Exame Final de Probabilidade e Estatística para Engenharia de Software - Questões Resolvidas

Curso Engenharia de Software Disciplina Probabilidade e Estatıstica Semestre 2º Professor Paolo Moser Aluno Data EXAME FINAL 20 PONTOS POR QUESTAO ATENCAO Sempre RESPONDA aos questionamentos Nao basta so fazer o teste interpretacao e importante Orientacoes i E exigida organizacao ii Todos os principais calculos necessarios para a resolucao da questao devem constar na folha de prova 1 60 dos habitantes de Lacucaracha moram na area urbana do paıs e 40 na area rural Tomados ao acaso 10 habitantes qual e a probabilidade de ao menos de 5 serem da area urbana 2 As companhias de seguro estao ficando preocupadas com o fato de que o numero crescente de telefones celulares resulta em um maior numero de colisoes de carros estao por isso pensando em cobrar multas mais elevadas para os motoristas que utilizam celulares Desejamos estimar com uma margem de erro de trˆes pontos percentuais a percentagem de motoristas que falam ao celular enquanto estao dirigindo Supondo que se pretende um nıvel de confianca de 95 nos resultados quantos motoristas devem ser pesquisados a Suponha que tenhamos uma estimativa de ˆp com base em estudo anterior que mostrou que 18 dos motoristas falam ao celular com base em dados de revista Prevention b Suponha que nao tenhamos qualquer informacao que possa sugerir um valor de ˆp 3 Ao planejar uma nova maquina a ser utilizada em uma linha de montagem da Chevrolet um engenheiro obtem as medidas dos comprimentos de bracos de uma amostra aleatoria de operarios homens obtendo os seguintes valores em centımetros Construa um intervalo de confianca de 95 para o comprimento medio dos bracos desses operarios 768 756 693 757 755 712 725 719 709 694 717 725 722 685 759 73 4 Captopril e um remedio destinado a baixar a pressao sistolica Feito o teste com este remedio em pacientes mediramse suas pressoes sistolicas em mm de mercurio antes e depois de tomarem o remedio com os resultados constantes na tabela a seguir Com os dados amostrais realize um teste de hipoteses com 99 de confianca para a diferenca media entre os valores antes e depois Suponha existir condicoes para aplicacao de um metodo parametrico Pessoa A B C D E F G H I J K L Antes 200 174 198 170 179 182 193 209 185 155 169 210 Depois 191 170 177 167 159 151 176 183 159 145 146 177 5 A relacao a seguir fornece os precos de venda em milhares de dolares de casas situadas em Long Beah Island New Jersey Esperamse precos diferentes conforme as diferenca entre os precos medios de venda Tome o nıvel de significˆancia de 005 Suponha existir condicoes para aplicacao de um metodo parametrico A beiramar 235 395 547 469 369 279 Frente para o mar 538 446 435 639 499 399 Na baıa 199 219 239 309 399 190 Frente para a baıa 695 389 489 489 599 549 Questão 1 X número de habitantes de área urbana P X 5 1P X4 1 P X0P X1 P X2P X3 P X4 1 10 0 060 0040 10 10 1 060 1040 9 10 2 060 2040 8 10 3 060 30 40 7 10 4 060 4040 6 10000100016001060042501115101663083378337 Questão 2 a n196²0181018 003² 63002 Logo a amostra deverá ser de ao menos 631 elementos para que tenha margem de erro máxima de 3 pontos percentuais b Como não temos informação usamos o caso conservador n196²050050 003² 106711 Logo a amostra deverá ser de ao menos 1068 elementos para que tenha margem de erro máxima de 3 pontos percentuais Questão 3 Média x76873 16 11626 16 726625 cm Desvio padrão s 76 8726625²73726625² 161 999175 15 25809 cm Como não conhecemos o desviopadrão populacional e a amostra é pequena n 30 utilizamos t para construir o Intervalo de confiança ICμ957266252131 25809 16 ICμ95712875cm740375cm Questão 4 Como o medicamento é destinado a abaixar a pressão e a diferença que estamos considerando