido pelo sistema de forças 2 devido às deformações provocadas pelo sistema de forças 1 Consideremos duas vigas hiperestáticas conforme a Figura 316 Figura 316 Vigas hiperestáticas Fonte elaborada pelo autor U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 123 Na viga 1 a aplicação de uma força unitária P1 1 a uma distância x do apoio A da viga gera a elástica configuração deformada v x 1 Já na viga 2 a aplicação de uma força P2 em B que provoca um deslocamento unitário para baixo nesse mesmo ponto gera a elástica v x 2 Assim pelo teorema de Betti temos F v F v 1 2 2 1 B P v x P B v x LI B v x y y y 1 0 1 2 2 2 2 Como a reação By é igual à ordenada da elástica v x 2 e essa elástica é obtida pela imposição de um deslocamento unitário no sentido oposto à reação By positiva fica demonstrado que o método cinemático também é válido para estruturas hiperestáticas Entretanto diferentemente do que ocorre nas estruturas isostáticas em que as linhas de influência são compostas por trechos retos como visto na seção anterior no caso das estruturas hiperestáticas as linhas de influência são compostas por trechos curvos como apresentado na Figura 316 O próprio método cinemático explica essa diferença No caso de uma estrutura isostática ao retirar o vínculo que transmite o efeito analisado a estrutura passa a ser hipostática ou seja ao aplicar um deslocamento unitário essa estrutura apresenta um movimento de corpo rígido Assim sendo não oferece resistência ao deslocamento permanecendo reta Já no caso de uma estrutura hiperestática ao retirar o vínculo que transmite o efeito analisado a estrutura não se torna hipostática ou seja ainda apresenta resistência ao deslocamento unitário aplicado apresentando deformações que tornam as barras curvas Desprezandose as deformações devidas ao esforço cortante a equação diferencial das deformações por flexão para barras prismáticas que possuem seção transversal constante é definida pela Resistência dos Materiais pela teoria de vigas de Navier d v x dx q x E I 4 4 Em que v x deslocamento transversal da barra elástica q x taxa de carregamento transversal distribuído na barra E módulo de elasticidade do material U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 124 I momento de inércia da seção transversal Como para traçar a linha de influência não existe nenhuma carga distribuída uma vez que aplicamos apenas uma carga concentrada unitária temos q x 0 Além disso já vimos que a elástica da viga é a própria linha de influência Portanto d v x dx q x E I d LI dx 4 4 4 4 0 Como a quarta derivada da linha de influência é nula essa linha de influência pode ser descrita matematicamente por um polinômio do terceiro grau do tipo ax bx cx d 3 2 uma vez que a sua quarta derivada em relação a x é nula Com isso fica comprovado que a linha de influência de uma estrutura hiperestática é composta por trechos curvos As linhas de influência de estruturas isostáticas são compostas por trechos retos As linhas de influência de estruturas hiperestáticas por sua vez são compostas por trechos curvos Em ambos os casos podemos utilizar o método cinemático para determinar o aspecto das linhas de influência Assimile Determinação das reações de apoio para vigas contínuas Para determinar o valor de uma reação de apoio de uma viga hiperestática submetida a uma carga móvel devemos inicialmente traçar a linha de influência correspondente a essa reação de apoio Utilizaremos o método cinemático para traçar a linha de influência assim como foi feito no caso das vigas isostáticas Dessa forma para se determinar a linha de influência de uma reação de apoio vertical basta que seja removido o vínculo que transmite essa reação de apoio vertical e aplicado um deslocamento unitário no sentido contrário à convenção de reação de apoio positiva ou seja aplicado um deslocamento unitário para baixo De maneira intuitiva podese perceber como o restante da viga se deforma sendo possível traçar o aspecto da linha de influência da reação de apoio em questão A Figura 317 apresenta as linhas de influência de três reações de apoio verticais para uma viga hiperestática U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 125 Figura 317 Linhas de influência de reações de apoio verticais para viga hiperestática Fonte elaborada pelo autor Note que a ordenada da linha de influência de uma reação de apoio sempre terá valor unitário na posição desse mesmo apoio e valores nulos nos demais apoios Dessa forma é fácil determinar como a viga irá se deformar sabendose que os seus trechos são curvos e sempre irão girar em relação aos demais apoios móveis ou fixos que não sejam o apoio da reação analisada Uma vez traçada a linha de influência é possível identificar onde devem ser posicionadas as cargas móveis para que sejam obtidos os valores extremos da reação de apoio da mesma forma como é feito no caso de uma viga isostática Linha de influência de esforço cortante em viga contínua Para traçar a linha de influência de esforço cortante em uma viga contínua utilizandose o método cinemático basta que seja removido o vínculo correspondente ao esforço cortante e aplicado um deslocamento relativo unitário entre o lado esquerdo e o lado direito da seção analisada da mesma forma como foi feito para as vigas isostáticas Como o deslocamento deve ser aplicado no sentido contrário à convenção de esforço cortante positivo no lado esquerdo da seção devese aplicar um deslocamento para cima e no lado direito devese aplicar um deslocamento para baixo Dessa forma os dois lados da viga irão se deformar girando em relação aos apoios móveis e fixos resultando em trechos curvos Alguns exemplos de linhas de influência de esforço cortante em uma viga contínua são apresentados na Figura 318 U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 126 Figura 318 Linhas de influência de esforço cortante para viga hiperestática Fonte elaborada pelo autor Um detalhe importante para se destacar é que não é possível traçar a linha de influência de esforço cortante sobre um apoio visto que nesse ponto há uma descontinuidade do esforço cortante Portanto da mesma forma como foi feito para as vigas isostáticas devese analisar as seções imediatamente à esquerda e à direita do apoio Reflita Todas as seções localizadas entre dois apoios possuem linhas de influência com o mesmo comportamento O mesmo ocorre para as seções localizadas no trecho em balanço Linha de influência de momento fletor em viga contínua De maneira análoga para traçar a linha de influência de momento fletor de uma viga hiperestática devese remover o vínculo que transmite esse esforço e aplicar um giro relativo unitário no sentido horário à esquerda da seção analisada bem como no sentido anti horário à direita da seção analisada já que esse giro deve ser contrário à convenção de momento fletor positivo Os dois lados da viga irão apresentar trechos curvos girando em relação aos apoios móveis e fixos Na Figura 319 são apresentadas algumas linhas de influência para uma viga hiperestática U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 127 Figura 319 Linhas de influência de momento fletor para viga hiperestática Fonte elaborada pelo autor Como as linhas de influência de vigas hiperestáticas são compostas por trechos curvos não podemos utilizar a semelhança de triângulos para encontrar as ordenadas da linha de influência em qualquer ponto como foi feito no caso das vigas isostáticas Porém o uso do método cinemático nas vigas hiperestáticas nos permite encontrar o aspecto da linha de influência o que possibilita determinar o posicionamento adequado de uma carga móvel uniformemente distribuída para obter os valores extremos máximo e mínimo de um determinado efeito em uma seção da viga Sabendo onde devemos posicionar a carga móvel não precisamos determinar o valor extremo do esforço usando a linha de influência Para isso podemos posicionar a carga móvel no local desejado e resolver a viga hiperestática com essa carga utilizandose qualquer método de resolução de vigas hiperestáticas como o método das forças ou o método dos deslocamentos Para exemplificar esse procedimento vamos determinar onde devemos posicionar uma carga móvel uniformemente distribuída de 8 kNm na viga da Figura 320a para que se obtenha o máximo valor positivo de momento fletor na seção S Exemplificando U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 128 Figura 320 a Viga hiperestática b Linha de influência de momento fletor na seção S Fonte elaborada pelo autor Para traçar a linha de influência de momento fletor na seção S basta aplicar um giro horário no lado esquerdo da seção S e um giro anti horário no lado direito da seção S resultando na linha de influência apresentada na Figura 320b Podemos perceber que o único trecho positivo da linha de influência está entre os apoios B e C Dessa forma para encontrar o momento fletor máximo positivo na seção S devido a uma carga móvel de 8 kNm basta a resolução da viga da Figura 321 pelo método das forças ou dos deslocamentos Com isso é possível traçar o diagrama de momentos fletores dessa viga permitindo o encontro do valor do momento fletor na seção S Figura 321 Viga hiperestática com carga móvel entre os apoios B e C Fonte elaborada pelo autor Caso se deseje determinar as ordenadas de uma linha de influência de uma viga hiperestática podemos utilizar um procedimento que envolve a superposição de outras linhas de influência previamente conhecidas dessa mesma viga Suponha que uma viga duas vezes hiperestática da qual se conhece as linhas de influência de dois esforços ao se remover os vínculos que transmitem esses dois esforços passa a ser isostática Nesse caso é possível determinar a U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 129 linha de influência de qualquer outro esforço por meio dessas duas linhas de influência conhecidas Para demonstrar esse procedimento tomemos a viga real da Figura 322 da qual conhecemos as linhas de influência de momentos fletores em B e C e queremos determinar a linha de influência da reação By para qualquer posição da carga P 1 Figura 322 Viga hiperestática e superposição de efeitos Fonte elaborada pelo autor Na superposição da Figura 322 o caso 0 corresponde a uma viga isostática obtida pela remoção dos vínculos que transmitem os momentos fletores em B e C que são os esforços dos quais já se conhecem as linhas de influência O caso 1 corresponde à mesma viga isostática do caso 0 porém com a aplicação de um momento unitário no sentido da convenção positiva em B Já no caso 2 é aplicado um momento unitário em C By 0 By 1 e By 2 correspondem às reações de apoio em B para cada um desses casos isostáticos By MB e MC por sua vez são a reação de apoio em B e os momentos fletores em B e em C da viga hiperestática Assim temos B B B M B M y y y B y C 0 1 2 Essa mesma superposição pode ser utilizada para traçar a linha de influência de By LI B LI B B LI M B LI M y hip y isost y B hip y C hip 0 1 2 Ou seja para encontrar o valor da ordenada da linha de influência de By em um ponto da viga hiperestática basta somar a ordenada da linha de influência de By da viga isostática às ordenadas das linhas de influência de MB e MC multiplicadas pelas U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 130 reações de apoio em B da viga isostática para os casos 1 e 2 Assim podemos concluir que para se determinar qualquer linha de influência de uma viga n vezes hiperestática é preciso conhecer as linhas de influência de n esforços Com o crescente uso da informática na engenharia programas computacionais podem ser utilizados para determinar as linhas de influência de estruturas hiperestáticas Um programa gratuito e muito utilizado para esse fim é o Ftool wwwalissolcombrFtool Acesso em 7 jun 2018 Pesquise mais Atenção As bibliografias de autores consagrados da área utilizam convenções de unidades diferentes para as linhas de influência por exemplo Kenneth M Leet LI Q em kN e LI M em kNm Luiz Fernando Martha e Russel Charles Hibbeler LI Q e LI M sem unidade José Carlos Sussekind e José Luiz F de Arruda Serra LI Q sem unidade e LI M em m Nesse material a convenção adotada é a do Sussekind pois para encontrar o valor do esforço multiplicamos a carga concentrada pela ordenada da linha de influência como a LI QS é adimensional multiplicando uma carga de 10 kN por exemplo pela ordenada 05 temos Q kN kN S 10 0 5 5 Para o momento a unidade de LI MS é m então para uma carga de 10 kN e uma ordenada de 05 m temos M kN m kN m S 10 0 5 5 Sem medo de errar Dando sequência ao projeto da ponte em seu novo emprego você deve agora analisar uma de suas longarinas duas vezes hiperestáticas apresentada na Figura 323 Para fazer o correto dimensionamento dessa longarina você deve determinar as linhas de influência de esforço cortante e de momento fletor na seção S para que posteriormente a sua equipe possa encontrar os valores extremos desses esforços nesta seção Seu colega de trabalho já U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 131 determinou as linhas de influência de momentos fletores nas seções B e C para essa mesma longarina conforme a Figura 323 com os valores das ordenadas indicadas a cada um metro Figura 323 Longarina e linhas de influência de momentos fletores nas seções B e C Fonte elaborada pelo autor Como essa viga é duas vezes hiperestática as duas linhas de influência de momentos fletores já conhecidas são suficientes para determinar qualquer linha de influência dessa mesma viga Para isso utilizaremos as seguintes superposições LI Q LI Q Q LI M Q LI M S hip S isost S B hip S C hip 0 1 2 LI M LI M M LI M M LI M S hip S isost S B hip S C hip 0 1 2 As linhas de influência de esforço cortante e de momento fletor na seção S para o caso 0 são apresentadas na Figura 324 Lembrando que o caso 0 corresponde à viga isostática obtida pela remoção dos vínculos que transmitem os momentos fletores nas seções B e C Como tratase de uma viga isostática é possível