Avaliação III - Testes de Hipóteses Paramétricos e Não Paramétricos - Probabilidade e Estatística

Curso Engenharia de Software Disciplina Probabilidade e Estatıstica Semestre 2º Professor Paolo Moser Aluno Data AVALIACAO III TESTES DE HIPOTESES PARAMETRICOS E NAO PARAMETRICOS ATENCAO Sempre RESPONDA aos questionamentos Nao basta so fazer o teste interpretacao e importante Orientacoes i E exigida organizacao ii Todos os principais calculos necessarios para a resolucao da questao devem constar na folha de prova 1 20 pontos Quando Gregor Mendel o pai da genetica realizou seus famosos experimentos de hibridizacao com ervilhas um deles resultou em uma prole que consistia em 428 ervilhas com vagens verdes e 152 ervilhas com vagens amarelas De acordo com a teoria de Mendel 025 da prole de ervilhas deveria ter vagens amarelas Use o nıvel de significˆancia 005 para testar se a afirmativa de Mendel foi verificada assumindo o pressuposto de normalidade 2 20 pontos Em 1908 William Gosset puplicou o artigo The Probable Error of a Mean sob o pseudˆonimo de Student Biometrika Vol 6 n1 Ele incluiu os dados listados abaixo para dois tipos diferentes de sementes de milho regular e seca em forno que foram usados nos MESMOS LOTES de terrenos Os valores listados sao a colheita de espigas de milho em libras por acre Usando um nıvel de significˆancia de 005 teste a afirmativa de que os LOTES produzem igualmente para os dois tipos de semente Parece que um dos tipos de semente e melhor Assuma o pressuposto de normalidade dos dados Lote Regular Seca no forno 1 1903 2009 2 1935 1915 3 1910 2011 4 2496 2463 5 2108 2180 6 1961 1925 7 2060 2122 8 1444 1482 9 1612 1542 10 1316 1443 11 1511 1535 3 20 pontos Os comissarios de renda da Irlanda promoveram um concurso para promocao As idades dos candidatos malsucedidos e dos bemsucedidos sao mostradas abaixo com base em dados de Debating the Use of Statistical Evidence in Allegations oh Age Discrimination de Barry e Boland American Statistician Vol58 n2 Alguns dos candidatos que nao obtiveram a promocao alegaram que o concurso envolveu discriminacao com base na idade Use o nıvel de significˆancia de 005 para testar a afirmativa de que os candidatos malsucedidos sao provenientes de uma populacao com media de idade diferente do que a media de candidatos bemsucedidos Em face do resultado parece haver discriminacao cm base na idade Assuma o pressuposto de normalidade Idades de Candidatos Malsucedidos Idades de Candidatos Bemsucedidos 34 37 37 38 41 42 43 44 44 45 27 33 36 37 38 38 39 42 42 43 45 45 46 48 49 53 53 54 54 55 43 44 44 44 45 45 45 45 46 46 56 57 60 47 47 48 48 49 49 51 51 52 54 4 20 pontos Pesquisadores comportamentais criaram um ındice para mensurar o grau de ansi edade de vestibulandos Esse ındice vai de 0 ansiedade mınima ate 100 ansiedade maxima Dois grupos de vestibulandos foram investigados O grupo 1 e formado por vestibulandos de universidades publicas e o grupo 2 e formado por vestibulandos de universidades federais Os resultados sao apresentados na tabela abaixo Existe diferenca entre as medias de ansiedade com base nos dados amostrados Grupo 1 65 58 78 60 68 69 66 70 53 71 63 63 Grupo 2 62 63 36 34 56 60 42 57 46 88 68 48 42 52 43 5 20 pontos Em dois anos consecutivos foi feito um levantamento de mercado sobre a demanda dos consumidores por um determinado produto X No primeiro ano o produto era anunciado com frequˆencia semanal nos veıculos de comunicacao e no segundo ano com frequˆencia mensal No levantamento foram utilizados duas amostras independentes de 400 consumidores cada No primeiro ano 132 entrevistados compraram o produto X no segundo ano apenas 116 entrevis tados compraram Teste a hipotese de que a frequˆencia do anuncio tem influˆencia na demanda de mercado Assuma normalidade Avaliação III 1Se trata de um teste de proporção inicialmente iremos achar o p chapéu que será a proporção de ervilhas amarelas do total de ervilhas esse parâmetro será importante para fazer os seguintes testes 𝐻0 𝑝 025 𝐻1 𝑝 025 Também 𝑝 152 580 𝑝 0262 A estatística Z é apropriada para a realização desse teste Utilizando os dados disponíveis temos que 𝑍𝑐 5800262 025 0251 025 06674 Como tratase de um teste Z bilateral temos que a região crítica para α 005 é dada por zc R zc196 Portanto temos