Produtos Notaveis

Módulo de Produtos Notáveis e Fatoração de Expressões Algébricas\n\nProdutos Notáveis\n\nOitavo Ano\n\nPORTAL DA MATEMÁTICA Produtos Notáveis\n\n1 Exercícios Introdutórios\n\nExercício 1. Siga o modelo e calcule os produtos notáveis:\n\n(x + 5)² = x² + 2 · 5 · x + 5²\n= x² + 10x + 25\n\na) (x + 1)².\nb) (x + 2)².\nc) (x + 3)².\nd) (3x + 1)².\ne) (x² + 2x).\n\nExercício 2. Calcule os produtos notáveis:\n\na) (2x + 3)².\nb) (2x + 3y)².\nc) (x + 3)².\nd) (x² + 3)².\n\nExercício 3. Veja o seguinte exemplo para calcular o quadrado de um número:\n\n42² = (40 + 2)²\n= 40² + 2·40 + 2²\n= 1600 + 160 + 4\n= 1764\n\nCalcule os quadrados de 13, 41 e 19 sem usar a calculadora.\n\nExercício 4. Calcule o valor das expressões:\n\na) (√4 + √8)² - 2√8.\nb) (x + 1)³ - (x - 1)².\nc) (a + 1)² + 2(a + 1) + a² + 2(a + 1) + 1.\n\nExercício 5. Calcule as expressões:\n\na) (−a − b)².\nb) (−2a + b)².\nc) (2ab)².\nd) (2a − 2b)².\n\nExercício 6. Calcule os produtos:\n\na) (x − 1)(x + 1).\nb) (4 − 4)(4 + α).\nc) (x − 3)(x² + 3x).\n\nExercício 7. Siga o modelo abaixo e calcule o valor das expressões dadas.\n\n27 - 33 = (30 - 3)(30 + 3)\n= 30² - 3²\n= 891\n\na) 99 - 101.\nb) 1998 - 2002.\nc) 5 15 + 25.\n\n2 Exercícios de Fixação\n\nExercício 8. Ao efetuar a multiplicação (a - b)(a + b) usando a distributividade, quantas operações de multiplicação fazemos?\n\nExercício 9. Repita o exercício anterior com a multiplicação (a + b)(a - b). Em seguida, determine quantas cópias do b aparecem no resultado. Finalmente, conclua com argumentos de conteúdo.\n\nExercício 10. Encontre uma figura que explique geometricamente, através do uso de áreas, a equação\n\n(a + b)² + (a - b)² = 2a² + 2b². 3 Exercícios de Aprofundamento e de Exames\n\nExercício 13. O professor Medálidas acaba de explicar a seus alunos que a média aritmética dos números a e b é a² + b² e a média geométrica é √(a · b). Antes de entregar as notas das provas aplicadas anteriormente, ele decide testar o conhecimento dos seus alunos perguntando se eles prefeririam que a regra da média geométrica ou a média aritmética das notas fosse a melhor para os alunos desistem de maior nota possível no boletim, o que eles devem dizer ao professor Medálidas?\n\nExercício 14. João deseja construir um retângulo usando um arame com 2 metros de comprimento. Qual é a maior área desse retângulo?\n\nExercício 15. Sejam a, b números reais.\na) Verifique que (a + b)² ≥ 2ab.\nb) Verifique que 2a² + 2b² ≥ 2ab.\nc) Verifique que\n\nx² − 6 = (x − 3)².\n\nExercício 17. Calcule o valor do número:\n\n201420123² = (20142013)(20142012) + 20142012²\n\nExercício 18. Sejam:\n\nA = √2 + √3; B = √2 + √2 + √3 ×\n√2 − 2√2 + √2 + √3\n\nQuanto vale A · B?\na) (√2)² (b) √3 (c) 1 (d) 2 + √2 (e) 2 + √3.\n\nExercício 19. João está ajudando seu pai com as finanças de sua loja. Como a quantidade de produtos oferecidos estava influenciando a quantidade de produtos vendidos, ele decidiu procurar algum padrão que pudesse ajudá-lo a descobrir qual a quantidade ideal de produtos que deveriam ser oferecidos para maximizar a quantidade de produtos vendidos? Depois de um bom tempo \"quebrando a cabeça\", ele percebeu que os \"produtos eram oferecidos\", como a loja vendia \"10 - (10 - x)\" itens. Em seguida, com a ajuda de um produto notável semelhante a essa expressão, pois conseguiu descobrir como a quantidade ideal de produtos deveria ser oferecida. Como ele fez isso? Respostas e Soluções\n\n1\nExercícios Introdutórios\n\n1.\na) x² + 2x + 1.\nb) 16 + 8x + x².\nc) z² + 2√3z + 3.\nd) y² + 6z + 1.\n\ne) 12x² + 16x + 4.\n\n2.\na) 4x² + 12x + 9.\nb) 4z² + 12y + 9y².\nc) x² + 4x + 9.\nd) 4a² + 6a² + 9b⁴.\ne) x³ + 18x + 81.\n\n3.\n13² = (10 + 3)²\n= 100 + 60 + 9\n= 169;\n\n14² = (40 + 1)²\n= 1681;\n\n19² = (20 - 1)²\n= 400 - 40 + 1\n= 361.\n\n4.\na)\n(√a + √b)² =\na + 2√ab + b =\na + b.