Vibracoes Mecanicas - Atividade Avaliativa 1 - Sistemas Dinamicos e Molas

Vibrações Mecânicas Atividade Avaliativa 1 Responder as questões seguintes 1 Explique o conceito de sistema dinâmico discreto 2 Descrever e equacionar o funcionamento das molas torcionais Definir rigidez torcional 3 Detalhar o funcionamento da mola helicoidal Equacione a força de cisalhamento máximo em função do torque interno 4 Explique como alguns elementos elásticos podem funcionar como molas 5 Detalhe como se determina a deflexão estática das molas 6 Explique o comportamento das molas associadas em série e em paralelo 7 Descreva a associação genérica de molas e outras fontes de energia potencial 8 Explique o amortecimento viscoso e como é equacionado Como a energia é dissipada pelo amortecimento viscoso 9 Explique os elementos de inércia dos sistemas vibratórios 10Detalhe os métodos conhecidos para o equacionamento dos sistemas vibratórios e as suposições usuais para o estabelecimento das equações diferenciais que governam o movimento 1 São sistemas em que a análise temporal é feito de forma discreta e não contínua 2 Molas torcionais são elementos que em serviço o diâmetro da espiral prendese ao eixo em que estiver inserida O sentido em que se aplica o torque muda a forma como o diâmetro da espiral varia Como o momento não é aplicado na seção do fio da mola podese supor que no momento do carregamento a mola sofra flexão Portanto a tensão é dada por σK Mc I Onde M é o momento fletor aplicado c é a distância do centro até o ponto em que a tensão é analisada I é o momento de inércia e K é um fator de correção Seu valor depende da forma geométrica da seção transversal e da posição na seção em que a tensão é analisada Wahl analiticamente determinou os valores de K para fio redondo como Shigley 2011 p560 Ki4 C 2C1 4CC1 K o4C 2C1 4CC1 Onde C é o índice de mola Ki é o fator de correção para a fibra interna e Ko é o fator de correção para a fibra externa Quando a carga é aplicada no sentido das espiras como se fechasse as espiras o diâmetro interno diminui E quando a carga é aplicada no sentido contrário abrindo as espiras o diâmetro aumenta Mechanical Springs A A D Brown 3 A mola helicoidal possibilita controlar o deslocamento de um dispositivo ou armazenar energia para depois liberálas As molas helicoidais podem ser de tração compressão ou de torção O tipo que sofre somente cisalhamento é a mola de compressão Quando comprimida a deflexão faz com que energia potencial seja armazenada na mola e quando é liberada desta força a mola libera também a energia armazenada fazendo com que retorne ao seu tamanho original Ela é então submetida a dois tipos de força a força cortante que é a força de compressão que atua na seção do fio da mola força paralela à área e ao torque provocado pela força cortante com o braço de alavanca igual ao raio da mola Figura 1 Diagrama de forças de uma mola helicoidal de compressão Shigley 8ª edição p 526 Sabendo que os parâmetros geométricos e o torque onde os carregamentos são máximos são J π d 4 32 Aπ d 2 4 rd 2 TFD 2 F2T D A equação da tensão de cisalhamento máximo em função do torque é τ max16T π d 3 8T π d 2 D 4 O princípio de funcionamento de uma mola é sofrer deformação sob carregamento armazenar energia e liberála quando removida o carregamento Materiais que possam ser deformados de forma elástica para o carregamento requerido podem funcionar como uma mola 5 A deflexão estática é o quanto a mola se deforma em um carregamento estático Ela pode ser determinada a partir do conceito de trabalho