Vibrações Mecânicas - Atividade Avaliativa com Soluções Detalhadas

VIBRAÇÕES MECÂNICAS ATIVIDADE AVALIATIVA 2 1 25 pontos Considere o sistema massa mola onde m 5 kg k 20 Nm O sistema é submetido a uma força de excitação 𝐹𝐸 5 cos 21𝑡 𝑁 Se o sistema possui condições iniciais x0 0 m e v0 0 ms determine a posição e a velocidade da massa em todo tempo t Desenhe a posição xt Achar todos os parâmetros importantes do sistema 2 25 pontos Considere um sistema massamola com coeficientes m 5 kg e k 20 Nm Se aplica agora uma força de excitação 𝐹𝑡 5 cos 2𝑡 𝑁 Determine a posição e a velocidade da massa em todo tempo t se o sistema tem possui condições iniciais x0 0 m e v0 0 ms Desenhe a posição xt e determine todos o parâmetros importante do sistema 3 25 pontos Explique a teoria e equacionamento do desbalanceamento rotativo Na sequência resolva a seguinte questão Determine o valor da força centrífuga gerada em um rotor de massa 100 kg que possui um desbalanceamento de 4000 gmm a quando o rotor gira a 1000 rpm b quando o rotor girar a 3000 rpm 4 25 pontos Determine a rigidez equivalente mínima de quatro isolantes de vibração iguais a serem utilizados em um ventilador de massa 100 kg que gira a 980 rpm 1633 Hz de maneira que a força transmitida a sua base quando o rotor fica desbalanceado seja a quinta parte da força centrífuga que gera o desbalanceamento SISTEMA MASSAMOLA SOB VIBRAÇÃO FORÇADA DA 2ª LEI DE NEWTON ΣF mx Ft kx mx mx kx Ft SUBSTITUINDO OS DADOS 5x 20x 5 cos21t x 4x cos21t i A EQUAÇÃO QUE REGE A DINÂMICA DO SISTEMA i É UMA EDO NÃO HOMOGÊNEA A SOLUÇÃO GERAL É A SOMA DA SOLUÇÃO HOMOGÊNEA E A PARTICULAR x xH xp ii SOLUÇÃO HOMOGÊNEA xH SENDO xt α eλt xt α λ² eλt DE i x 4x 0 α λ² eλt 4 α eλt 0 α eλt λ² 4 0 λ² 40 λ 2i PORTANTO xt α1 e2it α2 e2it xt 2i α1 e2it 2i α2 e2it DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO x0 x0 0 0 α1 α2 0 2i α1 2i α2 α1 α2 0 λH 0 SOLUÇÃO PARTICULAR xp SENDO xt A cos21t B sen21t xt 21 A sen21t 21 B cos21t xt 21² A cos21t 21² B sen21t SUBSTITUINDO EM i 21² B cos21t 21² B sen21t 4 A cos21t B sen21t cos21t RESOLVENDO POR IDENTIDADE 21² A 4A 1 21² B 4B 0 A 24 B 0 SOLUÇÃO GERAL xt 24 cos21t POSIÇÃO vt xt 2421 sen21t Vt 504 sen21t VELOCIDADE GRÁFICO DA POSIÇÃO xt PARÂMETRO IMPORTANTE FREQUÊNCIA NATURAL ωm km 205 ωm 2 rads ② A QUESTÃO É IDÊNTICA À QUESTÃO ANTERIOR MUDANDO APENAS A FORÇA EXTERNA PORTANTO A SOLUÇÃO HOMOGÊNEA É NULA E A PARTICULAR SERÁ xt A cos2t B sen2t xt 2A sen2t 2B cos2t xt 4A cos2t 4B sen2t SUBSTITUINDO NA EQ DINÂMICA 4A cos2t 4B sen2t 4 A cos2t B sen2t cos2t 4A 4A 1 A 10 TENDE AO INFINITO 4B 4B 0 B0 SISTEMA ENTRA EM RESSONÂNCIA DEVIDO À FREQUÊNCIA DA FORÇA DE EXCITAÇÃO SER IDÊNTICA À FREQUÊNCIA NATURAL DO SISTEMA DESBALANCEAMENTO ROTATIVO Muitas máquinas possuem componentes rotativos Se a distribuição de massa de um destes componentes não for homogênea fazendo com que o centro de gravidade do sistema rotativo não coincida com o seu centro de rotação existirá o fenômeno do DESBALANCEAMENTO ROTATIVO A MASSA DESBALANCEADA EXCÊNTRICA ORIGINARÁ UMA EXCITAÇÃO HARMÔNICA NA MÁQUINA CAUSANDO VIBRAÇÕES NO SISTEMA xt Posição da massa que não gira M Massa da mão m Massa excêntrica e Excentricidade DIVIDINDO A MASSA DA MÁQUINA EM DUAS PARTES APLICANDO A 2ª LEI DE NEWTON OBTERMOS M m d²xdt² m d²dt² x e senwt c x k x M m x mx e w² senwt k x c x 0 M x c x k x m e w² senwt ONDE m e w² senwt É A FORÇA CENTRÍFUGA MÓDULO DA FORÇA Fo m e w² A me 4000 gmm 4000106 kgm ψ 1000 rpm 100060 Hz w 2 π f Fo 4 103 2 π 103 60 042 N B me 4 103 kg m f 3000 60 Hz w 2 π 3 103 rads 60 Fo 4 103 2 π 3 103 60 126 N A EQUAÇÃO DO MOVIMENTO É DADA POR Mx Cx kx me senωt No ESTADO ESTACIONÁRIO TEMOS QUE xt me M r² 1r²²2ξr² senωt r ω ωm A FORÇA TRANSMITIDA À BASE Ft kx Cx Mθ ξ M k r² 1r²²2ξr² senωt Mθ ξ M Cωr² 1r²²2ξr² cosωt ANALISANDO APENAS O MÓDULO DA FORÇA TRANSMITIDA Fo Mθ ξ M r² k² C² ω² 1r²² 2ξr² mθ ξ ω² 12ξr²1r²²2ξr² JÁ O MÓDULO DA FORÇA GERADA PELA ROTAÇÃO Fr mθ ξ ω² DADO QUE O PROBLEMA LIMITOU Fo 15 Fr TEMOS mθ ξ ω² 12ξr²1r²²2ξr² 15 mθ ξ ω² SUPONDO ξ 02 OBTEMOS r⁴ 224r² 150 RESOLVENDO r²275 r166 r ωωm ωkM Mωk 166 100271677k K6181 Nm ξ C 2km C 2 ξ k m C 02 2 6181 100 C 315 Kgs