\n\nb)\n(x + 1)² - (x - 1)² =\n(x² + 2x + 1) + (x² - 2x + 1)\n= 2x² + 2.\n\nc)\n(a + 1)² + (a + x²) + 2(a + 1)² =\n((a + 1)² + 2) + 2(a + 1)²\n= (2a + 2)².\n\n5.\na) a² + 2ab + b².\nb) 4a² – 4ab + b².\nc) 4a²b + 12abc + 9c².\nd) (√x + √y)(√x – y) =\n(√x - y)(x + y) =\n(x² - y²).\n\n6.\na) x² - 1.\nb) 16 - 4.\nc) x² - 9.\nd) (√x + √y)(√x - √y) =\n(√^2 - y²).\n\n7. a) 100² – 1² = 9999.\nb) 2000² – 4 = 3999996.\nc) 10² – 5³ + 5² = 100.\n\n2\nExercícios de Fixação\n\n8. Cada termo obtido após usarmos a distributividade tem um dos seus membros vindo de alguma letra entre os primeiros parênteses e o segundo vindo de alguma entre os seguintes parênteses. Assumindo, como temos duas possibilidades de escolhas em cada um deles, teremos no total 2 x 2 termos possíveis na multiplicação. Isso pode também pode ser facilmente visualizado se frequentemente colocarmos um índice para distinguirmos de qual parêntese veio cada letra. Por exemplo:\n\n(a₁ + b₁)(a₂ + b₂) =\na₁a₂ + a₁b₂ + b₁a₂ + b₁b₂\n\n9. Como temos três parênteses e em cada um deles temos duas escolhas, o número de termos é 2 x 2 x 2 = 8. Para formarmos o termo a²b, dois parênteses irão fornecer a letra ‘a’ e o outro a letra ‘b’. E vamos escolher aquele que irá formar a letra ‘b’, os demais estarão determinados. Podemos fazer tal escolha na forma a³ como a expressão três termos a³. O mesmo raciocínio se aplica ao termo a³. A única maneira de formarmos a expressão e isso pode ser feito de uma forma. Assim,\n\n(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.\n\n10. O retângulo 6 x 7 desenhando oblíquo foi dividido em duas figuras na forma de escada. Em cada coluna, estamos escrevendo quantos quadrados foram pintados. Como as duas figuras são iguais, a soma dos quadrados pintados – que corresponde ao termo 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 da equação\n\n1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 7.\n\nConstruindo um retângulo n x (n + 1), é possível mostrar que:\n\n1 + 2 + 3 + ... + n =\nn(n + 1) / 2.\n\n11. Um exemplo seria:\n\na\nb\na - b\n\n12. Um exemplo seria:\n1 3 5 7 9 11 13 15 17\n\n13. Como todo quadrado perfeito é um número não-negativo, se a e b representam as notas de um aluno, temos:\n\n(√a - √b)² ≥ 0\n= -2a√b + b² ≥ 2√ab.\nAssim, é preferível escolher a média aritmética porque ela é sempre maior ou igual à média geométrica. Comentário: Provamos que a e b são não negativos, então:\n\na + b ≥ 2√ab.\n\n14. A[…] 10. O retângulo 6 x 7 desenhando oblíquo foi dividido em duas figuras na forma de escada. Em cada coluna, estamos escrevendo quantos quadrados foram pintados. Como as duas figuras são iguais, a soma dos quadrados pintados – que corresponde ao termo 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 da equação\n\n1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 7.\n\nConstruindo um retângulo n x (n + 1), é possível mostrar que:\n\n1 + 2 + 3 + ... + n =\nn(n + 1) / 2.\n\n12. Um exemplo seria:\n\n1 3 5 7 9 11 13 15 17\n\n13. Como todo quadrado perfeito é um número não-negativo, se a e b representam as notas de um aluno, temos:\n\n(√a - √b)² ≥ 0\n= -2a√b + b² ≥ 2√ab.\nAssim, é preferível escolher a média aritmética porque ela é sempre maior ou igual à média geométrica. Comentário: Provamos que a e b são não negativos, então:\n\na + b ≥ 2√ab.\n\n14. A[…] c) Usaremos o item anterior três vezes:\n\n(1 + 1 / a + b) + 4 + 16 / (a + b + c + d)\n\n16. (Extraído da OBM 2014) Usando a diferença de quadrados, podemos escrever:\n\n(√x ± √y)(√x ∓ √y) = (x - y).\n\nAssim, obtemos:\n\n√x − √y =\n\nx − y\n= a²\n\nResolvendo o sistema anterior, encontramos √x + a² / b\n= x + y − y + 2a.\n\n17. Se denotarmos por z = 2014012 o valor da expressão anterior pode ser escrito como:\n\ng = (a + 1)² + 2(a + 1) - a² = [(a + 1) - a]² = 1².\n\n18. Pela diferença de quadrados, temos:\n\nB = √2 + √2 + √3 ×\n\n√2 − √2 + √3\n= √2 − √2 + √3\n\nApl [...]