realizado por uma carga dU PdxdPx Na mola de compressão existem dois tipos de cargas Sabendo que na região elástica de deformação a alei de Hooke pode ser utilizada e que a força será uma média entre as forças aplicada à mola Fkx x F k U F 2 F k Onde k é a constante da mola F pode ser uma força axial de torção ou de cisalhamento Para torção e cisalhamento a constante é dada por k tor l GJ kcis l AG Em que l é o comprimento original da mola A energia de deformação é então U T 2l 2GJ F 2l 2 AG U T T 2l 2GJ 2T 2l 2 AG D 2 Substituindo na equação do trabalho dU PdxdPx0dT x xdU dT d dT T 2l 2GJ 2T 2l 2 AG D 2 A deformação em função do torque é x 2Tl 2GJ 22Tl 2 AG D 2 x T Tl GJ 2Tl AG D 2 6 Analisando a associação e molas pelo método da conservação e energia temos Para associação em paralelo como mostrado na figura 2 Figura 2 Molas em paralelo Rao 5ª edição p 30 Onde W é a força de reação total Chamando de U o trabalho sofrido pelas molas e de x a deformação sofrida por elas U k1x1 2k 2x2 2 O intuito é encontrar uma constante elástica para uma mola que seja equivalente às duas molas Então a mola equivalente deve ter a mesma energia das duas em conjunto k 1x1 2k2x2 2keq xeq 2 As molas 1 e 2 sofrem a mesma deformação sob a ação da força W independente da rigidez de ambas isso significa que elas acumulação energias diferentes Assim a mola equivalente também deve sofrer a mesma deformação k 1x 2k2x 2keq x 2keqk 1k2 Para n molas em paralelo k eqk1k2kn O resultado mostra que a rigidez da mola equivalente às associadas em paralelo será sempre maior Para associação em série como mostrado na figura 3 Figura 3 Molas em série Rao 5ª edição p 31 Observase a partir da figura 3 que a soma das deformações da mola 1 e 2 deve ser igual a deformação da mola equivalente E que ambas estão sob a ação da mesma força W então a mola equivalente também estará sob a ação de W Da equação de equilíbrio têmse xeqx1x2 W keq xeqk1 x1keq xeqk2 x2 x1keq xeq k1 x2keq xeq k 2 Substituindo x1 e x2 na primeira equação xeqkeq xeq k1 k eq xeq k2 1k eq 1 k1 1 k2 1 keq 1 k1 1 k2 Para n molas em série 1 keq 1 k 1 1 k2 1 kn O resultado mostra que a rigidez da mola equivalente às molas associadas em série será sempre menor 7 Os sistemas mecânicos podem ser comparados às molas associadas através da equivalência de energia Abaixo têmse algumas constantes de mola de acordo com os tipos de carregamentos k torque l GJ kcisalhamento l AG k axial AE l 8 O amortecimento viscoso possui um mecanismo de dissipação de energia e não de armazenamento através de um fluido O fluido oferece resistência ao movimento e dessa forma a energia é dissipada O equacionamento é feito a partir da segunda lei de Newton Para o caso simples onde só existe um amortecedor Famortcvcx Fmac x mx Onde c é o coeficiente de amortecimento A análise resulta em uma equação diferencial 9 Elementos de inércia são aqueles que possuem massa em uma análise real todos os elementos de um sistema possuem algum nível de massa e que armazena energia cinética Os elementos de armazenamento e dissipação de energia também possuem massa mas podem ser desprezados em certas aplicações 10 Para análise de sistemas vibracionais inicialmente definese o grau de liberdade do sistema Considerase que a massa dos dispositivos de amortecimento e elasticidade existentes tem massa desprezível e que todos os parâmetros além da deformaçãodeslocamento consequentemente a velocidade e a aceleração também são constantes por exemplo o coeficiente de amortecimento em função do aumento ou redução da temperatura Para cada