Modelo Matemático para Difusão de Sal no Pinhão em Panela de Pressão

Exercícios para revisão A1 Transmassa 01 Uma futura engenheira química resolveu cozinhar pinhão em uma panela de pressão com água Quando foi colocar sal na água seu marido gritou Você está colocando muito sal neste pinhão pode colocar só a metade desta quantidade A futura engenheira respondeu Não está é a quantidade ideal de sal para esta quantidade de água e pinhão Uma colega desta futura engenheira a qual estava com muita vontade de comer pinhão disse Vamos acabar rapidamente com esta discussão vou realizar uma simulação computacional do perfil de sal dentro do pinhão com os conceitos que aprendi na aula de simulação e controle de processos Para auxiliar estas futuras engenheiras e impedir que o pinhão fique muito salgado proponha o modelo matemático fenomenológico que descreva o perfil dinâmico de sal no pinhão Considere agitação perfeita processo isotérmico e que os pinhões tenham uma abertura na parte inferior da casca Resposta Hipóteses Cs é concentração de sal no pinhão kgm³ 1 A geometria do pinhão é cilíndrica 2 estado transiente 𝐶𝑠 𝑡 0 3 Fluxo unidirecional z existe uma abertura na parte inferior da casaca Fluxo em z Difusão Lei de Fick 31 Fluxo em 𝜃 é nulo porque o sistema é simétrico agitação perfeita da água e cilindro perfeito 32 Fluxo em r é nulo porque estamos considerando a casca impermeável ao sal 4 Meio não reacional Rs 0 𝐶𝑠 𝑡 1 𝑟 𝑟 𝑟𝑁𝑠 1 𝑟 𝑁𝑠 𝜃 𝑁𝑠 𝑧 𝑅𝑠 Substituindo Ns pela primeira lei de Fick 𝐶𝑠 𝑡 𝑧 𝐷 𝐶𝑠 𝑧 𝐶𝑠 𝑡 𝐷 2𝐶𝑠 𝑧2 Condições de contorno Z0L Considerando que em z 0 é a parte aberta do pinhão Nesse ponto eu não tenho resistência ao processo de transferência de massa portanto a concentração de sal no pinhão em z 0 é igual a concentração de sal em equilíbrio com a água Z 0 Cst0 Cs onde a Cs 𝛼 Cságua sendo 𝛼 é o fator de partição condição e contorno de 1 tipo valor conhecido Outra possibilidade de condição e contorno para a posição z 0 considerando resistência ao processo de transferência de massa condição e contorno de terceiro tipo 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑧 0 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑖𝑛ℎã𝑜 𝑒𝑚 𝑧 0 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑓𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑐𝑘 𝑘𝑚 𝐶𝑠 𝐶𝑠𝑧0 𝐷 𝐶𝑠 𝑧 𝑧0 onde a Cs 𝛼 Cs Considerando que em z L temos a casca IMPERMEÁVEL Sendo assim não existe fluxo de massa O Fluxo de difusão é nulo condição e contorno de 2º tipo Z L 𝐷 𝐶𝑠 𝑧 𝑧𝐿 0 como o D não é zero 𝐶𝑠 𝑧 𝑧𝐿 0 Condição inicial t 0 sabemos que o pinhão não tem sal Cs0 z 0 condição de contorno de 1º 02 Um tronco de arvore previamente encharcado pela chuva é submerso nas águas da Lagoa da Conceição Na lagoa encontrase diluído o componente A na concentração CA O tronco é perfeitamente cilíndrico e isolado em uma das extremidades Descreva o modelo matemático do perfil da concentração deste composto com o tempo e posição Hipóteses Ca é concentração de A no tronco kgm³ 1 estado transiente 𝐶𝑎 𝑡 0 3 Fluxo