Exercício de Hiperestática: Método dos Deslocamentos

Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez Exercício D4 1 Grau de indeterminação cinemática d A 60 m 60 m 40 kNm B F EI EI 60 kN 40 m EI 40 m EI C EI E D A B F C E D A B F C E D 𝒅𝟐 𝒅𝟏 d2 A d1qB d2qD 𝒅𝟏 𝒅𝟑 𝒅𝟐 Desprezar a deformabilidade axial das barras A 𝒅𝟒 𝒅𝟔 𝒅𝟓 𝒅𝟕 d7 não é independente A barra AB d20 barra DC d50 barra DE d40 barra BFD d1d40 Hiperestática Método dos deslocamentos A B F C E D 40 kNm 60 kN Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabelas das forças de fixação 𝑷 𝟐 𝑷 𝑳 𝟖 P B D L2 L2 𝑷 𝟐 𝑷 𝟐 𝟔𝟎 𝟐 𝟑𝟎 𝒌𝑵 𝑷 𝑳 𝟖 𝟔𝟎 𝟖 𝟖 𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟑𝟎 𝒌𝑵 𝟑𝟎 𝒌𝑵 𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟓𝟎 𝒌𝑵 𝟏𝟖𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟗𝟎 𝒌𝑵 F0 vetor de forças devidas às cargas aplicadas nas barras 𝑭𝟎𝟏 𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝑭𝒏𝟏 𝟎 2 Estado E0 estrutura bloqueada d10 d20 𝟑 𝟖 𝒑𝑳 𝟓 𝟖 𝒑𝑳 𝟓 𝟖 𝒑 𝑳 𝟓 𝟖 𝟒𝟎 𝟔 𝟏𝟓𝟎 𝒌𝑵 𝒑 𝑳𝟐 𝟖 𝟒𝟎 𝟔𝟐 𝟖 𝟏𝟖𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝒑𝑳𝟐 𝟖 Fn vetor de forças diretamente aplicadas segundo os graus de liberdade independentes da estrutura 𝑭𝟎𝟐 𝟔𝟎 𝟏𝟖𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝑭𝟎 𝟔𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝑭𝒏𝟐 𝟎 𝑭𝒏 𝟎 𝟎 p D E L 𝑷 𝑳 𝟖 𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟑 𝟖 𝒑 𝑳 𝟑 𝟖 𝟒𝟎 𝟔 𝟗𝟎 𝒌𝑵 Hiperestática Método dos deslocamentos A B C E D Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabela da matriz de rigidez 3 Estado E1 d11 d20 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟒𝑬𝑰 𝑳 B D 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟒𝑬𝑰 𝑳 A B 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟑𝟔 𝑬𝑰 𝟏 𝟔 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝟔 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 𝟑 𝟑𝟐 𝟑 𝟑𝟐 𝟏 𝟒 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟔𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝟑𝟐 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝟖 𝑬𝑰 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝟏 𝟔 𝟐 𝟑 𝟏 𝟔 EI 𝟏 𝟑 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐 𝟖 𝑬𝑰 𝟏 𝟒 𝑬𝑰 Formação da 1ª coluna da matriz de rigidez K 𝑲𝟏𝟏 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝟕 𝟔 𝑬𝑰 𝑲𝟐𝟏 𝟏 𝟒 𝑬𝑰 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐 𝟔 𝑬𝑰 𝟏 𝟑 𝑬𝑰 𝟏 𝟐 Hiperestática Método dos deslocamentos A B C E D Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabela da matriz de rigidez 4 Estado E2 d10 d21 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟐𝑬𝑰 𝑳 B D 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟒𝑬𝑰 𝑳 C D 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟑𝟔 𝑬𝑰 𝟏 𝟔 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝟔 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 𝟑 𝟑𝟐 𝟑 𝟑𝟐 𝟏 𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟔𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝟑𝟐 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝟖 𝑬𝑰 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝟏 𝟔 𝟐 𝟑 𝟏 𝟔 EI 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐 𝟖 𝑬𝑰 𝟏 𝟒 𝑬𝑰 Formação da 2ª coluna da matriz de rigidez K 𝑲𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝟓 𝟑 𝑬𝑰 𝑲𝟏𝟐 𝟏 𝟒 𝑬𝑰 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐 𝟔 𝑬𝑰 𝟏 𝟑 𝑬𝑰 𝟏 𝟒 𝟏 𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳 D E 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟑𝟔 𝑬𝑰 𝟏 𝟏𝟐 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳 𝟑 𝟔 𝑬𝑰 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝟏 𝟏𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟏 𝟐 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 5 Equações de equilíbrio 𝑲 𝒅 𝑭𝟎 𝑭𝒏 𝒌𝟏𝟏 𝒌𝟏𝟐 𝒌𝟐𝟏 𝒌𝟐𝟐 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝑭𝟎𝟏 𝑭𝟎𝟐 𝑭𝒏𝟏 𝑭𝒏𝟐 𝑬𝑰 𝟕 𝟔 𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 𝟓 𝟑 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝟔𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟎 𝟎 𝑬𝑰 𝟐𝟒 𝟐𝟖 𝟔 𝟔 𝟒𝟎 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝟔𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝚫𝒑 𝟐𝟖 𝟔 𝟔 𝟒𝟎 𝟐𝟖 𝟒𝟎 𝟔 𝟔 𝟏𝟏𝟐𝟎 𝟑𝟔 𝟏𝟎𝟖𝟒 resolução pelo método dos determinantes 𝚫𝟏 𝟔𝟎 𝟔 𝟏𝟐𝟎 𝟒𝟎 𝟔𝟎 𝟒𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟔 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝟕𝟐𝟎 𝟏𝟔𝟖𝟎 𝚫𝟐 𝟐𝟖 𝟔𝟎 𝟔 𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟖 𝟏𝟐𝟎 𝟔 𝟔𝟎 𝟑𝟑𝟔𝟎 𝟑𝟔𝟎 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝒅𝟏 𝟐𝟒 𝑬𝑰 𝚫𝟏 𝚫𝒑 𝟐𝟒 𝑬𝑰 𝟏𝟔𝟖𝟎 𝟏𝟎𝟖𝟒 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝐫𝐚𝐝 𝟐𝟖 𝟔 𝟔 𝟒𝟎 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝟐𝟒 𝑬𝑰 𝟔𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝒅𝟐 𝟐𝟒 𝑬𝑰 𝚫𝟐 𝚫𝒑 𝟐𝟒 𝑬𝑰 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟖𝟒 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 6 Esforços e reações de apoio finais 𝑽 𝑽𝟎 𝒅𝟏 𝑽𝟏 𝒅𝟐 𝑽𝟐 𝒅𝟏 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 V V 𝑽𝑨 𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟔 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝟎 𝟔 𝟐𝟎 𝒌𝑵 barra AB 𝒅𝟐 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 𝒙 𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟔 𝟒𝟎 𝟑 𝟔𝟏 𝒎 𝑽𝑩 𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟔 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝟎 𝟔 𝟐𝟎 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟑𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟑𝟐 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟑𝟐 𝟐𝟎 𝟐𝟗 𝒌𝑵 barra BD 𝑽𝑫 𝟑𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟑𝟐 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟑𝟐 𝟑𝟗 𝟕𝟏 𝒌𝑵 𝑽𝑫 𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝟎 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟔 𝟏𝟏 𝟎𝟕 𝒌𝑵 barra DC 𝑽𝑪 𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝟎 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟔 𝟏𝟏 𝟎𝟕 𝒌𝑵 𝑽𝑫 𝟏𝟓𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝟎 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟔 𝒌𝑵 barra DE 𝑽𝑬 𝟗𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝟎 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟗𝟓 𝟓𝟒 𝒌𝑵 A B F C E D V kN 2029 9554 x 14446 3971 620 1107 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 6 Esforços e reações de apoio finais 𝑴 𝑴𝟎 𝒅𝟏 𝑴𝟏 𝒅𝟐 𝑴𝟐 𝒅𝟏 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 𝑴𝑨 𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟑 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟐 𝟒𝟎 𝒌𝑵 𝒎 barra AB 𝒅𝟐 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 𝑴𝑩 𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝟎 𝟐𝟒 𝟖𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟔𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟒 𝟐𝟒 𝟖𝟎 𝒌𝑵 𝒎 barra BD 𝑴𝑫 𝟔𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟒 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝟏𝟎𝟐 𝟓𝟏 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑫 𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝟎 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟑 𝟐𝟐 𝟏𝟒 𝒌𝑵 𝒎 barra DC 𝑴𝑪 𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝟎 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟒𝟒 𝟐𝟖 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑫 𝟏𝟖𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝟎 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝟏𝟒𝟔 𝟕𝟗 𝒌𝑵 𝒎 barra DE 𝑴𝑬 𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟎 𝑬𝑰 𝟎 𝟔𝟔 𝟒𝟐 𝑬𝑰 𝟎 𝟎 M M A B F C E D 248 11396 361 m 14679 5636 124 2214 M kNm 10251 248 4428 𝑴𝑭 𝟐𝟒 𝟖 𝟐𝟎 𝟐𝟗 𝟒 𝟓𝟔 𝟑𝟔 𝐤𝐍 𝐦 𝑴𝒎á𝒙 𝟏𝟒𝟔 𝟕𝟗 𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟔 𝟑 𝟔𝟏 𝟐 𝟏𝟏𝟑 𝟗𝟔 𝐤𝐍 𝐦 Hiperestática Método dos deslocamentos A 40 kNm B F 60 kN C E D Método dos deslocamentos ou da rigidez 6 Esforços e reações de apoio finais 𝑹𝑨𝒚 𝟐𝟎 𝟐𝟗 𝒌𝑵 𝑹𝑨𝒙 𝟔 𝟐𝟎 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒚 𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟔 𝟑𝟗 𝟕𝟏 𝟏𝟖𝟒 𝟏𝟕 𝒌𝑵 𝑴𝑪 𝟐𝟐 𝟏𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝟐𝟎 𝟐𝟗 𝒌𝑵 𝟗𝟓 𝟓𝟒 𝒌𝑵 𝟏𝟕 𝟐𝟕 𝒌𝑵 𝟏𝟐 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑵𝑨 𝑵𝑩 𝟐𝟎 𝟐𝟗 𝒌𝑵 barra AB 𝟔 𝟐𝟎 𝒌𝑵 𝑴𝑨 𝟏𝟐 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟖𝟒 𝟏𝟕 𝒌𝑵 𝟐𝟐 𝟏𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟏 𝟎𝟕 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒙 𝟏𝟏 𝟎𝟕 𝒌𝑵 𝑹𝑬𝒚 𝟗𝟓 𝟓𝟒𝒌𝑵 𝑹𝑬𝒙 𝟔 𝟐𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟕 𝟏𝟕 𝟐𝟕 𝒌𝑵 𝑵𝑩 𝑵𝑭 𝑵𝑫 𝟔 𝟐𝟎 𝒌𝑵 barra BFD 𝑵𝑪 𝑵𝑫 𝟏𝟖𝟒 𝟏𝟕 𝒌𝑵 barra DC 𝑵𝑬 𝑵𝑫 𝟏𝟕 𝟐𝟕 𝒌𝑵 barra DE A B F C E D N kN 18417 2029 1727 620 Hiperestática Método dos deslocamentos C B A D C B A D C 80 m 40 m B A EI EI 20 m 20 m EI 20 kN D 20 kNm 50 kN EI Método dos deslocamentos ou da rigidez Exercício D7 1 Grau de indeterminação cinemática d 𝒅𝟐 𝒅𝟏 d2 A d1qC d2dh CD 𝒅𝟐 𝒅𝟒 𝒅𝟑 Desprezar a deformabilidade axial das barras A 𝒅𝟓 𝒅𝟕 𝒅𝟔 𝒅𝟏 d1 