Método das Forças em Sistemas Hipersistêmicos

22092023 1 UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA UVA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Livro Análise de Estruturas LFM Seja a viga contínua apresentada a seguir 2 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar 22092023 2 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 1º Passo Definição do Sistema Principal SP Optouse pela eliminação dos apoios definindo os hiperestáticos 𝑋1 e 𝑋2 3 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar MÉTODO DAS FORÇAS Vale ressaltar QUALQUER sistema principal escolhido É VÁLIDO desde que seja ESTÁVEL Estaticamente Ex 4 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar 22092023 3 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Quais valores dos hiperestáticos 𝑋1 e 𝑋2 devem assumir para que sob ação do carregamento q os deslocamentos verticais dos apoios eliminados sejam zero 5 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar Apoios eliminados SP MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 2º Passo Determinar o grau de hiperestaticidade da estrutura original 3º Passo Verificar o grau de hiperestaticidade do sistema principal SP g Nº de incógnitas Nº de equações 21 3 0 6 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar g Nº de incógnitas Nº de equações 5 3 2 22092023 4 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 N de casos básicos ou fundamentais gestrutura Original 1 3 4º Passo Avaliação das condições compatibilidade e Cálculo dos deslocamentos e Momentos atuantes 41 Caso 0 somente a carga externa q atua na viga 7 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Aplicando as equações de equilíbrio estático temse que 𝑉𝐴 𝑉𝐵 𝑞𝑙 Calculando o Momento fletor em relação à A 𝑀𝐴 𝑞𝑙 𝑥 𝑙 2 3𝑙𝑉𝐵 0 3𝑙𝑉𝐵 𝑞𝑙² 2 𝑉𝐵 𝑞𝑙² 3𝑙 𝑥2 𝑞𝑙 6 𝑉𝐴 5𝑞𝑙 6 8 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar A B 22092023 5 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 𝛿10 𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 𝒏𝒐 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝟏 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 0 𝛿20 𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝒏𝒐 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝟐 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 0 9 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar 1 2 Momentos fletores nos pontos 1 e 2 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Caso 1 Hiperestático 𝑋1 isolado é aplicado no SP Considerase que é 𝑋1 1 Uma unidade de força 10 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar Deslocamentos Momento fletor 1 2 22092023 6 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Caso 1 Hiperestático 𝑋1 isolado é aplicado no SP Considerase que é 𝑋1 1 Uma unidade de força Os deslocamentos podem ser descritos como 𝛿11 𝛿21 11 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar Local onde foi aplicada a força No caso o hiperestático 𝑋1 Local onde ocorreu o deslocamento pelo o hiperestático 𝑋1 Local onde foi aplicada a força No caso o hiperestático 𝑋1 Local onde ocorreu o deslocamento pelo o hiperestático 𝑋1 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Cálculo dos momentos fletores quando o hiperestático 𝑋1unitário é aplicado 𝑀1 2𝑙 3 𝑀1 2𝑙 3 12 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar 22092023 7 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Caso 02 Hiperestático 𝑋2 isolado é aplicado no SP 13 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar Os deslocamentos podem ser descritos como 𝛿12 𝛿22 Local onde foi aplicada a força No caso o hiperestático 𝑋2 Local onde ocorreu o deslocamento pelo o hiperestático 𝑋2 Local onde foi aplicada a força No caso o hiperestático 𝑋2 Local onde ocorreu o deslocamento pelo o hiperestático 𝑋2 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 5 Passo Reestabelecimento das condições de compatibilidade Utilizase a superposição dos efeitos para reestabelecer as condições de deslocamento nulo nos apoios eliminados em 𝑋1𝑒𝑋2 14 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar Estrutura original Sistema Principal Deslocamento Vertical restrito 22092023 8 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 5 Passo Reestabelecimento das condições de compatibilidade 𝛿10 𝛿11𝑋1 𝛿12𝑋2 0 𝛿20 𝛿21𝑋1 𝛿22𝑋2 0 Na forma matricial 𝛿10 𝛿20 𝛿11 𝛿12 𝛿21 𝛿22 𝑋1 𝑋2 0 0 15 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar Parcela Caso 0 Parcela Caso 1 Parcela Caso 2 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 6 Passo Calcular os coeficientes 𝛿10 𝛿11𝑋1 𝛿12𝑋2 0 𝛿20 𝛿21𝑋1 𝛿22𝑋2 0 Cálculo do coeficiente 𝛿10 O Coeficiente 𝛿10 