obter as ordenadas da linha de influência a cada um metro por simples semelhança de triângulos como já visto na seção anterior U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 132 Figura 324 Linhas de influência de esforço cortante e momento fletor na seção S para a viga isostática Fonte elaborada pelo autor Também é necessário determinar os valores de QS 1 QS 2 MS 1 e MS 2 que correspondem aos valores do esforço cortante na seção S para os casos 1 e 2 e aos valores do momento fletor na seção S para os casos 1 e 2 respectivamente Os casos 1 e 2 correspondem à mesma viga isostática do caso 0 porém com a aplicação de um momento fletor unitário positivo nos pontos B e C respectivamente conforme a Figura 325 Figura 325 Vigas isostáticas com momentos fletores unitários em B e C Fonte elaborada pelo autor Os casos 1 e 2 correspondem a duas vigas Gerber Portanto é possível determinar as reações de apoio Cy 1 e Cy 2 fazendose o equilíbrio de momentos fletores no ponto B para o trecho BC de cada um dos dois casos considerando giro antihorário positivo Para o caso 1 M C C B y y 0 1 5 0 0 2 1 1 Para o caso 2 M C C B y y 0 1 5 0 0 2 2 2 U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 133 Com as reações de apoio no ponto C para os casos 1 e 2 podese determinar facilmente os valores de esforço cortante e momento fletor na seção S para ambos os casos considerandose que o momento fletor positivo é aquele que traciona o lado debaixo da viga e que o esforço cortante positivo é aquele que provoca giro horário Q M S S 1 1 0 2 0 2 3 0 6 Q M C S S y 2 2 2 0 2 1 3 1 0 2 3 0 4 Utilizandose a superposição podese determinar o valor da ordenada das linhas de influência de esforço cortante e de momento fletor na seção S para a viga hiperestática a cada um metro LI Q LI Q LI M LI M S hip S isost B hip C hip 0 0 2 0 2 LI M LI M LI M LI M S hip S isost B hip C hip 0 0 6 0 4 Essas duas linhas de influência são apresentadas na Figura 326 Para exemplificar são demonstrados os cálculos para obtenção das ordenadas dessas duas linhas de influência à cinco metros do apoio A QS 0 2 0 2 0 31 0 2 0 325 0 203 MS 0 6 0 6 0 31 0 4 0 325 0 284 Figura 326 Linhas de influência de esforço cortante e momento fletor na seção S Fonte elaborada pelo autor U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 134 Avançando na prática Traçado do aspecto de linhas de influência de vigas hiperestáticas Descrição da situaçãoproblema A viga da Figura 327 será utilizada como viga de rolamento de uma ponte rolante sobre a qual irá transitar uma carga móvel correspondente a um carro de içamento movido a motor Para dimensionar essa viga submetida a uma carga móvel você deve traçar o aspecto das linhas de influência da reação de apoio em B do momento fletor em C e do esforço cortante em E Figura 327 Viga hiperestática Fonte elaborada pelo autor Resolução da situaçãoproblema Como desejamos apenas definir o aspecto das linhas de influência podemos utilizar o método cinemático retirando os vínculos que transmitem a reação e os esforços dos quais se deseja traçar as linhas de influência e aplicar um deslocamento no sentido contrário à convenção positiva A seguir basta traçar a elástica da viga após a aplicação desses deslocamentos para obter as linhas de influência apresentadas na Figura 328 Figura 328 Linhas de influência Fonte elaborada pelo autor U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 135 1 A viga da Figura 329 será empregada como longarina de uma ponte Durante o projeto dessa ponte você foi requisitado a determinar o aspecto da linha de influência de esforço cortante na seção S da viga Faça valer a pena 2 A viga da Figura 330 será submetida a uma carga móvel uniformemente distribuída O seu escritório de engenharia precisa determinar onde deve ser posicionada essa carga móvel para que ela provoque o valor máximo de momento fletor negativo na seção B da viga Figura 329 Longarina da ponte Fonte elaborada pelo autor Assinale a alternativa que corresponde ao aspecto correto da linha de influência de esforço cortante na seção S da viga da Figura 329 a b c d e Figura 330 Viga que será submetida a uma carga móvel uniformemente distribuída Fonte elaborada pelo autor U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 136 3 A linha de influência de momento fletor na seção S de uma viga é apresentada na Figura 331 com os valores de suas ordenadas a cada dois metros Escolha a alternativa correta que apresenta o trecho em que deve ser posicionada a carga móvel uniformemente distribuída para obter o valor máximo de momento fletor negativo na seção B a Trecho CD b Trecho AB c Trecho DE d Trecho BC e Trecho AC Figura 331 Linha de influência de momento fletor na seção S m Uma carga móvel concentrada unitária irá percorrer essa viga e você deve determinar qual o valor do momento fletor em B quando a carga móvel unitária estiver a quatro metros do apoio A Assinale a alternativa que apresenta o valor correto do momento fletor em B quando a carga móvel unitária estiver a quatro metros do apoio A a 093 kNm b 104 kNm c 0 d 080 kNm e 400 kNm Fonte elaborada pelo autor U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 137 Agora que já aprendemos a traçar as linhas de influência de vigas isostáticas e hiperestáticas veremos como são representadas as cargas móveis que ocorrem em pontes rodoviárias ou ferroviárias Também aprenderemos a representar graficamente os valores extremos de um esforço solicitante que ocorrem ao longo de uma viga submetida a cargas permanentes e móveis Essa representação dos valores extremos dos esforços é chamada de envoltória de esforços Esse estudo permitirá que você execute mais uma etapa do dimensionamento da ponte em que você está trabalhado Uma das vigas dessa ponte está representada na Figura 332 e está submetida à carga móvel indicada além de uma carga permanente uniformemente distribuída de 40 kNm Seção 33 Diálogo aberto Representação esquemática das linhas de influência Figura 332 Viga e carga móvel Fonte elaborada pelo autor Para fazer o dimensionamento dessa viga seu chefe pediu para você traçar a envoltória de momentos fletores da viga analisando seções a cada dois metros ou seja as seções 1 A 2 3 e B U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 138 Para que você consiga cumprir essa tarefa vamos estudar qual é o significado dessa carga móvel e como traçar as envoltórias de esforços solicitantes Somente com o traçado dessa envoltória é que a sua equipe de projeto conseguirá dimensionar essa viga que será utilizada na ponte Bons estudos Não pode faltar Representação esquemática das linhas de influência Para realizar o projeto de uma estrutura de maneira adequada devemos determinar os valores extremos máximo positivo e máximo negativo dos esforços solicitantes que atuam nessa estrutura A determinação desses esforços devidos às cargas fixas cargas que possuem sempre o mesmo ponto de atuação é feita de maneira relativamente simples traçandose os diagramas de esforços solicitantes utilizandose as equações de equilíbrio no caso de estruturas isostáticas ou os métodos das forças ou dos deslocamentos no caso de estruturas hiperestáticas Entretanto esse mesmo procedimento tornase inviável no caso das cargas móveis pois como essa carga pode atuar em qualquer ponto teríamos que traçar diversos diagramas de esforços solicitantes variando a posição da carga para conseguirmos determinar os valores dos esforços extremos Assim quando uma carga móvel atua em uma estrutura devemos primeiramente determinar em que ponto posicionar a carga móvel para que ela provoque o máximo valor positivo ou negativo do esforço solicitante Esse procedimento é feito utilizandose as linhas de influência Como a ordenada da linha de influência em um ponto x de uma viga corresponde ao valor do esforço na seção analisada quando uma carga unitária móvel está sobre esse mesmo ponto x para encontrar o máximo valor positivo desse esforço na seção analisada basta posicionar a carga móvel sobre o trecho positivo da linha de influência A determinação do máximo valor negativo é feita de maneira análoga conforme apresentado na Figura 333 U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 139 Figura 333 Posicionamento da carga móvel Fonte elaborada pelo autor Repetindo esse mesmo procedimento para outras seções da viga é possível encontrar os valores máximos e mínimos do esforço para cada uma dessas seções Isso nos permite fazer a representação gráfica dos valores máximos e mínimos de um determinado esforço em uma viga A curva obtida unindose esses pontos de máximo ou de mínimo é chamada de envoltória de esforço Representação esquemática das forças A representação esquemática das cargas móveis que ocorrem em pontes rodoviárias e ferroviárias normalmente é feita utilizandose cargas concentradas e cargas uniformemente distribuídas conforme a Figura 334 Essa carga móvel também é chamada de tremtipo Figura 334 Tremtipo Fonte elaborada pelo autor U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 140 No tremtipo as cargas concentradas representam os eixos de um veículo de grande porte enquanto que a carga uniformemente distribuída representa os demais veículos de menor porte que circulam na ponte também conhecida como carga de multidão As cargas concentradas podem ter as suas posições invertidas já que o veículo pode transitar nos dois sentidos A carga de multidão por sua vez pode ser interrompida ao longo de alguns trechos da viga visando maximizar ou minimizar os valores do esforço solicitante desejado Os valores das cargas concentradas e uniformemente distribuídas de um tremtipo são definidos por normas de acordo com a categoria da rodovia ou da ferrovia Reflita Caso o tremtipo possua mais do que duas cargas concentradas veículo com mais de dois eixos como é feito o posicionamento delas sobre a linha de influência para obter os esforços extremos Uma carga concentrada intermediária pode ser colocada na extremidade do tremtipo Representação gráfica da força cortante Sabendo qual o tremtipo e qual a carga permanente que atuam sobre uma viga podemos fazer a representação gráfica dos valores extremos da força cortante que é chamada de envoltória de força cortante Para isso devese traçar a linha de influência de vários pontos da seção e em cada uma dessas linhas de influência posicionar a carga móvel de forma a obter os valores máximo e mínimo da força cortante para cada seção O valor da força cortante provocada pela carga móvel em cada seção também deve ser somado ao valor da força cortante provocada pela carga permanente obtido facilmente por meio do diagrama de força cortante Dessa forma cada seção analisada da viga terá um valor máximo maior positivo e um valor mínimo maior negativo Para uma seção S qualquer teremos Q Q Q Smáx S perm Smáx móvel Q Q Q Smín S perm Smín móvel U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 141 Plotando em um gráfico os valores máximos e mínimos da força cortante em cada seção é possível traçar a envoltória de força cortante para a viga Determinar a envoltória de força cortante para a viga da Figura 335 analisando as seções Adir B Cesq Cdir e D supondo que a viga está submetida à carga móvel indicada e a uma carga permanente uniformemente distribuída de 10 kNm Exemplificando Figura 335 Viga e carga móvel Fonte elaborada pelo autor Primeiramente será feita a análise da carga permanente Como trata se de uma viga isostática determinamse as reações de apoio por meio das equações de equilíbrio admitindo momento antihorário positivo permitindo traçar o diagrama de força cortante apresentado na Figura 336 Dessa forma é possível determinar o valor da força cortante provocada pela carga permanente em cada uma das cinco seções analisadas F A x x 0 0 M C C kN A y y 0 10 6 3 10 3 7 5 6 0 67 5 F A C A kN y y y y 0 10 9 0 22 5 Figura 336 Diagrama de força cortante kN Fonte elaborada pelo autor U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 142 A seguir deve ser feita a análise da carga móvel para encontrar os valores máximos e mínimos da força cortante provocados pela carga móvel em cada uma das cinco seções Para isso basta que seja traçada a linha de influência de força cortante para cada seção e posicionada a carga móvel de forma a obterse os valores máximo e mínimo da força cortante em cada seção A linha de influência de força cortante da seção Adir com o posicionamento da carga móvel para determinar os valores máximo e mínimo da força cortante nesta seção é apresentada na Figura 337 Figura 337 Linha de influência de força cortante para a seção Adir Fonte elaborada pelo autor Para encontrar o valor máximo da força cortante nesta seção devemos posicionar o tremtipo somente no trecho positivo da linha de influência A maior carga concentrada deve ser colocada sobre a maior ordenada da linha de influência e a três metros à direita ou à esquerda devese posicionar a outra carga concentrada Nesse caso para obter o maior valor possível a outra carga concentrada foi posicionada à direita U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 143 A seguir basta multiplicar cada carga concentrada pela respectiva ordenada da linha de influência e multiplicar a carga distribuída pela área positiva da linha de influência área de um triângulo Q kN A máx móvel dir 30 1 20 0 5 5 6 1 2 55 Para encontrar o valor mínimo da força cortante nessa seção deve se fazer o mesmo procedimento porém posicionando o tremtipo somente no trecho negativo da linha de influência Q kN A mín móvel dir 30 0 5 20 0 5 3 0 5 2 18 75 Por fim para que sejam encontrados os valores máximo e mínimo da força cortante na seção Adir basta que sejam somados os valores extremos provocados pela carga móvel ao valor da força cortante em Adir devido à carga permanente obtido da Figura 336 Q Q Q kN A máx A perm A máx móvel dir dir dir 22 5 55 77 5 Q Q Q kN A mín A perm A mín móvel dir dir dir 22 5 18 75 3 75 Procedimento análogo deve