Matemática

Capıtulo 2 Limite de uma funcao Podemos afirmar que o conceito de limite e uma das ideias fundamentais do Calculo Diferencial Seu processo de construcao surge historicamente a partir de problemas geometricos como por exemplo no calculo da area de regioes planas e na determinacao retas tangentes a uma curva Apresentaremos rapidamente esses dois problemas que motivaram a definicao de limite como no livro Calculo com Geometria Analıtica Vol1 de George Simmons Editora Makron Brooks 21 O problema das areas metodo de exaustao A area de um retˆangulo e o produto das medidas de sua base e sua altura Ja a area de um triˆangulo e a metade do produto das medidas de sua base e altura Como um polıgono pode ser sempre decomposto em triˆangulos sua area e a soma das areas desses triˆangulos Figura 21 Areas O cırculo e uma figura mais complicada Os gregos resolveram o problema de achar a sua area de uma maneira natural Figura 22 Metodo para aproximar a area do cırculo Primeiro eles aproximaram essa area inscrevendo um quadrado Depois eles melhoram a apro ximacao passo a passo dobrando o numero de lados isto e inscrevendo um octogono regular depois um polıgono regular de 16 lados e assim por diante As areas desses polıgonos inscritos 65 66 CAPITULO 2 LIMITE DE UMA FUNC AO aproximam a area exata do cırculo com uma precisao cada vez melhor Vamos ver que esse processo chega a formula A πr2 para a area do cırculo de raio r Suponha que o cırculo tenha inscrito nele um polıgono com um numero grande n de lados como na Figura 23 Figura 23 Cırculo com polıgono de n lados Cada um dos triˆangulos isoceles mostrados na figura anterior tem area igual a bh 2 e a soma dessas areas e igual a area do polıgono que e uma aproximacao da area do cırculo Se p denota o perımetro do polıgono entao temos que Apolıgono 1 2bh 1 2bh 1 2bh 1 2hb b b 1 2hp Como o numero de lados cresce h tende a r em sımbolos h r e p tende ao comprimento do cırculo c 2πr em sımbolos p c Portanto Apolıgono 1 2hp 1 2rc 1 2r2πr πr2 Esse processo e conhecido por metodo de exaustao porque a area do cırculo foi exaurida pelas areas dos polıgonos inscritos 22 Reta tangente a uma curva Um problema basico do Calculo Diferencial e o problema das tangentes determinar o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de uma funcao em um ponto P dado Figura 24 Reta tangente a uma curva Antes de tentar calcular o coeficiente angular da reta tangente devemos decidir primeiro o que e uma reta tangente No caso de uma circunferˆencia nao ha dificuldade Uma reta tangente a uma circunferˆencia e uma reta que intercepta a circunferˆencia em um unico ponto chamado ponto de tangˆencia As retas nao tangentes ou nao interceptam a circunferˆencia ou interceptam em dois pontos 22 RETA TANGENTE A UMA CURVA 67 Figura 25 Relacoes entre cırculo e retas e entre curvas e retas Essa situacao reflete a ideia intuitiva que a maioria das pessoas tem de tangente a uma curva num dado ponto como sendo a reta que toca a curva naquele ponto Ela sugere tambem a possibilidade de definir uma tangente a uma curva como uma reta que intercepta a curva em apenas um ponto mas em geral essa ideia e insatisfatoria como vemos na Figura 25 O conceito moderno de reta tangente originouse com Fermat em torno de 1630 Considere uma curva grafico da funcao y fx e P um ponto nessa curva Considere Q um segundo ponto proximo de P sobre essa curva e desenhe a reta secante PQ A reta tangente em P pode ser definida como a posicao limite da secante variavel quando Q desliza ao longo da curva na direcao de P Figura 26 Posicao limite da secante Mas como calcular o coeficiente angular da reta tangente Seja P x0 y0 um ponto na curva y fx Para comecar o processo escolha um segundo ponto Q x1 y1 sobre a curva O coeficiente angular da secante PQ e msec coeficiente angular da reta PQ y1 y0 x1 x0 Figura 27 Calculo do coeficiente angular Em seguida facamos x1 se aproximar de x0 de modo que o ponto variavel Q se aproxime do ponto P ao longo da curva Quando acontece isso a secante muda de posicao e se aproxima da tangente em P como sua posicao limite E tambem intuitivo que o coeficiente angular m da tangente é o valor limite aproximado pelo coeficiente angular msec da secante Se usarmos o símbolo para indicar se aproxima ou tende então dizemos que quando x1 tende a x0 msec tende a m e escrevemos m lim PQ msec lim x1x0 y1 y0x1 x0 A formalização do conceito de limite de uma função visto através do método da exaustão e do cálculo do coeficiente angular de uma reta tangente será nosso objeto de estudo ao longo do capítulo 23 Definição de limite Intuitivamente dizemos que uma função f tem limite L quando x tende para a se é possível tomar fx arbitrariamente próximo de L desde que tomemos valores de x x a suficientemente próximos de a Inicialmente vamos desenvolver essa ideia intuitiva estudando o comportamento de uma função y fx próximo a um ponto que não pertence necessariamente ao seu domínio Consideramos por exemplo a função a seguir cujo domínio é R 1 fx x2 x 2x 1 Vamos construir uma tabela de valores de fx quando x se aproxima de 1 pela esquerda isto é quando x 1 e pela direita isto é quando x 1 x 1 x 1 fx 0 1 2 05 05 25 07 03 27 09 01 29 099 001 299 