bidimensional z e r Fluxo em z e r Difusão Lei de Fick 31 Fluxo em 𝜃 é nulo porque o sistema é simétrico e o tronco está submerso 4 Meio não reacional Rs 0 𝐶𝑎 𝑡 1 𝑟 𝑟 𝑟𝑁𝑎 1 𝑟 𝑁𝑎 𝜃 𝑁𝑎 𝑧 𝑅𝑎 Substituindo Ns pela primeira lei de Fick 𝐶𝑎 𝑡 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝐷 𝐶𝑎 𝑟 𝑧 𝐷 𝐶𝑎 𝑧 𝐶𝑎 𝑡 𝐷 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝐶𝑎 𝑟 2𝐶𝑎 𝑧2 Condições de contorno Z0L Considerando que em z 0 é permeável ao A Nesse ponto eu não tenho resistência ao processo de transferência de massa portanto a concentração de A no tronco em z 0 é igual a concentração de A em equilíbrio com a água Z 0 Cat0r Ca onde a Ca 𝛼 Caágua sendo 𝛼 é o fator de partição condição e contorno de 1 tipo valor conhecido Outra possibilidade de condição e contorno para a posição z 0 considerando resistência ao processo de transferência de massa condição e contorno de terceiro tipo 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑧 0 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑖𝑛ℎã𝑜 𝑒𝑚 𝑧 0 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑓𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑐𝑘 𝑘𝑚 𝐶𝑎 𝐶𝑎𝑧0 𝐷 𝐶𝑎 𝑧 𝑧0 onde a Ca 𝛼 Ca Considerando que em z L temos O TRONCO ISOLADO Sendo assim não existe fluxo de massa O Fluxo de difusão é nulo condição e contorno de 2º tipo Z L 𝐷 𝐶𝑎 𝑧 𝑧𝐿 0 como o D não é zero 𝐶𝑎 𝑧 𝑧𝐿 0 Considerando que em r 0 temos O TRONCO SIMETRICO Sendo assim não existe fluxo de massa O Fluxo de difusão é nulo condição e contorno de 2º tipo Z L 𝐷 𝐶𝑎 𝑟 𝑟0 0 como o D não é zero 𝐶𝑎 𝑟 𝑟0 0 r R CatzR Ca onde a Ca 𝛼 Caágua sendo 𝛼 é o fator de partição condição e contorno de 1 tipo valor conhecido Condição inicial t 0 sabemos que não tem A no tronco Ca0 zr 0 condição de contorno de 1º 03 Considere o tanque da figura ele está localizado em uma sala ampla O material das paredes laterais cor escura é poroso e permeável a compostos aromáticos enquanto que o material do fundo e tampa superior cor clara é um isolante perfeito O tanque contém uma solução aquosa onde está dissolvido tolueno um solvente aromático na composição CT0 molm3 Com o transcorrer do tempo o tolueno atravessa a parede porosa e evapora no ambiente A concentração de tolueno no ambiente no tempo inicial é zero Considere que a parede lateral do tanque tenha a espessura δ e que o tolueno no interior da região porosa não seja adsorvido ou participe de reação química Pedese proponha um modelo matemático que descreva os perfis de concentração de tolueno no interior do tanque e na região porosa 04 Difusão de uma maneira simples é a migração de átomos ou íons através de uma rede cristalina ou então o transporte de matéria através de outra matéria Em um determinado processo de purificação tentase separar o hidrogênio de uma mistura de gases com nitrogênio e oxigênio É utilizado um dispositivo com uma lâmina de um determinado metal que separa o compartimento com a mistura e o compartimento que concentrará o hidrogênio puro Os seguintes dados são fornecidos I Lâmina de 10 mm de espessura 