ser feito para determinar os valores máximo e mínimo da força cortante nas outras quatro seções da viga Esses procedimentos para as demais seções ficam como estudo para os alunos sendo que os resultados podem ser conferidos na Tabela 31 que apresenta um resumo dos resultados desses cálculos com os valores finais máximo e mínimo para cada seção Tabela 31 Tabela resumo Força Cortante kN Seção Permanente Móvel Envoltória máx mín máx mín Adir 2250 5500 1875 7750 375 B 750 1875 2250 1125 3000 Cesq 3750 000 5875 3750 9625 Cdir 3000 6500 000 9500 3000 D 000 3000 000 3000 000 Fonte elaborada pelo autor U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 144 Plotando as duas últimas colunas da Tabela 31 obtêmse a envoltória de força cortante da viga conforme a Figura 338 Figura 338 Envoltória de força cortante kN Fonte elaborada pelo autor Procedimento para determinar os valores máximos ou mínimos de um esforço em uma seção da viga sujeita a uma carga permanente e a uma carga móvel Determinar o valor do esforço devido à carga permanente na seção analisada traçando o diagrama de esforço Traçar a linha de influência do esforço para a seção analisada Posicionar o tremtipo somente no trecho positivo ou negativo Posicionar a maior carga concentrada na maior ordenada Multiplicar as cargas concentradas pelas respectivas ordenadas Multiplicar a carga distribuída pela área da linha de influência Somar o resultado das multiplicações para encontrar o esforço devido à carga móvel Somar os esforços devido às cargas permanente e móvel Assimile U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 145 Representação gráfica do momento fletor A representação gráfica dos momentos fletores máximos e mínimos que corresponde à envoltória de momento fletor é feita de forma análoga à envoltória de força cortante ou seja traçando a linha de influência em várias seções ao longo da viga determinam se os valores máximos e mínimos de momento fletor para essas seções provocados pela carga móvel Esses valores são somados ao momento fletor provocado pela carga permanente permitindo traçar a envoltória de momento fletor Para as vigas isostáticas o método cinemático nos permite traçar e determinar as ordenadas de qualquer linha de influência facilmente Entretanto no caso de vigas hiperestáticas o método cinemático nos permite apenas determinar o aspecto da linha de influência mas não as suas ordenadas Portanto para traçar a envoltória de esforços de uma viga hiperestática devemos determinar o aspecto da linha de influência do esforço em várias seções ao longo da viga Isso nos permite identificar onde devemos posicionar a carga móvel para encontrar os valores máximo e mínimo do esforço em cada seção Para encontrar esses valores basta que a carga móvel seja posicionada no local adequado e que a viga hiperestática seja resolvida por algum dos métodos de resolução de estruturas hiperestáticas método das forças ou método dos deslocamentos Repetindo esse processo para várias seções e somando os valores provocados pela carga móvel aos valores provocados pela carga permanente obtido também pelo método das forças ou dos deslocamentos é possível traçar a envoltória de um determinado esforço para a viga hiperestática Considere a viga da Figura 339 que possui E I 104 kN cm 2 da qual se deseja traçar a envoltória de momento fletor analisando as seções indicadas A viga está submetida a uma carga permanente uniformemente distribuída de 6 kNm bem como a uma carga móvel uniformemente distribuída de 10 kNm Exemplificando U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 146 Figura 339 Viga hiperestática Fonte elaborada pelo autor Resolvendo a viga apenas para a carga permanente usando o método das forças ou dos deslocamentos obtemos o diagrama de momento fletor da viga conforme a Figura 340 Essa resolução fica a cargo dos alunos para relembrar e exercitar os conceitos aprendidos na Unidade 2 Figura 340 Diagrama de momento fletor kNm Fonte elaborada pelo autor Para determinar o valor máximo e mínimo do momento fletor provocado pela carga móvel na seção B traçamos o aspecto da linha de influência de momento fletor nesta seção por meio do método cinemático Dessa forma fica claro onde devemos posicionar a carga móvel para obter os valores máximo e mínimo de momento fletor conforme a Figura 341 Figura 341 LI MB com posicionamento da carga móvel Fonte elaborada pelo autor U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 147 Assim o valor máximo de momento fletor na seção B devido à carga móvel é encontrado com a resolução da viga hiperestática pelo método das forças ou dos deslocamentos com a carga de 10 kNm posicionada entre as seções A e C Já o valor mínimo de momento fletor na seção B devido à carga móvel é encontrado por meio da resolução da viga hiperestática com a carga de 10 kNm posicionada entre as seções C e G Novamente os cálculos ficam como estudo para os alunos e os resultados são M kN m M kN m Bmáx móvel Bmín móvel 4 17 6 67 Somandose esses valores com o momento provocado pela carga permanente considerando momento positivo aquele que traciona o lado debaixo da viga M kN m M kN m Bmáx Bmín 15 4 17 2 67 15 6 67 8 17 Repetindo o procedimento para as demais seções é possível traçar a envoltória de momento fletor apresentada na Figura 342 Figura 342 Envoltória de momento fletor kNm Fonte elaborada pelo autor O traçado de envoltória de esforços é fundamental para o dimensionamento de pontes rodoviárias Bons exemplos podem ser encontrados na literatura Martha L F Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Rio de Janeiro Editora Elsevie 2010 Capítulo 14 Pesquise mais U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 148 Sem medo de errar Para finalizar o projeto da ponte em que está trabalhando você deve traçar a envoltória de momento fletor da viga da Figura 332 Isso irá permitir que sejam encontrados os momentos fletores extremos que atuam nas seções da viga o que possibilita realizar o seu correto dimensionamento O primeiro passo consiste em determinar as reações de apoio e traçar o diagrama de momento fletor da viga conforme a Figura 343 quando ela está submetida a uma carga permanente uniformemente distribuída de 40 kNm Foi adotada a convenção de momento antihorário positivo Dessa forma é possível determinar o valor do momento fletor provocado pela carga permanente nas seções afastadas a cada dois metros F A x x 0 0 M B B kN A y y 0 40 2 1 40 6 3 6 0 106 67 F A B A kN y y y y 0 40 8 0 213 33 Figura 343 Diagrama de momento fletor kNm Fonte elaborada pelo autor A seguir devese traçar a linha de influência de momento fletor em cada uma das seções e posicionar a carga móvel de maneira a obter se o momento fletor máximo e mínimo em cada seção Como nas seções 1 e B o momento fletor é sempre nulo independentemente da posição da carga por ser a extremidade de uma viga sem nenhum momento aplicado nessas extremidades serão traçadas as linhas de influência apenas das outras três seções A 2 e 3 Essas linhas de influência já com o posicionamento adequado da carga móvel são apresentadas na Figura 344 Os valores dos momentos extremos são apresentados na sequência U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 149 Figura 344 Linhas de influência e posicionamento da carga móvel Fonte elaborada pelo autor M M kN Amáx móvel Amín móvel 0 300 2 20 2 2 2 640 m U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 150 M kN máx móvel 2 300 133 200 0 67 20 133 6 2 612 8 m M kN m mín móvel 2 300 133 20 133 2 2 425 6 M kN máx móvel 3 300 133 200 0 67 20 133 6 2 612 8 m M kN m mín móvel 3 300 0 67 20 0 67 2 2 214 4 Somandose os momentos provocados pela carga permanente aos momentos provocados pela carga móvel chegamos nos valores da envoltória de momentos fletores conforme a Tabela 32 A envoltória encontrase na Figura 345 Tabela 32 Tabela de momento fletor Momento fletor kNm Seção Permanente Móvel Envoltória máx mín máx mín 1 000 000 000 000 000 A 8000 000 64000 8000 72000 2 10667 61280 42560 71947 31893 3 13333 61280 21440 74613 8107 B 000 000 000 000 000 Fonte elaborada pelo autor Figura 345 Envoltória de momento fletor kNm Fonte elaborada pelo autor U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 151 Avançando na prática Determinação da máxima carga móvel que pode ser aplicada em uma viga Descrição da situaçãoproblema A viga da Figura 346 faz parte de uma ponte que já foi previamente dimensionada há alguns anos e já está em uso Sabese que uma carga permanente uniformemente distribuída de 8 kNm está atuando sobre a viga Uma empresa de transporte rodoviário deseja passar com um de seus caminhões sobre essa ponte e precisa saber qual o peso máximo de veículo que a viga suporta Ao consultar a memória de cálculo da viga você identificou que parte dos cálculos foi perdido sendo encontrada apenas a informação de que na sua seção central seção A a viga suporta um momento máximo de 65 kNm Para o tremtipo apresentado na Figura 346 determine o valor de P Figura 346 Viga e tremtipo Fonte elaborada pelo autor Resolução da situaçãoproblema O momento na seção central da viga seção A provocado pela carga permanente é dado por M q l kN m A perm 2 2 8 8 4 8 16 Para o encontro do momento máximo na seção A provocado pela carga móvel devese traçar a linha de influência de momento em A e posicionar a carga móvel adequadamente conforme a Figura 347 U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 152 Figura 347 Linha de influência de momento fletor em A m Fonte elaborada pelo autor M P P P kN m Amáx móvel 2 1 0 5 12 1 4 2 2 5 24 Somando o momento em A provocado pela carga permanente ao máximo momento em A provocado pela carga móvel temos o valor máximo da envoltória nessa seção ou seja o máximo momento solicitante que ocorre em A Igualando o momento solicitante com o momento resistente de 65 kNm encontramos o valor de P M M M kN m Amáx Rd Amáx 65 M M M P P kN Amáx A perm Amáx móvel 65 16 2 5 24 10 1 A viga hiperestática da Figura 348 está submetida a uma carga móvel uniformemente distribuída de 5 kNm Para fazer o dimensionamento da armadura negativa dessa viga armadura posicionada na parte superior da seção transversal da viga para resistir ao momento negativo que tracionar as fibras dessa região é necessário determinar em que trecho da viga deve ser aplicada essa carga móvel para se obter o valor mínimo maior valor negativo do momento fletor na seção C Faça valer a pena U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 153 Assinale a alternativa correta que contém os trechos em que a carga móvel deve ser aplicada para se obter o valor mínimo de momento fletor na seção C a No trecho AB b Nos trechos BC e DE c No trecho BD d Nos trechos AB e DE e Nos trechos AB e BD Figura 348 Viga hiperestática Fonte elaborada pelo autor 2 A viga da Figura 349 será utilizada em uma ponte rodoviária e está submetida ao tremtipo indicado Para o dimensionamento da viga é necessário determinar os valores máximo e mínimo de momento fletor que ocorrem na seção C provocados pelo tremtipo indicado Figura 349 Viga e tremtipo Fonte elaborada pelo autor Marque a alternativa correta que apresenta os valores máximo e mínimo de momento fletor na seção C provocados pelo tremtipo a 74 kNm e 101 kNm b 55 kNm e 90 kNm c 148 kNm e 150 kNm d 130 kNm e 58 kNm e 201 kNm e 120 kNm U3 Linhas de influência estruturas hiperestáticas 154 3 A viga da Figura 350 está submetida a uma carga permanente uniformemente distribuída de 12 kNm e ao tremtipo indicado Para dimensionar a viga ao cisalhamento você deve encontrar quais são o máximo e o mínimo esforço cortante que atuam na seção C da viga Figura 350 Viga e tremtipo Fonte elaborada pelo autor Assinale a alternativa que apresenta os valores máximo e mínimo de esforço cortante para a seção C da viga a 25 kN e 12 kN b 8 kN e 52 kN c 12 kN e 36 kN d 35 kN e 35 kN e 42 kN e 33 kN HIBBELER RC Análise das Estruturas São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 MARTHAL F Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Rio de Janeiro Editora Elsevie 2010 SERRA J L F de A Estática das Estruturas II Estudo de Vigas Contínuas Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Civil Arquitetura e Urbanismo LimeiraSP 1985 SÜSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural 1 Método das deformações Processo de Cross 6 ed Porto Alegre Rio de Janeiro Globo 1981 Curso de Análise Estrutural 2 Deformações em estruturas Método das forças 4 ed Porto Alegre Globo 1980 Referências Unidade 4 Método da Rigidez e Processo de Cross Convite ao estudo Caro aluno bemvindo à última unidade da disciplina de Es truturas Hiperestáticas Neste momento iremos nos aprofundar no Método dos Deslocamentos que já estudamos na Unidade 2 aprendendo outros métodos para a resolução de estruturas hiperestáticas que se baseiam no Método dos Deslocamentos O primeiro método que veremos nesta unidade o Método da Rigidez é amplamente empregado em programas compu tacionais de análise estrutural Você já pensou em como es ses programas resolvem os mais variados tipos de estruturas A resposta está no Método da Rigidez que é empregado nos mais complexos e elaborados programas computacionais de análise estrutural Portanto o estudo desse método é funda mental para que ao utilizar um programa desse tipo você te nha o conhecimento de como ele está resolvendo o problema Já o segundo método que estudaremos nesta unidade o Processo de Cross é um método extremamente rápido e prático para a resolução de vigas hiperestáticas Portanto o conhecimento desse método irá facilitar muito a sua vida pro fissional na resolução de vigas hiperestáticas que são um ele mento estrutural muito comum nas mais diversas estruturas Mas o Processo de Cross não se resume apenas a vigas ele também pode ser empregado em pórticos Com os estudos desta unidade você será capaz de resol ver os mais variados tipos de estruturas hiperestáticas Além disso os conhecimentos desta