Algebra Linear 1

3ª Nota de Álgebra Linear I 1ª Questão Resolva o sistema linear Ax b em que a matriz dos coeficientes é A 1 0 1 2 1 3 3 3 2 e o vetor das constantes é b 4 5 6 T 2ª Questão Resolva o sistema linear Ax b em que a matriz dos coeficientes é A 1 2 1 3 e o vetor das constantes é b 2 6 T 3ª Questão Resolva o sistema linear Ax b em que a matriz dos coeficientes é A 1 1 3 1 1 2 1 1 2 e o vetor das constantes é b 3 1 2 T 4ª Questão Dada a matriz A 1 0 1 0 1 2 0 3 1 Utilize o desenvolvimento de Laplace e encontre detA e encontre detA T 5ª Questão Dada a matriz A 2 1 3 1 0 2 0 0 1 Utilize o desenvolvimento de Laplace e encontre detA e encontre detA T 6ª Questão Dada a matriz A 1 2 1 3 5 2 1 3 1 Encontre o posto e a nulidade dessa matriz 7ª Questão Dada a matriz A 1 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 Encontre o posto e a nulidade dessa matriz 8ª Questão Dada a matriz A 1 2 2 1 encontre a adjunta da matriz A AdjA 9ª Questão Dada a matriz A 1 2 2 1 Diga se a matriz A é inversível em caso afirmativo utiliza a adjunta e exiba a inversa de A 10ª Questão Dada a matriz A 1 1 0 0 1 1 1 0 2 Determine a inversa dessa matriz utilizando o método de GaussJordan 1ª Lista de Álgebra Linear I 1ª Questão Dada a matriz A 1 0 1 0 1 2 0 3 1 e a matriz B 2 2 1 1 5 2 1 3 1 Encontre as matrizes a A B b A 2B 2ª Questão Dada a matriz A 1 0 1 0 1 2 0 3 1 e a matriz B 2 2 1 1 5 2 1 3 1 Encontre as matrizes a AB b BA c AB2 3ª Questão Dada a matriz A 1 0 1 0 1 2 0 3 1 e a matriz B 1 2 3 2 1 2 3 3 1 a Encontre a matriz A T e a matriz B T b Encontre a matriz C A T B T c Se possível encontre a matriz D A T B T 4ª Questão Uma matriz A aij 1 i 3 e 1 j 3 é definida por aij 3i j a Encontre todos os coeficientes de A e escreva A na forma quadrada b Escreva a matriz 1 3 A na forma quadrada c Escreva a matriz B em que B A 1 3 A d Escreva se possível a matriz C em que C A13 A na forma quadrada 5ª Questão Dada a matriz A 1 1 1 0 1 0 1 0 1 e a matriz B 1 0 1 1 0 1 1 1 1 Encontre as matrizes a AB b BA c AB2 6ª Questão Dada a matriz A 1 2 3 2 1 3 1 2 3 e a matriz B 1 1 2 2 2 1 1 1 1 a Encontre a matriz AT e a matriz BT b Encontre a matriz C AT BT c Se possível encontre a matriz D AT BT 7ª Questão Uma matriz A aij 1 i 3 e 1 j 3 é definida por aij 2i j a Encontre todos os coeficientes de A e escreva A na forma quadrada b Escreva a matriz 12 A na forma quadrada c Escreva a matriz B em que B A 12 A d Escreva se possível a matriz C em que C A12 A na forma quadrada 8ª Questão Encontre o valor de x e de y para que as matrizes A B em que A 3 5 7 3 10 2 1 2 y2 1 e B 3 5 7 3 x2 1 2 1 2 3 Disciplina Álgebra Linear I Professor Dr Jadevilson Cruz 2ª Nota de Álgebra Linear I 1ª Questão Dada a matriz A 1 2 1 3 a A matriz A é invertível b Se a matriz A for invertível encontre a inversa dessa matriz utilizando operações elementares 2ª Questão Dada a matriz A 3 5 1 2 a A matriz A é invertível b Se a matriz A for invertível encontre a inversa dessa matriz utilizando operações elementares 3ª Questão Dada a matriz A 2 3 6 9 a A matriz A é invertível b Se a matriz A for invertível encontre a inversa dessa matriz utilizando operações elementares 4ª Questão Dada a matriz