evidências de que a verdadeira proporção das ervilhas coletas tem proporção de 25 para as vagens amarelas ou seja não rejeitamos H0 a 5 de significância 2Essa questão se trata de comparação de duas médias com desvio padrão desconhecido Inicialmente acharemos a média de ambos os casos Definindo X Lote semente regular e Y Lote semente Seca no forno logo temos 𝑋 184145 𝑌 187518 Como os desvios padrão não são conhecidos devemos realizar um teste de hipóteses baseado na distribuição tStudent que utiliza estimativas das variâncias populacionais Neste caso temos s12 32678 s22 31736 Assim temos que o desvio padrão geral é 𝑆𝑔 179463 Aqui os parâmetros de interesse são as médias populacionais De acordo com as informações do problema existe o interesse em se testar as hipóteses 𝐻0 µ1 µ2 𝐻1 µ1 µ2 A estatística T é apropriada para a realização desse teste Utilizando os dados disponíveis temos que 𝑇𝑐 4407 Como tratase de um teste T unilateral a esquerda com 20 graus de liberdade temos que a região crítica para α 005 é dada por Tc R T c1725 Portanto temos evidências de que existe diferença significativa na produção dos LOTES para os diferentes tipos de semente significando que o tipo de semente seca no forno traz lotes maiores logo é melhor rejeitando H0 a 5 de significância 3Questão semelhante a anterior porém com Desvios Padrão Desconhecidos e Distintos Inicialmente acharemos a média de ambos os casos Definindo X Idades de Candidatos Malsucedidos e Y Idades de Candidatos Bem sucedidos logo temos 𝑋 46956 𝑌 43933 Como os desvios padrão não são conhecidos devemos realizar um teste de hipóteses baseado na distribuição tStudent que utiliza estimativas das variâncias populacionais Neste caso temos s12 4986 s22 3346 Aqui os parâmetros de interesse são as médias populacionais De acordo com as informações do problema existe o interesse em se testar as hipóteses 𝐻0 µ1 µ2 𝐻1 µ1 µ2 A estatística T é apropriada para a realização desse teste Utilizando os dados disponíveis temos que 𝑇𝑐 16683 Além disso o grau de liberdade estimado da distribuição tStudent é 𝑣 42 Como tratase de um teste T bilateral com 42 graus de liberdade temos que a região crítica para α 005 é dada por Tc R T c2020 Portanto temos evidências de que as idades de ambos os grupos seja bem ou mal sucessido possuem média igual não havendo discriminação com base idade logo não rejeita H0 a 5 de significância 4 Questão igual a anterior com Desvios Padrão Desconhecidos e Distintos Inicialmente acharemos a média de ambos os casos Definindo X Grupo de estudantes 1 e Y Grupo de estudantes 2 logo temos 𝑋 653333 𝑌 5313333 Como os desvios padrão não são conhecidos devemos realizar um teste de hipóteses baseado na distribuição tStudent que utiliza estimativas das variâncias populacionais Neste caso temos s12 4005 s22 184782 Aqui os parâmetros de interesse são as médias populacionais De acordo com as informações do problema existe o interesse em se testar as hipóteses 𝐻0 µ1 µ2 𝐻1 µ1 µ2 A estatística T é apropriada para a realização desse teste Utilizando os dados disponíveis temos que 𝑇𝑐 3083 Além disso o grau de liberdade estimado da distribuição tStudent é 𝑣 20 Como tratase de um teste T bilateral com 20 graus de liberdade temos que a região crítica para α 005 é dada por Tc R T c2086 Portanto temos evidências de que há diferença entre as médias de grau de ansiedade de ambos os grupos as idades de ambos os gruposlogo rejeita H0 a 5 de significância 5Essa questão se trata de comparação de duas proporções Definindo X compradores quando o produto foi anunciado com frequência semanal nos veículos de comunicação e Y compradores quando o produto foi anunciado com frequência mensal Inicialmente temos que 𝑝1 132 400 033 𝑝2 116 400 029 𝑝𝑔 248 800 031 Aqui os parâmetros de interesse são as proporções populacionais De acordo com as informações do problema existe o interesse em se testar as hipóteses 𝐻0 p1 p2 𝐻1 p1 p2 A estatística Z é apropriada para a realização desse teste Utilizando os dados disponíveis temos que 𝑍𝑐 12231 Como tratase de um teste Z bilateral temos que a região crítica para α 005 é dada por zc R zc 196 Portanto temos evidências de que não existem indícios de que a frequência do anúncio tem influência na demanda do mercado ou seja não rejeitamos H0 a 5 de significância