Probabilidade de Falhas em Placa Plástica e Distribuição Normal de Volume em Garrafas de Refrigerante - Análise Estatística

8 Suponha que o número de falhas em certo tipo de placa plástica tenha distribuição de Poisson com taxa média de 005 defeito por m² Na construção de um barco é necessário cobrir uma superfície de 3m x 2m com essa placa a Qual é a probabilidade de que não haja falhas nessa superfície b Qual é a probabilidade de que haja mais que uma falha nessa superfície c Na construção de 5 barcos qual é a probabilidade de que pelo menos 4 não apresentem defeito na superfície plástica 4 Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 02 Se 10 itens produzidos por esta máquina são selecionados ao acaso qual é a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado Use a Binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados 13 Uma enchedora automática de garrafas de refrigerante está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa de refrigerante seja de 1000 cm³ e o desvio padrão de 10 cm³ Podese admitir que a distribuição da variável seja normal a Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm³ b Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido está situado entre 2 desvios padrões 14 Uma empresa produz automóveis e garante a restituição da quantia paga se qualquer automóvel apresentar algum defeito grave no prazo de seis meses A empresa produz automóveis do tipo A linha de entrada e do tipo B top de linha com lucro de R 100000 e R 200000 respectivamente caso não haja restituição e com um prejuízo de R 300000 e R 800000 respectivamente se houver restituição Suponha que o tempo para a ocorrência de algum defeito grave seja em ambos os casos uma variável aleatória com distribuição normal respectivamente com médias 9 meses e 12 meses e variâncias 4 meses e 9 meses Se tivesse que planejar uma estratégia de marketing para a empresa você incentivaria as vendas dos automóveis do tipo A ou do tipo B Justifique 9 Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos D1 e D2 tenham distribuições N4236 e N459 respectivamente Se o aparelho é para ser usado por período de 45 horas qual aparelho deve ser escolhido E se for por um período de 49 horas qual o aparelho devo escolher 5 O diâmetro X de rolamentos de esfera fabricados por certa fábrica tem distribuição N 06140 00025² O lucro T de cada esfera depende de seu diâmetro onde T 010 se a esfera é boa 06100 X 06180 T 005 se a esfera é recuperável 06080 X 06100 ou 06180 X 06200 T 010 se a esfera é defeituosa X 06080 ou X 062 a Calcular as probabilidades das esferas serem boas recuperáveis e defeituosas b Calcular o valor esperado ET 15 Na produção de rolhas de cortiça não é possível garantir qualidade homogênea devido às variações internas das placas de cortiça Em função disso um equipamento separa as rolhas que saem da linha de produção em duas categorias A e B Os dados históricos mostram que 40 são classificadas como A e 60 como B O fabricante vende por R 10000 o milhar de rolhas da categoria A e por R 6000 o milhar da categoria B Um comprador propõe comprar a produção diária da fábrica Ele fará um plano de amostragem extraindo 8 rolhas aleatoriamente Se encontrar mais que 5 rolhas da categoria A ele paga R 20000 caso contrário ele paga R 5000 Pedese a Qual é a probabilidade do comprador encontrar mais de 5 rolhas da classe A b Qual é o lucro esperado do fabricante por milhar de rolhas vendidas se ele aceitar a proposta do comprador Em termos de lucro esperado a proposta do comprador é mais vantajosa do que a venda separada por categoria c Qual é a variância do lucro do fabricante por milhar de rolhas vendidas se ele aceitar a proposta do comprador 11 Modelo Binomial ou Hipergeométrico Uma fábrica produz