unidade podem abrir as portas para uma nova área de atuação na qual você talvez ainda não tenha pensado em trabalhar antes de estudar esse assunto a área de desenvolvimento de programas computacionais para análise estrutural Por saber que você está estudando esse assunto uma em presa de elaboração de software para estruturas o contratou Dentre os desafios nessa área de trabalho está o uso de ma trizes no cálculo das estruturas Como este será o foco princi pal do novo programa da empresa seu novo trabalho requer que você se dedique a aprender como analisar as estruturas hiperestáticas por meio de matriz Quais os parâmetros do Método da Rigidez Como aplicar o Processo de Cross em diferentes estruturas Esta é a hora de encontrar as respostas a essas perguntas e vencer esse novo desafio 159 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Análise matricial de treliças Seção 41 Diálogo aberto O Método da Rigidez é muito empregado no desenvolvimento de programas computacionais de análise estrutural Isso se deve ao fato de ser um método que pode ser facilmente programável e que pode ser utilizado para resolver qualquer tipo de estrutura Esse método nada mais é do que a aplicação do Método dos Deslocamentos já estudado na Seção 23 desta disciplina Porém no Método da Rigidez usamos a notação matricial o que facilita a programação do método Dessa forma esse método também é conhecido como análise matricial Para iniciar os estudos iremos verificar como aplicar o Método da Rigidez em treliças planas Como os únicos esforços que atuam nas barras das treliças são os esforços axiais isso simplifica um pouco a aplicação desse método Um dos pontos mais importantes desse mé todo é a definição da matriz de rigidez da estrutura que leva em con sideração a rigidez de todas as barras que fazem parte da estrutura Em seu primeiro projeto você foi contratado para utilizar a aná lise matricial na determinação dos esforços axiais que atuam nas barras de uma treliça Como o Método da Rigidez pode ser usado no cálculo de treliças Qual a metodologia Para conseguir responder a esses questionamentos você deve compreender todas as etapas que fazem parte do Método da Ri gidez análise matricial aplicado em treliças Ao final desta seção tendo os conhecimentos adequados de programação você será capaz de desenvolver o seu próprio programa de análise de treliças Não pode faltar Método da Rigidez treliças O Método da Rigidez pode ser empregado para a resolução dos mais diversos tipos de estruturas sejam elas isostáticas ou hiperestá 160 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross ticas incluindo treliças vigas ou pórticos tanto em duas quanto em três dimensões Esse método é uma simplificação do Método dos Elementos Finitos utilizado pelos mais sofisticados programas com putacionais de análise estrutural e para a sua aplicação a estrutura é dividida em uma série de elementos No caso das treliças cada barra é um elemento e esses elementos são conectados pelos nós da treliça Como o Método da Rigidez nada mais é do que a aplicação do Método dos Deslocamentos as etapas básicas de cálculo são as mesmas apresentadas na Seção 23 ou seja primeiramente são de terminados os deslocamentos nos nós da estrutura Posteriormen te são encontrados os esforços que atuam na estrutura que no caso das treliças se resumem aos esforços axiais nas barras Como o enfoque do Método da Rigidez é a sua implementação computa cional os cálculos serão desenvolvidos na forma matricial o que fa cilita a programação desse método Por esse motivo esse método de análise estrutural também pode ser chamado de análise matricial Para iniciar a aplicação do Método da Rigidez em treliças deve mos fazer a identificação e a numeração dos membros barras e dos nós da treliça Na Figura 41a os membros estão numerados dentro de um quadrado enquanto os nós estão numerados dentro de um círculo Para definir os nós inicial e final de cada membro uma seta voltada para o nó final é desenhada em cada membro Figura 41 a Treliça b Coordenadas locais de um membro Fonte elaborada pelo autor A seguir devem ser definidas as coordenadas globais e locais O sistema de coordenadas globais x e y conforme definido na Figura 41a será usado para definir a direção e o sentido dos deslocamen tos nodais e das forças externas aplicadas na treliça Já o sistema 161 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross de coordenadas locais x e y será usado para definir a direção e o sentido dos deslocamentos e esforços internos ao longo do com primento de cada membro Conforme a Figura 41b a origem do sistema de coordenadas locais de um membro sempre é posiciona do no nó inicial desse membro Os deslocamentos que podem ocorrer em um nó de uma dada estrutura são denominados de graus de liberdade Em uma treliça plana cada nó pode apresentar três deslocamentos um desloca mento horizontal um deslocamento vertical e uma rotação Porém como os nós de uma treliça possuem a rotação totalmente livre esse deslocamento não fará parte das incógnitas do nosso proble ma já que a rotação dos nós não transmitirá momentos fletores para as barras da treliça Assim cada nó da treliça possui dois graus de liberdade deslocamento horizontal e deslocamento vertical Cada um desses graus de liberdade nos nós da treliça deve ser numerado segundo a orientação das coordenadas globais conforme a Figu ra 41a Para facilitar a resolução posterior do problema os graus de liberdade desconhecidos deslocamentos livres são numerados primeiro deixando por último a numeração dos graus de liberdade conhecidos deslocamentos nulos devido aos apoios As próximas etapas do Método da Rigidez são análogas às etapas do Método dos Deslocamentos porém desenvolvidas na forma ma tricial A seguir essas etapas serão apresentadas em detalhes Matriz de rigidez do membro A matriz de rigidez de um membro segundo a orientação das coordenadas locais x e y representa a relação entre força e des locamento de uma barra da estrutura No caso de barras de treliça temos apenas forças e deslocamentos atuando ao longo do eixo longitudinal da barra eixo x Conforme estudado na Seção 23 ao aplicarmos um deslocamento unitário ao longo do eixo longitudinal de uma barra de comprimento L as forças que aparecem nas extre midades da barra para que o deslocamento unitário seja mantido são dadas por seu coeficiente de rigidez local E A L apresentando sentidos opostos em cada extremidade da barra Assim caso o des locamento aplicado na extremidade da barra seja diferente do valor unitário basta multiplicar esse coeficiente de rigidez local pelo valor 162 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross do deslocamento aplicado A Figura 42 apresenta três casos possíveis de deslocamentos axiais que podem ocorrer em uma barra de treliça Figura 42 Deslocamentos axiais em uma barra de treliça Fonte elaborada pelo autor No caso 1 um deslocamento di é aplicado no nó inicial da bar ra surgindo as forças f i e f f nos nós inicial e final da barra respec tivamente A força f i é positiva pois está no sentido positivo do eixo x enquanto a força f f é negativa pois está no sentido negativo do eixo x e seus valores são f E A L d f E A L d i i f i No caso 2 um deslocamento df é aplicado no nó final da barra surgindo as forças f i e f f nos nós inicial e final da barra respecti vamente dadas por f E A L d f E A L d i f f f Assim no caso 3 que é o caso mais geral quando são aplica dos deslocamentos em ambas as extremidades da barra as forças fi e ff que aparecem em suas extremidades são obtidas pela super posição dos casos 1 e 2 f E A L d E A L d f E A L d E A L d i i f f i f Essas equações podem ser escritas na forma matricial f kd k f f E A L d d E A L 1 1 1 1 onde 1 1 1 1 i f i f A matriz k é chamada de matriz de rigidez do membro e é semelhante para qualquer barra de uma treliça Uma vez conhe cidos os deslocamentos nas extremidades de uma barra podese 163 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross usar a relação anterior para encontrar o valor do esforço axial que atua nessa barra Essa matriz k tem como referência as coordenadas locais da barra Porém como normalmente cada barra da treliça pode apre sentar um posicionamento e um sistema de coordenadas locais di ferente do global devemos fazer a transformação para as coorde nadas globais x e y Considere uma barra inclinada de uma treliça conforme a Figura 43 Figura 43 Barra inclinada de uma treliça Fonte elaborada pelo autor Os deslocamentos axiais nas extremidades inicial di e final df que estão orientados segundo o eixo local x podem ser expressos segundo o sistema global x e y De maneira semelhante as forças que atuam segundo o sistema de eixos global x e y podem ser ex pressas em função das forças axiais nas extremidades inicial fi e final ff que estão orientadas segundo o eixo local x q q q q q q q q d D D sen d D D sen F f F f sen F f F f sen cos cos cos cos i ix iy f fx fy ix i iy i fx f fy f Escrevendo na forma matricial temos q q q q q q q q d d sen sen D D D D F F F F sen sen f f cos 0 0 0 0 cos cos 0 0 0 cos 0 i f ix iy fx fy ix iy fx fy i f d TD F T f T 164 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross A matriz T que contém o seno e o cosseno do ângulo de incli nação da barra é chamada de matriz de transformação de coor denadas e é responsável por transformar os deslocamentos do sistema de coordenadas global vetor D para o sistema de coorde nadas local vetor d De maneira semelhante a matriz T T matriz de transformação transposta transforma as forças do sistema de coordenadas local vetor f para o sistema de coordenadas glo bal vetor F Substituindo as equações anteriores na equação que contém a matriz de rigidez k do membro e multiplicando ambos os lados da expressão por T T f kd f kTD T f T kTD F kD T T Onde k é a matriz de rigidez do membro escrita no sistema de coordenadas global q q q q q q q q k T kT sen sen E A L sen sen cos 0 0 0 cos 0 1 1 1 1 cos 0 0 0 0 cos T q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q k E A L sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 Os valores de q cos e q sen podem ser positivos ou negativos dependendo de qual quadrante está localizado o ângulo q Matriz de rigidez da treliça Uma vez conhecida a matriz de rigidez global k de cada mem bro podemos determinar a matriz de rigidez da treliça K Esse procedimento é feito somandose a matriz de rigidez de todos os membros da treliça A matriz de rigidez da treliça K terá ordem igual ao número de graus de liberdade da treliça Dessa forma a ma triz de rigidez de um membro k irá contribuir nas posições relativas aos graus de liberdade de suas extremidades 165 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Para exemplificar a montagem da matriz de rigidez da estrutura iremos determinar a matriz de rigidez da treliça da Figura 44a que possui E A constante O primeiro passo consiste em numerar os nós as barras os graus de liberdade e definir os nós inicial e final de cada barra conforme a Figura 44b Os graus de liberdade desconhecidos 1 e 2 foram nume rados primeiro seguidos dos graus de liberdade conhecidos 3 4 5 e 6 para facilitar os cálculos posteriores conforme já comentado Figura 44 a Treliça b Numeração dos graus de liberdade Fonte elaborada pelo autor Prosseguese com a determinação da matriz de rigidez de cada mem bro já nas coordenadas globais onde q1 e q2 são os ângulos que as barras 1 e 2 fazem com a horizontal eixo global x Os valores do cos seno e do seno desses ângulos são obtidos facilmente por trigono metria uma vez que são fornecidas as cotas de localização dos nós da treliça As linhas e as colunas das matrizes de rigidez dos membros estão identificadas com a numeração dos graus de liberdade dos nós inicial e final de cada membro Membro 1 q q L m sen 4 cos 1 0 1 1 1 Graus de liberdade 1 e 2 para o nó inicial 3 e 4 para o nó final q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q k E A L sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen 1 2 3 4 cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 1 2 3 4 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 Exemplificando 166 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross k E A 1 2 3 4 025 0 025 0 0 0 0 0 025 0 025 0 0 0 0 0 1 2 3 4 1 Membro 2 q q L m sen 5 cos 08 06 2 2 2 Graus de liberdade 1 e 2 para o nó inicial 5 e 6 para o nó final q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q k E A L sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen 1 2 5 6 cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 1 2 5 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k E A 1 2 5 6 0128 0096 0128 0096 0096 0072 0096 0072 0128 0096 0128 0096 0096 0072 0096 0072 1 2 5 6 2 Como a treliça possui seis graus de liberdade a matriz de rigidez dessa treliça terá dimensão 6x6 As matrizes de rigidez dos dois membros são somadas e cada uma delas contribui nas posições de seus respectivos graus de liberdade Assim k1 irá contribuir nas linhas e colunas 1 2 3 e 4 da matriz de rigidez da treliça enquanto k2 irá contribuir nas linhas e colunas 1 2 5 e 6 K E A 1 2 3 4 5 6 0378 0096 025 0 0128 0096 0096 0072 0 0 0096 0072 025 0 025 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0128 0096 0 0 0128 0096 0096 0072 0 0 0096 0072 1 2 3 4 5 6 167 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Embora o processo de montagem da matriz de rigidez da estrutura seja trabalhoso de ser feito manualmente reflita em como esse processo pode ser facilmente utilizado na elaboração de programas de compu tadores que realizam análises estruturais o que permite a resolução de estruturas complexas de forma rápida e eficiente Reflita Aplicação do Método da Rigidez Uma vez determinada a matriz de rigidez da treliça podese montar a equação de rigidez global da treliça que na forma matri cial supondo uma estrutura com seis graus de liberdade fica F KD F F F F F F K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K