0999 0001 2999 09999 00001 29999 099999 000001 299999 0999999 0000001 2999999 09999999 00000001 29999999 Observando as tabelas concluimos que quando x se aproxima de 1 os valores de fx se aproximam de 3 A noção de proximidade fica mais precisa se utilizarmos o valor absoluto no caso o que observamos é que quando x 1 fica pequeno fx 3 fica pequeno também Veja que essa relação de implicação vem da própria função pois quando x 1 isto é x Dom f então fx 3 x2 x 2x 1 3 x 2 3 x 1 Assim a distância entre fx e 3 depende da distância entre x e 1 Para outro exemplo vamos considerar fx x2 1 Aqui o domínio de f é todo o conjunto dos reais Vamos analisar o comportamento de fx quando x se aproxima de 1 Para isso vamos assumir que x 1 está ficando pequeno como no exemplo anterior x 1 x 1 fx 0 1 1 05 05 125 07 03 135 09 01 145 099 001 1495 0999 0001 14995 09999 00001 149995 099999 000001 1499995 0999999 0000001 14999995 09999999 00000001 149999995 099999999 000000001 1499999995 x 1 x 1 fx 2 1 2 15 05 175 13 03 165 11 01 155 109 001 1545 1009 0001 15045 10009 00001 150045 100009 000001 1500045 1000009 0000001 15000045 10000009 00000001 150000045 100000009 000000001 1500000045 Pelas tabelas vemos que quando x se aproxima de 1 fx se aproxima de 32 Na verdade como fizemos no exemplo anterior podemos notar que fx 32 x2 1 32 x2 12 12x 1 Isto é a distância entre fx e 32 depende da distância entre x e 1 Por exemplo se a distância entre x e 1 for menor do que 00001 isto é x 1 00001 então a distância entre fx e 32 será fx 32 12x 1 000005 Vemos que o tamanho 00001 foi apenas um exemplo pois podemos escolher qualquer número positivo o menor que seja e fazer o mesmo raciocínio Estamos prontos para a definição formal de limite Comparea com os exemplos anteriores Definição 17 Sejam a um número real e I um intervalo aberto contendo a Seja f uma função definida em I exceto talvez no próprio a Dizemos que o limite de fx quando x tende a a é L e escrevemos lim xa fx L se para todo ε 0 existir um δ 0 tal que 0 x a δ fx L ε Observação 27 Como vimos no primeiro exemplo dessa seção para a definição de lim xa fx não é necessário que a função f esteja definida em a Nos interessa o comportamento de fx quando x está próximo de a Teorema 2 Se existe limite de uma função fx quando x tende a a então ele é único Exemplo 13 Sejam k um número real e fx k a função constante Então para qualquer a R temos lim xa fx k Primeiro notamos que fx k k k 0 que é menor do que qualquer número positivo Então fixando qualquer ε 0 e escolhendo δ ε e temos que independentemente de 0 x a δ ε sempre teremos fx k k k 0 ε Exemplo 14 Sejam a um número real e fx x a função identidade Então lim xa x a De fato fixando qualquer ε 0 então escolhendo δ ε temos 0 x a δ ε fx a x a δ ε Exemplo 15 Vamos mostrar que lim x2 2x 3 1 Para isso devemos mostrar que dado ε 0 existe um δ 0 tal que 0 x 2 δ 2x 3 1 ε Observe que 2x 3 1 2x 4 2x 2 2x 2 Logo se 0 x 2 δ então 2x 3 1 2x 2 2δ Assim para qualquer ε 0 fixado escolhendo δ ε2 teremos que 0 x 2 ε2 2x 3 1 2x 2 2x 2 2δ 2ε2 ε Exemplo 16 O exemplo anterior pode ser generalizado para qualquer função afim fx ax b quando x tende a c onde a b c R a 0 De fato para mostrar que lim xc ax b ac b vemos primeiro que ax b ac b ax ac ax c Assim fixando ε 0 e escolhendo δ εa temos que 0 x c εa ax b ac b ax ac ax c aδ aεa ε 24 Propriedades do limite de uma função Teorema 3 Sejam f e g funções definidas em um intervalo I contendo a exceto possivelmente em a Se lim xa fx L e lim xa gx M então L1 lim xa fx gx L M L2 lim xa fxgx LM L3 lim xa fxgx LM se M 0 L4 lim xa nfx nL se L 0 e n N ou L 0 e n N ímpar Uma consequência imediata das propriedades L1 e L2 é o exemplo dado a seguir Exemplo 17 Se px bn xn bn1 xn1 b1 x b0 i0n bi xi é uma função polinomial então para qualquer a R lim xa px lim xa i0n bi xi i0n lim xa bi xi i0n bi ai pa 25 FORMA INDETERMINADA DO TIPO 00 Pelo exemplo anterior uma função polinomial é nosso primeiro exemplo de função contínua isto é uma função tal que limxafxfa para todo aDf Voltaremos a isso mais a frente Exemplo 18 Pelo exemplo 17 temos limx2x23x5226515 Exemplo 19 Pela propriedade L3 e o exemplo 17 como 3 não é raiz de x37 temos limx3x5x3735337110 Exemplo 20 Pela propriedade L4 e o Exemplo 17 limx2x34x1238111 Exemplo 21 Como pelo exemplo 17 e a propriedade L3 limx12x2x13x22 segue da propriedade L2 que limx12x2x13x224 Observação 28 Os seguintes limites que envolvem as funções trigonométricas exponenciais e logarítmicas não serão demonstrados aqui 1 limxasen xsen a para todo aR 2 limxacos xcos a para todo aR Se aR e 0a1 3 limx0ax1 5 limx1loga x0 4 limxbaxab 6 limxbloga xloga b para b0 Além disso temos que se limxafxL então 7 limxasen fxsenlimxafxsen L 9 limxbafxaL 8 limxacosfxcoslimxafxcos L 10 limxbloga fxloga L se L0 25 Forma indeterminada do tipo 00 Se f e g são funções tais que limxafx0limxagx o limite de fxgx quando x tende a a pode ou não existir e portanto é denominado forma indeterminada do tipo 00 já que o limite pode ou não existir como mostram os exemplos a seguir Exemplo 22 limx1x31x2132 Exemplo 23 limx12xx1x1122 Exemplo 24 Não existe limx1x1x3x2x1 Esse tipo de problema será tratado mais a frente 72 CAPÍTULO 2 LIMITE DE UMA FUNÇÃO Nesse momento