grau de liberdade ou sentido em que o sistema ou o elemento de inércia pode se movimentar deve ser feito o equacionamento do movimento Este pode ser feito a partir da segunda lei de Newton ou da lei da conservação da energia Referências RAO Singiresu S Mechanical Vibrations 5ª ed PearsonPrentice Hall 2010 BUDYNAS Richard G NISBETT J Keith Elementos de Máquinas de Shigley 8ª ed Mc Graw Hill 2011 1 São sistemas em que a análise temporal é feito de forma discreta e não contínua 2 Molas torcionais são elementos que em serviço o diâmetro da espiral prendese ao eixo em que estiver inserida O sentido em que se aplica o torque muda a forma como o diâmetro da espiral varia Como o momento não é aplicado na seção do fio da mola podese supor que no momento do carregamento a mola sofra flexão Portanto a tensão é dada por 𝜎 𝐾 𝑀𝑐 𝐼 Onde M é o momento fletor aplicado c é a distância do centro até o ponto em que a tensão é analisada I é o momento de inércia e K é um fator de correção Seu valor depende da forma geométrica da seção transversal e da posição na seção em que a tensão é analisada Wahl analiticamente determinou os valores de K para fio redondo como Shigley 2011 p560 𝐾𝑖 4𝐶2 𝐶 1 4𝐶𝐶 1 𝐾𝑜 4𝐶2 𝐶 1 4𝐶𝐶 1 Onde C é o índice de mola Ki é o fator de correção para a fibra interna e Ko é o fator de correção para a fibra externa Quando a carga é aplicada no sentido das espiras como se fechasse as espiras o diâmetro interno diminui E quando a carga é aplicada no sentido contrário abrindo as espiras o diâmetro aumenta Mechanical Springs A A D Brown 3 A mola helicoidal possibilita controlar o deslocamento de um dispositivo ou armazenar energia para depois liberálas As molas helicoidais podem ser de tração compressão ou de torção O tipo que sofre somente cisalhamento é a mola de compressão Quando comprimida a deflexão faz com que energia potencial seja armazenada na mola e quando é liberada desta força a mola libera também a energia armazenada fazendo com que retorne ao seu tamanho original Ela é então submetida a dois tipos de força a força cortante que é a força de compressão que atua na seção do fio da mola força paralela à área e ao torque provocado pela força cortante com o braço de alavanca igual ao raio da mola Figura 1 Diagrama de forças de uma mola helicoidal de compressão Shigley 8ª edição p 526 Sabendo que os parâmetros geométricos e o torque onde os carregamentos são máximos são 𝐽 𝜋𝑑4 32 𝐴 𝜋𝑑2 4 𝑟 𝑑 2 𝑇 𝐹𝐷 2 𝐹 2𝑇 𝐷 A equação da tensão de cisalhamento máximo em função do torque é 𝜏𝑚𝑎𝑥 16𝑇 𝜋𝑑3 8𝑇 𝜋𝑑2𝐷 4 O princípio de funcionamento de uma mola é sofrer deformação sob carregamento armazenar energia e liberála quando removida o carregamento Materiais que possam ser deformados de forma elástica para o carregamento requerido podem funcionar como uma mola 5 A deflexão estática é o quanto a mola se deforma em um carregamento estático Ela pode ser determinada a partir do conceito de trabalho realizado por uma carga 𝑑𝑈 𝑃 𝑑𝑥 𝑑𝑃 𝑥 Na mola de compressão existem dois tipos de cargas Sabendo que na região elástica de deformação a alei de Hooke pode ser utilizada e que a força será uma média entre as forças aplicada à mola 𝐹 𝑘𝑥 𝑥 𝐹 𝑘 𝑈 𝐹 2 𝐹 𝑘 Onde k é a constante da mola F pode ser uma força axial de torção ou de cisalhamento Para torção e cisalhamento a constante é dada por 𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑙 𝐺𝐽 𝑘𝑐𝑖𝑠 𝑙 𝐴𝐺 Em que l é o comprimento original da mola A energia de deformação é então 𝑈 𝑇2𝑙 2𝐺𝐽 𝐹2𝑙 2𝐴𝐺 𝑈𝑇 𝑇2𝑙 2𝐺𝐽 2𝑇2𝑙 2𝐴𝐺𝐷2 Substituindo na equação do trabalho 𝑑𝑈 𝑃 𝑑𝑥 𝑑𝑃 𝑥 0 𝑑𝑇 𝑥 𝑥 𝑑𝑈 