D D D D D D g g 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 1 2 3 4 5 6 Onde K é a matriz de rigidez da treliça Fg é o vetor global de forças externas que atuam em cada grau de liberdade da treliça Dg é o vetor global de deslocamentos que atuam em cada grau de liberdade da treliça Como os graus de liberdade desconhecidos foram numerados primeiro os primeiros deslocamentos do vetor Dg são desconhe cidos incógnitas do problema enquanto os últimos deslocamentos já são conhecidos e correspondem aos deslocamentos nos apoios que usualmente são nulos Já no vetor Fg as primeiras forças corres pondem às cargas aplicadas nos nós da treliça forças conhecidas enquanto as últimas forças correspondem às reações de apoio for ças desconhecidas Portanto esse é um problema de seis equações e seis incógnitas algumas incógnitas são deslocamentos e outras são forças ou seja as reações de apoio e pode ser solucionado Para resolver o problema de uma maneira mais fácil eliminam se as linhas e colunas correspondentes aos graus de liberdade dos apoios já que os deslocamentos nesses graus de liberdade são nu los Caso por exemplo os apoios estejam impedindo os desloca mentos correspondentes aos graus de liberdade 3 4 5 e 6 essas 168 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross linhas e colunas podem ser eliminadas já que D3 D4 D5 e D6 são nulos Assim o sistema de equações fica F F K K K K D D 1 2 11 12 21 22 1 2 Como F1 e F2 são conhecidos forças aplicadas nos nós da tre liça resolvendo esse sistema encontramse os deslocamentos des conhecidos D1 e D2 Para determinar as reações de apoio basta substituir os valores de D1 e D2 no sistema de equações global e en contrar as forças F3 F4 F5 e F6 Uma vez que D3 D4 D5 e D6 são nulos a determinação das reações de apoio se resume em resolver F F F F K K K K K K K K D D 3 4 5 6 31 32 41 42 51 52 61 62 1 2 A última etapa do problema consiste em determinar os esforços que atuam nas barras da treliça Como já conhecemos os desloca mentos em todos os nós das barras basta utilizar a equação definida para cada membro da treliça seguindo coordenadas locais Lem brando que como temos os deslocamentos orientados segundo as coordenadas globais vetor D devemos utilizar a matriz de transfor mação T para transformar esses deslocamentos segundo as coor denadas locais vetor d Para uma barra que por exemplo possui os graus de liberdade 1 2 3 e 4 nas suas extremidades teremos q q q q f kd f kTD f f E A L sen sen D D D D 1 1 1 1 cos 0 0 0 0 cos i f 1 2 3 4 Como as forças nos nós inicial fi e final ff são iguais em mó dulo apresentando apenas sinais opostos para manter o equilíbrio da barra basta determinar ff que pela Figura 42 traciona a barra para termos o esforço que atua na barra q q q q f E A L sen sen D D D D cos cos f 1 2 3 4 169 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross O Método da Rigidez segue os mesmos passos do Método dos Deslo camentos porém utilizando a forma matricial Os passos principais dos dois métodos são 1 A determinação da matriz de rigidez local do membro k no Méto do da Rigidez é equivalente à determinação dos coeficientes de rigidez locais no Método dos Deslocamentos 2 A determinação da matriz de rigidez global da estrutura K no Mé todo da Rigidez equivale à determinação dos coeficientes de rigidez globais no Método dos Deslocamentos 3 Em ambos os métodos a determinação dos deslocamentos desco nhecidos é feita pela resolução de um sistema de equações Assimile O procedimento apresentado também pode ser empregado para a re solução de treliças espaciais treliças com barras submetidas à variação de temperatura e defeitos de fabricação ou treliças com recalque de apoio Para conhecer exemplos dessas situações leia o capítulo 14 do seguinte livro disponível na Biblioteca Virtual HIBBELER R C Análise das estruturas 8 ed São Paulo Pearson Edu cation do Brasil 2013 Pesquise mais Sem medo de errar Após estudar o Método da Rigidez você já tem condições de desenvolver o seu primeiro projeto na empresa de elaboração de software para estruturas onde você acaba de ser contratado Nesse primeiro projeto você deve utilizar a análise matricial para determi nar os esforços que atuam nas barras de uma treliça Para executar esse projeto é fundamental que você especifique a metodologia que deve ser utilizada para o cálculo de treliças pelo Método da Rigidez O primeiro passo consiste em numerar os nós e as barras mem bros da treliça definindo quais são os nós inicial e final de cada barra A seguir os graus de liberdade também devem ser numera dos São dois graus de liberdade por nó de treliça um deslocamen to horizontal e um deslocamento vertical Para facilitar os cálculos posteriores os graus de liberdade desconhecidos são numerados Fg K Dg F1 K11 K12 K13 K14 K1n D1 de estrutura analisada A principal diferença diz respeito à matriz de rigidez do elemento que é diferente para um elemento de treliça um elemento de viga e um elemento de pórtico 172 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Resolução da situaçãoproblema Podese notar que a treliça da Figura 45 possui a mesma geo metria da treliça da Figura 44a para a qual já foi determinada a Avançando na prática Determinação dos esforços nas barras de uma treliça pelo Método da Rigidez Descrição da situaçãoproblema A treliça da Figura 45 está sendo utilizada para suportar uma carga de 5 kN em sua extremidade livre Utilizando o Método da Rigidez determine os esforços que atuam nas barras dessa treliça sabendo que E A 8 106 kN para todas as barras da treliça Figura 45 Treliça suportando carga de 5 kN Fonte elaborada pelo autor Como os esforços axiais nos nós inicial e final da barra são iguais basta determinar uma delas por exemplo o esforço no nó final q q q q f E A L sen sen D D D D cos cos f 1 2 3 4 Como na definição da formulação anterior ff foi definida como uma força de tração caso o resultado seja positivo a barra estará tra cionada e caso o resultado seja negativo a barra estará comprimida Com essa metodologia definida é possível fazer a implementa ção computacional do Método da Rigidez para treliças permitindo resolver qualquer tipo de treliça 173 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Figura 46 Numeração de nós barras e graus de liberdade Fonte elaborada pelo autor Para encontrar os deslocamentos e as reações de apoio desco nhecidos basta resolver o seguinte sistema de equações Os deslocamentos D1 e D2 são desconhecidos enquanto D3 D4 D5 e D6 são nulos já que os deslocamentos referentes aos graus de liberdade 3 4 5 e 6 estão impedidos devido aos apoios Consequentemente as forças F3 F4 F5 e F6 são desconhecidas pois são as reações de apoio Como não temos nenhuma carga F KD F F F F F F K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K D D D D D D g g 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 1 2 3 4 5 6 matriz de rigidez K Portanto podemos utilizar esse resultado para encontrar os esforços nas barras da treliça na qual é aplicada uma carga de 5 kN em sua extremidade livre É importante salientar que para que possamos usar a mesma matriz de rigidez da treliça K devemos adotar as mesmas numerações de nós barras e graus de liberdade utilizadas na determinação da matriz de rigidez Essa nu meração é apresentada na Figura 46 174 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross aplicada na direção do grau de liberdade 1 a força F1 é nula Já na direção do grau de liberdade 2 temos F 5kN 2 negativo pois a carga está no sentido contrário ao grau de liberdade 2 positivo Substituindo esses valores na equação anterior assim como a ma triz de rigidez já determinada usando E A 8 106 kN temos F F F F D D 0 5 8 10 0378 0096 025 0 0128 0096 0096 0072 0 0 0096 0072 025 0 025 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0128 0096 0 0 0128 0096 0096 0072 0 0 0096 0072 0 0 0 0 3 4 5 6 6 1 2 Eliminando as linhas 3 4 5 e 6 correspondentes aos graus de li berdade com deslocamentos nulos temos o seguinte sistema com sua respectiva solução D D 0 5 8 10 0378 0096 0096 0072 6 1 2 D m D m 333 10 13125 10 1 6 2 6 Substituindo os valores de D1 e D2 no sistema de equações ori ginal encontramos as reações de apoio F F F F 8 10 025 0 0 0 0128 0096 0096 0072 333 10 13125 10 3 4 5 6 6 6 6 F kN F kN F kN F kN 667 0 667 5 3 4 5 6 Por fim determinamse os esforços nas barras 1 e 2 usando a equação Para a barra 1 q q q q f E A L sen sen D D D D cos cos 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 175 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross f kN compressão 8 10 4 1 0 1 0 333 10 13125 10 0 0 667 1 6 6 6 Para a barra 2 q q q q f E A L sen sen D D D D cos cos 2 2 2 2 2 2 1 2 5 6 f kN tração 8 10 5 08 06 08 06 333 10 13125 10 0 0 833 2 6 6 6 Faça valer a pena 1 Uma barra de uma treliça possui 2 metros de comprimento e E A 4 106 kN Seu eixo forma um ângulo de 60 com a horizontal A matriz de rigidez k dessa barra segundo as coordenadas globais x horizon tal e y vertical é dada por k k k k k k k k k k k k k k k k k 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 Assinale a alternativa que contém os valores corretos dos elementos k22 e k43 da matriz de rigidez dessa barra a k 05 10 22 6 e k 087 10 43 6 b k 15 10 22 6 e k 087 10 43 6 c k 05 10 22 6 e k 087 10 43 6 d k 15 10 22 6 e k 087 10 43 6 e k 087 10 22 6 e k 05 10 43 6 176 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Marque a alternativa que apresenta a dimensão correta da matriz de rigidez da treliça a 30x30 b 10x30 c 10x10 d 20x10 e 20x20 3 A treliça da figura a seguir que possui E A 106 kN para todas as suas barras tem a numeração de seus nós barras e graus de liberdade conforme indicado A matriz de rigidez de cada barra já segundo as coordenadas globais já foi determinada k k 10 025 0 025 0 0 0 0 0 025 0 025 0 0 0 0 0 10 0128 0096 0128 0096 0096 0072 0096 0072 0128 0096 0128 0096 0096 0072 0096 0072 1 2 6 6 Treliça da cobertura de um galpão industrial Fonte elaborada pelo autor 2 A treliça da figura a seguir será utilizada em uma cobertura de um galpão industrial A sua empresa foi contratada para projetar a treliça e a deter minação dos esforços solicitantes em cada barra da treliça será feita pelo Método da Rigidez Para tanto é necessário saber qual o tamanho da matriz de rigidez da treliça Fonte elaborada pelo autor Treliça 177 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Para resolver essa treliça pelo Método da Rigidez devese determinar a ma triz de rigidez da treliça que tem o seguinte formato K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 Assinale a alternativa que contém os valores corretos dos elementos K25 K31 e K66 da matriz de rigidez da treliça da figura apresentada a K 0 25 K 0 31 e K 0128 10 66 6 b K 0096 10 25 6 K 025 10 31 6 e K 0402 10 66 6 c K 025 10 25 6 K 0072 10 31 6 e K 033 10 66 6 d K 033 10 25 6 K 0 31 e K 0402 10 66 6 e K 0096 10 25 6 K 033 10 31 6 e K 025 10 66 6 k k 10 025 0 025 0 0 0 0 0 025 0 025 0 0 0 0 0 10 0128 0096 0128 0096 0096 0072 0096 0072 0128 0096 0128 0096 0096 0072 0096 0072 1 2 6 6 k 10 0 0 0 0 0 033 0 033 0 0 0 0 0 033 0 033 3 6 178 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Análise matricial de vigas e pórticos Seção 42 Diálogo aberto Tendo compreendido a aplicação do Método da Rigidez para tre liças podemos partir para a utilização desse mesmo método na reso lução de vigas e pórticos Esse método também chamado de análise matricial pode ser empregado para os mais diversos tipos de estrutu ras Como se trata do mesmo método estudado anteriormente o seu procedimento é muito semelhante Veremos nesta seção que a principal diferença entre a análise ma tricial de treliças vigas ou pórticos está na determinação da matriz de rigidez dos elementos que compõem a estrutura Dessa forma saben do montar a matriz de rigidez do elemento você terá condições de resolver qualquer viga ou pórtico pelo Método da Rigidez Isso permitirá que você desenvolva o seu segundo projeto na em presa de elaboração de softwares para estruturas na qual está traba lhando Nesse novo projeto você deve utilizar a análise matricial na determinação dos esforços que atuam em uma viga Como o Método da Rigidez pode ser usado no cálculo de vigas Qual a metodologia Ao final desta seção você será capaz não só de resolver os mais diversos tipos de estruturas pelo Método da Rigidez mas também tendo conhecimentos básicos de programação de desenvolver o seu próprio programa computacional de análise de estruturas sejam elas treliças vigas ou pórticos Pronto para mais esse desafio Não pode faltar Método da Rigidez vigas e pórticos O procedimento de resolução de vigas e pórticos pelo Método da Rigidez é muito semelhante ao procedimento apresentado na Seção 41 na qual analisamos a resolução de treliças pelo Método da Rigi 179 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross dez Primeiramente devemos definir e numerar os nós e os elemen tos da estrutura No caso das treliças cada barra é considerada como um elemento ou seja os nós são os pontos de encontro de duas ou mais barras Já no caso de vigas e pórticos para facilitar a resolução do problema consideramos como nós os pontos de aplicação de cargas concentradas os pontos de início e fim de cargas distribuídas os pontos com apoios os pontos onde existe mudança da seção transversal da barra e os pontos com mudança de inclinação da barra Dessa forma dividimos as vigas e os pórticos em elementos finitos e cada elemento é delimitado por um nó inicial e um nó final Na Figura 47 são apresentados exemplos da numeração dos nós dentro de um círculo e dos elementos dentro de um quadrado para uma viga e para um pórtico Também estão indicados os nós inicial e final de cada elemento com uma seta na direção do eixo do elemento e com sentido do nó inicial para o nó final Figura 47 a Viga b Pórtico Fonte elaborada pelo autor Em seguida devese definir e numerar os graus de liberdade de cada nó lembrando que iremos trabalhar