para resolvermos limites com a forma indeterminada 00 devemos trabalhar a expressão do quociente fxgx a fim de não mais ter uma indeterminação Vamos começar calculando os limites dos exemplos 22 e 23 No primeiro temos que 1 é raiz do numerador e do denominador então vamos fatorálos o que é feito através de divisão de polinômios limx1x31x21limx1x1x2x1x1x1limx1x2x1x132 fatorial x31 e x21 como x10 L3 No segundo novamente 1 é raiz do numerador e do denominador mas a função não é racional Nesse caso vamos racionalizar o quociente isto é multiplicar por 1 como uma fração de numerador e denominador iguais a 2xx1 Usaremos ainda o fato de que a2b2abab para todos abR limx12xx1x1limx12xx1x12xx12xx1 racionalizando limx1x1x12xx1limx112xx1122 como x10 Vamos fazer mais exemplos Exemplo 25 Mais um exemplo com fatoração limx13x34x2x22x33x21limx1x13x2x2x12x2x1 colocando x1 em evidência limx13x2x22x2x1limx1x13x2x12x1 como x10 continuamos com 00 dividimos por x1 de novo limx13x22x153 como x10 Note que se tivéssemos fatorado o numerador e o denominador teríamos poupado trabalho limx13x34x2x22x33x21limx1x12 3x2x122x1limx13x22x153 fatorando como x10 73 25 FORMA INDETERMINADA DO TIPO 00 Exemplo 26 Mais uma exemplo com racionalização limx31x2x3limx31x2x31x21x2 racionalizando limx3x3x31x2limx311x214 como x30 Para alguns limites do tipo 00 pode ser útil fazer uma mudança de variáveis como veremos a seguir Exemplo 27 Vamos calcular limx2³4x2x2 fazendo uma troca de variáveis do tipo y³4x Como x2 temos que y³82 Ainda como y³4x temos que 4xy3 donde xy34 Assim limx2³4x2x2limy2y2y342limy24y2y38 fazendo y³4x limy24y2y2y22y4limy24y22y441614 fatorando y38 como y2 Exemplo 28 Vamos calcular limx1⁶x1³x1 fazendo a seguinte troca de variáveis y⁶x Temos que y⁶xy2³x e y3x Além disso como x1 temos que y⁶11 Dessa forma limx1³x1x1limy1y21y31limy1y1y1y1y2y1limy1y1y2y123 fazendo y⁶x fatorando como y10 251 Limites Fundamentais O limite da função sen xx quando x0 é um exemplo de indeterminação do tipo 00 porém vamos provar o seguinte Limite Trigonométrico Fundamental limx0sen xx1 Para isso vamos precisar do seguinte resultado Teorema do Confronto Sejam f g e h funções que satisfazem gxfxhx para todo x numa vizinhança de a Suponha ainda que limxagxlimxahxL Então limxafxL Antes de provar o limite trigonométrico fundamental vamos ver um exemplo de uso do Teorema do Confronto 74 CAPITULO 2 LIMITE DE UMA FUNC AO Exemplo 29 Supondo que para todo x 1 temos x2 3x fx x2 1 x 1 podemos inferir que lim x1 fx 2 De fato lim x1 x2 3x 2 lim x1 x2 1 x 1 lim x1 x 1 2 Entao pelo Teorema do Confronto lim x1 fx 2 Sobre o limite lim x0 sen x x 1 vamos comecar com uma ideia que depende do fato de que quando o raio do cırculo e 1 entao a medida do arco OP denotada por arcOP e exatamente x a medida do ˆangulo P ˆOD veja figura 28 Isso so e verdade para ˆangulos medidos em radianos nao em graus Figura 28 Ideia da prova de lim x0 sen x x 1 Alem disso notamos que OP 1 o raio do cırculo o que implica em sen x DP OP DP Dessa forma sen x x DP arcOP Dessa forma quando x tende a 0 D se aproxima de O e DP se aproxima de arcOP Um argumento mais formal sera visto a seguir Se x 0 π2 consideremos a figura Temos que Área do POO Área do setor POO Área do POO onde usamos o fato de que OO é o raio do círculo e portanto 1 Segue então que Dividindo por sen x temos ou seja Como seno e a identidade são funções ímpares e cosseno é uma função par vale também para x π20 Como segue do Teorema do Confronto que Os exemplos a seguir mostram como usar o limite fundamental trigonométrico para calcular outros limites envolvendo funções trigonométricas Exemplo 30 Exemplo 31 Exemplo 32 Para calcular notamos que Argumentando como no exemplo anterior temos que Portanto concluimos que Exemplo 33 Vamos calcular que é uma indeterminação do tipo 00 Outro resultado interessante sobre limites que pode ser aplicado para alguns limites envolvendo funções trigonométricas é o seguinte Teorema 4 Se é limitada Ia onde I é um intervalo contendo a então A ideia de prova desse teorema vem também do Teorema do Confronto se gx é limitada então existe n 0 tal que Então pelo Teorema do Confronto segue o resultado Poderíamos fazer parecido para o caso em que Exemplo 34 No gráfico à esquerda na figura 29 vemos que não existe Porém já que e O próximo limite também tem inicialmente a forma indeterminada 00 Ele será enunciado sem demonstração mas no fim deste capítulo daremos uma demonstração usando o limite que define a constante de Euler Limite Exponencial Fundamental Observação 29 Quando a base da função exponencial for a constante de Euler teremos Exemplo 35 Considere a função então Logo se x está próximo de 0 e à direita de 0 então os valores de são sempre iguais a 1 Por outro lado se x está próximo de 0 e à esquerda de 0 então os valores de são sempre iguais a 1 Representamos essa situação da seguinte maneira O símbolo x 0 indica que estamos considerando somente valores de x maiores que 0 e o símbolo x 0 indica que estamos considerando somente valores de x menores que 0 Definição 18 Limite lateral à direita Seja uma função definida no intervalo aberto Escrevemos e dizemos que o limite de quando x tende a a pela direita é L se os valores de ficam