não é independente d7 não é independente A barra AC d30 barra DB d60 barra CD d2d5 Hiperestática Método dos deslocamentos C B A D 20 kN 20 kNm 50 kN Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabelas das forças de fixação 𝟏𝟏 𝑷 𝟏𝟔 𝟑 𝑷 𝑳 𝟏𝟔 P A C L2 L2 𝟓 𝑷 𝟏𝟔 𝟏𝟏 𝑷 𝟏𝟔 𝟏𝟏 𝟐𝟎 𝟏𝟔 𝟏𝟑 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝟑 𝑷 𝑳 𝟏𝟔 𝟑 𝟐𝟎 𝟒 𝟏𝟔 𝟏𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟔 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝟏𝟑 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝟏𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵 𝟏𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟔𝟎 𝒌𝑵 F0 vetor de forças devidas às cargas aplicadas nas barras 𝑭𝟎𝟏 𝟏𝟓 𝟏𝟔𝟎 𝟏𝟒𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑭𝒏𝟏 𝟎 2 Estado E0 estrutura bloqueada d10 d20 𝟑 𝟖 𝒑𝑳 𝟓 𝟖 𝒑𝑳 𝟓 𝟖 𝒑 𝑳 𝟓 𝟖 𝟐𝟎 𝟖 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵 𝒑 𝑳𝟐 𝟖 𝟐𝟎 𝟖𝟐 𝟖 𝟏𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝒑𝑳𝟐 𝟖 Fn vetor de forças diretamente aplicadas segundo os graus de liberdade independentes da estrutura 𝑭𝟎𝟐 𝟏𝟑 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝑭𝟎 𝟏𝟒𝟓 𝟏𝟑 𝟕𝟓 𝑭𝒏𝟐 𝟓𝟎 𝒌𝑵 𝑭𝒏 𝟎 𝟓𝟎 p C D L 𝟑 𝟖 𝒑 𝑳 𝟑 𝟖 𝟐𝟎 𝟖 𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝟓 𝑷 𝟏𝟔 𝟓 𝟐𝟎 𝟏𝟔 𝟔 𝟐𝟓 𝒌𝑵 Hiperestática Método dos deslocamentos C B A D Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabela da matriz de rigidez 3 Estado E1 d11 d20 𝟑 𝟔𝟒 𝟑 𝟔𝟒 𝟑 𝟏𝟔 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏𝟔 EI Formação da 1ª coluna da matriz de rigidez K 𝑲𝟏𝟏 𝟑 𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟗 𝟖 𝑬𝑰 𝑲𝟐𝟏 𝟑 𝟏𝟔 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳 C D 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟔𝟒 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳 A C 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟏𝟔 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳 𝟑 𝟒 𝑬𝑰 Hiperestática Método dos deslocamentos C B A D Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabela da matriz de rigidez 4 Estado E2 d10 d21 𝟑 𝟔𝟒 𝟑 𝟔𝟒 𝟑 𝟔𝟒 𝟑 𝟏𝟔 𝟑 𝟔𝟒 EI Formação da 2ª coluna da matriz de rigidez K 𝑲𝟐𝟐 𝟑 𝟔𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝟔𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝟑𝟐 𝑬𝑰 𝑲𝟏𝟐 𝟑 𝟏𝟔 𝑬𝑰 𝟑 𝟏𝟔 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 D B 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑 𝟔𝟒 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟏𝟔 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 A C 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑 𝟔𝟒 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟏𝟔 𝑬𝑰 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 5 Equações de equilíbrio 𝑲 𝒅 𝑭𝟎 𝑭𝒏 𝒌𝟏𝟏 𝒌𝟏𝟐 𝒌𝟐𝟏 𝒌𝟐𝟐 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝑭𝟎𝟏 𝑭𝟎𝟐 𝑭𝒏𝟏 𝑭𝒏𝟐 𝑬𝑰 𝟗 𝟖 𝟑 𝟏𝟔 𝟑 𝟏𝟔 𝟑 𝟑𝟐 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝟏𝟒𝟓 𝟏𝟑 𝟕𝟓 𝟎 𝟓𝟎 𝑬𝑰 𝟑𝟐 𝟑𝟔 𝟔 𝟔 𝟑 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝟏𝟒𝟓 