com estruturas planas em duas dimensões Para as treliças são considerados dois graus de liberdade por nó sendo um deslocamento horizontal e um desloca mento vertical Para as vigas iremos considerar também dois graus de liberdade por nó porém sendo eles um deslocamento vertical e uma rotação para serem considerados os efeitos de flexão e de cisalhamento na viga Já para os pórticos iremos considerar três graus de liberdade por nó sendo um deslocamento vertical um deslocamento horizontal e uma rotação ou seja além do efeito 180 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross da flexão e do cisalhamento também consideraremos o efeito do esforço normal ou axial A numeração dos graus de liberdade é feita como no caso das treliças primeiro numeramos os graus de liberdade desconhecidos deslocamentos e rotações desconhecidas e por último numera mos os graus de liberdade conhecidos deslocamentos e rotações referentes aos apoios que usualmente são nulos com exceção dos casos com recalques de apoio Os exemplos da Figura 47 já apre sentam a numeração dos graus de liberdade Adotaremos as coordenadas locais e globais da mesma maneira como foi feito para as treliças As coordenadas locais têm origem no nó inicial do elemento com o eixo x posicionado ao longo do eixo do elemento e orientado do nó inicial para o nó final o eixo y perpendicular ao eixo x e o eixo z saindo do plano da estrutura Para as coordenadas globais o eixo x é posicionado na horizontal o eixo y na vertical e o eixo z está saindo do plano da estrutura No caso de vigas horizontais os eixos do sistema local são todos para lelos aos eixos do sistema para todos os elementos da viga Já para os pórticos isso não ocorre com todos os elementos pois alguns não são horizontais A próxima etapa consiste na determinação da matriz de rigidez de cada elemento A matriz de rigidez de um elemento de viga é diferen te da matriz de rigidez de um elemento de treliça Enquanto na treliça levase em consideração apenas a rigidez axial do elemento para a determinação de sua matriz de rigidez no caso das vigas levase em consideração a rigidez à flexão e também a rigidez ao cisalhamento Consequentemente a matriz de rigidez de um elemento de pórtico também será diferente da matriz de rigidez de um elemento de viga e de um elemento de treliça pois para o pórtico levase em consi deração a rigidez axial a rigidez à flexão e a rigidez ao cisalhamento Outro ponto que merece destaque diz respeito à aplicação da matriz de transformação também chamada matriz de rotação que no caso de treliças e pórticos é necessária para transformar a matriz de rigidez do elemento das coordenadas locais para as glo bais uma vez que podem existir barras inclinadas e verticais Já para as vigas horizontais essa matriz de transformação não é necessária uma vez que os eixos locais são paralelos aos eixos globais 181 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Com a matriz de rigidez de cada elemento já transformada para as coordenadas globais basta montar a matriz de rigidez da estru tura feita da mesma maneira como apresentado para o caso de treliças ou seja somandose a matriz de rigidez de cada elemento contribuindo nas posições referentes aos graus de liberdade dos nós inicial e final de cada elemento Por fim são determinados os des locamentos e as reações de apoio por meio da álgebra de matrizes Álgebra de matrizes A utilização do Método da Rigidez análise matricial envolve ope rações com matrizes Os principais conceitos da álgebra de matri zes necessários para a aplicação do Método da Rigidez são a multi plicação de uma matriz por um escalar a multiplicação de matrizes e a definição de matriz transposta Esses conceitos serão revisados brevemente a seguir com a apresentação de alguns exemplos Para obter a matriz resultante da multiplicação de uma matriz por um escalar basta multiplicar cada elemento da matriz por esse escalar No caso da multiplicação de duas matrizes primeiro devemos verificar se é possível realizar a multiplicação dessas duas matri zes ou seja nem todas as matrizes podem ser multiplicadas uma pela outra Isso vai depender da ordem da matriz A multiplicação AB de duas matrizes só é possível se elas forem conformáveis ou seja se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B Assim se a matriz A tiver ordem m x n e a matriz B tiver ordem n x p a matriz resultante da multiplicação de AB será uma matriz de ordem m x p É importante destacar que a multiplicação de matrizes não é comutativa ou seja o resultado da multiplicação de AB é diferente do resultando da multiplicação de BA caso as matrizes A e B tenham as ordens apresentadas a multiplicação BA nem mesmo pode ser feita A matriz resultante da multiplicação de AB é obtida multiplican do primeiramente cada elemento da linha da matriz A pelo respecti vo elemento da coluna da matriz B em seguida somamse os valo res resultantes das multiplicações para obter um elemento da matriz resultante Os demais elementos são obtidos da mesma forma Dada uma matriz A a sua matriz transposta AT é obtida trocan do de posição as linhas pelas colunas de A 182 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Considere as matrizes A e B a seguir A B 2 5 4 7 1 6 3 5 2 4 1 8 1 Determine a matriz resultante da multiplicação da matriz A pelo escalar k 3 kA 6 15 12 21 2 Verifique se a multiplicação das matrizes AB é possível Caso seja possível determine a matriz resultante dessa multiplicação Como o número de colunas da matriz A 2 colunas é igual ao número de linhas da matriz B 2 linhas a multiplicação AB é possível A ordem da matriz resultante será x x x 2 2 2 4 2 4 Portanto a matriz C resultante será AB C c c c c c c c c 11 12 13 14 21 22 23 24 AB 2 5 4 7 1 6 3 5 2 4 1 8 12 32 11 50 18 52 19 76 A obtenção dos elementos da matriz C é feita multiplicandose cada linha da matriz A pela respectiva coluna da matriz B Por exemplo para a obtenção do elemento c12 multiplicamos os elementos da linha 1 da matriz A pelos respectivos elementos da coluna 2 da matriz B em se guida somase o resultado dessas multiplicações c12 2 6 5 4 32 Os demais elementos são obtidos de maneira análoga 3 Obtenha BT matriz transposta de B Para obter a matriz transposta basta trocar as linhas pelas colunas ou seja a linha 1 passa a ser a coluna 1 enquanto a linha 2 passa a ser a coluna 2 B 1 2 6 4 3 1 5 8 T Exemplificando 183 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Análise matricial de vigas Para determinarmos a matriz de rigidez de um elemento mem bro de uma viga considere o elemento da Figura 48 na qual está indicado o sistema de coordenadas local x y e z este último está saindo do plano da figura Como um elemento de viga leva em consideração a rigidez ao cisalhamento e à flexão em cada extremidade do elemento existem duas reações sendo uma força cortante e um momento fletor representados na Figura 48 no sentido positivo das coordenadas locais para o momento fletor considerase o sentido antihorário positivo pela regra da mão di reita Para os deslocamentos lineares e angulares também adota remos essa mesma convenção de sinais Figura 48 Coordenadas locais e reações positivas Fonte elaborada pelo autor Conforme já apresentado na seção anterior para o elemento de barra de treliça a matriz de rigidez de um elemento represen ta os esforços que surgem nas extremidades do elemento quando são aplicados deslocamentos unitários nessas extremidades Para o elemento de barra de treliça vimos que a matriz de rigidez local do elemento é de tamanho 2x2 visto que cada extremidade pode apresentar um único deslocamento axial resultando em um total de dois deslocamentos possíveis Já no caso do elemento de viga cada extremidade pode apresentar dois deslocamentos um trans versal ao elemento e outro angular rotacional Dessa forma são quatro deslocamentos possíveis em um elemento de viga o que resulta em uma matriz de rigidez de tamanho 4x4 Os valores de cada posição da matriz de rigidez do elemento de viga são obtidos pelos coeficientes de rigidez locais já apresentados na Seção 23 e estão exibidos na figura a seguir 184 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Figura 49 Coeficientes de rigidez locais para elemento de viga Fonte adaptada de Martha 2010 p 278 Os valores de cada posição da matriz de rigidez do elemento de viga são obtidos pelos coeficientes de rigidez locais já apresentados na Seção 23 e estão exibidos na figura a seguir Podese notar que quando um deslocamento unitário transver sal é aplicado na extremidade inicial do elemento e todos os demais deslocamentos nas extremidades são impedidos surgem as seguin tes reações nas extremidades v E I L m E I L v E I L m E I L 12 6 12 6 i i f f 3 2 3 2 Aplicando os outros três deslocamentos unitários possíveis ob temos os valores das reações de maneira análoga Representando essas relações de forçadeslocamento na forma matricial temos Onde ti e tf são os deslocamentos transversais ao elemento nas ex tremidades inicial e final respectivamente f f f kd v m v m E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L t t 12 6 12 6 6 4 6 2 12 6 12 6 6 2 6 4 i i f f i i f f 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 185 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross fi e ff são as rotações deslocamentos rotacionais nas extre midades inicial e final respectivamente A matriz quadrada simétrica k é a matriz de rigidez do elemento de viga Notase que essa matriz no caso de vigas horizontais é a mesma tanto para as coordenadas locais quanto para as coordena das globais Por esse motivo não há a necessidade de transformar essa matriz para as coordenadas globais bastando apenas somar as matrizes de todos os elementos finitos da viga para obter a matriz de rigidez da estrutura da mesma forma como foi feito no caso das treliças Lembrando que cada elemento contribui na matriz de rigidez da estrutura nas posições referentes aos graus de liberdade de suas extremidades Uma vez determinada a matriz de rigidez da estrutura basta re solver o sistema de equações a seguir apresentado na forma ma tricial para uma viga com seis graus de liberdade para encontrar os deslocamentos desconhecidos e as reações de apoio de maneira análoga ao procedimento adotado para a resolução de treliças F KD F F F F F F K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K D D D D D D g g 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 1 2 3 4 5 6 Onde K é a matriz de rigidez da viga Fg é o vetor global de forças externas que atuam em cada grau de liberdade da viga Dg é o vetor global de deslocamentos que atuam em cada grau de liberdade da viga Se ao invés da viga ser horizontal ela for inclinada o que muda A matriz de rigidez local do elemento será a mesma da matriz de rigidez com relação ao sistema de eixos global do elemento A utilização da matriz de transformação T continua sendo desnecessária Reflita 186 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Análise matricial de pórticos Para a análise matricial de pórticos devemos definir a matriz de rigidez de um elemento de pórtico para o qual levamos em consi deração a rigidez axial a rigidez ao cisalhamento e a rigidez à flexão Dessa forma são três os deslocamentos e forças possíveis em cada extremidade dos elementos conforme a Figura 410 Figura 410 Forças e deslocamentos nas extremidades de um elemento de pórtico Fonte elaborada pelo autor A matriz de rigidez do elemento de pórtico é obtida pelos mes mos coeficientes de rigidez locais já utilizados anteriormente No tase que essa matriz é obtida pela superposição das matrizes de rigidez do elemento de barra da treliça e do elemento de viga con forme apresentado a seguir resultando em uma matriz 6x6 para considerar os seis deslocamentos possíveis no elemento f f f kd f v m f v m d t d t E A L E A L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E A L E A L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L 0 0 0 0 0 12 6 0 12 6 0 6 4 0 6 2 0 0 0 0 0 12 6 0 12 6 0 6 2 0 6 4 i i i f f f i i i f f f 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 Como nem todos os elementos de pórtico são horizontais de vemos transformar essa matriz de rigidez local do elemento k na matriz de rigidez com relação ao sistema de eixos global do ele mento k usando a matriz de transformação T que é obtida por 187 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Figura 411 Decomposição dos deslocamentos globais no nó inicial de um ele mento de pórtico Fonte elaborada pelo autor θ θ θ θ φ φ d D D sen t D sen D D cos cos i ix iy i ix iy i i Escrevendo na forma matricial temos φ φ θ θ θ θ θ θ θ θ φ φ d TD d t d t D D D D D D sen sen sen sen cos 0 0 0 0 cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos 0 0 0 0 cos 0 0 0 0 0 0 1 i i i f f f ix iy i fx fy f Da mesma forma como apresentado no caso das barras de tre liça a matriz de rigidez do elemento escrita no sistema de eixos global k é dada por k T kT T Uma vez obtida a matriz de rigidez escrita no sistema de eixos global de cada elemento do pórtico basta fazer a contribuição des sas matrizes na matriz de rigidez do pórtico de maneira análoga ao procedimento realizado para as treliças e para as vigas Também de maneira semelhante são determinados os deslocamentos desco nhecidos e as reações de apoio do pórtico meio da decomposição dos deslocamentos globais horizontal e vertical nas direções axial e transversal em cada nó do elemento lembrando que as rotações no sistema local f e no sistema global f D são as mesmas A Figura 411 apresenta a decomposição dos deslocamentos globais Dix e Diy nas direções axial di e transver sal ti do nó inicial de um elemento de pórtico 188 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Cada tipo de elemento tem um tipo de matriz de rigidez um elemento de treliça leva em consideração somente a rigidez axial um elemento de viga leva em consideração a rigidez ao cisalhamento e à flexão e um elemento de pórtico