arbitrariamente próximos de L bastando para isso tomarmos valores de x suficientemente próximos de a e à direita de a Isto é se para todo existir um tal que Analogamente definimos limite lateral à esquerda Definição 19 Limite lateral à esquerda Seja uma função definida no intervalo aberto Escrevemos e dizemos que o limite de quando x tende a a pela esquerda é L se os valores de ficam arbitrariamente próximos de L bastando para isso tomarmos valores de x suficientemente próximos de a e à esquerda de a Isto é se para todo existir um tal que Observação 30 As propriedades L1 L2 L3 e L4 do Teorema 3 continuam válidas para limites laterais ou seja se trocarmos x a por x a ou x a Exemplo 36 Seja Como quer dizer que temos que Por outro lado se temos que e a função não está definida para valores negativos Assim não podemos calcular o limite à esquerda Exemplo 37 Considere a função Temos que Assim nos pontos e não estão definidos os limites laterais à esquerda e à direita respectivamente No entanto Limites laterais são especialmente importantes no cálculo de limites de funções definidas por partes já que a existência do limite de quando x tende a a está condicionada à existência dos limites laterais da seguinte forma Teorema 5 Se f está definida em um intervalo aberto I contendo a então limxa fx L se e somente se limxa fx L e limxa fx L Exemplo 38 Vamos calcular se possível o limx1 fx onde fx x2 4 se x 1 1 se x 1 2 x se x 1 Quando x 1 a função é x2 4 donde limx1 fx limx1 x2 4 3 Já quando x 1 temos fx 2 x donde limx1 fx limx1 2 x 3 Então pelo teorema 5 limx1 fx 3 Note que não usamos o fato de f1 1 já que no cálculo do limite estamos interessados no comportamento da função quando x se aproxima de 1 mas é diferente de 1 Ainda note que limx1 fx 3 1 f1 isso quer dizer que a função fx não é contínua em x 1 Esse será o assunto da próxima seção Note ainda que poderíamos calcular facilmente outros limites Por exemplo limx0 fx limx0 x2 4 4 e limx3 fx limx3 2 x 5 pois a lei da função na proximidade de 0 ou de 3 não muda Exemplo 39 Vamos calcular se possível limx2 fx onde fx 3x2 5x 2x 2 x 2 Primeiro notamos que essa é uma função por partes fx 3x2 5x 2x 2 se x 13 3x2 5x 2x 2 se 13 x 2 3x2 5x 2x 2 se x 2 Então limx2 fx limx2 3x2 5x 2x 2 limx2 3x 1x 2x 2 limx2 3x 1 7 como 13 x 2 fatorando 3x2 5x 2 como x 2 0 Por outro lado limx2 fx limx2 3x2 5x 2x 2 limx2 3x 1x 2x 2 limx2 3x 1 7 como x 2 fatorando 3x2 5x 2 como x 2 0 Portanto pelo Teorema 5 não existe limx2 fx Exemplo 40 Questão da 1ª prova de 20171 Vamos calcular se existir limx0 x2 3x2x Temos que x x se x 0 x se x 0 assim é necessário analisar os limites laterais Temos que limx0 x2 3x2x limx0 x2 3x2x limx0 xx 32x limx0 x 32 32 x 0 x 0 fatorando x2 3x como x 0 limx0 x2 3x2x limx0 x2 3x2x limx0 xx 32x limx0 x 32 32 x 0 x 0 fatorando x2 3x como x 0 Como os limites laterais são distintos segue que não existe limx0 x2 3x2x 27 Função contínua Definição 20 Seja f uma função definida no intervalo aberto I e seja a I Dizemos que f é contínua em a se limxa fx fa Observação 31 Note que estamos exigindo na verdade 3 condições para que f seja contínua em a 1 existe fa 2 existe limxa fx e 3 limxa fx fa Exemplo 41 Para todo a 0 a função y x é contínua em a Exemplo 42 veja o exemplo 17 A função polinomial px an xn an 1 xn 1 a1 x a0 é contínua em a para todo a R já que limxa px an an an 1 an 1 a1 a a0 pa Nesse caso como é contínua em todo a Dp dizemos apenas que px é contínua Definição 21 Dizemos que uma função é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio Definição 22 Seja f uma função definida no intervalo aberto I e seja a I Dizemos que f é descontínua em a se f não for contínua em a isto é se não existe limxa fx ou limxa fx fa Exemplo 43 A função do exemplo 38 é descontínua em 1 pois limx1 fx 3 1 f1 Porém nos demais a R a função é contínua pois é polinomial De fato Df R e limxa fx limxa 2 x 2 a fa se a 1 limxa x2 4 a2 4 fa se a 1 Exemplo 44 A função fx 2x 1 se x 1 4 se x 1 é descontínua em 1 De fato limx1 fx limx1 2x 1 3 4 f1 Porém para os demais a R 1 f é contínua pois é polinomial Exemplo 45 Vamos determinar a b R para que a função f R R definida por fx x2 a se x 1 b se x 1 x 1 se x 1 seja contínua em R Para x 1 e x 1 a função é polinomial e portanto contínua Para x 1 devemos ter limx1 fx limx1 fx f1 b Temos que limx1 fx limx1 x2 a a 1 e limx1 fx limx1 x 1 2 Assim para que exista limx1 fx devemos ter a 1 Por fim b f1 limx1 fx 2 Exemplo 46 Questão da 1ª prova de 20171 Consideramos a função f R R a função definida por fx x4 4x2 3 se x a x2 7 se x a Vamos determinar os valores de a para os quais f é contínua em R Primeiro para x a a função f é polinomial e portanto contínua Temos que limxa fx limxa x4 4x2 3 a4 4a2 3 limxa fx limxa x2 7 a2 7 Logo para que exista limxa fx é necessário que a4 4a2 3 a2 7 a 1 ou a 2 Além disso como fa a2 7 limxa fx o que fizemos anteriormente já basta Portanto temos que f é contínua se e somente se a 1 ou a 2 Teorema 6 Sejam f e g funções contínuas em a então são contínuas em a as funções f g fg e fg se neste último caso ga 0 Exemplo 47 Toda função racional é contínua em seu domínio o que já sabíamos pela propriedade L3 de limites ver Teorema 3 Exemplo 48 Questão da 1ª prova