𝑑𝑇 𝑑 𝑑𝑇 𝑇2𝑙 2𝐺𝐽 2𝑇2𝑙 2𝐴𝐺𝐷2 A deformação em função do torque é 𝑥 2𝑇𝑙 2𝐺𝐽 2 2𝑇𝑙 2𝐴𝐺𝐷2 𝑥𝑇 𝑇𝑙 𝐺𝐽 2𝑇𝑙 𝐴𝐺𝐷2 6 Analisando a associação e molas pelo método da conservação e energia temos Para associação em paralelo como mostrado na figura 2 Figura 2 Molas em paralelo Rao 5ª edição p 30 Onde W é a força de reação total Chamando de U o trabalho sofrido pelas molas e de x a deformação sofrida por elas 𝑈 𝑘1𝑥1 2 𝑘2𝑥2 2 O intuito é encontrar uma constante elástica para uma mola que seja equivalente às duas molas Então a mola equivalente deve ter a mesma energia das duas em conjunto 𝑘1𝑥1 2 𝑘2𝑥2 2 𝑘𝑒𝑞𝑥𝑒𝑞 2 As molas 1 e 2 sofrem a mesma deformação sob a ação da força W independente da rigidez de ambas isso significa que elas acumulação energias diferentes Assim a mola equivalente também deve sofrer a mesma deformação 𝑘1𝑥2 𝑘2𝑥2 𝑘𝑒𝑞𝑥2 𝑘𝑒𝑞 𝑘1 𝑘2 Para n molas em paralelo 𝑘𝑒𝑞 𝑘1 𝑘2 𝑘𝑛 O resultado mostra que a rigidez da mola equivalente às associadas em paralelo será sempre maior Para associação em série como mostrado na figura 3 Figura 3 Molas em série Rao 5ª edição p 31 Observase a partir da figura 3 que a soma das deformações da mola 1 e 2 deve ser igual a deformação da mola equivalente E que ambas estão sob a ação da mesma força W então a mola equivalente também estará sob a ação de W Da equação de equilíbrio têmse 𝑥𝑒𝑞 𝑥1 𝑥2 𝑊 𝑘𝑒𝑞𝑥𝑒𝑞 𝑘1𝑥1 𝑘𝑒𝑞𝑥𝑒𝑞 𝑘2𝑥2 𝑥1 𝑘𝑒𝑞𝑥𝑒𝑞 𝑘1 𝑥2 𝑘𝑒𝑞𝑥𝑒𝑞 𝑘2 Substituindo x1 e x2 na primeira equação 𝑥𝑒𝑞 𝑘𝑒𝑞𝑥𝑒𝑞 𝑘1 𝑘𝑒𝑞𝑥𝑒𝑞 𝑘2 1 𝑘𝑒𝑞 1 𝑘1 1 𝑘2 1 𝑘𝑒𝑞 1 𝑘1 1 𝑘2 Para n molas em série 1 𝑘𝑒𝑞 1 𝑘1 1 𝑘2 1 𝑘𝑛 O resultado mostra que a rigidez da mola equivalente às molas associadas em série será sempre menor 7 Os sistemas mecânicos podem ser comparados às molas associadas através da equivalência de energia Abaixo têmse algumas constantes de mola de acordo com os tipos de carregamentos 𝑘𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑙 𝐺𝐽 𝑘𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙 𝐴𝐺 𝑘𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝐴𝐸 𝑙 8 O amortecimento viscoso possui um mecanismo de dissipação de energia e não de armazenamento através de um fluido O fluido oferece resistência ao movimento e dessa forma a energia é dissipada O equacionamento é feito a partir da segunda lei de Newton Para o caso simples onde só existe um amortecedor 𝐹𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡 𝑐 𝑣 𝑐 𝑥 𝐹 𝑚𝑎 𝑐𝑥 𝑚𝑥 Onde c é o coeficiente de amortecimento A análise resulta em uma equação diferencial 9 Elementos de inércia são aqueles que possuem massa em uma análise real todos os elementos de um sistema possuem algum nível de massa e que armazena energia cinética Os elementos de armazenamento e dissipação de energia também possuem massa mas podem ser desprezados em certas aplicações 10 Para análise de sistemas vibracionais inicialmente definese o grau de liberdade do sistema Considerase que a massa dos dispositivos de amortecimento e elasticidade existentes tem massa desprezível e que todos os parâmetros além da deformaçãodeslocamento consequentemente a velocidade e a aceleração também são constantes por exemplo o coeficiente de amortecimento em função do aumento ou redução da temperatura Para cada grau de liberdade ou sentido em que o sistema ou o elemento de inércia pode se movimentar deve ser feito o equacionamento do movimento Este pode ser feito a partir da segunda lei de Newton ou da lei da conservação da energia Referências RAO Singiresu S Mechanical Vibrations 5ª ed PearsonPrentice Hall 2010 BUDYNAS Richard G NISBETT J Keith Elementos de Máquinas de Shigley 8ª ed Mc Graw Hill 2011