leva em consideração a rigidez axial ao cisalha mento e à flexão Assimile Caso haja cargas distribuídas ao longo dos elementos transferimos as reações de engastamento perfeito dessa carga já apresentadas na Seção 23 para as extremidades do elemento Para verificar alguns exemplos leia os capítulos 15 e 16 do seguinte livro disponível na Biblioteca Virtual HIBBELER R C Análise das estruturas 8 ed São Paulo Pearson Edu cation do Brasil 2013 O software TQS utiliza o método dos elementos finitos para fazer análi ses estruturais Como a análise matricial é uma simplificação do método dos elementos finitos os resultados obtidos manualmente por meio da análise matricial são iguais ou muito próximos aos obtidos pelo TQS que utiliza o método dos elementos finitos Faça esse teste comparando os resultados obtidos para uma viga ou um pórtico resolvido manual mente por meio da análise matricial e os resultados obtidos pela mode lagem dessa mesma viga ou pórtico no TQS Lembrese de considerar o peso próprio da estrutura no cálculo manual para que os resultados sejam o mais próximo possível Pesquise mais Sem medo de errar Depois de ampliar os conceitos do Método da Rigidez para vigas e pórticos você já é capaz de partir para o seu segundo projeto que consiste em utilizar a análise matricial para encontrar os esfor ços que atuam em uma viga Para tanto você deve determinar a metodologia que deve ser adotada para a aplicação do Método da Rigidez em uma viga A metodologia neste caso é muito semelhante à metodologia utilizada para a determinação dos esforços nas barras de uma treli ça Ou seja os passos para a resolução de uma estrutura pelo Méto do da Rigidez são muito semelhantes independentemente do tipo 190 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Avançando na prática Montagem da matriz de rigidez da viga Descrição da situaçãoproblema Uma viga é composta por três elementos Os seus nós elemen tos e graus de liberdade já foram numerados conforme a Figura 412 Figura 412 Viga com três elementos Fonte elaborada pelo autor As matrizes de rigidez de cada elemento já foram calculadas e são dadas por k k k a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b b b b b c c c c c c c c c c c c c c c c 1 2 3 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 Sabendo que a matriz de rigidez dos elementos 1 2 e 3 são k1 k2 e k3 respectivamente determine a matriz de rigidez da viga Resolução da situaçãoproblema Como a viga possui oito graus de liberdade a matriz de rigidez da viga terá dimensão 8x8 Cada elemento irá contribuir nas posições re ferentes aos graus de liberdade dos nós inicial e final deste elemento A resolução desse sistema de equações nos permite encontrar os valores dos deslocamentos desconhecidos nos nós da viga e também as reações de apoio Com essas reações podese traçar os diagramas de força cortante e de momento fletor para a viga 191 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Para facilitar a seguir são indicadas nas linhas e colunas de k1 k2 e k3 os graus de liberdade das extremidades de cada elemento k k k a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b b b b b c c c c c c c c c c c c c c c c 5 6 1 2 1 2 7 3 7 3 8 4 5 6 1 2 1 2 7 3 7 3 8 4 1 2 3 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 Para montar a matriz de rigidez K da viga basta fazer a contribui ção da matriz de rigidez de cada elemento nas posições adequadas K 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 a b a b b a a b a b a b b a a b b b b c c b c c c c c c a a a a a a a a b b b c c b c c c c c c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 33 11 34 12 14 31 32 13 43 21 44 22 24 41 42 23 41 42 44 22 24 43 21 23 42 44 41 43 13 14 11 12 23 24 21 22 31 32 34 12 14 33 11 13 32 34 31 33 Faça valer a pena 1 Um elemento de uma viga possui 4 metros de comprimento e E I 4 10 kN m 4 2 A matriz de rigidez k desse elemento é dada por k k k k k k k k k k k k k k k k k 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 Assinale a alternativa que contém os valores corretos dos elementos k12 k31 e k44 da matriz de rigidez desse elemento 192 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Com base na numeração dos nós elementos e graus de liberdade indica dos a matriz de rigidez K da viga já foi calculada K 5 10 194 083 044 067 15 15 083 333 067 067 15 1 044 067 044 067 0 0 067 067 067 133 0 0 15 15 0 0 15 15 15 1 0 0 15 2 4 Escolha a alternativa que apresenta os valores corretos das reações de apoio da viga reação vertical R1 no nó 1 momento fletor M1 no nó 1 reação ver tical R3 no nó 3 e momento fletor M3 no nó 3 Viga Fonte elaborada pelo autor a k 15 10 12 4 k 075 10 31 4 e k 4 10 44 4 b k 075 10 12 4 k 075 10 31 4 e k 2 10 44 4 c k 075 10 12 4 k 2 10 31 4 e k 4 10 44 4 d k 4 10 12 4 k 075 10 31 4 e k 15 10 44 4 e k 4 10 12 4 k 2 10 31 4 e k 4 10 44 4 2 Uma viga será utilizada para suportar a carga indicada na figura a seguir 193 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross a R kN M kN m R kN M kN m 50 583 50 850 1 1 3 3 b R kN M kN m R kN M kN m 600 325 300 925 1 1 3 3 c R kN M kN m R kN M kN m 433 555 567 678 1 1 3 3 d R kN M kN m R kN M kN m 350 483 650 722 1 1 3 3 e R kN M kN m R kN M kN m 280 240 720 659 1 1 3 3 3 Um elemento de um pórtico possui 2 metros de comprimento E I 4 10 kN m 4 2 e E A 75 106 kN Esse elemento está inclinado e o seu eixo longitudinal forma um ângulo de 30 com a horizontal A matriz de rigidez k desse elemento segundo as coordenadas globais x horizon tal e y vertical é dada por k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 Assinale a alternativa que contém os valores corretos dos elementos k12 k31 e k44 da matriz de rigidez desse elemento segundo as coordena das globais a k 3 10 12 4 k 8 10 31 4 e k 514 10 44 5 b k 786 10 12 5 k 52 10 31 4 e k 4 10 44 4 c k 786 10 12 5 k 3 10 31 4 e k 142 10 44 6 d k 3 10 12 4 k 514 10 31 5 e k 4 10 44 4 e k 142 10 12 6 k 786 10 31 5 e k 514 10 44 5 194 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Processo de Cross Seção 43 Diálogo aberto Caros alunos bemvindos à última seção da disciplina Estruturas Hiperestáticas Após todos os conceitos aprendidos ao longo das seções desta disciplina fica clara a importância dos métodos de resolução dessas estruturas na engenharia Também ficou evidente que a análise das estruturas hiperestáticas é mais complexa e trabalhosa do que a aná lise de estruturas isostáticas Nesta seção aprenderemos um método de resolução de estru turas hiperestáticas rápido prático e eficiente sobretudo quando es tamos trabalhando com vigas hiperestáticas o Processo de Cross O procedimento de resolução pelo Processo de Cross faz uso do Método dos Deslocamentos e também pode ser chamado de Distri buição de Momentos O motivo de usarmos este nome ficará claro ao longo desta seção O Processo de Cross é um método iterativo de resolução de estruturas hiperestáticas Isso significa que devemos repetir alguns ciclos para chegar à solução do problema A cada ci clo a resposta se aproxima mais da solução exata O momento em que se deve encerrar o processo iterativo vai depender da precisão desejada que é definida por meio do critério de parada Quanto mais passos forem realizados maior será a precisão da resposta As etapas que devem ser desenvolvidas para a utilização do Pro cesso de Cross são relativamente simples e rápidas o que o tor na uma ferramenta extremamente útil para a solução de estruturas hiperestáticas mais simples como vigas E é exatamente uma viga hiperestática que você deve analisar em seu terceiro desafio na em presa de desenvolvimento de softwares de análise estrutural O seu chefe solicitou que você utilize o Processo de Cross para traçar o diagrama de momentos fletores da viga da figura a seguir Todas as barras da viga possuem E I constante 195 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Não pode faltar Processo de Cross O Processo de Cross também chamado de Distribuição de Mo mentos é um procedimento que assim como o Método da Rigidez utiliza o Método dos Deslocamentos para a análise de estruturas hi perestáticas sejam elas vigas pórticos planos grelhas ou até mesmo pórticos espaciais No caso de vigas hiperestáticas a aplicação do Pro cesso de Cross é bastante rápida e prática como veremos nesta seção A ideia básica desse processo é a de que como os nós de uma estrutura devem estar em equilíbrio a soma dos momentos aplica dos pelas extremidades das barras que chegam a um nó deve ser nula O Processo de Cross é um método iterativo e portanto apro ximado e o critério de parada do processo é definido pela precisão desejada para a resposta Inicialmente admitese que todos os nós da estrutura estão fixos ou seja não podem girar Dessa forma são obtidos os momentos de engastamento perfeito nas extremidades das barras provocados pelos carregamentos aplicados Depois a rotação de um dos nós da estrutura é liberada permitindo que ele gire e desse modo faça a distribuição dos momentos que atuam nesse nó para as barras adjacentes em função da rigidez de cada barra Esse nó é nova mente bloqueado liberandose outro nó para reiniciar o processo que deve ser repetido até que se atinja o critério de parada definido quando todos os nós terão girado para a sua posição final Não desista agora no seu último desafio Vamos aos estudos Figura 413 Viga Fonte elaborada pelo autor 196 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Com a finalização da distribuição dos momentos são obtidos os momentos finais nas extremidades de cada barra o que permite determinar as reações de apoio e também traçar os diagramas de momento fletor e força cortante da estrutura Convenção de sinais Para o desenvolvimento do Processo de Cross adotaremos a seguinte convenção de sinais momentos que atuam no sentido an tihorário são considerados positivos enquanto os momentos que atuam no sentido horário são negativos Por essa convenção na Fi gura 414 o momento na extremidade esquerda da barra é positivo enquanto o momento na extremidade direita da barra é negativo Figura 414 Viga Fonte elaborada pelo autor Estruturas indeslocáveis Estruturas indeslocáveis são aquelas que não apresentam des locamento lateral Pórticos que possuem algum mecanismo que impeça o deslocamento lateral de seus nós como por exemplo os contraventamentos são chamados de pórticos indeslocáveis Também consideraremos que as vigas são estruturas indeslocáveis apresentando somente força cortante e momento fletor ao longo da viga Antes de aplicar o Processo de Cross nesse tipo de estrutu ra serão apresentadas algumas definições Momentos de engastamento perfeito MEPs São os momentos que aparecem nas extremidades de uma bar ra carregada quando essas extremidades estiverem fixas engasta das Esses momentos são os mesmos apresentados na Seção 23 quando foram chamados de reações de engastamento perfeito Na Figura 415 são apresentados os MEPs para as duas situações mais comuns de carregamentos 197 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Coeficiente de rigidez Esse coeficiente também já foi apresentado na Seção 23 coefi ciente de rigidez local Vimos que quando aplicamos um giro uni tário em uma extremidade de uma barra e a extremidade oposta está engastada um momento de E I L 4 deve atuar na extremidade em que o giro foi aplicado para manter a configuração deformada da barra conforme a Figura 416a para uma viga de comprimento L Esse é o valor do coeficiente de rigidez k de uma barra quando a extremidade oposta for engastada Uma outra situação que não foi apresentada na Seção 23 mas que ocorre com frequência é termos a extremidade oposta da barra articulada Nesse caso o coeficiente de rigidez k da barra é E I L 3 conforme a Figura 416b para uma barra de comprimento L Figura 415 Momentos de engastamento perfeito MEPs Fonte elaborada pelo autor Figura 416 Coeficiente de rigidez a extremidade oposta engastada b extremi dade oposta articulada Fonte elaborada pelo autor 198 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Fator de propagação Conforme vimos na Seção 23 na situação da Figura 416a um momento de E I L 2 deve atuar na extremidade engastada da barra para que seja mantida a configuração deformada correta dessa bar ra Perceba que esse momento é exatamente a metade do momen to que atua na extremidade oposta Logo quando a extremidade oposta da barra está engastada existe um fator de propagação de valor a 05 que representa a parcela de momento que foi propa gada de uma extremidade para a outra Já no caso da Figura 416b esse fator de propagação não existe pois a extremidade oposta é articulada ou seja nenhuma parcela de momento foi propagada para essa extremidade Coeficiente de distribuição Quando um nó está conectado a n barras e um momento M é aplicado nesse nó cada barra irá resistir a uma parcela desse mo mento dependendo da rigidez da barra Ou seja cada barra apre sentará um momento resistente diferente que é uma parcela do momento total M no nó de forma que a soma dos momentos na extremidade de todas as barras seja igual ao momento no nó para manter o equilíbrio A parcela do momento total resistida por uma barra é denomina da de coeficiente de distribuição e é calculada por g k ki i n 1 Onde k coeficiente de rigidez da barra analisada ki coeficiente de rigidez de uma das n barras ligadas ao nó da estrutura Assim um nó com por exemplo três barras terá três coeficien tes de distribuição sendo um para cada barra conectada a ele Com essas definições podemos aplicar o Processo de Cross para resolver uma estrutura hiperestática como por exemplo uma viga 199 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Determine o momento em cada apoio da viga da Figura 417 sabendo que todas as barras possuem E I constante Como critério de parada do processo iterativo considere que momentos inferiores à 01 kNm podem ser aproximados para zero Figura 417 Viga hiperestática Fonte elaborada pelo autor Primeiramente devemos determinar os