de 20162 Sejam a e b constantes reais não nulas e f R R a função dada por fx x² ax 2x 1 x 1 b x 1 Vamos determinar a e b de forma que f seja contínua em R Para x 1 a função é racional onde é contínua Para x 1 temos que f1 b donde devemos ter lim x 1 x² ax 2x 1 b Para o limite existir devemos ter 1 como raiz de x² ax 2 isto é 1 a 2 0 a 3 Portanto b lim x 1 x² 3x 2x 1 lim x 1 x 2 1 Teorema 7 Sejam f e g funções tais que lim x a fx b e g contínua em b lim x a g fx gb ou seja lim x a gfx glim x a fx Em particular a composição de funções contínuas é contínua Exemplo 49 Se fx é uma função polinomial e gx x então g fx fx é contínua em a se fa 0 veja propriedade L4 no Teorema 3 Como a continuidade depende da existência do limite lim x a fx faz sentido estudar também continuidade lateral analogamente ao que fizemos com limites laterais Definição 23 Seja f uma função definida no intervalo a b com a b Dizemos que f é contínua à direita de a se lim x a fx fa Seja f uma função definida no intervalo c a com c a Dizemos que f é contínua à esquerda de a se lim x a fx fa Em particular se f for uma função definida no intervalo aberto I com a I f é contínua em a se e somente se for contínua à esquerda e à direita de a Definição 24 Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo fechado a b se f for contínua em a b contínua à direita de a e contínua à esquerda de b Exemplo 50 Voltando à função fx 1 x² do exemplo 37 Sabemos que Df 1 1 e lim x 1 fx 0 f1 lim x 1 fx 0 f1 lim x a fx fa se a 1 1 Portanto f é contínua em seu domínio 1 1 Teorema 8 Teorema do Valor Intermediário Se f for contínua no intervalo fechado a b e L for um número real tal que fa L fb ou fb L fa então existe pelo menos um c a b tal que fc L 82 CAPITULO 2 LIMITE DE UMA FUNC AO Observacao 32 Como consequˆencia desse teorema temos que 1 o grafico de uma funcao contınua num intervalo pode ser tracado sem tirar o lapis do papel 2 se f for contınua em a b e fa e fb tem sinais opostos entao existe pelo menos um c a b tal que fc 0 Exemplo 51 Seja fx x4 5x 3 Temos que f0 3 e f1 1 5 3 1 assim pelo Teorema 8 existe pelo menos um a 0 1 tal que fa 0 Ainda f2 24 103 9 entao existe pelo menos mais uma raiz de fx em 1 2 28 Limites infinitos Vamos comecar analisando o comportamento de algumas funcoes ilimitadas Exemplo 52 A funcao fx 1 x nao e limitada quando x se aproxima de 0 pela direita ou esquerda temos x 0 1 x 01 10 001 100 0001 1000 00001 10000 000001 100000 0000001 1000000 x 0 1 x 01 10 001 100 0001 1000 00001 10000 000001 100000 0000001 1000000 Isto e a medida que x 0 se aproxima de zero fx atinge valores positivos arbitrariamente grandes Por outro lado quando x 0 se aproxima de zero fx atinge valores negativos com modulos arbitrariamente grandes Por isso temos que os limites laterais lim x0 1 x e lim x0 1 x nao existem O comportamento observado na verdade e que o modulo de 1 x cresce indefinidamente quando x se aproxima de 0 Mais formalmente temos que dados M 0 e N 0 existe δ 0 tal que sempre x 0 δ temse que fx 1 x M e se x δ 0 entao fx 1 x N fx 1 x Na notação de limite escrevemos lim x 0 1x e lim x 0 1x Em geral fazendo uma análise como a do exemplo 52 temos que para n N lim x 0 1xⁿ e lim x 0 1xⁿ se n é par se n é ímpar Em qualquer um desses casos dizemos que a reta x 0 ou seja o eixo y é uma assíntota vertical do gráfico de fx 1x A definição formal de um limite infinito é dada a seguir Definição 25 Dizemos que lim x a fx se dado M 0 existe δ 0 tal que sempre que 0 x a δ então fx M Dizemos que lim x a fx se dado N 0 existe δ 0 tal que sempre que 0 x a δ então fx N Observação 33 Os limites infinitos com x a ou x a são análogos trocando 0 x a δ por x 0 δ ou x δ 0 respectivamente Definição 26 Em qualquer um dos casos da definição 25 ou da observação 33 dizemos que a reta de equação x a é uma assíntota vertical do gráfico da função fx Vamos modificar um pouco os exemplos vistos considerando o comportamento das funções fx xx2 e gx x²x2 definidas em R 2 nas proximidades de x 2 fx xx 2 gx x²x 2 Vemos que ambas funções são ilimitadas pois quando x se aproxima de 2 tanto fx quanto gx crescem arbitrariamente Vemos ainda que o denominador é o mesmo e se aproxima de 0 quando x se aproxima de 2 sendo negativo quando x 2 e positivo quando x 2 Além disso ambos os numeradores são diferentes e não se aproximam de de 0 quando x se aproxima de 2 porém nessa vizinhança têm sinais opostos A questão do sinal do numerador e do denominador é então determinante para dizermos que a função tende a ou Teorema 9 Sejam f g funções tais que lim x a fx L 0 e lim x a gx 0 Então 1 lim x a fxgx se fxgx 0 próximo de a 2 lim x a fxgx se fxgx 0 próximo de a 84 CAPITULO 2 LIMITE DE UMA FUNC AO Observacao 34 O teorema 9 continua valido para x a ou x a no lugar de x a Observacao 35 Em qualquer um dos casos do Teorema 9 ou da observacao 34 temos que x a e uma assıntota vertical do grafico da funcao hx fx gx Exemplo 53 Seja fx x x 2 Temos que lim x2 x 2 0 e lim x2 x 2 0 Fazendo o estudo de sinal de fx temos 2 0 x 0 x 2 2 fx x x 2 0 Dessa forma fx x x 2 0 se x 2 e fx x x 2 0 se x 2 Portanto segue do Teorema 9 que lim x2 x x 2 e lim x2 x x 2 Exemplo 54 Seja gx x2 x 2 Temos que lim x2 x2 4 0 e lim x2 x 2 0 Como x2 0 quando