é antes depois temos as hipóteses H 0 μantes μdepois não houve redução H 1 μantesμdepois houve redução Como há circunstâncias para um teste paramétrico e se trata dos mesmos indivíduos temos um teste tpareado Diferenças antes depois 9 4 21 3 20 31 17 26 26 10 23 33 xdif933 12 223 12 185833 sdif 9185833²33185833² 121 11229170 11 101036 Estatística de teste t calc 185833 101036 12 6371 Região crítica α 1 gl 11 t calc2718 Conclusão Como t calct c rit rejeitase a hipótese nula ao nível de significância de 5 Há evidências de que a pressão sistólica média tenha sido reduzida após o uso do Captopril ou seja o medicamento é eficiente 5 Como existem mais de dois grupos e existe condição para um teste paramétrico devese realizar a ANOVA SQtotal235 2549 210015 2 46 464678510015 2 4 6 46760896 SQentre1 6 2294²2956²1555²3210²10015 2 46 1 6 2672249410015 2 46 27457346 SQdentro467608962745734619303550 Hipóteses H0 não há diferença significativa entre os preços médios das casas nas diferentes localizações H1 existe diferença significativa entre os preços médios das casas em pelo menos uma das localizações Quadro ANOVA FV GL SQ QM Fcalc Ftab α 5 Entre 3 27457346 9152449 948 310 Dentro 20 19303550 965178 Total 23 46760896 Como Fcalc Ftab rejeitase a hipótese nula ao nível de significância de 5 Dessa forma concluise que pelo menos o preço médio das casas de uma localização se difere das demais Questão 1 X número de habitantes de área urbana PX 5 1 PX 4 1 PX 0 PX 1 PX 2 PX 3 PX 4 1 10 0 0600 04010 10 1 0601 0409 10 2 0602 0408 10 3 0603 0407 10 4 0604 0406 1 00001 00016 00106 00425 01115 1 01663 08337 8337 Questão 2 a n 196² 018 1 018 003² 63002 Logo a amostra deverá ser de ao menos 631 elementos para que tenha margem de erro máxima de 3 pontos percentuais b Como não temos informação usamos o caso conservador n 196² 050 050 003² 106711 Logo a amostra deverá ser de ao menos 1068 elementos para que tenha margem de erro máxima de 3 pontos percentuais Questão 3 Média x 768 73 16 11626 16 726625 cm Desvio padrão s 768 726625² 73 726625² 16 1 999175 15 25809 cm Como não conhecemos o desviopadrão populacional e a amostra é pequena n 30 utilizamos t para construir o Intervalo de confiança ICμ 95 726625 2131 25809 16 ICμ 95 712875 cm 740375 cm Questão 4 Como o medicamento é destinado a abaixar a pressão e a diferença que estamos considerando é antes depois temos as hipóteses H0 𝜇antes 𝜇depois não houve redução H1 𝜇antes 𝜇depois houve redução Como há circunstâncias para um teste paramétrico e se trata dos mesmos indivíduos temos um teste tpareado Diferenças antes depois 9 4 21 3 20 31 17 26 26 10 23 33 xdif 9 33 12 223 12 185833 sdif 9 185833² 33 185833² 121 11229170 11 101036 Estatística de teste tcalc 185833 101036 12 6371 Região crítica α 1 gl 11 tcalc 2718 Conclusão Como tcalc tcrit rejeitase a hipótese nula ao nível de significância de 5 Há evidências de que a pressão sistólica média tenha sido reduzida após o uso do Captopril ou seja o medicamento é eficiente 5 Como existem mais de dois grupos e existe condição para um teste paramétrico devese realizar a ANOVA SQtotal 2352 5492 100152 46 4646785 100152 46 46760896 SQentre 1 6 2294² 2956² 1555² 3210² 100152 4 6 1 6 26722494 100152 4 6 27457346 SQdentro 4676089627457346 19303550 Hipóteses H0 não há diferença significativa entre os preços médios das casas nas diferentes localizações H1 existe diferença significativa entre os preços médios das casas em pelo menos uma das localizações Quadro ANOVA FV GL SQ QM Fcalc Ftab α 5 Entre 3 27457346 9152449 948 310 Dentro 20 19303550 965178 Total 23 46760896 Como Fcalc Ftab rejeitase a hipótese nula ao nível de significância de 5 Dessa forma concluise que pelo menos o preço médio das casas de uma localização se difere das demais