A 1 5 5 2 2 10 1 1 5 a A matriz A é invertível b Se a matriz A for invertível encontre a inversa dessa matriz utilizando operações elementares 1ª Lista de Algebra Linear I Resolucoes 1ª Questao Dada a matriz A 1 0 1 0 1 2 0 3 1 e a matriz B 2 2 1 1 5 2 1 3 1 Encontre as matrizes a A B Solucao Somamos os elementos correspondentes das matrizes A B 1 2 0 2 1 1 0 1 1 5 2 2 0 1 3 3 1 1 3 2 0 1 6 0 1 6 2 b A 2B Solucao Primeiro multiplicamos B por 2 e depois subtraımos de A 2B 4 4 2 2 10 4 2 6 2 A 2B 1 4 0 4 1 2 0 2 1 10 2 4 0 2 3 6 1 2 3 4 3 2 9 6 2 3 1 2ª Questao Dada a matriz A 1 0 1 0 1 2 0 3 1 e a matriz B 2 2 1 1 5 2 1 3 1 Encontre as matrizes 1 a AB Solucao Multiplicacao linha por coluna AB 1 2 0 1 1 1 1 2 0 5 1 3 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 2 1 0 2 1 5 2 3 0 1 1 2 2 1 0 2 3 1 1 1 0 2 3 5 1 3 0 1 3 2 1 1 2 0 1 2 0 3 1 0 1 0 1 2 0 5 6 0 2 2 0 3 1 0 15 3 0 6 1 3 1 0 1 11 0 2 18 5 b BA Solucao Multiplicacao linha por coluna BA 2 1 2 0 1 0 2 0 2 1 1 3 2 1 2 2 1 1 1 1 5 0 2 0 1 0 5 1 2 3 1 1 5 2 2 1 1 1 3 0 1 0 1 0 3 1 1 3 1 1 3 2 1 1 2 0 0 0 2 3 2 4 1 1 0 0 0 5 6 1 10 2 1 0 0 0 3 3 1 6 1 2 5 3 1 1 7 1 6 8 c AB 2 Solucao Dividimos cada elemento de AB por 2 AB 2 1 2 3 1 0 1 11 0 2 18 5 15 05 0 05 55 0 1 9 25 3ª Questao Dada a matriz A 1 0 1 0 1 2 0 3 1 e a matriz B 1 2 3 2 1 2 3 3 1 a Encontre AT e BT Solucao Transposta troca linhas por colunas AT 1 0 0 0 1 3 1 2 1 BT 1 2 3 2 1 3 3 2 1 2 b Encontre C AT BT Solucao C 1 1 0 2 0 3 0 2 1 1 3 3 1 3 2 2 1 1 2 2 3 2 2 6 4 4 2 c Se possıvel encontre D ATBT Solucao Multiplicacao possıvel pois numero de colunas de AT 3 numero de linhas de BT 3 D 1 1 0 2 0 3 1 2 0 1 0 3 1 3 0 2 0 1 0 1 1 2 3 3 0 2 1 1 3 3 0 3 1 2 3 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1 3 1 3 2 2 1 1 1 0 0 2 0 0 3 0 0 0 2 9 0 1 9 0 2 3 1 4 3 2 2 3 3 4 1 1 2 3 7 10 5 0 3 8 4ª Questao Uma matriz A aij 1 i 3 e 1 j 3 e definida por aij 3i j a Encontre todos os coeficientes de A e escreva A na forma quadrada Solucao Calculamos cada elemento aij 3i j a11 31 1 2 a12 31 2 1 a13 31 3 0 a21 32 1 5 a22 32 2 4 a23 32 3 3 a31 33 1 8 a32 33 2 7 a33 33 3 6 Portanto a matriz A e A 2 1 0 5 4 3 8 7 6 3 b Escreva a matriz 13 A na forma quadrada Solução Multiplicamos cada elemento de A por 13 13 A 23 13 0 83 43 1 33 73 2 c Escreva a matriz B A 13 A Solução Subtraímos 13 A de A B A 13 A 23 A 43 23 0 103 83 2 163 143 4 d Escreva se possível a matriz C A 13 A Solução Multiplicação possível dimensões compatíveis Calculamos C A 13 A C 2 1 0 5 4 3 8 7 6 23 13 0 83 43 1 33 73 2 Cálculo dos elementos de C c11 2 23 1 53 0 83 43 53 0 3 c12 2 13 1 43 0 73 23 43 0 2 c13 2 0 1 1 0 2 0 1 0 1 c21 5 23 4 53 3 83 103 203 8 10 8 18 c22 5 13 4 43 3 73 53 163 7 7 7 14 c23 5 0 4 1 3 2 0 4 6 10 c31 8 23 7 53 6 83 163 353 16 17 16 33 c32 8 13 7 43 6 73 83 283 14 12 14 26 c33 8 0 7 1 6 2 0 7 12 19 Portanto C 3 2 1 18 14 10 33 26 19 5ª Questao Dada a matriz A 1 1 1 0 1 0 1 0 1 e a matriz B 1 0 1 1 0 1 1 1 1 Encontre as matrizes a AB Solucao AB 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 3 1 3 1 0 1 2 1 2 b BA Solucao BA 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 c AB 2 Solucao AB 2 1 2 3 1 3 1 0 1 2 1 2 