válvulas das quais 20 são defeituosas As válvulas são vendidas em caixas com 10 peças Se uma caixa não tiver nenhuma defeituosa seu preço de venda é 1000 Se uma caixa tiver uma peça defeituosa seu preço de venda é 800 Se tiver duas ou três com defeito o preço de venda é 600 Agora se tiver mais do que três peças defeituosas o preço de venda é 200 Qual o preço médio de venda de uma caixa de válvulas Respostas 648 Binomial n 10 p 02 P X 1P X0 P X1 10 0 02 008 10 10 1 02 108 9 0107402684037583758 Poisson λ10022 P X 1P X0 P X1e 22 0 0 e 22 1 1 0135302707040604060 a Boas P 06100X06180P 0610006140 00025 Z 0618006140 00025 P160Z16009452109452089048904 Defeituosas P X06080 P X06200PZ 0608006140 00025 PZ 0620006140 00025 PZ240PZ2402PZ240210991800164164 Recuperáveis P Recuperáveis1 PBoas PDefeituosas1089040016400932932 b E T 010089040050093201000164 ET 00921 Área da superfície 6 m² Seja X o número de defeitos λ 030 defeito 6 m² a P X0e 030 030 0 0 0 74087408 b P X11 P X0 P X11 e 030030 0 0 e 030030 1 1 1074080222200370370 c Seja Y o número de barcos que não apresentam defeito zero defeito n 5 p 07408 PY 4PY4PY 5 5 407408 4107408 54 5 507408 5107408 55 0390302231061346134 D1 P X45PZ 4542 36 PZ050106915030853085 P X49PZ 4942 36 PZ117108790012101210 D2 P X45PZ 4545 9 PZ005050 P X49PZ 4 945 9 PZ13310908200918918 Se o aparelho deve ser usado por 45 horas é melhor que se escolha D2 pois este tem maior probabilidade de vida maior que 45 horas Já para um período de 49 horas devese escolher D1 Seja X o número de peças defeituosas P X0 10 0 02 008 1001074 P X1 10 1 02 108 90268 4 P X2PX3 10 2 02 20 8 8 10 3 02 308 7030200201305033 P X3101074026840503301209 Seja V o preço de venda temos EV 1001074802684605033201209648 a P X990PZ 9901000 10 PZ11084130158715 87 b P 980 X1020P 9801000 10 Z 10201000 10 P 2Z2 09772109772095449544 Vamos calcular o lucro esperado com cada tipo Tipo A Seja Xa o tempo para ocorrência de algum defeito grave para automóveis do Tipo A P Xa6P Xa 69 4 PXa1510933200668668 P Xa6100668093329332 Seja La o lucro com automóveis tipo A ELa10000933230000066873280 Tipo B Seja Xb o tempo para ocorrência de algum defeito grave para automóveis do Tipo A P Xb6P X b 612 9 P Xb2010977200228228 P Xb61002280977297 72 Seja Lb o lucro com automóveis tipo B ELb200009772800000228177200 Considerando o lucro esperado seria mais vantajoso incentivar as vendas dos automóveis do tipo B Apesar do risco maior associado à restituição dos automóveis tipo B a probabilidade de ocorrer um defeito dentro do período de garantia é menor para eles além de ter maior lucro quando não há restituição a P X5P X6 P X7 P X8 8 6040 6060 2 8 7040 7060 1 8 8040 8060 0 00413000790000700499499 b EL2000049950100499574850 Se aceitar a oferta o lucro esperado será de aproximadamente R5749 Se não aceitar a oferta e vender separada por categoria o lucro esperado por milhar é de EL10004060060R 7600 Dessa maneira é mais vantajoso que venda separadas por categoria Ele fala em produção diária mas não se sabe o quanto é produzido diariamente Se não for um milhar a comparação aqui entre as esperanças não pode ser direta c EL²200²0049950²100499437125 VarL437125574850²10667250 Agora se supormos uma amostragem sem repetição considerando ainda que se retire a amostra de 8 unidades de um milhar de rolhas e que nesse milhar tenha a proporção anunciada 40 A e 60 B temos uma distribuição hipergeométrica Neste caso a resolução seria assim a P X5P X6 P X7 P X8 400 6 1000400 86 1000 8 400 7 1000400 87 1000 8 400 8 1000400 88 1000 8 004080007700006004914 91 b EL2000049150100491573650 Se aceitar a oferta o lucro esperado será de aproximadamente R5737 Se não aceitar a oferta e vender separada por categoria o lucro esperado por milhar é de EL10004060060R 7600 Dessa