x 2 temos que o sinal de gx x2 x 2 depende apenas do sinal de x 2 que e negativo se x 2 e posivito se x 2 Tudo isso pode ser visto no seguinte estudo de sinal 2 0 x2 0 x 2 2 fx x2 x 2 0 Dessa forma gx x2 x 2 0 se x 2 e gx x2 x 2 0 se x 2 Segue do Teorema 9 que lim x2 x2 x 2 e lim x2 x2 x 2 Exemplo 55 Questao da 1a prova de 20162 lim x2 x 1 x2x 2 Primeiro temos que lim x2 x1 3 0 e lim x2 x2x2 0 Assim o numerador e negativo em uma vizinhanca de 2 e o sinal do quociente depende do sinal do denominador x2x 2 Como x2 0 quando x 0 segue que o sinal do denominador x2x 2 depende apenas do sinal de x2 Agora como x 2 temos que x 2 donde x2 0 Logo x2x2 0 quando x 2 Essa discussao pode ser resumida na seguinte tabela 29 LIMITES NO INFINITO 85 2 0 1 x 1 1 x2 0 x 2 2 x 1 x2x 2 1 Portanto segue do Teorema 9 que lim x2 x 1 x2x 2 Exemplo 56 Questao da 1a prova de 20171 Vamos estudar o lim x2 x3 1 4 x2 Temos que lim x2 x3 1 7 0 e ainda que lim x2 4 x2 0 Como o numerador e positivo na vizinhanca de 2 o sinal do quociente depende apenas do sinal do denominador Temos x 2 x 2 x2 4 x2 4 4 x2 0 Portanto lim x2 x3 1 4 x2 Exemplo 57 lim x0 cos x x pois limx0 cos x cos 0 1 e para x π2 0 cos x 0 donde concluımos que cos x x 0 nesse intervalo Portanto do Teorema 9 o resultado segue Exemplo 58 Seja a π2 kπ com k Z Entao lim xa tg x e lim xa tg x Para ver isso observe que lim xa sen x sen a e que lim xa cos x cos a 0 Alem disso se x π2 kπ π kπ entao tg x 0 e se x kπ π2 kπ entao tg x 0 Portanto segue do Teorema 9 o resultado Exemplo 59 Seja a R Se a 1 lim x0 logax e se 0 a 1 lim x0 logax 29 Limites no infinito Ja investigamos comportamentos de funcoes quando x se aproxima de um valor fixado Agora gostarıamos de estudar os casos em que x cresce ou descresce ilimitadamente Isto e os casos em que x ou x Como um primeiro exemplo consideremos a funcao fx 1 1 x Nas tabelas abaixo temos os valores de fx para alguns valores de modulo grande de x Em ambos os casos vemos que fx 1 1 x se aproxima de 1 o que e facil de entender pois em 1 x estamos dividindo 1 por um numero de modulo muito grande obtendo um numero de modulo muito pequeno 86 CAPITULO 2 LIMITE DE UMA FUNC AO x 1 1 x 10 11 100 101 1000 1001 10000 10001 100000 100001 1000000 1000001 10000000 10000001 100000000 100000001 x 1 1 x 10 09 100 099 1000 0999 10000 09999 100000 099999 1000000 0999999 10000000 09999999 100000000 099999999 Tentando ser um pouco mais precisos no caso em que x cresce indefinidamente vamos conside rar o seguinte podemos tormar x grande o suficiente de forma a tornar 1 1 x arbitrariamente perto de 1 Vamos comecar escolhendo uma tolerˆanciapara essa distˆancia isto e um numero positivo arbitrario pequeno Consideremos por exemplo 0 000001 Quao grande devemos es colher x para termos 0 999999 1 1 x 1 Temos que 0 999999 11 x 1 0 000001 1 x 0 0 1 x 0 000001 x 1 0 000001 1000000 Isto e tomando x 1000000 temos que 1 fx 0 000001 Esse argumento funcionara para qualquer tolerˆancia ϵ 0 escolhida existira M 0 tal que sempre que x M teremos 0 1 fx ϵ Dessa forma dizemos que quando x fx 1 e escrevemos lim x 1 1 x 1 Fazendo o mesmo tipo de raciocınio quando x decresce ilimitadamente obtemos lim x 1 1 x 1 No grafico da funcao vemos esses comportamentos fx 1 1 x A reta y 1 e chamada nesse caso assıntota horizontal do grafico da funcao As definicoes a seguir generalizam os comportamentos apresentados Definição 27 Seja f uma função definida em um intervalo aberto a Dizemos que quando x cresce ilimitadamente fx se aproxima de L e escrevemos lim x fx L se para qualquer número ϵ 0 existir M 0 tal que sempre que x M então fx L ϵ Definição 28 Seja f uma função definida em um intervalo aberto a Dizemos que quando x decresce ilimitadamente fx se aproxima de L e escrevemos lim x fx L se para qualquer número ϵ 0 existir N 0 tal que sempre que x N então fx L ϵ Definição 29 Em qualquer um dos casos da definições 27 e 28 dizemos que y L é uma assíntota horizontal para o gráfico de fx Exemplo 60 Seja fx 1x Seja ϵ 0 Sempre que x 1ϵ 0 temos que 0 1x ϵ Por outro lado sempre que x 1ϵ 0 temos que ϵ 1x 0 Isso significa que dado ϵ 0 sempre que x 1ϵ temos que 1x ϵ Dessa forma concluimos que lim x 1x 0 e lim x 1x 0 Decorem das definições 27 e 28 mas não mostraremos que Teorema 10 Se duas funções f g possuem limites quando x tende a digamos lim x fx L₁ R e lim x gx L₂ R então lim x fx gx L₁ L₂ R lim x fxgx L₁L₂ R lim x fxgx L₁L₂ R se L₂ 0 Observação 36 O Teorema 10 continua válido trocando x por x Exemplo 61 Seja n um inteiro positivo como lim x 1x 0 e lim x 1x 0 então segue do Teorema 10 lim x 1xⁿ 0 e lim x 1xⁿ 0 Algumas funções têm comportamento ainda diferente Por exemplo o gráfico a seguir mostra as funções y xⁿ para n 2 4 6 O que observamos é que quando x cresce ou decresce ilimitamente a função y xⁿ nesses casos cresce ilimitadamente De fato potências pares de números reais nãonulos são sempre positivas e crescem ilimitadamente Já para potências ímpares quando x decresce ilimitadamente xn também decresce ilimitadamente Teorema 11 Seja n Z Então limx xn e limx xn se n é par se n é ímpar Vejamos a definição formal do caso em que fx cresce ilimitadamente quando x cresce ilimitadamente Definição 30 limx fx se e somente se