15 05 15 05 0 05 1 05 1 6ª Questao Dada a matriz A 1 2 3 2 1 3 1 2 3 e a matriz B 1 1 2 2 2 1 1 1 1 5 a Encontre AT e BT Solucao AT 1 2 1 2 1 2 3 3 3 BT 1 2 1 1 2 1 2 1 1 b Encontre C AT BT Solucao C 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 4 2 3 3 3 5 4 4 c Se possıvel encontre D ATBT Solucao Multiplicacao possıvel D 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 1 2 2 2 4 1 1 2 1 2 1 4 4 2 2 2 1 2 3 3 6 6 6 3 3 3 3 5 7 4 7 8 5 12 15 9 7ª Questao Uma matriz A aij 1 i 3 e 1 j 3 e definida por aij 2i j a Encontre todos os coeficientes de A e escreva A na forma quadrada Solucao a11 2 1 1 1 a12 2 1 2 0 a13 2 1 3 1 a21 2 2 1 3 a22 2 2 2 2 a23 2 2 3 1 a31 2 3 1 5 a32 2 3 2 4 a33 2 3 3 3 A 1 0 1 3 2 1 5 4 3 6 b Escreva a matriz 1 4A na forma quadrada Solucao 1 4A 025 0 025 075 05 025 125 1 075 c Escreva a matriz B A 1 4A Solucao B 3 4A 075 0 075 225 15 075 375 3 225 d Escreva se possıvel a matriz C A 1 4A Solucao Multiplicacao possıvel C 1 0 1 3 2 1 5 4 3 025 0 025 075 05 025 125 1 075 Calculando os elementos c11 1 025 0 075 1 125 025 0 125 1 c12 1 0 0 05 1 1 0 0 1 1 c13 1 025 0 025 1 075 025 0 075 1 c21 3 025 2 075 1 125 075 15 125 35 c22 3 0 2 05 1 1 0 1 1 2 c23 3 025 2 025 1 075 075 05 075 05 c31 5 025 4 075 3 125 125 3 375 8 c32 5 0 4 05 3 1 0 2 3 5 c33 5 025 4 025 3 075 125 1 225 2 C 1 1 1 35 2 05 8 5 2 7 8ª Questão Encontre o valor de x e de y para que as matrizes A B em que A 3 5 7 3 10 2 1 2 y2 1 e B 3 5 7 3 x21 2 1 2 3 Solução Para A B todos os elementos correspondentes devem ser iguais 1 Da segunda linha segunda coluna 10 x2 1 Rightarrow x2 9 Rightarrow x pm 3 2 Da terceira linha terceira coluna y2 1 3 Rightarrow y2 4 Rightarrow y pm 2 Portanto as soluções são xy 32 32 32 32 2ª Nota de Álgebra Linear I Resoluções 1ª Questão Dada a matriz A 1 2 1 3 a A matriz A é invertível Solução Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero detA 13 21 3 2 5 eq 0 Portanto a matriz A é invertível b Encontre a inversa utilizando operações elementares Solução Aplicamos o método da matriz aumentada AI 1 2 1 0 1 3 0 1 Passo 1 Adicionar a linha 1 à linha 2 L2 gets L2 L1 1 2 1 0 0 5 1 1 Passo 2 Dividir a linha 2 por 5 L2 gets frac15L2 1 2 1 0 0 1 15 15 Passo 3 Subtrair 2 vezes a linha 2 da linha 1 L1 gets L1 2L2 1 0 35 25 0 1 15 15 Portanto a inversa de A é A1 35 25 15 15 2ª Questão Dada a matriz A 3 5 1 2 a A matriz A é invertível Solução Calculamos o determinante detA 32 51 6 5 1 eq 0 Portanto a matriz A é invertível b Encontre a inversa utilizando operações elementares Solução Matriz aumentada AI 3 5 1 0 1 2 0 1 Passo 1 Trocar linha 1 com linha 2 L1 leftrightarrow L2 1 2 0 1 3 5 1 0 Passo 2 Subtrair 3 vezes a linha 1 da linha 2 L2 gets L2 3L1 1 2 0 1 0 1 1 3 Passo 3 Multiplicar linha 2 por 1 L2 gets L2 1 2 0 1 0 1 1 3 Passo 4 Subtrair 2 vezes a linha 2 da linha 1 L1 gets L1 2L2 1 0 2 5 0 1 1 3 Portanto a inversa de A é A1 2 5 1 3 3ª Questão Dada a matriz A 2 3 6 9 a A matriz A é invertível Solução Calculamos o determinante detA 29 36 18 18 0 Portanto a matriz A não é invertível é singular b Se for invertível encontre a inversa Solução Como detA 0 a matriz A não possui inversa 4ª Questão Dada a matriz A 1 5 5 2 