maneira é mais vantajoso que venda separadas por categoria c EL²200²0049150²100491434125 VarL 434125 573650² 105051 Binomial n 10 p 02 PX 1 PX 0 PX 1 10 0 020 0810 10 1 021 089 01074 02684 03758 3758 Poisson λ 10 02 2 PX 1 PX 0 PX 1 e2 20 0 e2 21 1 01353 02707 04060 4060 a Boas P06100 X 06180 P 06100 06140 00025 Z 06180 06140 00025 P160 Z 160 09452 1 09452 08904 8904 Defeituosas PX 06080 PX 06200 P Z 06080 06140 00025 P Z 06200 06140 00025 PZ 240 PZ 240 2 PZ 240 2 1 09918 00164 164 Recuperáveis PRecuperáveis 1 PBoas PDefeituosas 1 08904 00164 00932 932 b ET 010 08904 005 00932 010 00164 ET 00921 Área da superfície 6 m² Seja X o número de defeitos λ 030 defeito 6 m² a PX 0 e030 0300 0 07408 7408 b PX 1 1 PX 0 PX 1 1 e030 0300 0 e030 0301 1 1 07408 02222 00370 370 c Seja Y o número de barcos que não apresentam defeito zero defeito n 5 p 07408 PY 4 PY 4 PY 5 5 4 074084 1 0740854 5 5 074085 1 0740855 03903 02231 06134 6134 D1 PX 45 P Z 45 42 36 PZ 050 1 06915 03085 3085 PX 49 P Z 49 42 36 PZ 117 1 08790 01210 1210 D2 PX 45 P Z 45 45 9 PZ 0 050 50 PX 49 P Z 49 45 9 PZ 133 1 09082 00918 918 Se o aparelho deve ser usado por 45 horas é melhor que se escolha D2 pois este tem maior probabilidade de vida maior que 45 horas Já para um período de 49 horas devese escolher D1 Seja X o número de peças defeituosas PX 0 10 0 020 0810 01074 PX 1 10 1 021 089 02684 PX 2 PX 3 10 2 022 088 10 3 023 087 03020 02013 05033 PX 3 101074 02684 05033 01209 Seja V o preço de venda temos EV 10 01074 8 02684 6 05033 2 01209 648 a PX 990 P Z 990 1000 10 PZ 1 1 08413 01587 1587 b P980 X 1020 P 980 1000 10 Z 1020 1000 10 P2 Z 2 09772 1 09772 09544 9544 Vamos calcular o lucro esperado com cada tipo Tipo A Seja Xa o tempo para ocorrência de algum defeito grave para automóveis do Tipo A PXa 6 P Xa 6 9 4 PXa 15 1 09332 00668 668 PXa 6 1 00668 09332 9332 Seja La o lucro com automóveis tipo A ELa 1000 09332 3000 00668 73280 Tipo B Seja Xb o tempo para ocorrência de algum defeito grave para automóveis do Tipo A PXb 6 P Xb 6 12 9 PXb 20 1 09772 00228 228 PXb 6 1 00228 09772 9772 Seja Lb o lucro com automóveis tipo B ELb 2000 09772 8000 00228 177200 Considerando o lucro esperado seria mais vantajoso incentivar as vendas dos automóveis do tipo B Apesar do risco maior associado à restituição dos automóveis tipo B a probabilidade de ocorrer um defeito dentro do período de garantia é menor para eles além de ter maior lucro quando não há restituição a PX 5 PX 6 PX 7 PX 8 8 6 0406 0602 8 7 0407 0601 8 8 0408 0600 00413 00079 00007 00499 499 b EL 200 00499 50 1 00499 574850 Se aceitar a oferta o lucro esperado será de aproximadamente R5749 Se não aceitar a oferta e vender separada por categoria o lucro esperado por milhar é de EL 100 040 60 060 R7600 Dessa maneira é mais vantajoso que venda separadas por categoria Ele fala em produção diária mas não se sabe o quanto é produzido diariamente Se não for um milhar a comparação aqui entre as esperanças não pode ser direta c EL² 200² 00499 50² 1 00499 437125 VarL 437125 574850² 10667250 Agora se supormos uma amostragem sem repetição considerando ainda que se retire a amostra de 8 unidades de um milhar de rolhas e que nesse milhar tenha a proporção anunciada 40 A e 60 B temos uma distribuição hipergeométrica Neste caso a resolução seria assim a PX 5 PX 6 PX 7 PX 8 400 6 1000400 86 1000 8 400 7 1000400 87 1000 8 400 8 1000400 88 1000 8 00408 00077 00006 00491 491 b EL 200 00491 50 1 00491 573650 Se aceitar a oferta o lucro esperado será de aproximadamente R5737 Se não aceitar a oferta e vender separada por categoria o lucro esperado por milhar é de EL 100 040 60 060 R7600 Dessa maneira é mais vantajoso que venda separadas por categoria c EL² 200² 00491 50² 1 00491 434125 VarL 434125 573650² 105051