MEPs e os coeficientes de rigi dez de cada uma das três barras que formam a viga Essas barras foram isoladas e estão representadas na Figura 418 Notase que ao isolar as barras os apoios intermediários são tratados como engastes Figura 418 Vigas isoladas Fonte elaborada pelo autor Trecho AB M P a b L L a kN m 2 8 2 2 2 4 4 2 6 B 2 2 e k E I L E I E I 3 3 4 075 AB Exemplificando 200 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Trecho BC M q L kN m 12 3 6 12 9 B 2 2 M q L kN m 12 9 C 2 e k E I L E I E I 4 4 6 067 BC Trecho CD k E I L E I E I 3 3 3 CD Em seguida determinamse os coeficientes de distribuição dos nós com duas ou mais barras ou seja dos nós intermediários B e C Esses nós terão um coeficiente de distribuição para cada barra que chega ao nó ou seja cada nó terá dois coeficientes de distribuição Nó B g k k k E I E I E I 075 075 067 053 BA AB AB BC g k k k E I E I E I 067 075 067 047 BC BC AB BC Nó C g k k k E I E I E I 067 067 04 CB BC BC CD g k k k E I E I E I 067 06 CD CD BC CD Dessa forma partese para a distribuição dos momentos utilizando o processo iterativo Para organizar o processo desenhase a viga indi cando os coeficientes de distribuição sobre os nós intermediários con forme a Figura 419 201 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Figura 419 Distribuição de momentos Fonte elaborada pelo autor Abaixo da viga são indicados os momentos de engastamento perfeito já calculados nas extremidades de cada barra Na sequência é feita a distribuição de momentos representada na Figura 419 Essa distribui ção de momentos é feita somente nos nós com duas ou mais barras ou seja somente nos nós intermediários B e C Para tornar o processo iterativo mais rápido devemos começar a distri buição de momentos pelo nó mais desequilibrado ou seja o nó com maior valor de momento em módulo Momento total no nó B kN m 6 9 3 Momento total no nó C kN m 9 Assim o processo é iniciado pelo nó C Primeiro representase o mo mento total no nó dentro de um retângulo Depois esse momento é distribuído para as barras adjacentes ao nó multiplicandose o mo mento no nó pelo coeficiente de distribuição Como estamos trans mitindo o momento do nó para a barra nesse instante é necessário alterar o sinal do momento pelo princípio da ação e reaçãoMomento distribuído para a barra BC kN m 9 04 36 Momento distribuído para a barra CD kN m 9 06 54 202 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Em seguida devemos fazer a propagação desses momentos de uma extremidade da barra para a outra Como na barra CD a extremidade D é articulada nenhum momento será propagado para essa extremidade Já no caso da barra BC como a extremidade B é um nó intermediário considerado um engaste metade do momento é transmitido da ex tremidade C para a extremidade B ou seja 18 kNm Dessa forma o equilíbrio do nó C está concluído o que é representado desenhandose uma linha abaixo dos momentos desse nó conforme a Figura 419 O próximo passo consiste em fazer o equilíbrio do nó B que ao receber o momento de 18 kNm do nó C passou a ter um momento total de kN m 6 9 18 48 O procedimento de equilíbrio do nó B é exatamente o mesmo descri to para o nó C lembrandose sempre de trocar o sinal do momento no instante de transmitilo do nó para a barra Como ao final do pro cesso de equilíbrio do nó B houve uma propagação de um momento de 113 kNm para o nó C é necessário equilibrar o nó C novamente Como o nó C recebeu apenas um momento de 113 kNm este é o momento total no nó que deve ser equilibrado uma vez que os mo mentos anteriores que atuam no nó C já foram equilibrados Repetindo a distribuição de momentos por quatro vezes chegamos ao final do processo iterativo já que na última distribuição o momento propagado do nó B para o nó C é inferior a 01 kNm que pelo critério de parada definido pode ser aproximado para zero Para encontrar os momentos finais nas extremidades de cada barra basta somar os momentos de todas as etapas do processo Direita da barra AB kN m 6 254 012 866 Esquerda da barra BC kN m 9 18 226 023 011 866 Direita da barra BC kN m 9 36 113 045 608 Esquerda da barra CD kN m 54 068 608 Note que os momentos que atuam nas extremidades das barras à es querda e à direita de um nó devem possuir o mesmo módulo porém sinais sentidos opostos Isso garante que o nó está em equilíbrio pois a somatória dos momentos é igual a zero Essa é uma maneira de con ferir se não foi cometido nenhum erro no processo de distribuição dos momentos Esses são os momentos nos apoios da viga que podem ser usados para traçar o diagrama de momentos fletores 203 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Quando uma estrutura apresenta um trecho em balanço devemos considerar o nó que suporta o balanço como um nó intermediário e fazer a distribuição de momentos para esse nó ou existe a possibilidade de simplificar esse problema Será que não seria mais prático retirar o balanço e substituir as forças que atuam no trecho em balanço por uma força e um momento aplicados no nó que suporta o balanço Reflita O procedimento para a resolução de pórticos hiperestáticos com nós indeslocáveis é exatamente o mesmo apresentado para as vigas hiperestáticas A única diferença é que alguns nós de pór ticos podem apresentar mais do que duas barras concorrentes Dessa forma em um mesmo nó pode haver mais do que dois coe ficientes de distribuição O pórtico hiperestático da Figura 420 é indeslocável pois o engaste no nó E impede o deslocamento hori zontal dos nós B e C Figura 420 Pórtico hiperestático indeslocável Fonte elaborada pelo autor Em uma estrutura hiperestática os momentos fletores que atuam nas barras são influenciados pela rigidez das barras que além do comprimento delas leva em consideração o tipo de material utiliza do e o momento de inércia da seção transversal das barras relação E I Ou seja se no caso da viga da Figura 417 as três barras tiverem relação E I diferentes entre si os valores dos momentos fletores nos apoios da viga serão diferentes dos obtidos no exemplo apresentado Já no caso de estruturas isostáticas a relação E I das barras não influencia nos momentos fletores da estrutura Assimile 204 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Estruturas deslocáveis Para resolver estruturas deslocáveis estruturas com desloca mentos laterais dos seus nós pelo Processo de Cross aplicamos o Método dos Deslocamentos considerando como deslocabilidade apenas o deslocamento lateral de seus nós Utilizando a superposi ção de efeitos o pórtico deslocável da Figura 421 pode ser obtido pela soma de dois casos básicos Figura 421 Pórtico hiperestático deslocável Fonte elaborada pelo autor Assim o diagrama de momentos fletores real da estrutura é dado por M M M D 0 1 1 Os diagramas de momentos fletores M0 e M1 são obtidos apli candose o Processo de Cross para os casos 0 e 1 respectiva mente da mesma maneira como já explicado anteriormente Uma vez determinados esses diagramas de momentos fletores também é possível encontrar as reações de apoio dos casos 0 e 1 fazen dose o equilíbrio de cada barra de forma isolada como já apresen tado na Seção 23 Assim encontramse as reações de apoio b10 e K11 dos casos 0 e 1 respectivamente Para encontrar D1 basta aplicar o mesmo conceito usado no Método dos Deslocamentos o nó que possui as deslocabilidades deve estar em equilíbrio Assim fazendose o equilíbrio das forças horizontais no nó com a deslocabilidade temos a expressão a se guir com a qual se encontra o valor de D1 para determinar o dia grama de momentos fletores M da estrutura b K D 0 10 11 1 205 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Estude o capítulo 12 do livro Análise de estruturas conceitos e méto dos básicos MARTHA 2010 e o capítulo 5 do livro Curso de análise estrutural 3 SÜSSEKIND 1987 para encontrar exemplos da resolução de estruturas deslocáveis pelo Processo de Cross O capítulo 12 do livro Análise das estruturas HIBBELER 2013 dispo nível na Biblioteca Virtual também possui exemplos de aplicação do Processo de Cross tanto para estruturas indeslocáveis como para es truturas deslocáveis Pesquise mais Sem medo de errar Agora que você já sabe todas as etapas do Processo de Cross pode utilizálo para resolver o seu terceiro desafio que consiste em deter minar o diagrama de momentos fletores para a viga da Figura 413 Para definir quando terminar o processo iterativo adotaremos como critério de parada que momentos inferiores a 01 kNm podem ser aproximados para zero Primeiramente isolamos os três trechos da viga conforme a Figu ra 422 e determinamos os momentos de engastamento perfeito e os coeficientes de rigidez de cada trecho Figura 422 Trechos da viga analisada Fonte elaborada pelo autor Trecho AB Trecho BC Trecho CD M kN m k E I E I 6 5 8 1875 3 5 06 B AB 2 M kN m M kN m k E I E I 6 3 12 45 45 4 3 133 B C BC 2 M M k kN m kN m E I E I 6 5 12 125 125 4 5 08 C D CD 2 206 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Os coeficientes de distribuição dos nós B e C são então cal culados Nó B Nó C A distribuição de momentos é realizada conforme a figura a seguir g g 031 069 E I E I E I E I E I E I 06 06 133 133 06 133 BA BC g g 062 038 E I E I E I E I E I E I 133 133 08 08 133 08 CB CD Figura 423 Distribuição de momentos Fonte elaborada pelo autor Vale destacar que como se trata de um processo iterativo com aproximações sucessivas pequenas diferenças entre os momentos nos lados esquerdo e direto de um nó podem ser tolerados Sabendo o valor do momento fletor em cada nó da viga pode se traçar o diagrama de momentos fletores Novamente como o Processo de Cross é um método aproximado o seu resultado final pode ser ligeiramente diferente do resultado exato Quanto mais etapas forem realizadas mais próximo o resultado será do exato Para demonstrar essa diferença na Figura 424 é apresentado o dia grama de momentos fletores exato para a viga em questão obtido pelo programa Ftool 207 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Figura 424 Diagrama de momentos fletores kNm valores exatos pelo Ftool Fonte elaborada pelo autor Para encontrar os valores dos momentos máximos em cada tre cho da viga é necessário determinar primeiro as reações de apoio e o diagrama de força cortante dessa viga como será apresentado na sequência Avançando na prática Determinação do diagrama de força cortante Descrição da situaçãoproblema Traçar o diagrama de força cortante para a viga da Figura 413 Resolução da situaçãoproblema Primeiramente devese determinar as reações de apoio da viga Para isso basta fazer o equilíbrio de cada trecho da barra separada mente considerando o momento antihorário positivo conforme a Figura 425 Figura 425 Equilíbrio dos trechos da viga Fonte elaborada pelo autor Trecho AB M B B kN 0 6 5 25 1296 5 0 1759 A y y F A A kN 0 6 5 1759 0 1241 y y y 208 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Figura 426 Diagrama de força cortante kN valores exatos pelo Ftool Fonte elaborada pelo autor Faça valer a pena 1 Uma viga hiperestática está submetida a uma carga uniformemente dis tribuída e a uma carga concentrada conforme a figura a seguir Viga hiperestática Fonte elaborada pelo autor Trecho BC M C C kN 0 1296 6 3 15 7 3 0 701 B y y F B B kN 0 6 3 701 0 1099 y y y Trecho CD M D D kN 0 7 6 5 25 1521 5 0 1664 C y y F C C kN 0 6 5 1664 0 1336 y y y Reações verticais totais em B e C B B B kN C C C kN 2858 2037 y y y y y y Uma vez encontradas as reações de apoio verticais podemos traçar o diagrama de força cortante conforme a Figura 426 obtido pelo Ftool com os valores exatos Assim é possível determinar os pontos de cortante nula e encontrar os valores dos momentos fle tores máximos 209 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Assinale a alternativa que apresenta os valores corretos de momentos de engastamento perfeito para o trecho BC da viga da figura apresentada a M kN m M kN m 21875 21875 B C b M kN m M kN m 833 21875 B C c M kN m M kN m 30205 30205 B C d M kN m M kN m 30205 30205 B C e M kN m M kN m 833 30205 B C 2 Um pórtico hiperestático de uma indústria está submetido ao carregamen to indicado na figura a seguir Todas as barras possuem E I constante Pórtico hiperestático Fonte elaborada pelo autor Para resolver esse pórtico pelo Processo de Cross você deve determinar os coeficientes de distribuição do nó B Marque a alternativa correta que apresenta os valores dos coeficientes de distribuição do nó B do pórtico da figura apresentada a g g g 031 029 039 BA BC BD b g g g 08 039 049 BA BC BD c g g g 031 069 0 BA BC BD d g g g 1 061 039 BA BC BD e g g g 08 075 1 BA BC BD 210 U4 Método da Rigidez e Processo de Cross Pórtico hiperestático Fonte elaborada pelo autor Um dos seus colegas de trabalho já iniciou o cálculo do pórtico pelo Pro cesso de Cross e obteve os seguintes coeficientes de distribuição do nó B g g 064 036 BA BC Agora você deve finalizar os cálculos e encontrar os momentos que atuam no engaste A MA e nas extremidades adjacentes ao nó B para as duas barras MBA e MBC Escolha a alternativa que apresenta os valores corretos dos momentos MA MBA e MBC a M kN m M kN m M kN m 133 6 6 A BA BC b M kN m M kN m M kN m 192 384 384 A BA BC c M kN m M kN m M kN m 0 6 384 A BA BC d M kN m M kN m M kN m 133 0 0 A BA BC e M kN m M kN m M kN m 6 6 216 A BA BC 3 Um pórtico de uma obra que está em sua fase de projeto está submeti do ao carregamento indicado na figura a seguir Todas as barras possuem E I constante HIBBELER R C Análise das estruturas 8 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 LEET Kenneth M UANG ChiaMing GILBERT Anne M Fundamentos da análise estrutural 3 ed São Paulo McGrawHill 2009 MARTHA Luiz Fernando Análise de estruturas conceitos e métodos básicos Rio de Janeiro Editora Elsevier 2010 SÜSSEKIND J C Curso de análise estrutural 3 Método das deformações Processo de Cross 7 ed Rio de Janeiro Globo 1987 Referências Anotações Anotações Anotações Anotações Anotações KLS CIRCUITOS ANALÓGICOS Circuitos Analógicos