2 10 1 1 5 a A matriz A é invertível Solução Calculamos o determinante usando a regra de Sarrus detA 125 5101 521 521 1101 525 10 50 10 10 10 50 0 Portanto a matriz A não é invertível b Se for invertível encontre a inversa Solução Como detA 0 a matriz A não possui inversa 3ª Nota de Álgebra Linear I Resoluções 1ª Questão Resolva o sistema linear Axb onde A 1 0 1 2 1 3 3 3 2 b 4 5 6 Solução Vamos utilizar o método de eliminação de Gauss 1 0 1 4 2 1 3 5 3 3 2 6 Passo 1 L₂ L₂ 2L₁ e L₃ L₃ 3L₁ 1 0 1 4 0 1 1 3 0 3 5 18 Passo 2 L₃ L₃ 3L₂ 1 0 1 4 0 1 1 3 0 0 2 27 Passo 3 Resolvendo por substituição reversa 2x₃ 27 x₃ 272 x₂ x₃ 3 x₂ 3 272 332 x₁ x₃ 4 x₁ 4 272 192 Solução x 192 332 272 2ª Questão Resolva o sistema linear Ax b onde A 1 2 1 3 b 2 6 Solução Método direto matriz 2x2 x₁ 2x₂ 2 x₁ 3x₂ 6 Somando as equações 5x₂ 4 x₂ 45 Substituindo na primeira equação x₁ 2 245 2 85 185 Solução x 185 45 3ª Questão Resolva o sistema linear Ax b onde A 1 1 3 1 1 2 1 1 2 b 3 1 2 Solução Eliminação de Gauss 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 2 2 Passo 1 L₂ L₂ L₁ e L₃ L₃ L₁ 1 1 3 3 0 0 5 4 0 0 1 5 Passo 2 Sistema impossível linhas 2 e 3 inconsistentes Solução Sistema não tem solução 4ª Questão Dada a matriz A 1 0 1 0 1 2 0 3 1 Calcule det A e det Aᵀ Solução Usando desenvolvimento de Laplace pela primeira linha det A 1 1 2 3 1 0 0 2 0 1 1 0 1 0 3 1 1 1 2 3 0 1 0 1 1 6 5 Como det Aᵀ det A temos det A 5 e det Aᵀ 5 5ª Questão Dada a matriz A 2 1 3 1 0 2 0 0 1 Calcule det A e det Aᵀ Solução Desenvolvimento pela terceira linha det A 0 0 1 2 1 1 0 1 0 1 1 Novamente det Aᵀ det A logo det A 1 e det Aᵀ 1 6ª Questão Dada A 1 2 1 3 5 2 1 3 1 Encontre o posto e a nulidade Solução Reduzindo à forma escalonada 1 2 1 0 1 5 0 5 2 1 2 1 0 1 5 0 0 23 Posto número de linhas não nulas 3 Nulidade número de colunas posto 0 Resultado PostoA 3 NulidadeA 0 7ª Questão Dada A 1 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 Posto e nulidade Solução Forma escalonada 1 2 3 2 0 1 7 3 0 1 7 7 1 2 3 2 0 1 7 3 0 0 0 4 Posto 3 Nulidade 4 3 1 Resultado PostoA 3 NulidadeA 1 8ª Questão Dada A 1 2 2 1 encontre Adj A Solução Adj A C11 C21 C12 C22 1111 1212 1122 1221 1 2 2 1 9ª Questão Dada A 1 2 2 1 é inversível Se sim encontre A1 via adjunta Solução det A 11 22 5 0 logo é inversível A1 1det A Adj A 15 1 2 2 1 15 25 25 15 10ª Questão Dada A 1 1 0 0 1 1 1 0 2 Encontre A1 pelo método de GaussJordan Solução Vamos construir a matriz aumentada AI e aplicar operações elementares Etapa 1 Matriz inicial 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 0 1 Passo 1 Eliminar o elemento a31 L3 L3 L1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 2 1 0 1 Passo 2 Zerar o elemento a32 L3 L3 L2 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 3 1 1 1 Passo 3 Normalizar a terceira linha L3 1 3L3 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 3 1 3 1 3 Passo 4 Eliminar a23 L2 L2 L3 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 3 2 3 1 3 0 0 1 1 3 1 3 1 3 Passo 5 Eliminar a12 L1 L1 L2 1 0 0 2 3 2 3 1 3 0 1 0 1 3 2 3 1 3 0 0 1 1 3 1 3 1 3 A matriz a direita agora e a inversa de A A1 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 2 1 1 2 1 1 1 1 15