10x103 metros com área de 050 m2 a uma temperatura de 600 oC II Coeficiente de difusão 𝐷𝐻2𝑀𝑒𝑡𝑎𝑙 600 oC 17x108 m²s III Concentração do hidrogênio no lado da placa de alta pressão é de 40 kg 𝐻2m³Metal e a concentração no lado da placa de menor pressão é de 050 kg 𝐻2m³Metal O processo difusivo ocorre em estado estacionário e o lado da placa de menor pressão possui a pressão atmosférica como parâmetro Qual o fluxo de difusão do 𝐻2 para este processo de purificação 𝐽𝑎 𝐷 𝑑𝐶𝑎 𝑑𝑥 𝐽𝑎 𝐷 𝐶𝑎 𝑥 17 108 𝐶𝑎𝑥 0 𝐶𝑎𝑥 0001 0 0001 𝐽𝑎 17 108 4 05 0 0001 595105 𝑘𝑔 𝑚2 𝑠 𝐶𝑎 𝑡 𝑁𝑎 𝑥 𝑁𝑎 𝑦 𝑁𝑎 𝑧 𝑅𝑎 𝑑 𝑑𝑥 𝑁𝑎 0 𝑑 𝑑𝑥 𝐷 𝑑𝐶𝑎 𝑑𝑥 0 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝐶𝑎 𝑑𝑥 0 𝑑𝐶𝑎 𝑑𝑥 𝑐1 𝑑𝐶𝑎 𝑐1 𝑑𝑥 𝐶𝑎 𝑐1 𝑥 𝑐2 40 05 05 Considerando o problema de transferência de oxigênio do interior da cavidade de um pulmão através do tecido pulmonar para a rede de vasos sanguíneos no lado oposto Os tecidos pulmonares espécie B podem ser aproximados como uma parede plana de espessura L O processo de inalação pode ser admitido como mantendo uma concentração molar constante CA0 de oxigênio espécie A no tecido na sua superfície interna x 0 e a assimilação de oxigênio pelo sangue deve ser admitida como mantendo uma concentração molar constante CAL de oxigênio no tecido na sua superfície externa x L Há consumo de oxigênio no tecido devido aos processos metabólicos e a reação é de ordem zero ko a Qual é o perfil de concentração de oxigênio no tecido b Obtenha expressões para a distribuição de concentração de oxigênio no tecido e para a taxa de assimilação de oxigênio pelo sangue por unidade de área de superfície de tecido HipótesesO2 a 1 Estado estacionário 𝐶𝑎 𝑡 0 2 Fluxo é unidirecional x 𝑁𝑎 𝑦 𝑁𝑎 𝑧 0 a Fluxo na direção x Difusão 1ª Lei de Fick 𝑁𝑎 𝐷 𝑑𝐶𝑎 𝑑𝑥 3 Meio é reacional Ra ko reação de ordem zero 𝐶𝑎 𝑡 𝑁𝑎 𝑥 𝑁𝑎 𝑦 𝑁𝑎 𝑧 𝑅𝑎 Fazendo as simplificações substituindo Na e Ra 𝑑 𝑑𝑥 𝐷 𝑑𝐶𝑎 𝑑𝑥 𝑘𝑜 0 𝐷 𝑑2𝐶𝑎 𝑑𝑥2 𝑘𝑜 Condição de contorno X 0 Ca0 Cao X L CaL Cal b Para obter as expressões do perfil de concentração de O2 precisamos resolver analiticamente a equação do modelo matemático obtido na letra a 𝐷 𝑑2𝐶𝑎 𝑑𝑥2 𝑘𝑜 𝐷 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝐶𝑎 𝑑𝑥 𝑘𝑜 Ra koCa0 Ra ko Ca0 CaL 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝐶𝑎 𝑑𝑥 𝑘𝑜 𝐷 𝑑 𝑑𝐶𝑎 𝑑𝑥 𝑘𝑜 𝐷 𝑑𝑥 𝑑𝐶𝑎 𝑑𝑥 𝑘𝑜 𝐷 𝑥 𝑐1 𝑑𝐶𝑎 𝑘𝑜 𝐷 𝑥 𝑑𝑥 𝑐1 𝑑𝑥 𝐶𝑎𝑥 𝑘𝑜 𝐷 𝑥2 2 𝑐1 𝑥 𝑐2 Substituir as condições de contorno no perfil de concentração 𝐶𝑎𝑥 𝑘𝑜 𝐷 𝑥2 2 𝑐1 𝑥 𝑐2 I X 0 Ca0 Cao X L CaL Cal 𝐶𝑎𝑜 𝑘𝑜 𝐷 02 2 𝑐10 𝑐2 1 𝐶𝑎𝐿 𝑘𝑜 𝐷 𝐿2 2 𝑐1 𝐿 𝑐2 2 Resolvendo a 1 nos achamos o valor de c2 𝐶𝑎𝑜 0 0 𝑐2 𝑐2 𝐶𝑎𝑜 3 Resolvendo a 2 nos achamos o valor de c1 𝐶𝑎𝐿 𝑘𝑜 𝐷 𝐿2 2 𝑐1 𝐿 𝑐2 𝑐1 𝐿 𝐶𝑎𝐿 𝑘𝑜 𝐷 𝐿2 2 𝑐2 𝑐1 𝐶𝑎𝐿 𝐿 𝑘𝑜 𝐷 𝐿 2 𝐶𝑎𝑜 𝐿 4 Substituir 3 e 4 em I 𝐶𝑎𝑥 𝑘𝑜 𝐷 𝑥2 2 𝐶𝑎𝐿 𝐿 𝑘𝑜 𝐷 𝐿 2 𝐶𝑎2 𝐿 𝑥 𝐶𝑎𝑜 expressão Ca Equação para o fluxo 𝑁𝑎 𝐷 𝑑𝐶𝑎 𝑑𝑥 Preciso derivar a expressão da Cax em relação a x 𝐶𝑎𝑥 𝑘𝑜 𝐷 𝑥2 2 𝐶𝑎𝐿 𝐿 𝑘𝑜 𝐷 𝐿 2 𝐶𝑎2 𝐿 𝑥 𝐶𝑎𝑜 𝑑𝐶𝑎 𝑑𝑥 2 𝑘𝑜 𝐷 𝑥21 2 1 𝐶𝑎𝐿 𝐿 𝑘𝑜 𝐷 𝐿 2 𝐶𝑎2 𝐿 𝑥11 𝑑𝐶𝑎 𝑑𝑥 𝑘𝑜 𝐷 𝑥 𝐶𝑎𝐿 𝐿 𝑘𝑜 𝐷 𝐿 2 𝐶𝑎2 𝐿 Substituir od dCadx na 1ª Lei de Fick 𝑁𝑎 𝐷 𝑑𝐶𝑎 𝑑𝑥 𝑁𝑎 𝐷 𝑘𝑜 𝐷 𝑥 𝐶𝑎𝐿 𝐿 𝑘𝑜 𝐷 𝐿 2 𝐶𝑎2 𝐿