fixado M 0 existe N 0 tal que sempre que x N então fx M Observação 37 Os limites limx fx limx fx e limx fx são definidos de forma análoga Faça isso Podemos usar o Teorema 11 para estudar o comportamento de polinômios e funções racionais quando x ou x como veremos nos exemplos a seguir Exemplo 62 Vamos ver alguns exemplos de limites de polinômios usando o exemplo 61 e o Teorema 11 a limx 2x4 4x3 3x 1 limx x4 2 4x1 3x3 1x4 como limx 2x4 b limx 2x4 4x3 3x 1 limx x4 2 4x1 3x3 1x4 como limx 2x4 c limx x3 x2 2x 1 limx x3 1 1x1 2x2 1x3 como limx x3 d limx x3 x2 2x 1 limx x3 1 1x1 2x2 1x3 como limx x3 Esses exemplos nos mostram que o comportamento da função polinomial quando x depende apenas do comportamento do monômio de maior grau Exemplo 63 Vamos ver alguns exemplos de limites de funções racionais novamente usando o exemplo 61 e o Teorema 11 a limx 2x2 2x x2 1 limx 2x2 1 1x x2 1 1x2 limx 2x2 1 1x x2 1 1x2 limx 2 1 1x 1 1x2 2 como x 0 b limx 2x2 2x x 3 limx 2x2 1 1x x 1 3x limx 2x 1 1x 1 3x como x 0 c limx x 3 2x2 2x limx x 1 3x 2x2 1 1x limx 1 2x 1 1x 0 como x 0 limx 1 2x 0 Pelo que aconteceu no exemplo anterior dizemos que os limites de funções racionais quando x são indeterminações do tipo podem existir isto é resultar em um número ou não Vamos ver agora exemplos de limites quando x envolvendo polinômios e raízes Exemplo 64 limx 2x2 3x 2 limx x2 2 3x 2x2 limx x2 2 3x 2x2 limx x 2 3x 2x2 como x2 x x pois x 0 como limx 2x Exemplo 65 limx 2x2 3x 2 limx x2 2 3x 2x2 limx x2 2 3x 2x2 limx x 2 3x 2x2 como x2 x x pois x 0 como limx 2x Exemplo 66 Questão da 1ª prova de 20171 Vamos calcular se existir limx 3x2 5 3 x limx 3x2 5 3 x limx x2 3 5x2 x 3x 1 limx x2 3 5x2 x 3x 1 limx x 3 5x2 x 3x 1 limx x 3 5x2 x 3x 1 limx x 3 5x2 x 3x 1 limx 3 5x2 3x 1 3 como x 0 Exemplo 67 20162 Vamos calcular limx sen16x6 x 1 2x3 x2 20 Temos que limx 16x6 x 1 2x3 x2 20 2 prove isso Dessa forma segue que limx sen16x6 x 1 2x3 x2 20 senlimx 16x6 x 1 2x3 x2 20 sen2 Exemplo 68 O limite abaixo tem uma indeterminação do tipo entre parênteses limx xx2 1 x Vamos começar multiplicando e dividindo por x2 1 x 29 LIMITES NO INFINITO limx xx² 1 x limx x x² 1 xx² 1 xx² 1 x limx x x² 1 x²x² 1 x limx xx² 1 x limx xx² 1 1x² x limx xx²1 1x² x limx xx1 1x² x x² x x pois x 0 limx xx 1 1x² 1 limx xxx 1 1x² 1 como x 0 limx 11 0 1 11 1 12 Exemplo 69 Se a R a 1 limx ax limx ax 0 limx loga x Se a R 0 a 1 limx ax 0 limx ax limx loga x 92 CAPÍTULO 2 LIMITE DE UMA FUNÇÃO Mais exemplos de uso do Teorema do Confronto Exemplo 70 Vamos calcular o limite limx sen xx Como 1 sen x 1 segue que 1x sen x 1x se x 0 o que é o caso pois x Como limx 1x 0 limx 1x segue do Teorema do Confronto que limx sen xx 0 Exemplo 71 Vamos provar que limx 2 cos xx 3 0 Primeiro notamos que 1 cos x 1 donde 1 cos x 1 Somando 2 em cada termo temos 1 2 cos x 3 Agora como x temos que x 3 0 donde 1x 3 2 cos xx 3 3x 3 Usando o fato de que limx 1x 3 0 limx 3x 3 e o Teorema do Confronto encerramos a prova Exemplo 72 20162 Vamos calcular limx x3x 2cosx5x² 1 Temos que limx x3x 2cosx5x² 1 limx 3x²5x² 1 2x cos x5x² 1 Temos que limx 3x²5x² 1 limx x²3 1x²x²5 1x² limx 3 1x²5 1x² 35 Temos ainda que limx 2x cos x5x² 1 limx 2x5x² 1 cos x Como cos x é limitado e limx 2x5x² 1 0 temos que limx 2x cos x5x² 1 0 Portanto limx x3x 2cosx5x² 1 35 291 Mais Limites Exponenciais Uma das definições possíveis para a constante de Euler é e limx 1 1xx Essa caracterização de e nos permite calcular vários limites importantes Exemplo 80 limx 1 1xx e De fato fazendo a mudança de variável t x temos que x implica t e limx 1 1xx limt 1 1tt limt t 1tt limt tt 1t Agora faça y t 1 Então quando t temos que y e limt tt 1t limy 1 1yy 1 limy 1 1yy 1 1y e1 e 210 EXERCÍCIOS 93 Exemplo 81 limx0 1 x1x e e limx0 1 x1x e Fazendo a mudança de variável t 1x temos que x 0 implica t e limx0 1 x1x limt 1 1tt e Quando x 0 t e limh0 1 x1x limt 1 1tt e Exemplo 82 limh0 loga1 hh 1ln a De fato fazendo a mudança de variável t 1h temos que h 0 implica t e limh0 loga1 hh limt loga1 1t1t limt t loga1 1t limt loga1 1tt loga e 1ln a Exemplo 83 limh0 ln1 hh 1ln e 1 Podemos agora mostrar o Limite Exponencial Fundamental usando o limite que define a constante de Euler Exemplo 84 limx0 ax 1x ln a Para esse limite façamos z ax Então quando x 0 z 1 e limx0 ax 1x limz1 z 1logaz limz1 1logazz 1 Agora fazemos t z 1 Então quando z 1 temos que t 0 e limx0 ax 1x limz1 z 1logaz limz1 1logazz 1 limt0 loga1 tt 1ln a ln a Observação 38 Os limites dados nos exemplos anteriores valem ainda para x 0 210 Exercícios 1 Calcule os limites se existirem a limx2 x² 3x 5 b limx3 x 5x³ 73 c limx2 x⁴ 4x 1 d limx2 x³ 2x² 3x 2x² 4x 3 e limx2 2x² x3x f limx1 x² 1x 1 g limx32 6x² 11x 32x² 5x 12 h limx3 x 1 2x 3 i lim x1 sqrt2x sqrtx 1 x 1 j lim x2 x 2 3sqrt3x 5 1 k lim x64 sqrtx 8 cuberootx 4 l lim x1 1 3x 1 4x2 3x43 m lim x 2x 5 sqrt2x2 5 n lim x sqrtx2 2x 2 x 1 o lim x3 x 3 1x 13 p lim x2 sqrtx 2 sqrt2x x2 2x q lim x4 x2 9 x2 1 r lim x4 x 4 x 4 s lim x 4x 3 x 1 x 2 t lim x1 x3 1 x2 4x 3 u lim h0 3 h2 9 h v lim t0 sqrtt2 9 3 t2 w lim x x3 3x 1 2x2 x 1 x lim x x3 3x2 1 1 2x2 y lim x x5 x4 1 2x5 x 1 z lim x2 x2 3x x2 4 2 Calcule os limites se existirem a lim x 5 4x 2x 3 b lim x 4x 1 3x2 5x 2 c lim x 2x 5 sqrt2x2 5 d lim