𝟔𝟑 𝟕𝟓 𝚫𝒑 𝟑𝟔 𝟔 𝟔 𝟑 𝟑𝟔 𝟑 𝟔 𝟔 𝟏𝟎𝟖 𝟑𝟔 𝟕𝟐 resolução pelo método dos determinantes 𝚫𝟏 𝟏𝟒𝟓 𝟔 𝟔𝟑 𝟕𝟓 𝟑 𝟏𝟒𝟓 𝟑 𝟔𝟑 𝟕𝟓 𝟔 𝟒𝟑𝟓 𝟑𝟖𝟐 𝟓 𝟖𝟏𝟕 𝟓 𝚫𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟒𝟓 𝟔 𝟔𝟑 𝟕𝟓 𝟑𝟔 𝟔𝟑 𝟕𝟓 𝟔 𝟏𝟒𝟓 𝟐𝟐𝟗𝟓 𝟖𝟕𝟎 𝟑𝟏𝟔𝟓 𝒅𝟏 𝟑𝟐 𝑬𝑰 𝚫𝟏 𝚫𝒑 𝟑𝟐 𝑬𝑰 𝟖𝟏𝟕 𝟓 𝟕𝟐 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝐫𝐚𝐝 𝟑𝟔 𝟔 𝟔 𝟑 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝟑𝟐 𝑬𝑰 𝟏𝟒𝟓 𝟔𝟑 𝟕𝟓 𝒅𝟐 𝟑𝟐 𝑬𝑰 𝚫𝟐 𝚫𝒑 𝟑𝟐 𝑬𝑰 𝟑𝟏𝟔𝟓 𝟕𝟐 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝒎 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 6 Esforços e reações de apoio finais 𝑽 𝑽𝟎 𝒅𝟏 𝑽𝟏 𝒅𝟐 𝑽𝟐 𝒅𝟏 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 V V 𝑽𝑨 𝟔 𝟐𝟓 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟏𝟔 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟔𝟒 𝟒 𝟎𝟔 𝒌𝑵 barra AC 𝒅𝟐 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝒎 𝒙 𝟖𝟐 𝟗𝟕 𝟐𝟎 𝟒 𝟏𝟓 𝒎 𝑽𝑪 𝟏𝟑 𝟕𝟓 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟏𝟔 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟔𝟒 𝟏𝟓 𝟗𝟒 𝒌𝑵 𝑽𝑪 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟔𝟒 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝟎 𝟖𝟐 𝟗𝟕 𝒌𝑵 barra CD 𝑽𝑫 𝟔𝟎 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟔𝟒 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝟎 𝟕𝟕 𝟎𝟑 𝒌𝑵 𝑽𝑫 𝟎 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟔𝟒 𝟔𝟓 𝟗𝟒 𝒌𝑵 barra DB 𝑽𝑩 𝟎 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟔𝟒 𝟔𝟓 𝟗𝟒 𝒌𝑵 C B A D V kN 7703 x 8297 406 1594 6594 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 6 Esforços e reações de apoio finais 𝑴 𝑴𝟎 𝒅𝟏 𝑴𝟏 𝒅𝟐 𝑴𝟐 𝒅𝟏 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 𝑴𝑨 𝟎 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝟎 𝟎 barra AC 𝒅𝟐 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝒎 𝑴𝑪 𝟏𝟓 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟒 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟏𝟔 𝟐𝟑 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑪 𝟏𝟔𝟎 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝟎 𝟐𝟑 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 barra CD 𝑴𝑫 𝟎 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝟎 𝟎 𝑴𝑫 𝟎 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝟎 𝟎 barra DB 𝑴𝑩 𝟎 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎𝟔 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟏𝟔 𝟐𝟔𝟑 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 M M 𝑴𝒎á𝒙 𝑨𝑪 𝟎 𝟒 𝟎𝟔 𝟐 𝟖 𝟏𝟐 𝐤𝐍 𝐦 𝑴𝒎á𝒙 𝑪𝑫 𝟐𝟑 𝟕𝟓 𝟖𝟐 𝟗𝟕 𝟒 𝟏𝟓 𝟐 𝟏𝟒𝟖 𝟒𝟏 𝐤𝐍 𝐦 C B A D 14841 415 m 2375 812 2375 M kNm 26375 Hiperestática Método dos deslocamentos C B A 20 kN D 20 kNm 50 kN Método dos deslocamentos ou da rigidez 6 Esforços e reações de apoio finais 𝑹𝑨𝒚 𝟖𝟐 𝟗𝟕 𝒌𝑵 𝑹𝑨𝒙 𝟒 𝟎𝟔 𝒌𝑵 𝑹𝑩𝒚 𝟕𝟕 𝟎𝟑 𝒌𝑵 𝑴𝑩 𝟐𝟔𝟑 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟖𝟐 𝟗𝟕 𝒌𝑵 𝑵𝑨 𝑵𝑩 𝟖𝟐 𝟗𝟕 𝒌𝑵 barra AB 𝟒 𝟎𝟔 𝒌𝑵 𝟕𝟕 𝟎𝟑 𝒌𝑵 𝟐𝟔𝟑 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟔𝟓 𝟗𝟒 𝒌𝑵 𝑹𝑩𝒙 𝟔𝟓 𝟗𝟒 𝒌𝑵 𝑵𝑫 𝑵𝑪 𝟔𝟓 𝟗𝟒 𝒌𝑵 barra CD 𝑵𝑩 𝑵𝑫 𝟕𝟕 𝟎𝟑 𝒌𝑵 barra DB C B A D N kN 8297 7703 6594