é obtido utilizando a seguinte relação 𝛿10 1 𝐸𝐼 0 3𝑙 𝑀1𝑀0𝑑𝑥 16 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar Parcela Real Estrutura original Parcela Virtual Sistema principal Incógnitas do problemas 22092023 9 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 𝛿10 1 𝐸𝐼 0 3𝑙 𝑀1𝑀0𝑑𝑥 A integral pode ser dividida nas seguintes parcelas 0 3𝑙 𝑀1𝑀0𝑑𝑥 0 𝑙 𝑀1𝑀0𝑑𝑥 𝑙 3𝑙 𝑀1𝑀0𝑑𝑥 Diagrama de momento fletor da Estrutura real caso 0 Diagrama de momento fletor da Estrutura real caso 1 17 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar MÉTODO DAS FORÇAS Ex2 18 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar DMF negativo DMF Positivo 22092023 10 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 03 19 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar Tabela de combinação de DMF 20 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar Estrut Real Estrut Virtual 22092023 11 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 03 21 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar Carregamento retangular Diagrama triangular MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 𝛿10 0 3𝑙 𝑀1𝑀0𝑑𝑥 0 𝑙 𝑀1𝑀0𝑑𝑥 𝑙 3𝑙 𝑀1𝑀0𝑑𝑥 Resolvendo cada integral separadamente temse que 0 𝑙 𝑀1𝑀0𝑑𝑥 1 3 𝑙 2 3 𝑙 𝑞𝑙² 3 1 3 𝑙 2 3 𝑙 𝑞𝑙2 8 22 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar 22092023 12 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 𝑙 3𝑙 𝑀1𝑀0𝑑𝑥 1 3 𝑙 2𝑙 3 𝑞𝑙2 3 2𝑙 23 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 𝛿10 0 3𝑙 𝑀1𝑀0𝑑𝑥 1 3 𝑙 2 3 𝑙 𝑞𝑙² 3 1 3 𝑙 2 3 𝑙 𝑞𝑙2 8 1 3 𝑙 2𝑙 3 𝑞𝑙2 3 2𝑙 𝛿10 𝑞𝑙4 4𝐸𝐼 24 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar 22092023 13 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Calcular 𝛿20 Similar a determinação do coeficiente 𝛿10 Neste caso a carga virtual será o do caso 2 𝑋2 1 𝛿20 1 𝐸𝐼 0 3𝑙 𝑀2𝑀0𝑑𝑥 25 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 𝜹𝟐𝟎 0 3𝑙 𝑀2𝑀0𝑑𝑥 0 𝑙 𝑀2𝑀0𝑑𝑥 𝑙 3𝑙 𝑀2𝑀0𝑑𝑥 26 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar 22092023 14 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Separando as integrais temse que 0 𝑙 𝑀2𝑀0𝑑𝑥 1 3 𝑙 𝑞𝑙² 3 𝑙 3 1 3 𝑙 𝑞𝑙² 8 𝑙 3 27 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 03 28 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar Carregamento retangular Diagrama triangular 22092023 15 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Separando as integrais temse que 𝑙 2𝑙 𝑀2𝑀0𝑑𝑥 1 3 𝑙 𝑞𝑙² 3 𝑙 3 1 6 𝑙 𝑞𝑙2 6 𝑙 3 1 6 𝑙 𝑞𝑙2 3 2𝑙 3 1 3 𝑙 𝑞𝑙² 3 2𝑙 3 29 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 03 30 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar Carregamento retangular Diagrama triangular 22092023 16 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Separando as integrais temse que 2𝑙 3𝑙 𝑀2𝑀0𝑑𝑥 1 3 𝑙 2𝑙 3 𝑞𝑙² 6 31 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 03 32 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar Diagrama Triangular Diagrama triangular 22092023 17 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 𝜹𝟐𝟎 1 𝐸𝐼 0 3𝑙 𝑀2𝑀0𝑑𝑥 5𝑞𝑙4 24𝐸𝐼 33 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Cálculo do coeficiente 𝜹𝟏𝟏 Os sistemas real e virtual e coincidem 𝜹𝟏𝟏 0 3𝑙 𝑀1𝑀1𝑑𝑥 34 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar 22092023 18 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Calculando as integrais em partes temse que 35 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01Cálculo dos coeficientes 𝜹𝟐𝟏 𝜹𝟏𝟐 𝜹𝟐𝟏 0 3𝑙 𝑀2𝑀1𝑑𝑥 𝜹𝟏𝟐 0 3𝑙 𝑀1𝑀2𝑑𝑥 36 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar 22092023 19 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 37 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Cálculo dos coeficientes 𝜹𝟐𝟐 𝜹𝟐𝟐 0 3𝑙 𝑀2𝑀2𝑑𝑥 38 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar 22092023 20 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 Realizando a sobreposição dos diagramas temse que 39 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 6º Passo Resolver a equação de compatibilidade Resolvendo este sistema temse que Assim 40 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar 22092023 21 MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo 01 O momento fleto final pode ser obtido pela superposição dos casos básicos apresentados da seguinte forma 41 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar MÉTODO DAS FORÇAS Exemplo PROPOSTO Para a viga biapoiada submetida ao carregamento uniformemente distribuído q 6 kN a seguir EI CONSTANTE pedese a Definir dois sistemas principais distintos para a estrutura b Escolher um SP e obter as equações de compatibilidade os Coeficientes de flexibilidade e os hiperestáticos 42 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Professor Túlio Cezar 𝑙 𝑙