x sqrtx2 2x 2 e lim x1 3x 2 x 12 f lim x2 1 x x 22 g lim x1 2x 3 x 12 h lim x1 5x 2 x 1 i lim x1 2x 1 x 1 j lim x1 2x 1 x 1 k lim x3 5x x 32 l lim x3 x3 13x2 51x 63 x3 4x2 3x 18 m lim x0 sqrtx2 9x 9 3 x n lim x1 x3 x2 2x 2 x3 3x2 4x o lim t0 t sqrt4 t 2 p lim x0 sqrtx 9 3 x q lim x2 x3 3x2 x 2 x3 x 6 r lim x2 x3 x2 8x 12 x3 10x2 28x 24 s lim x0 sqrtx2 x 4 2 x2 3x t lim x1 x3 x2 5x 3 x3 4x2 5x 2 u lim x sqrtxsqrtx 3 sqrtx 2 v lim x 7 x 2x2 3x3 5x4 4 3x x2 x3 2x4 210 EXERCÍCIOS 95 w lim x 2x4 1375 x2 42910 x lim x 5x10 323 1 2x65 y lim x sqrtx2 x x z lim x sqrtx sqrtx sqrtx sqrtx 3 Seja f 0 R uma função contínua tal que lim x0 fx lim x1 fx 2 e lim x fx 0 Marque a alternativa incorreta a f1 2 b A função não possui raízes reais c A reta x 0 é assíntota vertical do gráfico de f d A reta y 0 é assíntota horizontal do gráfico de f e O gráfico de f intercepta y x em pelo menos 2 pontos 4 Sobre a função fx 1 se x 3 sqrtx 3 se x 3 podese afirmar que a É definida e contínua para todo x R b É definida e contínua somente para x 3 c É definida para todo x R e descontínua apenas em x 3 d É definida e contínua somente para x 3 e É definida e contínua somente para x 3 5 Determine se existir o limite da função a seguir quando x tende a 1 fx x2 5x 4 x 1 se x 1 4 se x 1 A função é contínua em R 6 Considere as seguintes afirmativas I Se lim xa fx L então lim xa fx L II Se existe lim xa fx então existe lim xa fx III Se f é uma função definida em a b e fa 0 fb então existe c a b tal que fx 0 Temos que a Todas as afirmativas são verdadeiras d Apenas a afirmativa II é falsa b Todas as afirmativas são falsas c Apenas a afirmativa I é verdadeira e Apenas a afirmativa III é falsa 96 CAPÍTULO 2 LIMITE DE UMA FUNÇÃO 7 Sejam ab R Considere a função contínua y fx definida no intervalo 48 dada por x 6 se 4 x 0 ax b se 0 x 4 2x 10 se 4 x 8 Podemos afirmar que a b vale a 12 b 2 c 0 d 4 e 6 8 Marque a alternativa correta a Se lim xa fx 0 e lim xa gx então lim xa fxgx 0 b Se lim xa fx 0 e lim xa gx 0 então lim xa fx gx 1 c Se lim xa fx e lim xa gx então lim xa fx gx 1 d Se lim xa fx e lim xa gx 0 então lim xa fx gx e Se lim xa fx e lim xa gx então lim xa fx gx 9 Mostre que x3 4x 8 0 tem pelo menos uma solução real 10 Existe um número que é exatamente um a mais que seu cubo 11 Ache as assíntotas horizontais de fx sqrt2x2 1 3x 5 Existem assíntotas verticais 12 Determine se existirem as assíntotas verticais e horizontais das funções a seguir a fx 2 x 5 c fx x2 4 x 3 b fx x 1 x 1 d fx x 9 x2 81 13 Calcule os limites laterais nos pontos de descontinuidade das funções a seguir a fx 2x 1 if x 2 x2 1 if x 2 c fx 5x 3 if x 1 x2 if x 1 b fx x 1 x 1 d fx 3x 2 if x 2 x2 3x 1 if x 2 14 20162 Sejam a e b constantes reais não nulas e f R 0 R a função dada por fx x a 2 x x 1 x 1 b x 1 Sabendo que f é contínua podemos afirmar que 210 EXERCÍCIOS a ab 0 b ab é ímpar c a b 0 d a b 0 e a b 15 20162 Seja f ℝ ℝ uma função tal que lim x0 fxx 0 Podemos afirmar que lim x1 fx²1x1 vale a 1 b 0 c 1 d 2 e 16 20162 Considere a função f ℝ ℝ representada pelo gráfico abaixo Marque a afirmação CORRETA a lim x1 x1fx b lim x1 x1fx 0 c lim x x1fx 1 d lim x1 fxx1 e lim x1 fxx1 17 Calcule a 20161 lim xπ3 senx2 cos x tg x b 20171 lim xπ xπtg x c 20171 lim x0 sen² xx d lim x0 cosx1x e lim x0 sen 3xsen 4x f lim x0 cosx1x² g lim x0 sen 2xsen x h lim x0 1cos xx sen x i lim θπ2 1 sen θθ π2 j lim x 2x³ 3x² cos xx2³ k lim x0 sen² x1 cos x l lim x0 sen x²x² m lim x0 x 1 cos xtg³ x n lim x0 sen x²1 cos x o lim xπ2 x π2cos x p lim xπ2 x π2 tg x q lim x0 cos xx²9 r lim xπ sen xx π s lim x0 sen xx sen x t lim x sen xx 18 Existe k ℝ tal que fx sen 1x se x 0 k se x 0 seja contínua em ℝ 19 Existe k ℝ tal que fx x² cos1x se x 0 k se x 0 seja contínua em ℝ 20 Use o Teorema do Confronto para calcular a lim x cos²2x3 2x b lim x0 x³ cos2x c lim x0 x² sen 1x² d lim x 5x² sen 3xx² 10 21 20162 O gráfico que melhor representa a função fx sen x 1 é 22 Calcule os seguintes limites a lim x 1 1x2x b lim x 1 3xx c lim x 1 2x3x d lim x x3x2x e lim x x² 1x² 3x² f lim x0 23x 1x g lim x0 32x 125x 1 h lim x2 ex e²x 2 i lim x0 ln1 2xx j 20162 lim x0 ln1 3x4x 23 Faça os seguintes exercícios dos livro Cálculo A a Página 75 números 35 e 37 b Página 94 número 14 c Páginas 103 104 e 105 211 RESPOSTAS DOS EXERCICIOS 99 211 Respostas dos exercıcios 1 a 15 b 11000 c 5 d 2 e 2 2 1 3 f 2 g 711 h 14 i 24 j 1 k 3 l 18 m 2 n 1 o 9 p 18 q 53 r 1 s 3 t 14 u 6 v 16 w x y 12 z 2 a 2 b 0 c 2 d e f g h i j k l 45 m 32 n 35 o 4 p 16 q 111 r 54 s 112 t 4 u v 52 w 32 x 12532 y 12 z 1 3 b 4 c 5 lim x1 fx 6 c 7 d 8 e 9 fx x3 4x 8 e contınua em R f3 7 e f1 5 Logo pelo TVI existe c 3 1 tal que fc 0 10 Sim existe x 2 0 11 Assıntota verticalx 53 Assıntotas horizontais y 23 12 a Assıntota vertical x 5 Assıntota horizontal y 0 b Assıntota vertical x 1 Assıntota horizontal y 1 c Assıntota vertical x 3 d Assıntota vertical x 9 Assıntota horizontal y 0 13 a lim x2 fx 3 e lim x2 fx 5 b lim x1 fx 1 e lim x1 fx 1 c lim x1 fx 2 e lim x1 fx 1 d lim x2 fx 4 e lim x2 fx 3 14 b 15 b 16 b 17 a 3 b 1 c 0 d 0 e 34 f 12 g 2 h 12 i 0 j 2 k 2 l 1 m 12 n 2 o 1 p 1 q 19 r 1 s 12 t 0 18 Nao 19 k 0 20 a 0 b 0 c 0 d 5 21 a 22 a e2 b e3 c e6 d e5 e e4 f ln 8 g 2 ln 3 5 ln 2 h e2 i 2 j 34